阿諾德的研究領域遍及可積係統、代數、代數幾何、微分方程、拓撲、災變理論、奇性理論、辛幾何、經典力學和流體力學，等等。
辛拓撲(sympletic topology)明確是阿諾德開創的領域，它來自辛幾何(sympletic geometry)，再往前追溯應該是來自哈密頓正則方程。
就研究風格來說，阿諾德確實和哈密頓是一路的。
一般大學課程意義上的經典力學，能順著牛頓力學-拉格朗日力學-哈密頓力學把個概念脈絡說清楚，那就燒高香了。
阿諾德的深度，自然不會滿足於泛泛的概念介紹。
都知道拉格朗日力學始於約束體係的研究，談約束怎可不討論約束條件相應的幾何問題，你看阿諾德的書就會給你講流形上的拉格朗日力學。
等到進入哈密頓力學，微分形式、外微分自然是必用的語言(其實，這也是熱力學必用的語言！)。
既然都來到了哈密頓力學領域，盯著哈密頓正則方程焉能沒有研究的衝動，於是人家阿諾德順著辛幾何一路下去發展出了辛拓撲這一嶄新數學物理領域。
數學是實驗不花錢的那部分物理
jacobi注意到，一個數可表示為四個平方數之和與單擺的運動是由同一個函數所支配的。
20世紀把數學和物理分成兩個學科，這是災難性的。
一代數學家在不知道科學那一半的情況下成長起來，然後把醜陋的經院贗數學教給學生們。
從來沒有也永遠不會有什麽應用科學，隻有科學的應用！
真正的數學家不需要拉幫結夥，腦子不夠使的才拉幫結夥以便混吃等死。他們能以任何理由結夥，但是本質上就是解決一個社會學問題—在有點兒文化的環境中賴活著。
阿諾德對柯爾莫哥洛夫說：“我研究了哈密頓的辛幾何。他所刻畫的隨時間變化的物理過程可以等價為相空間的幾何變換。”
柯爾莫哥洛夫說：“相空間也是一種坐標係。常規坐標係有x，y，z坐標軸，而相空間在常規坐標軸基礎再增加坐標軸或動量軸。質點在初始時刻的位置和速度就對應相空間中一個廣義的“點”。我們用這個廣義點來表示物理的一些狀態。”
阿諾德說：“所有感興趣的點在相空間裏組成一個高維塊體。隨著時間變化，這個塊體會像麵團一樣變化，所以就把這個塊體叫流形。”這裏常規是三維塊體，二維區域。
柯爾莫哥洛夫說：“上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外爾心目的symplectic 的，就叫做symplectic manifold，中文就翻譯為辛流形。辛流形像麵團一樣被揉來揉去就叫辛拓撲，標準叫法是symplectic topology，而symplectic group就叫辛群了。”
阿諾德說：“之所以symplectic在經典力學和理論物理研究中時髦起來，是因為對保守係統，也就是沒有耗散的係統，辛流形的廣義體積不隨時間變化。”
柯爾莫哥洛夫說：“很多時候，被研究係統的微分方程太複雜，以至於尋找封閉的精確解已不可能的。”
阿諾德說：“需要借助於計算機求數值解。求數值解需要把微分方程近似為代數方程的迭代。近似方法有多種，如形形色色的差分法，各種格式的龍格庫塔法等等。”
柯爾莫哥洛夫說：“近似方法在每一個迭代步內有誤差，所造成的誤差還可能會在下一步迭代中被放大。或者換個名詞，這相當於計算帶來了虛假的計算阻尼。如果這種阻尼是“正”的還好，誤差不會累積暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“負”的，那麽近似計算出來的係統能量會越來越大，計算結果就會發散，這時根本談不上精度了。”
阿諾德說：“如果在構造近似格式時，首先約束格式要保證辛流形的體積不隨迭代而變化，那麽計算出來的“係統能量”就不會無限增大。不管精度如何，這至少數值結果不會發散了！因為保守係統運用的廣泛性和計算機分析的流行性，所以對能保正辛流形體積不變的迭代格式就特別受到計算科學家的重視。”
阿諾德說：“目前對微觀世界的理論物理和日月星辰的天文學，幾乎都不強調能量損耗或認為就根本不存在，而且其運行的時間尺度很大，所以若不用保辛格式，則很難得到長時間的行為。”
柯爾莫哥洛夫說：“但是就很多工程問題，對耗散和摩擦都不能掩耳盜鈴，所以辛算法是否還那麽霸氣呢？”
阿諾德說：“辛算法主要針對的是保守係統，比如天體力學，電磁場中的粒子，薛定諤方程等等。工程上用的要少些，實際上工程中還常常要加入人為耗散來抹掉噪聲誤差。
