英國數學家威廉·伯恩賽德在講一些數學問題的時候，經常把表示理論這樣的詞說出來。
喬迪·威廉姆森說：“你一直說表示理論，這樣的詞，這是你的口頭禪，還是一個數學理論。”
伯恩賽德說：“是一個理論。”
喬迪懷疑的問到：“表示的是什麽？”
伯恩賽德說：“就是一種是一種把複雜的事物用較簡單的事物‘表示’的方法。”
喬迪說：“我問的具體的是什麽？是群？”
伯恩賽德說：“即使是群也有很多中不同的表示呢？”
喬迪歎氣說：“我試著猜猜，比如用不可約群的組成來表示任何一個群這一類型的對吧？”
伯恩賽德說：“這是其中之一，複雜的對象通常是數學對象的集合，比如數字或對稱性，它們彼此之間有著特殊的結構關係。”
喬迪說：“聽起來不像是新東西，就是一個東西找基本單位而已。”
伯恩賽德說：“在1897年的時候，我覺得這種非正統的觀點根本不會產生任何新結果。我隻是在用矩陣的方法表示一切，畢竟數學家基本上知道關於矩陣的一切。它是為數不多的被完全理解的數學科目之一。而且他完善到可以表示任何一種東西。”
喬迪說：“可問題是，關於你說的表示理論，研究這個問題是否合理，現在還不清楚。”
伯恩賽德說：“這種問題讓人難以察覺，但是隨著數學的深入發展，肯定越來越重要。比如群組很重要，我們要把它們表示出來，而比較簡單的對象是稱為矩陣的數字數組，它是線性代數的核心元素。群組是抽象的，通常很難掌握，而矩陣和線性代數是基本的。要了解如何用矩陣表示群組，有必要依次考慮每個對象。”
喬迪說：“恩，比如李群的表示就需要這樣。”
伯恩賽德說：“舉個粒子，考慮一個等邊三角形的六種對稱性：兩個旋轉對稱，120度和240度，三種反射對稱，從每個頂點繪製的線穿過對邊的中點，一個恆等對稱，對三角形不做任何改變。這六種對稱形成了一個封閉的元素宇宙，也就是一個群組，它的正式名稱是s_3。它們組成了一個組，因為您可以按任意順序將任意數量的它們應用到三角形中，並且最終結果將與僅應用一個對稱性相同。例如，先反射三角形，然後將它旋轉120度，重新排列頂點，就像你僅僅執行了一個不同的對稱變換一樣。數學家將兩種對稱的結合稱為合成：一組反射與另一組旋轉的一個組合產生第三組，稱之為不同的反射。你可以像數學家一樣，把合成看作是乘法運算。如果考慮非零實數，這是最容易看出的，它們也構成了一組。實數有一個單位元素，用數字1。任何與1組合或乘以1的實數保持不變。你也可以乘任意實數的組合，以任何你想要的順序，乘積總是一個實數。數學家們說，實數組在乘法下是“封閉的”，這意味著你不會僅僅通過元素的乘法就離開這個實數集群組。”
喬迪說：“要按照你說的那個例子，李群包含無限多個元素，而不是六個元素。”
伯恩賽德說：“沒錯，要解決一個重要的問題，往往需要理解與之相關的特定群組。但是大多數群組比等邊三角形的對稱群組更難理解。我們不可避免要麵對表示理論的領域，它把有時神秘的群組的世界轉換成充分約束的線性代數領域。”
喬迪說：“是的，它們編碼質數、幾何空間和幾乎所有數學家最關心的東西的信息。”
伯恩賽德說：“隻不過你要用矩陣，也就是線性代數來表示這些，裏麵就會出現擴大、平移、反轉、剪切、選擇和反射這樣的詞匯。這些就相當與我們數學中的加減乘除這樣的東西一般。”
喬迪說：“我剛剛想多了，還以為你找到你加減乘除模之外的新的運算方式呢。”
伯恩賽德說：“表示理論根據一定的規則，為群組中的每個元素分配一個矩陣，從而在群組理論和線性代數之間架起了一座橋梁。例如，必須將群組中的單位元素分配為單位矩陣。分配還必須尊重群組中元素之間的關係。如果一個反射乘以給定的旋轉等於第二次反射，那麽分配給第一次反射的矩陣乘以分配給旋轉的矩陣必須等於分配給第二次反射的矩陣。符合這些要求的矩陣集合稱為群組的表示。該表示提供了一組簡化的圖像，就像黑白圖像可以作為原始彩色圖像的低成本模板。換句話說，它“記住”了關於這個群組的一些基本但重要的信息，卻忽略了其他的信息。數學家的目標是避免糾纏於一個群組的全部複雜性；相反，他們通過觀察它在轉化為簡化的線性變換格式時的行為來了解它的性質。”
喬迪說：“一個群組幾乎總是可以以多種方式表示。例如，s_3在使用實數填充矩陣時有三種不同的表示：簡單表示、反射表示和符號表示。”
