若爾當與赫爾德開始一起研究群的東西。
若爾當對赫爾德說：“很多人講不清楚群論的問題，其實我這裏有個很好的解釋的角度。”
赫爾德說：“說說看，如何可以更容易理解？”
若爾當說：“其實就是給各種各樣的對稱性分類。”
赫爾德說：“對稱性有幾類，有可以分的嗎？不就是點對稱和軸對稱。難道還有第三種？”
若爾當笑說：“狹隘了吧，對稱分很多種呢。”
赫爾德說：“鼓弄玄虛那吧？所有的對稱性無非就是這兩種對稱的堆砌。”
若爾當說：“還有一種輪換對稱性，就是我給你掃地，你給他掃地，他給我掃地。這也是一種對稱，是啊！你沒有想過這個挺常見的問題嗎？”
赫爾德想了想，確實沒有不能用軸對稱和點對稱來表示這種輪換對稱。
赫爾德也覺得這種輪換對稱，也是一種對稱性，也有實際用途。
想了良久，對若爾當說：“那對稱的基本定義是什麽？是幹什麽用？需要用什麽樣的數學符號嚴格規定？”
若爾當苦笑：“我隻是想到了輪換對稱性，但不知道對稱性到底該怎麽弄。”
赫爾德繼續思索，感覺對稱性的最重要宗旨就是，不變性，最終沒有改變，或者是一個規則的限製內，就是對稱。
赫爾德說：“不論是點對稱還是軸對稱，都是一種東西，經過對稱變換之後，沒有脫離這一套東西。這一套東西，我們姑且叫做群。點對稱和軸對稱是一個東西變成這個東西的另外一個位置而已，東西本身沒有什麽變化。而你說的輪換對稱性，它也是一種變換之後，又迴到了自己，然後就是周期性的變化了。”
赫爾德沉浸在自己的思維裏，而若爾當說：“我們剛剛考慮的兩個和三個的對稱，那麽四個輪換對稱，其實更加複雜，可能還會有一種內在的對角線交叉結構。”
赫爾德說：“以此類推的話，那這些對稱就是有兩種東西構造的，一個是對象，一個是作用方式。我們隻需要給一個作用方式即可。那麽，按照你的那個方法，就會找到很多種對稱方式了，也就是找到了很多種群。這些群都具備循環不變的性質，就叫循環群。但是我們知道了這些循環後，會發現他們不像數學那麽簡單。”
若爾當說：“所以，我們需要對這些群分類。”
赫爾德說：“如何去分，才能達到真正的分類效果呢？”
若爾當開始作圖，赫爾德也開始跟著作圖和寫數學符號。
之後若爾當說：“找到其中的一些不變量，如果兩個循環群的這種不變量是相等的，就可以證明這兩個群是相等的，或者是這兩種對稱是相等的，不管這兩種對稱看起來都多不一樣。”
赫爾德說：“我找到了一種可以將複雜對稱性拆分的方式，如果拆分後那些不變量是相同的，就可以認定這兩種對稱性相同。”
若爾當說：“我剛剛看到一個12階長的循環群，發現有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12這樣的拆分方式，這種拆分就是前麵是後麵群的子群了。發現他們都是可以拆成4步。同時繼續讓後麵對前麵做商後，又稱為2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。這三組的商是相同的數字，隻是順序不一樣罷了。”
赫爾德說：“照你這麽說，若群或r模 m有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。”
若爾當-赫爾德定理，證明了每一滿足阿基米德性質的全序群都同構於實數的加法群的某一子群，200階以下簡單群的分類，發現了對稱群s6的異常外自同構。
若爾當對赫爾德說：“很多人講不清楚群論的問題，其實我這裏有個很好的解釋的角度。”
赫爾德說：“說說看，如何可以更容易理解？”
若爾當說：“其實就是給各種各樣的對稱性分類。”
赫爾德說：“對稱性有幾類，有可以分的嗎？不就是點對稱和軸對稱。難道還有第三種？”
若爾當笑說：“狹隘了吧，對稱分很多種呢。”
赫爾德說：“鼓弄玄虛那吧？所有的對稱性無非就是這兩種對稱的堆砌。”
若爾當說：“還有一種輪換對稱性，就是我給你掃地，你給他掃地，他給我掃地。這也是一種對稱，是啊！你沒有想過這個挺常見的問題嗎？”
赫爾德想了想，確實沒有不能用軸對稱和點對稱來表示這種輪換對稱。
赫爾德也覺得這種輪換對稱，也是一種對稱性，也有實際用途。
想了良久，對若爾當說：“那對稱的基本定義是什麽？是幹什麽用？需要用什麽樣的數學符號嚴格規定？”
若爾當苦笑：“我隻是想到了輪換對稱性，但不知道對稱性到底該怎麽弄。”
赫爾德繼續思索，感覺對稱性的最重要宗旨就是，不變性，最終沒有改變，或者是一個規則的限製內，就是對稱。
赫爾德說：“不論是點對稱還是軸對稱，都是一種東西，經過對稱變換之後，沒有脫離這一套東西。這一套東西，我們姑且叫做群。點對稱和軸對稱是一個東西變成這個東西的另外一個位置而已，東西本身沒有什麽變化。而你說的輪換對稱性，它也是一種變換之後，又迴到了自己，然後就是周期性的變化了。”
赫爾德沉浸在自己的思維裏，而若爾當說：“我們剛剛考慮的兩個和三個的對稱，那麽四個輪換對稱，其實更加複雜，可能還會有一種內在的對角線交叉結構。”
赫爾德說：“以此類推的話，那這些對稱就是有兩種東西構造的，一個是對象，一個是作用方式。我們隻需要給一個作用方式即可。那麽，按照你的那個方法，就會找到很多種對稱方式了，也就是找到了很多種群。這些群都具備循環不變的性質，就叫循環群。但是我們知道了這些循環後，會發現他們不像數學那麽簡單。”
若爾當說：“所以，我們需要對這些群分類。”
赫爾德說：“如何去分，才能達到真正的分類效果呢？”
若爾當開始作圖，赫爾德也開始跟著作圖和寫數學符號。
之後若爾當說：“找到其中的一些不變量，如果兩個循環群的這種不變量是相等的，就可以證明這兩個群是相等的，或者是這兩種對稱是相等的，不管這兩種對稱看起來都多不一樣。”
赫爾德說：“我找到了一種可以將複雜對稱性拆分的方式，如果拆分後那些不變量是相同的，就可以認定這兩種對稱性相同。”
若爾當說：“我剛剛看到一個12階長的循環群，發現有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12這樣的拆分方式，這種拆分就是前麵是後麵群的子群了。發現他們都是可以拆成4步。同時繼續讓後麵對前麵做商後，又稱為2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。這三組的商是相同的數字，隻是順序不一樣罷了。”
赫爾德說：“照你這麽說，若群或r模 m有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。”
若爾當-赫爾德定理，證明了每一滿足阿基米德性質的全序群都同構於實數的加法群的某一子群，200階以下簡單群的分類，發現了對稱群s6的異常外自同構。