第一陳類等於零的二維複流形是有名的k3曲麵，托爾羅夫（todorov）用cbi-yau定理證明了其周期映射是滿射，蕭蔭堂利用cbi-yau度量證明了所有的k3曲麵都是卡勒曲麵。
而高維數的第一陳類為零的複流形的基本結構定理也隨之而來。
這些都是複幾何與代數幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想證明之前，人們毫無辦法，望而卻步。
最令人驚奇的是上世紀80年代初，超弦學家們認識到第一陳類等於零的三維複流形，恰好是他們的大統一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度裏主宰著我們大千世界的千變萬化。
這個發現引發了物理學的一場革命。
物理學家們興奮地把這類流形稱為cbi-yau空間，yau便是丘成桐的英文姓氏。
有興趣的朋友如果在google中輸入cbi-yau，就會發現近40萬個條目。以至於不少物理學家都以為cbi是丘成桐的名字。正如威滕（witten）所言，在這場物理學的革命中，每一個有重要貢獻的人都會名揚千古。
複二維（或實四維）的“k3曲麵”的第一陳氏類等於零（第6章會進一步討論k3曲麵）。根據卡拉比猜想，這表示k3曲麵就像環麵一樣，可以支持黎奇平坦度規。但是和歐拉示性數為零的二維環麵不同，k3曲麵的歐拉示性數是24。這裏的重點是，雖然在複一維時，歐拉示性數等於第一陳氏類，但在較高維度時，兩者間可能有極大差異。
很顯然，弦論需要的是更複雜的幾何形體，在葛林與史瓦茲成功化解宇稱破壞的問題之後，尋找這個幾何空間就變成當務之急。因為隻要找到卷曲額外六維的適當流形，物理學家就可以放手做一些真正的物理學了。最初的嚐試也是在1984年，葛林、史瓦茲，以及倫敦國王學院的魏斯特（peter west）決定檢視“k3曲麵”，這是數學家已經研究超過一世紀的一大類複流形，更何況我證明的卡拉比猜想，顯示這些曲麵上存在黎奇曲率為零的度規，因此k3曲麵當時更吸引物理學家的注意。史瓦茲迴憶說：“我理解的是，為了確定我們居住的較低維空間不具有正宇宙常數，這個緊致空間必須是黎奇平坦的，這是當時大家認定的宇宙事實。”（後來由於暗能量的發現，意味著宇宙常數是一個非常小但卻是正值的數，弦論學者設計了一個比較複雜的方法，從緊致黎奇平坦空間，推導出我們四維世界的微小宇宙常數，這是第10章討論的主題。）
k3曲麵的名稱既暗示它猶如世界第二高峰k2峰那麽崇高，又表示三位探討這個空間的數學家：庫默（ernst kummer）、前麵提到的凱勒以及小平邦彥（kunihiko kodaira）。不過k3曲麵隻是實四維（複二維）的流形，和弦論需要的六維不合，葛林、史瓦茲、魏斯特之所以選擇k3曲麵作為初始的研究目標，部分原因是有位同事告訴他們，已經沒有更高維的類似流形了。盡管如此，葛林說：“我自己絕不認為我們可以厘清這個問題……即使我們當時能得知正確的訊息（即存在類似黎奇平坦k3的六維流形）也一樣。”史瓦茲補充說，拿已被研究透徹的k3曲麵做嚐試，“並不是真的是要進行緊致化，我們隻是試試玩玩，看看能得到什麽，看它和反常消除能怎麽結合”。從此以後，k3曲麵一直是弦論學者重要又常用的緊致化“玩具模型”
k3曲麵也是探討弦論對偶理論的基本模型.
而高維數的第一陳類為零的複流形的基本結構定理也隨之而來。
這些都是複幾何與代數幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想證明之前，人們毫無辦法，望而卻步。
最令人驚奇的是上世紀80年代初，超弦學家們認識到第一陳類等於零的三維複流形，恰好是他們的大統一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度裏主宰著我們大千世界的千變萬化。
這個發現引發了物理學的一場革命。
物理學家們興奮地把這類流形稱為cbi-yau空間，yau便是丘成桐的英文姓氏。
有興趣的朋友如果在google中輸入cbi-yau，就會發現近40萬個條目。以至於不少物理學家都以為cbi是丘成桐的名字。正如威滕（witten）所言，在這場物理學的革命中，每一個有重要貢獻的人都會名揚千古。
複二維（或實四維）的“k3曲麵”的第一陳氏類等於零（第6章會進一步討論k3曲麵）。根據卡拉比猜想，這表示k3曲麵就像環麵一樣，可以支持黎奇平坦度規。但是和歐拉示性數為零的二維環麵不同，k3曲麵的歐拉示性數是24。這裏的重點是，雖然在複一維時，歐拉示性數等於第一陳氏類，但在較高維度時，兩者間可能有極大差異。
很顯然，弦論需要的是更複雜的幾何形體，在葛林與史瓦茲成功化解宇稱破壞的問題之後，尋找這個幾何空間就變成當務之急。因為隻要找到卷曲額外六維的適當流形，物理學家就可以放手做一些真正的物理學了。最初的嚐試也是在1984年，葛林、史瓦茲，以及倫敦國王學院的魏斯特（peter west）決定檢視“k3曲麵”，這是數學家已經研究超過一世紀的一大類複流形，更何況我證明的卡拉比猜想，顯示這些曲麵上存在黎奇曲率為零的度規，因此k3曲麵當時更吸引物理學家的注意。史瓦茲迴憶說：“我理解的是，為了確定我們居住的較低維空間不具有正宇宙常數，這個緊致空間必須是黎奇平坦的，這是當時大家認定的宇宙事實。”（後來由於暗能量的發現，意味著宇宙常數是一個非常小但卻是正值的數，弦論學者設計了一個比較複雜的方法，從緊致黎奇平坦空間，推導出我們四維世界的微小宇宙常數，這是第10章討論的主題。）
k3曲麵的名稱既暗示它猶如世界第二高峰k2峰那麽崇高，又表示三位探討這個空間的數學家：庫默（ernst kummer）、前麵提到的凱勒以及小平邦彥（kunihiko kodaira）。不過k3曲麵隻是實四維（複二維）的流形，和弦論需要的六維不合，葛林、史瓦茲、魏斯特之所以選擇k3曲麵作為初始的研究目標，部分原因是有位同事告訴他們，已經沒有更高維的類似流形了。盡管如此，葛林說：“我自己絕不認為我們可以厘清這個問題……即使我們當時能得知正確的訊息（即存在類似黎奇平坦k3的六維流形）也一樣。”史瓦茲補充說，拿已被研究透徹的k3曲麵做嚐試，“並不是真的是要進行緊致化，我們隻是試試玩玩，看看能得到什麽，看它和反常消除能怎麽結合”。從此以後，k3曲麵一直是弦論學者重要又常用的緊致化“玩具模型”
k3曲麵也是探討弦論對偶理論的基本模型.