伯恩賽德說：“我們進下來的工作就是將給定群組的表示形式整理成一個表，稱為字符表，該表總結了有關組的信息。行引用每個不同的表示，列指的是這個表示中的重要矩陣：分配給組中的單位元素的矩陣，以及分配給組中“生成”元素的矩陣，這些元素一起產生所有其他元素。表中的條目是一個稱為每個矩陣的“trace”的值，通過對從矩陣左上角到右下角的對角條目求和來計算。字符表提供了該組的簡化圖。其中的每個表示提供的信息略有不同。數學家將各種觀點結合成一個整體印象。”
喬迪說：“你有很多不同的表征，它們記住不同的東西，當你把所有的信息放在一起時，你就能在某種意義上看到你的團隊的這種萬花筒般的畫麵。”
伯恩賽德說：“當然，我們肯定就是要把問題簡化，所以一些最有效的表示法既不涉及實數也不涉及複數。相反，他們使用的是帶有“模塊化”數字係統的條目的矩陣。這是時鍾算術的世界，在這個世界裏，7 + 6環繞12小時的時鍾等於1。具有相同字符表，使用實數表示的兩組可能具有不同的字符表的使用模塊化表示，從而允許你將它們區分開來。”
自一個多世紀以來，“表示理論”一直是許多最重要的數學發現的關鍵成分。然而，它的用處在一開始還是很難被察覺。
今天，“表示理論”是許多數學領域的中心工具（代數，拓撲，幾何，數學物理和數論等）。這種表示理論的哲學在20世紀下半葉已經吞噬了大量的數學。
表示理論在安德魯·懷爾斯1994年對費馬最後定理的裏程碑式證明中發揮了重要作用。問題是關於a^n + b^n = c^n這種形式的方程是否存在整數解。
懷爾斯證明當n大於2時，不存在這樣的解。然而，直接證明它的不存在太困難了。
相反，懷爾斯使用的是一組模塊表示，如果群組存在的話，這些表示就會被附加到組上。他證明了這一族模表示不存在，這意味著群組不存在，這意味著解也不存在。
這也就意味著，在威廉·伯恩賽德認為表征理論無用的100年後，它成為了20世紀最著名的證明理論的關鍵組成部分。
溫斯坦說:“我無法想象費馬最後定理的任何證明，都與表示理論無關。”
喬迪·威廉姆森說：“你一直說表示理論，這樣的詞，這是你的口頭禪，還是一個數學理論。”
伯恩賽德說：“是一個理論。”
喬迪懷疑的問到：“表示的是什麽？”
伯恩賽德說：“就是一種是一種把複雜的事物用較簡單的事物‘表示’的方法。”
喬迪說：“我問的具體的是什麽？是群？”
伯恩賽德說：“即使是群也有很多中不同的表示呢？”
喬迪歎氣說：“我試著猜猜，比如用不可約群的組成來表示任何一個群這一類型的對吧？”
伯恩賽德說：“這是其中之一，複雜的對象通常是數學對象的集合，比如數字或對稱性，它們彼此之間有著特殊的結構關係。”
喬迪說：“聽起來不像是新東西，就是一個東西找基本單位而已。”
伯恩賽德說：“在1897年的時候，我覺得這種非正統的觀點根本不會產生任何新結果。我隻是在用矩陣的方法表示一切，畢竟數學家基本上知道關於矩陣的一切。它是為數不多的被完全理解的數學科目之一。而且他完善到可以表示任何一種東西。”
喬迪說：“可問題是，關於你說的表示理論，研究這個問題是否合理，現在還不清楚。”
伯恩賽德說：“這種問題讓人難以察覺，但是隨著數學的深入發展，肯定越來越重要。比如群組很重要，我們要把它們表示出來，而比較簡單的對象是稱為矩陣的數字數組，它是線性代數的核心元素。群組是抽象的，通常很難掌握，而矩陣和線性代數是基本的。要了解如何用矩陣表示群組，有必要依次考慮每個對象。”
喬迪說：“恩，比如李群的表示就需要這樣。”
伯恩賽德說：“舉個粒子，考慮一個等邊三角形的六種對稱性：兩個旋轉對稱，120度和240度，三種反射對稱，從每個頂點繪製的線穿過對邊的中點，一個恆等對稱，對三角形不做任何改變。這六種對稱形成了一個封閉的元素宇宙，也就是一個群組，它的正式名稱是s_3。它們組成了一個組，因為您可以按任意順序將任意數量的它們應用到三角形中，並且最終結果將與僅應用一個對稱性相同。例如，先反射三角形，然後將它旋轉120度，重新排列頂點，就像你僅僅執行了一個不同的對稱變換一樣。數學家將兩種對稱的結合稱為合成：一組反射與另一組旋轉的一個組合產生第三組，稱之為不同的反射。你可以像數學家一樣，把合成看作是乘法運算。如果考慮非零實數，這是最容易看出的，它們也構成了一組。實數有一個單位元素，用數字1。任何與1組合或乘以1的實數保持不變。你也可以乘任意實數的組合，以任何你想要的順序，乘積總是一個實數。數學家們說，實數組在乘法下是“封閉的”，這意味著你不會僅僅通過元素的乘法就離開這個實數集群組。”
