《数学心》 关联与推广 以下词条具备关联性，我想以此能从中有所发现。 绝对空间-水桶转动-旋转相对性-自旋-内禀属性-费米子-纠缠态-3纠缠多纠缠-阻挫系统 波粒二象性（单个球变成无穷多后的波浪）-不确定性-量子化-振动木板上盐图-膜形式 湍流、流体-维纳斯托克斯方程-光流和水流的快慢-引力波流-混沌学-随机数-密码学-引力以及天体力学 混沌学-随机数-密码学-力学辛几何（流体稳定态） 迈克尔逊-莫雷实验-索菲实验-单光真空是否符合-引力波探测器原理 光速测量-光腔测量-光子与引力波关联推导光速-波包 光子、电磁波 pnp-算法复杂性分类-分布式计算-gpu原理-大计算机的原理-量子计算机 n体力学-流体力学-纠缠态-外星人拿多个等大星球阵列做量子力学实验 人工智能- 引力、引力波速度-引力波阵列探测器-引力波望远镜-引力波透镜望远镜 真空涨落-不确定性原理-波粒二象性-德布罗意物质波 量子涨落、量子化-水波浪花-稳定态-亚稳定态 希格斯粒子-质量-能量-对称破缺-非稳定态 场论-均匀场-电磁场-强、弱场-弱电统一-三力统一-qed-qcd-弦论-圈量子理论 弱场-对称破缺-反物质-宇宙总能量不为零-中微子 中微子震荡-地下探测器探测高能粒子- 暗物质-暗能量-轴子-超引力-对星系测量方法 质能变换-能量是光子-光子是量子-物质和光子如何相互转换（内在结构稳定和亚稳定态的量子涨落？） 纽结理论-结绳记事-拓扑学 图论-拉普拉斯矩阵-pnp问题-最短路径问题-齐拉姆二染色-朋友之间认识不认识 模形式-椭圆曲线-概型理论-仿射-代数簇-环-抽象代数-二维周期 椭圆曲线-三个积分方程-自守形式（三角函数演化） 矩阵-方程组计算-简化-坐标系扭曲-信息存储-信息密码转化-表格属性转化 仿射投影-不同坐标-不同曲线之间变换 高维空间-杨辉三角-毕克定理 环-理想-素谱-群（加乘法是否会统一？）-域-多项式环-左右环（左右代表顺序的先后） 多项式-任何问题是否可以转化成代数学问题-任何问题让一阶逻辑谓词表示-自动机理论 代数簇-环对应-概型理论-费马大定理-bsd理论 谱-素谱-矩阵特征数-光谱 弦论-β函数 β函数-二项式分布统计方程-高斯分布-泊松分布-叶贝丝-马尔科夫链-马尔科夫链矩阵 β函数-γ函数-阶乘-γ函数的推广 第一章 蜜蜂的房屋 蜜蜂极古之时，采蜜做为自己的食物，需要有自己建造一个放食物的地方，让自己的食物可以保存，同时有窝让自己居住。 蜜蜂甲乙丙丁等开始去造房屋，但是在造房屋这种问题上，各自有分歧了。 蜜蜂的对话也颇为简单，他们不像人类使用喉咙发声说话的，事儿在空中飞来飞去画出很多形状来实现跟其他蜜蜂的对话的。所以蜜蜂直接除了努力的工作以外，还要时不时的看着其他伙伴是不是准备要说话。 蜜蜂甲说：“我们不能随随便便制造屋子，造出不规则的屋子，除了不稳定导致塌陷，还容易造成迷路。” 蜜蜂乙说：“那我们应该要造什么形状的屋子呢？弄出一个形状，让这个形状组合起来，应该会比较好一些。” 蜜蜂丙说：“弄出一堆圆形的吧，圆形简单也好弄。” 蜜蜂乙说：“圆形虽然难度不大，但是不好堆叠起来，叠起来容易留下一道缝。” 蜜蜂丁说：“我弄出了一个三角形的，可以拼接起来，这样就可以严丝合缝了。” 甲说：“可以这样子，我们弄成三角形口的蜂巢。” 乙说：“听着不错，只是觉得不对劲，我也说不清不对劲在哪里。” 几个蜜蜂尝试一开始建造了三角形的，发现不仅仅费料子，而且有时候还不容易钻进去。 丙说：“觉得三角形尖尖的部分有些浪费的话，就可以弄成正方形的，这样差不多了。” 甲说：“也没问题，可以这样弄。” 乙说：“是严丝合缝的，但是有些不稳定，稳定性还不如三角形的呢。唯一的优点是正方形的比三角形的剩下材料。” 几个蜜蜂还是尝试的制造了正方形的蜂窝口，果真像乙说的，墙壁容易受力边歪歪斜斜，也费料子。 丙说：“五边形不容易叠起来，还得混杂其他形状，比如四边形和五边形混合的那种。” 这个方案被大家直接否决，因为复杂，所以大家都不敢用。 丁说：“要不用六边形吧。” 乙说：“没错，我突然觉得六边形最完美。六边形接近圆形，而且比起三角形和四边形都剩料子。” 后来蜜蜂商量好了就用六边形。不费脑子又省料子，谁不喜欢。 七边型没办法堆叠起来，更多的就更不可以了。 第二章 蚂蚁搬东西 一堆蚂蚁要把一堆东西给搬回窝里。 蚂蚁王此刻对大家下令：“现在洞穴里食物的量快不够用了，我命令大家要出洞寻找食物。” 这时蚂蚁按照往常的习惯，每个蚂蚁分成各路不同的队伍，然后往各个方向去看看哪里有食物。 蚂蚁甲年纪比蚂蚁乙小，对很多事情都还不了解。蚂蚁甲说：“为什么寻找食物要一个队伍一个队伍的出动呢？一个蚂蚁不够吗？” 蚂蚁乙说：“派出队伍而不是单个蚂蚁的原因，是因为队伍除了能抬比较重的东西以外，还可以让剩下的蚂蚁看看周围是否还有其他食物，同时也能为其他方向的蚂蚁报信，让更多的蚂蚁来到这里来搬食物。” 蚂蚁甲说：“这个事情会有分工吗？” 蚂蚁乙说：“没有分工，全部都靠自觉。发现食物的直接搬走，一个人搬不动就会有其他人来帮忙。剩下的人继续寻找，或者去其他地方去报信。” 所以在周围的很多各种各样大小的食物，都会被蚂蚁搬得一干二净。 蚂蚁的洞穴十分繁杂，蚂蚁社会在里面生生不息忙碌不止。 蚂蚁甲看到每隔很长时间过去，不同的地点都要各种蚂蚁的尸体，很多都是老蚂蚁死了，或者是有些蚂蚁因为生病或事故是死。 蚂蚁甲对蚂蚁乙说：“这些尸体看起来又多又乱，哪里都是。一开始在少的时候，还没有什么影响。但是要是多了的话，就会堵上我们的路。” 蚂蚁乙说：“我们要经常清理蚂蚁的尸体的，这些尸体要统一的放在一个固定的地方，然后让他们自己销毁。” 蚂蚁甲说：“有对于整个洞穴里各个尸体清理的快速办法吗？” 蚂蚁乙说：“当然没有了。只能是每个蚂蚁都形成一种习惯，看到尸体就往附近的堆积尸体的房间内放置就行，不需要每个蚂蚁抬着尸体往某一个地方放。慢慢的，在蚁穴各个不同的地方，就会形成各种堆积起来的蚂蚁尸体。” 蚂蚁甲说：“谁负责规定应该往哪里聚焦呀？我没有看到有其他人规定过。” 蚂蚁乙说：“没有人会负责指定搬运蚂蚁的尸体，而是大家自发，大家的原则就是，哪里相对被搬运的尸体多，附近的人就会把尸体往这个地方放而堆积起来。” 蚂蚁甲明白了这种合理的自发性，同时人类也从中学习到了蚁穴算法。 第三章 金字塔 不用说，埃及古代的数学肯定好。不好就建不成金字塔。因为建造金字塔用的石头就很大，还很多所以埃及人是数学很好的。 还没有金字塔的时候，埃及的法老左塞尔对大祭司伊姆霍特普说：“我想建造一个大型的房屋。我现在人类的金钱都很充足，想过这个世界上最有面子的生活。” 上知天文，下知地理的大祭司当然也懂建筑。大祭司说：“太容易了。我可以造一个更大的宫殿。比现有的大两倍。” 左塞尔说：“你吹牛了，我这个宫殿不会再往大的建造了。再大，柱子就支撑不动，而且横梁受力，自己就会把自己给压断了。我的前任左塞尔就干过这个事情。” 伊姆霍特普说：“我当然知道，因此宫殿的大，也是有极限的。你不能造出大的不可思议的宫殿。” 左塞尔说：“那你还认为容易！” 伊姆霍特普说：“不能建造太大的，只是因为方形的是不合理的。如果是一种三角侧面的宫殿，就会稳定。” 伊姆霍特普一边说，一边给左塞尔画出了正四面体的形状。 左塞尔看过，摇摇头说：“三角形难看，不宏伟。进去后没有方方正正的感觉，总感觉一切都是斜的！” 伊姆霍特普说：“侧面为三角，底下是正方形就可以。” 伊姆霍特普画出现在金字塔的形状。 左塞尔说：“下面可以东西南北的方正了，但是上面是尖尖的，不好看吧。” 伊姆霍特普说：“但是，这种形状的宫殿可以制造的非常的大，巨大无比，比你现在的宫殿不知道大出多少。只要大，就会变得十分有气势。而且经过长年累月的风雨，这种宫殿还是这样的大。这种宫殿不需要柱子，整个宫殿结构是自己支撑的。柱子就算粗到不可思议，也会有极限。很多神庙的柱子，也不能再粗了，粗的都快要变成一坨了，那还能叫宫殿吗。” 左塞尔说：“到底会有多大？” 伊姆霍特普说：“像个山一样。” 左塞尔说：“听起来是挺吓人的，这需要多大的石头？” 伊姆霍特普说：“石头的选取是很讲究的，太小就无法承受上部分，而太大的我们又造不出来，所以就需要找一个我们能够凿刻并且运输的足够大的石块，就足够了。” 左塞尔说：“凿刻多大的都行，就是运输肯定会有限制，总有大到不能再大的那一刻。因为石块也要往上运输，所以绳子也得承受一定的力量。多个绳子可以拉更大的，但是绳子不能多到太臃肿的去影响工程。” 伊姆霍特普十分欣慰的左塞尔也开始细细的思考了，对左塞尔说：“下面的可以大一些，上面的小一些就行。” 左塞尔说：“好的，那就按照这个方案建造吧。尽量要大，因为我们这里不缺钱，国库里很多黄金够用。我死了以后也要把我封存进去，然后对我尸体用个防腐措施，以后神在唤醒我的时候能找到我，就能复活我，到时候我不缺胳膊少腿的，多美。” 所以，埃及建造起人类古代最大建筑，需要调度大量人手，需要大量工具，需要复杂的工程的建立，需要考虑建筑稳定性和可用性，需要金字塔内部空穴的建造和安排。 同时为了记录和研究只是，埃及人还发明了莎草纸。生产莎草纸的原料是纸莎草的茎。先将莎草茎的硬质绿色外皮削去，把浅色的内茎切成40厘米左右的长条，再切成一片片薄片。切下的薄片要在水中浸泡至少6天，以除去所含的糖分。之后，将这些长条并排放成一层，然后在上面覆上另一层，两层薄片要互相垂直。将这些薄片平摊在两层亚麻布中间趁湿用木槌捶打，将两层薄片压成一片并挤去水分，再用石头等重物压，干燥后用浮石磨光就得到莎草纸的成品。由于只使用纸的一面，在书写的一面要进行施胶处理，使墨水在书写时不会渗开。 所以对于工程学和几何学，埃及人是当时的天下第一。对应的很多人才都在埃及的亚历山大城，这个城市还影响了很多后来的希腊人，成为了数学的发源地。 第四章 化圆为方 化圆为方问题的完整叙述是：给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积。 如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度π的开方为单位长度倍的线段。 公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱。在法庭上，阿那克萨哥拉申诉道：“哪有什么太阳神阿波罗啊！那个光耀夺目的大球，只不过是一块火热的石头，大概有伯罗奔尼撒半岛那么大；再说，那个夜晚发出清光，晶莹透亮象一面大镜子的月亮，它本身并不发光，全是靠了太阳的照射，它才有了光亮。”结果他被判处死刑。 在等待执行的日子了，夜晚，阿那克萨哥拉睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。” 阿那克萨哥拉把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想他把所有的时间都用上，也一无所获。 经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，阿那克萨哥拉获释出狱。 他把自己在监狱中想到的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是着名的“化圆为方”问题。 化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。但若放宽限制，这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德的螺线等。 二千年间，尽管对化圆为方问题上的研究没有成功，但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰（公元前430）为解决此问题而提出的「穷竭法」，是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形（或正6边形），然后每次将边数加倍，得内接8、16、32、…边形，他相信「最后」的正多边形必与圆周重合，这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的，但却提供了求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导，与中国刘徽的割圆术不谋而合，对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。 现已证明，在尺规作图的条件下，此题无解。 第五章 芝诺的诡辩 公元前450年，古希腊哲学家巴门尼德和他的学生芝诺在聊天。 巴门尼德对善于怀疑的芝诺，渐渐的由喜欢变成了一种反感。尽管自己是一个喜欢仔细思考问题的人，但是对于芝诺的言语，那就是自己引导上的一种错误，导致了芝诺成为了不成器的人。 巴门尼德说：“说说看，你为什么会怀疑运动是假的？” 芝诺：“一个人从a点走到b点，要先走完路程的1\/2，再走完剩下总路程的1\/2，再走完剩下的1\/2……如此循环下去，永远不能到终点。” 巴门尼德陷入思考中，知道芝诺是在诡辩，假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1\/2+1\/4+1\/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。 还没等巴门尼德张嘴反驳，芝诺又开始说下一个悖论：“阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！乌龟动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。” 巴门尼德看芝诺说得如此俏皮，直接回了一句：“找你这么说，一还可以等于零点九九九这样的无限小数呢。” 芝诺还是坚持的说出了下一个悖论：“设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。” 巴门尼德心里笑到，简直没救了，居然认为任何一个运动的东西都是不运动的。看来芝诺已经不把时间放在眼里了。 巴门尼德说：“你忽略了时间的概念，你把时间不当回事儿了。” 后来的女数学家希帕蒂亚一针见血地指出芝诺的错误所在：芝诺的推理包含了一个不切实际的假定，他限制了赛跑的时间。 第六章 赫拉克利特《论自然》 这个“逻各斯”，虽然永恒地存在着，但是人们在听见人说到它以前，以及在初次听见人说到它以后，都不能了解它。虽然万物都根据这个“逻各斯”而产生，但是我在分别每一事物的本性并表明其实质时所说出的那些话语和事实，人们在加以体会时却显得毫无经验。另外一些人则不知道他们醒时所做的事，就像忘了自己睡梦中所做的事一样。 因此应当遵从那人人共有的东西。可是“逻各斯”虽是人人共有的，多数人却不加理会地生活着，好像他们有一种独特的智慧似的。 如果幸福在于肉体的快感，那么就应当说，牛找到草料吃的时候是幸福的。太阳每天都是新的。如果一切事物都变成了烟，鼻孔就会把它们分辨出来。 互相排斥的东西结合在一起，不同的音调造成最美的和谐；一切都是斗争所产生的。驴子宁愿要草料不要黄金。走下同一条河的人，经常遇到新的水流。灵魂也是从湿气中蒸发出来的。多数人对自己所遇到的事情不加思索，即便受到教训之后也还不了解，虽然他们自以为了解。死亡就是我们醒时所看见的一切，睡眠就是我们梦寐中所看到的一切。找金子的人挖掘了许多土才找到一点点金子。人在夜里为自己点上一盏灯，当人死了的时候，却又是活的。睡着的人眼睛看不见东西，他是由死人点燃了；醒着的人则是由睡着的人点燃了。 人们死后所要遭遇到的事，并不是人们所期待的，也不是人们所想象的。最可信的人所认识和坚持的事，只不过是一些幻想；然而正义一定会击倒那些作谎言和作假证的人。最优秀的人宁愿取一件东西而不要其他的一切，就是：宁取永恒的光荣而不要变灭的事物。可是多数人却在那里像牲畜一样狼吞虎咽。对于灵魂来说，死就是变成水；对于水来说，死就是变成土。然而水是从土而来，灵魂是从水而来的。博学并不能使人智慧。否则它就已经使赫西阿德、毕泰戈拉以及克塞诺芬尼和赫卡泰智慧了。 智慧只在于一件事，就是认识那善于驾驭一切的思想。灵魂的边界你是找不出来的，就是你走尽了每一条大路也找不出；灵魂的根源是那么深。我们走下而又不走下同一条河，我们存在而又不存在。时间是一个玩骰子的儿童，儿童掌握着王权！战争是万物之父，也是万物之王。它使一些人成为神，使一些人成为人，使一些人成为奴隶，使一些人成为自由人。看不见的和谐比看得见的和谐更好。 上升的路和下降的路是同一条路。海水是最纯洁的，又是最不纯洁的：对于鱼，它是能喝的和有益的；对于人，它是不能喝的和有害的。不死的是有死的，有死的是不死的；后者死则前者生，前得死则后者生。神是日又是夜，是冬又是夏，是战又是和，是不多又是多余。他变换着形相，和火一样，当火混和着香料时，便按照各人的口味而得到各种名称。正如蜘蛛坐在蛛网中央，只要一个苍蝇碰断一根蛛丝，它就立刻发觉，很快的跑过去，好像因为蛛丝被碰断而感到痛苦似的，同样情形，人的灵魂当身体的某一部分受损害时，就连忙跑到那里，好像它不能忍受身体的损害似的，因为它以一定的联系牢固地联结在身体上面。最美丽的猴子与人类比起来也是丑陋的。 最智慧的人和神比起来，无论在智慧、美丽和其他方面，都像一只猴子。与心做斗争是很难的。因为每一个愿望都是以灵魂为代价换来的。我们对于神圣的东西大都不认识，因为我们没有信心。在我们身上，生与死，醒与梦，少与老，都始终是同一的东西。后者变化了，就成为前者，前者再变化，又成为后者。 清醒的人们有着一个共同的世界，然而在睡梦中人人各有自己的世界。一切事物都换成火，火也换成一切事物，正像货物换成黄金，黄金换成货物一样。我们既踏进又不踏进同样的河流，我们既存在又不存在。 第七章 绝对精神 柏拉图给亚里士多德讲完自己的洞穴理论后，亚里士多德反问：“依你这么去说，我们和这个世界都仅仅是光照出来的影子，那什么才是真实的？” 柏拉图说：“一个绝对世界！” 亚里士多德说：“不！不对！我们当下这个世界就是真实的，不会是光明照出来的，我上下左右东张西望也看不到有其他的背照射的端倪。” 柏拉图说：“用我们普通人类的能力难以感知到，用人力去东张西望怎么也看不到端倪。必须是高我们一等的生物才能感觉到超出我们感觉之外的真实的东西。而就算是这样，那个高我们一等的生物也不见得就一定是最高的，他也会受到局限。” 亚里士多德对柏拉图说：“我们费劲心机，苦苦寻找后，都没有发现高出我们的世界。就算你说存在，那我也当做是不存在的。因为我们能感觉到当下的三维空间世界了，我们从不知道第四维度的存在，我们何苦去做这些无用功呢？不是在浪费时间，天天去想不存在的天堂吗？” 柏拉图说：“不！没有浪费时间，恰恰相反，这是世界真正的本源。” 亚里士多德说：“我看到当下的样子了，这就是本源，其他的更高层次的本源我看不到，所以我可以不认为他们是存在的。” 柏拉图说：“那你就更加错误了，时间不也是一个维度吗？再说我们怎么会感受到引力，而且我们为何会有生命和灵魂？你没有想过这些事情的原因吗？难道我们能直接从石头里蹦出来吗？” 亚里士多德说：“你以为你说的这些问题是从绝对世界里投射出的影子？然后我们来找到这些投射的过程？” 柏拉图兴奋的说：“没错，这时最重要的事情啊！因为世界肯定是由生命力的，生命是可以变化的，世界都是在变化的，你敢说世界没有一种精神，而我们看到的这些我们看不到的肤浅的神秘的表面，是这个世界以一种不算太复杂的形式投射出来的影子吗？” 亚里士多德实在是谈不下去了，对老师的这种观点不认可。 但柏拉图的绝对精神，却成为后世唯心哲学家研究的东西。 第八章 第一性原理 亚里士多德跟柏拉图辩论。 亚里士多德说：“我发现第一性原理。” 柏拉图想听听这是什么。 亚里士多德说：“第一性原理就是找到问题最开始的起点，也就是元起点或者元问题。” 柏拉图说：“听起来没有什么意思。很多问题没有起点。” 亚里士多德说：“那样就会变成神秘的不可知。” 柏拉图说：“世界本来就是不可知的。我们生活的世界，就是一个巨大的精神世界中的其中一个客观世界。我们不会了解所有类型世界的全貌。” 亚里士多德说：“我的意思恰恰相反，我觉得任何一个问题都是用一个最简单的问题出发的。按照一个逻辑生成了复杂的世界。” 柏拉图说：“世界是有一种逻辑趋势的，只不过弱小的人类不会轻易掌握如此复杂艰深的东西。我们迟早会被更高类型的东西所嘲笑。” 亚里士多德说：“即使有所谓的最高类型的世界，也是按照最基本的逻辑发展的。而且我的第一性原理是超越因果的一个最基本的动力。” 柏拉图说：“因果都是不会存在的，超越因果的因果，它还是因果，而后人肯定会发现因果是不靠谱的。” 亚里士多德没办法再跟老师说下去了，只能自己坚持自己的观点。 后来，1950年，有物理学家想用分子的运动作为第一性原理来解释这个世界的变化。 第九章 卯榫结构 严丝合缝的模块往往长得诡异。 合适之极的事情之前看着都十分别扭和绝望。 甲工匠说：“制作一个东西最必要的是什么？” 乙工匠说：“是工具。想要做出任何一个人来需要东西来，都需要工具去加工。” 甲工匠说：“都要哪些工具？如何去使用？” 乙工匠说：“比如要制作东西，必须要知道一个东西的大小，就需要曲尺去测量大小。” 甲工匠说：“如果一个东西有点大，需要小点怎么办？” 乙工匠说：“大的木头可以用锯子，锯小一点。大的石头可以用凿子凿小一些。” 甲工匠说：“如果有点小呢？” 乙工匠说：“小的东西，可以让多个小的东西组合在一起，变大。” 甲工匠说：“如何让小的东西组合起来变大？” 乙工匠说：“需要用钻子打眼，凸出来的榫头和凹进去的卯眼扣在一起，两块木头就会紧紧地相握，不再分离。根据不同的形状来制作对应不同的卯榫结构。” 甲工匠说：“有哪些卯榫结构？” 乙工匠说：“我知道的有33种。有楔钉榫、挖烟袋锅榫、夹头榫、插肩榫、插肩榫、单榫粽角榫、双榫粽角榫、粽角榫、高束腰抱肩榫、四面平家具腿足与上部构件的结合、圆材丁字形接合、方材丁字形接合、圆材丁字形接合、攒边打槽装板、攒边打槽装板加穿带、一腿三牙方桌、抄手榫、方材角接合、方形家具腿足与方托泥的结合、三根直材交叉结合、加牙子无束腰裹腿做杌凳腿足与凳面的结合、插肩榫变体、方枨圆腿裹腿做、平板明榫角接合与平板一面明榫角接合的综合体、柜子底枨两枨互让、方材丁字形接合、厚板闷榫角结合、厚板出透榫及榫舌拍抹头、椅盘边抹与椅子腿足咬方的结构、直材交叉结合、弧形面直材交叉结合、弧形面直材角结合、走马销。” 甲工匠说：“这些是全部了吗？” 乙工匠说：“不是的，这是我知道的，卯榫结构肯定是无穷无尽的。从事家具修理已几十年，仍偶然会发现某一榫卯或它的某一局部造法是从来没有见过的。” 甲工匠说：“还有你没有见过的东西吗？” 乙工匠说：“我听说还有17种，我不知道的，方材丁字形接合、方材丁字形接合、方材丁字形接合、方材丁字形接合、方材丁字形接合、方材闷榫角接合、板条角接合、楔钉榫之一、有束腰家具抱肩榫结构、夹头榫结构、椅子后足穿过椅盘的结构、角牙在横竖材上打槽嵌装、角牙一边入槽一边栽榫与横竖材结合、角牙一边留榫一边栽榫与横竖材结合、卡子花栽榫、条案腿足与托子的结合、方材丁字形接合。这些东西都是千变万化，按道理说，应该是无穷多种。” 乙工匠一边解释，一边画着这些结果，演示给甲工匠看。 乙工匠说：“任何一个机械的组合，也要用的卯榫结构。机械都会有一个极为合理的结构，既能相互连接，又能变得耐用。” 甲工匠说：“如何知道尺寸十分平整？” 乙工匠说：“可以使用墨斗测量，如果不平整的话，可以使用刨子磨平。” 甲工匠对乙工匠说：“你刚刚说到机械，请问一边你都会用什么机械？” 乙工匠说：“农耕的和军事的。” 甲工匠说：“农耕的有什么？” 乙工匠说：“可以用磨子压碎粮食，磨子是很重的圆柱形石头，让有力气的牲口来拉动。” 甲工匠说：“军事的呢？” 乙工匠说：“云梯可以攻城，钩强可以在船进行水战的时候，将敌船拉过来或者推出去。” 第十章 鲁班锁 鲁班给了自己儿子一个木盒子，对儿子说：“你能把这个东西拆开之后，再安装起来吗？” 鲁班儿子拿到这个盒子后，能看出来这不是疙瘩一整块的。 然后尝试拆开，但是用了很长时间都没有撬动一点。 儿子对鲁班说：“爸爸，你骗我呢吧，这怎么能开？” 鲁班笑着拿过了盒子，快速的没用力气就轻松拆除。 儿子震惊的看着鲁班拿着六个形状古怪的木条。 鲁班给了儿子说：“你不会拆开，装起来会不会？” 儿子拿着六个木条，比划了半天，也没有任何头绪，根本不会装配。 鲁班拿着六个木条，有快速的装配起来了。 鲁班的手太快，儿子没有看清楚，但他知道这个盒子是可以拆开和装配了，只是从外面看不到里面的结构而已。在拆开的情况下，根据形状也难以推敲出是如何装配起来。 后来鲁班的儿子忙碌的一夜才拆开。 鲁班锁亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难人木等.它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构. 其中鲁班球就是利用其巧妙的结构开发的玩具，如果你不知其窍，还真打不开他呢，打开它再重新安装起来，也颇费心思。 第十一章 德谟克利特原子论 泰勒斯说：“宇宙的基本成分是水。” 赫拉克利特说：“是火。” 齐诺弗尼斯说：“是土。” 阿那克西美尼说：“是空气。” 恩培多克勒说：“这一切揉合在一起。一切事物都由这些物质的不同组合和排列构成。当元素在力的作用下分裂并以新的排列重新组合时，物质就发生了质的变化。” 亚里士多德说：“没错，因为当在暴风中，空气和水受到冲击而咆哮时，我们就说“元素在发怒”。” 阿那克萨哥拉说：“世界就是物质组成的，是单一的原子。” 恩培多克勒说：“是单一的吗？不是多种的吗？” 阿那克萨戈拉说：“是的，绝对的一种，是纯粹的。” 留基伯是米利都学派的人，也是泰勒斯的学生。他的一元论，影响了德谟克利特。留基伯受过泰勒斯、芝诺、恩培多克勒、阿那克萨哥拉四个人影响。 所以留基伯继承了恩培多克勒和阿那克萨哥拉的学说，传承给了德谟克利特。 古希腊的德谟克利特的原子论内容是：物的本原是原子和虚空。原子是一种最后的不可分割的物质微粒，它的基本属性是“充实性“，每个原子都是毫无空隙的。虚空的性质是空旷，原子得以在其间活动，它给原子提供了运动的条件。 德谟克利特虽说主张原子学说，但心里依然有问题，对留基伯说：“既然世界是由不可分割的原子组成，那原子是什么？是圆球一样的东西吗？” 留基伯说：“我认为是的，原子肯定是一个完美对称的形状。” 德谟克利特说：“会不会是长方形，正方形，椭圆型，四面体等等一类的古怪形状。” 留基伯说：“不会的，绝对是圆形的。” 德谟克利特说：“好吧，那问题就来了，既然是圆形的，那原子与原子之间是如何连接？” 留基伯没有仔细想过这个问题，觉得如果原子要是组成世界的，那比如要存在一种原子与原子之间天然的吸引力的作用。 德谟克利特说：“那万事万物怎么看起来不一样呢？” 留基伯说：“我记得阿那克萨戈拉说，只有一种，对此，我持有保留态度。起码我不认为应该有很多种！哎呀，怎么说呢，这是个让人头疼的问题。” 德谟克利特说：“就算只有那么几种吧，而且有天然力的作用。那生物是如何运动的，包括我们人类。我们都是原子组成，原子与原子之间如何能自动产生运动，让我们这种生物运动起来？” 留基伯心想，这可是个大问题，难道原子与原子之间除了吸引力，还会有神秘的其他相互作用力？这个问题可不好想，而且这样的力貌似也不简单。 留基伯说：“原子要是球形的话，相互密集挤压在一起，会有不稳定的缝隙，这种缝隙让原子会由于挤压等作用产生滑动，整体上显示出人的运动。” 德谟克利特大笑说：“你可拉倒吧，人能被原子滑动出如此复杂的运动？肯定有灵魂注入到这一堆原子中间。” 留基伯不高兴的说：“你知道我们为什么要传承原子论吗？” 德谟克利特突然想起了老师的戒训：“为了让一切尽可能的简单。” 留基伯说：“你为一个单一的原子，注入复杂的灵魂，或者灵气，那就丧失的原子论的本意，你知道吗？这样下去，原子论的意义就没有了。” 德谟克利特陷入沉思，开始在想：原子的堆放免不了会有空隙。 空隙意味着什么？ 看来需要研究原子堆放空隙论。 第十二章 毕达哥拉斯定理 学生问道：“你是谁？” “我是赫尔墨斯的儿子。谁还有其他问题。”毕达哥拉斯只能这样回答。毕竟在过去的授课过程中，自己总是达不到理想的效果。数学如此优美而严谨，宝贵而重要，却没有人愿意学。好不容易碰到一个愿意学的人，结果大家都聊起了神学。所以这这里授课，只能说自己跟神有关系，这样才能把大家吸引过来。 “你穿的是什么衣服，跟我们怎么不一样？”很多学生其实有些反感这样的穿着，毕竟这里的人跟异邦的人征战多年，冒然有人穿这样的衣服进城，还以为是敌国的人来宣扬邪教来了。 “我穿的是东方人的衣服，我去过那个地方。”毕达哥拉斯也照实说。在毕达哥拉斯看来，东方人有很多了不起的智慧，很多数学的有趣观点还是在那里学来的。仿佛只有穿成东方人那样的衣着，才能感受到数学附体。 “你将会给我们讲什么？”学生疑惑的问，其实希望是一个对神学或实用的商业知识了解的人来讲课，或者讲政治和军事也可以。 什么是神？是构造万物最高的形式吧？ 神先制造完美的形而上的数学世界，再由数学结构延伸的具体的万事万物都是 毕达哥拉斯在想，自己应该是神的儿子。 因为自己的脑海里有世界，而世界是用数字表示，自己对生活中的数字有了解。 那自己不是神是什么？ 很多自己不喜欢的东西，想必也被世界不允许。 很多不能理解的事件，也不过是更多的数字的变化。 世界必然是神构造的，神用数学制造了世界。自己懂数学就是因为自己是神的儿子。 “我讲的是最神圣的东西，数学，也就是数字。”对于毕达哥拉斯来说，这才是真正的重点。毕达哥拉斯认为，只有数字才是最神圣的。任何一件事都离不开数学，任何一个问题，其实就是数学问题。只要一个问题的数学给解决了，那么这个问题也就解决了，这个问题数学都无法解决，那就是无法解决。在每一个地方，都会有严格的数学。如果一个人不去了解数学，那个蠢动物没有区别。 “你们肯定会喜欢的，只要你们有耐心听我的讲课，我保证，会有你们喜欢的知识。”毕达哥拉斯在说这个话的时候都有些激动。 “有没有什么条件？”学生关心学费问题。 “暂时还没有，只要你们爱听，不要随便逃课就行。”毕达哥拉斯何尝不想赚钱。当然知道讲学生们感兴趣的知识，才能受到学费。如果现在要钱，教室里起码要少一大半的人。所以先让学生们在这里占便宜，然后在让他们把学费交来。 对于做学问，毕达哥拉斯向来都是边学，边教，边写结合起来，不会的东西先记下来，记下来之后就可以学习和讨论，或者查询资料，然后在教授给别人，一举多得，让自己的知识得以丰富，让自己的理念得以传播，顺便可以挣钱，还让人去崇拜自己。 “大家听说过一个三角形的边长3、4和5的三角形，是有一个直角的对吧。”毕达哥拉斯想考考自己的学生们。 这时看到有的学生点点头。 “关于直角三角形，会有很多类似的长度。比如5、12和13。有7、24、25。有8、15、17等等。我可以找出很多个这样的东西来。” 学生们看到毕达哥拉斯能说出如此多的勾股数，觉得很惊奇。 “但是，这还不是重点。重点是，我这些勾股数有的规律。” 毕达哥拉斯把所有勾股数，都写成勾股定理的公式。比如3*3+4*4=5*5，5*5+12*12=13*13等等。 很多学生看得一头雾水，其中一个叫希伯斯的学生问道：“老师，你的意思是，所有的直角三角形中，两个短边的乘积相加等于一个长边的乘积？” 毕达哥拉斯点点头：“没错，这就是你们今天学到的东西。” 希伯斯说：“什么样的直角三角形都是这样的吗？” 毕达哥拉斯点头说：“没错的，我算过，也证明过，确实如此。” “证明？”很多学生惊奇的赞叹到，这个东西还可以去证明？ 学生们拿着勾股数，开始纷纷的去演算这个公式，发现每个勾股数都符合这样的情况。大家这才知道毕达哥拉斯绝非凡人，他肯定是神，只有神才能发现如此神奇的事情。 一个叫希伯斯的学生对毕达哥拉斯说：“一个直角三角形，两个短边长都为1，那么长边这个数字不好写啊。” 毕达哥拉斯打断了希伯斯的话：“不要搞这些没意义的研究，那个东西是错误的。世界上只有整数，或者是分数，不会有那种古怪的数字的。” “可是形状明明存在……” 毕达哥拉斯严厉的说：“别说了，我不研究错误的东西。” 虽然有一段插曲，但是大家对毕达哥拉斯心生敬畏，把自己的这个老师当神看待。甚至开始教唆毕达哥拉斯，规定一些教条让大家尊敬这个现世神。 可毕达哥拉斯哪里是个神，他也是通过简单逻辑证明的。 这里用的是形数证明的勾股定理 第十三章 形数 古希腊的毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究。形数就是指平面上各种规则点阵所对应的数，是毕达哥拉斯学派最早研究的重要内容之一。 对于毕达哥拉斯来说，关于面积的事情，都可以使用形数来解决。 毕竟形数可以直接反应关于面积的信息，对于很多复杂面积的事情，形数可以给一个比较直观的答案。 所以勾股定理的证明，就是通过看面积中点的个数和边上的点的个数就能看出来。 小数用形数可以表示，只需要让数字加倍就可以了。 但是对于无理数这样的数，就没办法用形数这样的理论来表示。 所以，对于很多自己的学生来说，毕达哥拉斯不让使用无理数这些理论，这超出了他所理解的范围。 万物皆是数，但那是指类似形数这样的数字的，无理数这不是数字。 对于无理数的偏见，不时毕达哥拉斯一个人的，是所有的数学家都有的，因为他们不知道如何处理这种东西。 在此后毕达哥拉斯没有想到的是，多边形的形数可以解决关于多维杨辉三角问题。 二维的杨辉三角可以解决高维空间问题，而多边形形数有可以解决高维杨辉三角问题。 不愧是工具中的工具了。 第十四章 毕达哥拉斯树 毕达哥拉斯拿出莎草纸，上面有一个看起来很标准的树的图形。 大家惊呼着：“这个树很奇特，树干是一个。” 毕达哥拉斯说：“没错，你看到的是毕达哥拉斯树。一开始只是一个直角三角形长度的三个正方形接在一起的。” 一个学生说：“没错，一想到这个定理，我们就很容易想到这个图。” 毕达哥拉斯说：“所以按照这个比例，在两个小正方形上也做出了这样的图，然后以这样的方法延伸到无穷下。” 学生说：“这样做的目的是什么？” 毕达哥拉斯说：“这个样子像是一棵树，说明现实生活中树的生长也跟这个图形有一定关系。” 学生说：“这个图形只是像树而已，你这种说法是否牵强了些。” 毕达哥拉斯说：“也许树的本质是其他的，但是我以此还是想说明，上帝制造万物或许就是使用了这样简单的数学。如果你是上帝，你也会使用数学了创造万物，让万物根据数学增长。” 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。 第十五章 发现根号2的学生·第一次数学危机 希伯斯本来也是带艺拜师，自己也是了解一些几何的，但是从来没见过毕达哥拉斯定理如此优美的东西。 他自己经过学习，早先知道： 圆被任一直径所平分。 等腰三角形的两底角相等。 两条直线相交对顶角相等。 已知三角形两角和夹边，三角形即已确定。 对半圆的圆周角是直角。 相似三角形的对应边成比例等等。 这些有趣的东西，但都比不上毕达哥拉斯定理。 自从被毕达哥拉斯定理感染后，自己开始废寝忘食的开始研究几何学，想从中找到更多的有趣的东西。 他演算了数不清的勾股数，没有一个勾股数不符合这个直角三角形的要求。 只是萦绕在心头的是，很多直角三角形明明是存在的，但不是三个整数，最多其中两个是整数，第三个数往往是一个十分奇怪的数。而这个数可以使用毕达哥拉斯的公式表达出来，只是那个数字十分难写，也十分古怪。 还是找最简单的那个就是两个短边为1的直角三角形，那个长边到底为几？ 这个数字很奇怪，这个数字自己跟自己相乘等于2，而自己却是一个1.……一直可以往后的写，然后相乘起来接近2，只要不超过2即可，也不能太小。 写着的时候，发现毕达哥拉斯早已站在身后很久。 希伯斯一回头，发现了怒不可遏的毕达哥拉斯。 “你已经违反了我们学院的禁令，去研究一些奇怪的数字，你这是在挑战我的权威。” “可是老师，我认为这个是存在的。它既不是整数，也不是分数，而是一个新东西。” “这不是什么新东西，而是不存在怪异数字，存在的东西不会写不完的，你这个蠢货。你给我记住，不要把这件事给我说出去，否则你将会被扔入大海淹死。”毕达哥拉斯心中有一种极不安的感觉，毕竟他自己也试图想要发现这个数，但是这个数太难以理解了，也不可理喻，也是从自己的公式里表达出来的。自己写不出解法，也没有简便公式，这是一个让人笑掉大牙的事情。这种事情决不能发生。 对于自己的得意门生，毕达哥拉斯从没怀疑过希伯斯非凡的才能，而且还希望自己死后会传位给他。但是最近发生的这些事情，让这个毕达哥拉斯学院发生异动。很多学生开始怀疑毕达哥拉斯的水平，这对毕达哥拉斯以后再招收生源这个事情上会有很大影响。以后还怎么谈收入的问题。 希伯斯表面上答应了毕达哥拉斯。然后随后的时间里，真是树欲静而风不止，很多人都也按照希伯斯的思路开始研究很多这样的诡异数字，什么根号2、根号3、根号5之类的东西，大家开始用遍历法来寻找这个无穷长的数字。 就算是背着毕达哥拉斯悄悄计算，但是还是被毕达哥拉斯给发现了。 毕达哥拉斯感觉大事不妙，这个希伯斯给自己惹下大祸。 然后直接让自己的学徒们抓捕希伯斯，开了审判大会，在海洋的船上，审判希伯斯死刑之后，直接将希伯斯扔入大海。 从此以后，没有人当面对着毕达哥拉斯去计算无理数，但是大家心里明白，无理数是真正存在的，而且十分稳定。 或许正如克罗内克所言：上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。可创造其它的数对人类是不是有帮助呢？ 第十六章 阿契塔的音乐学 毕达哥拉斯已经是一个宗教，除了规定不能吃豆子、不能撕面包、不能捡东西以外。毕达哥拉斯与其他宗教最不同的是，这是一个对数字极度崇拜的宗教，简直就是‘数字教’。这个宗教的一个口号是：“万物皆为数。” 阿契塔也是毕达哥拉斯的学生，自从跟毕达哥拉斯学习后，也开始走到哪里，就觉得哪里就是数字的感觉。 阿契塔原来是塔灵顿的一个乞丐。毕达哥拉斯偶然碰见他，发现它有一些数学头脑。毕达哥拉斯让他跟自己学习数学和几何，每学会一个知识，就会给他三个硬币。阿契塔答应了，就开始天天跟毕达哥拉斯学习知识。阿契塔后来发现毕达哥拉斯教的知识太有意思了，后来毕达哥拉斯没再给他硬币。但是他已经不需要硬币了，他需要的是知识。阿契塔对毕达哥拉斯说：“你每天教我一个知识，我就给你硬币。”于是，整个事情倒过来了，阿契塔每天继续跟毕达哥拉斯学习新知识，最后把毕达哥拉斯给他的钱，全部都还给了毕达哥拉斯。 这个有趣的经历在学院里传为佳话，阿契塔因为了解多种知识而找到了可以糊口的工作。 公元前375年。因为阿契塔发现了力学，这是在工程里出现的，很多东西都会有力的大小，而且这种力的大小只要能够计算出材料的形状就可以计算出来。这样的发现，让毕达哥拉斯对他很欣赏。毕达哥拉斯也认为他是自己手下最得意的门生。 毕达哥拉斯曾经对他说过：“给你圆规和尺子，和一个已知的立方体。你能不能在这个立方体的基础上，画出一个有原来2倍大的立法体？” 阿契塔心想：“如果给一个正方形，就可以很轻松的画出原来2倍大的正方形。只不过边长原为1的正方形，可以取斜边的那个禁忌根号2为边长，就可以做到了。但是立方体的，还需要好好想想。” 阿契塔开始工作起来，发现想着似乎容易，但是却特别难。最后才发现，这是不可能的。这个‘倍立法’问题，不仅仅是阿契塔无法解决，就是任何一个人也无法单纯的用尺柜作图去解决。除非能在空气中画出三维图形来，如果能画出三维图形，就可以找到更加‘禁忌’的立方根2来画出这个2倍的立方体。貌似也不可以，因为那也是立方根号3。 最终阿契塔宣布，无法使用尺柜作图来完成倍立方问题。 阿契塔最有兴趣的，也是毕达哥拉斯最关注的一个问题：“音乐的本质是数学。” 毕达哥拉斯很轻松的知道，一个榔头是令一个榔头一半重量的时候，敲击出的声音会高一倍。不仅如此，就是其他东西也符合这个规律。 声音高一倍，也就是大八度。每个八度就是一个循环。 榔头的比例3:2的时候，会大五度。 榔头的比例4:3的时候，会大四度。 而五度和四度结合的时候，刚好是一个八度音程，这个很神奇。 …… 这样的比例配合起来，会让音乐听起来很悦耳，为什么会是这样，毕达哥拉斯也说不清楚。 阿契塔对毕达哥拉斯说：“音乐其实就是震动，我已经从中找到了规律。完全是空气震动的速度。不同的榔头，打出空气的速度不一样，然后形成了这个比例。” 毕达哥拉斯也点点头，认为最本质的也就是这样了。 阿契塔也构建了第一台世界已知的自动机，也就是机械鸽子。他用金属做了一个像鸽子一样的中空的东西，然后把烧开的水气灌入这个鸽子的肚子中，后面留一个喷射蒸汽的口子。做好之后，机械鸽子可以按照蒸汽推动远离飞200多米远，让周围人十分惊奇。 同时他也发现了滑轮，在抬重东西的时候也变得十分方便。 阿契塔也是一个军事领袖，他多次领导塔灵顿人抗击马其顿人的入侵，每次都胜利。 第十七章 正多面体的个数只有五个 喜欢走遍天下的毕达哥拉斯没有其他爱携带的，仅仅是一堆堆厚重的莎草纸，上面都是他所收集到的知识。这些莎草纸都是全世界各地收集来的，有雅典的、亚历山大的和东方亚细亚的。有古代的楔形字，有现在的希腊文字，还有埃及文的。一摞摞的莎草纸上的知识完全足够教自己的学生们很多年了。 毕达哥拉斯说：“今天，我们要上一节课，就是多边形和多面体的课。” 一个学生说：“多边形很简单，多面体有些麻烦。” 毕达哥拉斯说：“说的没错。多边形有无数个，多面体有多少个？” 学生想都不想的说：“也是无数个吧？” 毕达哥拉斯说：“我说只有五个，你们相信吗？” 大家面面相觑，毕达哥拉斯说：“只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。就这五种。” 学生们说：“不会这么少吧，是不是再多的你找不到呢？” 毕达哥拉斯说：“就是这么少，再高也不会有了。” 学生们说：“这怎么证明？” 毕达哥拉斯说：“我们来做个游戏，拿一堆正多边形来拼顶角。先拿正三角形来，从三个开始拼一个正四面体。” 说着毕达哥拉斯拿着四个等边三角形拼出了一个正四面体。 大家看着点点头。 毕达哥拉斯说：“我再拿这同样的东西，直接可以给你接一个正八面体。” 说着又拿出四个等边三角形和一个等边的正方形拼出第五面体后，让两个五面体对应的正方形对准在一起，变成了一个正八面体。 大家看着点点头。 之后毕达哥拉斯又用二十个三角形拼出了一个正二十面体，用了比较长的时间。 大家看着继续点头。 毕达哥拉斯说：“再加就不对了。” “为什么？”学生们疑惑的说。 “再加就是六个正三角形拼在一起，那就成了一个平面了。咱要的是多面体，而不是铺地砖。” 大家哈哈大笑，终于明白其中奥秘。 毕达哥拉斯有拿出一堆正方形板子，对大家说：“六个正方形板子，理所应该很容易拼出正六面体，也就是立方体了。” 一个叫希帕索斯的学生立马反应道：“没错，这就是极限了。最多可以三个正方形板子拼起来，要是四个板子，就有变成平面了。所以正方形只能拼出正六面体来。” 毕达哥拉斯笑着：“没错，下一个就是正十二面体。” 毕达哥拉斯直接拿出十二个正五边形，拼出了整十二面体。 希帕索斯快速反应的说：“如果是六边形，只要三个就成平面了，根本拼不成多面体。所以七边形这些更是行不通了。” 毕达哥拉斯说：“看来希帕索斯学得很快，看来都不需要我亲自证明了。” 希帕索斯突然想到了本该有多边形存在的一种模型，并在脑中构造五面体出现的合理性，说：“老师，我还是觉得别扭，我认为应该有多面体。” 希帕索斯一边说一边拿着五根相等长度的棍子，每个一段粘在一个点上，然后把这五个根子均匀开。 一边弄着，希帕索斯一边说：“虽然均匀开了，我也不知道每个根子两两之间最近的是多少度角，但我知道这些角度是相同的。我这每个棍子对于的是多面体的垂直轴，这些轴在多面体中心交于一点。” 毕达哥拉斯笑道：“你说的有合理性，我知道正六面体之间角度肯定是90度，其他的还真不好说。” “或许是无理……”一个叫希伯斯的学生张口，但被同桌用手肘磕了一下，示意其必追。希伯斯也看到毕达哥拉斯略带杀气的眼神。希伯斯吓得没敢往下说。 希帕索斯继续说：“那么我这个五个轴应该对应有五面体，而且这五面体没道理面积不一样啊。” 毕达哥拉斯说：“面积肯定是一样的，只是，也就是面积一样而已了。每个面变成不一样，不是一个正多边形，那么我们说的这个正多面体，仅仅是等面积多面体而已了，只能让步于此了。” 希帕索斯说：“还是只得研究一样的。” 毕达哥拉斯一想到可能要沾无理数的边，直接说：“算了吧，没用，也不美丽，不知道研究。我们都爱多边形是吧，多面体也要以正多边形为基础来构造了。” 大家鸦雀无声。 第十八章 欧几里得的《几何原本》 约公元前300年。 “这是什么个破轨迹，一个学校门口挂上这么个破牌子！” 大家站在柏拉图学园门前，各个都相互疑惑。 欧几里得穿过人群，看了这个牌子，上面用工整希腊文写着：“不懂几何的人就不能进去。” 路人甲对欧几里得说：“你说怪不怪，我们就是因为不懂几何，才来的，懂了谁还会进去？不懂的永远进不去，这不是很冤吗？” 欧几里得没说话，直接整了整衣服，让自己看起来整洁一些。然后在大家的惊呼之下，直接推门而入。 原来欧几里得是带艺拜师，他早就从早期许多的数学着作中了解各种各样的零碎的几何学知识，他把这些零碎的几何学知识全部集于一身，发展了最为全面的几何学。为了验证自己理论的准确性，他甚至不惜自己亲自与各种工人一起去劳动，然后去验证自己所学的知识。欧几里得的数学水平已经无敌于天下。 欧几里得最重要的是，自己身上带有几车的莎草纸，上面都是精美的几何图案和文字。 他已经没有停止过学习，还是要拜访当时很多有名的学校，来找到名师，让自己所学变得更加充盈。 到了有异域而整洁的亚历山大城，欧几里得开始开班教科，把教科所用的稿子整理起来，汇编成《几何原本》。直接按照几何原本上的知识教授大家。全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。 很多人都慕名而来，被这强大的几何学氛围给感染了。 一个年轻人带着刁难的口吻问：“你几何这么好，请问金字塔的高度怎么量？” 欧几里得连想都没想的说：“你在太阳下的影子跟你身高一样的时候，只就可以直接在地上量它。” 大家惊呼。 一个学几何学费力的国王问：“学习几何学，有没有技巧？” 欧几里得说：“没有！学习知识一点技巧都没有，只能一步一步来。几何学里没有专门为国王铺设的大路。” 一个学生问：“学习几何有好处没有。” 欧几里得让仆人直接给学生硬币，对学生说：“你是来要好处的，学习几何没你说的那种好处。” 第十九章 欧几里得证明素数无穷 除了对几何有兴趣以外，欧几里得对数字也感兴趣，尤其是素数这个古老的问题。 一天，柏拉图学派晚期导师的普罗克洛斯问欧几里得：“素数就是只能被一或者自身整除的数字吗？” 欧几里得说：“没错。” 普罗克洛斯说：“我了解这个数字，越大就会变得越少，肯定会有一个终点吧。意思是，会有一个最大的素数，然后这个最大的素数后面就不会再有数字了。” 欧几里得被这样的问题给吸引了，他咋一听也觉得普罗克洛斯的话有道理。毕竟素数在一开始的时候确实比较多，随着数位的增大，变得确实越来越少，甚至会越来越稀疏，那会不会到达某个地方的时候就会截止，然后在那个数字之后，就会全部变成合数。 合数就必须是两个以上的多个素数的乘积才对，但是如果是最大素数之后的合数，那些合数肯定一开始是素数之间相乘的，然后就是多个素数之间相乘，往后累积。 “不会，会漏的。如果仅仅是这样堆砌自然数，肯定会有遗漏。”欧几里得说着让路人甲听不懂的话。然后开始分析，想试图的寻找到最大素数之后的世界会是如何的。 普罗克洛斯说：“什么不会！难不成素数没有最大的，在巨大稀疏的数字之后，会变得更加稀疏，以至于无穷后还有素数？” 欧几里得被这个精彩的论断给迷住了。他心里想，如果能够证明最大素数后面还有素数就可以了。但是最大素数后还有素数，那原来那个就不是最大素数了。 “假如有最大的素数，把所有这样的素数全部乘起来，那加一之后，这个数会变成素数还是合数？如果是合数，那就错了，因为这个合数的因子不包含在相乘的这些素数中。但如果这个大数是素数，那刚刚那个素数就不是最大的。”欧几里得突然脱口而出。 普罗克洛斯惊呆了，没想到欧几里得用反正法证明了这一切，高兴的对欧几里得说：“太高明了。看来素数就是无穷的。你不知道有没有，先假设他有，然后再推出矛盾，就完全可以否定它了。” 布特鲁说过，逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得要使用逻辑。 看来数学的重要性还要懂得，反者谓之道。所以很多东西在逻辑面前，是一目了然的。 但是随后，几千年后，关于素数的问题，却变得异常复杂，人类需要在这个光怪陆离的世界里摸爬滚打很久。对于素数的发现，成为以后研究素数的基础，而对于素数的精彩研究，以后会有很多故事。 第二十章 欧几里得算法 欧几里得学生卡农对欧几里得说：“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数？” 欧几里得说：“用辗转相除法就可以，如果求a和b的最大公约数，如果a大于b，那就是a除以b，然后得到余数，然后再让除数b除以余数，然后一直让除数除以余数，最后余数为0的时候，得到的除数就是a和b的最大公约数。” 卡农说：“假如说1997和615这两个数字。” 欧几里得说：“1997除以615，等于3余出152。” 卡农说：“然后怎么求？” 欧几里得说：“除数除以余数，615除以152等于4余7.” 卡农说：“然后152除以7等于21余5.” 欧几里得接着说：“没错，然后7除以5，等于1余2.” 卡农说：“5除以2，等于2余1.” 欧几里得说：“2除以1，等于2余0.” 卡农说：“不能再往下了，余数已经为0，所以1997和615的最大公约数为1.” 欧几里得说：“所以说，相当于没有最大公约数。” 在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环r是符合一下接个要求的： 1、a 关于加法成为一个 abel 群（其零元素记作 0）； 2、乘法满足结合律：(a * b)* c = a *(b * c)； 3、乘法对加法满足分配律：a *(b + c)= a * b + a * c，(a + b)* c = a * c + b * c； 如果环 a 还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”： 4、乘法交换律：a * b = b * a。 如果交换环 a 还满足以下两条件，就称为“整环”（integral domain）： 5、a 中存在非零的乘法单位元，即存在 a 中的一个元素，记作 1，满足：1 不等于 0，且对任意 a，有：e* a = a * e= a； 6、ab=0 => a=0 或 b=0。 而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。 第二十一章 欧几里得度量 欧几里得学生埃拉托塞说：“听说你建立了几何学，给几何学设立了公里，后世都会以你的这个公里建立起来的几何时间为标杆的。” 欧几里得说：“没错，这是我的目标。” 埃拉托塞说：“那这个的目的是为了什么？” 欧几里得说：“很简单，高清几何的结构之后，测量出长度。” 埃拉托塞说：“只要知道确切的结构，就可以求出几何长度对吗？” 欧几里得说：“是的，我的几何原本就是做这种工作的。尽可能求出任何两点之间的距离。” 埃拉托塞说：“这是如何做到的？” 欧几里得说：“这会借助毕达哥拉斯定理的帮助，如果合适的利用这个定理，就会很方便的求出来。我们只需要知道空间的相对位置。” 埃拉托塞笑着说：“圆弧可以求出吗？” 欧几里得说：“知道对应的角就可以求出弧长。” 埃拉托塞说：“椭圆可以求出弧长吗？” 欧几里得一下子无法回答。 埃拉托塞说：“如果在球面上画一个三角形，这个三角形的弧长角度面积可以求出来吗？” 欧几里得想了想说：“弧长可以求出，面积也可以，只是角度有些困难，这不是我想像的世界，我的世界是平直的。” 埃拉托塞说：“有弯曲的世界的话，你的这五大公里还可以用吗？你可以求出长度这些东西吗？” 欧几里得说：“我没见过这种世界，所以我还不会。” 在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。 第二十二章 阿基米德浮力 公元267年。叙拉古赫农王请求阿基米德：“我怀疑的我王冠里掺杂其他东西，你那么聪明你能不能想想办法。” 阿基米德答应了，但是自己从来没有研究过这样的事情。怎么能够知道王冠里到底掺杂着什么呢？总不能把王冠锯开吧，就算锯开恐怕也看不出什么端倪。 阿基米德还在想着，怎么样能够不损坏王冠就能找到王冠掺杂东西的办法。 同时自己也习惯性的倒好洗澡水，阿基米德直接躺进来，都没有注意到洗澡水已经到得满满的了，都溢出来了。 “溢出来？今天怎么倒满了？溢出了多少？溢出了我进入水池的体积？” “体积？” 阿基米德脑子飞快转动，似乎想到了：“没错，不同材料密度不同，体积就肯定不一样。我就是因为无法测出王冠的体积，所以才无法确定王冠的体积是否合理。如果加入王冠的材料密度小，那么从体积就会变大，溢出的水就会比正常黄金多出了。溢水的体积，跟王冠进入水的体积是一模一样的。” 阿基米德直接高兴的跳出洗澡池子，大声高喊：“找到了！我找到办法了。” 阿基米德冲进皇宫，跟国王要了同等重的金子，然后让金子和王冠分别放入水中，结果发现王冠中溢出的水比正常黄金的水要流出更多体积。金子掺假了，国王重罚了打造黄金个工匠。 国王同时也赏赐了阿基米德。 同时阿基米德从中发现浮力公式：浮力=排水量*水密度*重力加速度，这个公式意义重大，到后来看船只大小，就是看排水量来推敲浮力的。 开尔文说过，别把数学想象为硬梆梆的、死绞蛮缠的、令人讨厌的、有悖于常识的东西，它只不过是赋予常识以灵性的东西。 看来数学解决的确实是很实际和朴素的东西，越是朴素，说不定就越接近数学。阿基米德关于王冠的思考，不都是极其朴素的东西吗？或许数学就是朴素的朴素。 第二十三章 阿基米德螺线和螺旋汞 有一天阿基米德开始想要研究螺线了，毕竟螺线在很多地方挺常见的，贝壳、海螺、植物树叶的排布甚至水的旋涡等等。 圆可以由一个固定的半径绕一个点画出，而这个半径匀速边长的话，就会画出一个螺线。 阿基米德在其着作《螺旋线》中对此作了描述。 而作为实用性的，莫过于阿基米德螺旋汞了。 忽然，他看到一群人在用木桶拎水，便问道：“他们干嘛要拎水？” “河床地势低，农田地势高，农民只好拎水浇地了。”一位当地的同学告诉他. “这样拎水的效率太低了，浇一丘田不知要拎多少桶。”阿基米德心中产生了对农民的同情心。 那位同学不以为然地说：“祖祖辈辈，人们都是这样做的。你有什么好办法？” 回去后，阿基米德的眼前总是闪现出农民拎水时吃力的样子。“可不可以让水往高处流呢?”阿基米德开始思考这一问题。 渐渐地，在阿基米德的脑海中产生了一个设想：“做一个大螺旋，把它放在一个圆筒里.这样，螺旋转起来后，水不就可以沿着螺旋沟带到高处去了吗？” 阿基米德立即根据这一设想，画出了一张草图。形状是一个管子绕着一个棍子从一头到达另一头。 然后把这个螺旋汞的一头放在水里，人工或喝水冲刷让这个螺旋汞绕棍子转动，进入水里的一头的水就会因为螺旋形状的带动，将水带上来，以达到让水由低水位到达高水位的目的。 他拿着这张草图去找木匠，请求师傅帮他做一个用于泵水的工具。 经阿基米德的指点，木匠制出了一个怪玩意儿。阿基米德将这个东西搬到河边，并把它的一头放进河水里，然后轻轻地摇动手柄。“咕噜噜”，只见河水在摇动手柄的同时，从怪东西的顶端不断地涌出来。水，果然往高处流了。 前来围观的农民，被这神奇的东西迷住了。他们纷纷赞扬阿基米德为农民做了一件大好事。不久，这种螺旋水泵在尼罗河流域，乃至更广大的范围流传开了。人们把这种水泵称为阿基米德螺旋泵。一些现代工厂仍然使用这种阿基米德螺旋泵来移动流质和粉物。 第二十四章 阿基米德蜗杆 如果把自己突然扔到大街上，自己究竟能干什么？ 几乎什么都不能，因为没干过。 自己从小就是读书，学院里长大的，跟着几个有经验的工程师干过两年。 如果自己再不去好好珍惜这个职业，漫无目的胡乱任性，就会导致自己百无一用，而饥寒交迫。 做人要有自己的目标，不要听信别人的追求所谓的自由，追求所谓实实在在，毕竟自己不是个盖房子和种地的能手。 即使自己的工作是设计师，在别人眼中有些不务正业，但是自己也要尽最大努力干好。 即使干好了，别人都不见得痛痛快快的认可，更何况是自己什么都不干呢，那岂不更是废物。 所以自己要加倍努力，不要觉得有些枯燥就不往下搞了。 阿基米德已经对于各种机械的研究计算痴迷，他知道机械可以解决任何问题。 其中很多机械的灵活离不开螺杆。 这种形状来源阿基米德对于轮旋事物带来的启发。 它可以巧妙的让两个不在同一个轴上的转动变得同步，两个转动的能量可以相互传递。 阿基米德知道，如果有了动力的源头，他可以根据蜗杆来制造任何一种可以被转动的机械装置，到时候会让自己的很多工作变得无比方便。 这种这种蜗杆，在垂直于蜗杆轴线的平面上，也就是端面上。 阿基米德深深的感觉到，只要齿轮和蜗杆巧妙联动和搭配，就可以做出很多复杂的机械动作，从而能做出能够取代人力的工作。 不仅仅可以作为固定用的螺丝，也可以作为可以跟齿轮联动的传动装置。 除此以外，阿基米德还发现了螺丝这种东西，发现螺丝这种结构可以通过旋转加紧来固定两个不同的工件，可以对任何一个工件打一个螺丝眼，就可以往里转入螺丝。 同时齿轮是那个国家的人发现已经不可考，但是阿基米德这个时代的人早就知道这个东西了。 第二十五章 阿基米德三角形 阿基米德研究抛物线，在其焦点上画出任一直线，交抛物线两个点，再这两点上画出在抛物线上的两条切线，交出一个新点。 这个新点在随着焦点上直线的转动，一直在一个直线上运动，就是准线上。 这个新点与两个切点组成一个直角三角形，直角在新点上。 新点与焦点连线一直垂直于两个切点的连线。 到了后来，阿基米德发现不仅仅是在抛物线上，就是在任何一个圆锥曲线上，都有这种三角形。 椭圆、双曲线和抛物线上都有这个特性。 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。 第二十六章 阿基米德公理 欧多克索斯对阿基米德说：“量和数是有区别的。量指的是连续量，如长度、面积、重量等，而数是离散的，仅限于有理数。” 阿基米德说：“对于任何实数x，存在自然数n有n大于x。没有无穷大或无穷小的元素。” 欧多克索斯说：“我还有比的定义，比是同类量之间的大小关系.如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个比.这个定义含蓄地把零排除在可比量之外。” 阿基米德说：“给出任何数，总能够挑选出一个整数大过原来的数。或者给出任何正数，总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。” 欧多克索斯说：“看起来显而易见，但这都是数学的根。” 阿基米德说：“或许这不是一个公理，只说明实数具完备性的结果。” 欧多克索斯说：“但我的心理接受不了那些无理数，我认为这些东西很麻烦。” 阿基米德说：“只是它们像渣子一样掺和在里面，有些烦。我们应该给数字系统好好进行观察，好好的分析其中神妙的地方，我们其实还没有真正的好好的看过他。” 欧多克索斯说：“或许后人会把这个工作做的精彩把。” 第二十七章 阿基米德的杠杆 海维隆王又遇到了一个棘手的问题，素知阿基米德精通杠杆原理，就叫阿基米德来帮忙。 国王替埃及托勒密王造了一艘船，因为太大太重，船无法放进海里，国王就对阿基米德说：“你连地球都举得起来，把一艘船放进海里应该没问题吧？ 阿基米德叫工匠在船的前后左右安装了一套设计精巧的滑车和杠杆。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根绳子，他让国王牵动一根绳，大船居然慢慢地滑到海中。 国王异常高兴，当众宣布：“从现在起，我要求大家，无论阿基米德说什么，都要相信他！” 国王对阿基米德说：“我经常怀疑，是不是神？你怎么会有如此惊人的力量，可以用自己的头脑来做出如此宏伟的事情。” 阿基米德说：“我没有神力，我知识用数学做出合理的巨大的事情。这个力量，就是杠杆，着在我看来很简单，又省力。我设计的这些工具，都是大量的杠杆，做着相对省力的事情。” 国王说：“比这个还大的，你也能拉动？” 阿基米德说：“只要杠杆足够长，又有一个好的支点，我可以撬动一个地球。” 国王说：“一个地球都可以被撬动？着太可怕了，听起来让人着迷。” 阿基米德笑说：“没有支点就不可以，还有就是杆子要足够的长，还要结实。然后就是撬动地球一点，我就需要走很长的距离。” 拿破仑也知道，数学的发展与完善和国家的繁荣富强紧密相关。 国王需要大船这样类型的工程，有力许国家大型工程建设的发展。如果没有阿基米德这样的人，没有这种数学家。国王根本都不敢实施这样的工程，那么一个国家的发展就会受到限制。所以数学跟国家的综合实力息息相关，说得也就是这样的事情吧。 第二十八章 阿基米德之战 阿基米德得知了罗马对叙拉古发动战争，叙拉古国王将抵抗罗马军队的重任交给了马塞拉斯。常年的征战，叙拉古的士兵领教了罗马士兵的凶狠，军队作战能力很差，叙拉古的很多精锐都被罗马人击溃。 马塞拉斯知道，这个战争按照常规打到底，肯定是叙拉古被罗马人占领，多会儿占领，仅仅是个饿时间问题。 马塞拉斯对阿基米德说：“这一次找你，就是让你想想办法，看如何对付罗马的海军。” 阿基米德说：“我要是对付海军的话，可能会用到一些机械，不知道你们会不会有经费去制造。” 马塞拉斯说：“那是肯定的，毕竟罗马非常野蛮，如果我们不能成功的抵抗，我们就会失去这个国家。所以花多少钱也是可以的。” 阿基米德陷入沉思，开始在自己的脑子里构思抵抗罗马海军的武器。 阿基米德认为，罗马海军是在海洋上的，那海洋上的战船肯定有对应的弱点，只要使用成本不高的办法，对付罗马的海军，那就足够，根本没必要再去动用不多的士兵与罗马拼命。 