我們的最後兩片拚圖，陳氏類和黎奇曲率，是彼此相關的，它們是源自於幾何學家嚐試將黎曼麵從複一維推廣到多維，並從數學上刻畫這些推廣結果之間差別的努力。
這把我們帶到一個重要定理：高斯—博內定理，它適用於緊致黎曼曲麵，以及其他任何無邊界的緊致曲麵。
“邊界”在拓撲中的定義很直觀：圓盤是有邊界的，亦即有明確界定的邊緣，而球麵則沒有。在球麵上，不管你朝哪個方向走，而且不管走多遠，都不會碰到或接近任何邊緣。
這個定理是在19世紀時由高斯和法國數學家博內（pierre bo）所提出的，它建立了曲麵的幾何性質及其拓撲性質之間的關係。
高斯—博內公式是說，上述曲麵的總高斯曲率（或高斯曲率的積分）等於2π乘以該曲麵的“歐拉示性數”（euler characteristic）。而歐拉示性數x（希臘字母chi）則又等於2-2g，其中g是曲麵的虧格（也就是曲麵的“洞”數或“把手”數）。舉例來說，二維球麵沒有洞，所以它的歐拉示性數是2。在此之前，歐拉提出了另一條求任何多麵體歐拉示性數的公式：x=v-e+f，其中v是頂點數，e是邊數，f是麵數。以四麵體為例，x=4-6+4=2，與球麵的x值相同。一個立方體有8個頂點、12個邊和6個麵，所以x=8-12+6=2，再次和球麵相同。因為歐拉示性數隻和物體的拓撲，而非幾何形狀有關，那麽這些幾何相異，但拓撲相同的物體有著相同的x值當然很合理。歐拉示性數x是空間的第一個主要的“拓撲不變量”，也就是在拓撲等價但外觀可能極為不同的各個空間上（例如球麵、四麵體和立方體），都能維持不變的性質。再迴到高斯—博內公式。由此，二維球麵的總高斯曲率是2πx2=4π。至於二維環麵，因為它的x是0（2-2g=2-2=0），所以環麵的總高斯曲率是0。把高斯—博內的原理推廣到更高維，就會把我們帶到陳氏類。
一個可賦向（或是有兩麵）的曲麵，拓撲上可由其歐拉示性數來描述。計算多麵體的歐拉示性數有一條簡單的公式（多麵體即是由平坦的麵和直線的邊所構成的形體）。歐拉示性數x等於頂點數減邊數，再加上麵數。對於本圖所示的長方體，其值為2。四麵體的歐拉示性數也是2（=4-6+4），四角錐也同樣是2（=5-8+5）。因為這些物體都是拓撲等價的，所以它們理所當然有著相同的歐拉示性數2
陳氏類是由我的指導老師陳省身所發展的理論，是一種在數學上刻畫不同複流形的概略方法。簡單來說，如果兩個流形的陳氏類不同，它們就不可能相同；反之卻不一定成立：兩個不同的流形可能具有相同的陳氏類。
複一維的黎曼麵隻有一個陳氏類，即第一陳氏類，而對於這個情況，正好等於歐拉示性數。一個流形的陳氏類數目，視其維數而定，例如複二維的流形具有第一和第二陳氏類。至於弦論所關心的複三維（或實六維）流形，則有三個陳氏類。它的第一陳氏類為六維空間中的實二維子空間（子流形）各對應到一整數，其中所謂子空間是原空間的一部分形體，就像紙張（二維）可以擺在辦公室（三維）裏一樣。類似地，第二陳氏類為空間中的實四維子流形各對應一整數。第二陳氏類則為這個複三維（或實六維）的流形本身指定一個數字，也就是歐拉示性數x。事實上，對於任何複n維的流形，它的最後一個，亦即第n個陳氏類必定對應到流形的歐拉示性數。
但陳氏類究竟告訴了我們什麽？或者說，指定這些數字的目的何在？其實這些數對於子流形本身並沒提供多少信息，但是對於整個流形，它們卻透露出許多重要的訊息。這在拓撲學是很常見的：當要了解複雜、高維的物體結構時，我們經常檢視此物體中的子物體的數目和類型。
打個比方，假設你給身在美國的每個人都編上不同編號。那麽，為個人指定的數字絲毫無助於理解他或她本人，但若把這些數字匯總起來，就可以呈現出更大的“物體”——美國本身——的重要情報，例如人口規模、人口成長率等。
我們還可以再舉一個具體實例，來解釋這個相當抽象的概念。讓我們依照慣例，從很簡單的物體開始。球麵是一個複一維或實二維的曲麵，它隻有一個陳氏類，在這個情況等於歐拉示性數。迴想一下，我們在第2章討論過，居住在球形行星上時，關於氣象學和流體力學的一些影響。例如風有沒有可能在地表上的每一點都是由西向東吹？在赤道以及赤道之外的任何緯度線，都很容易想象風如何向東吹。但是在南極和北極的極點（這兩點可以被視為奇點），卻根本沒有風，這是球麵幾何的必然結果。對於這種有著明顯例外的特殊點的曲麵，它的第一陳氏類不等於零。
第一陳氏類（對於本圖中的二維曲麵來說，正好等於歐拉示性數）與向量場中流動停滯的地方有關。在像地球的球麵上，我們可以看到兩個這樣的點。如果流動是從北極往南極流（左上圖），在兩個極點上，所有表示流動的向量會彼此抵消，因此淨流動為零。同理，如果流動是由西向東（右上圖）還是會有兩個根本沒有流動的停滯點，同樣又是出現在北極點和南極點，因為在此根本沒有西向、東向可言。如果是環麵，情形就不同了。在此，流動可以是鉛直的（左下圖）或水平的（右下圖），都不會遇到停滯點。由於環麵上的流動沒有奇點，所以它的第一陳氏類是零，而球麵的則不是零。