喬迪說：“要按照你說的那個例子，李群包含無限多個元素，而不是六個元素。”
伯恩賽德說：“沒錯，要解決一個重要的問題，往往需要理解與之相關的特定群組。但是大多數群組比等邊三角形的對稱群組更難理解。我們不可避免要麵對表示理論的領域，它把有時神秘的群組的世界轉換成充分約束的線性代數領域。”
喬迪說：“是的，它們編碼質數、幾何空間和幾乎所有數學家最關心的東西的信息。”
伯恩賽德說：“隻不過你要用矩陣，也就是線性代數來表示這些，裏麵就會出現擴大、平移、反轉、剪切、選擇和反射這樣的詞匯。這些就相當與我們數學中的加減乘除這樣的東西一般。”
喬迪說：“我剛剛想多了，還以為你找到你加減乘除模之外的新的運算方式呢。”
伯恩賽德說：“表示理論根據一定的規則，為群組中的每個元素分配一個矩陣，從而在群組理論和線性代數之間架起了一座橋梁。例如，必須將群組中的單位元素分配為單位矩陣。分配還必須尊重群組中元素之間的關係。如果一個反射乘以給定的旋轉等於第二次反射，那麽分配給第一次反射的矩陣乘以分配給旋轉的矩陣必須等於分配給第二次反射的矩陣。符合這些要求的矩陣集合稱為群組的表示。該表示提供了一組簡化的圖像，就像黑白圖像可以作為原始彩色圖像的低成本模板。換句話說，它“記住”了關於這個群組的一些基本但重要的信息，卻忽略了其他的信息。數學家的目標是避免糾纏於一個群組的全部複雜性；相反，他們通過觀察它在轉化為簡化的線性變換格式時的行為來了解它的性質。”
喬迪說：“一個群組幾乎總是可以以多種方式表示。例如，s_3在使用實數填充矩陣時有三種不同的表示：簡單表示、反射表示和符號表示。”
伯恩賽德說：“我們進下來的工作就是將給定群組的表示形式整理成一個表，稱為字符表，該表總結了有關組的信息。行引用每個不同的表示，列指的是這個表示中的重要矩陣：分配給組中的單位元素的矩陣，以及分配給組中“生成”元素的矩陣，這些元素一起產生所有其他元素。表中的條目是一個稱為每個矩陣的“trace”的值，通過對從矩陣左上角到右下角的對角條目求和來計算。字符表提供了該組的簡化圖。其中的每個表示提供的信息略有不同。數學家將各種觀點結合成一個整體印象。”
喬迪說：“你有很多不同的表征，它們記住不同的東西，當你把所有的信息放在一起時，你就能在某種意義上看到你的團隊的這種萬花筒般的畫麵。”
伯恩賽德說：“當然，我們肯定就是要把問題簡化，所以一些最有效的表示法既不涉及實數也不涉及複數。相反，他們使用的是帶有“模塊化”數字係統的條目的矩陣。這是時鍾算術的世界，在這個世界裏，7 + 6環繞12小時的時鍾等於1。具有相同字符表，使用實數表示的兩組可能具有不同的字符表的使用模塊化表示，從而允許你將它們區分開來。”
自一個多世紀以來，“表示理論”一直是許多最重要的數學發現的關鍵成分。然而，它的用處在一開始還是很難被察覺。
今天，“表示理論”是許多數學領域的中心工具（代數，拓撲，幾何，數學物理和數論等）。這種表示理論的哲學在20世紀下半葉已經吞噬了大量的數學。
表示理論在安德魯·懷爾斯1994年對費馬最後定理的裏程碑式證明中發揮了重要作用。問題是關於a^n + b^n = c^n這種形式的方程是否存在整數解。
懷爾斯證明當n大於2時，不存在這樣的解。然而，直接證明它的不存在太困難了。
相反，懷爾斯使用的是一組模塊表示，如果群組存在的話，這些表示就會被附加到組上。他證明了這一族模表示不存在，這意味著群組不存在，這意味著解也不存在。
這也就意味著，在威廉·伯恩賽德認為表征理論無用的100年後，它成為了20世紀最著名的證明理論的關鍵組成部分。
溫斯坦說:“我無法想象費馬最後定理的任何證明，都與表示理論無關。”