阿基米德想马塞拉斯展示了自己的武器之后，马塞拉斯在阿基米德的几个方案里选择了几个可行的。 罗马又一次对叙拉古发动了海战，罗马士兵认为这一次叙拉古士兵和粮草已经接济不上，所以可以一举灭亡叙拉古。 罗马的战船靠近叙拉古海岸的时候，居然没有遇到像样的抵抗。 但一到城边，发现城墙上有很多极为晃眼的反光，把罗马的将士们晃的睁不开眼睛，看都不叙拉古城墙的真实情况。原来城上的各个将士按照阿基米德的办法，制作了大量的反光镜用了对付罗马人。 同时睡着反光镜的聚焦，不一会儿罗马的战船上就着火了。 罗马的战船依旧勇敢的向前冲过去，不一会儿叙拉古的城墙上伸出一个巨大无比的吊车杆，杆上有一个巨大爪子，这个爪子在罗马战船的头顶上缓缓下降，下降到罗马战船头顶时，爪子收缩，抓住了船只，然后吊车将罗马人的船整个吊起来。吊到空中一定高度的时候，再放开爪子，把船只扔下去，船只在海面上被摔个散架，船上的罗马士兵掉入海中。 将军马塞拉斯笑说：“这是罗马人与阿基米德的战争。” 虽然叙拉古在阿基米德的设计下英勇抵抗，但是罗马人最终还是像潮水一般的涌入叙拉古的城邦中。罗马士兵知道阿基米德的重要性，直接杀入阿基米德的家中。此时阿基米德在屋子里还在设计自己的机械，几何的图案画在沙子上。士兵一个不小心踩住了沙子。 阿基米德对罗马士兵说：“请离开这里，不要弄坏的我的几何图案。” 罗马士兵还是抽刀杀害了阿基米德。 多年后，罗马的元老院中有重要地位的西塞罗去了阿基米德那简陋的坟墓中，亲自吊唁了这个伟大的数学家。 第二十九章 阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》 阿里斯泰奥斯对欧几里得和阿波罗尼奥斯(apollonius，(p))都产生过巨大影响.他试图通过用轨迹法讨论圆锥曲线问题，并引人了“锐角圆锥曲线”、“直角圆锥曲线”、“钝角圆锥曲线”等术语，对圆锥曲线的发展做出了重大贡献。但发扬光大圆锥曲线的，还是阿波罗尼奥斯。 阿塔罗斯对阿波罗尼奥斯说：“你最近想写新书？还是关于几何的吗？” 阿塔罗斯虽为国王，但是极其佩服阿波罗尼奥斯的才华，在政务不繁忙的时候，经常来看看他在搞什么新研究。 阿波罗尼奥斯说：“对，写一本几何学书。” 阿塔罗斯对阿波罗尼奥斯说：“是欧几里得《几何原本》，还是阿基米德那种风格的？” 阿波罗尼奥斯说：“我相当于是他们的继承者。” 阿塔罗斯带着刁难的口吻说：“那你还用写吗？他们基本上都写完了，我能想到的，他们都写了。你这么聪明的人难道还要照抄他们的吗？” 阿波罗尼奥斯说：“引用是肯定的，那是为了简便，但是要说照抄，你误会了。” 说完，阿波罗尼奥斯，拿起一片莎草纸阿塔罗斯说：“你看看，我写的，就是我的书，有没有抄袭的内容。”这些都是阿波罗死奥斯正在写作的《圆锥曲线论》，还没有写完。 阿塔罗斯细细一看，很多图形里有很多椭圆、双曲线和抛物线，很多图形的证明都是在椭圆上，甚至连圆形都极为少见。 阿塔罗斯试图想看懂几个证明过程，但是很多已知条件看着都费劲。 阿塔罗斯指着一个看不懂的已知条件说：“这哪里是已知的？我看不懂呀，从哪里来的。” 阿波罗尼奥斯漫不经心的说：“几何原本上已经证明过个结论而已，我不会重复证明了。” 阿塔罗斯惊异的说：“还能这样去写！这谁能看懂呀？” 阿波罗尼奥斯不喜欢这个喜欢一惊一乍的国王，对阿塔罗斯说：“我写那么多废话，难道还要浪费莎草纸吗？看不懂我的证明过程的，说明没有数学天赋，也就不用看了。” 阿塔罗斯继续看着其中的很多证明过程，有许多证明都是纯几何形式，非常复杂繁琐，阿塔罗斯说：“我细细看了看，倒是没有问题，就是太吃力了，只有聪慧的神灵才能看懂吧！” 阿波罗尼奥斯说：“哪里，我看着十分省力。” 阿塔罗斯说：“不是我说你，你玩圆锥曲线确实牛逼，但是如此难懂的东西也是曲高和寡。这些用途大吗？世界上有多少个圆锥曲线这样的实物？圆形直线很多，椭圆之类的东西几乎没有。” 阿波罗尼奥斯说：“要不说，你这种智商也只适合做国王呢。我倒是敢说，这时间上很多东西还真没有太多完美的圆形，很多不完美的圆都是椭圆的样子，是你不仔细观察生活。我的圆锥曲线几何理论，以后必有大用。你是不会理解的。” 第九章 算术 每个人都喜欢收集东西，每个人的一生总要有个喜欢的东西，把这些喜欢的东西放在一起本身就是一个乐趣。 在秦朝和汉朝都做过御史的才子张仓喜欢收集数学的东西。毕竟建立汉朝，没有数学肯定不行。张仓把战国和秦朝所有数学的东西都收集起来，汇编出《九章算术》。 张仓对自己这个擅长文科的学生贾谊说：“治理国家最重要的是什么？” 贾谊说：“太多了。制度、道德等等。” 张仓说：“其中最重要的还有，就是算术。治理国家，追根节底其实就是计算。没有计算的东西，你根本无法服人心。” 贾谊说：“细细的想，没错。那我们要计算什么呢？” 张仓说：“治理天下，最终要需要计算这些东西，土地面积，粮食比例，比例分配财产，体积面积求边问题，工程体积，税收比例，平均分配的盈不足问题，方程问题，最好还有勾股问题。” 贾谊说：“听说你要写书，把这些问题写下来吗？” 张仓说：“没错，我也是收集了民间所有的题，有246道题，然后汇编整理起来。分成九章，就是我刚刚说道的那些，名称为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股。” 贾谊说：“方田是什么意思？” 张仓说：“治理国家，大王要分配土地，土地都有各种各样的面积你要计算吧。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。里面也包含分数的运算，和分子分母的最大公约数等问题。” 贾谊说：“粟米是什么意思？” 张仓说：“税收很多都是要计算谷物和对于的铜钱比例。谷物粮食的按比例折换。” 贾谊说：“衰分是什么意思？” 张仓说：“生活中很多财产的分配，需要比例分配问题。” 贾谊说：“少广是什么意思？” 张仓说：“知道一个东西的面积和体积后，能反推其中长度。” 贾谊说：“商功是什么意思？” 张仓说：“这是关于建筑的，修建东西，需要对工程中的土和石头进行计算，算体积和分配比例。” 贾谊说：“均输是什么意思？” 张仓说：“朝廷收税，需要合理摊派赋税。这里就是计算赋税比例的问题。” 贾谊说：“盈不足是什么意思？” 张仓说：“是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于物品和人数都未知，只已知在两次分配中一次是盈，一次是亏;或者两次都盈余，或者两次都亏的数量时，求参加分配的物品总量及人员总数。这类问题称为盈亏问题。也称为盈不足问题。” 贾谊说：“方程是什么意思？” 张仓说：“根据未知建立期平衡公式，建立多个公式相互求解。” 贾谊说：“勾股我知道。我研究过，是研究三角测量的。很多距离的测量都会使用三角测量，而三角可以分出直角三角形。所以会用到勾股。” 在数学体系没有建立的时候，只能把数学汇集起来，慢慢的捋顺了，再对不同的问题进行分类。那个时候的人虽然不知道数学，但是知道跟算有关的东西。数学就是在这种前提下诞生的，慢慢的由实际问题抽象到本质问题上。 中国人的数学水平比起希腊人差了些什么？可能不知道地球是圆的，不知道地球绕太阳转。不知道阿基米德所了解的力学。所以很多事情，只能摸索了。而其他的东西，中国跟希腊差不多一样。 第三十一章 海伦公式 公元前62年，海伦经常在亚历山大城，一边教学，一边做很多工程方面的工作。 海伦一天个工作完了，累的浑身是汗，对自己的助手说：“这种工作真是要累死我，要不是为了维持生计，我才不会来干这么变态的工作。” 助手说：“的确累，但测量土地这个工作，肯定需要有人来干，咱们就是靠这个吃饭的。” 海伦说：“真的麻烦，现在就是记录丈量数据，画各种丈量图，标记各种丈量的点。然后就是极为繁琐的计算，算的我看到三角形就想吐。” 助手说：“是啊，一直计算，而且还经常容易搞错。” 海伦说：“其实我们丈量土地面积，仅仅就是为了把土地划分出很多个三角形。只要我们把这个三角形划分好，直接能测出三角形面积就好。” 助手说：“就是求三角形面积是最麻烦的，每一次求一个面积，都需要计算高度。” 海伦说：“因为我丈量的都是三角形的边，能不能直接用三角形的边长直接来计算三角形面积呢？不要疲惫的去求高和底边的乘积一半了，太麻烦了。” 助手说：“以前没尝试过，理论上可以，只要把勾股定理这些东西充分巧妙的使用，应该可以推导出来。如果只要三角形三个边长就可以直接带入公式去求三角形的面积了。” 海伦一边开始推导，一边开始说：“一整片地，大概分出无数个三角形。不管有多不规则，只要摆好丈量点，就可以快速求出三角形。然后把这些三角形的面积加起来，然后对剩下的那些微小的缝隙进行估算，就可以算出这个不规则形状的大致面积。” 用了不长的时间，海伦找到了一个海伦公式：s=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)\/2。这里面a、b、c这都是三角形的三个边长，知道知道a、b、c这三个长度，直接就知道三角形的面积s了。 因为发现了这个海伦公式，所以海伦计算任何一个东西的面积，速度突然加快。让当时亚历山大城的其他工程师感到震惊，同时海伦公式也流芳百世。 后来海伦撰写了《量度论》（metrica）。书中包含了计算面积和体积的公式。 第三十二章 凯撒的密码 公元前58年。在高卢打仗的凯撒心里很愁，多个战争就被敌人提前预测到，然后自己远方的部队还没有按照命令行进的时候，就被敌人歼灭了。 凯撒的副将安东尼看出了凯撒的心情不好，连忙问：“发生什么事情了？” 凯撒说：“在高卢这么久都没有成效，关键在于信使不能把命令准确传达。要知道，我要指挥多场复杂的战争，让整体战略协同起来，就要有各路信使按照我的命令来完成任务才行。” 安东尼说：“信使被劫，这在古往今来的战争中都是常有的事情。” 凯撒说：“总不能什么事情，我都亲自跑到各个地方的单元部队，然后贴着耳朵告诉他们该怎么做吧？” 安东尼说：“麻烦的就是这个，也不能派出一个部队去保护信使，这样太浪费，还影响速度。” 年纪小小的沃大维说：“我倒是有个办法，可以让敌人截获了信也没有用。” 安东尼说：“最好是不能让截获。” 凯撒说：“不能让截获这种事可不是我们能决定的。听听沃大维的意思。” 沃大维说：“我们可以把信中内容改成只有我们才能看懂的样子就可以了。如果被截获了，我们多路发送过去就行。” 安东尼说：“你要怎么改？可不能改成我们自己人都读不懂的样子。” 沃大维在地上一边画，一边说：“我们可以有一个圆盘，圆盘外面对应一个可以旋转的圆环，圆盘和圆环对应拉丁字母，可以错位对准，比如a对准d，这样也就是b对准e，c对准g等等这样子。我们发信的内容把其中的a改成d，b改成e，c改成g等等这样下去。把信中的明文，改成密文。让信使拿着密文，去传递消息。然后到达目的地后，再返回来把密文改成明文，只要按照那个盘子倒推回来就行。” 安东尼说：“那就得需要军队双方有个相同的盘子，对准的字母也一样才可以。” 沃大维点点头，表示正确。 凯撒说：“这个主意不错，起码能解决当下的问题了。” 凯撒从此以后发送命令就用这种办法。 第三十三章 帕普斯的《数学汇编》 公元4世纪，希腊数学已成强弩之末。 黄金时代﹝300 b.c─200 b.c﹞几何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亚历山大被罗马人占领，学者们虽然仍能继续研究，然而已没有他们的先辈那种气势雄伟、一往无前的创作精迪。 公元后，兴趣转向天文的应用，除门纳劳斯﹝menus of alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝udius ptolemy，约公元85-165﹞在三角学方面有所建树外，理论几何的活力逐渐凋萎。 此时亚历山大的帕波斯(pappus of alexandria)正努力总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果，以免年久失传。 帕普斯给欧几里得《几何原本》和《数据》以及托勒密的《大汇编》和《球极平面投影》作过注释。 写成八卷的《数学汇编》﹝synagoge或“mathematical collection“﹞──对他那个时代存在的几何着作的综述评论和指南，其中包括帕普斯自己的创作。 但第一卷和第二卷的一部份已遗失，许多古代的学术成果，由于有了这部书的存录，才能让后世人得知。 例如芝诺多努斯的《等周论》，经过帕普斯的加工，被编入于第五卷之中。 当中有关于『圆面积大于任何同周长正多边形的面积』、『球的体积大于表面积相同的圆锥、圆柱』、『表面积相同的正多面体，面积愈多体积愈大』等命题。 对于希腊几何三大问题也作了历史的回顾，并给出几种用二次或高次曲线的解法。 在第七卷中则探讨了三种圆锥曲线的焦点和准线的性质，还讨论了『不面图形绕一轴旋转所产生立体的体积』，后来这叫做『古尔丁定理』，因为后者曾重新加以研究。 《数学汇编》引用和参考了三十多位古代数学家的着作，传播了大批原始命题及其进展、扩展和历史注释。由于许多原着已经散失，《数学汇编》便成为了解这些着作的唯一源泉，是名副其实的几何宝库。 第三十四章 丢番图方程 古代有许多着作，是因为他们找全了资料。丢番图的算术就是这样的情形。 毕达哥拉斯学派喜欢思考几何问题，丢番图的都是代数问题。比如，花一定的钱买不同的各种价钱的东西，总共有几种买法。能不能有效的把所有可以的买法全部都计算出来？ 丢翻图对路人甲说：“东方有一个问题，1公鸡值1钱，1母鸡值3钱，3小鸡值1钱。有一百钱可以怎么买这些鸡？分数肯定是不行的，很多东西不能分成几半，所有东西上必须是整数。肯定不能是分数。”丢番图是一个不喜欢分数的人，认为用分数解方程不能解决所有问题。 路人甲陷入思考，脑子有点转不过来。皱眉说：“我不会算呀！这个怎么算？” 丢翻图说：“东方的算术书里已经有了答案，公鸡、母鸡和小鸡的比例有4:18:78，又有8:11:81，又有12:4:84这三种答案。” 路人甲说：“你也是看答案知道的。你有简单的方法计算这些吗？” 丢翻图说：“我只有笨办法去试，没有简单快速的办法。如果有，那可是伟大的发现。” 路人甲说：“会有聪明的后人发现吗？” 丢翻图说：“估计不会。因为没有简单方法，所以这才是这个问题的魅力。” 路人甲说：“没错，但是如果一个式子的解都是小数或者分数，你不会去用吗？” 丢翻图说：“我喜欢整数，不喜欢分数和小数。一个式子，我只关注有没有整数解，如果没有整数解，就相当于无解。因为很多事情必须要用整数来表达。我喜欢去寻找各种各样的公式。然后就去寻找这些公式的整数解。” 路人甲说：“你具体是怎么做的？” 丢翻图说：“写出一个不定方程，计算所有整数解。先看看何时有解，看看有解的时候决定解的个数，然后求出所有的解。” 丢番图的出生日期不可靠，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目： “坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。” 这是一个一次方程，答案是84岁。 费马有一天看到这个书，开启自己的数学生涯。费马大定理问题由此开始。 可是究其一生丢番图的发现也没有让自己的不定方程能解的更快，其中办法只有穷举法或者是穷举法的各种延伸。 都约两千年后的1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（matiyasevich''s theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。 到了后来的贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等都是丢番图的问题。都无法用简单的办法可以解出。 第三十五章 丢番图逼近 在数论中，丢番图逼近探讨以有理数逼近实数的课题，逼近的程度通常以该有理数的分母衡量。 丢番图对路人甲说：“有些数字，明明知道它是干什么的，但却不能完善的表示出来，该如何？” 路人甲说：“还有这样的数字吗？” 丢番图说：“就是圆的周长除以直径这样的数字，圆周率。” 路人甲说：“没错，这个数字确实不能完善的写完。” 丢番图说：“只能以一些数字进行逼近。” 路人甲说：“我只知道大概在3.14左右。” 丢番图说：“光知道这么一点点肯定还不够，一定要知道更多才行。这就需要使用多边形办法，转化成分数逼近准确的值。” 路人甲说：“如何逼近？” 丢番图说：“圆周率可以用22除以7，355除以113来近似计算圆周率。下一个渐近分数为除以，再下一个为除以。” 路人甲说：“太厉害了，会越来越精确。” 丢番图说：“想要绝对精确恐怕不可能了，但是我们可以用现有的办法一直逼近。很多其他的问题，也可以使用这个逼近法来解决。” 这就是丢番图逼近的一个例子。 第三十六章 玛雅历法 约公元250年，中美洲的阿兹台克人有一个繁荣的文明，其中历法是繁荣中最鼎盛的。 玛雅人使用的是20进制的计数，也许是因为手指头加脚指头一共有20个的原因。 他们用三种东西计数，一个是横条和圆点，一个是人的头像，还有一个是人体形象计数。零是用贝壳表示的。 阿兹台克国王找到了阿兹台克大祭司说：“神命我有权利，我的权利首先必须要准确的天时来确定。请你给我讲讲，我们阿兹台克制定的立法是什么样子的。” 大祭司毕恭毕敬的说：“尊敬的阿兹台克国王，你关系大自然留给我们的神秘力量，这是百姓之福。我愿意细致给你讲解精准立法，帮助你治理国家。” 国王说：“洗耳恭听。” 大祭司说：“历法有卓尔金历的260天，大约就是女人怀胎十月的时间，还有玉米耕作的时间。他们按照20为一个单位，然后260是13乘以20得到的。” 国王说：“这个13和20的含义也有对应的各种神灵，那哈布历呢？” 大祭司说：“哈布历的365天，其中的360是18乘以20得到的，然后又加个5天，这5天是凶日，又叫“无魂日”。这就可以算作一个太阳年了。” 国王说：“这个是两个历法，我们用哪个最好？一年四季容易在哈布历中看出，是不是更容易使用。” 大祭司说：“按照传统，我们可以一起使用。因为卓尔金历和哈布历是不一样的历法，所以要把他们统一起来，就会有一个52年哈布循环日。这52年哈布年里包含的是73个卓尔金年，一共是天。” 国王说：“为了追求准确，这已经有了一定难度了。看来天时的把握是有一定难度的。” 大祭司说：“除此以外，不可思议的就是玛雅历法里有金星历！” 国王说：“如何能看到金星。” 大祭司说：“我们夜观天象，会绘制星图。其中绝大多数的都是相对静止的，只有这个金星在做一些奇怪运动。这一定是神意，所以，我们必须要把控这个不容易看到的天命。” 国王说：“金星如何移动？” 大祭司说：“金星在星空中是闪闪发光的一个亮点，在太阳光中消失两个星期，之后再出现，然后在太阳背后消失13个星期，然后出现在傍晚。这一个周期就是金星汇合周期，是584天。5个金星汇合周期等于8年的哈布历，一共是2920天。” 国王惊叹的说：“金星肯定是一个神，我们要注意观察神的意志。” 大祭司说：“哈布历的104年中，有65个金星周期，卓尔金历是146年。每过548天，金星所在星图位置画出一个五角星。每过8年，金星所在星图位置会画出一个八边形。” 国王说：“月亮也有周期吧？是不是也能用在历法中？” 大祭司说：“关于月亮，让46个卓尔金历为405个朔望月就行。” 国王说：“还有其他的星星吗？” 大祭司说：“火星汇合周期为780天，146个火星周期等于312个哈布历年等于438个卓尔金周期。” 国王说：“还有吗？” 大祭司说：“有42个哈布历等于59个卓尔金历，405个朔望月等于46个卓尔金历，61个金星周期等于137个卓尔金历，1个火星周期等于3个卓尔金历，88个木星周期等于135个卓尔金历。” 国王听得眼花缭乱，脑子都转不过来了。 国王说：“那一整个周期是多长时间？” 大祭司说：“一个整周期，就是5125年的样子。我们用过5个这样的周期，前四个已经过去了很久，那也是跟我们此刻不同的世界。这个周期我们用完了，我们现在的世界就毁灭了。” 大祭司说的这个毁灭日，就是公历2012年的冬至那一天。 第三十七章 埃拉托色尼测地球周长 约公元前235年，埃拉托色尼想要测量地球的周长。 出生于公元前315年的阿利斯塔克，是日心说的支持者，所以埃拉托色尼基本知道准确的日地天文模型。 他知道地球是圆的，只是想知道地球有多大而已。 埃拉托色尼说：“我现在已经具备计算地球大小的理论知识了，现在准备开始。” 路人甲说：“以前有人计算过吗？” 埃拉托色尼说：“攸多克索之前计算过，仅仅依靠天文学，但是缺乏理论依据，所以肯定不准。而我知道这次计算，要动用天文地理和数学这些知识才可以。” 路人甲说：“也就是说光是天文学去计算是不可以的，还得需要地理上的测量和分析。” 埃拉托色尼说：“我在夏至日那天，我和你分别在两地同时观察太阳的位置，并根据地物阴影的长度之差异，加以研究分析，从而总结出计算地球圆周的科学方法。这种方法比自攸多克索以来习惯采用的单纯依靠天文学观测来推算的方法要完善和精确得多，因为单纯天文学方法受仪器精度和天文折射率的影响，往往会产生较大的误差。” 路人甲说：“我们选择哪两个地方？” 埃拉托色尼说：“这两个地方最好都在一个子午线上，我已经找好了，在两地西恩纳和亚历山大里亚。” 路人甲说：“只需要我们两个人在这两个地方的夏至只是，在这两地对太阳所在位置进行计算即可。只是，我们需要精确测量太阳的位置，来确保计算结果的正确性。” 路人甲按照埃拉托色尼的指示，在西恩纳附近，尼罗河的一个河心岛洲上，有一口深井，夏至日那天太阳光可直射井底。这一现象闻名已久，吸引着许多旅行家前来观赏奇景。它表明太阳在夏至日正好位于天顶。” 在与此同时，埃拉托色尼在亚历山大里亚选择了一个很高的方尖塔作参照，并测量了夏至日那天塔的阴影长度，这样他就可以量出直立的方尖塔和太阳光射线之间的角度。 二人在获得获得了这些数据之后，埃拉托色尼运用了泰勒斯的数学定律，即一条射线穿过两条平行线时，它们的对角相等。埃拉托色尼通过观测得到了这一角度为7°12′，即相当于圆周角360°的1\/50。 由此表明，这一角度对应的弧长，即从西恩纳到亚历山大里亚的距离，应相当于地球周长的1\/50。 下一步埃拉托色尼借助于皇家测量员的测地资料，测量得到这两个城市的距离是5000希腊里。 一旦得到这个结果，地球周长只要乘以50即可，结果为25万希腊里。为了符合传统的圆周为60等分制，埃拉托色尼将这一数值提高到252 000希腊里，以便可被60除尽。 埃及的希腊里约为157.5米，可换算为现代的公制，地球圆周长约为公里，经埃拉托色尼修订后为公里，与地球实际周长引人注目地相近。 由此可见，埃拉托色尼巧妙地将天文学与测地学结合起来，精确地测量出地球周长的精确数值。估算值比实际值大了15%。这一测量结果出现在2000多年前，的确是了不起的，是载入地理学史册的重大成果。 第三十八章 埃拉托色尼筛法 自打欧几里得提出素数有无穷个以来，埃拉托斯特尼也算是第二个研究数学的了。他发现了一个可以从自然数中筛选出素数的办法。 路人甲对埃拉托色尼说：“听说你可以用使用方法，把素数分布的规律找到。” 埃拉托色尼说：“是的，我使用一种筛选法。” 路人甲说：“如何晒呢？” 埃拉托色尼说：“给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......” 路人甲说：“加入列出序列。” 路人甲在地上写下2以后的所有序列：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25。 埃拉托色尼说：“标出序列中的第一个素数，也就是2，划掉2的倍数，序列变成。” 埃拉托色尼在地上写出2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25这些数字。 埃拉托色尼说：“如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成。” 埃拉托色尼说写出2 3 5 7 11 13 17 19 23 25。 路人甲说：“我们得到的素数有：2，3。25仍然大于3的平方。” 埃拉托色尼说：“所以我们还要返回第二步。序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了。” 埃拉托色尼写出2 3 5 7 11 13 17 19 23。 路人甲说：“我们得到的素数有：2，3，5 。” 埃拉托森说：“因为23小于5的平方，跳出循环.结论就是2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。” 这种筛选的办法，让人类对于素数的了解更近一步。但是想想，者也不算太难的想法。古代人就这样想到了，今天的人要是重来思考的话，也会想到吧。 其实数学的灵感，往往都不复杂，甚至是简单的按部就班，就可以得到让人惊叹的结果。 第三十九章 尼克米迪斯《论蚌线》 尼克米迪思对埃拉托色尼说：“我找到了可以三等分角的办法。” 埃拉托色尼说：“太厉害了，是什么办法？” 尼克米迪思说：“很简单，只要画出蚌线即可。” 尼克米迪思拿出了一个画蚌线的机械，开始作图。一会儿就给埃拉托色尼演示出了画三等分角的方法。 埃拉托色尼说：“不错，不错，这是一个好的思路。” 埃拉托色尼沉思一会儿说：“你这样的办法也可以解决倍立方的问题了吧。” 尼克米迪思说：“没错，按照这个步骤来就可以了。因为你原有的方法不实用。” 在尼科米迪斯以后千年时间内，对蚌线的研究无多大进展.直到16世纪后期，帕普斯和欧托基奥斯的着作重新引起关注，才再次引发了对蚌线的研究. 论蚌线这件事可以看出，研究数学，如果从本质上没有找到好的办法，也可以使用一些看似笨的辅助性的办法也可以。 第四十章 拜占庭派兵的问题 罗马皇帝马可·奥留面临的一个麻烦，就是一片大大的疆土，需要稳定治理。所谓治理，只不过就是不让其他国家乱起来，对中心罗马造成威胁。 中心在罗马，而离罗马比较远的高卢、北非、伊比利亚、不列颠、埃及、君士坦丁堡和小亚细亚这些地方，很容易造反。 如果罗马大军到达任何地方，倒是可以轻松搞定。但麻烦就在于，大军一开出去，罗马也会很危险。所以不能贸然开出所有大军。 康茂德看出了父亲的忧虑，对马可奥留说：“我们现在手里有24个军团，只要有12个军团就可以平定任何一个城市的叛乱。” 马可奥留说：“我们是以6个军团为一个作战单位的，所以我们有四个作战单位。按照你所说，两个作战单位就可以平息叛乱。所以，我们要考虑怎么摆放了。” 马可奥留看着罗马全境地图，陷入沉思。 康茂德说：“再抓壮丁，多弄点部队，增加到七八个军团，会不会好些。” 马可奥留说：“我也喜欢全民皆兵，可是税收顶不住啊，拿什么去供养这么多兵。6个军团的制度是凯撒留下的，肯定有一定合理性，不要乱改。” 康茂德说：“从状况上来看，如果出现突发事件，就算当地没有我们的军团，只要在临近区域有军队开过去，也可以解决问题。” 马可奥留说：“正是如此，我们现在要弄清这些地区的地形，合理安排我们的军团。” 康茂德说：“罗马东边临近君士坦丁堡，东南临近埃及，南边就是地中海那边的北非，西边是高卢。” 马克奥留说：“地点我知道，主要是不列颠、伊比利亚和小亚细亚是不临近罗马的。” 康茂德说：“没错，小亚细亚和不列颠之间距离还十分遥远，所以麻烦很大。” 马可奥留说：“我想到了一个不错的摆放方法。在罗马放两个作战单位，也就是12个军团。在不列颠放一个作战单位，也就是6个军团。在小亚细亚也是一个作战单位，6个军团。这样我们就不怕其他地区的造反了。” 马可奥留一边说，一边画出这些地区的图形。 康茂得说：“这样的分布会不会过于分散？” 马可奥留说：“首先罗马是最安全的，处于核心地带。然后北非、高卢、埃及和君士坦丁堡可以由罗马第一时间派出军团，进行保护，之后让不列颠和小亚细亚驻扎的军团也即使回合。而不列颠和小亚细亚，则有一个作战单位的6个军团进行抵抗。” 康茂德说：“最麻烦的是伊比利亚了，那里如果出问题，那第一时间也只是不列颠的兵可以到达，而罗马的援军走两次才能到达伊比利亚了。” 马可奥留说：“这样只是因为罗马很重要，所以安排到北非和罗马各一个作战单位。这是为了政治因素。毕竟伊比利亚出问题，对我们影响不大。而罗马出了问题，我们的王朝就会被全部毁灭。” 第四十一章 中国剩余定理 吴王阖闾在孙武和伍子胥的帮助下，带兵攻破楚国。 这是吴国极端冒险的一次行动，吴王阖闾被孙武非凡的军事才华所震惊。 而在阖闾眼里，孙武是一个一直喜欢那种算筹来回拨弄的人，似乎算筹从不离手。 阖闾一笑，既然这么爱计算，可以考考他的水平。 阖闾看了一个军队列队的变换，对孙武说：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 意思是这个数字除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数等于多少。 孙武停滞了一下，飞快熟练的拨弄算筹，没一会儿回答：“23个。” 阖闾自己数了数士兵的个数，果然正确，吃惊的说：“你连看都不看，是怎么算出来的？” 孙武一边摆弄算筹，一边对阖闾说：“找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。” 阖闾看到孙武摆弄的算筹计算这些数字，一头雾水。 孙武继续说：“用15乘以2，用21乘以3，同理，用70乘以2，然后把三个乘积相加得到和233。” 阖闾看到孙武孩子熟练的拨弄着算筹，手速很快，阖闾都反应不过来。 孙武继续说道：“用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233除以105余数为23。这个余数23就是符合条件的最小数。” 牛顿说过：一个例子比十个定理有效。从这道题来看，立马就理解了剩余数学问题。 数学问题，很多看起来是棘手的问题，不用做剖析，直接就可以把它列出来，把这一切的本身就直接当做一个问题。这样反而会快速的组件数学模型。 《孙子算经》的这个问题，就是一个直接列出来的问题，没有让这个不知其数去做一些更精细的模型来组建，而是直接提问，这样反而会找到这一类问题的归为一类。然后遇到类似问题，就可以使用这类方法求解即可。 第四十二章 祖冲之的圆周率 公元461年，南朝的宋孝武帝刘骏很看重祖冲之，认为他可以计算很多重要和精确的东西。 刘骏将祖冲之调任到总明观，而总明观是此刻南朝的最高学府，相当于今天的科学院。 祖冲之在科学院任职，总会计算很多东西，其中就有圆的面积。 而计算圆的面积，免不了会用圆周率，原来的圆周率用的是约率和密率。 约率粗糙是22\/7这样的数值，而密率精细是335\/113这样的数值。 祖冲之知道这两个数值在大概上来看，还能用，但再变细一些就不能用了。 祖冲之知道自己需要再找到一个办法来更仔细的寻找圆周率的数值，这个数值需要一个特别的方法。就是刘徽的割圆术。割圆术就是让多边形原来越多，几乎变成圆形，求多边形的边长后，直接除以半径来得到相对准确的圆周率。 刘徽的割圆术是在圆中的内接6变形开始的，在此基础变成12、24、48变形，一直往下走，所以最终计算了3072边形的结果，得到了π=3.1416这样的数值。刘徽知道圆割的越细，就会越准确，直到不能再割的时候，就准确了。 祖冲之当然知道把圆画大点，割的多边形更多点就会得到正确结果了。 所以自己在家里画了一个直径为1仗的大圆，用刘徽的割圆术割出了边形，一个是外接圆，一个是内接圆，那圆的边长当然处于外接和内接之间。外接圆长度为3仗1尺4寸1分5厘9毫2丝7忽，这是盈数，内接圆长度为3仗1尺4寸1分5厘9毫2丝6忽，这个是小数。所以圆周率就在这两个数字之间。 祖冲之当然可以再往更加精细的地方进行计算，只是绝对圆周率的数字再这样计算下去，也没有意义了。只要用密率就完全足够解决很多问题了。自己算出的这个祖率，在很多粗糙的工程上都用不到。 所以数学，在无理数这件事情上，永远无法精确解决，怎么办？只能是近似解决而已。数学上很多东西都只能是近似解决。 第四十三章 祖暅原理 祖暅看到一个小孩在拨弄铜钱，左边整整齐齐叠放8枚，右边有点乱的叠放成8枚。 祖暅看着这两个8枚铜钱，心里突然在想：“不管怎么叠放，这两排铜钱都是一样多的。” 都芳看到祖暅如此说：“这不是废话吗？不管怎么放，当然都是一样多的了。” 祖暅说：“那是因为这两排铜钱，每一层都是一样。” 都芳对祖暅说的话，更摸不着头脑，但是看到祖暅已经有了某种发现。 祖暅说：“我知道，刘徽的对于球体的计算是错误的。” 都芳说：“他提出的难方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。” 祖暅说：“我想到了，只要使用刚刚那个铜钱的原理，就可以计算出来球体体积了。” 都芳疑惑的说：“你刚刚发现了什么原理？” 祖暅说：“太简单了。“两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。” 都芳说：“这如果求球体体积？找一个跟球体登高的东西吗？” 祖暅说：“知道半球体，就会知道整个球体体积。而半球体与圆柱取出其中圆锥剩下的” 祖暅说着，画出了一个半球体，然后在旁边对齐画出登高圆柱体，这个圆柱体直径与半球体直径一样。 祖暅在圆柱体里画出了一个与圆柱等高的圆锥，并且指示这部分的圆锥已经取出来了。 都芳说：“那就留下了一个缺圆锥的圆柱了。怎么证明，这部分跟旁边的半球体积一样。” 祖暅说：“跟刚刚小孩那两排8枚铜钱的原理一样。” 祖暅说着，画出任一截面，截取了缺圆锥圆柱体和半球，把截取的这两个面积画出来。 祖暅对都芳说：“不论我的截面如何挪动，你都能发现半球截面和那缺圆锥圆柱的截面是相等的。只要我能求出这个缺圆锥圆柱的体积，就可以求出半球体。” 都芳说：“缺圆锥的圆柱是原来圆柱的三分之二的体积啊。所以一个球体体积应该是。” 都芳边想边算，说：“所以一个球体是这个圆柱的三分之四的体积。” 祖暅说：“刘徽居然认为是四分之三，他算反了，哈哈哈。” 第四十四章 是否是真经 公元632年，这在中东信仰一神的世界里，有了很多麻烦。 为了解决麻烦你，阿訇对抄书员甲和抄书员乙说：“你们被赋予一个极为重要的任务，就是辨别这些经书的真伪。” 抄书员甲说：“什么书？” 阿訇说：“经书在先知去世后，流传出了各种各样的版本。数量越来越庞大不说，很多自称真经的内容也慢慢的发生了一些奇怪的偏离。” 抄书员甲说：“都是各种不同角度对神的看法。为什么说会有偏离，如何看出来的？” 阿訇说：“很简单，很多有了自相矛盾的东西，不知道到底开始遵循哪一个？” 抄书员甲说：“让我们选择有道理的那个，没道理的，直接丢弃不就可吗？” 阿訇说：“如果很多所谓经书有假的而选择相信，那肯定是会误入邪道。而很多经书是真的选择不信，那就也会造成不能按照先知的方向走。” 抄书员甲说：“既然是很多人写的，所以找到当事人对峙一下不就可以了？” 阿訇说：“而很多写成书的人都已经不在了，无法有人证。” 抄书员甲说：“让我们辨别吗？这个有难度吧。” 阿訇说：“所以这对你们来说才是一件神圣的事情。” 抄书员甲和乙硬着头皮接下了这个任务。 抄书员甲说：“这么多的书，单单通过读书，感觉其中的文法，是很难感觉到的。” 抄书员乙说：“没有办法。这样的工作前人也没做过。” 抄书员甲说：“面临的麻烦，还不止是这些。就算我们两个人说一些书是伪作，但是人家看后，说这是真迹，这就麻烦了。” 抄书员乙说：“谁说不是呢，这里连个评判标准都没有。” 抄书员甲说：“想要评判标准，我倒是找到了一个笨办法。就是把书中很多常用的词汇的个数都统计了一下。” 抄书员乙不知道抄书员甲的意思，对甲说：“这个办法很麻烦，我们总不能每一个词都去记出现的个数吧？” 抄书员甲说：“找几个关键的词汇去记，比如对原有确定是真经的部分文中安拉、火狱、相信之类的词汇进行个数的统计。再对那些不确定的词汇的安拉、火狱、相信这些词汇进行个数统计。然后对比出现频率的那个谱线是否相似。” 抄书员乙听明白说：“你的意思是说，如果相差不远的，那就是真经，就是神的启示。如果相差太大，那就是伪作。” 抄书员甲说：“没错，这种办法如果对阿訇说，他肯定会同意，那我们的工作也就有了评判标准了。” 两个抄书员的要求被阿訇采纳。就这样，很多后来的经书都用这样的方式识别出来了，让经书的纯度变得很高。 同时，阿拉伯人使用这样的方法破解了凯撒密码。因为，凯撒密码虽然调换了字母，但是可以使用频率法将被调换的字母找到对应的原型。 所以凯撒密码在阿拉伯人这里开始失效了。 第四十五章 阿尔·花剌子模的符号 约810年，智慧宫在巴格达建立。 在那里希腊及印度的数学和天文学着作被翻译成阿拉伯语。 花剌子模在这里撰写了关于算术，代数，地理和天文学方面的重要着作。 特别是《积分和方程计算法》，“代数”（algebra）一词出自“al-jabr”。 “算法”（algorithm）出自花拉子米的拉丁文译名“algoritmi”。 在公元780年出生，有一个波斯人，是阿尔·花剌子模，被称为代数之父。 懂数学、天文和地理。 规定历法。 根据托勒密的《地理学》重新绘制地图。 一开始的任何一本数学书籍，都是文字解释很多，图形上也是很多混乱。公式之类的思想也是用文字来描述。古代数学作品反而有很强的科普化倾向。先被认为是旧式数学的象征。 在巴格达智慧宫帮皇帝收集科学文献的时候，花拉子模有了很多感悟。 花拉子模觉得真正的数学，不应该到处乱写乱画，因为事情一多，计算容易出错。 花拉子模看到很多古代的文献上计算都有错误，这种错误，就是因为运算不规范造成。 其中有文法、章法和符号的表示，很多都是用文字，还有一些很原始的不科学的办法做出的。 花拉子模认为，这在计算复杂东西的时候就没办法的算得准确了。 花拉子模试图把这些运算过程，用一行简单符号来表示。 这就是后来的公式。 花拉子模让很多复杂计算的草稿也开始规范下来，这样可以保证准确的计算了。 之后大量的数学的长篇大论就变成了一堆符号公式。 这是数学的一大改革，让数学运算变得简单。 把印度数字的十进制计数法推广使用。 求解一次方程和二次方程。也就变得一目了然了，因为许多项代数之间的运算也简单了，只需合并同类项。 以此，他的作品被斐波那契引入欧洲。 让数学的发展突飞猛进。 但是随后，随着符号的复杂性增加，很多学习数学公式和符号过多，让很多人望而却步。 学习数学的人必须借助科普书的力量，来理解标准教材。 反而需要让很多公式和符号用科普书来解释，倒是类似了古书了的表达方式了。 所以数学的发展，除了高效和简洁以外，还得清楚和有趣。 第四十六章 上帝的花纹 约850年，泰比特·伊本·奎拉（thabit ibn qurra）做出了重要数学发现，例如将数的概念扩展到正实数，微积分，球面三角学的定理，解析几何，非欧几何。 泰比特·伊本·奎拉对花剌子模说：“我看到很多教堂上有美丽的花纹，让人赏心悦目。我想这除了好看以外，还有什么重要原因吗？” 花剌子模知道奎拉是萨比教徒，不信一神教。而自己以前信奉琐罗亚斯德教，现在信奉这个一神教。 花剌子模说：“在中东一神教世界里，神就是数学。正如希腊哲人柏拉图说，上帝是个几何学家。” 奎拉虽是萨比教徒，但也是相信希腊人的思想，只是好奇为何用在教堂建造图案上。 奎拉说：“如何很多清真寺都是一个数学的建筑，上面的装饰也是数学的花纹，这其中的道理是怎样的？” 花剌子模说：“这种花纹高度对称，极为华丽，那就是一种绝对的美感。” 奎拉说：“没错，确实对称。” 花剌子模说：“虽然无形，但真主是一个几何学家，而且是一种完美的几何学家。在天堂的世界里，一切都是极为优美和秩序的。不论是花朵和植物还是草树，都是真主创造的绝对优美的几何体。” 奎拉惊叹的点头。 花剌子模说：“所以对真主信仰，就必须要懂得几何学。” 奎拉说：“没想到对于神的信仰，也是对绝对数学的认可。” 花剌子模笑说：“清真寺是世间最像天堂的地方，所以必须要有天堂的模样，这种模样就是几何的美感。” 奎拉说：“这是个很有趣的思想。” 花剌子模说：“繁复的犹如花曼、枝叶、花朵和花蕾的周期性，恰恰的是单一的主创造生成的。” 奎拉说：“一个科学的神，神与科学合二为一，毫无冲突和矛盾。神就是数学，数学就是神制定的法律。” 花剌子模说：“所以不懂数学的人，不能贸然说可以领会神的意思。” 奎拉说：“我细细看了其中的花纹，看到六边形很多。” 花剌子模说：“在所有的花纹的形状中，最多的是六边形，那是因为真主创造万物用了六天。” 奎拉说：“我看这些图形先是用尺规作图，作出对应的六个圆圈，然后画出很多中各式各样的六边形，然后再用这种六边形去装饰一切。这是六边形的一种推演。” 花剌子模说：“你说的很对，能设计教堂的人都必须是真正的数学家。而且书法也需要做很多数学的加工。比如，方形库法体的字体令人惊叹不已，那是一种方正儿对称的感觉，可以表达神圣的事物。” 奎拉说：“我知道，一般真主的名字都是这样写的。” 第四十七章 婆什迦罗第二 婆什迦罗的女儿沉浸在失去丈夫的痛苦中。 婆什伽罗心疼的看着女儿，想帮她摆脱痛苦。 数学就是帮助女儿摆脱痛苦的最好方法，他认为，数学可以治疗抑郁症。 婆什伽罗对女儿说：“忘记这些吧，人已经不在了。” 女儿说：“哎，人不在了，我也嫁不出去。关键是我还沉浸在失去丈夫的痛苦中。” 婆什伽罗说：“想那么多要没用，我还按照以前的方式，让你摆脱痛苦吧。” 女儿说：“还是数学吗？你认为数学可以摆脱痛苦？” 婆什伽罗说：“没错，数学可以让你放弃生活中的琐事，可以完全的让你沉浸在其中。忘记痛苦，忘记烦恼，甚至可以忘记贫穷。” 女儿从小也喜欢听婆什伽罗讲数学，婆什伽罗也经常能讲出她从来没学过的新知识。 女儿说：“好吧，今天又有什么新东西？” 婆什迦罗想了想，刚好正在计算一个数学的除法，他渐渐的发现，除数越来越小，得到的数字就会越来越大。虽然这是一个看起来很简单的结果，但是却让他着迷。 婆什伽罗开口说：“一个除法运算，让除数变成0，会得到一个巨大到无穷的数字吗？” 女儿说：“任何数字除以0，那没有意义吧。怎么会有无穷大！” 婆什伽罗说：“肯定会的！一定是这样的结果，否则还能是什么？” 婆什迦罗认为，不论是被除数是什么样的数字，如果除数为0，那得到的就是无穷大。 女儿说：“那反过来，任何一个常数除以无穷大，那也一定为0.” 婆什伽罗很肯定的点头。这其实就带了粗糙的微积分的影子，所以婆什伽罗发现微积分的时间比牛顿和莱布尼茨早五个世纪。因证明了任何数除以0是无穷大而无穷大除以任何数依然是无穷大而着称。 第四十八章 斐波那契数列和黄金分割点 神圣罗马帝国的腓特烈二世路说：“罗马没了，这里就剩下意大利，这又什么不同吗？” 斐波那契说：“没有，很多东西都还是一样的，而且必须要一样。很多达不到罗马的规模了，但是还得用。” 腓特烈说：“比如？” 斐波那契说：“经济，尤其是经济。我们还是用罗马式的经济，罗马人不喜欢农耕，种植大量的无用的粮食。” 腓特烈惊奇的说：“等等，哪个国家能不种植大量粮食？” 斐波那契说：“罗马时期的意大利就不需要那么大个规模去种植粮食，只需要其他地方种植，然后用我们这里的其他东西来换就行了。罗马时期，整个地中海都是我们的，地中海周围的港口会有各式各样不同的我们需要的东西。当然他们也喜欢我们的东西，所以我们可以使用海上贸易来交换。他们喜欢我们的葡萄酒，我们只需要种植葡萄酒，就可以换来更多的粮食。而我们要种植我们不占优势的粮食，反而没有贸易结果来的多。罗马人原来要做好的事情，就是保证地中海周围各个国家港口的贸易往来就行。” 腓特烈说：“就葡萄酒吗？就能赚不少？” 斐波那契说：“哪里只是葡萄酒，我只是给你打个比方而已。还有别的意大利的东西可以贸易呢。” 腓特烈说：“只要记住不同港口的商品，然后直接交换就可以吧？” 斐波那契说：“记住肯定是记住的，但是直接交换不可以。我们需要对每个港口的商品的价格变动来记录，然后再计算自己港口的物品价格。然后让我们的商船看看如何跑，才能挣到很多的钱。” 腓特烈说：“这是一个很复杂的过程。需要复杂的计算。” 斐波那契说：“所以我开始研究算术，就是为了解决这些问题。” 腓特烈说：“价格的变动是个有意思的问题，如何会有这种现象？是因为买的人多，所以商品就贵，买的人少，就便宜吗？” 斐波那契说：“肯定是这样的。我现在都想研究，为什么有的时候，一些东西就会有很多人来买，有的时候几乎就没人买。比如粮食，人一直都要吃的，为什么有的时候就卖不出去呢？或者是卖的少呢？这个真正的本质是什么？” 腓特烈说：“你研究出来了吗？” 斐波那契说：“在一切动态平衡的作用下，任何一个变量都应该有一个诞生的过程，然后会越来越多。打个比方，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？” 腓特烈说：“我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下。第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔总数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；” 斐波那契说：“结果得到兔子的数字是1，1，2，3，5，8，13，21等等。” 腓特烈说：“没错，你为什么会关心这个东西？” 斐波那契说：“因为任何一个贸易都是植物和动物等东西的生长，所以它掌控一切，一切都是以这样的生长为来源的。这种生长的数学模式，就是一种生命的模式。” 腓特烈表示不明白，也不可思议。 斐波那契说：“而前后比例2\/3，3\/5，5\/8，8\/13，13\/21等等，然后接近黄金分割点。这个黄金分割点是毕达哥拉斯学派的人发现的，可能来源于正五边形和正十边形作图得到的。欧多克索斯研究了线段上的黄金分割点。所以黄金分割点是生命生长的数字。而我不仅仅想思考生长，还想思考消亡的问题，但是死亡的事情我还没注意有什么本质，或者跟生长是不是有反作用关系。” 腓特烈没想到黄金分割点有这种用途，可以统计出很多跟美学有关的事情，这个很神奇。 后来，在1202年斐波那契撰写了《算盘书》，其中列出了他在阿拉伯国家学到的算术和代数。它还引入了现在称为“斐波那契数列”的着名数列。当然，这些国家也是在地中海的各个港口找到的。 1225年斐波那契撰写了《平方数之书》，这是他最令人印象深刻的作品。它是自从一千年前的丢番图的工作以来欧洲数论的第一大主要进步。 第四十九章 杨辉三角 杨辉三角形，一目了然，每个数等于它上方两数之和。 研究过《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》这些算法的楚衍说：“我发现了一个奇特三角，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。” 1050年写过《释锁算术》的贾宪说：“这个三角第n行的数字有n项。” 1261年，写过《详解九章算法》的杨辉说：“这个三角形前n行共[(1+n)n]\/2 个数。” 1303年朱世杰说：“第n行的m个数可表示为 c(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。” 1427年，写过《算术的钥匙》的阿拉伯人阿尔·卡西说：“第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。” 1527年德国人阿皮亚纳斯说：“每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 c(n+1，i)=c(n，i)+c(n，i-1)。” 1544年，写过《综合算术》的德国人米歇尔.斯蒂费尔说：“这是二项式展开式系数，其中(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应三角的第(n+1)行中的每一项。” 斐波那契说：“将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。” 1545年法国的薛贝尔说：“将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1x10^1=11，11^2=1x10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3x10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1x10^5=。” 1654年，写过《论算术三角形》的帕斯卡说：“第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。” 这个被欧洲人称之为帕斯卡三角形。 1708年的pierre raymond de montmort说：“斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。” 1730年的亚伯拉罕·棣·美弗说：“将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。” 后来人们也称呼这是中国三角形。 二维的杨辉三角有多项式系数，晶体晶格，单形的点线面或者是四维体，五维体等等这样的有价值的东西。其中是亏格为0的欧拉定理。对图论有重大帮助。对很多等差，甚至一级数列、二级数列等等有重要研究。 那三维的杨辉三角，肯定会有更加重要的信息。 高维的杨辉三角，肯定更加有价值。 或许轻松包括斐波那契数列，包括多亏格多面体的点线面等复杂信息。 或许杨辉三角是任何一个数学的终点。 近下来，就需要解决高维杨辉三角的数列问题了。有没有一种简单的办法来。 其中一个最重要的问题，就是二维的杨辉三角是否可以解决高维的杨辉三角问题？这也意味着，高维的杨辉三角简化成二维的杨辉三角问题。 这样的杨辉三角问题，是不是跟形数有关呢？有关系的话，是不是就变成了形数的问题？ 第五十章 达芬奇睡眠时间 达芬奇作画，不想一般的画家那样去简单的画。 画人先画骨头，画植物的时候使用数学，画运动的时候，要把这个运动的趋势全部画出来之后，才去截取其中那个瞬间来增加真实度。画自然的风景开始研究地理和物理。 由于对于绘画的严格要求，达芬奇开始对于每个东西的基本构造产生的兴趣。 在画人的时候，他开始对于人体学进行深入研究，甚至在自己的手稿上画出了人体各个部分的解剖图。把骨头、肌肉组织和血管都给画出来了。 对于天文、物理、力学和光学都开始各式各样的深入研究，懂得越多，越停不下来。 对于机械，达芬奇更是开了窍，他开始自己画出很多水下呼吸装置、拉动装置、发条传动装置、滚珠装置、反向螺旋、差动螺旋、风速计和陀螺仪。 随后达芬奇更是开始密码筒、机器人、机械车、医学、化石考古、建筑、军事、水利、地址、绘画和艺术理论的研究。 达芬奇十分发愁，什么研究都可以突破，只是时间不够用。而自己有很多伟大的发现都没有时间完成。就算自己活到一百岁，还是有很多及其伟大的东西来不及做出来。所以只能尽可能少挤出时间。而达芬奇觉得自己应该少睡觉，这样才能有充裕的时间进行研究。 达芬奇打算不睡觉，来熬夜完成，但是发现自己精神上扛不住。 所以他发明了一种睡眠方法，就是每工作4个小时就是睡15分钟。一直可以这样循环下去。 达芬奇一昼夜花在睡眠上的时间累计只有不足1.5（24\/4.25*1\/4 = 1.41）小时，这样就可以从睡觉中剥夺出大量时间来。 后来，很多人这种睡眠方法有用，也有很多人说这种睡眠对人有危害。 只能说，这中睡眠法是因人而异的。 我认为，人可以随时睡觉，随时醒来，不需要看周围的黑夜白天，也不需要看表上的时间。 累了就睡，醒来就直接工作和玩耍，这是对身体最好的行为，做事的效率会变高。 第五十一章 哥白尼日心说的推断 世界上最早的现状还在的大学是意大利的博洛尼亚大学(university of bologna)的拉丁语校训是“滋养学习之母”，始建于1088年，从未停办过。直到近代以前，这所大学只教授博士课程，但今天，它在各个层次上都有不同的课程。 牛津大学是1167年之前成立。据说是1096年开始授课了。 剑桥大学是1209年成立。 圣安德鲁斯大学是1413年成立。 格拉斯哥大学是1451年成立。 阿伯丁大学是1495年成立。 爱丁堡大学是1583年成立。 都柏林大学圣三一学院是1592年成立。 哥白尼曾经在博洛尼亚大学学习过法学。 哥白尼拿着星图看来很多年，知道星图上恒星是相对不动的，而行星在相对运动，行星的相对运动所出现的轨迹里面包含了很多信息。 哥白尼经常发些木星的轨道有些奇特，木星会从星图的一端出现，向另一端平移，但是到达半中间的时候会有一个向后的移动，之后再返回继续向另一端移动。 哥白尼发现木星经常有这种行为，就开始想这是怎么回事？ 突然他有了一个古怪的想法，难道是地球和木星都在围绕太阳转动？ 可是地心说自从在托勒密时代就根深蒂固，哪里会有人怀疑。 哥白尼开始查找关于地心说的依据，发现大家只是在用神学来解释，而每个论点都经不住推敲。 哥白尼开始怀疑地球是绕太阳转动的。 哥白尼吧太阳、地球和木星这个系统拿出来，开始比划，让地球和木星都绕着太阳转动。结果比划出木星离太阳比地球更远，同时绕太阳转动的时候，就会出现木星在星图上的各种奇怪现象。 哥白尼这才恍然大悟，原来所有天体都是绕太阳转动的。而地球上看到的星星绕自己的转动，那仅仅是地球的自转而已。 1543年，哥白尼出版了《天体运行论》。它给出了哥白尼学说的一个完全阐述，即太阳位于宇宙的中心。 第五十二章 塔塔里亚的三次方程和费拉里的四次方程 1545年，卡尔丹发表的书。 塔塔里亚愤怒的对卡尔丹说：“谁让你公布我的解法的？我让你答应我保守这个秘密，你为什么还要公开。” 此时的塔塔里亚十分后悔自己把解三次方程的办法告诉卡尔丹的。 当年很多人跟塔塔里亚挑战解三次方程的时候，塔塔里亚战胜了所有的挑战者。卡尔丹垂涎于塔塔里亚的公式，多次恳求塔塔里亚教会自己。塔塔里亚多次拒绝，但是经不住软磨硬泡，只能要求卡尔丹自己学会就行，千万不要公开解三次方程的秘密。 卡尔丹表面上答应了，但是在后来的一本书中，还是公开了解三次方程的秘密。但是卡尔丹已经说得很清楚这是塔塔里亚得到的结果了。 大家看过卡尔丹的书之后，就叫这个是卡尔丹公式。这惹得塔塔里亚更是不高兴了，在别人嘴里这变成了别人的劳动成果，这太糟糕了。 塔塔里亚要求卡尔丹赔偿：“你背信弃义，究竟是为了什么？” 卡尔丹说：“既然如此，我也没有别的办法。我只是想告诉你，这个东西还是公布了好。” 塔塔里亚说：“这是秘密，你要是公布了，我这一生唯一的价值就没有了。我就不值钱了，人人都会解三次方程了。” 卡尔丹说：“你有没有想过解四次方程？” 塔塔里亚惊奇的看着卡尔丹说：“你会解？” 卡尔丹说：“我还不会，但是如果要想解四次，就需要让很多人学会三次，在三次的基础上，再去解四次去。今天就算我们不公布，以后万一别人偶然发现了三次方程，别人公布了，那我们的劳动成果就彻底没有了。而我今天公布了，好歹有你和我的名字。” 塔塔里亚说：“听说你这里有个学生叫费拉里？” 卡尔丹顾左右而言他的说：“如果有四次的解，我会给你。” 塔塔里亚对卡尔丹说：“好的，如果你真的能弄出四次的，我算你行。” 过了不久，卡尔丹发表了《大衍数》，里面有塔塔里亚的三次方程解，还有费拉里的四次方程的解法。 第五十三章 邦别利的虚数 邦别利对卡尔丹说：“这就是个问题。” 卡尔丹说：“什么问题？” 邦别利说：“拿着塔塔里亚的三次方程和费拉里的四次方程，怎么只能解出一两个根？” 卡尔丹说：“你想说什么？三次方程一定有三个根，四次方程有四个根？” 邦别利说：“可是有的三次方程确实有三个正常的实数根，有的四次方程也有正常的实数根。为什么塔塔里亚的公式无法解出这一切？” 原来邦别利发现，在使用塔塔里亚和费拉里的解法时，经常会碰到根号二下有负数的情况。 卡尔丹只是拿塔塔里亚和费拉里的方程去解，很多解不出的东西，直接判定成无解了，没想过太多，更不会认为会有其他解法能解出其他的解。 卡尔丹说出不能解的原因：“根号二下不会有负数的，起码没有根号下负一这样的数字，这是不存在的。” 邦别利说：“可我明明看到有些三次方程的最终解只是正常的数字，没有根号下的东西。” 卡尔丹还是怀疑：“难道还有别的解法，塔塔里亚的和费拉里的还不够？” 邦别利当然不是这个意思，他拿出了纸和笔开始写出了三次方程解法，一边写一边对卡尔丹说：“能不能假装先拿根号下负一当成一个数字，看看能不能在解法过程中，正负抵消掉？” 卡尔丹说：“不能出现的东西，怎么能用？” 邦别利还是一意孤行，继续开始解这些根式，把根号下负一提取出来，然后先把正常的项相加，最后发现果然有的根号下负一这个“毒瘤”是可以被抵消的。 然后就得出了三次方程的正常三个解。 卡尔丹高兴的跳起来，发现根号下负一这个数字，是可以利用起来的。 只有在无法消除的时候，才不能用，只要可以消除，那根号下负一是可以当做解体催化剂存在的。卡尔丹赶忙把这个结果跟发表出来，定义了根号下负一这种奇怪的数字。 用了很久，数学界才接受了根号下负一这个数字，命名为虚数，字母i。 第五十四章 幻方与布阵 数学家巴协对中国的道士聊天说：“我听说，中国有个幻方？是“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方。这个洛书是怎么来的？” 道士说：“流传中国夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.” 巴协说：“你们那个是三阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...后来，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：s=n(n^2+1)\/2。其中n为幻方的阶数，所求的数为s.” 道士说：“没错，多种幻方就是这样变化的。” 巴协问道士：“幻方看起来恩有数学范儿，但除此以外有什么用呢？” 道士说：“可以震住妖怪。” 巴协说：“只是一堆数字而已，如何震住妖怪。” 道士说：“因为幻方这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，体系了一种和谐与对称。这种神奇的高度的对称与和谐，可以把不和谐的妖气给振跑。” 巴协说：“听起来很牵强的样子。还会有其他的用途吗？” 道士说：“幻方跟八卦阵有关系。” 巴协说：“我也知道跟八卦阵有关，幻方的数字对应八卦阵上的休，生，伤，杜，景，死，惊，开八门。但是八卦阵又有什么用？” 道士说：“八卦阵当然有军事上的用途了，你刚刚也说了有八门，功能各自不同。” 巴协说：“那是故弄玄虚的，根本没用。打仗不会排出那么傻的阵型。” 道士说：“打仗如果不布阵，那一定会失败。古代打仗胜负往往并不取决的双方伤亡的绝对数量，而是士兵的士气，当一方绝大多数部队陷入恐惧，失去了继续厮杀的勇气，也就宣告了他们的失败。而人是盲目的，所谓勇气，很多时候是依赖于身边是否有站立的战友，我方是否能够保持完整的阵容。只要一个战阵依然完整，哪怕被重重围困，身边的将士也能给士兵以继续作战的激励。” 巴协说：“说得没错，但是这个八卦阵有关系吗？只要排成普通的阵列不就可以了？” 道士说：“而对于战阵，说是靠在一起，其实不然。可以想象，一旦双方步卒战线平平地对击，面对面的厮杀，过分紧密的队形将导致我方兵器无法有效挥舞，而对手的长戈却有机会作到一击数人。因此，所谓完整的阵容，其实是松散的。” 巴协说：“那就布成一个松散的阵列也可以了。” 道士说：“但这也给了马军以可乘之机。马上骑兵相对于步卒拥有压倒性的优势，很大程度上是由于其一往无前的气势、强大的冲击力对于战线的破坏性。正统的战法，即所谓“冲阵”，是百骑齐发，在正面从多个点冲破对方战线，直抵阵后，再勒马回身反向冲击。这种反复冲击的作用并不在于杀伤，而是使对方任何两个士兵之间的联系随时有被匹马截断的危险，使单个的步卒产生孤立无援的错觉，在整体上将完整的队形破坏为一盘散沙。加之骑兵冲锋时有如镰刀割麦，极高的速度造成巨大的能量，单独的步兵一旦正面被撞，不会有任何格挡或反击的机会。这种死亡的恐惧在孤独感的作用下会越发显着，从而导致个体失去战意，进而发展为群体的溃败。” 巴协想了想也确实如此。 道士继续说：“让我们总结一下。骑方的手段，是在敌阵前后两端之间来回冲击；目的，是造成恐慌和混乱。步方的劣势，是无法兼顾安全性与机动性，无法与骑方堂堂正正地对决。” 巴协说：“所以，八卦阵可以保证步兵可以合理的抵挡骑兵吗？” 道士说：“没错，所谓八卦阵，实际上是一种经过事先针对性训练的，步卒应对马军的手段。在对方冲击时，有意识地在战线的某些位置让出真空，引诱骑方下意识地集中向这些路线行进。待其杀入阵中之后，我阵虽破却不散，一路上在两边集结固守，让出前方空间任由敌人冲刺。阵势的核心在于：这种路径可以通过事先操演确定，通过有意识地引导，让对方本来是战阵两端的直线冲杀，变成我方主导下的，在阵内的环型路线！连续不断地接触，无穷无尽的敌人，将会逐步消耗马军的气势和体力。而由于马军自身的特性，他们又不得不按照这条“安全”的路线冲锋。所谓“强弩之末不能穿鲁缟”，随着时间的推移，阵内的敌军最终会被逐渐消耗一空。” 巴协说：“其实八卦阵不重要，也就是一种只会调度的方式，那跟幻方有关系吗？” 道士说：“当然了，幻方因为书阵型里高度对称的，所以不会有任何一个地方上力量的减弱。而数字上的不同也可以发挥八门的各种不同的优势，这就是幻方的用途。” 1612年，巴协（bachet）出版了关于数学谜题和技巧的着作，这将成为几乎所有后来有关数学娱乐的书籍的基础。他设计了一种构建幻方的方法。幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 第五十五章 旋轮线 摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。 1615年，梅森（mersenne）鼓励数学家们研究旋轮线。 1634年，罗贝瓦尔（roberval）找出了旋轮线下的面积。