卡拉比-丘空間的熱潮，始於 1984年，當時的物理學家，開始了解到這些複空間或會用於新興的理論上。
熱情持續了幾年，便開始減退了。
可是到了上世紀 80年代末期，格林恩（brian greene）、普列瑟（ronen plesser）、坎德拉斯等人開始研究鏡對稱（mirror symmetry）時，卡拉比-丘空間又重新成為人們的焦點。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓樸的卡拉比-丘空間，看起來沒有什麽共通點，但卻擁有相同的物理定律。
具有這樣關係的兩個卡拉比-丘空間稱為“鏡伴”（mirror partner）。
1995年，史聰閔格、劄斯洛（eric zaslow）和我提出一個猜想，對卡拉比-丘空間的子結構提供洞識，為鏡對稱給出解釋。根據這個 syz猜想的理論，六維卡拉比-丘空間本質上可以分成兩個三維空間，其中之一是三維環麵。
如果模仿把半徑 r變成 1\/r的操作，把這些三維環麵“翻轉”，並與另一個三維空間結合起來，就會得到原卡拉比-丘空間的鏡伴。
這個猜想提供了鏡對稱的幾何圖象，盡管目前隻在一些特殊情況下被證明成立。
數學家把物理學家發現的鏡關係搬過來，成為數學上強而有力的工具。
在某個卡拉比-丘空間上要解決的難題，可以放到它的鏡伴上去考慮，這種做法往往奏效。
例如有一個求解曲線數目的問題，懸空了差不多一個世紀，就是這樣破解的。
它使枚舉幾何學（enumerative geometry）這一數學分支，重新煥發了青春。
這些進展令數學家對物理學家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的一個重要例子。它就像一麵窗，讓我們窺見卡拉比-丘空間的隱秘。利用它，我們確定了在五次三維形（一種卡拉比-丘空間）上給定階數的有理曲線的總數，這是一個非常困難的問題。
物理學家發現兩個卡拉比-丘空間，雖然拓樸很不同，卻可能對應到同一物理理論。這個性質稱為鏡對稱，彼此對稱的雙方稱為鏡伴。
這一幕還說明了鏡對稱自有其深厚的數學基礎。人們花了好幾年，到了 1990年代中後期，鏡對稱的嚴格數學證明，包括坎德拉斯等人的公式，才由吉文塔（alexander givental）以及連文豪-劉克鋒-丘成桐各自獨立完成。
熱情持續了幾年，便開始減退了。
可是到了上世紀 80年代末期，格林恩（brian greene）、普列瑟（ronen plesser）、坎德拉斯等人開始研究鏡對稱（mirror symmetry）時，卡拉比-丘空間又重新成為人們的焦點。
鏡對稱乃是兩個具有不同拓樸的卡拉比-丘空間，看起來沒有什麽共通點，但卻擁有相同的物理定律。
具有這樣關係的兩個卡拉比-丘空間稱為“鏡伴”（mirror partner）。
1995年，史聰閔格、劄斯洛（eric zaslow）和我提出一個猜想，對卡拉比-丘空間的子結構提供洞識，為鏡對稱給出解釋。根據這個 syz猜想的理論，六維卡拉比-丘空間本質上可以分成兩個三維空間，其中之一是三維環麵。
如果模仿把半徑 r變成 1\/r的操作，把這些三維環麵“翻轉”，並與另一個三維空間結合起來，就會得到原卡拉比-丘空間的鏡伴。
這個猜想提供了鏡對稱的幾何圖象，盡管目前隻在一些特殊情況下被證明成立。
數學家把物理學家發現的鏡關係搬過來，成為數學上強而有力的工具。
在某個卡拉比-丘空間上要解決的難題，可以放到它的鏡伴上去考慮，這種做法往往奏效。
例如有一個求解曲線數目的問題，懸空了差不多一個世紀，就是這樣破解的。
它使枚舉幾何學（enumerative geometry）這一數學分支，重新煥發了青春。
這些進展令數學家對物理學家及弦論刮目相看。
鏡對稱是對偶性的一個重要例子。它就像一麵窗，讓我們窺見卡拉比-丘空間的隱秘。利用它，我們確定了在五次三維形（一種卡拉比-丘空間）上給定階數的有理曲線的總數，這是一個非常困難的問題。
物理學家發現兩個卡拉比-丘空間，雖然拓樸很不同，卻可能對應到同一物理理論。這個性質稱為鏡對稱，彼此對稱的雙方稱為鏡伴。
這一幕還說明了鏡對稱自有其深厚的數學基礎。人們花了好幾年，到了 1990年代中後期，鏡對稱的嚴格數學證明，包括坎德拉斯等人的公式，才由吉文塔（alexander givental）以及連文豪-劉克鋒-丘成桐各自獨立完成。