莫爾斯考慮研究微分拓撲需要找到一個切入點。
這個切入點就是流形的表麵，也就是這個流形的臨界麵，這個臨界麵雖然僅僅是表皮，但是依然能夠反映出流形的內部信息，甚至是流形的全部信息。
莫爾斯理論(morse theory)是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函數(稱為莫爾斯函數)研究所給流形性質的分支。它是h.m.莫爾斯在20世紀30年代創立的。
莫爾斯理論是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函數(稱為莫爾斯函數)研究所給流形性質的分支。它是h.m.莫爾斯在20世紀30年代創立的。由莫爾斯理論得知，微分流形與其上的光滑函數緊密相關，利用光滑函數不僅能研究微分流形的局部性質，而且某些光滑函數例如莫爾斯函數包含了刻劃流形整體性質的豐富信息。莫爾斯理論主要分兩部分，一是臨界點理論，一是它在大範圍變分問題上的應用。
莫爾斯理論是研究可微流形m上定義的可微實函數f的性質與流形m的拓撲與幾何性質相互關係的數學分支。給定拓撲空間x與其上的連續實函數f，則稱定義了變分問題(x，f).大範圍變分法即是對於給出的變分問題(x，f)，以函數f的性質與空間x的性質之間的關係作為研究對象的數學分支。在應用上重要的變分問題有：
1.與可微函數f有關的問題；
2.與由道路構成的空間Ω上的能量函數e有關的問題。
其中特別是問題2是以黎曼流形上的測地線理論為基礎，因而是以普通的變分法為其分析學基礎的。
問題1和2是由龐加萊與伯克霍夫(birkhoff，g.d.)所開創，莫爾斯(morse，h.m.)把它們發展成近代的樣子，即莫爾斯理論。
繼莫爾斯以後，柳斯捷爾尼克(Люctephnk，Л.А.)和施尼雷爾曼(whnpeльmah，Л.Г.)開辟了另一條估計臨界點個數的途徑，即利用疇數來估計流形上函數的臨界點。
而斯梅爾(smale，s.)把莫爾斯理論中梯度向量場零點的問題推廣為流形m上一般向量場的零點問題，從而導致維數n≥5情形廣義龐加萊猜測的解決，這是微分拓撲中的一個重大成就。
其次，由於測地線問題是一維變分問題，故可使得無限維空間Ω上的問題，化為有限維流形上的臨界點問題。
但是對於多維變分問題，無法做到這一點，這就使得發展無限維流形上的莫爾斯理論成為需要。總之，近年來莫爾斯理論被進一步推廣和精密化，並應用於微分拓撲、微分幾何、偏微分方程、楊-米爾斯方程等各個數學領域而取得重要的結果。
根據莫爾斯的基本見解，一個流形上的一個可微函數在典型的情況下，很直接的反映了該流形的拓撲。
莫爾斯理論允許人們在流形上找到cw結構和柄分解，並得到關於它們的同調群的信息。
在莫爾斯之前，凱萊和麥克斯韋在製圖學的情況下發展了莫爾斯理論中的一些思想。
莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量函數的臨界點）。
在數學中，k-理論（k-theory）是多個領域使用的一個工具。
在代數拓撲中，它是一種異常上同調，稱為拓撲k-理論；在代數與代數幾何中，稱之為代數k-理論；在算子代數中也有諸多應用。
它導致了一類k-函子構造，k-函子包含了有用、卻難以計算的信息。
在物理學中，k-理論特別是扭曲k-理論出現在第二型弦理論，其中猜測它們可分類d-膜、拉蒙-拉蒙場以及廣義複流形上某些旋量。
這個切入點就是流形的表麵，也就是這個流形的臨界麵，這個臨界麵雖然僅僅是表皮，但是依然能夠反映出流形的內部信息，甚至是流形的全部信息。
莫爾斯理論(morse theory)是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函數(稱為莫爾斯函數)研究所給流形性質的分支。它是h.m.莫爾斯在20世紀30年代創立的。
莫爾斯理論是微分拓撲學中利用微分流形上僅具非退化臨界點的實值可微函數(稱為莫爾斯函數)研究所給流形性質的分支。它是h.m.莫爾斯在20世紀30年代創立的。由莫爾斯理論得知，微分流形與其上的光滑函數緊密相關，利用光滑函數不僅能研究微分流形的局部性質，而且某些光滑函數例如莫爾斯函數包含了刻劃流形整體性質的豐富信息。莫爾斯理論主要分兩部分，一是臨界點理論，一是它在大範圍變分問題上的應用。
莫爾斯理論是研究可微流形m上定義的可微實函數f的性質與流形m的拓撲與幾何性質相互關係的數學分支。給定拓撲空間x與其上的連續實函數f，則稱定義了變分問題(x，f).大範圍變分法即是對於給出的變分問題(x，f)，以函數f的性質與空間x的性質之間的關係作為研究對象的數學分支。在應用上重要的變分問題有：
1.與可微函數f有關的問題；
2.與由道路構成的空間Ω上的能量函數e有關的問題。
其中特別是問題2是以黎曼流形上的測地線理論為基礎，因而是以普通的變分法為其分析學基礎的。
問題1和2是由龐加萊與伯克霍夫(birkhoff，g.d.)所開創，莫爾斯(morse，h.m.)把它們發展成近代的樣子，即莫爾斯理論。
繼莫爾斯以後，柳斯捷爾尼克(Люctephnk，Л.А.)和施尼雷爾曼(whnpeльmah，Л.Г.)開辟了另一條估計臨界點個數的途徑，即利用疇數來估計流形上函數的臨界點。
而斯梅爾(smale，s.)把莫爾斯理論中梯度向量場零點的問題推廣為流形m上一般向量場的零點問題，從而導致維數n≥5情形廣義龐加萊猜測的解決，這是微分拓撲中的一個重大成就。
其次，由於測地線問題是一維變分問題，故可使得無限維空間Ω上的問題，化為有限維流形上的臨界點問題。
但是對於多維變分問題，無法做到這一點，這就使得發展無限維流形上的莫爾斯理論成為需要。總之，近年來莫爾斯理論被進一步推廣和精密化，並應用於微分拓撲、微分幾何、偏微分方程、楊-米爾斯方程等各個數學領域而取得重要的結果。
根據莫爾斯的基本見解，一個流形上的一個可微函數在典型的情況下，很直接的反映了該流形的拓撲。
莫爾斯理論允許人們在流形上找到cw結構和柄分解，並得到關於它們的同調群的信息。
在莫爾斯之前，凱萊和麥克斯韋在製圖學的情況下發展了莫爾斯理論中的一些思想。
莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量函數的臨界點）。
在數學中，k-理論（k-theory）是多個領域使用的一個工具。
在代數拓撲中，它是一種異常上同調，稱為拓撲k-理論；在代數與代數幾何中，稱之為代數k-理論；在算子代數中也有諸多應用。
它導致了一類k-函子構造，k-函子包含了有用、卻難以計算的信息。
在物理學中，k-理論特別是扭曲k-理論出現在第二型弦理論，其中猜測它們可分類d-膜、拉蒙-拉蒙場以及廣義複流形上某些旋量。