（圆，三角形，正方形，六边形，正多边形都是3倍。） 1658年，雷恩（wren）找出了旋轮线的弧长。 1660年，维维亚尼（viviani）测量了声速。他确定了旋轮线的切线。 费马说：“圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。” 伽利略：“我发现一个有趣的现象，教堂的吊灯来回摆动时，不管摆动的幅度大还是小，每摆动一次用的时间都相等。” 当时，他是以自己的心跳脉搏来计算时间的.从此以后，伽利略便废寝忘食的研究起物理和数学来，他曾用自行制的滴漏来重新做单摆的试验，结果证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系，只跟单摆摆线的长度有关.这个现象使伽利略想到或许可以利用单摆来制作精确的时钟，但他始终并没有将理想付之实行。 伽利略的发现振奋了科学界，可是不久便发现单摆的摆动周期也不完全相等。原来，伽利略的观察和实验还不够精确.实际上，摆的摆幅愈大，摆动周期就愈长，只不过这种周期的变化是很小的。所以，如果用这种摆来制作时钟，摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小，时钟也因此愈走愈快。 过了不久，荷兰科学家惠更斯决定要做出一个精确的时钟来.伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的，所以我们也叫做圆周摆。惠更斯想要找出一条曲线，使摆沿着这样的曲线摆动时，摆动周期完全与摆幅无关，这群科学家放弃了物理实验，纯粹往数学曲线上去研究，经过不少次的失败，这样的曲线终於找到了，数学上把这种曲线叫做“摆线”，“等时曲线”或“旋轮线”。 帕斯卡说：“我发现了外旋轮线。而且发现其中的一种特殊情况，以我的名字命名为帕斯卡涡线。也发现内旋轮线。” 托里拆里说：“当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。” 1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。 牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。 1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。 1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。 第五十六章 三角测量 约公元前800年，包德哈亚那说：“我写了古印度最早的绳法经”。 约公元前750年，马纳瓦说：“我也撰写了一部《绳法经》”。 约公元前600年，阿帕斯檀跋说：“我从数学的角度撰写了一部最受人关注的古印度《绳法经》。” 公元前575年，泰勒斯说：“我用几何知识来解决问题，例如计算金字塔高度和船只离岸边的距离。” 约公元前440年，希波克拉底说：“我撰写了《原本》，这是第一本关于几何原理的汇编。” 约公元前430年，希庇亚斯说：“我发现了割圆曲线，被用于三等分角和化圆为方问题。” 约公元前375年，来自他林敦的阿契塔说：“发展了力学。研究“古典问题”倍立方，并将数学应理论用于音乐。我也构建了第一台自动机。” 约公元前330年，奥托里库斯说：“我撰写了《运行的天体》，这本书研究球面几何学。它是天文学着作。” 约公元前320年，欧德谟斯说：“我撰写了《几何史》。” 约公元前300年，欧几里德说：“我的《几何原本》中给出了几何的系统性发展。” 约公元前290年，阿里斯塔克斯说：“使用几何方法来计算太阳和月亮到地球的距离。我也提出了地球绕太阳运动。” 约公元前250年，阿基米德说：“我给出了计算球和圆柱体积的公式。在《圆的测量》中，使用允许提高近似精度的方法给出了π的近似值。在《论浮体》中，我提出了现在所谓的“阿基米德原理”，并开始研究流体静力学。我写了有关二维与三维几何的着作，研究圆，球和螺线。” 约公元前235年，埃拉托色尼以非常高的精度估算地球周长，估算值比实际值大了15%。 约公元前230年，尼科梅德斯说：“我撰写了专着《论蚌线》，书中包含了我发现的被称为“尼科梅德斯蚌线”的曲线。” 约公元前200年，戴可利斯说：“我撰写了《论燃烧镜》，收集了16个几何命题，大部分是关于圆锥曲线的证明。” 约公元前150年，许普西克勒斯说：“我撰写了《论星的升起》。书中我首次将黄道划分为360度。” 约公元前127年，喜帕恰斯说：“我发现分点岁差，并计算年份的长度精确到正确值的6.5分钟内。我的天文学工作使用了早期形式的三角学。” 约公元20年，吉米纽斯撰说：“我写了很多天文学着作和《数学理论》。我试图证明平行公设。” 约110年，梅涅劳斯说：“我撰写了《球面学》，书中研究了球面三角形和它们在天文学的应用。” 340年，帕普斯说：“我撰写了《数学汇编》，该书是希腊几何学的指南。” 约850年，泰比特?伊本?奎拉说：“我做出了重要数学发现，例如将数的概念扩展到（正）实数，微积分，球面三角学的定理，解析几何，非欧几何。” 920年，巴塔尼说：“我撰写了天文学主要着作《天文星表》，共57章。它包含了三角学的进步。” 约970年，阿布?瓦法说：“我发明了象限仪台，用于精确测量天空中星星的偏角。我写了关于算术和几何结构的重要书籍。我引入了正切函数，并产生了改进的计算三角表的方法。” 约1000年，海什木说：“我撰写了关于光学、光学理论和视觉理论、天文学和数学、包括几何和数论的作品。我给出了alhazen问题：给定一个光源和一个球面镜，找到镜子上的点，使得光被反射到观察者的眼睛。” 1150年，通过杰拉德说：“我翻译的托勒密《天文学大成》，阿拉伯数字传入欧洲。正弦函数“sine”出自这个译本。” 1248年，李冶说：“我撰写了《测圆海镜》，其中包含负数，通过在数字上加斜画来表示。” 约1260年，坎帕努斯，教皇乌尔班四世的牧师，说：“我撰写了天文学作品，并发表了欧几里德《几何原本》的拉丁文版，成为之后200年的标准版本。” 1335年，理查德说：“我撰写了《论正弦四书》，这是第一部关于三角学的原创拉丁文着作。” 1342年，列维?本?吉尔森说：“我撰写了《论正弦、弦和弧》，这是一本三角学着作，其中给出平面三角形正弦定理的证明和五个正弦表。” 1364年，尼克尔?奥里斯姆说：“我撰写了《形式的纬度》，这是关于坐标系的早期作品，笛卡尔可能受其影响。我的另一作品中包含了分数指数的首次使用。” 1382年，尼克尔?奥里斯姆说：“我发表了《天地通论》。这是关于数学、力学和相关领域的论文汇编。我反对地球静止的理论。” 1434年，阿尔伯蒂说：“我研究三维物体的表现，并撰写关于透视定律的第一部一般性论着《论绘画》。” 1437年，乌鲁伯格说：“出版我的《星表》包含了一个精确到8位小数的三角函数表，基于我计算1度的正弦值精确到16位小数。” 1450年，尼古拉斯说：“我研究几何和逻辑。我对无穷的研究做出了贡献，研究无穷大、无穷小。我将圆看作正多边形的极限。” 1474年，约翰?缪勒说：“我发表了《星历表》，为1475年至1506年的天文表，并提出了利用月球计算经度的方法。” 1475年，约翰?缪勒说：“我还发表了《论平面与球面三角形》，该书研究球面三角学并将它应用到天文学。” 1525年，丢勒说：“我出版了《度量四书》，这是第一本用德语出版的数学书。它是关于几何结构的着作。” 1533年，弗里修斯说：“我发表了使用三角学进行精确勘测的方法。我是第一个提出三角测量法的人。” 1541年，雷蒂库斯说：“我出版了三角函数表和哥白尼工作的三角学部分。” 1595年，皮蒂斯克斯说：“我成为第一个在印刷出版物中使用术语“三角学”的人。” 1606年，斯涅尔说：“我首先尝试测量地球表面上的1度子午线弧度，从而确定地球的大小。出版《数学备忘录》，这是斯蒂文在力学方面的工作的拉丁文翻译。” 1617年，斯涅尔说：“我发表了我的三角测量技术，提高了制图测量的准确性。” 1620年，古尔丁说：“给出古尔丁质心定理，该定理是帕普斯已经知道的。” 1626年，吉拉德说：“我出版了一本三角学论着，其中首次使用了缩写sin，cos，tan。我也给出了球面三角形的面积公式。” 1630年，麦多赫说：“我从事光学和几何学工作。给出了巴黎的纬度的非常精确的测量。” 1644年，托里拆利说：“我出版了《几何操作》，包括了我在抛射体方面的成果。我研究了费马点，也就是到三角形三个顶点距离之和最短的点。” 1648年，亚伯拉罕?博斯说：“我出版了一本着作，其中包含了着名的“笛沙格定理”：当两个三角形是透视时，则其对应边的交点共线。” 1649年，凡司顿说：“我出版了《笛卡尔几何》的第一个拉丁文版本。” 1651年，墨卡托说：“我出版了三本关于三角学和天文学的专着：《对数球面三角学》，《宇宙志》，和《球面天文学》。给出了ln(1 + x)的级数展开。 1719年，布鲁克?泰勒说：“我出版了《线性透视原理》，这本书的第一版在四年前以书名《线性透视论》出现。这项工作首次对消失点进行一般的处理。” 1730年，棣莫弗说：“我给出了关于复数三角表示的进一步的定理。我也给出了斯特林公式。” 1792年，德?普隆尼说：“我开始主要制作《地籍图》。它由精确到14至29位小数的对数与三角函数表组成。” 1794年，勒让德说：“我出版了关于几何的《几何学原理》，它将是接下来100年的重要着作。它将在欧洲大部分地区以及随后的译本和在美国取代欧几里得的《几何原本》作为教科书。它成为后来的几何课本的原型。” 1797年，马歇罗尼说：“我在《圆规几何》中证明了所有点尺规作图都能单由圆规来完成，这时直尺是多余的。” 1799年，蒙日说：“我出版了《画法几何学》，描述了正投影，这是现代机械制图中使用的图形化方法。” 1803年，拉扎尔?卡诺说：“我出版了《位置几何学》，其中首次在几何学中系统地使用了向量。” 1809年，高斯说：“我描述了最小二乘法，在《天体运动论》中我使用这种方法寻找天体的轨道。” 1822年，彭赛列说：“我在《论图形的射影性质》发展了射影几何的原理。这本着作包含了射影几何的基本思想，例如交比、透视、对合、以及虚圆点。” 1824年，斯坦纳说：“我发展了综合几何学。我在1832年发表了关于这个论题的理论。” 1827年，莫比乌斯说：“我出版了关于解析几何的《重心的计算》。它成为了经典并包含了我的关于射影几何与仿射几何的很多结果。书中我引入了齐次坐标并讨论了几何变换，特别是射影变换。” 正弦和余弦的一些作用。 一开始必然是测量距离的工具， 后来演变成物理中测量矢量的工具，比如力和速度。 之后变成了研究粒子震荡的一个工具了。 那其中的角度，也就是夹角，变成了一种抽象是夹角，具备权重能力。 由于自然对数e 也跟三角函数相关，所以变成e的指数的一种变化也是这种权重上的变化。 第五十七章 投影几何学 它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。 早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯说：“我就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。” 在4世纪帕普斯的着作中，出现了帕普斯说：“我发现了帕普斯定理。” 欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 在17世纪初期，开普勒说：“我最早引进了无穷远点概念。” 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系。 迪沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。 1639年，迪沙格说：“我出版了主要着作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的着作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。” 迪沙格说：“在我的着作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用我的名字命名的迪沙格定理，“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。” 1641年，帕斯卡说：“我发现了一条定理，就是内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。” 这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。 1648年，亚伯拉罕?博斯出版了一本着作，其中包含了着名的“笛沙格定理”：当两个三角形是透视时，则其对应边的交点共线。 1658年，帕斯卡写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。 由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 施泰纳说：“我研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是我引进的。 施陶特说：“我为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，我通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，我建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。” 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。 莫比乌斯说：“我创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。” 接着，普吕克说：“我引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。我还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。” 在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在着作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证 882年帕施说：“我建成第一个严格的射影几何演绎体系。” 射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。 克莱因说：“把各种几何和变换群相联系。” 克莱因说：“我在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。” 这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。 第五十八章 卢卡·帕乔利的复试记账 1494年意大利数学家，会计学家卢卡*帕乔利所着《算术，几何，比及比例概要》 安东尼奥慌忙的找到了卢卡·帕乔利，对卢卡说：“我有一个急事，我知道你是个数学家，我需要请教你。” 卢卡说：“说吧，只要是数学问题，我都巴不得解决。” 安东尼说：“你也知道，我在威尼斯的生意开展的特别快，本来扩大生意，是一件好事情，但是随着生意越来越多，我和我那几个不争气的儿子都算不清帐了。” 卢卡说：“有多少帐？” 安东尼说：“一开始就在南欧的几个海域，记账还好记一些，简单的凭着自己的脑袋都可以弄清，但是复杂的，我们计的账本堆满屋子，看着帐都弄不清前几天的都是怎么一回事儿了。” 安东尼带着卢卡，到了自己的记账屋，安东尼说：“这里还增加了北非，东非甚至南非和北欧的业务，甚至跟奥斯曼的一些地方有暗中往来，我们这样的记账，会缺少很多要素，如果增加每个要素，记录起来又十分麻烦。” 卢卡看着满屋子的账本，看到东西实在很多，对安东尼说：“只要分好类，就算一百个屋子，也能很快捋清楚。” 安东尼说：“这些账本是分了类的，就是帐太多，不知道哪个是哪个了，我和我的几个孩子都很晕啊。” 卢卡也在为保罗三世做账，为教堂里的救赎券进行记账，记录的仅仅有条。 卢卡看了看满屋子的账本，对安东尼说：“我可以给你新记录帐，而且老帐会随后慢慢滤清，不会有差错，有任何问题，我可以第一时间给你说清。” 安东尼很高兴的说：“太好了，这个重要的事情就交给你了，同时也要带一带我那几个笨儿子。” 卢卡把屋子里的单式记账都变成了复试记账，复式记账是会计工作中对每一项经济业务按相等金额在两个或两个以上有关账户相互对应地同时进行登记的记账方法。 根据账户记录的结果可以了解每一项经济业务的来龙去脉。也可以对账户记录的结果进行试算平衡，以检查账户记录的正确性。 很快这个记法滤清了安东尼的账目，而且也传播的其他国家，里面的术语全部进行标准化，让记账变得快捷高效，至今位置也用的是这样的方法。 歌德（goethe）形容复式簿记是“人类智慧的绝妙创造之一，每一个精明的商人从事经营活动都必须利用它”。 数学家凯利（cayley）认为，复式簿记原理“象欧几里德的比率理论一样，是绝对完善的”。 经济史学家松巴特（sombart）说：“创造复式簿记的精神，也就是创造伽利略和牛顿系统的精神”。 也许会计学家黑泽清的描述有些夸张但却深刻而具体。他在《改订簿记原理》中写道：“在复式簿记出现以前，世界上不存在所谓’资本‘的概念。或者说，倘若没有复式簿记，就没有’资本‘的出现。” 又说：与此同时，复式簿记还创造出资本主义“企业”的概念。 第五十九章 伽利略的望远镜 荷兰米德尔堡眼镜师汉斯?李波尔在某一天看到两个小孩在李波尔的商店门前玩弄几片透镜，他们通过前后两块透镜看远处教堂上的风标，两人兴高采烈。李波尔赛拿起两片透镜一看，远处的风标放大了许多。李波尔赛跑回商店，把两块透镜装在一个筒子里，经过多次试验，1608年汉斯?李波尔造出了世界上第一架望远镜。汉斯?李波尔发明了望远镜。 1608年他为自己制作的望远镜申请专利，并遵从当局的要求，造了一个双筒望远镜。 据说小镇好几十个望远镜眼镜匠都声称发明了望远镜。 伽利略是第一个认识到望远镜将可能用于天文研究的人。 伽利略说：“我虽然没有发明望远镜，但改进了前人的设计方案，并逐步增强其放大功能。制作了一架口径4.2厘米，长约1.2米的望远镜。用平凸透镜作为物镜，凹透镜作为目镜，这种光学系统称为伽利略式望远镜。” 伽利略说：“我用这架望远镜指向天空，得到了一系列的重要发现，天文学从此进入了望远镜时代。” 1610年，伽利略说：“我出版了《星际信使》，描述了用我制作的望远镜做出的天文发现。” 哈里奥特说：“我也观察到木星的卫星，但没有发表我的工作。” 德国的天文学家开普勒也开始研究望远镜，开普勒说：“我在《屈光学》里提出了另一种天文望远镜，这种望远镜由两个凸透镜组成，与伽利略的望远镜不同，比伽利略望远镜视野宽阔。” 沙伊纳于1613年─1617年间首次制作出了这种望远镜，他说：“我还遵照开普勒的建议制造了有第三个凸透镜的望远镜，把二个凸透镜做的望远镜的倒像变成了正像。” 沙伊纳做了8台望远镜，一台一台地观察太阳，无论哪一台都能看到相同形状的太阳黑子。 因此，他打消了不少人认为黑子可能是透镜上的尘埃引起的错觉，证明了黑子确实是观察到的真实存在。 在观察太阳时沙伊纳装上特殊遮光玻璃，他说：“伽利略则没有加此保护装置，结果伤了眼睛，最后几乎失明。” 以上的都是折射望远镜。折射望远镜的优点是焦距长，底片比例尺大，对镜筒弯曲不敏感，最适合于做天体测量方面的工作。但是它总是有残余的色差，同时对紫外、红外波段的辐射吸收很厉害。 荷兰的惠更斯为了减少折射望远镜的色差在1665年做了一台筒长近6米的望远镜，来探查土星的光环，后来又做了一台将近41米长的望远镜。 1793年英国赫瑟尔，制做了反射式望远镜，反射镜直径为130厘米，用铜锡合金制成，重达1吨。 第六十章 伽利略斜面实验 伽利略收托里拆利为助手的时候，也是思前想后了一阵的，毕竟收下徒弟，就要对徒弟负责。 自己本身的理想是在修道院里任职，学习和讲授神学，希望能在神学的领域变得愈发精湛。但自己的父亲倒是希望他能学些医学，因为神学的竞争也十分激烈，牧师太多，所以薪水普遍不高。而懂医学的牧师，理所应当会被很多人需要，所以靠谱。 伽利略确实学习了医学知识，但是他还是任职在教授神学方面的了，毕竟这也是自己的爱好之一。但随着时间越久，社会上出现了很多反对宗教的声音，尤其是日心说越来越厉害。伽利略也了解了这些学说，对神学开始怀疑了。 但是，对于伽利略而言，没必要怀疑上帝，那些古老的错误仅仅是因为先人观察的不够仔细而已。 伽利略寄希望于，让先人的东西修改一下，然后开始完善真正的神学。 但托里拆利找自己来，一方面是为了让自己找个工作，一方面确实纯粹来跟自己学习那些科学知识，对于神学兴趣则不大。 伽利略希望托里拆利能跟自己学习神学，但是托里拆利则敷衍的搪塞过去，伽利略也没办法，不知道托里拆利是不是真心待着自己身边的，只得是在一天，用一天，能给自己帮帮忙。 伽利略对托里拆利说：“关于斜坡滚动钢柱的实验，你有什么看法？” 托里拆利说：“这是吸引力吸引了钢珠，然后钢珠滚下来的。” 伽利略说：“我想说的是，钢珠的终点在哪里？” 托里拆利说：“滚下坡，在平地上跑一段距离，停下来。” 伽利略说：“还不对，钢珠凭什么停下来？” 托里拆利说：“还有凭什么，在平地上不会走太远呀，迟早要停的。” 伽利略说：“你是白跟我干这么多年了，也不好好想想到底为什么？” 托里拆利说：“空气和平地的摩擦。” 伽利略说：“这还差不多，总算动脑子了，如果没有这些摩擦呢？还会停吗？” 托里拆利陷入沉思，他从来没想过这些问题，说：“这个不好说。” 伽利略说：“这有什么不好说的，不会停，会以一个恒定的速度一直运动下去。” 伽利略通过科学推理，认为：如果一切接触面都是光滑的，一个钢珠从斜面的某一高度静止滚下，由于只受重力，没有阻力产生能量损耗，那么它必定到达另一斜面的同一高度，如果把斜面放平缓一些，也会出现同样的情况。 如果斜面变成水平面，则钢珠找不到同样的高度而会一直保持一种运动状态，永远运动下去。 第六十一章 伽利略落体实验 落体实验古希腊思想家亚里士多德曾经断言：物体从高空落下的快慢与相同物体的重量成正比，重者下落快，轻者下落慢。 比如说，十磅重的物体落下时要比一磅重的物体落下快十倍。 1800多年来，人们都把这个错误论断当作真理而信守不移。 直到16世纪，伽利略才发现了这一理论在逻辑上的矛盾。 伽利略说，假如一块大石头以某种速度下降，那么，按照亚里士多德的论断，一块小些的石头就会以相应慢些的速度下降。 要是我们把这两块石头捆在一起，那这块重量等于两块石头重量之和的新石头，将以何种速度下降呢？如果仍按亚里士多德的论断，势必得出截然相反的两个结论。 一方面，新石头的下降速度应小于第一块大石头的下降速度，因为加上了一块以较慢速度下降的石头，会使第一块大石头下降的速度减缓；另一方面，新石头的下降速度又应大于第一块大石头的下降速度，因为把两块石头捆在一起，它的重量大于第一块大石头。这两个互相矛盾的结论不能同时成立，可见亚里士多德的论断是不合逻辑的。 伽利略进而假定，物体下降速度与它的重量无关。如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么，两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面。 为了证明这一观点，1589年的一天，比萨大学青年数学讲师，年方25岁的伽利略，同他的辩论对手及许多人一道来到比萨斜塔。 伽利略登上塔顶，将一个重100磅和一个重一磅的铁球同时抛下。 在众目睽睽之下，两个铁球出人意料地差不多是平行地一齐落到地上。 面对这个无情的实验，在场观看的人个个目瞪口呆，不知所措。 这个被科学界誉为“比萨斜塔试验”的美谈佳话，用事实证明，轻重不同的物体，从同一高度坠落，加速度一样，它们将同时着地，从而推翻了亚里士多德的错误论断。 这就是被伽利略所证明的，如今已为人们所认识的自由落体定律。 “比萨斜塔试验”作为自然科学实例，为实践是检验真理的惟一标准提供了一个生动的例证。 第六十二章 伽利略变换 伽利略看到托里拆利做事并不让自己省心，很多身体力行的活，他依旧只能在旁边看着发呆。如果自己不去叫他，他就一般不会主动前来。很多时候，他甚至都无法很好的完成自己交待的有技术性的活。 伽利略对托里拆利极为失望，他只是看起来聪明而已，其实是个扶不上墙的烂泥。 而托里拆利也愈发觉得自己的老师对自己的态度在变差，甚至扬言多次要开除自己，心里觉得这种师生关系也不能太多的维持了。托里拆利不怕离开老师，只是不想稀里糊涂的离开，只想着是能干多久算多久了。 伽利略对托里拆利说：“如果你在一个房间里面，怎么才能知道这个房间是不移动的？” 托里拆利被伽利略的话吓一跳，准备看窗户。被伽利略拦住。 伽利略说：“不能看，靠感觉。” 托里拆利看着神经质的老师说：“房子怎么会动？如果轻易会动，那也会晃动。” 伽利略说：“一开始启动，或者是变速，当然会晃动。但是晃动过去了，匀速了，以后还能感觉到吗？” 托里拆利说：“那确实感觉不到了，你的意思是说，我们的屋子，在看不到外界的情况下，我们无法确定是匀速移动还是静止不动的。” 伽利略对托里拆利说：“有绝对空间吗？” 托里拆利说：“你的意识是？” 伽利略说：“一个十分绝对的空间，是不动的，其他都是相对它动的。只有它是静止的。” 托里拆利说：“也许没有。” 伽利略说：“听起来不靠谱啊，怎么会没有，宇宙难道是不稳定的？” 托里拆利说：“不稳定，地球是动的，太阳是动的，银河也是动的。难不成宇宙还会给你放一个绝对标准的巨型尺子？告诉大家这个尺子是绝对空间？” 伽利略也疑惑了。 第六十三章 卡瓦列里的不可分量原理 意大利数学家cavalieri，francesco bonaventure（1598 ~ 1647）在思考一个东西。 他在思考不可分量原理。 在一开始，他是一个虔诚的神学家，1620年到米兰圣吉罗拉莫修道院讲授神学。 但是自己从来没有耽误过关于数学的学习，他在比萨修道院内潜心学习欧几里得、阿基米德、帕普斯等人作品，有很高的数学知识。 作为对神学与哲学极其感兴趣的他，他想弄清上帝是如何创造万物的，每个物质之间究竟会多小。 他找到了一个极其有才华的朋友，也就是知识水平比他更高的伽利略。 卡瓦列里与伽利略聊天，谈到了德谟克利特原子论这个学说。 卡瓦列里说：“我觉得，上帝拿原子创造世界，听起来有点别扭。” 伽利略笑着说：“当然了，世界本来只有原子，没有上帝来创造这一说。” 卡瓦列里说：“当然有上帝了，只是上帝很细密。” 伽利略说：“那你说说看，上帝为什么不用比原子更小的东西来创造世界？恰恰是他德谟克利特是蒙对了？” 卡瓦列里说：“你说对有理，上帝应该用更小的东西来创造世界，比德谟克利特的原子更小。” 伽利略说：“确实如此吧。就是原子，也是上帝用更细小的东西来创造的，是吧？” 伽利略这一句话，让卡瓦列里陷入沉思，一时间他开始想，什么是更细小的东西。 卡瓦列里说：“如果想要更加细小，那到底要细到什么程度？” 伽利略说：“如果告诉你小得很小的一个尺寸的话，你觉得上帝不会用更小的东西来组成你说的那个小的东西吗？” 卡瓦列里说：“那上帝是用无限小的物质创造世界的，所以任何东西都无限可以分开的。” 伽利略说：“那如何去分开呢？” 卡瓦列里说：“分成一个更小的，那在更小的基础上，继续再分开。” 伽利略说：“比如一个几何上的直线，你怎么分？难道是一堆点？” 卡瓦列里拿纸画着说：“老师，我觉得线段是无数个等距点构成。同时面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的‘不可分量’。这是一个数学基本的逻辑思维。” 伽利略说：“你说等距就等距？凭什么呢？不等距不可以吗？” 卡瓦列里笑说：“你如此，就是抬杠之举了。” 不可分量这是指长度、面积、体积的计算及其相关的推理，其中，点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。 在《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》（1635）提出“不可分量原理”：， cavalieri 利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积的计算及其相关的推理，但是，他未能对“不可分量”作出严格的论述。数学家们对此褒贬不一。 1644年， cavalieri本人发现了关于“不可分量”的悖论。 “不可分量原理”第一次给出了积分的一般方法。 第六十四章 第谷的星图 星图是所有有文明的地方都会有的东西。中国、埃及、印度和希腊肯定会有的。 约110年梅涅劳斯（menus）撰写了《球面学》（sphaerica），书中研究了球面三角形和它们在天文学的应用。 约公元前150年许普西克勒斯（hypsicles）撰写了《论星的升起》（on the ascension of stars）。书中他首次将黄道划分为360度。 约公元前127年喜帕恰斯（hipparchus）发现分点岁差，并计算年份的长度精确到正确值的6.5分钟内。他的天文学工作使用了早期形式的三角学。 约150年托勒密（ptolemy）在天文学应用中产生了许多重要的几何成果。他的天文学理论在往后一千多年里被人认可。 约公元前290年阿里斯塔克斯（aristarchus）使用几何方法来计算太阳和月亮到地球的距离。他也提出了地球绕太阳运动。 到920年巴塔尼（al-battani）撰写了天文学主要着作《天文星表》（kitab al-zij），共57章。它包含了三角学的进步。 约970年，阿布·瓦法（abu''l-wafa）发明了象限仪台，用于精确测量天空中星星的偏角。他写了关于算术和几何结构的重要书籍。他引入了正切函数，并产生了改进的计算三角表的方法。 恒星在星图中是固定的，一般位置不会有变化，所以有固定性。很多不同的人，都会有特殊的记忆这些固定星星的办法。 细心的天文学家当然能发现行星是运动的，至于为什么这么动，只有古希腊人理解的正确。 古希腊人有人知道地球是圆的，会绕太阳转，所以就能理解这些天文过程，甚至可以启迪前年之后的后人。 在航海中也会用星图，可以根据对应时间确定海洋上的确切位置。最好用的是北极星，北极星指方向最管用。但是北极星也会发生微微的移动。只是这种运动比起其他星星相对要少些，但这也说明了各个时期的天文学家对北极星的重视程度。 古希腊的天文学家伊巴谷，又名喜帕恰斯，他对晚上看星星这个事情很感兴趣，所以晚上看了不少的星星，同时将所有的星星都记录下来。 每个星星，按照不同的亮度来分成各种星等，这样对于不同类型的星星就好区分了。 什么一天，对伊巴谷来说一个太阳到达相同位置的世界间隔才算是一天，伊巴谷进行计算之后一年大概是365天加6个小时。 什么是一个月，就是月球绕地球一圈用的时间，大约是29天12个小时多。 发现北极星不是不动的，有岁差。 发现地球轨道不均匀，夏至离太阳远，冬至离太阳近。 大约1500年后，第谷继承了伊巴谷的爱好，也开始对星星的研究来了兴趣。 第谷手里有很多古代星图，对于很多星星固定的位置，第谷有着天然的好奇心。里面也有移动的星星，也就是行星，对于这些行星的记录，第谷想好好精确的测量每个星星的准确位置。 1572年的时候，丹麦国王腓特烈二世花钱给第谷搭建了一个准确的观象台。 第谷拿着观想台，也拿着伊巴谷的星图对照着，开始一个个的测量每个星星的轨迹。 第谷把所有精确测量的星星都记录下来，对着这些数据看。 前一段时间闹得沸沸扬扬的哥白尼的日心说，让第谷也开始疑惑：“莫非哥白尼是正确的？” 但是随即第谷就打消了这个念头：“这是大逆不道的说法，要触犯神灵的。” “可是从太阳的运行轨迹来说，也可以考虑地球绕太阳转动的可能性呀！” 第谷的学生开普勒看着第谷嘟嘟囔囔的在自言自语。 开普勒对第谷说：“地球绕太阳转动，难道不就是太阳绕地球转动吗？” 第谷对开普勒说：“从道理上讲，可以这么说。可是群星没有绕地球和太阳转动的意思，我从这些个星星的数据上就可以看出来。难道上帝不是这样设计的？” 开普勒说：“说实话，上帝可没说过，一定要星星绕地球转。那只是我们教会的想法。” 第谷连忙打个闭嘴的手势，示意开普勒小声点。 “不要命了你，我们只是为了让占星学正准确一些，你别跟我在外面宣扬那些哥白尼的理论。最近有个叫布鲁诺的人，有些闹腾，他已经被教会的人盯上了，很危险的。所以，做我们这一行，一定要谨慎。” 开普勒说：“可是，我们精确测量和计算出来的，就是这样的结果，地球确实是绕太阳转的。而星星也没有绕地球和太阳转动。地球也是自转的，才让人以为星星是绕地球转的。咱们得圆一下这个事情。” 第谷说：“可以说星星绕太阳转，然后太阳绕地球转，这听起来不也合理吗？” 开普勒噗嗤的笑了，这样的相对性思想也是没谁了，起码能蒙哄过关。 第六十五章 开普勒三定律 “求求你了，我就看看。”开普勒苦苦的哀求第谷的遗孀。此时是第谷去世有一段时间。 第谷的遗孀有些不好意思的说：“你让我难为情，第谷的这些星图数据就是不让给你看，就是怕你闯祸，担心你算出很多大逆不道的东西。” 开普勒说：“我就看一眼，里面有很多重要的工作，我真的很需要它。” “里面有什么重要的工作？装神弄鬼的占星术？” 开普勒说：“就是说了你也听不懂，我求求你了。” 第谷的遗孀还是很犹豫，开普勒拿出一袋钱，对遗孀说：“给你这些钱先用着，把这个数据给我看看吧。” 遗孀无奈，只得收下钱财。 开普勒拿起星图表，飞奔回家计算起来。 拿出草纸，按照数据画点，然后绘制轨道，然后拿各种各样的数学公式套用轨道数据。 终于发现了神奇的开普勒三定律。 1椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 2面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等。 3调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道长半轴的立方成比例。 至于这个三定律为什么会是这个样子，开普勒也不知道，只知道这是个规律。 1609年，开普勒（kepler）出版《新天文学》（astronomia nova）。这项工作包含开普勒关于椭圆轨道的第一和第二定律，但只对火星进行了验证。 1623年，施卡德（schickard）制作了一个“机械钟”，这是一个木制计算器，能做加减法和辅助计算乘除法。他写信给开普勒建议使用机械方式来计算星历表。 1635年，卡瓦列里（cavalieri）在他的《连续不可分割的新几何学》（geometria indivisibilis continuorum nova）发表了他对阿基米德穷举法的发展。该方法结合开普勒无限 第六十六章 开普勒方程 提出三定律的开普勒，深深的认识到，自己需要给天体的运行定一个法则。 而这个法则需要从简单开始立。 开普勒知道，虽然有三定律，但是却不能准确反应某个天体的确切运动，需要自己去准确计算这些，把在某一时刻在哪里以什么样的运动弄得十分清楚才可以。 开普勒通过三定律得到了一个简单的二体问题的一个方程。 确切说是二体问题运动方程的一个积分。 二体问题里面考虑的是两个天体相互围绕着转，而不时一个运动另一个不动的情况。 它反映天体在其轨道上的位置与时间t的函数关系。 对于椭圆轨道，开普勒方程可以表示为e－esine=m，式中e为偏近点角，m为平近点角，都是从椭圆轨道的近地点开始起算，沿逆时针方向为正，e和m都是确定天体在椭圆轨道上的运动和位置的基本量。 如果定义天体在轨道上运动的平均角速度为n ，天体过近日点的时刻为t，则对任一给定时刻t ，天体从近日点出发所走过的角度就是平近点角m=n（t－t）。 这样，开普勒方程给出了天体在轨道上运动的位置与时间t的关系。 偏近点角是过椭圆上的任意一点，垂直于椭圆半长轴，交长轴外接圆的点到原点的直线与半长轴所成夹角。 开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析解，但是，已经证明这个方程存在唯一解。 如果已知某一作椭圆运动的天体的轨道要素，利用二体问题的关系式可以得到任意给定时刻t时的平近点角m，而后采用图解法、数值法或近似迭代法求解开普勒方程得出偏近点角e，再利用二体问题的其他积分而得到t时刻天体在轨道上的坐标和速度。对于抛物线轨道和双曲线轨道也有相应的开普勒方程。 第六十七章 开普勒式望远镜 工资降到一半不说，这都拖了几个月了，还称自己是什么神圣罗马帝国敌国，简直狗屁不通。那个帝国连给占星师的工资都开不了。 开普勒十分发愁，不知道鲁道夫二世到底怎么了，自己的老师第谷在的时候，他是一个极其大方的人啊。而自己混得这几年，是一年不如一年。 也听闻鲁道夫二世自己也快没钱了，或许是连年征战，花费了不少钱。 开普勒的母亲也曾催自己去找一找这个喜欢科学知识的皇帝，说说情，但是皇帝只温和的说：“你放心吧，只要好好干，钱会清的。” 但是开普勒和自己的家人都不喜欢皇帝说的这种话，毕竟这样的话不是头一次说了。 工资的事情是一拖再拖，延误的时间全部都不作数，甚至都有连续快一年不发工资个记录。 开普勒想过离职干其他行业，但是自己这么大了，还能干什么？种地、打鱼、参军之类的活都不合适。牧师竞争激烈，也有干很多年拿不到钱的。 开普勒十分发愁，心里有慰藉的仅仅就是自己的科学发现了。 此前，伽利略望远镜是一个目镜，一个物镜，目镜是凹透镜，物镜是凸透镜。 而开普勒造出了新型的望远镜，目镜是凸透镜，目镜是凸透镜。 目镜是选择在凸透镜靠近边缘处观测，看到的是物体的倒影。 但是视场可以设计的较大。 为了得到可以正立的像，可以在光路中增加了转像棱镜系统。 此后的大多数折射望远镜，几乎都用开普勒望远镜。 折射望远镜是以会聚远方物体的光而现出实象的透镜为物镜的望远镜它会使从远方来的光折射集中在焦点，折射望远镜的好处就是使用方便，稍微忽略了保养也不会看不清楚，因为镜筒内部由物镜和目镜封着，空气不会流动，所以比较安定，此外，由于光轴的错开所引起的像恶化的情形也比反射望远镜好，而口径不大透镜皆为球面，所以可以机械研磨大量生产，故价格较便宜。 第六十八章 约翰·纳皮尔对数计算尺 在400多年前，人类还没有发明计算机，还只能做加、减、乘、除等简单运算。但是随着科学技术的发展，特别是随着天文学和力学的迅速发展，科学家要面对许多复杂的计算，这就促使他们去寻找简化复杂计算的方法。对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。 人们应该把造出第一张对数表归功于乔伯斯特-比尔吉(jobstburgi，1552-1632)和约翰-纳皮尔（john napier，1550-1617）。他们在制作对数表的过程中所花费的巨大的劳动使人惊讶。 1614年，约翰?纳皮尔说：“计算天文学就需要球面三角形，计算球面三角形就需要很多连乘，计算连乘太费脑子，需要知道一个好办法，而这个好办法就是对数运算。”此刻，他写了《奇妙的对数规律的描述》。还留下了纳皮尔数。 1617年，布里格斯说：“我的老师纳皮尔死后，我希望自己列出以10为底的对数表，工作很累，但是方便后人。”然后他出版了《自然数从1到1000的对数》，其中引入了以10为底的对数。 乔伯斯特-比尔吉出生于瑞士，是一个能干的钟表匠和天文仪器技师，他没有受过高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能与勤奋的工作。他和发现行星运行三大定律的德国着名科学家开普勒（kepler，1571-1630）一起工作，因为需要进行大量的计算，这就促使他去寻找快速计算的方法。1620年，比尔吉出版了《算术与几何进展一览表》。独立与纳皮尔，比尔吉也开始制作对数表了。 开普勒对比尔吉说：“你找好了更好的乘法计算了吗？” 比尔吉说：“我知道了，对数运算可以实现。” 开普勒说：“由于对数运算有换底公式，所以只要选择一个适当的底，关于这个底制作出对数表，则关于其他底的对数表就很容易制作出来了。那么以什么数作为底最合适呢？” 比尔吉说：“首先，对数表需要满足一个基本条件：表中对数的间隔要充分小，而真数的间隔也要充分小，例如为0.0001。这样当我们从真数求对数时，很容易在表中找到这个真数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的对数值；而当我们从对数求真数时，也很容易在表中找到这个对数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的真数值。” 比尔吉说：“我们取的底应该是一个指数形式，指数是一个比较大的数，如，而底越接近1，真数这一列的间隔就越小。” 开普勒说：“求什么样的底最合适呢？” 比尔吉说：“为了造第一张对数表时便于计算，必须取形如(1+1\/n)n的数为底，其中n为一个较大的整数，如n=1000，等，n越大，所造的表越精确。” 别尔基造的对数表就是用数1.000做底的，这张表在1620年出版，称为“算术级数和几何级数表”。别尔基从1603年到1611年共用了八年的时间来造表，为什么要用这么多时间呢？你们可以想一下，表中对数的间隔是0.0001，从0到1就要计算个真数的值。制作整个对数表，别尔基总共做了230，000，000个以上的数依次乘以1.0001的乘法计算。 别尔基造的对数表没有得到广泛的推广，因为在1620年，纳皮尔出版了比别尔基造的表完善得多的对数表，称为“珍奇对数表”。纳皮尔的对数表是以1.000000做底的，因此更加精确。为了制作这张表，纳皮尔用了20年的时间。 后来，1620年，甘特说：“我制作了一种机械装置，甘特式计算尺，它使用一把尺和一个圆规，基于对数来做乘法。” 1624年，布里格斯出版了《对数的算术》他说：“其中引入了术语“尾数”和“特征”。他给出了自然数1到以及到的对数，计算到14位小数，同时也给出了15位小数的正弦函数表和10位小数的正切及正割函数表。” 1630年，奥特雷德说：“我发明了一种早期形式的圆形计算尺，它使用两个甘特计算尺。” 法国数学家和天文学家拉普拉斯ce，1749-1827）说：“一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。” 恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪三个“最重要的数学方法”，而对数的计算又离不开对数表，由此可知对数表的制作成功对科学发展的重要意义。 随着牛顿和莱布尼兹创立了微积分，柯西和魏尔斯特拉斯等人奠定了微积分的基础，建立了严格的极限理论，人们发现当n无限增加时，数列(1+1\/n)n极限存在，这个极限是一个无理数，等于2.……，数学家把这个数用字母e来表示，是为了纪念伟大的瑞士数学家欧拉。但为了纪念纳皮尔，这个数也叫作“纳皮尔数”。 因此，现在用的对数有两种，一种叫自然对数，它以数e为底，另一种叫常用对数，它以10为底。 第六十九章 第一原因 笛卡尔说：“我可以用逻辑学解释上帝的存在！” 帕斯卡笑着说：“说说看，有没有毛病。” 笛卡尔说：“任何一件事都有原因，原因也有原因，这样可以一直往前推。很多事情都可以这样往前推，结果就推到第一的原因。” 帕斯卡说：“这个第一原因，就是上帝。所有东西都是可以往前推的，所以肯定有个上帝产生这个第一原因。” 笛卡尔骄傲的说：“没错！” 帕斯卡说：“那你怎么能知道万物的原因只会朝着第一个原因去推呢？为什么不是朝着很多个其他不想干原因去推呢？” 笛卡尔突然愣住了。 第七十章 笛卡尔的坐标 卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？ 他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。 反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点p与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。 1637年，笛卡尔出版了《几何》 笛卡尔在17世纪提出的“心物二元论”，即世界存在着两个实体，一个是只有广延而不能思维的“物质实体”，另一个是只能思维而不具广延的“精神实体”，二者性质完全不同，各自独立存在和发展，谁也不影响和决定谁。 第七十一章 笛卡尔乘积 与笛卡尔有启蒙意义的老师以撒·贝克曼同样也欣赏笛卡尔的新创造。 贝克曼对笛卡尔说：“你这个笛卡尔积是？” 笛卡尔说：“称之为直积，跟普通的数字的乘积不一样。” 贝克曼说：“在我心里只有数字才能乘积，你这还能是什么样的乘积？” 笛卡尔说：“是两个列表的乘积，一个表是a和b，另一个表是0、1、2。” 贝克曼说：“如何让这两个表乘起来？” 笛卡尔说：“每个元素直接相互关联起来，变成一个新表，为a和0，a和1，a和2，b和0，b和1，b和2.” 贝克曼说：“我好像懂你的意思了，但是这样可以做什么来用？” 笛卡尔说：“例子有，如果a表示某学校学生的集合，b表示该学校所有课程的集合，则a与b的这个乘积表示所有可能的选课情况。a表示所有元音的集合，b表示所有辅音的集合，那么a和b的这个乘积就为所有可能的拉丁文全拼。” 贝克曼说：“相当于是吧两个表格给相乘了。原来的表上带上了新表的新性质。” 笛卡尔说：“不仅仅是简单的，复杂的多个性质也能这样相乘起来。” 贝克曼说：“等等，这个东西如果顺序不同，乘出的结果也不一样。” 贝克曼写出以下式子： a={1，2}，b={0，1} axb={(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)}， bxa={(0，1)，(0，2)，(1，1)，(1，2)}， 显然，axb≠bxa。 笛卡尔表示肯定。 笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合x和y的笛卡尔积（cartesian product），又称直积，表示为x x y，第一个对象是x的成员而第二个对象是y的所有可能有序对的其中一个成员。 第七十二章 笛卡尔符号法则 笛卡尔对数学家神父梅森说：“我发现了一种法则，可以根据方程正负号来确定根的正负。” 梅森好奇的说：“怎么确定的？” 笛卡尔说：“如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小2的倍数。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数，或说等于它减去一个正偶数。” 梅森说：“那你给我确定以下这个方程，并解释。” 梅森写出了x^3+x^2-x-1=0方程。 笛卡尔看到说：“在第二项系数和第三项系数有一个变号。这样，这个多项式有一个正根。” 梅森把方程化成(x+1)^2(x-1)，知道有-1和1根，其中-1出现两次。 然后梅森写出了-x^3+x^2+x-1=0方程。 笛卡尔说：“这样的话这个多项式有两个变号，这样就说明原多项式有两个或没有负根。” 梅森把方程化成-(x-1)^2(x+1)=0，解为-1和1根，其中1出现两次。 印证了笛卡尔的法则。 第七十三章 笛卡尔定理 笛卡尔看到帕斯卡的数学天赋，是因为在读过他的《论椭圆曲线》后。 笛卡尔见到帕斯卡后，开始跟他讨论自己刚刚发现的新的几何。 笛卡尔说：“我发现了多个圆在相切之间的半径的关系。” 帕斯卡说：“几个圆？” 笛卡尔说：“我现在研究的是四个。” 帕斯卡说：“如何相切，是内切还是外切，或者其他的？” 笛卡尔说：“我这里有四个的，我认为四个的情况常用。四个圆两两在不同四个点外切，其中有个关系。” 帕斯卡正在想着形状，对笛卡尔说：“是半径的关系？” 笛卡尔说：“没错，这个四个圆的半径分别是r1，r2，r3，r4.之间的关系是，各种各倒数的和的平方等于2乘以各自平方倒数的和。” 笛卡尔画出了这四个外切的圆，并写下了这个方程。 帕斯卡验证完这个公式后，是正确的，然后说：“内切的关系呢？” 笛卡尔说：“如果r1，r2，r3内切于圆r4中，把原来左边的r4的平方分之一改成负号即可，其他不变。” 帕斯卡说：“你的意思是被内切的，那一项，只要在左边改成负号就可以了是吧。” 笛卡尔说：“没错，这就是我的发现。” 笛卡尔定理是关于平面几何中关于圆与圆相切时半径之间的数量关系。 后来笛卡尔定理在三维坐标系中也有类似的结论：若五个球的半径是ri(1，2，...，5)，满足任意一个球与其他四个球外切，只需要把原来的公式从2乘以变成3乘以即可，其他依次类推不变。 第七十四章 笛卡儿叶形线 瑞典女王克里斯蒂娜得知笛卡尔的才华，一直想聘请他当自己的老师。 笛卡尔也应邀前来，开始教授克里斯蒂娜数学。 克里斯蒂娜公务繁忙，只能在早上一大早来让笛卡尔来教授自己，不善于早起的笛卡尔也只能硬头皮 笛卡尔对女王说：“我今天讲一个跟植物有关饭方程。” 说完，写了一个方程式，为x^3+y^3-3axy=0。 克里斯蒂娜说：“这个是什么形状？” 笛卡尔按照这个方程的解法描绘出了一个树叶或花瓣一样的形状。 并对克里斯蒂娜说：“随着a的改变，我会画出不同的花瓣和叶形曲线特征。” 克里斯蒂娜说：“这是一个关于树叶的方程，果然美妙，天下的树叶都能用这个方程画出来吗？不同树叶的区别仅限于a？” 笛卡尔点点头。 克里斯蒂娜觉得很好玩，自己想随意改变a的值，然后找出x，y的点来描绘出不同树叶的形状。 克里斯蒂娜说：“上帝创造植物的时候，也许用的就是这个公式吧。” 笃信天主教的笛卡尔说：“没错，上帝用方程造万物，万物的形状也就是方程而已。” 笛卡尔身体不好，瑞典天冷，然后笛卡尔得了重病，重病之际给卡里斯蒂娜一个方程后，最后就撒手人寰了。 克里斯蒂娜伤心后，知道笛卡尔是天主教，她也摆脱了自己的新教，转信天主教，同时这样也就放弃的王位。 据传说笛卡尔留给克里斯蒂娜的方程是p(θ)=2r(1-cosθ)的极坐标方程。卡里斯蒂娜用极坐标画出了这个方程。 第七十五章 拉海尔算出了心脏线的长度 笛卡尔发现了心脏线，但是海拉尔却对心脏线的周长感兴趣。 心脏线，也称心形线，是外摆线的一种，当圆贴这另一个圆滚动时，圆上一点划出的是外摆线。 亦为蚶线的一种，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。 心脏可以极坐标的形式表示： r =a( 1 - sin θ)。 而海拉尔对心脏线的周长却很感兴趣，毕竟这跟旋轮线的性质一般，对人有吸引的作用。 旋轮线是当圆周在地面上滚动时，圆周上点划出的轨迹，而心脏线是贴这圆运动时，圆周上点划出的轨迹。这些东西当然值得去研究。 方程为p(θ)= a(1 + cosθ)的心脏线的面积为：s=3（πa^2）\/2。 第七十六章 托里拆利实验 托里拆利曾经跟自己的老师伽利略讨论过气体有压力的问题。 托里拆利心想：“如果气体有压力，到底有多大，相比于真空会是多大呢？” “如果做到这一点呢？毕竟环境讨厌真空，我需要一定的力道才能强行分析出来。” 托里开始拿出一个玻璃罐子，扣在水中，罐子里放置燃烧的蜡烛，不一会儿氧气烧完后，有水进入了罐子中。 “这就代表罐子中气体，是外面的空气压进去的，但是气体毕竟没有烧完。还不能看出来大气压到底大到什么程度。” “如何才能看到呢？” 突然托里拆利想，如何是个大一点的罐子，里面水是满的，倒立起来，水还能充满在里面，就说明大气压力是用了很大的力量把水压进去的。 “但是这也有个极限，大气压力不会是无限大的，足够大的罐子，大气也有压不进去的一天。所以水会因为重力拖拽，会向下一些，然后留出一点真空。” 但是托里拆利没有那么大的罐子。 而托里拆利也知道，只要是高一点的玻璃管也可以。 他拿着1米长的玻璃管，这个玻璃管已经很难得了，再长的很少见。 一米的玻璃管装满水，倒扣在水盆里，托里拆利细细的观察，看到只留出一丁点的真空，几乎看不出来。 托里拆利心里还是明白，自己已经成功了，只是实验象限不明显。 “因为水还是不够重，要找一个重一点的液体，比水重出很多来，才会受到较大的引力拖拽。” 突然有一天托里拆利在学校里看到了水银，水银比水重13倍多呢？ 托里拆利二话不说，直接借到了水银。开始继续气压实验。 他一只手握住玻璃管中部，在管内灌满水银，排出空气，用另一只手指紧紧堵住玻璃管开口端并把玻璃管小心地倒插在盛有水银的槽里，待开口端全部浸入水银槽内时放开手指，将管子竖直固定，当管内水银液面停止下降时，读出此时水银液柱与水槽中水平液面的竖直高度差，约为760mm。 然后逐渐倾斜玻璃管，发现管内水银柱的竖直高度不变。 继续倾斜玻璃管，当倾斜到一定程度，管内充满水银，说明管内确实没有空气，而管外液面上受到的大气压强，正是大气压强支持着管内760mm高的汞柱，也就是大气压跟760mm高的汞柱产生的压强相等。 最终通常人们把高760毫米的汞柱所产生的压强，作为1个标准大气压，符号为1atm（atm为压强的非法定单位），1atm的值约为1.013x10^5pa 第七十七章 马德堡半球实验 1654年，马德堡市长奥托·冯·格里克听到托里拆利的事，又听说还有许多人不相信大气压强；还听到有少数人在嘲笑托里拆利。因此，虽然远离意大利的格里克在德国，但他很为托里拆利抱不平。 他匆匆忙忙找来玻璃管子和水银，重新做托里拆利这个实验，断定这个实验是准确无误的；再将一个密封完好的木桶中的空气抽走，木桶就“砰！”的一声被大气“压”碎了！ 有一天，他和助手做成两个半球，直径14英寸，约37厘米，并请来一大队人马，在市郊做起“大型实验”. 这年5月8日，马德堡市风和日丽，一大批人围在实验场上，熙熙攘攘十分热闹.有的支持格里克，希望实验成功；有的断言实验会失败；人们在议论着、在争论着、在预言着；还有的人一边在大街小巷里往实验场跑，一边高声大叫：“市长演马戏了！市长演马戏了———” 格里克和助手当众把这个黄铜的半球壳中间垫上橡皮圈；再把两个半球壳灌满水后合在一起；然后把水全部抽出，使球内形成真空；最后，把气嘴上的龙头拧紧封闭.这时，周围的大气把两个半球紧紧地压在一起. 格里克一挥手，四个马夫牵来八匹高头大马，在球的两边各拴四匹.格里克一声令下，四个马夫扬鞭催马、背道而拉！好像在“拔河”似的. “加油！加油！”实验场上黑压压的人群一边整齐地喊着，一边打着拍子. 马德保半球实验纪念邮票 马德保半球实验纪念邮票 4个马夫，8匹大马，都搞得浑身是汗.但是，铜球仍是原封不动.格里克只好摇摇手暂停一下.然后，左右两队，人马倍增.马夫们喝了些水，擦擦头额上的汗水，又在准备着第二次实验. 格里克再一挥手，实验场上更是热闹非常.16匹大马，使劲拉，八个马夫在大 马德堡半球实物 马德堡半球实物 声吆喊，挥鞭催马…… 实验场上的人群，更是伸长脖子，一个劲儿地看着，不时地发出“哗！哗！”的响声. 突然，“啪！”的一声巨响，铜球分开成原来的两半，格里克举起这两个重重的半球自豪地向大家高声宣告： “先生们！女士们！市民们！你们该相信了吧！大气压是有的，大气压强是大得这样厉害！这么惊人！……” 实验结束后，仍有些人不理解这两个半球为什么拉不开，七嘴八舌地问他，他又耐心地作着详尽的解释：“平时，我们将两个半球紧密合拢，无须用力，就会分开.这是因为球内球外都有大气压力的作用；相互抵消平衡了.好像没有大气作用似的.今天，我把它抽成真空后，球内没有向外的大气压力了，只有球外大气紧紧地压住这两个半球……”. 即抽气前，半球的外部压力等于其内部压力等于大气压。但抽气后，半球外部压力大于其内部压力，并且半球内部为真空。就好像大气压“压”住了两个半球。所以这两个半球必须用较大的力才能拉开。 通过这次“大型实验”，人们都终于相信有真空；有大气；大气有压力并且很惊人，但是，为了这次实验，格里克市长竟花费了4千英镑。 后来，托里拆利通过实验测出了大气压强。 第七十八章 托里拆利加百利小号 知道托里拆利曾经是伽利略的学生和助理，教宗的人盯上了托里拆利。 牧师对托里拆利说：“你和你老师说的那一套，很不好，扰乱了秩序。” 托里拆利说：“我没有想过扰乱秩序，我只是在寻找应该存在的东西。” 牧师说：“你心里怎么想，我无法改变，但上帝知道，末日审判的时候，天使长会吹响加百利号，宣布你下地狱的消息。” 托里拆利说：“加百利号？是什么样子的号？” 牧师说：“一个从天上到地上那么长的号子，连这个都不知道，还不承认是异端？” 托里拆利说：“我当然知道了？我想请你这位牧师解释一下，到底是多长？” 牧师烦恼的说：“当然也无穷长了，那么大的东西，岂是我们凡人能看清全貌的？” 托里拆利笑着说：“就是无穷长，也不算大。” 牧师说：“你不是懂数学吗？无穷长的东西，不就是无穷大吗？” 托里拆利画出了y=1\/x 的图，告诉牧师说让其中中 x≥1 的部分绕着 x 轴旋转了一圈的的三维的号子图。 托里拆利一边画，一边向牧师计算，对牧师说：“这个小号的一个性质，它的表面积无穷大，可它的体积却是π。” 牧师看着托里拆利画的加百利号，直接大骂：“你怎么能乱画，而且说出更加大逆不道的话来。想必科学家也容不下你这等胡说吧？” 托里拆利说：“如果加百利号不长这个样子，那应该是什么样子，总不能什么样子都不是吧。如果末日审判，我们人类总不能不认得它的样子吧。而且刚刚你是亲眼看到我的计算的，我哪里是不对的？” 体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！这个形状是由的曲线沿轴旋转而成。 牧师对托里拆利这番说辞弄得无话可说，连忙躲开，希望不要让眼前这个魔鬼污染了自己的精神。 第七十九章 费马－托里拆利点 费马给意大利物理学家托里拆利写信说：“我已经解决将军巡营问题。” 托里拆利一看是将军巡营，便知道一个传说。 三座兵营分别设置在大片开阔地的三处，将军经常要去巡视。他从自己的指挥所出发，到达第一兵营后回到指挥所；再去到第二兵营后回到指挥所；最后又去到第三兵营后回到指挥所。一天，他忽然想到要把指挥所搬到少走路程的地方，却拿不定主意，不知指挥所应放在哪儿才合适。 托里拆利回信说：“这个事情只需要构建一个模型，以每座兵营为一个点，三座兵营作为顶点，便构成—个三角形。那么，指挥所可拟作三顶点以外的另一个点，于是问题可以叙述为，试确定一点，使它至三顶点往返的距离和为最小。往返的距离和最小，相应地，单程的距离和也最小。” 这样，《将军巡营》问题实质上就是“试求一点，使它到已知三角形的三顶点距离之和为最小。”这样一个极值问题。 费马说：“在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，圆心这个点就是将军巡营所在的点。” 第八十章 费马大定理 费马是律师，收入还不错，但根据当时法律，他不能跟很多案情当事人接触。所以他几乎是天天带着家里，闷死他了。 还好在他喜欢数学，数学就是一个适合有钱且天天不出门的人去搞。费马刚巧喜欢数学，也有充足的时间，所以他开始阅读各种数学的作品，甚至自己下手去计算。 费马对自己的助理说：“给我买几本跟数学有关的书籍，你买回来了没有？” 助理说：“我买了，但是你为什么要这些跟数学有关的书籍？” 费马说：“我数学学得不好。” 助理说：“你是学法律的，学数学干嘛？” 费马说：“我也是被逼的，因为一开始懂法律，数学不好，遇到了很多麻烦的案件。比如：遗产继承问题，离婚财产分割问题，物件损坏赔偿问题，贵族赌博终止分赌资的问题等。如果数学学的不好，就会被人钻空子绕进去。” 助理说：“也是，这些都跟数学计算有关系的，所以做好一个律师，不仅仅得学会规定法律条款，还得会计算数学。如果数学都不会算，那律师是当不下去的。我结了基本书，很多都是古希腊数学家的书。有欧几里得的《几何原本》，有阿基米德的一些书，有丢番图的书，有阿波罗尼奥斯的《椭圆曲线论》，还有我搜刮到的《平面轨迹》，这个很难找。这些书拿来消遣还可以，我看到很少有能破案的。” 费马说：“干的漂亮，我好让自己在处理案件的时候有发达的数学逻辑大脑。具体的案例太多了，我不可能一一查到，所以只求自己有个能计算的好脑袋。” 助理说：“这里很多书都是数学史，这有利于你学真正的数学吗？” 费马说：“没错，这样才能知道数学的来龙去脉，更适合我这种爱推敲细节的人去阅读。” 费马看过阿波罗尼奥斯的《平面轨迹》，大家一般只能读过阿波罗你奥斯的《圆锥曲线论》，从来没读过几乎失传的《平面轨迹》这本书。费马从中悟出了数形结合。与笛卡尔从轨迹找方程相反，费马是从方程早轨迹，而且早于笛卡尔约七年时间。 助理看到费马几乎天天都在读数学书，几乎不多去整理跟法律有关的事情了。担忧的对费马说：“学那么多数学只是真的有利于去搞法律吗？法律能成为数学吗？” 费马说：“法律就是将道德给数学化的过程。道德只能靠自觉性，而法律是有强制执行能力的。法律是完全代表现实的正义性的，所以我有了好的数学计算，不愁自己有好的法律素养。” 助理说：“谁知道你是不是因为数学玩物丧志呢？” 费马惊奇的看着助理说：“连这个也能猜到，你真是个天才。” 助理说：“数学真的有那么好玩吗？我看到那些几何图形和代数公式就发愁。” 费马说：“那是因为你没有体会到其中乐趣。” 助理说：“我倒想听听这其中会有什么乐趣？” 费马说：“我可以使用数形结合，可以把一个模型方程写出来，画在图上，然后可以找到最大值和最小值来了解其中的重要信息。我可以看出来古希腊海伦提出的光学最小路径原理。而且我还找到了一个更好玩的。你知道毕达哥拉斯定理吧。” 助理说：“我知道啊，我数学也还行。知道a的平方加b的平方等于c的平方，abc是直角三角形的三个边。” 费马说：“没错，abc有很多个整数的勾股数。” 助理说：“我知道很多个呢。” 