另一個與卡拉比猜想密切相關的問題是代數幾何中全純向量叢的穩定性與其上的hermitian-einstein度量的對應問題，這個問題約化成一個與規範場理論相關的極為困難的非線性方程解的存在性問題。
1986年丘成桐與烏倫貝克（uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個問題。
稍後，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個問題解決。
1988年，辛普森（simpson）將這些結果推廣並與霍奇變分理論相結合，發展成為代數幾何中一個極為有效的工具。
凱勒流形的內在對稱性
我們花了點時間來討論度規，是為了要對凱勒度規和具備這種度規的凱勒流形能夠稍微有點概念。一個度規是否為凱勒，和在空間上移動時，度規如何變化有關。
凱勒流形是一組叫作“厄米特流形”（hermitian manifold）的複流形的子類。
在厄米特流形上，你可以把複數坐標的原點放在任何一點上，它在該點上的度規看起來像是標準的歐氏幾何度規。
但當你離開該點時，它的度規就愈來愈不像歐氏的。
更明確地說，當移動到與原點的距離為e時，度規係數本身的改變差異大致是e倍。我們將這樣的流形稱為“一階歐氏空間”。
所以如果e是0.001英寸（1英寸=2.54厘米），當我們離開e距離時，厄米特度規的係數與原先的差距會維持在約0.001英寸的誤差內。至於凱勒流形則是“二階歐氏空間”，這表示它的度規會更加穩定。當與原點的距離為e時，凱勒流形的度規係數的改變大致是e2倍。
沿用前麵的例子，當e=0.001英寸時，度規的變化誤差隻有0.000001英寸。
為何卡拉比要特別重視凱勒流形呢？要迴答這個問題，我們得先考慮可能的選擇範圍。
比方說，如果真的想要嚴格限製，你可以堅持流形必須是完全平坦的。
但隻要是二維以上的任何維度，唯一完全平坦的緊致流形就隻有環麵或它的近親。
就流形而言，環麵其實相當簡單，因而也相當受限。我們希望能夠更多樣，看到更多可能性。至於厄米特流形，則又嫌限製太少，它的可能性太多太多了。於是介於厄米特和平坦之間的凱勒流形，正具有幾何學家經常尋找的那種特質：它們具有足夠多的結構，因此不會難以操作，但是結構又不會多到限製過多，以至於根本找不到符合你的明確條件的流形。
1986年丘成桐與烏倫貝克（uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個問題。
稍後，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個問題解決。
1988年，辛普森（simpson）將這些結果推廣並與霍奇變分理論相結合，發展成為代數幾何中一個極為有效的工具。
凱勒流形的內在對稱性
我們花了點時間來討論度規，是為了要對凱勒度規和具備這種度規的凱勒流形能夠稍微有點概念。一個度規是否為凱勒，和在空間上移動時，度規如何變化有關。
凱勒流形是一組叫作“厄米特流形”（hermitian manifold）的複流形的子類。
在厄米特流形上，你可以把複數坐標的原點放在任何一點上，它在該點上的度規看起來像是標準的歐氏幾何度規。
但當你離開該點時，它的度規就愈來愈不像歐氏的。
更明確地說，當移動到與原點的距離為e時，度規係數本身的改變差異大致是e倍。我們將這樣的流形稱為“一階歐氏空間”。
所以如果e是0.001英寸（1英寸=2.54厘米），當我們離開e距離時，厄米特度規的係數與原先的差距會維持在約0.001英寸的誤差內。至於凱勒流形則是“二階歐氏空間”，這表示它的度規會更加穩定。當與原點的距離為e時，凱勒流形的度規係數的改變大致是e2倍。
沿用前麵的例子，當e=0.001英寸時，度規的變化誤差隻有0.000001英寸。
為何卡拉比要特別重視凱勒流形呢？要迴答這個問題，我們得先考慮可能的選擇範圍。
比方說，如果真的想要嚴格限製，你可以堅持流形必須是完全平坦的。
但隻要是二維以上的任何維度，唯一完全平坦的緊致流形就隻有環麵或它的近親。
就流形而言，環麵其實相當簡單，因而也相當受限。我們希望能夠更多樣，看到更多可能性。至於厄米特流形，則又嫌限製太少，它的可能性太多太多了。於是介於厄米特和平坦之間的凱勒流形，正具有幾何學家經常尋找的那種特質：它們具有足夠多的結構，因此不會難以操作，但是結構又不會多到限製過多，以至於根本找不到符合你的明確條件的流形。