這把我們帶到一個重要定理：高斯—博內定理，它適用於緊致黎曼曲麵，以及其他任何無邊界的緊致曲麵。
“邊界”在拓撲中的定義很直觀：圓盤是有邊界的，亦即有明確界定的邊緣，而球麵則沒有。在球麵上，不管你朝哪個方向走，而且不管走多遠，都不會碰到或接近任何邊緣。
這個定理是在19世紀時由高斯和法國數學家博內（pierre bo）所提出的，它建立了曲麵的幾何性質及其拓撲性質之間的關係。
高斯—博內公式是說，上述曲麵的總高斯曲率（或高斯曲率的積分）等於2π乘以該曲麵的“歐拉示性數”（euler characteristic）。而歐拉示性數x（希臘字母chi）則又等於2-2g，其中g是曲麵的虧格（也就是曲麵的“洞”數或“把手”數）。舉例來說，二維球麵沒有洞，所以它的歐拉示性數是2。在此之前，歐拉提出了另一條求任何多麵體歐拉示性數的公式：x=v-e+f，其中v是頂點數，e是邊數，f是麵數。以四麵體為例，x=4-6+4=2，與球麵的x值相同。一個立方體有8個頂點、12個邊和6個麵，所以x=8-12+6=2，再次和球麵相同。因為歐拉示性數隻和物體的拓撲，而非幾何形狀有關，那麽這些幾何相異，但拓撲相同的物體有著相同的x值當然很合理。歐拉示性數x是空間的第一個主要的“拓撲不變量”，也就是在拓撲等價但外觀可能極為不同的各個空間上（例如球麵、四麵體和立方體），都能維持不變的性質。再迴到高斯—博內公式。由此，二維球麵的總高斯曲率是2πx2=4π。至於二維環麵，因為它的x是0（2-2g=2-2=0），所以環麵的總高斯曲率是0。把高斯—博內的原理推廣到更高維，就會把我們帶到陳氏類。
一個可賦向（或是有兩麵）的曲麵，拓撲上可由其歐拉示性數來描述。計算多麵體的歐拉示性數有一條簡單的公式（多麵體即是由平坦的麵和直線的邊所構成的形體）。歐拉示性數x等於頂點數減邊數，再加上麵數。對於本圖所示的長方體，其值為2。四麵體的歐拉示性數也是2（=4-6+4），四角錐也同樣是2（=5-8+5）。因為這些物體都是拓撲等價的，所以它們理所當然有著相同的歐拉示性數2
陳氏類是由我的指導老師陳省身所發展的理論，是一種在數學上刻畫不同複流形的概略方法。簡單來說，如果兩個流形的陳氏類不同，它們就不可能相同；反之卻不一定成立：兩個不同的流形可能具有相同的陳氏類。
複一維的黎曼麵隻有一個陳氏類，即第一陳氏類，而對於這個情況，正好等於歐拉示性數。一個流形的陳氏類數目，視其維數而定，例如複二維的流形具有第一和第二陳氏類。至於弦論所關心的複三維（或實六維）流形，則有三個陳氏類。它的第一陳氏類為六維空間中的實二維子空間（子流形）各對應到一整數，其中所謂子空間是原空間的一部分形體，就像紙張（二維）可以擺在辦公室（三維）裏一樣。類似地，第二陳氏類為空間中的實四維子流形各對應一整數。第二陳氏類則為這個複三維（或實六維）的流形本身指定一個數字，也就是歐拉示性數x。事實上，對於任何複n維的流形，它的最後一個，亦即第n個陳氏類必定對應到流形的歐拉示性數。
但陳氏類究竟告訴了我們什麽？或者說，指定這些數字的目的何在？其實這些數對於子流形本身並沒提供多少信息，但是對於整個流形，它們卻透露出許多重要的訊息。這在拓撲學是很常見的：當要了解複雜、高維的物體結構時，我們經常檢視此物體中的子物體的數目和類型。
打個比方，假設你給身在美國的每個人都編上不同編號。那麽，為個人指定的數字絲毫無助於理解他或她本人，但若把這些數字匯總起來，就可以呈現出更大的“物體”——美國本身——的重要情報，例如人口規模、人口成長率等。
我們還可以再舉一個具體實例，來解釋這個相當抽象的概念。讓我們依照慣例，從很簡單的物體開始。球麵是一個複一維或實二維的曲麵，它隻有一個陳氏類，在這個情況等於歐拉示性數。迴想一下，我們在第2章討論過，居住在球形行星上時，關於氣象學和流體力學的一些影響。例如風有沒有可能在地表上的每一點都是由西向東吹？在赤道以及赤道之外的任何緯度線，都很容易想象風如何向東吹。但是在南極和北極的極點（這兩點可以被視為奇點），卻根本沒有風，這是球麵幾何的必然結果。對於這種有著明顯例外的特殊點的曲麵，它的第一陳氏類不等於零。
第一陳氏類（對於本圖中的二維曲麵來說，正好等於歐拉示性數）與向量場中流動停滯的地方有關。在像地球的球麵上，我們可以看到兩個這樣的點。如果流動是從北極往南極流（左上圖），在兩個極點上，所有表示流動的向量會彼此抵消，因此淨流動為零。同理，如果流動是由西向東（右上圖）還是會有兩個根本沒有流動的停滯點，同樣又是出現在北極點和南極點，因為在此根本沒有西向、東向可言。如果是環麵，情形就不同了。在此，流動可以是鉛直的（左下圖）或水平的（右下圖），都不會遇到停滯點。由於環麵上的流動沒有奇點，所以它的第一陳氏類是零，而球麵的則不是零。