费马说：“你有没有想过a的三次方加b的三次方等于c的三次方？abc的整数勾股数？” 助理说：“这还没想过呢，我给你蒙几个看看能不能蒙出来。” 助理开始在一旁写着一些数字，想试图写出来。 费马对助理说：“不用写了，没有这种情况。这种情况的abc不能同时为整数。” 助理惊讶的说：“不会吧，只是难以找到而已，怎么会没有？” 费马说：“a的n次方加b的n次方等于c的n次方，n大于2的情况下，abc不能同时都是整数。别问我为什么，我也不知道。” 助理说：“你能证明吗？” 费马说：“我不能，我只是通过第六感认为是这样的。” 之后300多年时间数学家绞尽脑汁的要拿下的东西。费马大定理是勾股定理上次方数推广的方程，然后只求其中有整数的情况。模样为：x^n+y^n=z^n，整数n>2是，xyz不能同时都是整数。 就这个看似简单的问题，让后来的数学都无法平静下来了。知道1996年，怀尔斯用复杂而艰深的非代数问题给解决。 第八十一章 费马数 费马与自己数学家的同行们聊天，聊得最大多的就是关于素数的问题。 而素数想是一个无法驯服的野马，没有一个特定的规律能找到它。 没有一种公式，它是可以涵盖所有素数的。 费马想攻克这个问题，同时也基于现实，找到一种可以涵盖部分素数的公式。 于是突发奇想，2的2次方的n次方加1，是不是都是质数。 费马起床就写。 n等于一的时候等于3。 n等于二的时候等于5. n等于三的时候等于17. n等于四的时候等于257. n等于五的时候等于. 第六个数字太大，费马不想写了，只是说这些都是质数。 为了表示方便，2次方的2次方的n次方加1写成fn。 后来人们发现，从6开始就不是质数了，证据如下： f6 = x f7 = x f8 = x f9 = x x f10 = xxx xp252 f11 = x x x x p564 f12 = x x x x x x c1133 f13 = x x x x c2391 费马比较倒霉，当n大于5后，后来发现的数中没有一个是素数。只有它原来发现的前五个是。 尽管如此，但是两个费马数之间互为质数，简称互质，意思为没有共同因子。 第八十二章 费马引理 费马和罗尓讨论关于函数的问题。 费马说：“关于导数的事情，我有自己的一个看法。” 罗尓说：“我也是。” 费马说：“函数，其中最重要的问题之一，就是研究它的最大值和最小值。” 罗尓说：“说说你的看法。” 费马说：“通过证明可导函数的每一个可导的极值点都是驻点，驻点也就是函数的导数在该点为零的点。” 罗尓说：“你已经给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。但是却不是真正的最大值和最小值，仅仅是局部的而已。” 费马说：“是的，有些驻点可以不是极值点，它们是拐点。” 罗尓说：“还得看边界的值。” 费马说：“要想知道一个驻点是不是极值点，并进一步区分极大值点和极小值点，我们需要分析二阶导数，当然这个二阶导数要存在的话。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。” 罗尓说：“很好。” 费马说：“你对导数有什么看法？” 罗尓说：“我只是一个中值定理，如果在a，b区间可以求导的话，如果a，b点值域相等，必然其中有个导数等于零的点。” 费马想了想说：“你这个可以确定方程根的存在性。” 第八十三章 费马原理 费马对惠更斯说：“我对光学有一个属于自己的看法。” 对光学精通的惠更斯说：“洗耳恭听。” 费马说：“光这个东西要往最简单的地方去想。” 惠更斯说：“有多简单？” 费马说：“光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。” 惠更斯说：“听起来也不简单，这个路径复杂了。” 费马说：“但是时间确实最短的。光线传播的路径是需时最少的路径。” 惠更斯说：“所谓的光沿着所需时间为平稳的路径传播。” 费马说：“正是，这个模型我想了很久。最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点a经过反射到另一焦点b，可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。” 惠更斯说：“如果费马的话是正确的，那光线在真空中的直线传播；光的反射，反射角必须等于入射角，光的折射定律；这些东西也可以从此中推导出来。” 费马原理更正确的称谓应是“平稳时间原理”：所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。 第八十四章 费马螺线 阿基米德螺线由阿基米德发现之后，用来解决尼罗河取水问题，那就是螺旋扬水器。 笛卡尔发现了等角螺线，是臂的距离以几何级数递增的螺线。 银河系的四大旋臂的倾斜度约为12度角，低气压、热带气旋、温带气旋等外观像等角螺线。 费马也发现了一种螺线，是等角螺线的一种，表达式是r^2=θa^2。 费马深深的以为，螺线是如此有用，自己在阿基米德的基础上研究了很多螺线，就是把极坐标函数的参数和形状给改一改。 研究螺线这个工作变得极其有意义。 对费马而言，直线、圆形都是理想的几何图形，在现实生活中不会真正的存在，仅仅是抽象的。 相对而言，对圆形来说，椭圆更容易存在，但是计算是椭圆也是理想的，更多的也会有螺旋的形状，甚至是椭圆加螺旋的形状会非常的多了。 费马几乎肯定，万事万物很多运动和形状都是螺旋加椭圆组成的。 所以，费马找到以上很多螺线做成图册，以便记忆，之后在以此作为生活中很多东西的对照，一一对应之后，取上对应的姓名方便记忆。 有双曲螺线、圆内螺线、弯曲螺线、连锁螺线、柯奴螺线、欧拉螺线、圆柱螺旋线、圆锥螺旋线。 等角螺线是自我相似的，也是说等角螺线经放大后可与原图完全相同。 鹦鹉螺的贝壳像等角螺线， 菊的种子排列成等角螺线， 鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物， 昆虫以等角螺线的方式接近光源， 蝙蝠出洞飞行轨迹， 植物的茎和叶子的生在排布， 蜘蛛网的构造与等角螺线相似， 生物学中人的耳窝， 旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。 应用上有举重滑轮，抛石机，风扇排布，螺钉，螺母，钟表发条，飞机发动机涡扇排布，淋浴喷头形状。 核物理和中微子运动也有螺线。 第八十五章 费马平方和定理 费马研究关于数论的知识，善于在一堆数字中找到一些关联。 1640年的时候，费马开始猜测，奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。 但是他无法证明这些。 欧拉得知后，开始着手证明这个平方和定理。 欧拉给哥德巴赫写信说：“这个证明分五步。” “如果两个整数都能表示为两个平方数之和，则它们的积也能表示为两个平方数之和。第一步的证明是婆罗摩笈多－斐波那契恒等式的一种。” “第二步如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则它们的商也能表示为两个平方数之和。” “第三步，如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除，则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。” “第四步，如果a和b互素，则a^2 + b^2的所有因子都能表示为两个平方数之和。” “第五步，任何形为4n+1的素数都能表示为两个平方数之和。” 使用这五步，欧拉成功证明了费马的平方和猜想，变成了平方和定理。 第八十六章 费马小定理和费马素性检验 费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。 费马对梅森说：“我发现了费马小定理，这个可以用来检验素数。” 梅森说：“我知道，一个数字是一个素数减一次方除以这个素数，余数一定可以得到1。” 费马说：“比如2的100次方除以13得到的余数是几？根据费马小定理公式计算，得到就是3.” 梅森说：“那你如何进行素数检验？” 费马说：“利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。” 梅森说：“怎么个随机法？” 费马说：“根据我的办法，想要判断一个数n是不是素数，随机选取一个比n小的数a，得出这个a的n减去一次方，然后除以这个数，是不是会余1.” 梅森感觉有些绕，问：“然后呢？” 费马说：“如果余数不是1，就说明一定是合数。” 梅森摇摇头说：“如果余数是1，也许是个合数呢？你这个不严谨啊。” 费马说：“没错，如果选取了很多个小数余数都等于1。” 梅森摇摇头说：“那也不见得一定是素数。” 费马说：“如果不是素数，那也可以称之为伪素数。” 梅森摇摇头说：“这只能确定一定是不是合数，却不敢肯定一定是素数，只能知道是不是伪素数。” 第八十七章 费马多边形数定理 费马跟梅森说：“我又发现一个有趣的东西？” 梅森习以为常的说：“我知道，你一直在发现很多东西。” 费马说：“我发现一个多边形数。” 梅森说：“那先解释什么是多边形数？” 费马说：“一个圆点只有一个点，所以多边形数为一。一个三角形数需要在这个点外伸出两个点，所以为多边形数为3，如果再往外延伸，需要再加三个点，得到六个点，多边形数为六。” 一面说，费马一面画出三角形数的图形。 梅森说：“为什么是这样的？你规定了什么？” 费马说：“这个多边形为三角形的时候，点与点直接距离相等。” 梅森说：“然后为10，再然后为15等等。” 费马说：“正确。” 不一会儿两个人还是画出四边形、五边形、六边形的数分别都是： 四边形数为1、4、9、16、25等 五边形数为1、5、12、22、35等 六边形数为1、6、15、28、45等 梅森说：“你这样要做什么？” 费马说：“每一个正整数都可以表示为最多n个n边形数的和。每一个正整数一定可以表示为不超过三个的三角形数之和、不超过四个的平方数之和、不超过五个的五边形数之和，依此类推。” 梅森说：“原来你还在研究平方数和的一些规律呀！” 费马说：“没错。” 梅森说：“你打个比方，我听听。” 费马说：“两个个三角形数的例子，例如17 = 10 + 6 + 1，4=1+3。一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1。” 梅森说：“你证明了吗？” 费马说：“证明的事情恐怕要交给后人了。” 拉格朗日在1770年证明了平方数的情况，高斯在1796年证明了三角形数的情况，但直到1813年，柯西才证明了一般的情况。 第八十八章 费马和帕斯卡的信件 1654年，费马和帕斯卡在夏季交换的五封信里得出赌博和概率的规律。 十七世纪欧洲的贵族盛行赌博之风，法国有一位叫德·梅雷的贵族，在掷骰子的游戏之余，也思考一点相关的数学问题，苦思不得其解。1654年，他向帕斯卡请教了一个亲身经历的“分赌注问题”。 德·梅雷对帕斯卡说：“故事大概如此：梅雷和赌友各自出32枚金币，共64枚金币作为赌注，双方以掷骰子为赌博方式：如果结果出现“6”，则梅雷赢1分；如果结果出现“4”，则对方赢1分。双方谁先得到10分，谁就赢得全部赌注。赌博如此进行了一段时间，梅雷已得8分，对方也得了7分。但这时，梅雷接到紧急命令，要立即陪国王接见外宾，只好中断赌博。那么问题就来了：这64枚金币的赌注应该如何分配才合理呢？” 这个问题实际上在十五、十六世纪时就已经被提出，称之为“点数分配问题”。意思是说，当一场赌博半途中断的情况下，应该如何分配赌注？人们提出各种方案，但未曾得到公认的合理答案。 帕斯卡一开始没注意，只是说：“赌注的问题也找我，将赌注原数退回不就行了？” 梅雷说：“将赌注原数退回显然不合理，没有考虑赌博中断时的输赢情况，相当于白赌了一场；将全部赌注归于当时的赢家也不公平，比如当时：梅雷比对方多得一分，但他还差2分才赢，而对方差3分，如果继续赌下去的话，对方也有赢的可能性。” 帕斯卡本人不好赌，对于赌博人执着的要赌后结果的事情也方案。但是自己却好奇集中数学的东西，如果一切严格按照赌的规矩，会是什么结果。 帕斯卡来了兴趣，分析的说：“上述两种方案显然都不合理，赌博中断时的梅雷应该多得一些，但究竟应该如何分配呢？” 梅雷说：“有人商量我们两人比分的比例来计算：梅雷8分，对方7分，那么梅雷得全部赌注的8\/15，对方得7\/15。” 帕斯卡说：“这种分法也有问题，比如说，如果甲乙双方只赌了一局就中断了，甲赢得1分，乙得0分。按此分法，甲将拿走全部赌注，显然也是不合理的。” 雷梅点头称是。 帕斯卡直觉地意识到，中断赌博时赌注的分配比例应与当时的输赢状态与双方约定的最终判据之距离有关。比如说，梅雷已经得了8分，距离10分的判据差2分，赌友7分，还差3分到10分。因此，帕斯卡认为需要研究从中断赌博那个“点”开始，如果继续赌博的各种可能性。 为了尽快地解决这个问题，帕斯卡以通信的方式与住在法国南部的费马讨论。 梅雷原来的问题是掷骰子赌“6点”或“4点”的问题，但可以简化成抛硬币的问题：甲乙两人抛硬币，甲赌“正”，乙赌“反”，赢家得1分，各下赌注$10，先到达10分者获取所有赌注。如果赌博在“甲8分、乙7分”时中断，问应该如何分配这$20赌注？ 费马回信的分析：“从赌博的中断点出发，还至多需要抛4次硬币来决定甲乙最后的输赢。” 帕斯卡看信：“这4次随机抛丢或产生16种等概率的可能结果，因为“甲赢”需要结果中出现2次“正”，“乙赢”需要结果中出现3次“反”，所以，在16种结果中，有11种是“甲赢”，5种是“乙赢”。换言之，如果赌博没有中断，而是从中断点的状态继续到底的话，可以如此算出甲赢的概率是11\/16，乙赢的概率是5\/16。赌博的中断使得双方按照这种比例失去了最后赢得全部赌注的机会，但按此比例来分配赌注应该是合理的方法。所以，根据费马的分析思路，甲方应该得$20x11\/16=$13.75，乙方则得剩余的，或$20x5\/16=$6.25。” 帕斯卡十分赞赏费马思路之清晰，费马所得的结果也验证了帕斯卡自己得到的结论，虽然他用的是完全不一样的方法。 帕斯卡给费马写信也讨论了自己的结果：“解决这个问题的过程中提出了离散随机变量“期望值”的概念。期望值是用概率加权后得到的“期望”的平均值。帕斯卡计算出从甲方的观点，“期望”能得到的赌注分配为$13.75，与费马计算的结果一致。” 期望是概率论中的重要概念，期望值则是概率分布的重要特征之一。它常被用在与赌博相关的计算中。例如，赌场轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是1\/38。赌注（比如$1）押在其中一个数字上，如果押中，顾客得到35倍的奖金（$35），否则赌注被赌场所得。藉此，我们可以计算顾客“赢”的期望值。 从研究掷骰子开始，帕斯卡不仅仅引入了期望的概念，还发现了帕斯卡三角形（即杨辉三角），虽然杨辉早于帕斯卡好几百年，但是帕斯卡将此三角形与概率、期望、二项式定理、组合公式等等联系在一起，与费马一起为现代概率理论奠定了基础，对数学作出了不凡的贡献。1657年，荷兰科学家惠更斯在帕斯卡和费马工作的基础上，写成了《论赌博中的计算》一书，被认为是关于概率论的最早的系统论着，但人们仍然将概率论的诞生日定为帕斯卡和费马开始通信的那一天——1654年7月29日。 第八十九章 帕斯卡分布 在17世纪，有一个赌徒德扎尔格向法国着名数学家帕斯卡挑战。 德扎尔格说：“甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？” 帕斯卡陷入沉思，显然这个要使用概率的知识。 不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。 帕斯卡对赌徒说：“甲输掉后两局的可能性只有二分之一乘以二分之一等于四分之一。” 德扎尔格说：“没错。” 帕斯卡说：“那甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为一减去四分之一，为四分之三。” 德扎尔格说：“你的意思是甲赢得可能性高，让甲拿100法郎吗？” 帕斯卡说：“当然不对了，因为乙获胜可能性虽然低，但也有获胜可能性。” 德扎尔格说：“那怎么办？” 帕斯卡说：“虽然你们不能赌了，但是有概率所导致的期望，按照这个期望来。甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1\/2)*(1\/2)=1\/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。” 德扎尔格一边听了，一边也开始心算，帕斯卡继续说：“可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75法郎，乙应分得奖金的的100x25%=25法郎。” 德扎尔格听了，觉得很有道理。 帕斯卡分布，负二项分布的正整数形式，描述第n次成功发生在第x次的概率，是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布。 满足以下条件的称为帕斯卡分布： 1.实验包含一系列独立的实验。 2.每个实验都有成功、失败两种结果。 3.成功的概率是恒定的。 4.实验持续到r次失败，r可以为任意正数。 成功发生一次的，是几何分布。 第九十章 帕斯卡裂桶实验 伽桑狄看到帕斯卡在二楼上，拿着一根很长的细管，管子下端通着一个木桶，木桶只通管子，总体是密封的。 伽桑狄看着帕斯卡说：“你又开始鼓捣什么怪异的东西呢？” 帕斯卡对伽桑狄说：“你一会儿就知道了。” 这时看到帕斯卡拿着带水的杯子将水倒入细管里面，突然桶子炸出一个口子，本已经装满水从口子里喷射出来。 伽桑狄说：“你这是什么魔术啊？” 帕斯卡说：“你看到了，就是一桶水，一个长长的细管，再往细管里倒上一丁点的水。” 伽桑狄说：“就没有往里面再加其他特殊材料？” 帕斯卡说：“一个容器里的液体，对容器底部或侧壁产生的压力远大于液体自身所受的重力，我这个细管子由于很高，所以压强就变大了。导致木桶承受不住如此大的压力，就破裂了。” 伽桑狄表示佩服。 这就是历史上有名的帕斯卡桶裂实验。一个容器里的液体，对容器底部（或侧壁）产生的压力远大于液体自身所受的重力，这对许多人来说是不可思议的。 可以用于液压千斤顶。液压锻压机。水坝的下部总要比上部建造得宽一些。潜水员穿特制潜水服且控制下潜深度。潜水艇只能下潜到一定的深度。当下水到一定程度时，耳膜会难受。 第九十一章 帕斯卡定律 帕斯卡跟托里拆利惺惺相惜，都对流体压强感兴趣。 托里拆利给帕斯卡讲述了很多自己做过的实验，想深度的了解流体压强的性质。 帕斯卡说：“如果一种液体，是不可以压缩的，在任何一点受到外力后，此压强会瞬间传递到液体其他各点。” 托里拆利说：“没错，原因就是因为不可压缩，如果可以压缩，那力道就被压缩给吞掉了。” 帕斯卡说：“你认为水可以压缩吗？” 托里拆利说：“空气可以，水几乎不可能，以我现有的认识，水无法压缩。” 帕斯卡说：“所以说，我这个定律，有一个用途，以后肯定常用。” 托里拆利说：“什么用途？这不是纯理论？” 帕斯卡说：“可以做出水压机，若一个流体系统中有大小两个活塞，在小活塞上施以小推力，通过流体中的压力传递，在大活塞上就会产生较大的推力。” 托里拆利说：“这就是一种液体杠杆，以后会有大用。” 帕斯卡说：“那我的理论就是解释了这个液体杠杆的存在性。” 托里拆利说：“没错。” 后来人们制造千斤顶，用于顶举重物；制造液压制动闸，用于刹车等。人们利用这个定律设计并制造了水压机、液压驱动装置等流体机械。 第九十二章 牛顿快速幂 顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。 比如计算3的10此方，可以看到一下方法。 普通计算就是：3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 可以变换为：3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3) 也就是先对3自己进行平方，再求五次，就是3^10=(3*3)^5，这就相当于求了5次乘法。 最后可以变成先算3的平方，然后算其中五次，相当于只算了3次乘法。 根据这个过程，可以得到其时间复杂度为 o(log?n)，与朴素的o(n)相比效率有了极大的提高。 其中用的是二分法。 第九十三章 梅森素数 马林·梅森（marin mersenne）是一个神职人员，对神学的工作认真负责，一丝不苟，有严谨的学习态度。 研究神学过程中，会遇到很多实际问题，来解救迷茫的人，所以需要见多识广。为了能够对客观科学有详细的了解，以便研究神学，就可以去图书馆研究神学。 后来在神学图书馆找了很多的书籍，让自己的知识变得丰富。 一开始以为自己无所不通，对天文地理数学军事政治修辞等学问无一不通。 后来跟很多博学的人，尤其的国外的博学的人聊天之后，才发现自己的知识还是很匮乏，见识很少，需要更多的学习，才能当好神父。 怎样才能让自己的知识丰富起来呢，在同行朋友的介绍下，后来找到了很多当时的数学家和物理学家，让自己的知识充实起来。 他才认识到当时重要数学家和物理学家的重要性。他们可以让自己知识丰富。 但是科学家之间不算频繁联系，导致在科学上有很多重复和阻碍现象。 之后他开始主动发现和联系各个科学家的地点，并且积极开始通信研究问题。 梅森认识了笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治这些人，开始讨论问题。 梅森经常会被很多政治家和商人询问各种问题，梅森可以借助笛卡尔费马等人的力量来回答这些人遇到的各种数学难题，通常很成功。 梅森这个万事通神父开始名声大噪，与他联系的学者也越来越多。 马林·梅森是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，他与包括费马在内的很多科学家经常保持通信联系，讨论数学、物理等问题。17世纪时，学术刊物和科研机构还没有创立，交往广泛、热情诚挚的梅森就成了欧洲科学家之间联系的桥梁，许多科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给更多的人。 梅森还是法兰西学院的奠基人，他以一人之力，形成了一个重要学校。 也不是什么问题能让梅森以这种方式可以解决的。 时间一久，梅森发现数学中有一个重要难题一直存在，就是关于素数的分布问题，它就像一个杀不死的幽灵一般，想必也避不开，想解决也解决不了。素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。 就是古人已经证明素数是无穷的，但是却不知道素数的分布究竟是怎样的，找不到一个合理的通项公式。 梅森也对这个问题加以研究，知道虽然不能找到产生素数的通项公式，他想找到一个可以部分统治素数的公式也可以。 就算是一个公式，可以完全部分统治素数，那这个公式本身就有一种潜在可以统治其他素数的能力。 梅森找到了一个公式，2的p次方减1的一种素数，这种数字非同小可，根完全数还有一定联系。 梅森发现这不是个简单活，需要强大到变态的运算能力。 很多数学家也开始动用自己强大的数学能力来分析这个东西。 到2018年底却只发现有51个素数能表示成2p－1（p为素数）的形式，这就是梅森素数（如3、7、31、127等等）。 第九十四章 梅森公式 由于大量的传递信件，跟各个科学家有相互联系，发生了一些堵塞。 堵塞是因为大家都对一些重要的，有趣的问题有广泛的讨论。 对于梅森来说，虽然是好事，但是堵塞毕竟却是个麻烦，而且往往在很重要的之后，发生的次数越多。 梅森会因此对很多重要程度的问题，反而不能第一时间解决处理。 梅森觉得，这个可以看作是一个数学问题，但这是一个什么样的问题？ 自己既要保持多个城市之间信件的交流，有些城市和邮局会有很多人的信件，这也需要考虑进来。 这样的数学没有人提到过。 梅森无奈，开始在草稿纸上画图，看到画出了一些图，有节点和连线。节点是对应的邮局和数学家们的家，连线是信件传输的路线。 梅森开始尝试写公式，因为结构图看着实在有些乱。 这是为了解决邮局送信堵塞问题，如果一个线路不通的话，那就要调用其他清闲的线路了。 梅森公式是梅森在创建流图中提出的求取传递函数的方法。应用梅森公式将大大简化结构变换的计算。但当系统结构比较复杂时。 很容易判断错误前向通道、回路，余子式的数目。 因此常常将梅森公式和结构图变换结合起来用。 也经常用两种方法互相验算。 结构图，或形象的称为方框结构图，结构图包括四种基本的组成部分，分别为信号线、方框(或环节)、比较点(或综合点)、引出点(测量点)。 有些教材上也把引出点叫做分支点，把比较点叫做相加点。 信号流图是利用图示法表示一个或一组线性代数方程，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 节点用小圆圈表示，代表方程中的变量；连接两个节点的线段叫做支路，支路是有方向性的，用箭头表示，箭头由自变量(因、输入变量)指向因变量(果、输出变量)；标在支路上的增益值代表因果之间的关系，即方程中的系数。 梅森认为，自己构建了世界数学之大脑，这个大脑是把数学家已经与其相关的人员的思想全部合在一起，产生强大的效果，就是整个地球的大脑在思考。 数学地球之大脑，有数学家提出数学理论，数学的各个同行和老师吸收和消化这些理论，教室里的学生取学习这些理论，连绵不断，开枝散叶的进行下去，让数学一直发展。而这一切就归功与梅森公式这样的数学理论。 第九十五章 航海六分仪 后来在1730年，的t·戈弗雷，约翰·哈德利发明了六分仪。 舵手问哈德利说：“这个东西是干什么用的？” 哈德利说：“这是在海洋上确定位置的。航海最重要的是确定位置，因为茫茫大海，没有任何标识物，不知道自己究竟在哪里。” 舵手说：“如何能知道自己的确切位置呢？” 哈德利说：“一开始都是根据太阳正午的时候所在的位置，或者晚上的时候北极星所在的位置来推断。只要知道正常情况下的这些位置，一对比就可以推敲出自己此刻在海洋上的位置。” 舵手说：“那为什么还要使用六分仪？” 哈德利说：“因为这个比以上办法更加准确。除了有六分仪，航海还必须要有指南针和星图。” 舵手说：“你发现了其中原理吗？” 哈德利说：“原理早已被牛顿等人给解释了。我只是负责制作的。” 舵手说：“那六分仪如何使用？” 哈德利一边开始比划，一边解释的说：“六分仪用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器。通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线的夹角﹐以便迅速得知海船所在位置的经纬度。” 舵手细细的看了看。六分仪具有扇状外形﹐其组成部分包括一架小望远镜，一个半透明半反射的固定平面镜即地平镜﹐一个与指标相联的活动反射镜即指标镜。 舵手说：“看起了像圆的一部分。” 哈德利说：“六分仪的刻度弧为圆周的1\/6。” 哈德利说：“手持六分仪﹐转动指标镜﹐使在视场里同时出现的天体与海平线重合。根据指标镜的转角可以读出天体的高度角﹐其误差约为0.2度到1度。在航空六分仪的视场里﹐有代替地平线的水准器。这种六分仪一般还有读数平均机构。六分仪的特点是轻便﹐可以在摆动着的物体如船舶上观测。” 舵手说：“不错，看来这个东西很厉害。” 哈德利说：“缺点是阴雨天不能使用。” 二十世纪四十年代以后﹐虽然出现了各种无线电定位法，但六分仪仍在广泛应用。直到最后被gps取代。 第九十六章 牛顿冷却定律 1701年，牛顿望着一杯开水，在想：“冷和热的本质是什么？” 牛顿开始思索，热的东西都会慢慢变冷，而太冷的东西也会慢慢变热。 热的冷的都会变成跟周围一样的温度。 牛顿继续想，一旦这杯水的温度高于外界，那从热到冷，肯定有一个过程。 “我要找到这种由热变冷的数学过程！” 然后牛顿一边拿热水，一边拿温度计放入热水中，然后手里握着怀表。观察每隔一段时间，把对应的时间和温度给记下来。 牛顿考虑了单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，称这个比例系数称为热传递系数。 自己根据数据，列出公式计算出，一个物体所损失的热的速率与物体和其周围环境间的温度差是成比例的。 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的，在强制对流时与实际符合较好，在自然对流时只在温度差不太大时才成立。 牛顿冷却定律揭示了任何物体冷却共同遵守的数学规律，并且在提出后应用于各学科研究直到至今。但是在实际生活中，不断有人发现，某些情况下，物体冷却速率并非只和外部与物体的温差有关。比如有人观察到，两杯除了温度分别是100c和70c其他各种状态都相同的水，放到冰箱里，居然是100c的水先结冰。这种现象被称为彭巴现象。 第九十七章 牛顿内摩擦定律(流体力学) 牛顿对流体下手了，为什么有的东西流动的快，比如水和空气，有的东西流动慢，油甚至泥沙。 这里肯定有一种不同，就是组成这个流体的分子不一样，才产生了这样的粘稠程度。 牛顿画出各种各样的元素的形状，球形、棒子形、方块形等等很多形状，来去分析各种各样形状组成形状在许多堆积的时候，流动的状态。 到底球形的东西，会不会让东西的流动变慢？ 按理说球形应该光滑度更高一些，应该是流动最快的了，比如光子。 水与光的区别在与水传播的速度有些慢，这是因为水有一定的粘稠度，但光却没有粘稠度，也就是光的粘稠度为0。 只是还会不会有比球形还要快的形状？ 水流动很快，但是不是球形分子。空气流动更快了，也不是球形，主要是氢气和氧气的棒子形状。 牛顿觉得用本质解释宏观无题，需要放大分子的细节。 在个别形状，或者是分子的时候，他们之间的运动只是一些简单的碰撞，有点边边角角也不会有太大影响。 如果是巨大量的宏观状态，分子的边边角角的东西就会在宏观中体现。 牛顿不想在以这种形式思考下去了，他想来个直接的。 他只需要从宏观角度去直接研究粘稠度。 1686年英国科学家牛顿给出了表征内摩擦力的黏性定律。 其中： 1、内摩擦力正比于流层移动的相对速度； 2、内摩擦力正比于流层间的接触面积； 3、内摩擦力随流体的物理性质而改变； 4、内摩擦力与正压力无关。 一切真实流体中，由于分子的扩散或分子间相互吸引的影响，使不同流速的流体之间有动量交换发生，因此，在流体内部两流层的接触面上产生内摩擦力。这种力与作用面平行，故又称流动切应力，或粘性力。 粘性力的方向，对流速大的流体层而言，它与流速方问相反，是阻碍流动的力；相应地，对流速小的流体层而言则是促使其加速的力。粘性力的大小可由牛顿内摩擦定律确定。 1845年，英国数学家斯托克斯提出了3个假设，将牛顿内摩擦定律推广到黏性流体的任意流动状态中。 1、流体是连续的，它的应力张量是应变率张量的线性函数，与流体的平动和转动无关。 2、流体是各向同性的，流体中的应力与应变率的线性关系与坐标系的选择和位置无关 3、当流体静止时，应变率为零，流体中的应力只有正应力，切应力为零。 实验证明上述假设对大多数常见流体是正确的。根据斯托克斯假设，可将应力张量与应变率张量的线性关系表示为： 在直角坐标系下，广义牛顿内摩擦定律的分量形式可写为： 如果流体的应力与应变率之间不能用广义牛顿内摩擦定律来描述，则这种流体就称为非牛顿流体。例如，油漆、泥浆、血液等均属于非牛顿流体。 在此牛顿需要思考，是不是通过分子的形状，而直接思考出粘稠度的大小。 第九十八章 牛顿二项式定理 1685年，沃利斯（wallis）出版了《代数》（de algebra），包含了牛顿二项式定理的最早描述。它也使哈利奥特的卓越贡献为人所知。二项式定理，是一个a加b的n次方的展开计算。 沃利斯对牛顿说：“你最近在研究什么？” 牛顿说：“二项式定理。” 沃利斯说：“巴斯卡三角，甚至古中国的杨辉三角而已，还有什么好研究？” 牛顿说：“没什么，仅仅是想前进一步。” 沃利斯笑说：“这些东西有用吗？” 牛顿笑着说：“我觉得有很多用，虽看朴素，但里面蕴藏着很多能量。” 沃利斯说：“比如说？” 牛顿说：“我在想开二次方可以计算，就是不断的将小数点后的数字，先写成5，大的让这个数变成4，小了让这个数变成6。然后一直不断往后写，就可以慢慢的遍历出个无穷的样子。” 沃利斯说：“那又如何，不用二项式，我蒙着这样乘下去不就可以了？” 牛顿说：“开3次，还用这样的办法的话，就困难了，同时开3次以上的话，就更难了。” 沃利斯说：“继续说。” 牛顿说：“我想吧二项式中的n，从整数变成分数来计算。也可以。” 沃利斯说：“如果是整数，可以有帕斯卡三角，或者是一种组合公式来表示系数。分数的你该怎么办呢？” 牛顿说：“很容易，把那个组合公式中的n也变成对应的分数，甚至负数都可以。” 沃利斯抬头开始想牛顿说的这个组合公式的变化。 沃利斯开始去写1加x的负一次方的展开，写成了无穷的形式，等于1减去x的平方加x的二次方减x的三次，一直到无穷。因为组合方程计算出来的是1和-1这两个数字的交替。x的奇数次方的系数是负一，x的偶数次方的系数是正一。 疑惑的说：“等等，变成负数我还可以想象，变成分数这还用意义吗？” 牛顿说：“为什么没有意义，也没有人规定一定是整数呀，你脑子太死板，不知道其中的奥秘，这里面有很多有趣的数学意义。” 沃利斯也开始尝试的开始写二分之一次方的组合方程，然后带入到1加x的二分之一次方，也写出了看着复杂一些的无穷的级数。 沃利斯看着这个花里胡哨的东西，对牛顿说：“这个东西有作用吗？看着花哨。” 第九十九章 牛顿创立三定律 巴罗准备要辞去剑桥大学卢卡斯数学教授席位，有几个候选人。 其中一个是牛顿，他想考察牛顿的知识。 巴罗见了牛顿，对牛顿开始刁难，想看看牛顿有多少斤两。“听说你最近在研究力学？是不是在浪费时间？很多人都因为自己了解力，但都是错误的。” 牛顿也不让步的说：“那是因为他们没有搞清楚本质。” 巴罗说：“德谟克利特、伊壁鸠鲁认为当原子在虚空里被带向前进而没有东西与他们碰撞时，它们一定以相等的速度运动。” 牛顿说：“这只是猜测或推想的结果。” 巴罗说：“亚里士多德说静止是物体的自然状态，如果没有作用力就没有运动.力是维持物体运动的原因。” 牛顿说：“该观点遗失了力能使物体停止运动，也能使物体开始运动这一关键点，故错误。倒是第一次提出了力与运动间存在关系，也算是对运动学有了一点点认识。” 巴罗说：“那你说说看，什么样的观点靠谱？” 牛顿说：“菲洛彭诺斯批判亚里士多德的运动学，他认为抛体本身具有某种动力，推动物体前进，直到耗尽才趋于停止。这就是冲力理论”。 巴罗说：“我知道冲力理论，推动者在推动一物体运动时，便对它施加某种冲力或某种动力，速度越大，冲力越大，冲力耗尽时，物体停止下来。” 牛顿说：“后来伽利略认为，如有一足够长而绝对光滑的表面，将没有摩擦力能阻碍小球运动，所以小球一直继续运动或者直到有外力阻碍它而停止。” 巴罗说：“物体在自然状态下会维持原有运动而非趋于停止。这打破了自亚里士多德以来约一千三百年间力是维持物体运动的原因的陈旧观念。” 牛顿说：“但仍未摆脱其影响。该结论很接近惯性定律。” 巴罗说：“惯性定律？” 牛顿说：“就是孤立质点保持静止或做匀速直线运动。” 巴罗陷入沉思中，然后质疑的说：“可现实生活中。静止我常见，永远运动下去，从没见过。” 牛顿说：“静止是相对静止。永远运动看不到，是因为有重力和摩擦力等原因，每个事情都是这样的。” 巴罗说：“笛卡尔说过这句话，每一单独的物质微粒将继续保持同一状态，直到与其他微粒相碰被迫改变这一状态为止。所有的运动，其本身都是沿直线的。” 牛顿说：“但笛卡儿没有建立起他试图建立的那种能演绎出各种自然现象的体系，不过他的思想对牛顿对此类定律之后的总结产生了一定的影响。笛卡儿的最大贡献在于他第一个认识到：力是改变物体运动状态的原因。” 巴罗说：“力是改变物体运动状态的原因。” 牛顿说：“在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同。每个东西都是这样的。” 巴罗说：“时间越长动量越大，换句话是力越大，速度增加就越快。” 牛顿说：“没错。” 巴罗说：“这就是受力还不受力的区别，你这确实是一个不错的力学体系。” 牛顿接着说：“惠更斯证明了两硬体在碰撞过程中同一方向的动量保持不变，纠正了笛卡尔不考虑动量具有方向性的错误，而且首次提出碰撞前后的动量守恒。他的工作不错，同时他也有局限性。惠更斯的理论以绝对硬的物体为前提，而用理想弹性体可以得到更肯定的结果，并且用非理想弹性体，如压紧的木球、钢球和玻璃球做实验，消除误差后结果是一致的。” 巴罗说：“那你的意思是？” 牛顿说：“相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。” 巴罗说：“棒极了，我捋一捋。你认为一个力学体系应该是这样的，孤立质点保持静止或做匀速直线运动。在外力的作用下，其动量随时间的变化率同该质点所受的外力成正比，并与外力的方向相同。每个东西都是这样的。相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。” 牛顿点头说：“我这是凝练了开普勒三大定律的，同时也结合了古希腊科学家和哲学家的大量思考，发现力学可以全部以这三个理论为出发点。” 第一百章 牛顿流体(流体力学) 思考三定律时，因为物块在空气中会做出被空气阻止的运动，所以才无法看到真正理想的状况。所以要需要了解物体的实际运动，也需要考虑到空气流体运动。 “如何解释流体的行为呢？”毕竟这不像是固体，可以使用简单的力学方法来研究。 牛顿知道阿基米德研究流体，仅仅是从经验的角度来了解浮力。 牛顿喜欢细细思考流体的所有本质问题。 流体是一种物体，它各个部分能屈服作用在物体上力，而且这种屈服能使它们之间秦逸的发生运动。 牛顿把一个物块放入水中，看着水中的物块，在想：“装在水中的均匀静止的物块会受到各个方向一样的力道，所以物块在水的压力下不会随意乱动。” 牛顿研究过流体，观察水、油、酒精和胶水等等流动的都不一样。 任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体称为牛顿流体。最简单的牛顿流体流动是二无限平板以相对速度u相互平行运动时，两板间粘性流体的低速定常剪切运动（或库埃特流动）。 第一百零一章 牛顿反射望远镜 牛顿对于天文学的观测十分渴望，而且这种观测是必须要用望远镜的，牛顿只能去改进伽利略和开普勒型的望远镜。 牛顿在经过多次研制非球面的透镜都不成功后，才决定用球面反射镜作为望远镜主镜。 他把2.5厘米直径的金属磨制成一个凹面反射镜，并在主镜的焦点前放了一个与主镜成45度角的反射镜，使经主镜反射后的会聚光经反射镜后以90度角反射出镜筒后到达目镜。 所有的巨型望远镜大多属于反射望远镜，牛顿望远镜为反射望远镜的发展辅平了道路。 牛顿反射望远镜采用抛物面镜作为主镜，光进入镜筒的底端，然后折回开口处的第二反射镜（平面的对角反射镜），再次改变方向进入目镜焦平面。 目镜为便于观察，被安置靠近望远镜镜筒顶部的侧方。 牛顿反射望远镜用平面镜替换昂贵笨重的透镜收集和聚焦光线，从而使您的每一分钱提供更加多的光线会集的力量。 牛顿反射望远镜系统使您能拥有焦距长达1000mm而仍然相对地紧凑和便携的望远镜。 因为主镜被暴露在空气和尘土中，牛顿反射器望远镜要求更多维护与保养。 然而，这个小缺点不阻碍这个类型望远镜的大众化，对于那些想要一台价格经济，但仍然可以解决观测微弱，遥远的目标的用户来说，牛顿反射望远镜是一个理想的选择。 由于光学系统的原理，牛顿望远镜的成像是一个倒像，倒像并不影响天文观测，因此牛顿反射望远镜是天文学使用的最佳选择。 通过正像镜等附加镜头，可以将图像校正过来，但会降低成像质量。 牛顿望远镜的光学设计结合了施密特摄星仪和牛顿式反射望远镜的元素。 这个系统将牛顿式反射望远镜的抛物面镜换成球面镜，因而产生了球面像差。 但就像施密特-卡塞格林望远镜一样，使用施密特修正板予以修正。 次镜则承袭牛顿式反射望远镜采用椭圆形的平面斜镜。 哈雷也需要牛顿的望远镜，对这个伟大的工程赞叹不已。 但是胡克看到之后，依然挑毛病的说：“倒是大，焦距大到一米，比透镜成本低，但是不适合在地面上使用，需要在太空真空下才可用。” 牛顿说：“由于焦比普遍较短，更容易的获得较大的视野，具有较好的微弱深空天体观测性能，例如遥远的星系、星云和星团。” 胡克说：“容易产生彗形像差，造成影样偏离轴心扩散的变形现象。这种扩散在光轴上为零，随着镜子的视域呈线性的增加，也与焦距除以口径的焦比的平方反比来扩散。” 牛顿说：“长焦距的望远镜可以获得卓越的行星外观，具有较好的月球和行星的观测性能。” 胡克说：“副镜在光路的中间，会遮挡部分光线，反射镜的支撑结构还会使星像形成衍射星芒，并且降低锐度和反差。” 牛顿说：“想要观测全貌，只能是移动一下了。” 胡克说：“校准是个问题。主镜和副镜的准直性会因为运输和操作时的震动而偏离，这意味着望远镜可能在每次使用前都需要校准。” 牛顿说：“没错，这确实如此，但是也是有了巨大的进步了。” 第一百零二章 牛顿万有引力 发现三定律后，为何一个物体无法做出真正理想的运动，除了受到空气阻力以外，还有重力的影响，正是因为有重力所以才导致任何东西都会是抛物线的运动。而重力是怎么回事？ 牛顿坐在苹果树下思考，突然掉下苹果砸到自己头上，牛顿的头被砸的很疼。 牛顿细想：“这是很神奇的事情，明明一起都是安静的，但是一个苹果可以打到我的头上，这一切是如何发生的。” “为什么所有东西会往下落？” “但是月球就不会往下落，而是横着走。” “地球是圆的，月球也是圆的。月球绕着地球！” 牛顿似乎想到了什么。 “一个大炮，朝着正前方开炮，炮弹就会落地。炮弹速度越快，就会在越远的地方落地。而再要更远的话，那就会在有曲面的远处落地。再的变得更远，也许会到达地球背面才落地。那要打得更远的话，会不会绕地球一圈再从跑的后方飞来落地呢？” “或许达到很快的一个速度的话，炮弹就不落地了，就一直绕着地球转。这不就像是此刻的月亮一样吗？” “所以落地这个事情，就是地球对一切都有吸引力，而横向速度大的东西才没那么容易落地了。” “所以地球对于一切东西，都有吸引力。” “哥白尼认为地球绕太阳转动，所以太阳对地球也有吸引力。” “因此地球、月球、太阳相互之间都有吸引力。可为什么呢？其他东西为什么不吸引呢？” “为什么我身边的房屋、石头、大山河流不吸引呢？” 牛顿貌似又想到了什么，突然变得兴奋。 “不，他们也是吸引的。因为他们太小，只是看不出来而已。所以万事万物之间都是相互吸引的，有一个吸引力。所以地球、太阳和月球这种巨大的东西自身被吸成了球形，小的东西无法被自身吸引成球形，仅仅只能被大的东西吸引而已。” “同时，这种相互吸引，不也符合我的力学第三定律吗？” 牛顿开心的把自己知道的知识告诉了自己的同行和好友，就是胡克和哈雷。 胡克和哈雷听了牛顿半天的解释后，都对牛顿的理论大为震惊。 胡克对牛顿说：“你说的很有理，但是你知道这样的吸引力有多大吗？有没有计算过？” 牛顿说：“我还没计算，我只是知道有。” 胡克此刻陷入沉思：“越大的东西吸引力越强。所以吸引力跟质量是有关系的。但是离这个东西越远吸引也会变化吗？” 胡克快速的找到了很多星星的表，根据它们的轨道再结合开普勒三定律去计算。 牛顿也意识到胡克所说的万有引力的计算公式，也开始感觉计算。 但是胡克还是抢先一步发现了万有引力公式，这种引力跟吸引和被吸引的两个东西的重量成正比，跟所离距离成反比，其中与力的协调需要万有引力值和重力值来完善公式。 不仅如此，胡克还计算出了星体的轨道，很多行星的轨道都由此算出来了。 牛顿也独立的算出了这些东西，但是胡克却公开宣布，这些东西都是自己先算出来的。 牛顿恼火，与胡克结下梁子。 到后来哈雷想运算彗星轨道，需要推导过程，找到了牛顿，牛顿找了自己的稿子找了半天。 哈雷又去找胡克，胡克说自己有公式，但是不公开。 牛顿后来一边证明了轨道的公式，一边写出了《自然哲学的数学原理》一书。 第一百零三章 牛顿创立微积分 牛顿发现的力学三定律和万有引力定律之后，开始继续细细思索其中的细节。 牛顿在想：“如果地球绕太阳转，不是真正的圆形，那就是一种椭圆，而且是一个不那么标准的变化的椭圆。” “我应该如何细细计算这个东西呢？”想着，牛顿拿出了纸和笔，开始在纸上画出太阳、地球和地球绕太阳转动的椭圆轨道。 牛顿继续陷入沉思：“如何才能知道椭圆轨道上地球所在每个地方的速度？” 牛顿看着椭圆轨道图，知道地球在椭圆轨道上每个速度都不一样，近地点的很快，远地点的很慢。想求顶多只能知道地球绕太阳一圈的平均速度。 “有没有一种可以直接计算出地球所在不同位置所对应的速度呢？做出一个随时间或者是位置变化的速度图。” 牛顿知道从近地点到远地点的速度时由快变慢的，从远地点到近地点的速度时有慢到快的，过程中总能量不会变化。 牛顿开始在图纸上话速度随时间变化的图：“这个变化如何去知道？” “受力一直也在变化，那么加速度就在变化，所以速度也在变化。只要知道受力是如何改变的，才能知道速度如何去变。” 根据自己的万有引力定理，很容易就可以得到力学变化的结果。跟地球太阳的距离平方的反比有关系。 在此过程中，牛顿认为地球速度在发生变化，这种变化就叫它“流数”。地球流数是跟地球与太阳之间的力有关。 牛顿此刻知道，时间绝大多数的运动，都不是匀速的和简单加速度的，而是很多变加速，就算不是不规则的，也是有很多规则的变加速运动的。牛顿此刻知道，自己需要攻克规则情况下的变加速运动成为了自己的重要任务。 牛顿画出了一个任意曲线，望着这个曲线发呆：“如果一个物体的运动是按照这个曲线来的，如何去求每时每刻的速度？”他觉得每个函数可以切割开来，而切割的出来的一微小的长度，就是一个直线的。 牛顿拿着石头在这个曲线上移动，心里深知这个石头会有速度上的变化：“这种变化的差异，本质到底是什么？” 希腊的阿基米德等人也思考过这个问题，牛顿按照他们的思路继续往下走：“如果把这个速度量无限的分下去。那前后之间的速度差异就会越来越少，甚至变成0长度的情况下，速度之间就会没有差异了。” 牛顿眉头紧皱：“这又是什么意思？微分成无限，速度前后差异为0？怎么会这样？” “这个时候就会有一个纯粹的速度，也就是说，在每个点，速度差异都为0，仅仅是有一个瞬时速度。” 牛顿在图上画出了曲线上每个点的斜率，心里明白，所有的玄机都在曲线的斜率上。这个斜率就是运动物的纯粹速度。 “如果有关于斜率的方程，不就发现运动物的速度方程了吗？” 牛顿想：“如果不规则曲线方程，没办法直接写出斜率方程。那规则的方程是不是可以写出斜率方程呢？” 牛顿画出了一个二次方程，知道无题做二次方程运动，速度肯定会变。然后在方程上取出两点自变量，再找到方程上对应的因变量，然后让自变量两个点互相接近，接近到无穷之时，看到两个因变量也相互接近，成为一点，牛顿画出了切线。 牛顿写出这两个即将合并的点的导数方程，就是两个因变量的差比两个自变量的差，也就是这合并为一个点的斜率，就是这个点所在的导数，也是这个点此刻的真正速度。 反过来想，如果知道初速度，然后知道变化量，自然而然就知道这个东西的运动轨迹了。 牛顿继续想，在分割曲线的过程中，无数个被分割的都近似等于梯形。再往细处分割，无限等于长方形。如果吧这无穷个长方形加起来，就可以算出这个曲线所包含的面积了。 或许大自然赐予人思考能力，其中有百分之90是用来思考神学的。 牛顿的晚年居然话大量时间在考虑神学，神学方面的作品远远多于自己的科学着作。 第一百零四章 胡克定律(材料力学) 胡克很气恼，自己的万有引力公式和轨道公式比牛顿算得早。 但是由于思想是牛顿发现的，所以大家都说这是牛顿的成功。牛顿也是看到自己的公式之后，声称这是自己发明的。 “我苦苦发现的东西，白白送给别人，真是气人。” 但是胡克非但没有妄自菲薄，而且还有了更加了不起的发现。 “我要证明自己，我比牛顿强。我不仅仅可以计算天上的那点东西，就人间用的东西，我也可以去计算。” 胡克发现了胡克定律：拉力=拉开长度*材料系数。 对于胡克来说，计算天上的东西和计算其他东西，本质都是一样的，就是需要数学公式就可以。 “数学可以干任何一件事，直接干就可以。” 胡克定律完全可以推开成各种形式的力学，其实就是力让各种不同的材料发生了形状上变化而已。只要知道这个材料的材料系数，就可以计算这个材料在多大力的情况下，变化有多大了。 盖房子、盖桥还是其他任何东西，都可以使用胡克定律去计算。 第一百零五章 牛顿环(光学) 惠更斯跟牛顿在一起，牛顿跟有过节的惠更斯在讨论一个实验。 惠更斯说：“光是波动的，是一群波。” 牛顿摇摇头说：“光是一堆粒子。这些粒子可以用棱镜筛选出不同颜色的光子。” 惠更斯说：“棱镜筛选出的都是光子，只不过他们有自己的波长，波长不一样。” 牛顿没有多说什么，取来两块玻璃体，一块是14英尺望远镜用的平凸镜，另一块是50英尺左右望远镜用的大型双凸透镜。在双凸透镜上放上平凸镜，使其平面向下，当把玻璃体互相压紧时，就会在围绕着接触点的周围出现各种颜色，形成色环。 于是这些颜色又在圆环中心相继消失。 牛顿对惠更斯说：“这个色环，你观察过吗？” 惠更斯兴奋的说：“头一次看到。” 牛顿在压紧玻璃体时，在别的颜色中心最后现出的颜色，初次出现时看起来像是一个从周边到中心几乎均匀的色环，再压紧玻璃体时，这色环会逐渐变宽，直到新的颜色在其中心现出。如此继续下去，第三、第四、第五种以及跟着的别种颜色不断在中心现出，并成为包在最内层颜色外面的一组色环，最后一种颜色是黑点。 如果抬起上面的玻璃体，使其离开下面的透镜，色环的直径就会偏小，其周边宽度则增大，直到其颜色陆续到达中心，后来它们的宽度变得相当大，就比以前更容易认出和训别它们的颜色了。 牛顿说：“我测量了六个环的半径（在其最亮的部分测量），发现这样一个规律：亮环半径的平方值是一个由奇数所构成的算术级数，即1、3、5、7、9、11，而暗环半径的平方值是由偶数构成的算术级数，即2、4、6、8、10、12。例凸透镜与平板玻璃在接触点附近的横断面，水平轴画出了用整数平方根标的距离：√1=1√2=1.41，√3=1.73，√4=2，√5=2.24等等。” 惠更斯笑说：“不错，你的发现很有意思。” 牛顿说：“在这些距离处，我还观察到交替出现的光的极大值和极小值。” 惠更斯细细的看着，牛顿继续介绍说：“两玻璃之间的垂直距离是按简单的算术级数，1、2、3、4、5、6……增大的。这样，知道了凸透镜的半径后，就很容易算出暗环和亮环处的空气层厚度，牛顿当时测量的情况是这样的：用垂直入射的光线得到的第一个暗环的最暗部分的空气层厚度为1\/英寸，将这个厚度的一半乘以级数1、3、5、7、9、11，就可以给出所有亮环的最亮部分的空气层厚度，即为1\/，3\/，5\/，7\/……它们的算术平均值2\/，4\/，6\/……等则是暗环最暗部分的空气层厚度。” 牛顿把装置产生的干涉暗环半径为公式写出来了，等于√(krλ)，其中k=0，1，2…… 牛顿说：“我还用水代替空气，从而观察到色环的半径将减小。他不仅观察了白光的干涉条纹，而且还观察了单色光所呈现的明间相间的干涉条纹。所以更加证实了光子是颗粒。” 惠更斯说：“这个装置可以用来检验光学元件表面的准确度.如果改变凸透镜和平板玻璃间的压力，能使其间空气薄膜的厚度发生微小变化，条纹就会移动。用此原理可以精密地测定压力或长度的微小变化。” 牛顿得意的说：“服不服？” 惠更斯说：“按理说，光的波动性的最好证明之一，你恰恰证实了我的结构。” 牛顿看着‘执迷不悟’的惠更斯，带着狡辩的语气说：“光是一束通过窨高速运动的粒子流，是一阵容易反射，一阵容易透射的一种诡异粒子。” 惠更斯说：“什么乱七八糟的，明明是波动性，你为什么要用这种诡异的方法来解释。我承认你的牛顿环做的很好，但是光是波动的。” 牛顿继续说：“每条光线在通过任何折射面时都要进入某种短暂的状态，这种状态在光线得进过程中每隔一定时间又复原，并在每次复原时倾向于使光线容易透过下一个折射面，在两次复原之间，则容易被下一个折射面的反射。” 惠更斯说：“这是什么狗屁说法？” 牛顿继续耐心的解释说：“每次返回和下一次返回之间所经过的距离称为阵发的间隔。” 惠更斯无语了，满腔怒火的说：“承认了吧。你所说的“阵发的间隔”就是波动中所说的波长。”牛顿却含糊地说：“肯定不是波！” 惠更斯说：“那你说说看，这到底是什么？” 牛顿说：“至于这是什么作用或倾向，它就是光线的圆圈运动或振动，还是介质或别的什么东西的圆圈运动或振动，我这里就不去探讨了。” 第一百零六章 牛顿－科特斯公式(微积分) 牛顿积分是个伟大发现，可以把很多函数的面积计算出来。 但理想很丰满，现实很骨感。 很多实际问题中f(x)比较复杂，计算困难，或者无法用初等函数表示，或者是表达式未知。 斯科特认为，面对如此复杂问题，需要用一个简单办法去解决这些麻烦。 首先的矩形、梯形和抛物线形公式可以直接用一个比较简单的写法，是一种求面积的思路。 然后对于一般的积分运算，科特斯弄成离散点，然后对每个点处函数加权做近似。 这就把积分计算转化成被积函数的函数值问题了。不需要去求原函数，也易于用计算机来实现它。 科斯特认为，对于此，会出现高次方程有一定偏差的现象。 所以，如果不超过m次求积分成立，在m+1次积分不成立的化，就只说这是m次代数精度。 此处出现了插值求积分公式，是为了让代数精度尽可能变高。 一种等间距内插的数值积分。基本做法是：包括积分域端点在内的积分点按等间距分布;对n个积分点，构造一个n-1次多项式来近似原被积函数，使多项式在积分点上等于被积函数。积分值 斯科特对牛顿说：“你为什么会信神？” 牛顿说：“大自然赐予人思考能力，其中有百分之90是用来思考神学的。” 斯科特说：“为什么这么说，你可是物理学家啊，怎么会信这些？” 牛顿说：“我们虽然研究自然科学，但是冥冥之中，总有一些东西支配着我们的生活轨迹，看起来很超自然。” 斯科特说：“这不是自然的吗？我们的生活都是由意识和社会共同决定的吗？” 牛顿说：“不对，上帝似乎早就安排好了我们。我反思自己这一生的事情，总感觉这些都是上帝给我们的安排。善于恶之间总有一种严格的秩序。我一定要弄清这些。” 斯科特说：“像圣经上的东西？” 牛顿说：“是的，十分的像，这可不是我们胡思乱想的。运气这样的东西，有时候还真说不清楚。” 第一百零七章 辛普森公式(体积) 得知牛顿科特斯公式出来之后。 辛普森说：“既然出现了一个简单的求积分的方法。那就需要求一些相对复杂的。” 相对于那些矩形这些简单而言，较为复杂一些的是抛物线包围。 这就是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。 利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1\/6，4\/6，1\/6。 可以应用在立体几何中用来求拟柱体体积的公式。 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体。它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高。 设拟柱体的高（两底面a，β间的距离）为h，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面a之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积v为 v = h (s_1 + 4s_0 + s_2)\/6. 式中，s_1和s_2是两底面的面积，s_0是中截面的面积（即平面γ与平面a之间距离h=h\/2时得到的截面的面积）。 事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。 之后辛普森在思考更高维度的情况，也就是更高维度的拟柱体这样的东西。 第一百零八章 惠更斯原理(光学) 惠更斯说：“耍赖是不行的。” 牛顿说：“那你说说为什么？会有环，而不是连续的？就是因为有波？” 惠更斯说：“球形波面上的每一点都是一个次级球面波的子波源，子波的波速与频率等于初级波的波速和频率，此后每一时刻的子波波面的包络就是该时刻总的波动的波面。” 牛顿说：“有点意思，然后呢？” 惠更斯说：“介质中任一处的波动状态是由各处的波动决定的” 牛顿说：“那也不见得会有环，这个环十分清晰，你说的各处波动的波动源头，不能分离的如此清晰。” 惠更斯对牛顿说：“光的直线传播、反射、折射等都能以此来进行较好的解释。此外，惠更斯原理还可解释晶体的双折射现象。” 牛顿说：“但用它不能解释衍射现象，而且还会导致有倒退波的存在，而这显然是不存在的。” 惠更斯说：“次波假设不涉及波的时空周期特性——波长，振幅和位相，虽然能说明波在障碍物后面拐弯偏离直线传播的现象。” 牛顿说：“衍射是始终无法正常解释。有明暗相间的条纹出现，表明各点的振幅大小不等，你能说清这是为什么？” 惠更斯说：“你也说不清，粒子也不可能形成牛顿环。需要能够定量计算光所到达的空间范围内任何一点的振幅，才能更精确地解释衍射现象。” 后来，菲涅耳在惠更斯原理的基础上，补充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理，从而发展成为惠更斯—菲涅耳原理。这个原理的内容表述如下： 面积元ds所发出的各次波的振幅和相位满足下面四个假设： (1)在波动理论中，波面是一个等相位面。因而可以认为ds面上各点所发出的所有次波都有相同的初位相(可令其为零)。 (2)次波在p点处所引起的振动的振幅与r成反比。这相当于表明次波是球面波。 (3)从面元ds所发次波在p处的振幅正比于ds的面积，且与倾角θ有关，其中θ为ds的法线n与ds到p点的连线r之间的夹角，即从ds发出的次波到达p点时的振幅随θ的增大而减小(倾斜因数)。 (4)次波在p点处的位相，由光程nr决定。 123 两个人闹矛盾后，牛顿和惠更斯直接的学术很多都是矛盾的。 光是什么样的东西组成的，牛顿和惠更斯的看法就不一样。 牛顿认为光是颗粒一样的东西组成的，叫光子。而惠更斯认为光像水一样是一种波，无法分成正常的粒子。 两者直接弄得不可开交，但是几百年后，这却成为了人类争论的最大焦点。 因为双方说得都有道理，光子既是粒子，又是波，光有波粒二象性。 通过做实验，光有正常机械波的干射和衍射现象，但是光子也有粒子性。 这已经不是牛顿和惠更斯意气争论的小事了，这是一个物理学与哲学的一件重大事件。 而且由此引发了一连串重要的物理革命，到今天依旧在进行着。 第一百零九章 惠更斯目镜(光学仪器) 惠更斯使用望远镜，有伽利略式望远镜，有反射伽利略式望远镜，有开普勒望远镜。 使用时间长了，就发现望远镜中，有很多麻烦。 其中一种就是慧差，这是由位于主轴外的某一轴外物点，向光学系统发出的单色圆锥形光束，经该光学系统折射后，若在理想平面处不能结成清晰点，而是结成拖着明亮尾巴的彗星形光斑，则此光学系统的成像误差称为彗差。 非常影响观测结果。 还有倍率色差，就是波长变化引起材料的折射率变化，继而引起光学系统的放大倍率变化，像的大小随之变化。 也非常影响观测效果。 还有像散，由于发光物点不在光学系统的光轴上，它所发出的光束与光轴有一倾斜角。该光束经透镜折射后，其子午细光束与弧矢细光束的汇聚点不在一个点上。即光束不能聚焦于一点，成像不清晰，故产生像散。 也非常影响观测效果。 所以不能很好的瞄准，无法对准好一个东西进行观测。 惠更斯目镜是瞄准用的。 惠更斯目镜是由两个同种玻璃的平凸透镜组成，两者都是凸面向着物镜。场镜的焦距等于视镜焦距的3倍，两者的距离等于视镜焦距的2倍。 惠更斯目镜是由两片未经过色差校正的凸透镜组成；靠近眼睛的一片称为目透镜，起放大作用；另一片称为场透镜，它的作用使映像亮度均匀。在两块透镜之间的目透镜焦平面放一光栏，把显微刻度尺放在此光栏上，从目镜中观察到迭加在物象上的刻度。 惠更斯目镜既可用于观察，又可用于照相。 当物镜所成的像在目透镜焦点之内时成放大虚像，可以进行显微观察； 当物镜所成的像在目透镜焦点之外时成放大实像，可进行显微摄影。 惠更斯目镜因焦点在两片透镜之间，故不能单独作为放大镜使用。 这种不能单独作为放大镜用的目镜叫做负型目镜。 惠更斯目镜没有校正像差，只适合与低、中倍消色差物镜配合使用，它的放大倍数一般不超过15倍。 最后不论是惠更斯目镜，冉斯登目镜，伽利略望远镜，开普勒望远镜，牛顿望远镜，卡塞格林望远镜，施米特望远镜。都是用来汇聚光，然后成像。 惠更斯认为这是使用反射跟透射等技术处理光的。 如果把光当作流体的话，这些就是处理光的流动的。 第一百一十章 朱载堉的十二平均律 朱载堉，一个明朝皇室的后人，对自己的爵位没有兴趣了，仅仅想研究音乐。 在大家看来，他不正常，但是是那种很有才华的不正常。 朱载堉知道音乐是按照宫商角徽羽5音那样是理解的，然后以此循环。 他当然知道这个五音，在距离上是不相等的。 但是到底是如何的比例？ 找到一个古琴，看到上面标记的各个点，那种比例，他测量了一遍。 再用所学知识，找到的比例3:2的是大五度，比例4:3的是大四度。 比例最后是不协调，的在5音中，应该再加两个。 这就成了7个主音，就是哆瑞咪发嗦啦西这个。 但是在长度的比例上，已经不是等比例的长度。 朱载堉必须要找一个比例，再加入几个音，让所有音在长度的比例上都相同。 又加入了5个音，让音变成了十二个，在比例上是平均的。 这个平均就是弦长的比例上达到平均，这个值为对2开12次方. 但是朱载堉不知道对2开十二次方式多少，这是数学领域的一个难题。 朱载堉才知道，原来难道音乐家，无法弄出平均律，是因为数学上卡了。 然后朱载堉开始查找开高次方根的资料，终于找到了王文素的《算学宝鉴》，找到了这样的办法。 朱载堉以此为根基，使用算盘计算了对2开12次方的运算。 然后按照这个运算的比例结果，做出了跨出好几度的琴，让音乐达到平均。 