人們知道共振，最早是從相同音律的共鳴開始的.
用振動理論的行話說，頻率相同的兩個音會共鳴，或者叫頻率比為1:1的共振。
在力學教科書裏，容易從力學基本規律出發，通過數學方法(諸如列出微分方程求解等等)解釋共振原因.
這是熟知的1:1共振.為和比值數字唿應，下文寫成1\/1共振.
在曆史上，接著有記載的是1\/2(頻率比為1:2)的共鳴.
這種1:2共振在線性振動理論範疇內也容易理解.一個音的頻率正好是另一音的頻率乘2，樂律上叫“高八度”.
更一般地，設想有兩個物體(或係統)，兩者固有頻率之比恰好為1:n。(或n:l)，n為正整數，如兩者有某種相互影響，即通常稱為有耦合，也會發生l\/n共振.
以上所說共振，用線性的振動理論就能解釋.
再進一步考慮有非線性的因素.我這裏隻是原理性的解釋，相關的條件見非線性振動專著.
設在某種非線性條件下，係統的“固有”頻率不是那麽死板，不可變動，那麽隻要兩個頻率之比接近於1:n，也會出現共振.這種共振也就是次諧波(subharmonic)，比如，1\/3次諧波就是因為有1\/3共振。
所謂阿諾德舌頭比這更進一步，這個術語說明的是m\/n共振的條件，這裏m和n是沒有公因子(不可公約的)兩個正整數，特別是比較小的正整數，比如2和3，或者5和8.這種共振通常是以某種非線性為前提的，非線性可能存在於係統自身，也可能見於兩者耦合的機製.
我用生活中的例子來說明“耦合”怎樣起作用.
個人走路，總有自己的習慣，形成固有的頻率(如一分鍾多少步)。
這種頻率不會象電機轉動頻率那麽嚴格地等於多少，而是在某個平均值附近有一個比較窄的“分布”.
現在觀察年齡相仿(因而固有頻率相近)又比較親近(有足夠的耦合程度)的甲乙兩人(設想是兩個初中女生)，讓他們一起走路.
走呀走的，就會走到一樣快慢，甚至於不僅“同步”(synchronized)“鎖頻”(frequeney一loeked)，而且“鎖相(phase一locked)”，相位也相同，甲出左腳.乙也是左腳.
兩人的親密程度，反映了“耦合”的強弱.
是甲影響乙，還是乙影響甲，或者相互影響?
阿諾德舌頭說明的是:更一般的m\/n共振中，耦合強度要多大才會發生.借用走路的說法，兩個人(比如，大人和孩子)，讓他們分開走，自然頻率比大致是2\/3，甲走2步的時間，大致是(不必準確地是)乙走3步的時間.甲和乙一起走，親近(耦合)到什麽程度，會發生2\/3共振，甲每走2步，乙不多不少正好走3步，而且一直維持下去，耦合不夠這個程度，就亂了套，不合拍，追追停停，甚至各走各的了。
用振動理論的行話說，頻率相同的兩個音會共鳴，或者叫頻率比為1:1的共振。
在力學教科書裏，容易從力學基本規律出發，通過數學方法(諸如列出微分方程求解等等)解釋共振原因.
這是熟知的1:1共振.為和比值數字唿應，下文寫成1\/1共振.
在曆史上，接著有記載的是1\/2(頻率比為1:2)的共鳴.
這種1:2共振在線性振動理論範疇內也容易理解.一個音的頻率正好是另一音的頻率乘2，樂律上叫“高八度”.
更一般地，設想有兩個物體(或係統)，兩者固有頻率之比恰好為1:n。(或n:l)，n為正整數，如兩者有某種相互影響，即通常稱為有耦合，也會發生l\/n共振.
以上所說共振，用線性的振動理論就能解釋.
再進一步考慮有非線性的因素.我這裏隻是原理性的解釋，相關的條件見非線性振動專著.
設在某種非線性條件下，係統的“固有”頻率不是那麽死板，不可變動，那麽隻要兩個頻率之比接近於1:n，也會出現共振.這種共振也就是次諧波(subharmonic)，比如，1\/3次諧波就是因為有1\/3共振。
所謂阿諾德舌頭比這更進一步，這個術語說明的是m\/n共振的條件，這裏m和n是沒有公因子(不可公約的)兩個正整數，特別是比較小的正整數，比如2和3，或者5和8.這種共振通常是以某種非線性為前提的，非線性可能存在於係統自身，也可能見於兩者耦合的機製.
我用生活中的例子來說明“耦合”怎樣起作用.
個人走路，總有自己的習慣，形成固有的頻率(如一分鍾多少步)。
這種頻率不會象電機轉動頻率那麽嚴格地等於多少，而是在某個平均值附近有一個比較窄的“分布”.
現在觀察年齡相仿(因而固有頻率相近)又比較親近(有足夠的耦合程度)的甲乙兩人(設想是兩個初中女生)，讓他們一起走路.
走呀走的，就會走到一樣快慢，甚至於不僅“同步”(synchronized)“鎖頻”(frequeney一loeked)，而且“鎖相(phase一locked)”，相位也相同，甲出左腳.乙也是左腳.
兩人的親密程度，反映了“耦合”的強弱.
是甲影響乙，還是乙影響甲，或者相互影響?
阿諾德舌頭說明的是:更一般的m\/n共振中，耦合強度要多大才會發生.借用走路的說法，兩個人(比如，大人和孩子)，讓他們分開走，自然頻率比大致是2\/3，甲走2步的時間，大致是(不必準確地是)乙走3步的時間.甲和乙一起走，親近(耦合)到什麽程度，會發生2\/3共振，甲每走2步，乙不多不少正好走3步，而且一直維持下去，耦合不夠這個程度，就亂了套，不合拍，追追停停，甚至各走各的了。