辛拓撲(sympletic topology)明確是阿諾德開創的領域，它來自辛幾何(sympletic geometry)，再往前追溯應該是來自哈密頓正則方程。
就研究風格來說，阿諾德確實和哈密頓是一路的。
一般大學課程意義上的經典力學，能順著牛頓力學-拉格朗日力學-哈密頓力學把個概念脈絡說清楚，那就燒高香了。
阿諾德的深度，自然不會滿足於泛泛的概念介紹。
都知道拉格朗日力學始於約束體係的研究，談約束怎可不討論約束條件相應的幾何問題，你看阿諾德的書就會給你講流形上的拉格朗日力學。
等到進入哈密頓力學，微分形式、外微分自然是必用的語言(其實，這也是熱力學必用的語言！)。
既然都來到了哈密頓力學領域，盯著哈密頓正則方程焉能沒有研究的衝動，於是人家阿諾德順著辛幾何一路下去發展出了辛拓撲這一嶄新數學物理領域。
數學是實驗不花錢的那部分物理
jacobi注意到，一個數可表示為四個平方數之和與單擺的運動是由同一個函數所支配的。
20世紀把數學和物理分成兩個學科，這是災難性的。
一代數學家在不知道科學那一半的情況下成長起來，然後把醜陋的經院贗數學教給學生們。
從來沒有也永遠不會有什麽應用科學，隻有科學的應用！
真正的數學家不需要拉幫結夥，腦子不夠使的才拉幫結夥以便混吃等死。他們能以任何理由結夥，但是本質上就是解決一個社會學問題—在有點兒文化的環境中賴活著。
阿諾德對柯爾莫哥洛夫說：“我研究了哈密頓的辛幾何。他所刻畫的隨時間變化的物理過程可以等價為相空間的幾何變換。”
柯爾莫哥洛夫說：“相空間也是一種坐標係。常規坐標係有x，y，z坐標軸，而相空間在常規坐標軸基礎再增加坐標軸或動量軸。質點在初始時刻的位置和速度就對應相空間中一個廣義的“點”。我們用這個廣義點來表示物理的一些狀態。”
阿諾德說：“所有感興趣的點在相空間裏組成一個高維塊體。隨著時間變化，這個塊體會像麵團一樣變化，所以就把這個塊體叫流形。”這裏常規是三維塊體，二維區域。
柯爾莫哥洛夫說：“上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外爾心目的symplectic 的，就叫做symplectic manifold，中文就翻譯為辛流形。辛流形像麵團一樣被揉來揉去就叫辛拓撲，標準叫法是symplectic topology，而symplectic group就叫辛群了。”
阿諾德說：“之所以symplectic在經典力學和理論物理研究中時髦起來，是因為對保守係統，也就是沒有耗散的係統，辛流形的廣義體積不隨時間變化。”
柯爾莫哥洛夫說：“很多時候，被研究係統的微分方程太複雜，以至於尋找封閉的精確解已不可能的。”
阿諾德說：“需要借助於計算機求數值解。求數值解需要把微分方程近似為代數方程的迭代。近似方法有多種，如形形色色的差分法，各種格式的龍格庫塔法等等。”
柯爾莫哥洛夫說：“近似方法在每一個迭代步內有誤差，所造成的誤差還可能會在下一步迭代中被放大。或者換個名詞，這相當於計算帶來了虛假的計算阻尼。如果這種阻尼是“正”的還好，誤差不會累積暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“負”的，那麽近似計算出來的係統能量會越來越大，計算結果就會發散，這時根本談不上精度了。”
阿諾德說：“如果在構造近似格式時，首先約束格式要保證辛流形的體積不隨迭代而變化，那麽計算出來的“係統能量”就不會無限增大。不管精度如何，這至少數值結果不會發散了！因為保守係統運用的廣泛性和計算機分析的流行性，所以對能保正辛流形體積不變的迭代格式就特別受到計算科學家的重視。”
阿諾德說：“目前對微觀世界的理論物理和日月星辰的天文學，幾乎都不強調能量損耗或認為就根本不存在，而且其運行的時間尺度很大，所以若不用保辛格式，則很難得到長時間的行為。”
柯爾莫哥洛夫說：“但是就很多工程問題，對耗散和摩擦都不能掩耳盜鈴，所以辛算法是否還那麽霸氣呢？”
阿諾德說：“辛算法主要針對的是保守係統，比如天體力學，電磁場中的粒子，薛定諤方程等等。工程上用的要少些，實際上工程中還常常要加入人為耗散來抹掉噪聲誤差。