当然，除了按照这个比例以外，还需要在跨出很多音的时候，继续细微调整。 朱载堉以此写出《乐律全书》，对这些东西记载的很详细。 17世纪，朱载堉的十二平均律的书籍被传教士带到了西方，引发了一场音乐界的革命。 巴赫这位近代音乐之父在他之后写下了名作《十二平均律钢琴曲集》，十二平均律是西方学者公认的音乐学和音乐物理学的一大革命，也是世界科学史上的一大发明。 如果巴赫是钢琴之父的话，那么我们的朱载堉就是名副其实的钢琴祖父。 后来，在历法方面，他坚持每天测量太阳过境的时间变化，通过多年的观测和计算得出了一年具体天数的计算公式。专家发现计算公式和现代仪器测量的误差只有17秒到21秒。 搞艺术的嘛，舞蹈怎么能少？他还对中国古代舞蹈进行了总结性的研究，他在世界上最先提出了“舞学”这个词，并为其规定了四纲八目，还亲手绘制了大量的舞谱。 他编创的天下太平字舞谱被认为是大型团体操的前身。现在的音乐教学也是沿用了这种方法。 第一百一十一章 莱布尼茨三角形(微积分) 一开始，莱布尼茨发现了平方数序列的前后差值，比如0，1，4，9，16……的前后之差为1，3，5，7……等。第二层的差是2，2，2……。说明第二层的差值就消失了。第n项数字，就是第一项和中间的差值之和。这也是微积分的起源思想。 1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和 里布尼茨将式子列出后，然后第二层第一层两项之间的和，第三次写出第二层两项之和，之后开始第一项加第二层第一项，加第三层第一项，加第四层第一项，一直往后，最终写出了一个级数为1+1\/2+1\/4+1\/8+……=2. 这些数列差值法，让莱布尼茨突然联想到了函数中的切线，以此类推出了函数中的切线，以及积分的和能够代表函数所围的面积。这是莱布尼茨式的微积分的起源，与牛顿思路不同。 第一百一十二章 牛顿－莱布尼茨微公式·第二次数学危机(微积分) 1675年莱布尼茨首次使用了积分的当代记号。 1676年莱布尼茨独立于牛顿发现了基本函数的微分。 1677年莱布尼茨发现了积、商的微分法则以及函数的函数。 1679年莱布尼茨引入了二进制算术。但直到1701年才发表。 1684年莱布尼茨在《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》（nova methodus pro maximis et minimis， itemque tangentibus）中发表了他的微积分的详述。它包含了我们熟悉的d记号（微分），以及计算幂、积、商的导数的法则。 1692年莱布尼茨引入了术语“坐标”。 牛顿和莱布尼茨公式，是定积分的计算，这种计算可以让积分去求很多复杂图形的面积甚至体积，甚至是更加复杂的各种形状。 但随后微积分出现麻烦。从牛顿到莱布尼茨以来，一直秉持着那种无穷小的思维。让一个传教士发现了问题，就是无穷小到0，这会有意义吗？ 那中常数除以0等于无穷大的结论，是有问题的。反过来是无穷个0会合成一个常数。可是无穷个0难道不还是合成个0吗？这如何去理解。所以这个微积分从根本解释上，就是一个错误的东西。这个问题，直到欧拉柯西那个时候，才得到解决。 第一百一十三章 莱布尼茨乘积法则(微积分) 莱布尼茨在想，数学如何自学呢？ 数学除了基础教学以外，还有很多边缘领域的东西，必须自己学习才能得到更多，不能指望会有很多的老师去主动教授自己，更要明白可能需要自己去启发别人。 理所应当的提高方法，就是自己去读一些前卫的数学书，了解一些知识，然后学会之后，消化了，再找里面的一些细节去仔细研究。 这经常会遇到一个问题，就是自己常常看不明白，这对自己来说，是最难的。 莱布尼茨找到了一种学习方法，就是拿到一本自己没看过的书，看过标题之后，根据标题去领悟，然后再去看目录去了解。自己心里先有个底，然后自己再去阅读。 读的过程中，自己免不了就走神到不知道哪一页开始，就停止了自己的思维。 这样的话，莱布尼茨就要想出一些新方法来。 第一就是自己找一个笔记本去记录自己不明白的符号，或者是重点，甚至要把公式抄下来，理解其中含义。 第二就是自己要有丰富的草纸，动不动就要抄写加强记忆，甚至自己去计算推导。 第三就是自己有个黑白和粉笔，自己加装要教授学生这门课程，而不得不强制理解会。 是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。 莱布尼茨在解微积分的过程中，发现了一个基本的难题。 那就是两个函数乘积求导数，等于什么？是对立面两个函数分别求导之后，再乘起来吗？ 很显然是错误的，莱布尼茨只能一个个来尝试。 才发现是第一个函数求导乘以第二个原函数加第二个函数求导乘以第一个原函数。 同时，莱布尼茨还求出了多个函数乘积的这种公式，有一种类似二项式的那种组合。 这是在求导过程中红，使用面积方法求出来的。 这是必须要用到的，毕竟很多复杂的函数可以分解成很多初等函数的乘积，对此求导的话，就必须会用上。 第一百一十四章 莱布尼茨交错级数判别法(级数) 斯宾诺莎看着限于计算中的莱布尼茨，来了兴趣。 以往两个人谈哲学可以谈到天亮，倒是不多说数学的问题。 自己也研究过笛卡尔的数学，想看看莱布尼茨在研究什么。 斯宾诺莎说：“你这长长的公式是什么？” 莱布尼茨说：“这个是交错级数，我想确定它的收敛性。” 交错级数是正项和负项交替出现的级数，形式满足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an>0。 斯宾诺莎说：“你如何确定收敛性？” 莱布尼茨说：“说起来很容易理解，仅仅是级数各项的绝对值是不是递减的就可以了。” 斯宾诺莎说：“如果递减，后面的计算就会变得越来越少。只是无法保证这一点，这些越来越小的项真的不是发散的吗。” 莱布尼茨说：“你说的对，所以需要再加一个限制，就是要让递减的极限为0.” 斯宾诺莎说：“没错，这就一定能保证了。如果不加这个条件，就算能递减到收敛，但也有可以递减到发散的，我们无法用现有的知识去证明。” 莱布尼茨说：“对于级数的研究，我们还在初级阶段，肯定需要很多苛刻的条件去证明其收敛性。” 斯宾诺莎说：“发散的说不定也能收敛。” 莱布尼茨说：“发散的收敛，可能会需要更多的条件了，而且有一定的难度。” 斯宾诺莎也不闲着，开始研究如何用数学化的办法来研究神学，写在伦理学一书中。 第一百一十五章 莱布尼茨的机械计算机(计算机) 1617年，纳皮尔发明了“纳皮尔骨算筹”，这是一个由一些小棒组成的机械计算器。他在《算筹的研究》（rabdologiae）解释了它们的功能，该书在他去世那年出版。 1639年，帕斯卡和他的父亲经常计算征收的税款，数量太大，算得头昏脑胀。 帕斯卡亲手设计了一台会计算的机器。根据十进制，设计了很多齿轮，齿轮上每一位都表示一个数字，低位齿轮转动十圈，高位齿轮转动一圈来实现进位。 为了让计算器更快速，帕斯卡经常转换着各种材料。 在1642年，终于设计成功。这种机器只能做6位加法和减法。做乘法只能用连加的方式。每次计算完后，需要复位。 帕斯卡的计算器在当时法国引起轰动，就连笛卡尔都专程去看看这个计算器是什么样的。 1648年，威尔金斯（wilkins）出版了《数学的魔法》（mathematical magic），给出了一些机械装置的说明。 1671年，莱布尼茨也开始研究计算器。在巴黎聘请了一些能工巧匠来设计计算器。除了帕斯卡的加法器和减法器以外，莱布尼茨还设计了莱布尼茨轮，可以计算乘法和除法，上面有被乘数轮和乘数轮。 连续重复计算加法就是现代计算机做乘除运算采用的办法。 1673年，在皇家学会上，莱布尼茨带来一个还没有完成好的机械计算器。 黑格尔否认易经，认为已经上卦象是一种象征性解释，抽象到没有意义，变为虚空。但易经是朴素的二进制唯物主义的开端。三爻成八卦，六爻成64卦，是组成世界的一个猜想。莱布尼茨从中找到了组成世界的玄机，就是来源于此二进制的思索。认为成为计算器的核心，就是齿轮上的那种一凹一凸，也就是那种一阴一阳而已。世界性的机构，也只是一阴一阳谓之道。 第一百一十六章 棣莫弗—拉普拉斯定理(统计学) 伯努力提出二项分布之后，棣莫弗开始考虑其极限的情况。 二项式分布有四个特点： 1、做某件事的次数确定，用n表示。 2、每一次事件都有两种可能的结果，一个成功，一个失败。 3、每一次成功概率相等。 4、x次成功的概率是多少。 棣莫弗推出二项分布以正态分布为其极限分布定律。 棣莫弗工作的统计意义： 1用频率估计概率这个特例而言，观察值的算术平均的精度，与观察次数n的平方根成比例，这个可看做人类认识自然的一个重大进展。 2棣莫弗的工作对数理统计学最大的影响，当然还在于现今以他的名字命名的中心极限定理。棣莫弗做出他的发现后约40年，拉普拉斯建立了中心极限定理较一般的形式，独立和中心极限定理最一般的形式到20世纪30年代才最后完成。嗣后统计学家发现，一系列的重要统计量，在样本量n->；∞时，其极限分布都有正态的形式，这构成了数理统计学中大样该方法的基础。如今，大样该方法在统计方法中占据了很重要的地位，饮水思源，棣莫弗的工作可以说是这一重要发展的源头。 第一百一十七章 棣莫弗定理(复数) 棣莫弗心里很不高兴，但是找不到解决办法。自己已经当了很多年家教了，还是赚不到安生钱，让自己能像富有的贵族一样自己闲下来做研究。 棣莫弗只能在自己繁忙奔跑的路上，看着牛顿、卡尔丹、笛卡尔等数学家的手稿，从中找到很多不足与缺陷，然后用自己细致入微的才华来补充它。 棣莫弗把注意力转向了复数的计算问题上，因为他知道复数已经开始有人研究，其中的重要性，快要在未来不远的时代开始显现。他在看高次方程解的历史中，看到卡尔丹发现了复数这个奇怪东西。 棣莫弗认为，根号下负一这个东西，必然有用，只是需要用合适的数学方法来合理的运算它。 而且复数是一种z=a+bi的形式表达的，称之为一种数域，这种数域比实数还有宽广出一个维度。 棣莫弗知道复数觉得是数学史上的一个重要发现，这种历史车轮已经势不可挡，而不成熟的此刻，这是他突破的最佳时机。 对于笛卡尔把复数坐标考虑进来，这样就把虚数也给几何化了，那么复数就成为坐标系上的一个点。 棣莫弗脑袋里在想着，关于虚数的一些计算，有些繁琐。 但是他突然想到，复数在复数坐标系中有几何位置，这个可以形成一种向量关系，这种向量关系会有夹角，这些夹角可以根据z=a+bi关系式轻松得出来。 忙活了不一会儿，他写出了一个公式z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].用三角函数的形式表示出两个复数的乘积，看起来浅显易懂了。 后欧拉公式也用这个公式去推导了。 从很多事情的本质上来讲，很多公式的复杂计算，可以简化成三角函数的计算。 第一百一十八章 斯特林公式(函数) 伯努利在研究很多物理上的曲线，涉及到跟微积分先关的，里面有阶乘相关的公式。 伯努利开始抱怨，n的阶乘公式太大，不容易计算稍微大一点的数字。 而斯特林给他带来了好消息，给伯努利看了自己找到了n!的近似公式. 伯努利不可思议的看着这个公式，还没带入验证是否正确，对斯特林说：“n的阶乘是我们自己定义的，他不符合我们所知的类似的基础函数的类型。” 斯特林说：“我得到的是一个近似值。即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。” 伯努利对斯特林说：“看着你的方程，我感觉挺像，毕竟n的阶乘是一个比n的幂函数要更陡的一种函数。你这个公式的样子还是足够合理的。” 斯特林说：“一般来说，阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时，常见的方法复杂度不可接受。我的公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。” 伯努利对斯特林说：“通过你这个公式的事情，我在想是不是很多我们口头定义的非基础函数公式，是不是都可以用基础函数的公式来拟合？” 斯特林说：“你说的事情很有趣。” 斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、x2分布证之。 第一百一十九章 斯特林数 stirling数的概念由j.stirling于1730年提出，并在他的着作《methodous differentialis》中首次使用。 1958年，riordan首先应用s(n，k)和s(n，k)来分别表示第一类stirling数和第二类stirling数。 1770年，lgrenge推导出了第一类stirling数的递推关系和数论的性质。 而p.space和a.cauchy则在第二类stirling数的逼近理论上取得了一些成果。 1933年，ch.jordan在他的一篇论文中对stirling数做了彻底的阐述，并给出了一些stirling数的重要性质。 第一类stirling数表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。 第一类stirling除了表示可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上。例如很经典的解锁仓库问题。 问题说明如下：有n个仓库，每个仓库有两把钥匙，共2n把钥匙。同时又有n位官员。问如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库？（只考虑钥匙怎么放到仓库中，而不考虑官员拿哪把钥匙。）那如果官员分成m个不同的部，部中的官员数量和管理的仓库数量一致。那么有多少方案使得，同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库，而无法打开其他部管理的仓库？（同样只考虑钥匙的放置。） 第一问很经典，就是打开将钥匙放入仓库构成一个环：1号仓库放2号钥匙，2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙。这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是（n-1）!种。 而第二问就对应的将n个元素分成m个圆排列，方案数就是第一类无符号stirling数su（n，m）。如要要考虑官员的情况，只需再乘上n!即可。 第二类stirling数主要是用于解决组合数学中的几类放球模型。主要是针对于球之前有区别的放球模型： n个不同的球，放入m个无区别的盒子，不允许盒子为空。 第一百二十章 伯努利的最速降线(变分法) 伯努利家族是个数学家族，前几代人都是比利时安特卫普来的，一家三代出现多个数学家、物理学家等等。是一个典型的数学家族，也许那个时期法国的数学就是靠这些中流砥柱。 1690年，雅各布?伯努利（jacob bernoulli）首次使用“积分”一词描述曲线下的面积。 1691年，雅各布?伯努利发明了极坐标，一种使用角度和距离描述空间中点的位置的方法。 1694年，约翰?伯努利（johann bernoulli）发现了洛必达法则。 1696年，约翰?伯努利（johann bernoulli）提出了最速降线问题（brachristochrone），并挑战其他人来解决这个问题。约翰?伯努利，雅各布?伯努利和莱布尼兹都解决了这个问题。 1713年，雅各布?伯努利（jacob bernoulli）的书《猜想的艺术》（ars conjectandi）是概率的重要工作。它包含了出现在指数级数讨论中的伯努利数。 1717年，约翰?伯努利（johann bernoulli）表明虚移位的原理适用于所有的均衡情况。 1718年，雅各布?伯努利（jacob bernoulli）关于变分法的工作在他去世后发表。 1724年，雅各布?黎卡提（jacopo rati）在一篇论文中研究了黎卡提微分方程。他对雅各布?伯努利首先研究过的方程的某些特殊情形给出解法。 1738年，丹尼尔?伯努利（daniel bernoulli）发表了《流体力学》（hydrodynamica）。它首次给出了从容器的孔流出的水的正确分析，并讨论了泵和其他机械来使水升高。他在第10章中给出了气体动力学理论的基础。 以上主要都是伯努利家族的贡献。 现在要说的，是一个有重要意义的最速降线，也是变分法诞生的一个标志之一，对以后的数学有大用。 1696年，约翰伯努利在写给他哥哥雅克布·伯努利的一封公开信中提出的。问题的提法是：设a和b是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接a和b的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从a点到b点沿这条曲线运动时所需时间最短。 这线不是直线，不是圆弧线。 而是摆线，也叫旋轮线。 变分法也由此诞生。 1754年，拉格朗日grange）对等时降线做出了重要的发现，这将大大推动变分法这个新学科。 第一百二十一章 约翰伯努利的下悬线(超越函数) 约翰伯努利老被各种同行说，很多同行只觉得他喜欢和自己的哥哥和自己的儿子去竞争。 其实约翰伯努利，虽然喜欢争强好胜，但绝对是个一等一的好老师。对于约翰而言，教会别人难的东西也是一种乐趣。 很多学生，只要一跟他聊天，他那种直切主题的教课模式，寓教于乐的方法，可以让自己的学生迅速学会很多重要的数学理论。 不仅仅如此，他自己也是一个善于观察生活的人，洞察力是十分的强。 他看出来下悬线不知抛物线，虽然长得像，但是确有本质的区别。 最近他带了一个叫欧拉的学生，他觉得这个学生比他有天赋，希望能教教他。 每个星期都会自己手把手的教欧拉一些知识，今天伯努利打算给他说说关于下悬线的事情。 伯努利说：“如果一个普通的绳子，两头固定，绳子下垂，请问这个绳子应该是个什么曲线。” 欧拉想了想，带着猜测的口气说：“难道是抛物线？” 伯努利笑着说：“很多前辈也以为是抛物线，其实不一样。” 欧拉说：“可是，长得差不多。” 伯努利说：“在数学里，长得差不多，可不能算作就是一样的。你想想两个曲线产生的原因就不同。抛物线是扔出一个石头的理想轨迹，而下悬线是两头拴着中间依靠重力下垂。这根本就不是一个概念。” 欧拉说：“难道是圆锥曲线？” 伯努利说：“笛卡尔也是这么认为的，当然不是了。” 欧拉说：“最像的这两种都不是，那会是什么？” 伯努利说：“胡克当然认为不是抛物线和圆锥曲线，用提防同行抄袭自己的加密语写出拱门的最佳设计就是下悬线倒过来而已。” 欧拉惊奇的说：“有意思，这是一种什么线？” 伯努利神秘的说：“而是一种超越曲线，只能用一些近似的微分方程表示。” 欧拉惊叹于伯努利提出的超越曲线的概念，同时伯努利详细说明关于下悬线的各种性质。这让欧拉感到，积分是可以做很多发散性扩展的，甚至可以去自己定义一些什么去。 第一百二十二章 洛必达法则(微积分) 洛必达哀求的对老师伯努利说：“我在你这里学了不少东西，但是我是个庸才，不可能会有什么发现，你就把你的发现给我吧。我给你钱。” 伯努利表示不能接受：“不可能，那是我千辛万苦发现的。你哪里知道我是在干什么。” 洛必达说：“要不是你最近经济有些不景气，我都不敢这么说，你要是不同意，也没关系，我就是问问而已。” 伯努利确实有些经济不景气，但是自己从来没想过会去买数学知识的版权。心里想想，觉得也不是不合理的事情，起码这些东西能换来钱。 伯努利对洛必达说：“多少钱？” 洛必达说：“绝对让你满意，毕竟要买你的版权，这也是个大事。你知道的，我跟你学数学，也想成为一个数学家。但是我没有天赋，不爱计算，仅仅喜欢计算。所以，我希望你能给我一个。毕竟我这里不差钱，而你这里也没有什么好的收入。” 伯努利陷入沉思，因为这个自己刚刚发现的东西，是一个对微积分有影响的重要法则。姑且就说洛必达法则吧。 洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。 这个法则是约翰伯努利发现，洛必达是有钱的学生，想给自己留名，花钱买下了署名权。 所以，在法国这样重视数学的环境下，数学是有价值的。也就到了后来，很多年轻有为的人都去搞数学，也是为了通过研究数学而获得收入吧。毕竟做自己喜欢的事情，还有收入，谁不愿意！ 第一百二十三章 洛必达分数阶导数(微积分) 一日，不善于沉下心来研究数学的洛必达，突发奇想，对约翰伯努利说：“我突然想起来，本来求导都是一阶导，二阶导，三阶导等等，都是整数阶的倒数。有没有分数阶的导数？” 伯努利对这个扶不上墙的烂学生提出的怪问题早已习惯，虽然反感，但是还是有气无力的说：“你的问题没有意义。我都不知道你在说什么。” 洛必达看到伯努利又是一副反感自己的样子，也不敢再问。 而伯努利倒是脑海里出现了奇怪的画面，到底有没有非整数阶的导数？ 伯努利对洛必达说：“也是，数字也不只有整数，也会有分数。导数的阶说不定也会有分数吧！” 洛必达看到老师开始思考自己的问题了，变得精神起来。 伯努利对洛必达说：“这么二的问题，确实有趣。我倒是想问问自己的老师莱布尼茨。但是我不敢亲自问，因为这个问题可能有点傻。所以为了避免被老师骂，我想让你这个二货去问问。这样不会让莱布尼茨觉得我是个傻子。” 在1659年，洛必达给莱布尼茨写了一封信，说道：“假如导数为二分之一，意义是什么？” 当时莱布尼茨也不知道定义与意义，只是回复道：“这会导致悖论，终有一天将会是一个很有用的结果”。 第一百二十四章 雅克比伯努利试验(概率) 没有一个数学只对数学的某一个方面感兴趣，雅克比伯努利就是其中一位。他与他的弟弟约翰伯努利经常不顾父亲的反对，悄悄的研究数学。 相比于自己的弟弟约翰是个不错的老师，雅克比是一个真正有创造力的人。其中他写过一本有关概率方面的书《猜度术》，这本书对后来概率学的发展有重要作用。 约翰对雅克比说：“你说，咱们的数学会改变未来吗？” 雅克比说：“你真是高看了自己，我们也是受别人影响的。” 约翰说：“我们这个家族的人要是都搞数学，大家都对数学的各个方面进行研究，那没有人能够是我们的对手。” 雅克比说：“我们确实会有重要的影响力，但是如果数学里有一个天才的话，他的光辉还是会遮盖我们。” 约翰脑海了浮现出欧拉的影子，他手下的这个学生进步明显比他快，他也相信欧拉肯定会是一个了不起的数学家，至于会不会大过他们这个家族的力量，他现在还不能肯定。 雅克比对约翰说：“我现在在写一本跟概率有关系的书，我自己假设了一种实验。试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。” 约翰伯努利说：“也就是说，如果不确定一件事情未来将如何发生，那就让他们多发生几次，然后进行统计？” 雅克比点点头。 第一百二十五章 雅克比伯努利微分方程(微积分) 雅克比在想，数学家是哲学家吗？ 很多人都说物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学，而哲学的尽头是神学。 雅克比认为这种思考不对，数学其实是纯粹的哲学，哲学很多时候讲的就是逻辑，而逻辑万万千千就是数学上的表达。 哲学是研究世界观的学问，而世界完全就是科学的，也处处充满着数学。 所以雅克比斗胆猜想，数学家是哲学家中层次最高的，也是最纯粹的。所以只有数学好的人才能称之为真正的哲学家。只去做哲学的人，并不是一个真正的哲学家。 数学可以让一切清晰，而纯粹去做哲学，弄一些文字游戏，有时会让自己变得糊涂。 数学和物理影响过哲学，但哲学从来没有影响过数学和物理。 雅克比写出了微分方程：y''+p（x）y=q(x)y^n。 雅克比说：“我发现了这样的方程。其中的n不为0或者1，如果等于0或1，就是线性微分方程了。” 约翰问：“其中的p、q这两个表示什么函数？” 雅克比说：“都是已知的方程。” 约翰问：“这个可以求解了吗？” 雅克比说：“很简单，方程的通解，可以在方程两百直接除以y的n次方，在引入z=y^(1-n)来得到解。” 形如y''+p（x）y=q(x)y^n的微分方程，称为伯努利微分方程，其中n≠0并且n≠1，其中p（x），q（x）为已知函数，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。它以雅各布·伯努利（jacob bernoulli）命名，他在1695年进行了研究。伯努利方程是特殊的，因为它们是具有已知精确解的非线性微分方程。伯努利方程的特殊情况是逻辑微分方程。 第一百二十六章 伯努利雅克比大数定律(概率与统计) 约翰说：“那姑且不管这个事情会不会重复发生，你到底想要几次？” 雅克比说：“当然是越多越好。” 约翰还没开窍的问：“那得多少？” 雅克比说：“无穷次。” 约翰说：“什么事情能发生无穷次？” 雅克比说：“不会是真的发生无穷次，就是想象他如果发生无穷次，然后会有多少次是这样发生的，多少次是那样发生的。” 约翰说：“我明白了，你这是一种理想条件下的统计。” 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。 在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。 大数定律分为弱大数定律和强大数定律。 这就是概率中的无穷，这种无穷体现的是一种理想化的思想。 第一百二十七章 丹尼尔的流体伯努利方程(流体力学) 1912年的秋天，当时世界上最大的轮船之一、远洋货轮“奥林匹克号”正在大海上航行。突然，一艘比它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”从后面追了上来，在离它100m的地方几乎跟它平行地疾驰。就在这时，一件意外的事情发生了：“豪克号”好像着了魔似的，竟然扭转船头朝“奥林匹克号”冲了过来，“豪克号”上的舵手怎么操作也没有用。结果，“奥林匹克号”无可奈何地接受了“豪克号”的亲密接触，并付出了极大的代价——船舷被“豪克号”撞了一个大洞。 在海事法庭审理这件奇案的时候，“奥林匹克号”的船长被判为有过失的一方，法院认为，这是因为他没有发出任何命令给横着撞过来的“豪克号”让路。船长虽然感到自己很冤枉，但没有办法解释，只好蒙冤受屈。案子就这样结束了，但这件事情却引起了一些科学家的注意，他们认为这次事件一定事出有因。 这个原理虽然发现得较早，但一直不被人们重视。出现了“奥林匹克号”被撞事件后，一些科学家突然想到，用丹尼尔的这一原理来解释这次事故是非常合情合理的。于是，自此以后伯努利原理才渐渐得到了它应受的重视。这是一条普遍性的原理，它不仅对于流动的水是适用的，而且对于流动的其他液体甚至气体也适用。 1726年，丹尼尔·伯努利与自己的助手欧拉通信，对欧拉说：“我发现了流体中很诡异的现象。” 欧拉看到丹尼尔信里说：“如果水沿着一条有宽有窄的沟，或粗细不均的管子向前流动，沟的较窄部分就流得快些，但水流对沟壁的压力比较小；反之，在较宽的部分水就流得较慢，压向沟壁的力则会比较大。” 欧拉说：“你要是这样说，我也觉得对。我在旷野上走，感觉风不算太大的时候，突然走入一个小巷里，发现风很大。就跟你说的这个意思一样。” 丹尼尔说：“所以，我开始一次来研究流体，得到一个方程。” 欧拉一看丹尼尔的方程是，动能+重力势能+压力势能=常数 欧拉说：“这样就可以研究出不同粗细管道的流体流速的变化了。” 丹尼尔说：“这里面需要说清几个条件。首先流体的，必须有稳定性，也就是说在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。” 欧拉说：“没错，流体流速变化，就无法准确研究了。” 丹尼尔说：“还有就是液体不能被压缩。” 欧拉说：“流体如果被压缩，也无法很好的研究液体的流动性了。” 丹尼尔说：“流体不能有摩擦，忽略黏性。” 欧拉说：“这个得看情况，有的液体会有黏性，水的黏性只是小了点而已。” 丹尼尔说：“流体流线直接不能相交，如果相交也无法正常研究。” 第一百二十八章 休谟的不可知论(哲学) 休谟对侯爵安纳代尔授课，安纳代尔对休谟说：“你信仰什么？” 休谟打不出来，只得说：“没有信仰。” 安纳代尔很吃惊，觉得有如此才学的人居然不信仰上帝。 安纳代尔对休谟说：“我在做一个伟大的事情，你知道一个国家必须要有强有力的领导才行，但是很多人都认为这些都是疯狂的，我无言以对。你认为我是疯子？” 休谟对安纳代尔说：“我不能评价你。你说国家有强有力的领导，国家才会稳定，安居乐业。我难以赞同这些。” 安纳代尔冷笑：“你认为我是为了一己之私？如果国家没有强有力的领导人？那如何能镇住些爱捣乱的人？” 休谟说：“能镇住哀悼乱的人，就是强有力的国家领导？那尼禄算是吗？你如何判断镇住别人才能算好的领导，这话不能说如此绝对吧。” 安纳代尔：“奇怪了，难道是讲道理的能镇住的，才能成为国家领导？” 休谟说：“为什么讲道理和镇住人就能成为国家领导？世界上很多这样的人，他们为什么不领导国家？” 安纳代尔说：“那就需要威望，建立军工，能服众。” 休谟说：“那很多这样的伟人，那国家就应该分为很多个吗？那国家就叫有强有力的领导？” 安纳代尔说：“这些人力刚好有最服众的，最杰出的，那还不可以？” 休谟说：“最杰出，就一定会有管理能力吗？而不是你们口中夸赞的杰出的人，而且你们心里明白他不见得具备这些能力。就算是你捧场，那其他人会捧场吗？” 安纳代尔对休谟说：“老师，你要是如此较真的话，那就怎样都不行了吧。” 休谟叹了口气，认为自己是一个不可知论着，没有任何一个事情会有准确的因果。 第一百二十九章 麦克劳林级数(级数) 作为牛顿看好的学生，麦克劳林经常思考一个问题。 世间很多物理运动，是不是都可以由已知函数表达，如果是已知的，那会是什么样的函数。 天下所有函数是不是都可以展开成多项式形式，这个多项式前有对应合理系数？ 也许是可以的，即使不是准确了，但大概也可以展开成这样。 麦克劳林一开始去研究多项式函数的形状，自己也绘制了很多个函数。 麦克劳林开始发现，只要多项式前的系数可以直接决定。 理论上就是改变多项式系数，就可以合成，或者近似合成几乎任何一个函数。这不是一个理论，而是实际需要的东西。 但比较麻烦的是，每次的合成比较麻烦，需要反复验证，才能吻合。 后来泰勒发现泰勒级数之后，麦克劳林看到了这种简单的方法。 麦克劳林级数是函数在x=0处的泰勒级数，它是牛顿的学生麦克劳林于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。 麦克劳林最后还是落下一个毛病，他还是没有用泰勒级数，他还是习惯于自己对多项式改变系数，来研究很多函数的性质，同时可以研究清很多运动轨迹。 牛顿对麦克老林说：“不可避免，我们要研究级数了，这是未来的趋势。” 麦克劳林说：“必须的，我们要发展这么学问，毕竟它的用途颇多。” “但是，我有一个疑问，我心里总是对这种东西有一种特别的感悟。”牛顿开始使用‘感觉’这一类的非理性词汇，想从这些的意味上去探讨这个东西。 “你这个疑问，是在研究二项式的时候，就出现了吗？”麦克劳林对牛顿研究二项式的精神震撼，如今有了级数这样的知识，或许这些之间有一些难以言说的微妙关系。 牛顿严肃的说：“你能解释为什么上帝，要我们把任何一个公式要变成一个写不完的级数吗？上帝是想告诉我们，每个东西都会有无穷小的细节？” 麦克劳林喜欢牛顿这种钻牛角的方式，因为数学家都爱转奇怪的牛角，外人看来是神经兮兮的行为，普通的数学工作者也仅仅会轻蔑一笑。而高级的数学家之间，用这样的方式说话，对他们而言，是一种哲学感上的一种极度舒适。 “我知道你想说的是，一个本来简单的公式，这么会有无穷的写不完的细节？而这种细节是上帝考验我们的，甚至是一种嘲笑。是嘲笑我们连一个简单公式，我们都不能准确的把他们写完。” 牛顿笑了：“是的，我们没有刻意去找细节，但是一个最简单的东西却有一种无穷无尽的细节。就是一个简单物本来就有无穷细节的意思。” 麦克劳林说：“我们可以利用这个细节，寻找相互等价的公式，却不能用他们准确测量什么东西。” 牛顿说：“没错，讨论到此为止了。” 牛顿知道，说个三天三夜的也不起作用，知道此事到此为止。 第一百三十章 麦克劳林不等式(不等式) 数学中，麦克劳林不等式是算术几何平均不等式的加强版。 2级的算术几何平均不等式得出后，后来得出几何平均不等式。 麦克劳林看着这个公式有些别扭，不完善，想看看这样的公式含着对称多项式，除以对应的组合数，得到一个平均值sk。 之后这个sk就可以作出一种不等式，1次的大于2次的平方根，2次平方根大于3次的立方根。 第一百三十一章 泰勒公式(微积分) 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（brook taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。 1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。 1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。 1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。 从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。 1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理着称于世。 泰勒在无聊的玩geogebra，里面有个公式: y=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a6x^6+a7x^7+a8x^8+a9x^9 然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个a值。屏幕上函数图像不断变化着，但那线条总是歪七八扭，不听使唤。他认真了起来，扩大了a值的范围和精度，逐渐找到规律之后，他已经能够调出剑尖，牙齿，猫耳等图像。 他不断增加项数，调整参数，他发现增加的项数越多，他就越能掌控图像的变化。 他像扭铁丝似的上下弯折着曲线，无意中调出了一段波浪形的图像，看着似乎挺眼熟…… ——这不是 sin 函数吗！ 他抑制不住自己的兴奋，赶紧输入了标准的 sin 函数进行对比，同时继续调整多项式，使这个山寨函数尽可能地贴近正品。 他仔细端详着，单看眼前这一段，简直可以以假乱真，不过越到后面，分歧也就越明显了。 他猛然意识到：“我能够控制多项式画出任意图像！甚至把它伪装成其他函数！“ 但是他很快冷静了下来，问了自己一连串的问题：所谓的任意，可以是无限制的任意吗？我能否完美地“伪装“出一个目标函数？如果不能，那又能够伪装到何种程度？摆在眼前的具体问题就是，能否“伪装“出一个完美的 sin 函数？ 他决定一探究竟。如果存在某 n 次多项式等于 sin(x);则其导函数也等于 sin(x)的导函数；它的二阶导也等于 sin(x)的二阶导；它的三阶导也等于 sin(x)的三阶导； ……它的 n 阶导也等于 sin(x)的 n 阶导。 可是，每求导一次，多项式就会降一阶。 求到 n 阶导不就变成常数了吗？ 再导不就归零了吗！ 而 sin(x)可以无穷阶求导，所以无论 n 有多大，都不可能完美伪装出 sin 函数。 除非…… n 为无穷大？ 这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？ 首先，经过调整，可以使二者的起点一致；然后，可以调整使二者在该点处斜率一致；再然后，可以调整该点处的二阶导数一致；再然后，可以调整该点处的三阶导数一致； ……总之，我们总可以使该点处 n 阶导数一致。 而 n 可以无限递增下去，我们的“伪装“就可以无限逼近目标函数。 ——埃勒里·泰勒·奎因看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度 ……他忍不住做起了一个思想实验：没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地，毫无自由可言。 给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；若再给定一个加速度，我们可以使速度均匀变化，从而产生拐弯运动；若再给定加速度的变化率，我们使加速度均匀变化，速度拐弯变化，产生可转向拐弯运动； ……如果一开始就设定好质点的初速度，加速度，加加速度，加加加…加速度的话，正如用一只无形的手调控着它的命运，那么无论想让它何时拐，往何处拐，如何拐……就全都在初始条件的设计之中了！这一刻，他仿佛触摸到了力量，触摸到了真理，触摸到了前所未有的自由！他大吼一声：“泰勒展开！” 这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。 把求导数的方程，调转一下，就可以得到牛顿迭代。这样的一阶导数、二阶导数……，都可以无限带入进去。 牛顿迭代可以让不能直接得到解的方程，无限接近于解的值，以达到近似的效果。后来泰勒将其改造成泰勒级数来确定很多函数。 对于任意一段连续可求导的函数，都可以与x轴方向得到一个面积的值。在古代，没有人能对很多弧形的图像直接求面积的值的。但是积分就可以，因为牛顿将函数分成无数个斜率，与底边形成了无数个体型而已，对于无数的体型无穷相加，取无限的值，就可以准确计算出这段阴影包含的面积。 泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。 泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。 他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。 此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。 第一百三十二章 欧拉求出γ函数(反常积分) 1727年，欧拉（euler）被指派到圣彼得堡。他在手稿《关于最近所做火炮发射试验的思考》（meditation upon experiments made recently on firing of cannon）中引入符号e表示自然对数的底数。这份手稿直到1862年才发表。 1735年，欧拉引入了记号f(x)。 1736年，欧拉出版了《力学》（mechanica），这是第一本基于微分方程的力学教科书。 约1750年，达朗贝尔研究了“三体问题”并将微积分应用到天体力学。欧拉、拉格朗日和拉普拉斯也进行三体问题的工作。 1750年，法尼亚诺（giulio fagnano）在《数学成果》（produzioni matematiche）发表了他以前的大部分工作。它包含了双纽线的显着性质以及积分的加倍公式。欧拉利用这个公式证明了椭圆积分的加法公式。 1751年，欧拉发表了他的复数对数理论。 1755年，欧拉出版了《微分学原理》（institutiones calculi differentialis），书的开头包含了有限差分的研究。 1765年，欧拉出版了《刚体运动理论》（theory of the motions of rigid bodies），它为分析力学打下了基础。 1769年，欧拉出版了他的三卷本《屈光学》（dioptics）的第一卷。 1769年，欧拉提出了欧拉猜想，即三个四次幂的和不是一个四次幂，四个五次幂的和不是一个五次幂，高次幂依此类推。 1770年，欧拉出版了教科书《代数》（algebra）。 1777年，欧拉在一份手稿中引入符号i表示-1的平方根，这跟手稿直到1794年才出版。 在1728年，哥德巴赫在思考一种整数数量的差值问题。 哥德巴赫心想：“阶乘一般是整数的，1、2、3、4、5、6的阶乘分别为1、2、6、24、120、720。” 哥德巴赫突然想：“那有没有非整数的阶乘，比如2.5的阶乘。” 哥德巴赫直接在纸上画出了1、2、3、4、5、6的自变量和对应的变量1、2、6、24、120、720这样的函数，自己描绘出了一个像是抛物线的这种阶乘曲线。 “从这样的函数上看，那必须是有的。但是，怎么样能求出那些非整数的阶乘值呢？” 这种延拓的问题，哥德巴赫只知道有，但不知道如何准确的去推导。 所以哥德巴赫给伯努利数学家族成员之一的丹尼尔·伯努利写了一封信，就是关于如何去求非整数的阶乘。 丹尼尔·伯努利看到信件后，心里觉得惊奇，认为哥德巴赫的思想很有趣，但是自己也无法解决。 恰巧欧拉在旁边，丹尼尔对欧拉说了这个事情。 22岁的欧拉也瞬间来了兴趣，直接拿着哥德巴赫的手稿，开始细致研究。 欧拉发现等比数列，在x绝对值小于1时，等比数列的和可以等于1\/(1-x). 还有一个含e的积分方程，也等于1\/(1-x). 这就推出了伽马函数。 最终得到了震惊世界的γ函数。 第一百三十三章 欧拉的七桥问题(拓扑学) 这里柯尼斯堡，是普鲁士兴起之地，也是俄罗斯喜欢争夺的地方，后来是俄罗斯加里宁格勒。 康德也来过这个地方，歌德巴赫也在这里提出猜想。 殴拉也来到这里，在柯尼斯堡的七个桥这里经常闲逛，这样可以行走思考问题，想想自己以后该干什么。 擅长把任何生活问题的殴拉，总觉得这七个桥有些怪怪的。 时间一久，他才发现，着七个桥不能不走回头路的全部走完。 对殴拉来说，他只喜欢一个地方逛一次，如果重复就会失去兴趣。 殴拉看着着七个桥，心想：“如何走这个桥，才能不重复的全部走完？” 对殴拉来说，没有无法解决的数学问题，只要设置一个模型就可以了。 殴拉把七个桥按照对应位置画出了一个图，把可以行走的路线连接起来。 连接之后，殴拉试图开始寻找一条路走法，但是画了半天，却还没有画出来。 “难不成，不能一下子全部走完这七座桥？” 殴拉发出疑问：“可是，这又是为什么？就算不能一步走完，也会有原因的吧？” 后来欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。 1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。 他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0 个就是2 个（连到一点的数目如是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成，必须中间点均是偶点，也就是有来路必有另一条去路，奇点只可能在两端，因此任何图能一笔画成，奇点要么没有要么在两端）。 第一百三十四章 欧拉路径遍历理论(计算) 欧拉笑着对拉格朗日说：“你知道学习的本质是什么吗？” 拉格朗日不解欧拉的意思。 欧拉说：“就是遍历。” 拉格朗日在想人的学习当然是按部就班来的，但欧拉的意思没那么简单，也或许是更简单到一般人不敢如此去想。 拉格朗日说：“就是看书需要一页一页来？” 欧拉对拉格朗日说：“你指的是人的看书学习，而我指的是本质。” 拉格朗日不解的说：“你说的意思也有动物？或者是婴儿？还是机器人？” 欧拉说：“为了让你理解这个意思，告诉你这时一种自动化算法，你可以理解城机器人，当然人也好，动物也好，婴儿也好，也是这个意思。” 拉格朗日明白了欧拉的意思，想了想，先是点点头，然后再摇摇头说：“我觉得，人的学习还不止于此，你说的遍历，不就是面面都要俱到，而不加以选择吗？” 欧拉说：“对了，我想说的就是这个意思。” 拉格朗日说：“要是有这样一种学习的运算程序，听起来很笨拙。” 欧拉赶紧摇摇头说：“不是的，就是要以这种看似本办法的办法来学习。当然了与人的区别是不要重复，机器可以准确记忆一个东西，而人脑不行，所以遍历的时候不要走回头路就行。” 拉格朗日说：“人的学习分对错，有用和没用，不能一概都去学习。” 欧拉说：“当然了，不管正确与否，起码是要都看过一边才行。” 拉格朗日说：“当然遍历的排序也是一个问题，因为你提到不要走回头路的问题了。” 欧拉说：“没错，我们进下来需要的，正是如何去遍历的问题，不同的结构，遍历的方式不同，我们知道遍历是不可避免的，那就需要认真的研究什么样的情况下怎样去遍历，才是一个真正的问题了。” 欧拉发现，自己在解决很多实际问题的时候，都会需要遍历的理论。 对欧拉来说，遍历最麻烦的事情就是走回头路。 很多问题的解决，只有在少走回头路的时候才能顺利解决。 解决七桥问题之后，欧拉开始研究把很多遍历问题，转化成图论里的最短遍历路径问题。 对欧拉来说，最简单的路径遍历，就是二叉树遍历。 但不是所有图都可以转化成二叉树遍历问题，容易造成浪费。 求欧拉回路的思路： 循环的找到出发点。 从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。 这种方法不保证每个边都被遍历。 如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。 这样，整个图就被连接到一起了。 具体步骤： 1，如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中。 2，如果该点有相连的点，那么就加入队列之中，遍历这些点，直到没有相连的点。 3，处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。 4，这个其实是个递归过程。 这是最短的最合理的方式了。 第一百三十五章 欧拉与哥德巴赫的通信(数论) 1742年，哥德巴赫在一封写给欧拉的信中猜想每个大于或等于4的偶数可以写成两个素数之和。哥德巴赫猜想仍然没有被证实。 但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和)欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和“记作“a+b“。1966年陈景润证明了“1+2“成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和“。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。 后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。 若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。 2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。 第一百三十六章 欧拉恒等式(超越函数) 叶卡捷琳娜女皇觉得能请来欧拉跟眼前这个傲慢无神论者狄德罗辩论。 欧拉虽然不喜欢圣彼得堡的严寒，但是还是被女皇请了过来，毕竟女皇希望让伟大俄罗斯振兴，需要有厉害的数学家。 狄德罗把包括女皇在内的所有的大臣们都给说中了，似乎每个人都要投靠狄德罗变成无神论者了。 狄德罗得知欧拉到场了，心里依旧傲慢，觉得一个数学家应该更会支持他的理论才对。 欧拉到场了，女王对欧拉说明了情况。 狄德罗礼貌的对欧拉打了一声招呼：“快说说看，你能说服我这个无神论者的理由是什么。” 欧拉对狄德罗说：“你是哲学家吗？” 狄德罗傲慢的说：“不敢当，但是比眼前的人都懂哲学。” 欧拉说：“哲学家需要学习数学吗？” 狄德罗说：“当然了，神学家都懂数学，哲学家怎敢落后呢？” 欧拉写出了e^(πi)=-1方程，对狄德罗说：“因为有这个方程，所以上帝存在，请回答。” 狄德罗有些晕，不知道该回答什么，半天反应过来说：“你这个是？” 欧拉解释了这个方程的含义，并对狄德罗说：“我不但知道上帝一定存在，而且就是这个方程描绘出来的形状。” 狄德罗笑说：“这个方程确实奇特，但是你怎能说这是上帝的形状呢？” 欧拉说：“这个方程是由小而大，由少而多，由正而负，有实而虚，有理到无理，有限到无限，看似清其实模糊，看似不可名状，但是确实真理。上帝创造万物，诞生万物，运行万物都是离不开这个不变的规律的。” 狄德罗看到欧拉在描画这这个方程，一种统治和投影万物的一种形式。 狄德罗说：“好吧，你的数学真是好得不得了，只是说他是上帝，不夸张吗？” 欧拉说：“统治万物没有一个规律，没有一个数学的道理吗？” 狄德罗说：“虽然可以没有上帝，但是必须要有数学和物理的规律，这个我不否认。” 欧拉说：“这个方程包含0，1，e，i，π这五个元素的东西，浑然天成，令人惊奇，简直就是万物之首，一切道理的道理，你不信上帝，你敢不信这个吗？” 狄德罗说：“我相信这个方程的可怕，可以容纳万物，让很多看此不想连的东西结合在一起。” 欧拉说：“你还不明白，这就上帝吗？只有上帝才能把这些看似不想干的东西给联系在一起。” 俄罗斯宫廷里发出一阵欢呼的声音，对欧拉的才华大为惊叹。 狄德罗在这次辩论中溃败，这也是他人生中少见的溃败，从此以后狄德罗变成收敛了一些。 第一百三十七章 欧拉多面体定理(拓扑学) 无聊的柯尼斯堡，欧拉拿出自己行李箱的东西。 翻出了约翰伯努利给的他一些正多面体。 有一天欧拉起了好奇心，开始拿着一堆多边形开始数边长，数面，数点。 数完之后，把多面体的点，线，面都记下来。 然后记下来，欧拉无聊的看着这三列数字，突然发现，这三列数字貌似有某种联系。 欧拉公式很快被推导出来了。 “顶点数-棱长数+表面数=2”，欧拉兴奋的看着这个公式。 这是正多面体的规律，非正多面体呢？ 欧拉也开始自己着手制作非正多面体。 发现也也符合这个规律。 后来加入一个合理的洞，发现这个式子有一些变换，但是有一个洞的，都也符合带一个洞情况下的那种变化。 1635年，笛卡尔发现了多面体欧拉定理：v-e+f=2。 1752年，欧拉公布了多面体定理。 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。 第一百三十八章 欧拉常微分方程(微积分) 1755年，瑞士数学家l.欧拉在写一本叫《流体运动的一般原理》的书。 其中在研究无粘性流体动力学时，发现了一种运动的微分方程。 这个微分方程是指对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。 欧拉敏锐的发现，这个方程还可以去解释热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题。 长得是这样的，ax2d2y+bxdy+cy=f(x)，类似二次方程。 其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数d2y的系数是二次函数ax2，一阶导数dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。 而且，欧拉不止步于此，还继续发现了高次导数的推广的形式。 同时欧拉使用带自然对数底的带还，再用d表示微分符号，再用归纳法，转化出常微分方程。 得出的方程可以求出2次甚至高次的常微分方程通解。 在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。 方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零粘性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。 历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。 欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。 f(x)=x^n*y^(n)+p1*x^(n-1)*y^(n-1)+……+pn-1*x*y`+pn*y 其中做变换x=e^t或t=lnx，将自变量x换成t。 可得到dy\/dx，很对对应的对y求x高阶导数的各个公式。 用符号d表示对t求导的运算d\/dt。 可得xy`，x^2y``，以至得到x^n*y^(n)表示出的关于d的式子。 然后带入方程，再把t换成lnx，得到原方程的解法。 可以轻松求解一个在弹性力学中常见的四阶变系数线性微分方程。 第一百三十九章 流体欧拉法(流体力学) 拉格朗日与欧拉开始讨论流体力学。 拉格朗日说：“定义流体是无数个质点组成，流体质点是连续的，彼此之间没有间隙的充满空间。这种流体充满整个场，就叫流场。” 欧拉说：“我们要研究的就是其中的流动参数，你有什么好的办法吗？” 拉格朗日说：“我的办法是在这个流场中追踪一个流动的点，以此来研究流体的性质。” 拉格朗日把这点运动和受力的方程给列举出来，并说：“首先要知道这个质点起点在哪里，然后知道在每个不同途径流体的受力求出加速度，然后研究轨迹。” 欧拉说：“这虽然是个办法，但是，我觉得太过于复杂的流体中，这个难以研究。” 拉格朗日扔入一个泡沫，看着泡沫的运动轨迹，对欧拉说：“这样研究不是一目了然吗？” 欧拉说：“我有一种方法，就是不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间，也就是流场为对象。” 拉格朗日说：“这是如何研究的？” 欧拉说：“研究各时刻质点在流场中的变化规律。” 拉格朗日说：“这是分段进行吗？” 欧拉说：“将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。” 拉格朗日想着这个模型，点了点头。 第一百四十章 欧拉常数(调和级数) 马歇罗尼与欧拉神交对话，研究一种欧拉常数。 欧拉说：“调和级数，我很喜欢这个东西。” 马歇罗尼说：“只是一堆自然数的导数的求和而已，有稀罕的吗？” 欧拉说：“数学上的事儿就是这么回事，闲的。我对调和级数还想看看求导之后是什么样子呢。” 马歇罗尼表示不解。 欧拉说：“怪我没有解释清楚，我总觉得调和级数跟对数有对于关联。” 马歇罗尼恍然大悟，才明白欧拉为什么会对调和级数感兴趣。 欧拉说：“我把调和级数前n项和与ln(n)相互对比。” 马歇罗尼想了想：“这两者直接只能说长得像吧？之间会有什么关联吗？总不会是一样的吧。” 欧拉对马歇罗尼说：“既然你想跟死去的我对话，就是希望能学到数学思想吧？” 马歇罗尼说：“没错呀！” 欧拉说：“那我交给你我的心得，想要研究数学，最后要对看起来很像的东西下手，看看之间是不是有共同点。这就是我研究数学的一个心得之一。” 马歇罗尼说：“那调和级数和对应对数之间有什么相似的东西？” 欧拉一边算，一边对马歇罗尼说：“两个做差等于0.。” 马歇罗尼说：“原来是这个意思。” 欧拉说：“既然你叫到了我，你以现有的数学知识帮我算算，这个无理数，看看你能算多长。” 马歇罗尼开始计算起来，用了很长时间算出调和级数和对应对数差值的极限近似值为γ≈0. 01532 。 后来有多个数学就像计算π一样计算这个γ。 最新结果是eric weisstein在2013年7月22日，公布了这个值的第位。 第一百四十一章 欧拉角(理论力学) 哈尔对欧拉神交，与欧拉讨论旋转的问题。 欧拉对哈儿说：“我想像了一种三维转动的问题，不同于不同的单个旋转，我开始去寻找，二维旋转，甚至三维旋转这种复杂的旋转形式。” 哈尔说：“二维旋转就是有两个旋转轴，三维旋转有三个旋转轴。任何一个复杂的旋转都可以分解出最多三个轴的旋转。” 欧拉说：“用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角ψ和自转角φ组成。” 欧拉给哈尔画出了对应的坐标解释，同时写出很多带三角函数矩阵的表示。 哈尔说：“我在这里引入了测度。” 欧拉说：“引入了旋转角测度吗？” 哈尔说：“欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式，通常在前面添上归一化因子π2 \/ 8。单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁现象。因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。” 第一百四十二章 欧拉引入弧度制 1748年。 欧拉说：“我找到了新的表示角度的办法。1弧度的角：圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.得到1弧度的角后，其余的角都可以用其来进行测量。一个平角的弧度数等于π，一个周角的弧度数等于2π。弧度制是一种新的度量角的制度，它必然与弧有关，而弧是在圆中出现的，初中在讲解圆时，规定弧的度数与其所对圆心角的度数相同，可见角是与弧有关系的.要规定一种新的度量制度，首先要规定单位量，对弧度制来说，首先要规定1弧度.” 约翰伯努利说：“弧度制的基本思想的雏形起源于印度，为什么要引入它呢？原来的角度有什么不好吗？” 欧拉说：“角的概念的扩充，完全可以研究函数了，但在研究函数的过程中，角度制有其不方便的地方：角度中，度、分、秒之间是60进制，计算不方便，更重要的是，三角函数的值是十进制，在实际应用中会有很多不便，尤其给数形结合带来麻烦，例如三角函数画图时，由于横轴（角度）与纵轴（三角函数的值）的单位不一致，图形会发生扭曲。而采用弧度制图形就会变得“优美。” 伯努利说：“不充分。” 欧拉说：“说个你喜欢的，对sinx\/x取x的极限可得到1，如果用角度制，是Π\/180。” 伯努利说：“说实话，只是变换了规则，我没觉得它有什么独创的东西？你只是说是角是按照对于的弧度与半径的比例而得到的，倒像个三角形那样的比例一般。如果没有重要的目的，我们为什么要那样折腾呢？” 欧拉说：“我其实是在想一个问题，今天没有遇到，但以后会面对的。” 伯努利瞪眼兴奋道：“嗯嗯，我就像听这个。” 欧拉说：“我们以往研究的是平面角，从来没有研究过立体角，如何去表示一个立体角。” 伯努利知道不仅仅是两个相交平面的夹角，因为那还是一个平面角，伯努利说：“我们以后会研究到三个相交于一点的面所出现的角吗？比如是在球的中心，我们切下一块过原点的块，像切西瓜那样的。” 欧拉对伯努利说：“怎么不会用到呢？不是自然而然吗？” 伯努利说：“那我们只需要研究三个相交于一点的平面之间的夹角。” 欧拉打断说：“那虽正确，但是太过于麻烦繁琐，而且会有四个面相交于一点，甚至多个面相交于一点的，那样你两个两个面去挨个表示，说不定东西不大，但你会累个半死。” 伯努利说：“是啊，但这跟你发现角的弧度表示有什么关系？” 欧拉说：“你还没想到吗？我用弧长表示平面角，是不是可以用弧面表示立体角？弧长比圆的半径，是平面角，弧面比球的半径的平方，那就是立体角啊。园心的角度是2Π，球体的立体角是……” 伯努利快速心算到：“圆面比半径平方，4Π。” 欧拉说：“所以衡量两个立体角一样大，那是不是要用到弧面一样大的的概念了？” 伯努利觉得很神奇，以后必将形成一种学科。 第一百四十三章 欧拉函数和欧拉数论定理(数论) 在费马研究数论基础上，欧拉得到费马-欧拉定理。 这是一个数论中基本定理。 为了这个定理欧拉定义了欧拉函数。 在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 此时就开始提出费马欧拉定理，如果正整数a，n互为质数。 则会有a的φ（n）次方除以n，余数为1. 第一百四十四章 欧拉拟素数(数论) 欧拉研究的没日没夜，精神已经恍惚了。 突然遇到上帝，上帝对欧拉说：“你在研究什么？” 欧拉说：“我在研究素数，你能提示一下吗？” 上帝说：“就是你们声称只能被1或自身整除的数字吗？” 欧拉说：“对，我想知道它们排布的规律。” 上帝觉得很可笑，问欧拉说：“数字还分高低贵贱吗？为什么只研究素数？而不研究因子比较小的合数呢？它们不是也很像素数吗？” 欧拉瞪大眼睛说：“还可以研究这样的数字吗？意义在哪里？” 上帝说：“那研究素数的意义在哪里？” 欧拉从来没有想过这种准素数的研究，毕竟准素数太不引人注意了，但似乎也有研究的必要。 欧拉感谢上帝说：“都用意义，一起来研究，反而充实了数字因子和素数这个整体的分布，这是个很有意思的事情。” 然后，欧拉开始研究拟素数。 一般来说判断一个数是素数是不容易的，但要判定一个数是合数却相对容易，因为此时只需找出一个使得素数满足，但它不满足的性质即可。 所以原始的素性检验思想就是检验某个素数的通性，不满足的即为合数，如果满足而它又是合数则称为关于此种性质的拟素数。 第一百四十五章 欧拉经济定理(经济) 阿拉戈知道欧拉数学十分好，计算像呼吸一样简单，但是没见欧拉研究过经济学。 阿拉戈说：“有很多数学家不轻易触碰经济学，包括你。” 在欧拉心中，经济学也是数学的一部分，这是显而易见的。欧拉说：“是因为看起来有些复杂。” 阿拉戈说：“那你会尝试吗？毕竟这是一个十分明显的经济学。” 欧拉说：“应该由简单而变复杂，可能就会容易的研究。” 阿拉戈心笑道，看来你终于对经济下手了，阿拉戈说：“你想研究经济的哪一方面呢？” 欧拉说：“在经济上，不管是大的规模和小的规模，都是一样的，只是大小不一样。” 阿拉戈说：“整体是宏观，局部是围观。也许有区别，也许在你眼中就是个公式。” 欧拉说：“假设有两个人，他们一个有十个胡萝卜的种子，另外一个有种胡萝卜的经验，他们打算合作，前者出种子，后者出劳力，用十天的时间来种植胡萝卜。在这过程中，风调雨顺，没有什么意外，种子全部茁壮成长，拥有种植经验的人也尽职尽责，最后得到的胡萝卜的产量是最大化的，有十公斤。而每个种子的在自然状态下能产出0.5公斤的胡萝卜，劳动者每一天能辛劳能使胡萝卜在最终增加0.5公斤，所以最后的产量也是10=0.5*10+0.5*10，即种子资本的边际产出乘以资本量加上劳动的边际产出乘以劳动量等于总产出。” 欧拉指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。 以上例子属于一次齐次函数的一个重要性质，它是说一次齐次函数的数值都可以表示为各自变量和因变量对相应自变量一阶偏导的乘积之和。 阿拉戈说：“这是一次齐次生产函数的解释。但是它又有什么深刻地含义呢?” 欧拉说：“在宏观经济中，可以被解释为收入的分配，也就是在胡萝卜的例子中，前五公斤的萝卜是由资本所作出的贡献，后五公斤是由劳动所作出的贡献，如果社会这种很理想量化的贡献来分配产出，那么社会的分配时公平也富有效率的，也是能够自动将产出出清的。” 阿拉戈说：“这样看来，一个社会的产出如果能按你说的将各种生产要素的贡献清晰量化，按贡献分配产出，那么这个社会是如此的美好啊，至少每个劳动者，每个资本拥有者用了生产的动力。” 欧拉说：“但我们看到的社会貌似也不是这样的。” 阿拉戈说：“这就是人性的复杂，会有很多人按需分配的成员那样随处搭便车，不会遵守这个看似公平的数学规则，所以很多人看来那些不公平的人和事儿，也变得消极起来，事情就变成了恶性循环。” 欧拉说：“原来是人性破坏了数学模型，那人性的恶会有数学模型吗？” 阿拉戈说：“人性的恶肯定有数学模型的，但是经济不像那样的理想化也许也因为用你的模型的话整个社会的产出就被当期消费掉了，没有留下盈余成为资本来在将来扩大再生产，我们的后代怎么办?饿肚子么?” 欧拉说：“看来研究经济，要使用很多模型才对。” 第一百四十六章 欧拉β公式(反常积分) 欧拉发现在解很多函数的积分的时候，难度最大的就是反常函数积分的解法。 而这里面往往就涉及了两种函数，分别就是β函数和γ函数。 γ函数已知是跟阶乘有关系的了。 β函数可以跟伽马函数用一个公式联系起来，而且欧拉发现了一个它也跟琴弦震动有关。 欧拉认为很多东西的震动是可以计算的。 1968年，维尼齐亚诺偶然找到了这个函数，他发现这个函数跟加速器对撞时产生的大量碎片有关系。 但是维尼齐亚诺不知道这时什么意思。 而欧拉的这个函数时表示弦震动的含义，但是为什么大量的碎片会跟弦震动有关系呢？ 是因为波粒二象性吗？说明波和粒子时有关联的？ 那么欧拉的β公式可以解释所有的微观粒子的作用方式？ 也就是说β函数是物理学的本源？ 其实β函数跟波函数的形状也十分相同，而普通的震动波函数是归一化的。 而β函数也有归一化的感觉。 第一百四十七章 欧拉连续性假设(流体力学) 欧拉：“想要研究流体，我们先要说明单元。” 伯努利：“你指的是流体由什么组成吗？” 欧拉：“也对也不对。” 伯努利说：“就是水吧，那不是水的分子组成的吗？” 欧拉说：“可以这样研究不是很麻烦吗？你还有研究水流中每个水分之间的分子力吗？那你就把模型复杂化了。” 伯努利说：“你想要如何研究？” 欧拉说：“如果你一定要说流体是一个个的颗粒组成的，那不利于流体学的原理。我们应该假设它是连续的，没有最小单位，流体的组成单元是无限小到无法截止的，我们可称之为连续性假设。流体是由大量分子组成的，所谓流体质点就是指微观充分大，其中包含大量分子，宏观充分小的分子团。并且分子图的尺寸远远小于被研究流体所占据的空间，即认为此分子团内的物理量是均匀不变的，因而可近似地把这个分子团看作是几何上的一个点，即流体质点。” 伯努利对欧拉说：“要是这么说，那要是把水看作水分子，那水的流动就不连续了？就像一群石头的流动了？” 欧拉说：“没错，一群石头很难移动成表面上是水平的，而水可以达到这一点，所以把水看作是无限小的。” 伯努利更正：“流动的石头或沙子只是暂时不平，在很长的时间后会慢慢变平，可能上万年时间，才能让面上跟水一样平，这只是时间问题而已，而导致这个问题发生的，正是因为石头和沙子比水分子大，所以流动缓慢。” 欧拉笑：“你说得太好了，正因为如此，才说明连续化的流体会极短时间内变得水平，比水都快。推而广之，连续化流体的流体行为会更强。” 伯努利陷入沉思，在像比水强的是空气，但空气分子也不是无限小的。 欧拉看到伯努利陷入沉思，问道：“你在像真正的连续化流体是什么吗？” 伯努利对欧拉说：“你说光是不是？” 第一百四十八章 米勒拉宾素性测试(计算数论) 对于一个数n，如果想要判断它是否为素数，常规的方法为试除法。即，让n依次除以2到sqrt（n）以内的整数。如果有出现除尽的情况，则为合数。 该方法的时间复杂度为o（sqrt（n））在面对n为长整型的时候有可能超出时间要求。因此普遍采用米勒拉宾算法进行素性判定。 在此之前介绍一种伪素数判定方法——小费马定理。 但没有米勒拉宾素性测试快。 米勒拉宾素性测试是： 判断一个数p是否为素数 p首先得为大于等于2的正整数才有可能为素数， 首先判奇偶，若为偶数只有2为素数， 若为奇数（这里可以考虑去掉 3甚至5的倍数），则先求出d。 对于每一个底a，让d不断乘以2直到为(p-1)\/2， 在此过程中（包括原本的d与d=(p-1)\/2时的情况）， 设t为 a的d次方模p的余数， （1）当t=-1时跳出，声明p有可能为素数 （2）当t=1时，若d为奇数，跳出声明p有可能为素数，否则跳出声明p必为合数 （3）当d=(p-1)\/2时跳出，声明p必为合数。 第一百四十九章 克莱姆法则(矩阵) 克莱姆在研究经过5 个点的一般二次曲线的系数，遇到一个问题，就是需要解大量方程组，虽然不是无法解决的问题，但是计算却十分浪费时间。 克莱姆让解方程组成为一种固定格式，不论是几个未知量的方程组。 每当列好方程组的时候，使用行列式的方法把系数提取出来，然后就可以快速求解。 这就是克莱姆法则。 克莱姆与莱布尼茨，麦克劳林都发现了这种办法。 但是行列式的求解过程本身也比较麻烦，所以在求高次行列式的时候，速度就会大大减慢。 需要找到一种可以快速解决行列式的方法来破解这个迷局。 第一百五十章 克莱姆悖论－与线性代数的产生(线性代数) 虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的 cramer 悖论就是一个漂亮的例子。 在描述 cramer 悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。 两条直线交于一点。 反过来，过一点可以做两条不同的直线。 事实上，过一点可以做无数条直线。 确定一条直线需要两个点才够。 一切都很正常。 现在，考虑平面上的两条三次曲线。 由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到 9 组不同的解，因此两条三次曲线最多有 9 个交点。另外，三次曲线的一般形式为 x^3 + a·x^2·y + b·x·y^2 + c·y^3 + d·x^2 + e·x·y + f·y^2 + g·x + h·y + i = 0 这里面一共有 9 个未知系数。 代入曲线上的 9 组不同的(x， y)，我们就能得出 9 个方程，解出这 9 个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。 也就是说，平面上的 9 个点唯一地确定了一个三次曲线。 这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于 9 个点”和 “ 9 个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？ 既然这 9 个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？ 在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。 cramer 和 euler 是同一时代的两位大数学家。 他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。 上面这个问题就是 1744 年 9 月 30 日 cramer 在给 euler 的信中提出来的。 在信中， cramer 摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用 9 个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出 9 个交点。 cramer 向 euler 提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？ euler 心中的疑问不比 cramer 的少。 接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。 1748 年， euler 发表了一篇题为 sur une contradiction apparente dans doctrine des lignes courbes （关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。 正如大家所想，矛盾的源头就是， 9 个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。 euler 试图向人们解释这样一件事情：曲线上的 9 个点虽然给出了 9 个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那 9 个未知数，因为有些方程是废的。 在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。 euler 举了一个最简单的例子：方程组 3x ? 2y = 5 4y = 6x ? 10 表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以 2 再移项后就直接变成第二个方程了。 换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。 当然，这只是一个最为简单的例子。 在当时，真正让人大开眼界的则是 euler 文中给出的三元一次方程组： 2x ? 3y + 5z = 8 3x ? 5y + 7z = 9 x ? y + 3z = 7 这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。 因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。 euler 还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。 类似地， 9 个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三个方程的和。 究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？ euler 承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。 此时大家或许能体会到， euler 提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。 包括 cramer 在内的数学家们沿着 euler 的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。 没错，这个 cramer 正是后来提出线性代数一大基本定理—— cramer 法则——的那个人。 第一百五十一章 达朗贝尔级数判别法(级数) 1739年，达朗贝尔（d''alembert）出版了《微积分实录》（mémoire sur le calcul intégral）。 1743年，达朗贝尔（d''alembert）出版了《动力学》（traité de dynamique）。在这部着名的作品中，他阐述了他的原理：运动中的刚体系统的内部行为和反应是处于平衡状态的。 1744年，达朗贝尔（d''alembert）出版了《论流体的平衡与运动》（traite de l''equilibre et du mouvement des fluides）。他将他的原理应用到流体的平衡与运动中。 1746年，达朗贝尔（d''alembert）在首次尝试证明代数基本定理的过程中，进一步发展了复数理论。 1747年，达朗贝尔在《关于风的一般成因的沉思》（réflexion sur cause générale des vents）使用偏微分方程研究风，因此获得普鲁士科学院奖。 1752年，达朗贝尔在研究流体动力学的时候发现了柯西-黎曼方程。 1767年，达朗贝尔把因未能证明平行公设而造成的初等几何的问题成称为“初等几何的丑闻”。 1799年，高斯证明了代数基本定理，并注意到早期的证明，例如达朗贝尔在1746年的证明，可以很容易修正。 达朗贝尔知道自己的身世，虽然自然条件以及被生父提高，后天自己的努力也让法国、普鲁士和俄国都为自己的学问有兴趣。但是自己的心里依旧在纠缠这自己生母的事儿。 他知道生母是沙龙的一个女主人，为了自己的身份而不敢认他，只是在悄悄的资助自己。 此刻他进入另一个沙龙，除了能结识上流精英以外，就是想要寻找母亲的情节在其中。 达朗贝尔跟自己的军官父亲一样，也认识了对自己有兴趣的这个沙龙的女主人，勒皮纳斯。她拒绝了很多贵族公子的追求，她只对达朗贝尔感兴趣。 沙龙女主人勒皮纳斯对达朗贝尔说：“你最近在做什么数学研究？” 达朗贝尔说：“在研究级数。” 勒皮纳斯说：“将数列的项依次用加号连接起来的函数吗？你要研究它的什么？” 达朗贝尔说：“理所应当是是发散和收敛。” 勒皮纳斯说：“你肯定喜欢收敛的，发散的没有什么可以研究的。” 达朗贝尔说：“当然了，发散的都是无穷大。无穷大的东西不都是一样的吗？” 这激发勒皮纳斯数学兴趣，里皮纳斯笑说：“或许也不一样，因为不同级数的曲线不是明显不同的吗？不能因为发散级数都是无穷大，而去说这些无穷大都一样。这是不是会很唐突。” 达朗贝尔对这个沙龙的女主人有好感，并且视为知己，就是这个原因。一个有钱的女流，居然也会有深邃的数学思想，虽然她的思想是受到自己启发的，但是却也有自己的新观点。 达朗贝尔笑着说：“数学家此刻最大的毛病，就是无法轻易驯服无穷大。对于无穷大的观点是，它是个无底洞，把任何责任推给它就可以了。” 两个人相视而笑。 勒皮纳斯继续说：“那对于收敛的级数，你是如何区分的？” 达朗贝尔说：“我这个级数判别法，不论说在什么情况下，在正数的级数里，如果后一个数除以前一个数这样的通向公式，在趋于无穷的情况下，小于1是收敛，大于1是发射，等于1时发散和收敛都有可能。” 勒皮纳斯说：“原来你是找到了收敛级数的通行证。” 第一百五十二章 达朗贝尔算符(微分算子) 拉普拉斯对达朗贝尔说：“我发现了n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子。” 达朗贝尔说：“是什么算子？” 拉普拉斯说：“是求一个可以对外发射力的力场。我可以求助梯度和散度。我是对xyz求二阶导数求出了这种毛球形状的加速度。” 拉普拉斯写出了拉普拉斯算子的模样，并解释可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。 “如果是非欧几里得空间，当然也可以用了。” 达朗贝尔想了想说：“很不错的东西，但是需要加点东西，让它变得完善。” 朗普拉斯说：“加什么？” 拉朗贝尔说：“仅仅知道加速度不够，还有在前面加了一个时间和光速的量。能够了解在特定时间里运行的距离，要考虑到这样的特殊加速度。” 拉普拉斯说：“我知道你说的这种加速度的意思，但为什么还有光速？” 达朗贝尔说：“电磁场中电磁波的速度，不就是光速吗？我是按照这个来衡量的。如果是普通速度的东西，你可以改成这种速度。” 说完达朗贝尔写出达朗贝尔算子，是用一个方框表示的。 第一百五十三章 达朗贝尔佯谬(流体力学) 达朗贝尔望着流体运动陷入沉思，在想：“流体到底是怎样的运动？” 圣维南说：“总之不会是像一个物块一样整体运动。” 达朗贝尔说：“可不是，看看小河流水的样子，就知道不同的水流之间是不一致的。” 圣维南说：“没错，流体中的流动子都是相对独立的。” 达朗贝尔说：“我也想过，但是我总觉得不对劲。对于不可压缩和不粘的潜在流动，在相对于流体以恒定速度运动上，拖曳力为零。” 圣维南说：“不可压缩是对的，我从没见过水可以压缩过。至于粘不粘，我还不能确定。” 达朗贝尔说：“你怎么不能确定？如果粘的话，那就像是固体的行为了。” 圣维南被绕进去了，觉得达朗贝尔说的太绝对：“不能有中间状态了？” 达朗贝尔说：“没有，液体和固体的唯一区别就是这个。” 圣维南说：“不能不能保证流体中的流动子是绝对不粘的。” 达朗贝尔说：“在我看来，在所有可能严格的情况下发展起来的理论，一种潜在流动至少在几种情况下给予严格消失抵抗，我利用未来几何单位的奇异悖论来阐明。总之，流体可以做到想方设法的不粘。” 圣维南说：“那我们为什么看到水流中，没有你说的那种绝对光滑的现象呢？” 达朗贝尔摇摇头，说：“我也说不清楚。” 圣维南说：“所以你的理论就是错误的，水流是一定会有粘度的，只是比起流数一类的看着小很多，但不能说没有。” 达朗贝尔佯谬是流体力学中的一个定理。在流体动力学中，达朗贝尔佯谬或流体动力学悖论是法国数学家在1752年达成的矛盾。 零阻力与观察到相对于流体（如空气和水）移动的物体的实质阻力直接相矛盾；特别是对应于高雷诺数的高速度。这是可逆性悖论的一个特例。 第一百五十四章 达朗贝尔定理(理论力学) 沙勒神交达朗贝尔，跟达朗贝尔讨论旋转刚体问题。 达朗贝尔直接抛出达朗贝尔定理：“每个有不动点的空间第一种合同变换是一个空间旋转。” 沙勒说：“有一个点没挪动过，所以就相当于只是做了一个旋转吗？” 达朗贝尔说：“没错。” 沙勒说：“这整个旋转必须是固体，如果是液体的话，液体自身变化，怎么也不会合同了。” 达朗贝尔说：“不管是什么东西的变化，只要有一个点不动，那只能意味着这个东西只是做了一个旋转而已，只不过可能是复杂了一点的旋转，还是无法掩盖旋转这个事实。” 沙勒说：“这个有什么用？” 达朗贝尔说：“有用，这个可以研究一些看似复杂的运动，如果知道这个刚体运动有一个点始终没有动，那我们直接就可以分解成这个物体只要转动。” 达朗贝尔定理是关于变换的着名定理。该定理断言：达朗贝尔在微分方程、力学两方面贡献都很大。1743年出版了他的着作《动力学》，其内容包括了把固体物理的动力学归结成静力学的方法，这就是我们现在所说的“达朗贝尔原理”。 沙勒根据达朗贝尔定理，又延伸出一个沙勒定理。 对神交的达朗贝尔说：“其实呢，我也想到了一个处理更加复杂运动的方法。” 达朗贝尔说：“既非平移又非旋转，这个就是最复杂的研究对象了。” 沙勒说：“在你的基础上，就可以继续把这种看此复杂的运动，再次给分解了。” 达朗贝尔说：“如何分解？” 沙勒直接提出沙勒定理说：“既非旋转也非平移的空间第一种合同变换是一个旋转与一个平移之积，且旋转轴平行于这平移的方向。” 达朗贝尔说：“666！” 第一百五十五章 达朗贝尔原理(理论力学) 狄德罗对达朗贝尔说：“我听说你最近又在研究牛顿力学吗？” 达朗贝尔说：“是的，牛顿第二定律。” 狄德罗说：“前人已经研究过的东西，你怎么还感兴趣？” 达朗贝尔说：“牛顿第二定律其实很不简单，我们需要从多个角度去看他。” 狄德罗说：“不就是力导致的加速度运动？怎么会需要多个角度？” 达朗贝尔说：“力导致物体加速度，不完全对，力也不见得一定会导致物体加速度。当这个物体被限制着动不了，再使用外力推动的话，它是不动的。” 狄德罗说：“这个正常，这个约束物体的东西，是不是也会受到力的推动，在做微小的加速度运动。比如说整个大地或者整个地球。” 达朗贝尔说：“人就是站在地球上的，怎么能推着受限制的物体连带着地球运动？” 狄德罗说：“这就是牛顿第三定律了，只是在相互受着作用力。” 达朗贝尔说：“其实，我想说的是，静力学，又称几何静力学。” 狄德罗说：“静力学？就是受力不动，产生变形而已了。” 达朗贝尔说：“我不考虑变形，我考虑的是其实被限制的物体，也在运动。只不过这种运动是虚位移，就是本来不受限制是可以运动的，而此刻受到限制动不了。” 狄德罗眼神变得怀疑起来，对达朗贝尔说：“你脑子不对了吧，虚位移是什么鬼？” 狄德罗继续说：“朗格朗日他们研究过在质点运动的任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。你这非要说有虚位移，这不是成心捣乱吗？没有意义。” 达朗贝尔说：“虽然点不动，但是点受力，当然也会有做功。你敢说这个质点没被外力做功吗？做了功不动，按照距离算，为零，这不合逻辑吧，毕竟，外力是用力推这个动不了的东西的。” 狄德罗说：“说以你发明了一个没有加速度的牛顿第二定律？” 达朗贝尔说：“没错，我的意思是，这个位移是有的，只不过是虚的而已。在给定瞬时，质点或质点系符合约束的无限小假想位移称为该质点或质点系的虚位移。” 狄德罗说：“有实际意义吗？用牛顿第三定律解决不香吗？” 达朗贝尔说：“然后延伸出了虚功，局部虽不为零，但是由于质点总体不同，所以总体受力为零。也就是不动受力质点的系统做功为零。这些功我需要研究出来，不能简单视作不存在，毕竟局部肯定是存在的，这样很重要。” 达朗贝尔提出了三大运动定律，第一运动定律是给出几何证明的惯性定律；第二定律是力的分析的平行四边形法则的数学证明；第三定律是用动量守恒来表示的平衡定律。 第一百五十六章 柯尼希定理(理论力学) johann samuel k?nig在思索多个粒子运动的系统。 柯尼希在想，如果知道了多个粒子各自的动能，然后把这些粒子看成一个系统，应该如何判断这个系统的动能。 如果直接相加，是否合理呢？ 不合理，一个系统的动能需要严格规定，这样才会有价值。 首先想要确定这个系统所在的质心，这个质心的运动方式对整个系统必然有最重要的作用。 如果考虑的质心的动能，基本上可以认定这个系统大致的外在动能了。 但是还有其他粒子会对这个系统有各种各样的干扰，那该怎么办？ 只能是考虑其他粒子对于总体系统的干扰，之后剩余的值就是整个系统的动能。 那么柯尼希考虑清楚了，质点系的总动能等于质心的动能，加上各质点相对于质心平动坐标系运动所具有的动能。 柯尼希定理（konig''s theorem）是质点系运动学、物理学中的一个基本定理。这条定理的正确性与质心系是不是惯系无关。 在物理学中，柯尼希定理是一个与质心系下能量有关的定理。 第一百五十七章 卡文迪许测引力常数(力学) 牛顿提出了万有引力公式，但是没有把比例系数找出来。 卡文迪许使用扭称实验巧妙的测出了引力常数的大致大小。 以此称出了地球的重量。 但是卡文迪许陷入了深深的思考，引力常数是不是一个确定的数字？ 如果是一个确定不变的数字，那这个数字多半是无理数，是否有一种数学公式可以算出这种无理数？如何做到这一点。 既然π可以用多种级数表示出来，那引力常数如何可以使用一种物理学上的构造来完成对于引力常数的级数表示？ 如果引力常数不是一个固定的数字，那是不是在某些特定区域会有不同的变化？ 如果会有变化的话，那牛顿的万有引力公式肯定是不对的，那么引力与质量成正比，与距离的平方成反比的这个法则也就不对了，而是使用另外一种更加准确的方程来表示了。 那么卡位迪许的常数也就没有了意义。 也或许表示卡位迪许常数的级数，本身就反应了万有引力定律的错误性。 第一百五十八章 贝叶斯定理(概率与统计) 托马斯贝叶斯是爱丁堡大学的学生。 贝叶斯在数学方面主要研究概率论。 他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。 1763年发表了这方面的论着，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。 贝叶斯的另一着作《机会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。 假定b1，b2，……是某个过程的若干可能的前提，则p(bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为验前概率；如果这个过程得到了一个结果a，那么贝叶斯公式提供了我们根据a的出现而对前提条件做出新评价的方法；p(biia)既是对前提bi的出现概率的重新认识，称 p(biia)为验后概率’经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。 贝叶斯定理是关于随机事件a和b的条件概率的一则定理。其中p(a|b)是在b发生的情况下a发生的可能性。 贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1761)曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设h[1]，h[2]…，h[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率p(h[i])，i=1，2，…，n，现观察到某事件a与h[1]，h[2]…，h[n]相伴随机出现，且已知条件概率p(a|h[i])，求p(h[i]|a)。 第一百五十九章 贝叶斯线性回归(概率与统计) 什么是真正的预测未来？ 就是根据当下数据的发展你来找到未来的发展趋势。 当下的数据可以以点的方式写在坐标轴上，如果最后一堆点形成了一个直线的大致分布，那之后的数据也基本上在这直线上。 这个想一想也觉得很简单，可问题是，这些点依旧是一个分布，而不在一个直线上。 就需要求一个直线，尽量的与这样的相关符合。 很简单的想法是，画上去的这个直线尽量在这群点的中心轴上，点在轴的两遍对称分布。 计算的话，就是尽量让所有的点离这个直线距离的和达到最短。 之后，如果预测以后的事情，那这个点几乎就会在这个直线上，最此也不会里这个直线太远。 贝叶斯线性回归是使用统计学中贝叶斯推断方法求解的线性回归模型。 贝叶斯线性回归将线性模型的参数视为随机变量，并通过模型参数，也就是权重系数的先验计算其后验。贝叶斯线性回归可以使用数值方法求解，在一定条件下，也可得到解析型式的后验或其有关统计量。 贝叶斯线性回归具有贝叶斯统计模型的基本性质，可以求解权重系数的概率密度函数，进行在线学习以及基于贝叶斯因子的模型假设检验。 第一百六十章 拉格朗日插值法(拟合) 欧拉让拉格朗日测试某个实验的一堆数据的时候，拉格朗日对欧拉诉苦。 拉格朗日对欧拉说：“我监测的很多数据，但是也有很多空白区。” 欧拉说：“有空白区是很正常的。” 拉格朗日说：“我知道，如果处理很多模型，这些空白就会影响处理方式。” 欧拉说：“那怎么办？” 拉格朗日说：“我在中间填入一些数字，得出一个结果，但不知道会不会那些填入的数字会干扰结果。” 欧拉说：“你用的是什么样的办法，插入的值。” 拉格朗日说：“平均数插入。” 欧拉说：“你这个有时候倒也对，但是你有没有想过，如果数据量足够大，空白足够多，你这种方法也会出现问题？” 拉格朗日发愁的说：“我何尝不知道？空白区足够大的时候，有的地方，按我的判断，是应该有一个函数的曲线分布，如果只按照平均值插入，想着也对不了。” 欧拉说：“对呀，你既然知道，为什么还用平均值插入？你这不是闭着眼睛瞎干嘛！” 拉格朗日说：“那我的好好想想怎么办。” 欧拉说：“你是该想了，本来就是你该干的工作。” 拉格朗日说：“我倒是想出一个办法来，我是根据自己感觉来的。” 欧拉说：“没错，应该抓住自己的感觉，快说说看。” 拉格朗日说：“我测量的这个实验数据，本来就是符合一种函数的。” 欧拉说：“然后呢？” 拉格朗日说：“让这个函数接近这些点，然后在空白区，就填上对应的这个函数值，这样处理数据的结果，肯定不会受到太大影响了。” 欧拉说：“不错，但是你说对接近这些点，如何接近？” 拉格朗日说：“让这些点离这个函数的距离足够近，首先要确定是什么函数。” 欧拉说：“那你怎么确定？” 拉格朗日说：“使用多项式，毕竟很多各种曲线都可以用多项式，来改变其中的参数来确定的。” 欧拉说：“是的，这个问题要好好琢磨。” 拉格朗日不一会儿就写出了这个多项式。 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其着作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。 第一百六十一章 拉格朗日方程(理论力学) 1757年，以拉格朗日为首的一批科学家，在意大利成立了一个数学协会，这是都灵皇家科学院的前身。 1770年，拉格朗日证明了任意正整数可表为四个平方数之和。 1770年，拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》（réflexions sur résolution algébrique des équations），这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换，这项工作导致了群论。 1771年，拉格朗日证明了威尔逊定理（首先由华林（waring）提出但未给出证明），即n是素数当且仅当(n - 1)!+ 1被n整除。 1780年，拉格朗日因为研究行星对彗星轨道的扰动的工作获得了法国科学院的最高奖。 1785年，拉格朗日开始了关于椭圆函数和椭圆积分的工作。 1788年，拉格朗日出版了《分析力学》（mécanique analytique）。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作，值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作，拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。 1797年拉格朗日出版了《解析函数论》。它是第一本研究单变量实变函数理论的论文。它使用现代记号，例如dy\/dx表示导数。 拉格朗日法国数学的状态，能不能依靠数学挣钱？ 拉格朗日受到拿破仑重用后，都明白是他的数学和物理学十分的好。 拉格朗日也确实被人建议过，数学也能成为一个可以赚钱的产业。 但是历史上没有过这样的事情。就算学者们关心数学，也不可能是直接能拿数学知识卖钱的，能想到的顶多是当老师罢了。 但拉格朗日知道数学能卖钱是当老师的意思，而是需要一个有用的创新，推动社会的发展。大家都要善于解决数学问题的热情和能力。这才是数学真正的目的。 这种目的就像是点子公司，想出好的办法解决问题，以此赚钱。 最重要的是，数学家以此赚钱的核心就是卖出自己的知识产权，如果是产权，那就是别人用到的时候，就需要给自己付钱。这就是引用费。 达朗贝尔对拉格朗日说了自己关于对牛顿第二定律的不同理解，朗格朗日也有了自己的新看法。 达朗贝尔说：“我的虚功虚位移都是为了解释静力学的平衡问题的。” 拉格朗日说：“我找到了一个新的方程，把虚功虚位移给结合起来了。”拉格朗日说得就是拉格朗日方程。 达朗贝尔看到拉格朗日方程写的是：l=t-v。开始问：“l是以你自己名字命名的，那t代表什么？v又代表什么？” 拉格朗日说：“说t代表的是系统的动能，v代表系统的势能。” 达朗贝尔说：“你的这个拉格朗日系统l是研究什么的？” 拉格朗日说：“我研究的就是系统的作用力。” 达朗贝尔说：“像我的风格，不过，你如何去研究系统中每个点的力呢？” 拉格朗日说：“里面各个质点的坐标也是广义坐标，里面受到的力也是广义的力。”一边说着，一边写出一个关于广义坐标的二阶微分方程组。继续说：“想知道系统运动规律，则需要对方程进行积分。” 达朗贝尔说：“坐标被动量表示，动量又被坐标表示。感觉互相循环了。” 拉格朗日说：“对于仅仅有广义坐标导数的循环坐标，积分也是循环积分。” 达朗贝尔说：“或许这就是未来的力学，三体问题都无法很好的解决，所以不要指望会有质点力学的精细分析。” 第一百六十二章 拉格朗日乘数法(理论力学) 为了不让自己变成雅各宾党的那些失去理智的人，做出杀害拉瓦锡这种疯狂的举动，成为一个对科学毫不重视的蠢货，拿破仑要开始启用大量懂科学的人来他的机构任职。 对于拿破仑而已，对于绝大多数人来说，很多问题都是难以解决的。世上问题只有4种：历史遗留问题、情绪问题、数学问题、精力问题。其中数学问题才是重中之重，尤其是要用在战争上的。很多问题都可以转化成数学问题，数学问题有时候确实最难解决，很多人碰到复杂的数学问题，往往就会找到借口放弃，而不是因难而上。 拿破仑急需懂数学的人来来武装自己的团队。第一个要吸纳的人才，就是数学天才拉格朗日。 亲自达到拉格朗日的住所后，拉格朗日对这个热心肠的政客进行了招待。 拿破仑说：“用你的肯定的了，你推辞不了，不仅仅是法国，就是整个欧洲人也需要在我们的带领下变得有一个真正的秩序。” 拉格朗日说：“没问题，愿意为你效劳。” 拿破仑说：“然后我还有招纳懂数学的人才，你知不知道如何去培养大量的数学人才？” 拉格朗日说：“我可以去亲自培养，但是学习数学，最重要的还是自己。一个真正的数学家，要懂得自学。” 拿破仑说：“你可以启发他们，让他们变成数学家吗？” 拉格朗日说：“没错，我可以这么做，让很多不懂数学的人，都可以专心做这些。” 拿破仑感兴趣的笑着说：“那太好了，我好奇，你会怎么做？” 拉格朗日说：“其实很简单，不需要去教课，有一种很好的办法，那就是找到一个实际问题，然后再去认真的解决这个实际问题。” 拉格朗日说：“你这么说，我自己都可以变成数学家了。自己要养成对数学迎难而上的习惯，这样自己就可以具备处理事情的强大能力，让很多棘手的问题不再是问题。” 拿破仑说：“一个极其复杂的数学问题，你会把它变得简单吗？” 拉格朗日说：“当然可以，打个比方，比如，一个困难的问题，有n个变量，我们需要把他们都求出来。而求这些变量的时候，又需要k未知个参量来充实这个系统，这些k值就约束了这些系统。这个是不是听起来很麻烦？” 拿破仑说：“没错，听起来确实麻烦，这个可以快速解出来吗？” 拉格朗日说：“其实是我说的麻烦，刚刚那个问题只不过就是一个n加k的无约束化的变量而已。” 拿破仑略有所思的说：“原来是可以这样看问题的！受教了。” 引入拉格朗日乘子建立极值条件，对n个变量分别求偏导对应n个方程，然后加k个约束条件（对应k个拉格朗日乘子）一起构成包含了（n+k）变量的（n+k）个方程的方程组问题，再用方程组求解。 第一百六十三章 拉格朗日群论定理(群论) 拉格朗日对对方程感兴趣的鲁菲尼说：“我突然有个发现，不知道对不对。” 鲁菲尼说：“我知道，你这两天在研究解方程的问题，没有弄力学。” 拉格朗日说：“力学是一辈子的事儿，也不在乎这几天。更何况，方程就是为了解决力学的。” 鲁菲尼说：“方程的问题，无非就是解高次方程。” 拉格朗日说：“肯定的，只是我发现了一种奇特的东西，五次方程恐怕没有解法。” 鲁菲尼说：“可以理解，但是我不能肯定你说的话。毕竟，三次方程的解就有了足够的难度，四次方程以及难的上青天了。五次方程就算有解，恐怕能长的写一本书了。” 拉格朗日说：“我决定貌似不能用代数方法表达出来。” 鲁菲尼说：“胡说！哪里会有这种事情？” 拉格朗日说：“关键是，我还发现了一种奇怪的特征，我想跟你讨论。” 鲁菲尼说：“还有奇怪的？” 拉格朗日说：“我发现2、3、4次方程的解与2、3、4元素的置换有关系。” 说着拉格朗日画出了2、3、4的置换，对鲁菲尼讲解了置换的概念。 鲁菲尼说：“貌似确实有关系，我以前有这样的感觉，但是没有认真注意过，你认为5次置换……” 拉格朗日说：“没错，五次的置换有问题！” 鲁菲尼说：“现在面临着两个问题，第一，五次置换有什么问题，你能说清这个问题吗？第二，五次置换的问题跟5次方程有关系吗？第三，你能用现有的代数学证明出来吗？” 拉格朗日说：“第一，我用第六感能感觉出来，肯定有关系。只是这第二个，有点麻烦。恐怕不能用现有的代数知识来证明。需要引入新的数学工具。” 鲁菲尼说：“如果引入新工具，你的这个新工具就要有严谨性和准确性，不能有让人怀疑的地方。” 拉格朗日说：“姑且叫这个理论为置换理论吧，对于3、4次的置换，他们都要自己的整个的子交换，5次没有这种正规的子交换。” 鲁菲尼说：“什么是子交换？” 拉格朗日说：“像合数有自己的因子一样，交换也有自己的因此，可以做乘除法运算。如果h是有限交换g的子交换，那h的阶整除g的阶。阶就是可以交换数。我试过2、3、4次这些置换的乘除，和对应的置换的乘除，都是成功的。而5次根本就没有2、3、4次这样成功的结构。” 鲁菲尼说：“因为你看到五次方程没有这种正常的子交换，所以，你认定五次方程不会有代数的解法。我认为这个说法还是有些突兀。” 拉格朗日说：“这个问题有复杂，只能交给聪明的后代去做了。” 第一百六十四章 拉格朗日点(天体力学) 拉格朗日叫到拉普拉斯说：“我现在又回归到天体力学了。” 拉普拉斯说：“恭喜，回到真正的老本行了，有新想法吗？” 拉格朗日说：“没有新想法，是不会叫你来聊天的。” 拉普拉斯说：“我就喜欢听你聊新想法，看看我自己发现过没有。” 拉格朗日说：“我在研究地球和太阳之间的力学，假如我们开飞船进入宇宙，会选择在那些地点停歇。” 拉普拉斯说：“这是个好问题，我有发言权，我也考虑过。” 拉格朗日说：“我公布自己结果以前，先听听你的意思。” 拉普拉斯说：“首先，最明显的是太阳和地球之间会有一个点，如果飞船停靠在那里，就不会掉落在地球上和太阳上，那里是太阳和地球之间引力相互抵消的地方。” 拉格朗日说：“你发现了第一个点，叫l1吧。”这是拉格朗日l1点，位于两个天体之间，如果没有行星引力的影响，原本这个位置上的小天体绕恒星的周期会更短，角速度会更快。但是由于行星的存在，小天体运动所受的向心力是恒星和行星引力的合力，由于两个力方向相反，导致小天体的向心力比单纯受到的恒星引力更小，于是这个点上的公转周期变长了，角速度和外面行星公转的角速度一样了，于是小天体相对恒星和行星的位置相对静止了。 拉普拉斯说：“再细细的想，我发现了在太阳和地球的延长线上，地球背对太阳处也有一个停靠点，让飞船与地球相对静止，跟地球一样绕太阳转。” 拉格朗日说：“这个是l2点。” 拉普拉斯说：“还有一个也是在太阳和地球延长线上，太阳背对地球也有一个停靠点，这个停靠也是相对于地球和太阳是静止的。这个停靠带点跟地球公转周期一样。” 拉个朗日说：“这是l3点。”l2和l3，它们在行星轨道的外侧，轨道半径更大，公转角速度本应该更慢，但是受到的合力比单纯的恒星引力更大，于是公转角速度也变大到与行星公转角速度相等了，于是相对行星和恒星也变成了相对静止。 拉格朗日说：“还有呢？” 拉普拉斯说：“暂时就这些了吧，哪里还会有？” 拉格朗日画出了地日系图，也标出了l1，l2，l3这三个点，然后又在这三个点连线的两侧又标出了l4和l5点。这两个点不再恒星和行星的连线上，而是与恒星和行星呈等边三角形。 一边画着，拉格朗日一边说：“这个位置上所受的合力方向刚好指向了恒星和行星的质量中心，而且合力大小刚刚好，公转角速度与行星公转角速度相等，于是这两点也相对恒星和行星静止了。” 拉普拉斯高兴的说：“高明，你这是了不起的发现。” 拉格朗日说：“如果有飞船，在这些地方几乎不需要损耗燃料就可以维持轨道，即便偏离一点点位置，也会在合力的作用下绕着拉格朗日点运动，所需的燃料消耗非常低，特别适合这种需要跟着行星公转一起走的场景。而且对于这种稍微偏一点点的场景，从行星的角度看过去轨道看起来就像绕着拉格朗日点转圈一样，被叫做晕轨道，晕轨道上的飞船避开了恒星和行星连线，飞船与行星之间的无线电通信还不受恒星的影响。” 拉普拉斯说：“没错，理论依据极其完善，现在我们就差一个宇宙飞船了。” 拉格朗日说：“宇宙飞船以后肯定会有的，只是不要等他们有了，我们数学家还不能让他们科学的飞行。” 拉普拉斯说：“不仅如此，就是小行星和陨石肯定在这些地带聚集的要多些。” 之后，天文学家发现拉格朗日点出过着有很多稳定的陨石带。 第一百六十五章 勒让德素数方程(数论) a.-m.勒让德和c.f.高斯猜测即通常所称的素数定理。 它是素数分布理论的中心定理。 素数定理是素数分布理论的中心定理，是关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数。 例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。 当x→∞时，π(x)～li(x)或π(x)～x\/ln(x)。 高斯画图后发现x越大，π(x)与x的比值越接近于0；2x越大，π(x)与x\/lnx的比值越接近于1。 后来勒让德写出了π(x)~x\/(alnx+b)，也就是当x趋于∞的时候，π(x)趋近等于x\/(alnx+b)。 而后来的切比雪夫函数也对这个定理进行的确定。 第一百六十六章 勒让德和椭圆曲线(椭圆曲线) 约公元前225年阿波罗尼奥斯（apollonius）撰写了《圆锥曲线论》（conics），书中引入了术语“抛物线”，“椭圆”和“双曲线”。 约公元前200年戴可利斯（diocles）撰写了《论燃烧镜》（on burning mirrors），收集了16个几何命题，大部分是关于圆锥曲线的证明。 约1010年比鲁尼（al-biruni）撰写了许多科学专题。他的数学工作涵盖算术，级数求和，组合分析，三法则，无理数，比例理论，代数定义，代数方程解法，几何，阿基米德定理，三等分角及其他不能用尺规作图解决的问题，圆锥曲线，立体几何，球极平面投影，三角学，平面中的正弦定理，以及求解球面三角形。 1072年莪默?伽亚谟（al-khayyami，通常称为omar khayyam，金庸小说《倚天屠龙记》中小昭唱过他的诗句）撰写了《代数问题的论证》（treatise on demonstration of problems of algebra），其中包含了具有通过圆锥曲线相交找到几何解的三次方程的完整分类。他测量一年的长度为365.天，结果非常准确。 1615年开普勒出版了《求酒桶体积之新法》（nova stereometria doliorum vinarorum），考察酒桶的容积，表面积和圆锥曲线。他在1613年他的婚典上首次产生这个想法。他的方法是微积分的早期应用。 1640年帕斯卡出版了《圆锥曲线专论》（essay pour les coniques）。 1649年德博纳（de beaune）撰写了《简明注释》（notes brièves），它包含了很多“笛卡尔几何”的成果，特别是给出了现在熟知的双曲线，抛物线，椭圆的方程。 1650年德?维特（de witt）完成了《曲线论》(elementa curvarum linearum)。它是首次对直线和圆锥曲线的解析几何的系统性发展。这本书直到1661年才发表，出现在凡司顿的主要着作的附录中。 1655年布隆克尔（brouncker）给出了4\/π的一个连分数展开。他也给出了双曲线的求积法，这个成果在三年后发表。 1667年詹姆斯?格雷戈里（james gregory）出版了《论圆和双曲线的求积》(vera circuli et hyperbe quadrature)，为无穷小几何形成了严格的基础。 1669年雷恩(wren)发表了他的成果：旋转双曲面是一个直纹面。 1675年拉海尔 hire）出版了《圆锥曲线》（sectiones conicae），这是关于圆锥曲线的重要着作。 勒让德对拉格朗日说：“求圆形的弧长，不是难事儿吧？” 拉格朗日说：“不是难事，几乎可以心算出来。” 勒让德说：“椭圆的长度呢？” 拉格朗日说：“我曾经想过这个问题，但是我不会，因为不均匀。” 勒让德写出了椭圆积分方程，给拉格朗日看，拉格朗日看了良久，对勒让德说：“求椭圆型弧长的方程？” 勒让德点点头。 拉格朗日指着其中的一个隐函数说：“可是，看着这些方程，我心里没有太大把握。其中这函数表示的是？” 勒让德说：“这是一个三次多项式。” 拉格朗日说：“为什么不敢写出来？” 勒让德说：“还没把握，也许是四次。” 拉格朗日笑着说：“这是个超越方程对不对，你的这种写法也是近似的？不是精确值？” 勒让德说：“没错，但是走到这一步已经很不容易了。” 拉格朗日说：“你最后有没有什么定论？” 勒让德说：“那个隐函数，有三种表示方法，我正在找最正确的办法呢。” 后来阿贝尔将第三种表示方法发扬光大。 第一百六十七章 勒让德最小二乘法(拟合) 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 勒让德给高斯写信说：“如果给你一堆已知的点，让你找到一个函数，尽可能的让这些点让这个函数表示出来，你怎么做？” 高斯说：“这个问题很有趣，同时，我们也应该好好研究它。” 勒让德说：“线性回归，就是让直线接近那群点，这群点尽可能接近到，在距离的分布上呈高斯分布。” 高斯说：“没错，你的意思是，除了直线以外，其他类型的函数也可以这样做吗？” 勒让德说：“确实如此。” 高斯说：“面对一群点，第一任务就是需要找什么样的函数。” 勒让德说：“一般，研究这个问题的时候往往就已经知道是什么函数了。” 高斯说：“那道也是，这种问题，在条件上已经会给出一个函数来。然后你如何去做这种逼近？” 勒让德说：“就跟对待点离线的距离有x方向的和y方向的，然后使用平方和开根号的那样子。让x方向和y方向里曲线的那个对应的切线有这样的距离。” 最小二乘法，又称最小平方法，是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 第一百六十八章 勒让德函数的多项式(微积分) 勒让德教授贝塞尔二阶微分方程相关知识。 贝塞尔说：“你这个多项式是从哪里来的？” 勒让德说：“从勒让德方程推导出来的。” 贝塞尔说：“勒让德方程是从哪里来的？” 勒让德说：“从连带勒让德方程得到的，这个方程在m值为0，也就是在轴对称情况下得到的。在球函数方程分离变量时，可出现连带勒让德方程。” 贝塞尔说：“连带勒让德方程又是什么东西？” 勒让德说：“连带勒让德方程是一个二阶常微分方程。” 贝塞尔说：“二阶常微分方程是这个样子吗？” 贝塞尔说着，写出了方程：y''''+py''+qy=0。 勒让德说：“这是齐次的的二阶常系数线性微分方程。” 勒让德写了方程y''''+py''+qy=f(x)，这个是二阶常系数线性微分方程，对贝塞尔说：“还必须是其中 y1和y2的比值为常数才可以，如果不是常数，就是非齐次的。” 贝塞尔说：“你是研究这些方程解法的吧？一般有哪些方法？” 勒让德说：“有待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。” 贝塞尔说：“二阶常系数线性微分方程如何解呢？” 勒让德说：“先写出特征方程。” 勒让德写出了y''''+py''+qy=0的特征方程r^2+pr+q=0。 然后写出特征方程的解后，然后写出三种条件下的通解： 1.两个不相等的实根：y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 2.两根相等的实根：y=(c1+c2x)e^(r1x) 3.一对共轭复根：r1=a+iβ，r2=a-iβ：y=e^(ax)*(c1cosβx+c2sinβx) 贝塞尔说：“那如何得到非齐次的解？” 勒让德说：“通解等于非齐次方程特解加齐次方程通解。” 贝塞尔说：“这个有什么用吗？” 勒让德说：“在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。” 第一百六十九章 勒让德变换(微积分) 贝塞尔发愁的对勒让德说：“你的那个勒让德变换，我就没看懂是什么意思！” 勒让德说：“其实数学上的变换我认为是没有所谓“本质“的理解方法或者正确的理解角度.代数本身是没有具体内涵的，它只有性质，你可以研究它的性质，所谓直观不过是我们把它套用在某个体系里然后让你觉得“噢，这就很显然会有这种性质了.“理解角度不唯一，在某些方面可能某个角度处理起来会很巧妙，但总体来看各个观点应该是没有明显的优劣之分的。” 贝塞尔说：“你的意思是只是换了个变量来研究的？” 勒让德说：“是的。” 贝塞尔说：“如何换的？” 勒让德说：“用的仅仅是基础的微积分只是而已。” 勒让德说着，写出了一个多元的求全微分的方程。 然后使用y代替偏微分，写成了简单形式。 勒让德说：“这里使用莱布尼茨微分乘积展开法则。” 然后勒让德把上面的方程写出了一个政府号交通和x求微分和y求微分的形式出来。 然后被负号移到等号坐标变成正，剩下的正号留在等式的右边。 然后把左边的形式规定成了g（y1，y2，y3，……）这样的形式，得到新函数。 勒让德说：“这里蕴含了跟多元的求全微分的方程一样的信息。” 贝塞尔说：“看起来不难呀，但这也做就是为了换个角度去观察吗？” 勒让德说：“是的，研究很多模型的时候，我们就会给一个方程换变量。力学和热学中经常有方程需要改变变量，同时也不破坏原来的全微分方程，所以会用到这个。” 第一百七十章 傅里叶的热学理论(级数) 1807年傅立叶（fourier）发现了用一系列三角函数之和来表示连续函数的方法，并在一篇提交到法国科学院的论文《固体上的热传导》（on the propagation of heat in solid bodies）中使用了这个方法。 傅立叶激动而又紧张的将自己写好的论文交给眼前的重量级人物，就是巴黎科学院的拉格朗日、拉普拉斯和勒让德。 傅立叶跟着拿破仑在埃及打仗的时候都没这么紧张，因为这是傅立叶的一个伟大的灵感。 勒让德皱眉的看着论文上那一个个的三角函数的式子，对傅立叶说：“简单的说明一下你的论文，说了些什么？” 傅立叶说：“是固体的一种热传导方程，任何一个种形状的任意材料的固体。” 拉格朗日看着傅立叶在比划，连忙摆手说：“我知道你的意思，你是找到了一种热传导的公式是吗？” 傅立叶一下没反应过来，亲亲的‘嗯’了一声。 拉格朗日说：“我看到你这个积分方程等于很多个三角函数的正弦和余弦，怎么会这个样子？你怎么会这么想问题？” 傅立叶激动而紧张的说：“嗯，没错，我这个论文的核心就是任何一个方程都会被很多三角函数说表示。” 拉普拉斯突然抬头，眼睛直盯盯的看着傅立叶，好像看出了什么不同寻常的东西。 拉普拉斯说：“是任何一个？不是某一个？” 傅立叶使劲点点头。 拉格朗日说：“胡闹，你拿上一大堆的各种花哨的正弦和余弦函数来表示一切东西，但是你忽略了一个最基本的常识。就是你无法兑出一个尖点。” 拉格朗日起身拉出黑白，直接画出了平直波形图，指着图上尖点的地方说：“三角函数可以弄出这个尖尖的地方吗？” 拉普拉斯对拉格朗日说：“我看到了无穷的符号，要是有无穷个，那就算可以了。” 勒让德笑着说：“真是一个大胆想想法，想用三角函数统治世界，真是太可爱了。说说看为什么要这样。” 傅立叶想着仔细的说：“这样是为了找对应的某些三角函数分别用了多少个，会形成一种谱。这个谱可是识别各种各样的函数。” 拉格朗日有些漫不经心的对傅立叶说：“也就是说，跟什么狗屁热学关系不大，就是借助了热学的平台，说了说你有三角函数统治一切的想法对吧？” 傅立叶看着坏笑的拉格朗日，心里凉了半截，毕竟傅立叶是把他视作自己的偶像的。 拉格朗日心里早就注意过傅立叶这个惊奇的文章，只是想嘴上激一些傅立叶，对傅立叶说：“把文章拿回去改改，写规范了再交给我们。你要知道，我们是看着拿破仑阁下的面子上，才有这三个人来配你玩，希望你态度端正些。” 傅立叶拿着自己的文章离开了科学院。 没过几天，拉普拉斯直接找到了傅立叶，对傅立叶说：“我看过了你的文章，有意思，只是一些语句不合理，但是没关系，我可以跟你一起修改一下。” 第一百七十一章 地球及其表层空间温度概述(环境) 傅里叶经常思考，只有地球上有生命吗？其他星球上为什么没有？ 他得出一个结论，跟星球温度十分稳定有关系。 傅里叶与拉普拉斯说：“我知道什么样的星球上，生命才会稳定。” 拉普拉斯说：“条件太多了，引力、温度和一些物质的分布。” 傅里叶说：“今天就从温度的角度上来说。” 拉普拉斯说：“地球上虽然有春夏秋冬四季，但是总体上温度还是比较稳定的。除了大的例如冰河时代这样的时代，绝大部分还是比较正常的。” 傅里叶说：“知道为什么温度会如此稳定吗？” 拉普拉斯说：“因为地球离太阳位置合适？” 傅里叶说：“这是其中之一，还有一个更重要的原因是地球上的大气可以存储能量。” 拉普拉斯说：“地球还是把大量热量反射会太空了，这是我个人的感觉。” 傅里叶说：“虽然如此，但大气层还是拦下了其中的一部分并将其重新反射回地球表面。” 拉普拉斯说：“那样的热量多吗？” 傅里叶说：“占总比例是不多，但是对我们来说十分关键了。如果昼夜温差太大，我们生物肯定是受不了的。” 拉普拉斯说：“需要一个模型来解释这一切才对。” 傅里叶说：“将此比作一个巨大的钟形容器，顶端由云和气体构成，能够保留足够的热量，使得生命的存在成为可能。但是如果温度再高一些，我们生物也会有危害，只不过我还不知道温室气体都有哪些了。” 他的论文《地球及其表层空间温度概述》发表于1824年。当时这篇论文没有被看成是他的最佳之作，直到19世纪末才被人们重新记起。 第一百七十二章 拉普拉斯变换(级数) 傅立叶很高兴，看到了同样是自己偶像的拉普拉斯如此热情的找到了自己，并且要主动给自己修改文章。 傅立叶羞涩的说：“谢谢你，我写的乱。” “没关系，但我有一个新想法。”拉普拉斯对傅立叶说。 傅立叶说：“从我这个方程中得到的吗？” 拉普拉斯说：“当然了。你知道泰勒公式和欧拉方程吧。” 傅立叶说：“没错。” “还是用e来表示好，三角函数需要考虑角度的变化，有些麻烦。用你的理论结合泰勒级数和欧拉方程这样的公式直接套入到傅立叶变换之中。”拉普拉斯说。 傅立叶笑着说：“说的有理，但是e不好看，我看不出这里会有什么特别的优势。” “直接用自然对数底来表示，看起来也很简洁明了。最重要的是，很多积分直接的复杂运算，在经过用e的变换之后，都转化成了简单的加减乘数运算了。我这种办法，变得更容易接触积分方程，只需要把不同形式的初等函数都表示成拉普拉斯变换的公式记下来就可以了。”拉普拉斯滔滔不绝的说。 傅立叶对拉普拉斯所说的这个变换的神奇性反应了一会儿，高兴的说：“没错，果真如此，这可是个伟大的革命呀。但是这个可是你发现的，这只能叫拉普拉斯变换了。” 拉普拉斯说：“祝我们合作愉快，你说谁的文章该先发表？” 傅立叶笑着说：“谁先发表也是一样的，本来就是相同的东西。” 而帮助傅立叶修改好文章的四年后，也就是在1811年，傅立叶再次提交给科学院自己的论文《热的解析理论》。在1822年，它使得傅立叶分析的技术被广泛地利用，这将广泛应用于数学和整个科学领域。 而这一次大家都接收了他的文章，并且获得了大奖。但是傅立叶的文章没有发表。 而之后拉普拉斯用自己敏锐的洞察力，知道了傅立叶级数之后，得到了名垂青史的拉普拉斯变换。 拉普拉斯变换被发明后，有很多人认为他是踩在傅立叶的头顶上的，但是没有人敢否认这个伟大的发现。 1906年，贝特曼（bateman）将拉普拉斯变换应用于积分方程。 1907年，里斯（riesz）证明了关于希尔伯特空间上傅立叶分析的“里斯-费舍尔定理”。 1948年，施瓦茨（schwartz）出版了《函数、微商、傅里叶变换概念的推广及其在数学物理中的应用》（généralisation de notion de fonction， de dérivation， de transformation de fourier et applications mathématiques et physiques），这是他关于广义函数论的第一篇重要出版物。 1965年，杜奇（tukey）与库利（cooley）发表了一篇论文，介绍了快速傅立叶变换算法。 1978年，费夫曼（fefferman）由于他在偏微分方程、傅立叶分析，特别是收敛性、乘数算子、发散性、奇异积分与“哈代空间”的工作获得菲尔兹奖。 第一百七十三章 拉普拉斯算子(微分算子) 1796年拉普拉斯ce）在《宇宙系统论》（exposition du systeme du monde）提出了着名的星云假说，它将太阳系视为起源于大型、扁平和缓慢旋转的炽热气体的收缩和冷却。 1799年拉普拉斯出版了五卷本《天体力学》（traité de mécanique céleste）的第一卷。它应用微积分研究天体的轨道，并检验太阳系的稳定性。 1812年拉普拉斯ce）出版了两卷本《概率的解析理论》（théorie analytique des probabilités）。第一卷研究了生成函数以及概率论中出现的各种表达式的逼近。第二卷包含了拉普拉斯的概率定义、贝叶斯法则与数学期望。 1818年亚德里安找到了拉普拉斯。 亚德里安正在考虑地球形态以及不同纬度的重力的研究。对于地球引力场的本质问题来了兴趣。 亚德里安说：“引力在地球各个同的地方，是不一定相等的，因为地球各处高度不同。” 拉普拉斯肯定道：“没错，我们不需要测量每个地方的重力大小，指导地球各个地方海拔的高度，就可以很轻松的知道地球各个地方的重力大小。” 亚德里安说：“那就需要一种引力场的函数。” 拉普拉斯说：“可以求得地球对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，这个方程直接反应的就是离地球地心不同位置的重力加速度，所以对x，y，z三个方向求二阶导数，对位置求二阶导数就是引力的强度。” 亚德里安说：“这个方程反应是地球中心由内而外发射的力吗？” 拉普拉斯说：“没错，可以这样理解，这是一种发散力。同时也可以看做是梯度力，在不同的梯度，力的势不一样。” 第一百七十四章 拉普拉斯方程函数(流体力学) 拉普拉斯想去见大数学家达朗贝尔，达朗贝尔因为他是民科，拒绝见。 随后拉普拉斯把自己的论文寄给了达朗贝尔。 达朗贝尔看后，看到这个论文研究关于液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式，觉得太非凡了，想亲自见见他。 达朗贝尔见了拉普拉斯对拉普拉斯说：“我看到你研究曲面了，这个很有挑战性。” 拉普拉斯说：“我们要找到曲面的真正特征，从这个特征上去准确研究曲面。” 达朗贝尔说：“你找到的是什么特征？” 拉普拉斯说：“通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线。” 达朗贝尔说：“那需要知道什么样的曲率呢？” 拉普拉斯说：“在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。” 达朗贝尔说：“知道r1和r2有什么用？” 拉普拉斯说：“若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△p= p1- p2，称附加压强。” 拉普拉斯-贝尔特拉米算子。 拉普拉斯算子被定义为欧式空间的二阶微分算子，定义为梯度和散度。 也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子。 椭圆型偏微分方程是偏微分方程的一个类型，简称椭圆型方程。 描述物理中的平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等。 也可以推广都非欧几何空间，这时有可能是椭圆型算子、双曲型算子，或超双曲型算子。 闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变成达朗贝尔算子。 达朗贝尔算子通常用了表达克莱因-高登方程以及思维波动方程。 第一百七十五章 拉普拉斯母函数 拉普拉斯发现了一种新的函数生产方法。 就是给一个多项式，这个多项式的系数是数列，所以只需要知道这个数列，就可以知道这个多项式。 而且要知道这个数列之后，不同的多项式方程直接可以相互进行计算了。 加减乘除等不在话下。 而且表示方法也变得方便了。 母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）。 赫伯特·唯尔夫说：“提到母函数，可能大部分人对这个概念会感到十分陌生，这里我们先给大家一段概念性的解释。母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。” 第一百七十六章 拉普拉斯极限(椭圆方程) 开普勒方程描述物体在一离心率为e的椭圆轨道上，其平近点角m和偏近点角e之间的关系，e无法以初等函数表示。 因为无法求椭圆面积和弧长，只能找辅助圆与椭圆那些角度的关系。 拉普拉斯极限，适用领域范围是描述物体在一离心率为e的椭圆轨道上，含义是级数解收敛的最大离心率。 拉普拉斯极限是指可以使开普勒方程的级数解收敛的最大离心率，其数值约为 0. . 第一百七十七章 拉普拉斯矩阵(图论) 拉普拉斯知道了研究图的重要性，但是对于图的表示，需要有一个确定的方法。 如何才能用一串数字，来表示图？ 确定的数字，就是说明这样的图，而不会有混淆，或者两个看似不同的图，可以看成是相同的。 之后，图之间的运算，值需要用这串数字来运算，就可以轻松实现。哪怕过程难，但也是精确确定的。 拉普拉斯开始使用矩阵的方式来确定图。 一个图，上面标好序号，这些序号，与那些序号连接就可以确定。 确定之后，写在矩阵中，相连用1表示，没有联系用0表示。 如果是序号2节点和4节点向量，那在这个矩阵中的2行4列，和4行2列都是用1来表示的。 之后，一个只含0和1的矩阵就出现了，它可以表示出当下图的一切情况。 对于矩阵，第一时间肯定是计算特征值，之后就会出现特征数这样的重要信息。 之后就可以以此特征数来表示这些矩阵，之后就可以让不同的矩阵之间进行计算，而且可以进行分类，同特征的图，可以分成一类，名字就叫做同特征类图。 第一百七十八章 拉普拉斯怪兽(哲学) 突然，拉普拉斯看到了一个神兽，像斯芬克斯一样的样子，吓了一跳。 怪兽对拉普拉斯说：“你好，拉普拉斯先生。” 拉普拉斯恐慌的说：“你是谁？” 怪兽说：“你连我都不认识了，是你创造了我呀！” 拉普拉斯说：“你别胡说，我创造你干什么？” 怪兽说：“你说好的，我可以对天地万物乃至整个宇宙，每个原子分子，每一个角落的运动状态都了如指掌，同时根据这些原子分子当下的状态，预测出未来要发生的事情。” 拉普拉斯笑着说：“奥！原来是你呀，你能预测出我未来会怎么样吗？” 怪兽说：“我刚刚已经预测出，你现在很吃惊了。而且你未来肯定会自我怀疑，创造我是不是不合理的，因为我不能预测自身，这是个悖论。” 拉普拉斯说：“你猜对了，我正准备这样想呢。” 怪兽说：“你创造了我，但是你说我可以了解和预测世界，我是一个先知。可以说你创造了先知，也可以说你是先知的吧。” 拉普拉斯笑着说：“你别误会，我只是一个假设，你是需要真正达到了解全世界的每个角落的能力才可以。换而言之，你可以吗？” 怪兽说：“你无非就是怀疑我的能力，说我不可能会了解全世界，所以我不该存在。” 拉普拉斯说：“你想想看，你在了解的时候，就在改变着这个世界，那还不是乱套吗？” 怪兽说：“我不需要改变这个世界，就可以预测。” 拉普拉斯说：“不可能，不了解，如何能做预测？” 怪兽说：“我可以这样说，我就是知道，我什么都知道，但告诉你会改变知道的这一切，所以就是知道未来发生的任何一件事，我也不能告诉你，以免你毁了我的杰作。你说，你倒霉不倒霉？” 拉普拉斯说：“跟我偷奸耍滑是吧！你还是得告诉我，同时，你必须还得具备，你告诉我知道未来要发生什么，我想破坏这个事情的过程中反而印证你预言的能力。这才能证明，你是我创造出来的。否则，你别告诉我你是先知。” 怪兽说：“你创造了我，但你不是先知，你只是凡人，只是凡人中聪明的那种。我没必要听你的，我能预测的就是，你一会儿会怀疑我，一会儿会认为我还是存在的。你就是这样一个自我矛盾的人。” 拉普拉斯说：“你存在吗？” 怪兽说：“没错，我存在。” 拉普拉斯醒了，他才知道这是个梦。 第一百七十九章 天体力学(力学) 托勒密说：“我写了《天文学大全》。” 开普勒说：“我从星图里得到开普勒三定律。” 牛顿说：“我发现万有引力，知道引力如何支配宇宙。” 拉普拉斯：“我可以解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂。” 拉普拉斯说：“我开始了太阳系稳定性问题的研究。” 拉普拉斯继续说：“1784～1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即着名的拉普拉斯方程。” 拉普拉斯继续说：“1786年证明行星轨道的偏心率和倾角总保持很小和恒定，能自动调整，即摄动效应是守恒和周期性的，不会积累也不会消解。” 拉普拉斯继续说：“1787年发现月球的加速度同地球轨道的偏心率有关，从理论上解决了太阳系动态中观测到的最后一个反常问题。” 拉普拉斯继续说：“1796年我的着作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。” 爱因斯坦说：“我的相对论解释了水星近日点异常的进动之后，天文学家了解到牛顿力学的准确度依然不够。今天，我们不仅使用一般相对论来解释双脉冲星的轨道，也尝试用它来解释和证明重力辐射的存在，那将是可以获得诺贝尔奖的发现。” 第一百八十章 拉普拉斯与拉瓦锡测比热(热学) 拉普拉斯同拉瓦锡在一起工作了一个时期，拉瓦锡很看好这个难得的天才。 他们的工作是一起去测定许多物质的比热。 比热这个概念是18世纪苏格兰的物理学家兼化学家j.布莱克发现的。 指质量相同的不同物质，上升到相同温度所需的热量不同，而提出了比热容的概念。 他们测定了许多物质的比热。 两个人找到能想到的东西，比如冰、水、铅、金、铂、汞、银、铜、黄铜、铁、钢、钻石、玻璃、陶瓷、砖、石棉、石墨、软木塞、油、石蜡、汽油、乙醇。 水的比热较大，金属的比热更小一些。 拉瓦锡怀疑的对拉普拉斯说：“水是最高的吗？没有比水高的吗？” 拉普拉斯说：“目前来看只能是这样了，想想看到底还有什么东西？” 拉瓦锡说：“我想不到了，水的地位太高，我暂时想不出来了，能想出来赶紧告诉我。” 1780年，拉普拉斯和拉瓦锡两人证明了将一种化合物分解为其组成元素所需的热量就等于这些元素形成该化合物时所放出的热量。这可以看作是热化学的开端，而且，它也是继布拉克关于潜热的研究工作之后向能量守恒定律迈进的又一个里程碑，60年后这个定律终于瓜熟蒂落地诞生了。 拉瓦锡虽然测量出来了，但是他感兴趣的是，为什么会有不同的比热？ “难道是因为分子结构不同，所以需要对特定物质的加热程度不同？” 拉瓦锡想水的比热很高是因为水分子的特殊形状导致的？水分子的堆叠让水分子难以轻易被加热而产生分子的震动？而水分子震动起来后，又难以短时间快速停止？ 那水的分子为何会有这种特殊结构。 后来，瓦拉斯代表的贵族派，由于路易十六被推翻，他也被愤怒的雅各宾化作给烟草商掺假的邪恶政客。 之后，拉瓦锡被送上断头台，被砍头。 在砍头前，拉瓦锡让自己的朋友数数自己眨眼的次数，来判断被砍大脑还能留存多久的意识，朋友照做了，拉瓦锡脑袋被砍之后，朋友数拉瓦锡眨眼十一次。这是拉瓦锡对科学的最后一个贡献。 拉格朗日曾经劝阻雅各宾党人，放过拉瓦锡这种人才，雅各宾党的人说：“我们不需要科学家，我们需要对革命有推动力的人，拉瓦锡必须死。” 拉瓦锡死后，拉格朗日说：“砍头容易，但这么好的大脑很难再长出来了。” 拉普拉斯则见风使舵，加入雅各宾党，有加入复辟党，又追随拿破仑，为其军事上的数学应用提供帮助。拿破仑虽然敬重拉普拉斯的才华，但是也嘲笑其见风使舵的性格。拿破仑笑说：“拉普拉斯把无穷小量精神带到内阁里。” 但是拉普拉斯的工作没有因为法国动荡的政治而中断，搞得还是有声有色，很多各种军官都因为他有很强的数学应用军事的才能，也不找他的麻烦。 第一百八十一章 最低温度的发现(热学) 1702年，物理学家纪尧姆·阿蒙顿，改进的温度计，测出最低温度在零下240摄氏度左右。 到了1785年，法国物理学家雅克·查尔斯，研究温度变化对气体压强和体积的影响。 在气体体积不变的基础上，温度每降低1摄氏度，压强就会降低一个数值，而这个数值刚好说压强在0c的1\/273这么多。 以此推算，当温度到达-273c时，气体压强为0，直接变成真空状态。 所以-273c是现实中无法达到的理论数值。 后来物理学家开尔文提出分子运动停止，压强就会变成0。 第一百八十二章 裴蜀定理(数论) 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。 裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x以及 y 的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）： ax + by = m 有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。 例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有（-3）x12 + 1x42 = 6及4x12 +(-1）x42 = 6。 特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。 裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。 第一百八十三章 蒙日圆(椭圆方程) 蒙日对着椭圆型看，容易看出，在长半轴两个端点和短半轴两个端点处的四个切线，很容易做出一个矩形，矩形的中心也在这个椭圆的中心。 那么也可以算作这个矩形四个端点在以那个中心，对角线的一半为半径的圆上。 蒙日突然奇想，他想看看任意相互垂直切线交点，是否都在同一个圆上，这个圆就是刚刚那个矩形四个点所在的圆？ 结果发现果然如此。 在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆。 而如果在双曲线上，也能找到这么一种圆，只不过对于的半径是长半轴和短半轴的平方差。 在这样的一个角度上看，椭圆和双曲线本质上是离不开圆的。 这只是角度之一，而不是唯一的角度。 除此以外还要看焦点距离来看待椭圆与圆直径的特殊关系。 在定义上，也有圆的半径不变，椭圆的两个焦点距离不变，双曲线是两个焦点距离差不变这样的角度也是可以把他们跟圆联系在一起的。 第一百八十四章 黑塞矩阵(与莫尔斯函数有关) 黑塞认为做事情，应该要专一，哪怕是做得少，只要是正确的，慢慢来也是可以的。 做事情要谨慎一些，考虑清楚这个东西要做的意义在哪里。 对于困难的，麻烦的事情也要彻底的完成。 一要一昧的去追求，做了这个再去做那个，结果什么都做不好。 黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家ludwig otto hesse提出，并以其名字命名。是一个特殊的矩阵。 拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹。 黑塞矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。 描述了函数的局部曲率。 黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，牛顿法解决最速度下降问题。 利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。 这些问题都是用泰勒级数展开的，所以很多偏导数。 在工程实际问题的优化设计中， 所列的目标函数往往很复杂， 为了使问题简化， 常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数， 此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。 说白了，可以求多元函数的极值。 第一百八十五章 朗斯基行列式(矩阵) 在数学中，朗斯基行列式（wronskian）名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基，是用于计算微分方程的解空间的函数。 朗斯基找到了一种可以快速确定几个函数是否线性相关的， 在此之前，人们没有这个概念，只是看到方程租中不同的方程，就真的以为不同。 敏锐的欧拉发现如果方程直接线性相关的话，就不是真正意义的两个方程，而是两个方程的不同的形式，甚至是第三个方程是前两个方程的变换。 这样的变换，大家才知道这叫线性相关。 而线性无关的方程，才能是真正意义上的不同的方程。 之后，就需要验证一个方程租，n元n次的，是否可解，首先需要必须都是线性无关的。 朗斯基发现了这种行列式。 可以通过让不同方程之间，求对应方程次数的阶导数，然后形成矩阵，也是行列式，看是否等于0。 如果等于0，这就是线性相关，至少是多个方程之间会相互表示出来。 如果不等于0，就是线性无关，不能相互表示，也就是可以变成基础，基础就是最单元，不同的单元之间不可以相互表示。 特殊的情况是，等于0的，不见得一定是线性无关系，但不等于0的一定是线性无关。 第一百八十六章 范德蒙行列式(矩阵) 一个e阶的范德蒙行列式由e个数c?，c?，…，c?决定，它的第1行全部都是1，也可以认为是c?，c?，…，c?各个数的0次幂，它的第2行就是c?，c?，…，c?的一次幂，它的第3行是c?，c?，…，c?的二次幂，它的第4行是c?，c?，…，c?的三次幂，…，直到第e行是c?，c?，…，c?的e-1次幂。 范德蒙发现这样的一种行列式除了有相对简单的解法以外，还发现它有一种用途。 首先它是基本的斜对称多项式。 斜对称多项式是矩阵中很常见的矩阵多项式。 范德蒙发现任何一个斜对称多项式均可表示为基本斜对称多项式和一个对称多项式的乘积。 其中对称多项式，指的是把多元多项式其中任何两个元互换，所得结果不变。如x*x+y*y+z*z、xy+yz+zx这样的式子。 这样就可以方便的研究斜对称多项式了。 第一百八十七章 斯莱特行列式(矩阵) 斯莱特开始考虑关于多个粒子如何去研究？ 由于三体问题，凡是超过2体的粒子系统，就会变成一种，无解的力学运动问题。 对于以上的粒子群问题，那一用现有的数学工具精确计算那些粒子轨道。 如果没有什么意外的话，这个困难的问题就没人管了。 但是斯莱特发现，要是在量子力学中，还是要被迫研究这种问题。 而这种问题出现在原子中，一个原子核，核外有一堆围绕它的电子，形成了点子云，也就是量子力学中经常提到的波函数。 还好在，在微观粒子中，会有量子化这样的东西束缚各种粒子这些运动，所以对应的原子上的电子，总体还是有一种规律，不会乱到实在没办法弄清它下一步该去哪里。 虽然有海森堡不可测原理在，但也好太多了。 斯莱特想用自己所学，来规范计算关于原子中一群电子的函数。 这就是斯莱特行列式。 这是多电子体系波函数的一种表达方式。 这种形式的波函数可以满足对多电子波函数的反对称要求。 即所谓泡利原理：交换体系中任意两个电子的坐标，则波函数的符号将会反转。 在量子化学中，所有基于分子轨道理论的计算方法都用斯莱特行列式的形式来表示多电子体系的波函数。 第一百八十八章 狄利克雷函数(反常积分) 狄利克雷对勒让德说：“我发现了一种在实数范围内，值域不连续的函数。” 狄利克雷写出这个狄利克雷函数，勒让德看到这个函数有两个项求极限，一个是πx前的阶乘k!求极限，一个是k!πx上的2j中的j求极限。k求极限是在余弦函数之外的。 勒让德说：“这个函数处处不连续，那是不是都画不出来？” 狄利克雷说：“没错这个函数图像画不出，但是客观存在，还是个偶函数，值域是从0到1。” 勒让德说：“我看这样的函数恐怕连周期都没有？” 狄利克雷说：“以任意正有理数为其周期，无最小正周期。” 勒让德说：“我终于知道了，这个函数处处不连续，所以处处不可求导，所以也处处不可以积分，与x所包的面积大小也是一个谜。” 狄利克雷说：“没错，以现有的微积分只是，没办法积分。” 勒让德说：“但是目测也可以得到大小。” 狄利克雷说：“那只是知道个大概，没办法对此精确计算的。” 后来一个叫勒贝格的人改变了原有的黎曼积分方式，从竖形积分变成横向积分，解决了这一问题。在单位区间[0，1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间以及r上甚至任何r的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ） 第一百八十九章 狄利克雷边界条件问题(变分法) 狄利克雷对泊松说：“加入一个巨大的铁板，铁板一个部分的温度已经固定，那么温度会传导扩散到铁板的四面八方。最后会稳定在一个值内，不会在发生任何改变。如何去求各个地方的温度呢？” 泊松说：“这种热力的传导是复合偏微分方程的，所以确定热力的偏微分的分布情况即可。” 狄利克雷说：“问题就有意思在这里，这个形状有关系。如果这个铁片长度不同，那么热的分布也会不太一样，如果铁片较短，那么边缘处会稍微热一点点，如果铁片较远，那么边缘处会相对冷一些。如果铁片的长度为无限远，在无限远处会接近为最低的温度。” 泊松补充道：“接近为常温。” 狄利克雷说：“同时在机械工程和土木工程的梁理论中，梁的一端保持在空间中的固定位置。在静电中，电路的节点保持固定电压。在流体动力学中，粘性流体的防滑条件表明，在固体边界处，流体相对于边界具有零速度。也属于这类问题。” 在数学中，狄利克雷边界条件，为常微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。也叫本质边界条件。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。 狄利克雷问题亦称第一边值问题，是调和函数的一类重要边值问题。 第一类边界条件，是指在热力学中，第一类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。” 此后，延伸出了第二类和第三类边界条件表述。 第二类边界条件即诺依曼边界条件，给出了在边界处解对指定函数的导数或偏导数。例如，泊松方程中的浮动边界条件，电势可以浮动，电场为零。在热力学中，第二类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧热流密度一定。”半无限大物体在导热方向上，当其一侧热流密度一定。数学描述为：q(0，t)= 定值。 第三类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，平板一侧换热系数一定，换热流体的温度一定。”半无限大物体在导热方向上，当其一侧边换热系数一定，换热流体的温度一定。数学描述为：h(0，t)= 定值， tf=0。 第一百九十章 狄利克雷级数判别法(级数) 狄利克雷对拉克鲁瓦说：“我现在也开始研究级数了。” 拉克鲁瓦说：“好像要想成为数学家，没有不研究这个的。” 狄利克雷说：“我以前很多人研究的是各种级数的收敛性。” 拉克鲁瓦兴奋的说：“你要研究级数的发散性？” 狄利克雷说：“当然不是了，我研究的是级数乘积的收敛性。” 拉克鲁瓦有些失望的说：“你的意思是，两个收敛的级数，他每个项乘起来，也是收敛的吗？” 狄利克雷说：“虽差不多，但不是。” 拉克鲁瓦说：“这貌似没有太多的新意，两个收敛的级数，乘起来肯定也收敛啊。” 狄利克雷说：“我不是说这个，再说那也不见得呀。” 拉克鲁瓦说：“那是什么？” 狄利克雷说：“a数列并不是收敛的，只是单调递减，在无穷远处接近为0.b数量任意项的和为有界的，a乘以b才能是收敛的。” 拉克鲁瓦说：“有点意思，听起来很保守的样子。” 狄利克雷说：“在反常积分中会有些用。” 狄利克雷判别法是微积分中一条十分重要的判定法则，与阿贝尔判别法合称为a-d判别法。主要用于判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。 第一百九十一章 狄利克雷质数定理(数论) 狄利克雷对chebotarev说：“你知道欧几里得证明质数有无限个吧。” chebotarev说：“当然知道了。” 狄利克雷说：“我可以证明，互为质数的正整数a和d，在a加n乘以d这样的等差数列中，会有无数个质数。也说有无限个质数模d同余a。” chebotarev说：“你证明出来是吧？” 狄利克雷说：“是的。我用狄利克雷级数证明的。同时还能估测质数的分布密度。” chebotarev后来在chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。 第一百九十二章 狄利克雷过程分布(概率与统计) 狄利克雷对比奥说：“我正在想一个深奥的分布问题。就是分布中的分布。” 比奥说：“如何讲？” 狄利克雷说：“假设我手有六个筛子，抛掷后点数为1的次数为h1，点数为2的次数为h2，点数为3的次数为h3，点数为4的次数为h4，点数为5的次数为h5，点数为6的次数为h6。” 比奥说：“每个点数出现的概率为六分之一，这有什么特别呢？” 狄利克雷说：“刚刚那是抛掷第一次，得到一个分布，取名为p1。p1里面分别就是这个六个骰子的点数。” 说完，狄利克雷抛了六个筛子，点数为1，3，4，5，1，2这几个点，写出p1=<2，1，1，1，1，0>这个分布。 比奥说：“然后呢，还抛出第二次？” 狄利克雷说：“可以。” 狄利克雷抛出第二次，点数为2，3，4，5，2，3这几个点，写出p2=<0，2，2，1，1，0>这个分布。 比奥说：“原来，分布中的分布是这个意思的吗？你要按照伯努利无穷那样的抛法，来统计p1，p2，p3等等？” 狄利克雷说：“没错，加入我抛1000次，就要得到p1概率是多少？那我就要知道分布在pi上的分布。而且pi本身就是一个分布。” 比奥说：“所以这就是分布的分布，也是多项式分布的分布。” 第一百九十三章 狄利克雷条件(傅立叶级数) 傅里叶很骄傲的认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数。 虽然很多人都认为有争议，但却没有有力论据。 狄利克雷对傅里叶说：“不是所有的周期信号都可以展开成傅里叶级数。” 傅里叶说：“什么样的不可以。” 狄利克雷说：“周期里带一些古怪的无穷大的，就不可以。” 傅里叶说：“如何的古怪法？” 狄利克雷说：“听说过间断点吧。” 间断点有第一类间断点和第二类间断点： 第一类间断点的左极限和右极限都是存在的，有可去间断点和跳跃间断点。 第二类间断点指函数的左右极限至少有一个不存在，有无穷间断点，振荡间断点，单侧间断点，狄利克雷函数间断点。 傅里叶从没细细考虑过这个，觉得狄利克雷转牛角尖说：“我知道，可去间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗？跳跃间断点难道不可以展开成傅里叶级数吗？” 狄利克雷说：“无穷间断点不可以，单侧间断点不可以。” 狄利克雷话还没说完，傅里叶打断：“等等，还有狄利克雷函数间断点。你这个函数既不连续，有不可导，当然不可以了。”说完二人哈哈大笑。 狄利克雷说：“所以，想要让周期函数能展开成傅里叶级数，要么函数连续，要么只有几个第一类间断点。” 傅里叶说：“是的，我不会去处理第二类间断点这么麻烦的东西。” 狄利克雷说：“在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。” 傅里叶说：“你的意思是，如果是无限个最大值和最小值，我的就处理不过来？” 狄利克雷说：“还有一个条件是，信号是绝对可积的。” 傅里叶说：“还有不可积的周期函数？” 狄利克雷写出了不可积函数，sinx\/x求x积分，sinx^2求x积分等函数。 狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。狄利克雷条件括三方面： （1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的。 第一百九十四章 狄利克雷积分(反常积分) 看着刚刚狄利克雷写的i =∫(0，+∞)(sinx \/ x) dx。 傅里叶继续说：“刚刚你说的不可积，这个按理说是可以求出积分的，只是反常一点罢了。” 狄利克雷突然觉得这个是可以求积分的，此时拉普拉斯突然登门到访对狄利克雷说：“用拉普拉斯变换就可以了。” 三个人赶紧忙活了半天，使用拉普拉斯变化代换了一下里面的变量，然后用简单的微积分计算很快算出积分结果为π\/2. 狄利克雷赶紧寻找，看那些以前看似不可以积分的是不是可以用做一些处理就可以积分了。 狄利克雷经过一阵搜刮之后，得到了反常积分的概念。 反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限或下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分，或称无界函数的反常积分。 第一百九十五章 狄利克雷抽屉原理(组合) 狄利克雷对自己妻子巴托尔特说：“我发现了一个无聊的东西。” 巴托尔特一般很少听说狄利克雷给她讲数学方面的东西，既然说，想必是很好懂的。 巴托尔特说：“尽量说简单一些。” 狄利克雷说：“桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。” 巴托尔特噗嗤一笑说：“这就是你的新发现？” 狄利克雷笑说：“我就说是无聊的东西嘛！” 巴托尔特说：“还有更无聊的吗？” 狄利克雷说：“当然还有，n个鸽巢，kn + 1只鸽子，则至少有一个鸽巢中有k + 1只鸽子。” 巴托尔特说：“这个还可以，好像还有点技术含量，可以解决一些实际的复杂问题。” 狄利克雷说：“把无数还多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体。” 巴托尔特说：“这个也好理解，十分显而易见。” 第一百九十六章 狄利克雷乘积(数论) 戴德金知道自己的老师狄利克雷最近开始研究数论，开始问：“听说你找到了狄利克雷乘积？什么是数论函数？” 狄利克雷说：“是数论函数的乘积。” 戴德金说：“什么是数论函数？” 狄利克雷说：“以正整数为定义域的函数。” 狄利克雷支出这个函数为?(n). 狄利克雷说：“数列an，阶乘n，幂n的λ方，都可以作为数论函数。” 戴德金说：“我之前看过，貌似是是指定义域为正整数、陪域为复数的函数，也成为算术函数。每个算术函数都可视为复数的序列。” 狄利克雷说：“却是如此，我就是让两个数论函数做?1(n)和?2(n)进行卷积，记为?1(n)乘以?2(n)等于?(n)。”一边说，一边写出狄利克雷卷积方程。 第一百九十七章 狄利克雷级数(级数) 狄利克雷找到了黎曼，对黎曼说：“最近大家都在玩各种级数。” 黎曼说：“就是以你名字命名的级数。很多同志都在悄悄的玩。” 狄利克雷说：“你有什么想法，有没有看出什么门道？” 黎曼说：“因为大家玩疯了，所以对于这个级数的理解，超出很很多人的认知。这里肯定有很多新东西。” 狄利克雷总结的说：“首先对定义域扩展到复数域，然后在复数域里找到了很多解。” 黎曼说：“这都是已经是玩剩下的了。” 狄利克雷说：“然后，你还发现什么重要细节吗？” 黎曼说：“平凡的解，已经没有人再去管了。现在我在摸索非平凡解。” 狄利克雷说：“也只有你才这样无聊。” 黎曼说：“此言差矣，不是无聊，而是大有玄机。我怀疑非平凡解的实数部分都在二分之一这条直线上。” 狄利克雷说：“真的假的，你都连这个也解出来了？” 黎曼说：“没有解出来。” 狄利克雷说：“你没解清楚，怎么能乱说。” 黎曼说：“就是一种感觉，不知道对不对，可能所有的非平凡零点都在这个二分之一的轴上。” 狄利克雷说：“那是为什么。” 黎曼说：“要是知道为什么，恐怕对数学来说，是一场重大变革，人类对数学的认识将会更加深刻。” 狄利克雷说：“怎么个深刻法？” 黎曼说：“毕竟这个级数是有一种自然数的排列方式的，虽然是倒数，但是已经带着自然数的影子。” 狄利克雷说：“那把我这个级数改改，比如说加多少，几次方等等。” 黎曼说：“这种改法没有脱离自然数。” 狄利克雷说：“换成斐波那契数列呢？” 黎曼说：“虽然是研究困难了些，但是已经有自然数的影子在里面，我的彻彻底底的消去。” 狄利克雷说：“质数的排列，或者是某些奇怪的数列排列。” 黎曼摇摇头说：“质数的排列，表面上不是自然数，但还是有自然数的骨头在里面。” 狄利克雷苦笑的说：“已经很难排列了，都不好表示。如果彻彻底底的不是自然数排列，消去自然数的任何一个痕迹，那就是随机数排列了，这根本没法排。你想一次说明，这样的排列会得到非平凡零点在原来的二分之一的轴上，再变换出其他的古怪形状。如果你不能好好排列的话，那你这样的级数就更加难以研究。” 黎曼都不想解释二分之一轴上点的分布接近质数分布的事情了，直接说：“我想知道在二分之一上的非平凡零点在等距离的情况下，会得到一种什么样的狄利克雷级数。” 狄利克雷素质黎曼是怪才，他的思想深邃的几乎无以复加了。 黎曼近乎神神叨叨的说：“难道把狄利克雷级数写出质数，或者是质数排布的方式，会出现二分之一轴上的非平凡的解会出现类似自然数整数在数轴上那样的等距排列？” 黎曼都不知道狄利克雷早已离开很久，还在神神叨叨的说：“这样也不是不可以。” 第一百九十八章 狄利克雷核(傅立叶级数) 狄利克雷对黎曼说：“傅立叶分析是个麻烦问题。” 黎曼疑问道：“为什么？” 狄利克雷说：“虽然知道是个强大的方程，但是其中很多问题不好解决。如果让无数个三角函数加起来，不会合成一个函数，有可能是无穷大。” 黎曼说：“所以需要找到一个判定方式。能够肯定当下的傅立叶分析，也就是无穷大的量，加起来是否是无穷大的。” 狄利克雷写下了一个方程，一种三角函数的求和级数，无穷大相加的时候，是否能达到无穷，一目了然。 黎曼笑说：“这样就可快速判定傅立叶级数是否无穷大了。” 第一百九十九章 李普希茨连续映射(微分几何) 李普希茨是德国数学家、物理学家。主要研究数学分析、数论、微分方程、多维几何、力学和物理。 1859年，他发表了关于借助线积分给出贝塞尔函数的渐近展开式的严格研究。 1864年，在研究傅立叶级数收敛性时，给出了以他的姓命名的充分条件。 1876年，他改进了柯西关于常微分方程存在定理的条件。现在这一条件就被称为李普希茨条件。他对n维空间的子空间给出了一些新的结果。 他还是微分不变量研究的创始人之一，在其工作中已出现了共变微分这种运算。 狄利克雷对利普希茨抱有希望，利普希茨听话，而且有才华。 如果让他研究一种重要的细节，肯定是有戏的。 先让利普希茨去研究关于函数映射的问题。 狄利克雷让利普希茨开始研究连续映射的概念。 设x，y为任意两个集合，映射f：x→y，对于x0∈x，有y0=f(x0)，如果对于y0的任意邻域u(y0)，总能找到x0的邻域u(x0)，使得f(u(x0))?u(y0)。则称映射f在点x0是连续的。如果映射f在集合x的每一点都是连续的，则称映射f为x上的连续映射。 奥托·赫尔德和普利希茨都开始研究除了三维坐标系的连续性，还有什么样的连续映射？ 赫尔德说：“度量空间也是可以连续映射的。” 利普希茨说：“不是三维空间那种勾股定理的距离，而是单个变量的差值，就去代表距离。” 赫尔德说：“想要让它变得合法化，是不是需要弄清它是不是连续映射的？” 利普希茨说：“起码先要符合连续映射的条件，要不然，肯定不能这样用。” 赫尔德说：“因变量的差值，是自变量差值的几次方乘以一个常数。” 利普希茨说：“不需要这样，只要一次方即可。” 后来a次方的赫尔德条件，也被称为a阶的利普希茨条件。 之后，弗雷歇开始在1910年考虑抽象空间的连续映射。 利普希茨连续的几何意义是什么？怎么较好的理解它呢？ 以陆地为例。 岛屿：不连续 一般陆地：连续 丘陵：李普希兹连续 悬崖：非李普希兹连续 山包：可导平原：线性 半岛：非凸 想了半天用什么来表达亚连续（semi-continuity），好像只能用瀑布了。稍微具体点的话，李普希兹连续就是说，一块地不仅没有河流什么的玩意儿阻隔，而且这块地上没有特别陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？这就是所谓的李普希兹常数。悬崖的出现导致最陡的地方有“无穷陡”，所以不是李普希兹连续。 利普希茨连续不就是函数上任意两点连线的斜率是有界的吗？也就是斜率不能无穷大。考虑f(x)=sqrt(x)这个函数虽然在(0，+无穷)上一致连续，但是两点间斜率可以无限大，因此不是利普希茨连续。 第二百章 索霍茨基公式(复变函数) 而此刻他对柯西型积分边界值基本公式感兴趣。 他认为这个公式有大用。 柯西积分是在复变函数中，一个光滑曲线上积分。 这种积分与实变函数的积分不一样的，被积分的变量不是那个自变量本身。 而是需要写两个一个变量，写上去，对那个新写的变量求积分。 在积分方程中的比例，是曲线函数比新变量减去原变量的值，也就是一种距离。 在积分方程外除以2πi这样的量，表示其中含着一种圆圈，同时有垂直的虚数单位。 柯西型积分边界值的基本公式。 设l是一条光滑曲线，φ(t)在l上满足赫尔德条件. 在柯西积分中，当z从曲线l的左侧或右侧趋于l上的点t0时，Φ(z)的左侧和右侧边界值Φ+(t0)和Φ–(t0)存在且满足赫尔德条件，并且成立公式为一个边界条件公式。 第二百零一章 赫尔德不等式(不等式) 奥托·赫尔德最初求学于斯图加特理工大学（今斯图加特大学），后于1877年赴柏林，并在利奥波德·克罗内克，卡尔·魏尔斯特拉斯，和恩斯特·库默尔的指导下学习。 另一以赫尔德命名的概念是赫尔德条件（或称赫尔德连续），在包括偏微分方程理论和函数空间理论等数学分析的许多领域中有应用。 在研究向量的时候，赫尔德发现，n维空间中，两个向量的夹角的余弦值对不不超过1。 听起来倒不觉得的有什么特别，但是他继续思考，这是一条揭示lp空间相互关系的基本不等式。 lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了banach空间一类重要的例子。 巴拿赫空间是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。 巴拿赫空间跟欧几里得空间，有很多区别。 赫尔德不等式是柯西不等式的推广！当其中的量为2时，就是柯西不等式。 而不等式，往往就是求解最大值或者最小值的问题的。 第二百零二章 若尔当－赫尔德定理(群论) 若尔当与赫尔德开始一起研究群的东西。 若尔当对赫尔德说：“很多人讲不清楚群论的问题，其实我这里有个很好的解释的角度。” 赫尔德说：“说说看，如何可以更容易理解？” 若尔当说：“其实就是给各种各样的对称性分类。” 赫尔德说：“对称性有几类，有可以分的吗？不就是点对称和轴对称。难道还有第三种？” 若尔当笑说：“狭隘了吧，对称分很多种呢。” 赫尔德说：“鼓弄玄虚那吧？所有的对称性无非就是这两种对称的堆砌。” 若尔当说：“还有一种轮换对称性，就是我给你扫地，你给他扫地，他给我扫地。这也是一种对称，是啊！你没有想过这个挺常见的问题吗？” 赫尔德想了想，确实没有不能用轴对称和点对称来表示这种轮换对称。 赫尔德也觉得这种轮换对称，也是一种对称性，也有实际用途。 想了良久，对若尔当说：“那对称的基本定义是什么？是干什么用？需要用什么样的数学符号严格规定？” 若尔当苦笑：“我只是想到了轮换对称性，但不知道对称性到底该怎么弄。” 赫尔德继续思索，感觉对称性的最重要宗旨就是，不变性，最终没有改变，或者是一个规则的限制内，就是对称。 赫尔德说：“不论是点对称还是轴对称，都是一种东西，经过对称变换之后，没有脱离这一套东西。这一套东西，我们姑且叫做群。点对称和轴对称是一个东西变成这个东西的另外一个位置而已，东西本身没有什么变化。而你说的轮换对称性，它也是一种变换之后，又回到了自己，然后就是周期性的变化了。” 赫尔德沉浸在自己的思维里，而若尔当说：“我们刚刚考虑的两个和三个的对称，那么四个轮换对称，其实更加复杂，可能还会有一种内在的对角线交叉结构。” 赫尔德说：“以此类推的话，那这些对称就是有两种东西构造的，一个是对象，一个是作用方式。我们只需要给一个作用方式即可。那么，按照你的那个方法，就会找到很多种对称方式了，也就是找到了很多种群。这些群都具备循环不变的性质，就叫循环群。但是我们知道了这些循环后，会发现他们不像数学那么简单。” 若尔当说：“所以，我们需要对这些群分类。” 赫尔德说：“如何去分，才能达到真正的分类效果呢？” 若尔当开始作图，赫尔德也开始跟着作图和写数学符号。 之后若尔当说：“找到其中的一些不变量，如果两个循环群的这种不变量是相等的，就可以证明这两个群是相等的，或者是这两种对称是相等的，不管这两种对称看起来都多不一样。” 赫尔德说：“我找到了一种可以将复杂对称性拆分的方式，如果拆分后那些不变量是相同的，就可以认定这两种对称性相同。” 若尔当说：“我刚刚看到一个12阶长的循环群，发现有1、2、6、12的拆分方式，也有1、2、4、12的拆分方式，也有1、3、6、12这样的拆分方式，这种拆分就是前面是后面群的子群了。发现他们都是可以拆成4步。同时继续让后面对前面做商后，又称为2、3、2和2、2、3和3、2、2等方式。这三组的商是相同的数字，只是顺序不一样罢了。” 赫尔德说：“照你这么说，若群或r模 m有合成列，则任两个合成列都有相同长度。合成因子的同构类与合成列的选取无关，其间至多差一个置换。” 若尔当-赫尔德定理，证明了每一满足阿基米德性质的全序群都同构于实数的加法群的某一子群，200阶以下简单群的分类，发现了对称群s6的异常外自同构。 第二百零三章 赫尔德定理(反常函数) 奥托·赫尔德对卡尔·魏尔斯特拉斯说：“看到欧拉发现伽马函数后，我虽惊叹其可以表示非整数阶乘，但却不满于那种奇怪的表达方式。” 维尔斯特拉斯说：“已经成为定论，推导出来就是这样，没法改了。” 赫尔德说：“但变量有两个，我不能容忍这个，我只喜欢一个变量。” 维尔斯特拉斯说：“你能用一个变量的积分方程表示，我算你牛逼。” 赫尔德开始找代数微分方程，看看有没有符合的。 结果没发现。 赫尔德开找近似的，也不理想。放弃了。 最后充分论证了伽玛函数不满足任何代数微分方程。 第二百零四章 若尔当曲线定理(拓扑学) 一个封闭的曲线把平面分成了内部和外部。 当这个封闭的曲线是圆圈的时候，显而易见能看出哪个是外部，哪个是内部。 而当这个封闭的曲线是复杂的情况下，就很难直接看出来，哪里是外部，哪里是内部了。 若尔当曲线定理关于平面上简单闭曲线性质的一个经典结果.在欧氏平面rz上，任意一条简单(即自身不相交)闭曲线j把平面分成两部分，使得在同一部分的任意两点，可用一条不与j相交的弧相连;在不同部分的两点若要相连，则连结的弧必须与j相交.这就是着名的若尔当曲线定理. 他提出了证明，但是这个证明特别繁杂，后来直到1905年，维布伦(veblen，0.)才第一次给出了一个正确的证明. 若尔当曲线定理证起来之所以困难，究其原因还是对于什么是简单闭曲线这个概念不明确。 用现代的语言，称一个与圆周s’同胚的拓扑空间为一条若尔当曲线。 于是若尔当曲线定理可正式地表达为:平面r''-中的每一条若尔当曲线j把rz分为两个以j为公共边界的区域，其中区域指的是连通开子集。 这个事情可以延伸到，一个封闭的曲面把空间分成了内部和外部。 一个简单的球壳，容易看出哪里是内部，哪里是外部，但是这个球壳变换成复杂的形状的时候，就难以区分了。 这个也可以借鉴若尔当定理。 当一个高维球壳把高维空间分成内外两个部分的时候，也弄用若尔当定理进行推广吗？ 那么一个高维系统，内外两个部分是什么意思？如果找到高维球壳对系统分成“内”与“外”两个部分呢？这个内外的意义是什么呢？ 多个事件，看做一个高维空间系统，对此系统内的多种因素分成多个维度，一个事件形成一个复杂的高维的面，如何找内外，这个内外是什么意思？如何表达？能用矩阵的思想吗？ 如何能够把复杂的系统的内外两个部分，用一种符号或者图形的方式来表达呢？ 第二百零五章 若尔当矩阵(矩阵) 矩阵是个很有用的东西，是方程组，可以计算一个系统。 而让矩阵对角化，则可以让矩阵变得方便，一目了然，处理起来也迅速。 但是很多矩阵是不能对角化的。 而不能对角化的矩阵也需要处理的尽可能的简单。 而若尔当矩阵是最简单的一种。 其实是把一元高次多项式，写出一种（x-xi）成绩形式，然后形成的矩阵。 以若尔当矩阵为单位，直接形成大的斜对角的形式，以此作为这种一元高次多项式的矩阵形式。 把多项式直接写成矩阵，就可以把多项式每一项都写开，之后斜对角的放入矩阵中即可。 若尔当矩阵(jordan matrix)一种重要的具有特殊形式的矩阵。 即形式为j（λ，t） 的矩阵称为一个若尔当块，其中λ是复数，由若干个若尔当块组成的准对角矩阵a 称为一个若尔当形矩阵，其中λ1，λ2，…，λs为复数有一些可以相同。 第二百零六章 豪斯多夫距离(拓扑学) 豪斯多夫遇到了一个问题，是关于羊群和马群的距离。 一般两个点直接的距离，直接用两个点连线的长度表示就行了。 而两个群的长度，应该如何来测量？ 当然是寻找这两个群的中心点，然后连点测量了。 在数学中，hausdorff距离或hausdorff度量，也称为pompeiu-hausdorff距离，是度量空间中两个子集之间的距离。它将度量空间的非空子集本身转化为度量空间。 非正式地说，如果一个集合的每个点都接近另一个集合的某个点，那么两个集合在hausdorff距离上是接近的。hausdorff距离是指对手在两组中的一组中选择一个点，然后必须从那里到达另一组的最长距离。换句话说，它是从一个集合中的一个点到另一个集合中最近的点的所有距离中最大的一个。 豪斯多夫后来将群的距离问题上升到量度度量空间中真子集之间的距离。 hausdorff距离是另一种可以应用在边缘匹配算法的距离，它能够解决sed方法不能解决遮挡的问题。 豪斯多夫距离是在度量空间中任意两个集合之间定义的一种距离。 第二百零七章 泊松分布(概率和统计) 由于泊松得知了火山运动前会有磁场的变化，而这个磁场的变化发生次数不多。 泊松认为：“这种不同于地球磁场的火山磁场变换，如果发生的足够的少，就不会有火山运动，如果超过了某个次数的话，那就很可能会有异常的火山运动了。” 狄利克雷说：“你说的这个足够少有多少，足够多有多多？” 泊松认为：“足够少的意思是不可能不发生，只是不要为这样的次数而大惊小怪。但是超过这样的次数了，那么火车就危险了。” 狄利克雷说：“你有办法能找到火山磁场异常数字吗？” 泊松在考虑一种数学分布，对狄利克雷说：“你见过一种方差和期望相同的分布吗？” 狄利克雷愣住了，想了很长时间。 泊松说：“我正在考虑一种特殊的分布，适合描述单位时间内随机事件发生的次数，这个随机时间发生的概率很低，但是存在。” 狄利克雷问道：“这是从哪里推出来的？” 泊松说：“我是从二项式分布得出的，其中重复n次的伯努利，把n看出无穷大。同时发生概率p非常小。然后看单位时间发生λ次的样子，其中的k是实际的数字。” 泊松写出了泊松公式p=(x=k)=λ^k*e^(-λ)\/k!。 狄利克雷才知道这是根据二项式对n做无穷推导出来的。 狄利克雷说：“其中的方差和期望都等于λ吗？” 泊松说：“是的。” 1837年，泊松出版了《关于判断的概率之研究》（recherches sur probabilité des jugements）。在书中他确立了概率的法则，给出了“泊松大数定律”，并且对于二项分布一种限制情形的离散随机变量描述了“泊松分布”。 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布p(λ)。因此，泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。 第二百零八章 泊松积分(微积分) 泊松在计算热力学的要给热传导问题，计算之时，先对复杂问题简单化。 如果将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定，求平板其他部分的温度。 半无限大物体在导热方向上，当其边界温度一定为第一类。第一类边界是给定边界上待求变量的分布。 这就是狄利克雷问题，也是第一边界条件问题。 数学描述为：t(x，0)=f(x);t(0，t)= ts 泊松找到了一个特殊的积分，被积函数是一个幂函数与以e为底的指数函数的乘积;其次，被积变量的积分限可以延拓到整个数轴，即-∞到+∞.具有这两个特征的积分在经典统计物理中经常遇到. 在研究热传导或是概率问题的时候，通常会遇到泊松积分。但由于其被积函数的原函数不是初等函数，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式来确定它的积分值。 但是泊松可以感觉到，这个函数的形状逼近一个数值，是可以一眼看出来的。 大概感觉是可以收敛到二分之根号派这样的数值。 对此，泊松开始用了，这就是一个没有证明，就开始使用的这么一个东西。 此刻，当下很多不好求的积分方程，都是数学家自己凭着感觉来逼近一个数值。这种事情都很常见，当然，证明这种麻烦事，需要交给智慧的后人来做。 而泊松积分，后人当然用多种方法证明出来了。有坐标证明法，Γ函数证明法，b函数证明法，waills公式证明法，拉普拉斯变换法，高斯分布结论说明，钟形傅里叶变换，数学物理方法证明。 泊松时常会考虑数学家真正的才能是如何的，什么才叫数学家？ 所谓的数学才能当然不是无所不通，而是一种经验。 这种经验主要就是让自己对数学或者是工程学方方面面都有所了解，别人一提到关于当前数学发展的一个方面，自己就要了解到。虽然不知全面了解，但也需要大概知道是哪一方面的，有什么用。 这样的话，自己万一用上的话，就会第一时间来使用，而不是自己一无所知，再临时抱佛脚的查找。 其次就是数学家要有想去精确计算的能力。想去精确计算，这必须是数学家的欲望。很多数学家说，自己喜欢一定的广度，不喜欢深度。这不能是一个标准合格的数学家。如果数学家个个都不去计算，那么数学铁定没有未来。所以只喜欢了解数学知识的人，充其量只能是浅数学爱好者，或者是数学史学家而已。 有经验，只是自己见多识广，有想去精确计算的能力是一种硬实力。 第二类边界是给定边界上待求变量的梯度值 第三类边界是待求变量与梯度值之间的函数关系 第二百零九章 泊松求和公式(傅立叶级数) 柏松喜欢数学，没日没夜的学习，躺在草稿堆积的纸上直接睡，不论白天还是黑夜醒来继续拿着稿纸看，看完继续睡，就这样重复。 “什么是真正的周期？” 泊松开始对周期函数的问题有了极大的兴趣，他想研究一个普遍的周期。 泊松在自己的稿纸上写下了s(t+nt)的n的求和公式。 其中的t就是时间，而其中的t就是周期，nt是周期的整数倍。 泊松说：“任何一个连续周期信号都是这样的公式写出来的。” 泊松继续想到，傅立叶变换可以对这些周期信号进行分解，这个意义是什么？ “如何得到这个周期信号的傅立叶分解呢？” 泊松开始从中来找答案。 他把公式s(t+nt)直接使用傅立叶级数进行表示。 然后把傅立叶级数带回带s(t+nt)的n的求和公式中去，看看能不能找到对应的傅立叶谱。 最后求出了泊松求和公式，从这个公式出看出其傅立叶级数与其傅立叶转换之间数值的关系。 泊松发现了：“说白了，这个公式是说时域周期延拓等效于频域采样。” 第二百一十章 泊松方程(微分算子) 泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。 拉普拉斯说：“无引力源的情况下的方程为。” 拉普拉斯写下了△Φ=0。 泊松说：“考虑引力场的时候是。” 泊松写下了△Φ=f。 拉普拉斯说：“等号那边的f是什么意思？” 泊松说：“其中的f就是引力场的质量分布。” 拉普拉斯说：“如何求解？” 泊松说：“可以用格林函数，分离变量法，特征线法。” 拉普拉斯说：“应用在什么方面？” 泊松说：“可以推广到电磁磁场，以及热场。” 第二百一十一章 泊松比(材料力学) 在胡克研究胡克定律之后，泊松按照胡克的研究继续下去。 1830年，泊松在弹性力学中引入了“泊松比”，其中涉及材料的应力和应变。 泊松认为，如果用一个力去拉开一个杆子，这个杆子被拉长的变形长度与手里有一个正比例关系。那么此刻杆子的横向也会被拉细。 “杆子边长与杆子变细会不会有某种关系？” 泊松找到了钢材和木头作为被拉伸的材料，对两个力气很大已知的拉力棒，对被拉的材料进行拉力测试。 测试完后，泊松用尺子测量了钢材和木头被拉的长度和变细的宽度，发现很多各种不同形状的钢材的拉长与变细的比例为4:1，而木头却不能拉长，没有如此好的塑性。 泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 第二百一十二章 泊松亮斑(光学) 自打牛顿和惠更斯因为光的波动说和粒子说吵的不可开交后。 波动说和粒子说这两中观点一直没有停止过对撞。 到了菲涅尔和泊松这里，吵到白热化状态。 菲涅尔支持波动说，泊松支持粒子说。 泊松支持的论点很简单，它对菲涅尔说：“你对于光子的认识，有重大的逻辑错误。” 菲涅尔说：“光子的波动说有什么问题？光的衍射有衍射但因为波长小所以不明显，所以才以为只是个粒子而已。” 泊松说：“如果根据你这样的说法，那应当能看到一种非常奇怪的现象：如果在光束的传播路径上，放置一块不透明的圆板，由于光在圆板边缘的衍射，在离圆板一定距离的地方，圆板阴影的中央应当出现一个亮斑。” 说完泊松哈哈大笑，对菲涅尔智商上的碾压，让泊松倍感自信。 菲涅尔说：“你无理取闹，这种情况……” 泊松打断说：“你看看，你自己说出的话，居然自己不去找漏洞，还怪我无理取闹！” 波动理论的支持者阿拉果说：“那就干脆用实验验证一下，不就行了吗？毕竟科学实验，也要验证一下。” 阿拉果对泊松说：“你做过这样的实验吗？” 泊松高声笑道：“我做这么愚蠢的实验干嘛？” 菲涅尔二话不说，开始试图开始做这个实验。结果奇迹出现了，影子中心的确出现了一个亮斑。 三个人当时目瞪口呆，见证了这个令人惊奇的奇迹。 泊松吃惊的赶紧多次验证了这个实验，发现结果是稳定的，不断研究，用更复杂的计算表明，圆片的半径越小，亮点越明显。 泊松颤颤巍巍的说：“这个，这个是怎么回事？什么情况啊！” 阿拉果对泊松说：“你不愧是伟大的数学家，居然能够想到如此厉害的实验。” 菲涅尔大笑的对泊松说：“这个实验可是你提出的，就叫泊松亮斑。” 三个人相对大笑，泊松成为了光子波动说的支持者。 第二百一十三章 菲涅尔透镜(光学器件) 菲涅尔知道不同的凸透镜可以有聚光的性质。 但菲涅尔在考虑，这是为什么？ 是因为中间胖两边窄的厚度，还是因为内凸透镜的边是凸形的拐弯？ 先做实验，通过实验才能得出结论。 首先假设就是因为厚度照成，那就做成阶梯形状的样子，看看是否还有聚光的性质？ 菲涅尔做过后，发现已经没有了，就说明不是因为厚度造成。 那就是因为有凸形拐弯？ 如何验证这种实验？ 菲涅尔想到了一种形状，就是使得厚度相同，但是原有的凸面的那个结果依旧保持着。 看起来就像是一种同心圆，侧面是锯齿形的。 这就是菲涅尔透镜，依然跟原来透镜差不多，具备聚焦的性质。 使用普通的凸透镜，会出现边角变暗、模糊的现象，这是因为光的折射只发生在介质的交界面，凸透镜片较厚，光在玻璃中直线传播的部分会使得光线衰减。 如果可以去掉直线传播的部分，只保留发生折射的曲面，便能省下大量材料同时达到相同的聚光效果。 菲涅尔透镜就是采用这种原理的。 菲涅尔透镜看上去像一片有无数多个同心圆纹路的玻璃，却能达到凸透镜的效果，如果投射光源是平行光，汇聚投射后能够保持图像各处亮度的一致。 第二百一十四章 菲涅尔考虑光的形状(光学) 菲涅尔是个光学家，他的毕生追求就是要弄清光真正的形状是怎样的。 在1821年，他与d.f.j.阿拉果一起研究了偏振光的干涉，确定了光是横波。 后来在1823年，他发现了光的圆偏振和椭圆偏振现象，用波动说解释了偏振面的旋转。 他推出了反射定律和折射定律的定量规律，即菲涅耳公式； 解释了马吕斯的反射光偏振现象和双折射现象，奠定了晶体光学的基础。 阿拉果对菲涅尔说：“光的偏振是什么意思？” 菲涅尔说：“光是横波，所以自身有方向性。” 阿拉果说：“你说的方向是上下或左右这样的方向吗？” 菲涅尔说：“是的，当然，倾斜的也有。” 两个人相视而笑。 菲涅尔说：“可除此以外，光还有其他的偏振方法，那就是圆形偏和椭圆型偏振。” 阿拉果说：“我知道，圆形偏振就是转着圈的往前传播，就像弹簧这个形状一般。” 菲涅尔点头。 “可是，椭圆的偏振，这个奇怪了点。”阿拉果还是想不通椭圆偏振的光是怎么个偏法。 菲涅尔说：“一开始我也想不通，但是光是个比较任性的东西。其实，圆形的偏振也是比较理想的状况呢。” “是吗？意思是光里面偏振最多的，还是椭圆的偏振呢？就是说光的传播方向大部分是歪着的？” 菲涅尔说：“没错，但不仅仅如此，甚至还有更混乱的。” “更混乱的？还有不止是椭圆偏振的？还有更加复杂的螺旋形偏振的？这个我们可没有观测到，这样太任性了。” 菲涅尔说：“即使是椭圆了，也许也会是一种带着变化的那种方式。想想，这就是好比把那个弹簧在传播的过程中，给他外面的力，让他变得混乱一些就行。” 阿拉果认为，光学是极其复杂的，对光的形状深入思考，是一个无止境的路。 第二百一十五章 乔治·格林公式(微积分) john toplis是格林身边唯一懂点数学的人，因为他受过相关教育，john toplis把自己的很多知识教给了格林。格林被john toplis的才华吸引，自己对知识的兴趣也增加起来，对国家数学的消息也开始了有兴趣的吸收。 john toplis十分敬佩格林自学成才的能力，格林跟自己的父亲一边风车磨场里磨谷物，一边拿着谷物加工成面包，在这期间格林就能学到很多知识。 john toplis对格林说：“我最近看到你在写个公式，我好像没见过，是谁的公式？” 格林知道john toplis说的那个公式，格林说：“那是我自己写的。” john toplis惊奇的说：“你可以自己发现公式了，你真是天才，自学成才就可以研究数学了。” john toplis一边说着，一边看着格林的这个二重积分，对格林说：“式子左边d和右边的l都是什么意思？” 格林说：“公式中d为分段光滑的曲线l围成的闭区域。” john toplis说：“q和p都是什么样的函数。” 格林说：“这是包含x，y项的函数，在d上有一阶连续偏导数。平面上沿闭曲线l对坐标的曲线积分与曲线l所围成闭区域d上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。” john toplis看着这个近乎完美的公式，连连敬佩。 第二百一十六章 乔治·格林函数(微积分) edward bromhead对格林说：“我都是为了你好。” 格林说：“你知道我这个报告写的是什么吗？” edward bromhead说：“肯定是数学方面，而且我看你写了这么多，就肯定你是个数学方面十分厉害的人。” 格林说：“仅仅是看我写的多，就觉得我数学厉害，听起来不靠谱。我现在还无法确定我到底能不能搞数学，而且搞数学会不会有前途。” edward bromhead说：“从我的观察来看，你很适合搞数学，我能够支持你。” 格林说：“你要是真正的支持，你应该了解我这个是什么东西。” edward bromhead看不到格林写的这些东西，对格林说：“我会慢慢看的，这个有些深奥。” 格林说：“这是不是是在表示特定的场合产生场的源的关系而已，你还用慢慢看。” edward bromhead说：“所以才说你是天才。” 格林对这种虚假的称赞感到厌烦，对edward bromhead说：“虽然我的论文只有五十多个人买，但是既然要买，就需要了解我研究的内容，这才是真正有价值的。” edward bromhead说：“我只是想帮助你而已，没有其他意思。” 格林认为edward bromhead对他没有诚意，在此后的两年内没有再联系过。 到了后来，格林考上了剑桥大学，为了凑钱又重新联系了edward bromhead，edward bromhead支持格林上剑桥大学。 格林为了表示谢意，对edward bromhead说：“为了感谢你对我的资助，我还是要告诉你我研究的内容。” edward bromhead说：“没问题，尽量说简单一些。” 格林说：“我说过，我研究场和源的关系，比如热传导表示温度场和热源之间的关系。或者是静电场和电荷分布的关系。” edward bromhead说：“这么说，也不算难。” 格林说：“除此以外，我当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理，我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法。” edward bromhead说：“就叫格林函数法。” 第二百一十七章 托马斯·杨三原色(光学) 自打牛顿用三棱镜分开太阳光，得到红橙黄绿蓝靛紫这些光谱以来。多个科学家对这个问题展开激烈的讨论，其中一个讨论就是，人的眼睛如何看到可见光的。 托马斯·杨觉得，不同颜色的光芒，首先是来源人视觉神经中可以区分开来的。 但是托马斯觉得七个颜色的光可以合成了一种人眼反而看不到的颜色的光，也就是白光，这本身是个有趣的事情。一般事物的呈现，应该是多个不同的东西合在一起，就是更浑浊的。怎么光却变得的更加透明清澈了呢？ 这个看不见，具有一定的意义，看不见也是一种看见，比较明晃晃的世界，就是因为有了光照才产生，所以不但是能看得见，而且还是一个很高的光亮。 托马斯做了一个怪异而极其重要的实验，把分离出来的七色光中的三个颜色，往一个黑色的墙壁上照射，发现色彩都可以从红、绿、蓝这三种原色中得到。 一开始，托马斯有点晕，毕竟七色光的波长是不一样的，但是为什么蓝色和红色为什么还能合成紫光？蓝、红和紫光不都是单独的波长吗？ 难道紫光的视觉效果，是跟蓝色和红色加起来的时候一样的吗？这是视觉无法区分紫和红蓝的结合吗？ 这就是视觉本身出现的一个偏差，这个偏差会影响人类生活吗？会影响到哪里？ 如何是蓝色和红色光结合，发出紫色光，那这种紫色光就不是真正的紫色，只是人眼看到的那种紫。这就容易被生活中的魔术般的假的颜色所影响。 那么如果人能够真正区分不同的光，那会使什么结果呢？那就是，人可以看到蓝红两者没有达到真正的混合，能看到两者直接互相参杂的，自然跟真正的紫色是不同的了。 而且人类如果能够区分，不同波长，不同的颜色，那这个世界就是色彩极其鲜艳的复杂色谱。几乎可以达到看物辩物的能力。 所以三原色，是人类视觉上的缺陷，但是这反而给人类带来便利。只需要三原色，调配其中发亮的比例，就能看到五彩缤纷的世界了。 第二百一十八章 托马斯·杨氏模量(材料力学) 自打胡克定律成立以来，在工程学上开始变得越来越重要。 托马斯开始对工程学上的材料受力问题开始深入思考了。 他发现很多东西在受力的情况下开始变形，开始想如杆、梁、轴等。对于桁架结构的问题在结构力学中讨论，板壳结构的问题在弹性力学中讨论。 托马斯认为，关于看似坚硬的各种东西，跟胡克定律中的弹簧的变化是一样的。虽然很多坚硬的东西受力之后，表面上看不出变化，但是如果用精密的实验方法，是可以看出其中的变化的。 所以，坚硬物的受力变化也能使用胡克定律。只要在细节上，均匀发生这一切就行。 杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的物理量。 当一条长度为l、截面积为s的金属丝在力f作用下伸长Δl时，f\/s叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力；Δl\/l叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。 应力与应变的比叫弹性模量。 托马斯考虑完伸长量之后，还考虑了其他各种各样的受力情形，比如，切力、扭力、挠力等等很多复杂的情况。 最终形成了一个十分科学合理的材料力学。 在此，需要满足三个假设，才可以用作材料力学中。 1、连续性假设——组成固体的物质内毫无空隙地充满了固体的体积： 2、均匀性假设——在固体内任何部分力学性能完全一样： 3、各向同性假设——材料沿各个不同方向力学性能均相同： 第二百一十九章 托马斯·杨氏双缝实验(量子力学) 托马斯·杨开始研究光学，他知道光是波动性的。 由于水是波动性的，在过去两个缝障碍物之后，形成了双波纹形状。 托马斯认为光如果有两个这种波的话，也会形成这么一种双波纹的形状。 托马斯一开始找到两个光源，但是没有成功。 他开始想办法，后来想到，一个光源，再找一个挡板打两个孔就可以了。 说干就干，他发现打孔后，光照过孔似乎有一丁点的水纹双波形，但是却不明显，给其他人看，其他人不相信这个结果。 托马斯又想了很多天，想试试弄成两个窄缝，然后使用同一个光源照过着两个窄缝，后来发现这两个窄缝后出现了神奇的干涉图样，这就符合了托马斯认为的那种双水波图形。 托马斯不仅仅认为光有波动性，还有某种程度上的整体性。所以后面有人提到，一个光子过双缝应该是过那个缝隙。托马斯就反驳光想水一样，是一片片的，不能按照一个粒子一个粒子那样看。 很多人认为托马斯是个疯子。 第二百二十章 托马斯·杨破译罗塞达碑(符号学) 这大约是在1816年前后的事。当时杨对光学研究失去了信心，甚至有人讥讽他为疯子，以致他十分沮丧。 他便利用其丰富的语言学知识，转向考古学研究。 1814年，41岁的时候，杨对象形文字产生了兴趣。拿破仑远征埃及时，发现了刻有两种文字的着名的罗塞达碑，这块碑后来被运到了伦敦。罗塞达碑据说是公元前2世纪埃及为国王祭祀时所竖，上部有14行象形文字，中部有32行世俗体文字，下部有54行古希腊文字。之前已经有人研究过，但并未取得突破性进展。 由于杨的这一成果，诞生了一门研究古埃及文明的新学科。 1829年托马斯·杨去世时，人们在他的墓碑上刻上这样的文字——“他最先破译了数千年来无人能解读的古埃及象形文字”。 托马斯看到罗塞达碑的时候，很多人读懂了最下面的希腊文。 托马斯认为上面两个部分的埃及文跟最底下的希腊文是相互对照的。 即使如此，由于埃及文明的断绝，倒使上面两个部分的内容没法对应破译了。 托马斯看着上面陌生的文字，一开始也一筹莫展，但是他发现了上面有很多词汇有重复。托马斯也看到希腊文中的重复的词汇。重复的出现率几乎差不多。 托马斯知道很多人通希腊文，只需要让懂希腊文的人给自己说一说这个希腊重复的词汇表示什么含义就行了。 经过打听之后，才知道这个重复率很高的词汇就是托勒密这样的姓氏，原来这个碑文对应的时间也大概跟托勒密时期吻合度很高。 其中杨解读了中下部的86行字，破译了王室成员13位中的9个人名，根据碑文中鸟和动物的朝向，发现了象形文字符号的读法。 托马斯就把托勒密这样的埃及文字直接给写了出来，然后公布了自己的发现。 第二百二十一章 托马斯·杨提出印欧语系(语言学) 研究完罗塞达碑之后，托马斯开始想研究全世界的语言。 他想看看很多语言之间是否会有联系。 18世纪，英国的东方学学者w.琼斯爵士。针对亚欧各种不同的语言，首先提出“原始印欧语”的存在，他提出了着名的“印欧语假说”来解释上述语言之间的相似性。他发现当时欧洲人已知最古老的语言其中四种拉丁语、希腊语、梵语和波斯语之间有相似之处。 托马斯很好奇，他认为很多欧洲国家的语言跟希腊语和拉丁语都有关系，那这些是不是都跟原始印欧语有关系。 他跑到图书馆，开始去寻找语言学的图书，找很多国家的语言词汇字典。 托马斯·杨曾对400种语言做了比较，并在1813年提出“印欧语系”。 第二百二十二章 托马斯·杨发现心脏和血管的功能(生物学) 托马斯经常对一个问题很执着，人的身体到底是如何生长的？ 他知道人必须吃饭、喝水和吸收氧气。这些东西都是人体必须的，但是这些物质到底是如何到达人的全身，让人去生长的？ 托马斯知道所有的营养必定要到达血液，而血液需要流经全身。 流过全身把全身几乎任何一个细胞都带去营养之后，这些血液还需要到达原来的出发地。 托马斯开始跟着懂医学的医生研究血液流动的原理，最后才发现是由于心脏的跳动，像一个水泵一样运输着血液的流动。 血液从左心室出发，到达全身的神经末梢，然后被右心房，这就是一个身体的循环。 而从右心室到左心房就需要经过肺部，吸收肺部的氧气。 这样既可以吸取营养，又可以吸收氧气，达到运输人全体新陈代谢的作用。 第二百二十三章 托马斯·杨的能量的概念(力学) 托马斯知道驱动这个宇宙的神秘力量，一种原力，或者是上帝给的这种东西。 应该统称为能量。 能量是物质运动转换的量度，世界万物是不断运动的，在物质的一切属性中，运动是最基本的属性，其他属性都是运动的具体表现。 能量是表征物理系统做功的本领的量度。 对应于物质的各种运动形式，能量也有各种不同的形式，它们可以通过一定的方式互相转换。 在机械运动中表现为物体或体系整体的机械能，如动能、势能等。在热现象中表现为系统的内能，它是系统内各分子无规则运动的动能、分子间相互作用的势能、原子和原子核内的能量的总和，但不包括系统整体运动的机械能。 托马斯也知道看能做多少功，才能度量原有能量的大小。 学会转换能量，成为人类应该研究的对象。提升转换效率成为了研究对象。学会存储能量就成为人类应该研究的对象。 而存储能量，本质是什么，存储的模样到底是什么样？ 一切都跟动能有关系，动能就是运动产生的能量，势能是即将运动的能量，内能是微观粒子的动能。所以能量都是动能，要么是震动，要么是运动。 托马斯隐隐的感觉，能量的本质是不是光？ 第二百二十四章 马歇罗尼的圆规作图(几何) 莫尔写了一本《欧几里得》这样的书。莫尔在里面展示了所有单用圆规也能作出的用尺规能作出的欧氏几何结构。 1797年，马歇罗尼在《圆规几何》中证明了所有点尺规作图都能单由圆规来完成，这时直尺是多余的。 而圆规是画圆的，说明很多问题使用圆形思维就可以解决。 直线不想原来想的那么重要了。 立体的尺柜作图也是如此，只需要圆规，不需要直线。 第二百二十五章 柯西变换(复变函数) 1831年，柯西（cauchy）给出了单复变解析函数的幂级数展开。 1849年，埃尔米特（hermite）将柯西的留数技术应用到双周期函数。 研究级数是无法避免的，研究复变函数的幂级数展开，那就是一个级数。 柯西值得对级数的东西进行深入研究了。柯西发明了柯西变换。 在次过程中，柯西发现，如果级数在计算过程中发生了某些变换，最后求的和的值也不同。 这个很违法直觉，但却无懈可击。 似乎对于无穷打求和这样的事情，本身代表了无穷大某种不稳定的性质，那就是无穷大是不确定的值。 如果不同的变换会出现不同的值，那级数是否有意义呢？ 也许还是会有的，毕竟从大概的直觉上讲，一些收敛的级数确实在逼近的一个值。 但是对于变换后会出现和的值发生变化的级数，就意味着这些级数所对应的积分的形状就会出现变化。 如何来看这种变化呢？ 就是一个怪物身上锯齿的形状一发生变换，这个怪物自身就会有身体形状上的变化，只是这个怪物质量不变。 或许有的级数在变换之后，不会出现有不同和，只是一个单一的值，这是稳定级数。 有的级数变换后，只会出现几种不同值，这是亚稳定级数。 有的级数变换后，会出现无数种不同值，这是不稳定级数。 第二百二十六章 柯西的根值审敛法(级数) 根值审敛法是判别级数敛散性的一种方法，由法国数学家柯西首先发现。 自打发现级数以来，对于级数的收敛性的研究从来没有停止过。 但是柯西看到如此多种判断级数收敛的办法，却个个有一种不完善的感觉。 似乎这是一种数学上的洁癖。 对一个接近极限的数字开对应项数的根，如果这个数大于1就发散，小于1就收敛。这两个按照标准方法很容易证明。 但是等于1是发射或收敛，柯西也犯了难。 这是什么意思？也要看具体情况，那这种具体，就反应根值审敛法对级数的判断无效。 而且如果在数学中遇到等于1的情况，那就是数学上的一个麻烦。 是否还有其他的办法来补救这一切。 目前是没有。 那该怎么办？柯西必须对此要想出个办法，或者要给出个解释。 柯西觉得，这个倒是可以看成是无数个接近1的数字相加。 如果前多个数接近1太近，就会出现发散。如果前多个数接近1 太远，就会收敛。 但柯西也不能确定这些，心里总是隐隐的觉得不对劲。 想的太久以至于都快要疯了。 或许发散和收敛仅仅来源人认识的局限性，以后的数学可以能出现更加复杂的性质吧。 但除了发散和收敛以外，还能出现什么性质？难道是一种模糊的震荡性？甚至是更加奇怪的东西？ 不想了，先睡个好觉吧。 除此以外，还有一种审敛法，叫比较审敛法。这个好理解，就是一个级数，它的每一项都比一个收敛级数小，这个也是收敛级数。 这个的很明显了，不会有什么漏洞，几乎就像一个废话一般。 第二百二十七章 柯西－比内公式(矩阵) 比内对柯西说：“行列式的乘法，其实就是两个方程组的系数的相乘。那么凯利提出的矩阵，是不是也可以做这样的乘积？” 柯西说：“长和宽不同，怎么能乘起来？” 比内说：“我发现矩阵的乘法，只要其中两个矩阵的行或列都相等的地方，就可以进行。” 柯西看到比内的乘法后，只觉得仅仅是个有一种对称的算法，不知道什么意义。 柯西说：“这个东西有实际意义吗？矩阵是数字的延申？所以矩阵跟数字一样，也需要被计算？” 比内说：“我没有想到如此深奥的地方，我只觉得这也是线性方程的组合的方式而已。如果直接用方程组来描述这种组合，会不太明显。而用矩阵的方式，就会很明显了。” 柯西说：“那一个n乘以n阶行列式是否可以被分解成单行或这单列的行列式？” 比内说：“听起来可以，而且这还是基本的构件。” 第二百二十八章 柯西古萨积分定理(复变函数) 柯西学习大量的数学知识，心里振奋。就想要好好的研究一番。 在数学上有两个重要方向：一个是严谨性，另一个是创造力上。或者是正因为是严谨的情况下会出现的一种特殊的创造力上。 柯西跟古萨开始讨论关于自己对积分的一些理解。 柯西说：“在复平面里的积分，已经不同于普通坐标系里区间的积分了。在这个里面的曲线，需要对这个曲线进行积分才可以。” 古萨说：“我完全明白你的意思，毕竟复平面坐标系，对一个曲线的路径积分才是真正的积分。” 柯西说：“我可料定，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。” 古萨说：“也可以说单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。” 柯西说：“这种积分，需要研究它绕奇点的圈数。圈数不同就导致积分的值不一样，需要把这一点体现出来。毕竟在复平面内，转圈也是一个比较重要的问题。在三维空间里转两圈的东西，可能在复平面里是一个特殊的形状。” 柯西－古萨定理，是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。 留数定理，就是柯西积分的推广。 第二百二十九章 柯西的微积分规范(微积分) 拉普拉斯也觉得柯西的文章数目太多了，让人目不暇接。觉得柯西主要一有空脑子里就会想数学的事情，很多事情仅仅是一种讲究，根本就没必要去当一会儿事。 拉普拉斯对柯西说：“你的论文太多，繁杂而缭乱，这对研究数学不利。你应该少而简单点才对。” 柯西一听到拉普拉斯如此说，心想，这样不是第一次被人质疑了。或许有的人就是因为嫉妒吧。柯西说：“你说说看，数学走到今天，还能怎么简单得下来。而且，你给你一个绝望的消息，数学以后可能会越来越多，一生都不会有人学完。” 拉普拉斯说：“不会吧，尽量还是有几句话就点透一个人吧。” 柯西说：“大方向肯定可以点透一个人，但是数学中有很多重要的细节。如果你不当回事儿，别人可以找出其中的麻烦。” 拉普拉斯跟柯西说：“即使有了发现，有必要写这么多吗？你的文章大家都看不完。” 柯西说：“确实多了些，但是我的东西还是需要细细的看。因为，我在研究数学的过程中发现了一些惊人的东西。我敢保证，这肯定是数学的未来。” 拉普拉斯说：“你的那些东西是未来？” 柯西说：“就比如微积分，如果不使用我的这种语言来描述。而仅仅用牛顿和莱布尼茨的那种描述，那就会被无穷小到零这样的问题来反驳。” 拉普拉斯说：“我认为初学者不应该使用你这种描述方式，毕竟微积分是一个公式，本领不算难，但经过你这种严谨的方法，反而弄得难了。让很多本来可以学会的学生，都知难而退了。” 柯西说：“那也得这样来，人就是这样的，你简单点，他们挑你毛病，你仔细点，对方就学不会。只能说，被吓退的，仅仅是因为还不够爱数学而已。” 拉普拉斯无话可说，但是依然不太服气。 1821年柯西出版了《分析教程》，这是第一次将数学分析建立在正式基础上。它为巴黎综合理工学院的学生设计，致力于尽可能严格地发展微积分的基本定理。 柯西是极限理论的集大成者，他使得整个微积分理论建立在极限理论的基础之上，使分析学开始一步步走向严格化。可以说，分析学的历史发展是以柯西为分界线的，而后面的数学大师们都可看作是他的门徒。 以严格化为目标，柯西对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。以下是柯西关于极限的定义： 当属于一个变量的相继大的值无限地趋近某个固定值时，如果最终固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限。 然而柯西的极限思想并不是没有缺陷的。极限理论在当时还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言。 我们在这里不得不提到另外一位传奇的分析学大师——魏尔斯特拉斯。 为什么极限理论的建立需要实数理论？ 我们不妨开门见山，首先要问——我们的连续性是否需要实数？柯西列极限的存在性是否需要实数？零点定理的保证是否也需要实数？ 如果数系不是连续的，是离散的，那么某些数列的极限是否存在就值得怀疑。 我们知道，现代的极限定义是用实数来定义一个数列的极限值的。但是对于有理柯西列，放在有理数域，它的极限值就不一定存在。 另外，我们考虑介值定理，最简单的就是零点存在定理。想象一下一条曲线穿过数轴，直观的判断必然会有零点存在吗？我们说，当然，怎么可能没有零点存在呢。不过，我们这里已经默认这样一条数轴是连续的，这里就要纠结一下，这里的数是什么，是单纯的有理数嘛？这时还没有实数。 因为有理数尽管是稠密的，但它是离散的，而且无理数还没有被严格定义。如果不严格定义实数，不是放在实数系去考虑，那么单纯借助极限理论我们无法得到这样美妙且直观的定理。 我们不禁要大声疾呼： 连续性需要实数的严格定义！ 柯西列极限的存在需要实数的严格定义！ 零点定理的保证也同样需要实数的严格定义！ 第二百三十章 柯西—施瓦茨不等式(不等式) 拉普拉斯对柯西说：“我看到你在研究不等式，说实话，这不都是小儿科的问题吗？干嘛要花如此大的力气去搞？给你经费，你就要开始在这么简单的问题上浪费时间了？现在很多领导都在盯着你，你可注意一点。” 柯西明白，有时候自己承担的事情越多，就越容易被人骂。现在有很多地方存在这种现象：就是能力强，做事快的人，往往做得多、错得多，也被领导骂得多。相反，那些混日子，能力又不怎么样的人，他们基本不做事，又不会被领导骂，最后提拔晋升还可能会成为黑马。这种效应叫做“洗碗效应”，说的就是说经常洗碗的人常会失手将碗打破，自责之余，周围的人可能还严厉指责：“怎么这么不小心，洗碗都洗不好，还能干好什么活呢？”。 柯西经过这么久，也放平了，他知道自己研究的这个看似简单的东西，实则是为了更深的东西打基础。柯西说：“并不是逃避难题研究简单题。而是遇上难题中的某一部分。” 拉普拉斯说：“就像不等式，这就是个计算公式，你哪里看出有还很多惊人的东西？” 拉普拉斯说的是柯西不等式。是柯西发现在数学分析中的流数中发现了一种不等式：（a^2+b^2）(c^2+d^2)<=(ac+bd)^2。 柯西说：“我好好跟你说说，这不仅仅是个不等式，它其实在数学的多个领域都有极大的作用。” 拉普拉斯说：“它能让你发现更多个不等式？” 柯西说：“不是的，是这个不等式可以反应出很多问题。可以推广成更多的卡尔松不等式。还可以推广成向量形式，三角形式，概率论形式，积分形式，一般形式。后来则推广成复变函数。所以一个简单的不等式，也会有很多数学的其他作用，甚至会远远超出自己的想象。” 拉普拉斯也渐渐的理解了柯西的海量论文的原因。 柯西-施瓦茨不等式是一个在众多背景下都有应用的不等式，例如线性代数，数学分析，概率论，向量代数以及其他许多领域。它被认为是数学中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。 不等式的内容也十分博大。除了柯西不等式以外，还有其他不等式。 有琴生不等式，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。 有均值不等式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。 有绝对值不等式，在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。 权方和不等式是一个数学中重要的不等式。其证明需要用到赫尔德（holder）不等式，可用于放缩求最值（极值）、证明不等式等。 闵可夫斯基不等式和赫尔德不等式都涉及到了lp空间。 有伯努利不等式。 有排序不等式。设有两组数a1，a2，……an和b1，b2，……bn，满足a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，c1，c2，…是b1，b2，……bn的乱序排列，则有a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1c1+a2c2+……+a≤a1b1+a2b2+……+anbn，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时等号成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤顺序和. 不等式成为了不确定数学中的一个重要研究内容，往往在很多代数化问题不容易解决的情况下，都会动用不等式产生奇效。 第二百三十一章 柯西的置换群定理(群论) 刘维儿看到伽罗瓦的笔记，被其中群论伟大的思想所震撼。 刘维儿知道，群论将会成为数学的革命。 但是他也得知了伽罗瓦曾经拿着自己的文章给了柯西。而柯西不仅没看到伽罗瓦的文章，而且还弄丢了。 更严重的是，阿贝尔的文章也被他弄丢了。 刘维儿找到了柯西，愤怒的说：“两次失去两个重要人才，你要负主要责任吧？” 柯西知道关于自己丢失论文的事情也懊悔不已，但依旧辩解道：“我有苦衷。很多孩子们都往我这里写信，我一个人的力量根本看不过来。而且这其中还有很多没有用的民科文章。” 刘维儿说：“大家相信你，你身居高位，就应该负责，帮助法国人发现更多人才。而不是每天只顾写自己的东西，然后用自己浩瀚如海的论文去淹没人家精练简短的文章。” 柯西苦笑的说：“你也是知道的，我一得空就会深入自己的研究，有时候甚至迷恋到心无旁骛。所以即使有价值的文章进来也会不小心遗失。” 柯西指着一堆堆厚厚的堆起来的纸，一边对刘维儿说：“他们的文章在里面，但我找不到，并且也不会浪费时间在这里面去找。” 刘维儿说：“恐怕你扔了吧，你就是自恋，根本看不上人家的古怪理论。” 柯西沉思，坐在其中的一堆纸张上。对刘维儿说：“那个置换群的理论，他深入发展了。” 刘维儿说：“你也知道，他将群论这个理论推广开来，这成为了一种新的数学。他将群论和域论发展出来，合在一起了。” 柯西感慨的说：“用新方法解决五次方程无根式解的问题，确实惊人。只不过因为一个女人而死真是不应该。我们需要做些什么，不能再流失人才了。” 刘维儿提醒的说：“还有一个是死于肺病，才26岁，挪威来的。” 柯西对刘维儿说：“发现人才的工作，你们也要帮助我，因为我一个人忙不过来，同时我脑袋里放着很多重要东西，几乎都是十万火急，你们相对不那么忙的人，就需要有那种敏锐性。” 刘维儿说：“我们需要帮助那些年轻的人才。因为他们献身数学，所以才会很穷，很穷就对做数学很不利了。我们要对年轻的人设立重要的奖项，让他们有精力研究数学才对。” 由置换组成的群。n元集合到它自身的一个一一映射，称为上的一个置换或n元置换。 有限群在其形成时期几乎完全在置换群的形式下进行研究，拉格朗日和鲁菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的关于方程可解性的着作里，引进了n个根的一些函数进行研究，开创了置换群的子群的研究，得到“子群的阶整除群的阶”这一重要结果。鲁菲尼在1799年的专着《方程的一般理论》中，对置换群进行了详细的考察，引进了群的传递性和本原性等概念。在拉格朗日和鲁菲尼工作的影响下，柯西发表 了关于置换群的重要文章(1815)。 他以方程论为背景，证明了不存在n个字母(n次)的群，使得它对n个字母的整个对称群的指数小于不超过n的最大素数，除非这个指数是2或1。 伽罗瓦对置换群的理论做出了最重要的贡献，他引进了正规于群、两个群同构、单群与合成群等概念，发展了置换群的理论。 可惜他的工作没有及时为数学界所了解。 柯西在1844--1846年间，写了一大批文章全力研究置换群。 他把许多已有的结果系统化，证明了伽罗瓦的断言：每个有限(置换)群，如果它的阶可被一个素数p除尽，就必定至少包含一个p阶子群。他还研究了n个字母的函数在字母交换下所能取的形式值(即非数字值)，并找出一个函数，使其取给定数目的值。 置换群的理论(主要指伽罗瓦的工作)在1870年由若尔当整理在他的《置换与代数方程》之中，他本人还发展了置换群理论及其应用。 第二百三十二章 柯西收敛准则(级数) “扩展多个空间具备合理性吗？” 柯西很疑惑，虽然知道为何使用多维的空间来描述系统，但是这个具备合理性吗？ 很多在用的话，已经出现了很多结果了，看来合理性的事情是难以避免了。 柯西尽管及其饥渴的对数学进行研究，但还是会有些涣散，而这种涣散倒不是因为不喜欢，是因为他的脑海里有很多种各方面是灵感在相互影响和相互产生。 柯西不敢忘记这些灵感，只敢赶紧把灵感都抓住，记在一张小纸上，随后一个个的去解决。 很多种不同的知识之间相互影响，相互创造。 他自己发明了涣散学习法：1，不能集中注意力，脑子里想多个事情。涣散是对多个事情有注意力，但不集中。需要激情来驱使。2，脑子里尽量区分有用思想和无用思想，有用的记下来，无用的转向有用。3，查到资料的问题先粘贴堆放。4，记下有用思想要分类，然后写开，然后仔细研究。自己说的话，往往比查资料有用。5，对分类的进行延伸和再分类。6，精髓是由广而精，不要太久停留在精上。7，然后再转向2步骤。8，别急于化繁为简，千万不要轻易化繁为简。 “这个需要规范，需要确定的规则。” 规则很多，比如有长度范数这样的概念，有方向向量这个概念，里面可以有运算。 “收敛性是重要的。” 如果没有收敛这种概念，这个空间就是离散的，就不是一个完备的空间，无法取极值。 柯西极限存在准则又叫柯西审敛原理，给出了数列收敛的充分必袭要条件。 数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数e，总存在正整数n，使得当m>n，n > n时，且m≠n，有|xn-xm|0，使得x∈[0，e1]，有f(x)≥0，或者存在e2>0，使得x∈[0，e2]，有f(x)≤0 如果没有其他条件的话，假如承认选择公理成立，那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件，这是1905年哈默(georg hamel)利用哈默基的概念证明的。 后来哈默尔和勒贝格知道还有其他类型的方程也满足加性函数条件。 希尔伯特第五问题是该方程的推广 存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(cauchy-hamel function)，希尔伯特第三问题中，从3-d向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（dehn-hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。 第二百四十章 柯西矩阵(矩阵) 柯西经过多年的研究，不仅仅可以快速领悟各种数学知识。也拥有了迅速组建起严格构架的超能力，同时也可以找到构建的工具。 如果能多活几百年，柯西会有更宏伟的计划。 而此刻，他老了，脑子已经不转了。 很多时候他的超能力，尤其是创造上的超能力，在减退。 他不喜欢自己在变弱，但是无能为力。 他为了让自己不弱，甚至更强，就花出大笔精力去看自己学生的文章。 一开始，他可以根据学生的文章去领悟自己的东西。找出新东西来让自己继续写文章。 但时间久了，他的这样的领悟力也在减弱。 所以他不再去创造了，而是直接抄袭学生的学术成果。 很少弄矩阵的柯西，开始打起学生矩阵的主意。对于抄袭学生文章的事情，不算太难，只要把学生名字替换成自己的，不需要大改，就可以发表出去了。 柯西矩阵有两个特点：第一，任意一个子方阵都是奇异矩阵，存在逆矩阵； 计算机中的存储系统中，柯西矩阵有用途。 第二百四十一章 柯西方法(计算) 柯西的数学跳跃思维虽然不是数学家中独有的，但也是少见的。 柯西可以在研究某一个专业的时候，突然出现灵感的跳到另外一个专业深入研究。 这正是因为他广泛的学识，即使是追求严谨，但创造力老是激荡在脑海中。 一会儿看看这个，一会儿看看那个，在外人看来是走神和浮躁，而对于柯西，则是一种必须。同时还一定要把这样的特异功能给发扬下去。 此刻柯西正在研究解那些看起来很复杂的方程。 柯西认为，这些方程虽然看起来难得无从下手，但是也不是无法解出。 柯西尝试先带入类似0，1这些看起来极为简单的数值，然后看看这个点如何的分布。 之后柯西找到对于这个方程很多看起来比较容易的点，然后来观察其分布。 之后找对称的比如-1等等之类的点，然后再继续观察。 先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到函数方程的解。这种思维又叫“爬坡式推理”。 这样通过取很多自己熟悉的点，个个带入后看到了大概分布的结果，就会对这些看似复杂的函数或者是奇怪的隐函数有一个大概的了解了。 柯西认为，人不会一下子了解各种各样的方程的，但是这种爬坡式思维是很方便的一个方法。 对于此，如果以后再要研究更加复杂的函数，那就往式子里带这些数字，快速将这些函数研究起来。 第二百四十二章 柯西归纳法(级数) 高斯对柯西说：“你太喜欢发很多文章了。” 柯西说：“那你不发文章何以体现价值，我文章多，说明我价值多。” 高斯说：“我价值多，也可以文章少。” 柯西表示：“这不可能，你不能发现了很多的东西，然后只发一点点东西。你不做解释和说明，大家是看不懂的。” 高斯说：“你也太小看大家了，只要有心学，写短点，慢慢看也能看明白。” 高斯列举了很多柯西可以合在一起的发的很多新理论，把柯西惹得大笑。并对柯西说：“你写这么多文章就是为了你的地位能保住，并不是真正的有那么多价值。” 柯西对高斯说：“我虽然文章多，但也有很多言简意赅的重要东西。” 柯西向高斯展示了数学归纳法。 也叫反向归纳法。 设p（n)表示一个与自然数n有关的命题，若 （1）p（n)对无数多个自然数n都成立； （2）假设p（k+1)成立，可推出p（k)也成立； 则p(n)对一切自然数n都成立. 柯西说：“很多有用的定理，都可以用这个方法来验证，这个是最标准的方法之一了。” 高斯惊叹的说：“你有的时候像是给数学设立法律的人，是数学方法的规定者。” 第二百四十三章 柯西应力张量(材料力学) 柯西的老师是拉格朗日，拉格朗日的老师就是欧拉。 柯西很崇拜欧拉，因为朗格朗日每次对他讲课，听到自己老师欧拉的名字的时候，都带着那种近乎对神一样的崇拜。 对于欧拉的学识，柯西更多的焦点就在对欧拉海量的作品上。 柯西也形成了一套价值观，就是自己想要成为欧拉这么聪明的人，也得想欧拉那么能写出一堆东西来才可以。毕竟只有写的多，才能让大家看得到。 柯西想让自己写成一种可以建立全套数学体型的巨量文章。 所以柯西就养成了一个习惯，只要有想写东西的冲动，就直接去写数学的文章。 日记本、笔记本等等都直接把自己的想法写上，然后整理好，日子好了就发出去。 柯西知道想成为数学家，也得是物理学家，尤其是力学家。所以自己在力学上也需要有研究，才能显出自己的数学也是很爷们儿的。 不研究力学的数学家，被同行潜规则认定为没有阳刚之气。 胡克发现弹性定律，后来柯西等数学家建立弹性力学的理论基础。 柯西应力张量（英语：cauchy stress tensor，通常以表示），又称为真实应力张量（true stress tensor），是连续介质力学里用现时构形描述的二阶应力张量。该张量为对称张量，其九个分量（六个独立分量）表示某一点的应力状态。 第二百四十四章 柯西主值(微积分) 柯西之旅，数学家中一说到柯西，就有一种枯燥的感觉铺面而来。 总以为柯西喜欢去规定一些东西，以严谨着称。 其实这对柯西很冤枉，因为柯西其实恰恰是一个喜欢有各种创造的人。 他可以在数学中很多不同的方面做出各种各样让人意想不到的事情，这样的数学家正是一个让人兴奋的数学家。 因为他有华丽的思维，这是最吸引人的一面。 柯西最近就开始考虑，如何对一些不正常的函数进行积分了。 一般的积分的函数，往往都是连续可导的情况，对于不连续的函数，理所应当被归类到不可以积分的那个范围。 而柯西认为，不连续一些函数也是可以求面积，甚至是体积的。 在写法上直接那样写就行，倒也顺当，但是会看起来不合法，但是真的不合法吗？ 这个从直觉上可以感知出来。 比如想函数y=1\/x*x这样的函数，在x=0是发散的。 柯西使劲看着这个函数，心中中感觉，它下包围的面积大小是可以知道的，因为这是收敛的，不是发散的。 如果在数值上是收敛的，那不就可以去认为面积不是无穷大了吗？那不就是有特定面积的？ 所以，要按照微积分的基本方法去求，是不是具备一定的合理性去直接求积分，那就需要在零点处看看能不能找到一种意义，规范好了，就直接去求积分。 求积分容易，关键是需要给他找到一个合理性，这个合理性是什么？ 就是连续性大致存在，而在无穷大点处也有连续不断接近的性质。 只要这样，就可以求积分。 存在的合法性，就是可以不断的接近，这种不断的接近就是一种连续性，妙哉！ 在求无穷大区间的积分的时候，只需要让其变成定积分的形式，先求出积分的式子，之后让取点积分区间那个值成为一种接近无限的值。 还可以在无穷大的点哪里，取左右分开求积分那种形式，在无穷大点处也带入定值，让最后的那个积分公式取无穷来计算即可。 这种值就是柯西主值。 柯西主值是在微积分中，实数线上的某类瑕积分，为纪念柯西而得此名。 瑕积分(improper integral)是高等数学中微积分的一种，是被积函数带有瑕点的广义积分。 在物理学中有kramers–kronig定理，就是说响应和耗散分别是一个函数的实部和虚部，他们之间由一个柯西主值积分相联系。 实验上一般测量响应或者耗散的其中一个，然后按kramers–kronig定理积分取柯西主值就可以得到另一个。 这里的积分是不能收敛的，如果不取柯西主值，物理学家就无法进行下一步。 第二百四十五章 柯西奇异积分方程(反常积分) 莱布尼茨积分方程，在工程和力学上有大用。 积分号下含有未知函数的方程。对构建模型和求解过程带来很大的便利，和很高的精确度。 其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。积分方程起源于物理问题。 牛顿第二运动定律的出现，促进了微分方程理论的迅速发展，然而对积分方程理论发展的影响却非如此。 1823年，n.h.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的一个方程，后人称之为阿贝尔方程，是历史上出现最早的积分方程，但是在较长的时期未引起人们的注意。 “积分方程”一词是 p.du b.雷蒙德于1888年首先提出的。 19世纪的最后两年，瑞典数学家（e.）i.弗雷德霍姆和意大利数学家v.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。 从此，积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 在地质学中制作地球内部的精细三维图问题。 这种图对勘探矿产、预报地震等等都很需要，但不能采用实验的方法来制作，而只能采取间接的方法解决，一般是借助尖端的精密仪器和人造卫星精确地定出地球外部点处的地球引力位势，再利用引力位势的方法归结出关于地球内部密度的第一种弗雷德霍姆积分方程。 在空气动力学中研究分子运动，考虑非均匀流体中悬浮晶粒的布朗位移和热扩散，导致了以柯尔莫哥洛夫命名的一类积分方程。 在确定飞机机翼的剖面时，需要对环流、升力、阻力等等效应进行计算，也往往导致一个积分方程（如薄翼理论的基本方程、升力线理论的方程等）。 其他如中子迁移、电磁波衍射以及经济学与人口理论等都导致奇异积分方程的研究。 柯西奇异积分方程，是在柯西主值下奇异函数，与赫雷德霍姆的奇异函数不一样。 柯西奇异积分方程上的l是复平面上一光滑闭合曲线。 柯西奇异积分方程的研究已有很长的历史，差不多在建立弗雷德霍姆理论的同时，即已出现在希尔伯特和庞加莱等人的工作中，以后经过许多数学家的努力，这一类方程的理论已发展得相当完善。它在弹性理论、空气动力学、水力学、量子场论以及数学物理等方面有着广泛的应用。 第二百四十六章 柯西核(微积分) 博尔扎诺对柯西说：“老师，我想让你帮我发表东西，可这个怎么成了你的东西了。”博尔扎诺看到自己论文都是自己老师的名字，觉得自己唯一一次成名的机会就这样被剥夺了。 柯西说：“这是你的结果吗？” 博尔扎诺说：“这是研究积分核密度的东西，这是我一开始跟你说，你却看不上的东西。现在怎么你自己以自己的名义发表了？” 在柯西型积分的表达式中，f(t)称为它的核密度，1\/t-z称为柯西核。柯西核的奇异积分方程包括希尔伯特核的奇异积分方程，这是研究得最早和最完整的一类方程。 柯西核的奇异积分方程包括希尔伯特核的奇异积分方程，这是研究得最早和最完整的一类方程。 柯西核的奇异积分方程的特点是未知函数出现在发散的积分号下，该积分只在柯西主值下有意义，以及和它的特征方程有密切联系的黎曼问题。 柯西说：“这没个什么，数学的圈子就是这样。我这样也有我的用意，在同行中抛砖引玉一下，看看别人有没有看法。你的东西我回头再给你补上。” 博尔扎诺不太适应这样的套路，他明白柯西发这样的结果肯定是看到这个成果的重要性，而要给自己补的话，肯定给自己次要的东西。这不符合发现数学人才，客观合理推崇知识的原则。 博尔扎诺心里害怕的说：“老师，你一定不要骗我啊，我把自己很多时间都花在这个上面了。你一定要兑现你的诺言呀。” 柯西没回答，满不在乎的点点头。这让博尔扎诺起疑心，本来因为阿贝尔和伽罗瓦的事情，同行中就已经对柯西有了风言风语。而现在自己恐怕也要遭受这个麻烦。 博尔扎诺说：“你该不会不管我了吧？我貌似没见过你给哪个学生文章，我们看到的就只有你在发文章。该不会是拿到有价值的文章，然后假装遗失，然后再趁人不注意的时候自己暗打不瞪的发出来，以此来盗窃有价值的学术成果吧？我看到你的一些理论跟伽罗瓦等人的差不多。” 柯西腾的站起来，指着自己的学生：“博尔扎诺，你再说一遍！是不是不想干了？” 博尔扎诺虽然心怀不满，但是也觉得自己说的过分了，对老师道歉说：“对不起老师，这是有人在风言风语，我只是害怕而已。” 柯西说：“别装了，就是你自己的意思。我也不怕告诉你，以我的名义发出去，文章才有分量，才会有同行的大咖们去看。如果以你们的名字发出去，就算有价值，也没人搭理你。如果我发你的东西被人注意了，你可以被我举荐。” 博尔扎诺只得点头，他没办法驳斥这个说法。 柯西说：“你也别跟我抬杠。如果你有发表一百篇文章的能力，有每隔几天就可以发现和掌握新理论的能力。我可以把我位置给你让出来。你想想看，发现一个东西有什么用？不就是个积分的核，给了你，意义大吗？本来就是个不主流的东西，再让你这个无名小卒去折腾，只能泥牛入海，毫无意义。除非你能像我一样，能搞出一大堆的东西，我就服你，就直接让你的也去发表去。否则，别再我这里大声嚷嚷，浪费时间。” 第二百四十七章 柯西网 一个学生问柯西：“喜欢数学，是不是一个不日不夜的一直去研究，也不会累。” 柯西对学生说：“一直去研究，不睡觉，不吃饭，是会死人的。” 学生笑着说：“我的错，当然要睡觉和吃饭，剩下的所有时间研究数学，都是一个很快乐的事情。” 柯西说：“即使是快乐的事情，也不能不停的去做。” 学生说：“那倒也是，但是还是经常的去做对吧。像你这样的人会时不时的去研究数学，让自己一直进步。” 柯西说：“爱数学，其实是一件很累的事情。而且，说不好听的，有时候身体都承受不了。有的热爱数学的孩子，就得病死了。这样的孩子，把所有的精力放在数学上，但是自己的健康对不管不顾，病情已恶化，死的更快。哎，对数学的兴奋，是身体无法长期的负荷，太累了。” 学生看着柯西这种反常的言论，心里觉得奇怪，为什么柯西会说研究数学很累了？他自己不是在不停的研究吗？难道普通人体会不到他的境界吧。 其实柯西在想阿贝尔的死的问题，打内心里阿贝尔是一个很了不起的人，完全可以轻松继承他的位置。自己只是想给他一个挫折，谁曾料到他会年纪轻轻就得病而死，临死前也不关心自己的疾病。阿贝尔如此凶悍的发现，恐怕就是忘我的工作，所以才忽视病情吧。自己就是搞数学，其实搞数学不是一个轻松的事情。 柯西在思考关于坐标的问题，有人提到过整数网。 在画直角坐标系的时候，有些坐标系为了方便测量，就使用以整数位单位的一个网的形状。 偶尔也会以一部分的小数位单位，比如0.5为单位，0.1为单位等等。 而在柯西的脑海里，闪现了一个有趣的概念。 就是有理数网，也就是柯西网。 柯西不知道自己为什么会发神经去想这些东西，但是他认为自己是上帝选的，所以有一定的道理。 柯西没有考虑过其中的用途，只是在想这个奇异的东西。 柯西知道所有的整数和所有的小数可以一一对应，所以小数的网只不过是整数网的微缩版，对于小数网，想要对于整数网的话，只不过对于的坐标值都乘以一个数字即可。 但是有理数网是什么意思呢？就是任意小的有理数，只要是以有理数为单位的，那就是乘以一个有理数就可以变成普通的整数网。 但是直接说是一个有理数网，这个网子是以能想象到的无限小的有理数为网子，这样的单位是自己能想象到的无线下的值。 这个网子能捞住所有的有理数，但是能不能捞住所有的无理数呢？ 应该是捞不住的把，会有无数的大量的无理数漏网的。 按理说，某个无理数可以作为单位，再乘以无理数这个倒数，就可以化作整数。 劳累的柯西仍然不停歇，依旧在丧心病狂的思考这个诡异的网子。 不行，还是不对，无理数要是做成网子，加上有理数这个网子，就要铺面整个平面了。 无理数的存在也是在有理的计算下得到，比如根号二，根号三，根号五，这不是我要的那种真正难缠的无理数，因为他们还是跟2，3，5有关系的，在某种程度上，他们也是偏向有理数的，因为他们之间可以产生联系。 不行，真正难缠的，我们难以定义的无理数，我们根本不能以有理的办法得到，所以得不到一个彻底的无理数网子。 我能得到的网子是有理数网子，是以有理数作为无限小量为单位的，即使是无理数，也是跟有理数作为关联的网子，还是一种有理数的网子。 所以，我所要认为的有理数网子，是一个可以收敛到任意点的一种网子，是有理化的网子。 这就是柯西网。 第二百四十八章 柯西初值问题(变分法) 病重的柯西快要离开世界，大主教在他身边，准备要给他超度。 巴黎大主教对柯西说：“你这一生犯过什么错吗？” 柯西说：“犯过太多了，我坑了阿贝尔和伽罗瓦。我看到他们的稿子之后，想把他们伟大的知识据为己有，但是我哪里能想到他们都会英年早逝？如果他们能活得很久，我会在剽窃他们文章之后，向科学院举荐他们。” 大主教说：“没关系，只要有忏悔的心，上帝会原谅你。” 柯西说：“我也坑害了我的学生们，把他们的学术成果全部剽窃，以至于让他们默默无闻的离开数学家。导致他们以其他艰难的生活谋生。我答应好他们的事情，全部都食言了。” 大主教说：“没关系，你已经认错了，还有什么遗言吗？” 柯西说：“希望后人能接近微分方程的一个问题。” 柯西初值问题是微分方程的一种基本定解问题。 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人newton和leibniz的着作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 柯西对主教说：“不敢解决问题的人是什么样的人，不管是穷人还是贵族，男人还是女人，老人还是孩子。我祝愿他们一定要把自己珍贵的名字给公布出来。” 主教看到柯西快不行了，对柯西说：“你临终前，有什么话要说？” 柯西说：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。” 第二百四十九章 柯西边界条件(变分法) 柯西在学生时代，有个绰号叫『苦瓜』，因为他平常像一颗苦瓜一样，静静地不说话，如果说了什么，也很简短，令人摸不着头绪，和这种人沟通，是很痛苦的。柯西的身边没有朋友，只有一群妒嫉他聪明的人。当时法国正在流行社会哲学，柯西工作之余常看的书，却是拉格朗日(joseph louisgrance，1736-1813)的数学书。 就像八零后中国人喜欢金庸一样，柯西喜欢灵修书籍《效法基督》。 这使他赢得另一个外号『脑筋劈哩啪啦叫的人』，意即神经病。 柯西的母亲听到了传言，就写信问他实情。柯西回信道：『如果基督徒会变成精神病人，那疯人院早就被哲学家充满了。亲爱的母亲，您的孩子像原野上的风车，数学和信仰就是他的双翼一样，当风吹来的时候，风车就会平衡地旋转，产生帮助别人的动力。』 1816年，柯西回到巴黎，担任母校的数学教授，柯西自己写道：『我像是找到自己河道的鲑鱼一般地兴奋。』不久他就结婚，幸福的婚姻生活，有助于他与别人沟通的能力。 此刻柯西十分高兴，因为，他回到巴黎的母校做教授了。 原来的柯西十分发愁自己的毕业，觉得坐任何一个职业都不合适，为此都把自己愁得抑郁了。 而回到母校的事情原来没有多想，只是空想自己能爬到多高多高，没有任何方向。因为小的时候年轻，并不知道社会的疾苦，所以到了快毕业发愁起来了。 时而能看到母校老师在学校里清闲的工作，让他觉得当个在校老师也是不错的。 终于他的成绩被母校任何，可以在母校任职了，他感觉自己找到了归宿。 柯西边界条件是强加在常微分方程或偏微分方程的边界条件，而边界条件则是其方程的解都要符合在边界的给定条件。 一组柯西边界条件通常包含在边界的函数值及导数，这相当于给定狄利克雷边界条件和诺伊曼边界条件。柯西边界条件的名字是纪念19世纪的着名数学家-柯西。 边值问题中的边界条件的形式多种多样， 在端点处大体上可以写成这样的形式，ay+by''=c。 若b=0，a≠0，则称为第一类边界条件或狄里克莱(dirichlet)条件。 若b≠0，a=0，称为第二类边界条件或诺依曼(neumann)条件。 若a≠0，b≠0，则称为第三类边界条件或洛平(robin)条件。 总体来说， 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值。 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数。 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合。 普通导热问题计算，规定单元一条边界上只能有一种边界条件，事实上，对异性截面预应力混凝土箱梁结构，与外界发生复杂能量交换，其边界条件复杂，不能用一种简单边界条件来描述。 分析各种能量交换途径，主要的是有两种，分别是：日照辐射属于第二类边界条件，对流换热属于第三类边界条件。这两类边界条件在单元边界上同时存在，程序计算时不能套有通常第一至三类边界条件公式，称之为混合边界条件。 第二百五十章 一阶非线性方程的柯西问题(微积分) 柯西讲课很受各路大学生欢迎，他讲课水平高到让一个对数学不感冒的人直接想要研究数学。 所以忽悠了不少人去严谨的高数去，进了坑里。 很多人对此的表述，是受了魔力。 而柯西则有一个自私的心态，就是勾勒起大家的兴趣，让大家去研究自己没有研究过的方向去。这样自己可以腾出时间了做其他事情。 让柯西容易想到的是，很多孩子们确实按照他那神秘的路线走了，法国乃至邻国数学都脉络的爆炸式发展。 让柯西想不到的是，很多孩子上钩，研究数学后，向他反馈，却让他反而焦头烂额。以至于自己失去人才之后还没反应过来。 柯西对忽悠一个学生去研究非线性的问题，对学生说：“你研究一下非线性方程问题吧。” 学生说：“什么是非线性方程？” 柯西说：“就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。” 学生说：“这个问题很普遍，有什么需要研究的？” 柯西说：“因为求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题。相应的求近似解的方法也逐渐得到大家的重视。” 学生说：“我去研究如何得到精确解的问题吗？” 柯西直接在黑板上写出了一个一阶微分方程，里面包含x，y两个变量，其中有一个含x，y隐函数对y求导数，和含x，y的另一个隐函数对x求导数，等于式子右边的可以包含x，y的另一个隐函数。 学生说：“这样的微分方程，我更拿不下了。” 柯西说：“这个是可以轻松得到解法的。” 柯西直接写出了这个函数的特征方程的形式。 学生写出了满足柯西形式的方程，柯西快速写出了解法，然后学生验证了一下解，都是正确的。表示很惊奇。 第二百五十一章 波动方程问题的解(波动学) 数学家开始研究波动方程。 在声学，电磁学和流体力学中会应用到。 一般研究常见的一维弦振动u-a^2u=f(x，t)。 三维的波动方程u-a^2uΔu=f(x，y，z，t)。 达朗贝尔找到了齐次波动方程的形式。 也知道其微分变化形式和初始值都是很重要的。 然后就该需要知道它的解，应该是什么样子了。 通过方程可以模拟声波，电磁波以及水波传播情况，有重要物理意义。 柯西知道很多微分方程或者是偏微分方程往往是很难找到解法的，但是柯西认为只要有正确的办法也可以轻松找到。 因为这些方程本来就是波动方程，所以可以把波动方程描述出来，就可以找到这个看此困难的解法。 给定一个初始条件后，用特征线性法导出达朗贝尔公式。 然后转化成一阶偏微分线性方程组，而这就是柯西的拿手绝活了。 法国大革命期间，柯西不太平，总有麻烦缠身。 拿破仑三世问柯西：“我听说你不愿意效忠前一任的国王，连我这一任的也不给面子。这是为什么？因为你是效忠波旁王朝吗？” 柯西说：“以前我确实效忠波旁王朝，但是现在不一样了，我只是认为学术要自由，不能受到政府干涉。” 拿破仑三世说：“这是为什么？效忠只是个仪式而已，你为什么这么在意。” 柯西说：“这不是简单的仪式。要知道大学是一个知识的地带，大家要寻求真理。如果有了政府官员的干涉，那不利于探寻真理，那就没有一个可以改造人灵魂的地方了。” 拿破仑三世说：“我发誓，绝对不会干涉大家去寻找真理。” 柯西说：“你想想看，如果我像任何一个王朝效忠。而法国此刻的环境是每隔一段时间就会换一个王朝，那是不是下一个王朝就会秋后算账？如果我像路易菲力效忠，那你们不会找我算账吗？如果你们要是被推翻，我要效忠你，我不也被下一个王朝给收拾了？连命都没了，还哪有时间做学问？” 拿破仑三世听了觉得有理，就免除了柯西和另一个物理学家的效忠仪式。 而柯西依旧没有忘了自己的数学研究。 他在研究成齐次波动方程之后，开始考虑非齐次波动方程了。 非齐次波动方程，仅仅是在齐次波动方程后加了一个函数。 分成两个问题解决： 第一个是求其中齐次的部分，这个泊松公式可以解出。 第二个需要满足一种齐次的条件。 所以可以使用齐次化求解。 第二百五十二章 柯西估计(概率和统计) 1807年至1810年柯西在工学院学习，曾当过交通道路工程师。由于身体欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。 有时看着这些密密麻麻的桥梁力学上的各种数据，柯西陷入沉思，在想这些数据意味着什么。 意味着不同的桥梁之间，这些数据是不同的。 但是差不多相同的桥梁，数据之间或许会有某种联系。 但数据过多，能不能处理成少些的有代表性的数据来体现这两个桥的联系？ 或者找到关键数据来看看两个桥梁之间的不同。 这就需要一种把大量数据化简的能力，来识别不同桥梁，来识别桥梁出现的各种特征。 需要高维度性质的数据，向低维度数据转化。 在高维数据向低维数据转化时，使用最小二乘法的误差会有些大。 图形处理识别中，会用到降维算法。 柯西估计可以计算监督降维算法。 在样本生产过程中，由于训练是认为处理，一个不当操作的误差会导致生成大量不准确样本，而这些错误不可避免，所以识别率也会下降。 解决的方法是设计损失函数时，用柯西损失代替最小二乘法损失。 使用knn方法来找不同样本的特征时，由于距离小，不方便提取重要的区别信息。 所以要把距离改大些，才能更好的提取特征进行识别。 柯西估计写出了估计公式ζ（x）=log(1+(x\/c)^2)。 第二百五十三章 中值定理(微积分) 柯西、罗尓、拉格朗日、达布四个人在讨论关于中值定理的事情。 拉格朗日先开口了：“一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。听起来很容易吧。” 罗尓说：“曲线弧是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等。弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。” 柯西对拉格朗日说：“用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。我这是你的推广。” 达布说：“一个函数如果在一段内都可导，则其中必有一点导数的值在两个端点导数之间。” 中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。中值定理是由众多定理共同构建的，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。 后来又有了积分中值定理，以此推广积分第一中值定理，和第二积分中值定理。 第二百五十四章 帕塞瓦尔定理(傅立叶级数) 帕斯瓦尔marc-antoine parseval定理是在1799年提出的。 由于某种需求，需要算出信号能量的大小。 帕塞瓦尔开始思考信号能量大小的计算方法。 按照傅立叶变换，信号可以分成无数个不同的三角函数，而每个三角函数信号的能力是好计算的。 所以帕塞瓦尔认为一个信号所含有的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量之和。 同样一个信号所含有的功率恒等于此信号在完备正交函数集中各分量功率之和。 它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。 后来这个可以解释信号衰落，也就是瑞利衰落信道。 瑞利衰落信道（rayleigh fading channel）是一种无线电信号传播环境的统计模型。这种模型假设信号通过无线信道之后，其信号幅度是随机的，即“衰落”，并且其包络服从瑞利分布。 这一信道模型能够描述由电离层和对流层反射的短波信道，以及建筑物密集的城市环境。瑞利衰落只适用于从发射机到接收机不存在直射信号的情况，否则应使用莱斯衰落信道作为信道模型。 瑞利衰落能有效描述存在能够大量散射无线电信号的障碍物的无线传播环境。若传播环境中存在足够多的散射，则冲激信号到达接收机后表现为大量统计独立的随机变量的叠加，根据中心极限定理，则这一无线信道的冲激响应将是一个高斯过程。 瑞利衰落属于小尺度的衰落效应，它总是叠加于如阴影、衰减等大尺度衰落效应上。 信道衰落的快慢与发射端和接收端的相对运动速度的大小有关。相对运对导致接收信号的多普勒频移。图中所示即为一固定信号通过单径的瑞利衰落信道后，在1秒内的能量波动，这一瑞利衰落信道的多普勒频移最大分别为10hz和100hz，在gsm1800mhz的载波频率上，其相应的移动速度分别为约6千米每小时和60千米每小时。特别需要注意的是信号的“深衰落”现象，此时信号能量的衰减达到数千倍，即30～40分贝。 第二百五十五章 高斯加法(级数) 1796年，高斯（gauss）给出了二次互反律的首个正确证明。 1801年，高斯出版了《算术研究》（disquisitiones arithmeticae）。它包含了七部分，前六部分研究数论，最后一部分研究正十七边形尺规作图。 1801年，谷神星被发现然后不知所踪。高斯从少量已有的观测资料计算了它的轨道，随后几乎恰好在高斯预测的位置上谷神星被重新发现。 1801年，高斯证明了费马的猜想，即每个正整数可以表为三个三角数之和。 1809年，高斯描述了最小二乘法，在《天体运动论》（theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中他使用这种方法寻找天体的轨道。 1841年，高斯发表了一篇光学论文，其中给出了一个公式，用于计算给定焦距的透镜成像的位置和大小。 高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50x101就是1加到一百的得数。后来人们把这种简便算法称作高斯算法。 第二百五十六章 高斯绝妙定理(曲面学) 校领导坐在教室里，高斯有些紧张的整理了自己的教案，开始讲课。 “各位领导和同学，大家好，今天我来讲几何学。”高斯发现关于曲面的很多有趣的事情，今天就忍不住讲出来。 “几何学是欧几里得时代出现的……” “……其实，欧式几何不完善，没有考虑到曲面，所以第五公里的假设需要完善一下……” 校领导开始面面相觑，不知道高斯在说什么，但还是耐心听着。 “什么样的曲面可以展开成为真正平面，而不影响面积。” “如果是圆柱和圆锥面，虽然是有曲率的，但是一展开，就是一个平平的平面。” “如果是球面，怎么样展开，都会有曲面这褶皱。” “圆柱、圆锥的面与球面有什么不一样呢？为什么一个可以展开成平面，一个无法展开成曲面。” 校长忍不住打断说：“等一下，你在将什么？这是几何学吗？” 高斯说：“我希望能启发一下学生。” 政教处主任说：“你说的曲率不变是指？” 高斯说：“可以随意弯曲一个曲面，只要你不拉长、压缩或者撕裂它，曲率一定不会变。” 校长有些讥讽的说：“你的讲课方式有问题，不能是这个样子，你要按照教师正常的模式来。讲课需要的是课板书，课就是教课书，板是黑板，书是一种教学方式。你不能去教书上没有的。” 副校长说：“你要知道你讲课的对象是谁，学生们不见得有超前的领悟能力，你这种讲法是会误事的，学生最后也学不会教材上课。” 一个老师对高斯说：“你的问题，我没明白，如何去完善第五公里的假设。” 高斯说：“是这样的，第五公里假设是建立在平直空间上的……” 老师打断：“什么意思，为什么不在平直空间上？第五公里平行线不是平直的吗？” 高斯说：“拿地球做假设，在大地测量中的直线的概念，是测地线，是不平直的，会有交电。” 校长说：“你不能这样讲课，超前的内容加进来，学生们连基础都不会了。” 高斯说：“我教学生就是启发式的教育，让学生们变得爱学，如果按照教材直接教，大部分学生都不见得听进去，很多数学定理，只是知其然，不知其所以然。” 校长苦笑摇头。 政教处主任对高斯说：“你这样，你可以看看其他老师是怎么讲课的，按照他们的样子了。” 高斯心里不高兴，其他老师如此呆板看似标准的讲法，是对学生创造力的一种抹杀，更何况其他老师能懂什么？ 高斯一脸不高兴的说：“你们定，看我到底适合不适合讲了。” 政教处主任说：“我们不是挑毛病，我们只是给你建议，让你改善教育方式，你要理解我们的苦心。毕竟学生的教育不是小事，他们都是涉及到集体的。” 校长对高斯说：“我们还是希望，你能按照标准来。有一个讲课的模板。” 1828年，高斯引入了微分几何并发表了《关于曲面的一般研究》（disquisitiones generales circa superficies）。这篇论文来源于他对测地线的兴趣，它包含了“高斯曲率”等几何思想。这篇论文也包含了高斯着名的“绝妙定理”（theorema egregrium）。 第二百五十七章 高斯分布(概率和统计) 黎曼对高斯说：“目前德国复杂的情况下，如何组建一个学派来振兴数学。”黎曼用复杂这样的字眼，只是含蓄的说德国的数学十分差劲。 高斯说：“你认为振兴数学容易吗？” 黎曼说：“很难，如果操作不当，振兴数学的事情就遥遥无期。” 高斯感慨的说：“说难也难，说容易也容易。这就看人了。” 黎曼说：“看人？一个国家想要振兴科技或者数学，那必须要有制度才可以。一个健康向上的学术氛围。” 高斯说：“不是的，你以为环境不好就不会出数学家，这个很不准确。我想说，一个国家数学想要好，必须要有数学家。” 黎曼说：“一个国家的数学，不只是一个数学家。而是很多的数学家，合起来才算。” 高斯说：“有的时候，恐怕一个人的数学就要代表一个国家。” 黎曼说：“怎么可能，一个人可以代表一个国家的数学？” 高斯说：“有些国家的数学，其实就是那一两个人给撑起来的。” 黎曼说：“不可能，一两个人可以撑起一个国家的数学？” 高斯说：“恐怕这也是现实。有的时候，一个人就要代表一个学派，甚至要代表一个大学，甚至要达标一个时代。数学也是这样的，需要有一个能力强，感染力强的数学家。只有一个人，相信自己是最棒的，才可以理所应当的担负重任。” 黎曼说：“听起来，这个人真是太可怕了。” 高斯说：“还不止如此，就是一个人仅仅发现了一个很有用的东西，就足够光耀一个国家了。” 黎曼说：“太夸张了。” 高斯说：“我现在研究的，就是这样的东西。” 黎曼说：“你在研究什么东西？” 高斯说：“我在找一种函数，这种函数可以去统计一些生活中常见的分布。比如说，一群人中身高的分布，一个班级中分数的分布，一把大米洒出后的由多到少的分布等等。” 黎曼说：“那你怎么找呢？” 高斯说：“我找到了一种钟形函数，这个钟形函数可以通过改变参数来实现跟那些分布的合成。我们就可以那这种函数去做统计。或者说一个统计模型就可以用这个函数来表示了。” 黎曼说：“你找到这样的公式了？” 高斯说：“没错。”高斯把公式拿给了黎曼看，黎曼一看公式，也没有什么特别。仅仅是有个自然对数e，在此基础上有abc三个可以改变的参数。这种函数配出的图形就是一个像钟倒扣的一个图形。 高斯说：“别小看我找到的这个函数，在很多领域上都会有用的。很多地方都会用这样的钟形函数。” 高斯说的高斯函数最后变化成正态分布函数。函数的不定积分是误差函数。 在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。 高斯函数是量子谐振子基态的波函数。 计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合，量子化学中的基组。 在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。 高斯函数与量子场论中的真空态相关。 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。 高斯函数在图像处理中用作预平滑核，尺度空间表示。 高斯过程（gaussian process， gp）是概率论和数理统计中随机过程（stochastic process）的一种，是一系列服从正态分布的随机变量（random variable）在一指数集（index set）内的组合。 高斯过程中任意随机变量的线性组合都服从正态分布，每个有限维分布都是联合正态分布，且其本身在连续指数集上的概率密度函数即是所有随机变量的高斯测度，因此被视为联合正态分布的无限维广义延伸。高斯过程由其数学期望和协方差函数完全决定，并继承了正态分布的诸多性质。 高斯过程的例子包括维纳过程、奥恩斯坦-乌伦贝克过程等。对高斯过程进行建模和预测是机器学习、信号处理等领域的重要内容，其中常见的模型包括高斯过程回归（gaussian process regression， gpr）和高斯过程分类（gaussian process ssification， gpc）。高斯过程的命名来自德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（carl friedrich gauss）以纪念其提出正态分布概念。 高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。高斯积分（gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。 第二百五十八章 偏态分布(概率与分布) 高斯知道，研究正态分布之时，不可避免的会遇到偏态分布。 一般理解偏态分布很常见，把一堆大米正的扔下来，大米会有正态分布，而把一堆大米斜的往地上扔，就会出现偏态分布。 这仅仅是字面上的理解。 那么生活中常常出现的偏态分布，是某种形式上的大米斜着往下抛的。 但是数学家需要改变现状，必须要知道的是，偏态分布不对称，不方便数学的研究。 需要用一种方法来使得偏态分布变得对称才可以。 首先知道偏态分布分为正偏态分布和负偏态分布。 正偏态分布是相对正态分布而言的。 当用累加次数曲线法检验数据是否为正态分布时，若m>me>mo时，即平均数大于中数，中数又大于众数，则数据的分布是属于正偏态分布。 正偏态分布的特征是曲线的最高点偏向x轴的左边，位于左半部分的曲线比正态分布的曲线更陡，而右半部分的曲线比较平缓，并且其尾线比起左半部分的曲线更长，无限延伸直到接近x轴。 负偏态分布也是相对正态分布而言的。 当用累加次数曲线法检验数据是否为正态分布时，若m 负偏态分布的特征是曲线的最高点偏向x轴的右边，位于右半部分的曲线比正态分布的曲线更陡，而左半部分的曲线比较平缓，并且其尾线比起右半部分的曲线更长，无限延伸直到接近x轴。 所以，明白这一点之后，数学家可以用一些办法让偏态分布变成正态分布。 就是让斜着扔的大米，看出是正着扔下去的样子。 更加聪明的数学家，可以根据数学修正的程度看出大米斜着扔的倾斜程度。 在对应的数学模型中，偏态分布的倾斜原因也可找到一些类比的方式，来判断，可让模型变得更加生动。 那么到底是什么原因让正态分布变成偏态分布呢？ 这个很好玩，需要数学家和科学家来注意这一点。 要深入思考这种行为。 第二百五十九章 高斯方程(流形) 学校里发生过多起高斯讲课放飞自己的事件。 高斯经常在讲课之时灵感打开，然后不顾教室里听课的同学，开始龙飞凤舞的推导自己要寻找的东西了。同学们心里虽然理解高斯这种伟大的创造力，但是他们很少有人能跟上这种节奏，很多学生甚至也无法正常做笔记了。 高斯经常沉浸在这种温故而知新的享受里，但学校被惊动了，对高斯的行为采取对策。学校通知高斯，不要用这种放飞自己的方式教学，如果无法停止放飞自己，那就不能继续教课了。 高斯对狄利克雷说：“我不参与教学的事情了，你来吧。” 狄利克雷对高斯说：“你是一个好老师呀，为什么不去教学生。” 高斯说：“只是你觉得好，而且你聪明，能听懂我讲的东西。其他人就不行。” 狄利克雷说：“我一直以为，德国数学的为了就是靠你了，很多贵族也看好你，你这样放弃了也不是个事情。” 高斯说：“我本来想搞启发教育，让学生们有自己的创造力，但是我看校长的意思，恐怕他们都不见得同意。” 狄利克雷说：“那就太可惜了。” 高斯说：“没关系，你可以帮我完成这个任务。” 狄利克雷笑说：“我跟你恐怕也差不多，校长想让我按照模板讲课。” 高斯说：“但你有耐心，你可以改变自己。我是不可能这样做的，我只在学校里搞研究，不去搞教学了。这样我还有大量时间来研究新东西。启发学生的任务就就给你了。” 狄利克雷说：“你最近研究什么？” 高斯说：“我在研究流形方程。子流形的基本方程有第一基本型和第二基本型，这两个基本型构成的曲面的完全不变量系统。” 狄利克雷说：“第一基本型和第二基本型是指？” 高斯说：“第一基本型是三维欧几里得空间中一个曲面的切空间中内积，由r3中标准点积诱导。第二基本形式是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量。第三基本形式是球面的第一基本形式在曲面上的表示。” 狄利克雷心里惊道：“还有第三基本型。” 高斯方程是。第一基本型和第二基本型构成曲面的完全不变量系统。即:如果两张曲面有相同的第一基本型和第二基本型，则它们在三维欧几里得空间的一个刚体运动下能够完全重合。 第二百六十章 高斯证明二次互反率(环论、数论) 求解多项式方程是代数学中的重要问题。 求解同余多项式也是数论中的重要问题，当最高次项是任意数时，就变得尤为困难了。 然后从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在着作《算术研究》中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”。 x^2=q(mod p)，这里p和q都是素数，（p\/q）(q\/p)=(-1)^(p-1)\/2(q-1)\/2成立。 就是一个数的平方除以一个数得到的余数这样的问题。 后来应用到噪音工程学、密码学和大数分解上。 而想要了解二次剩余，就需要用二次互反律，二次互反也是经典数论中的定理之一。 在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。 高斯给了7个二次互反的证明，后来的之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。 至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。 二次互反律被称为“数论之酿母”，在数论中处于极高的地位。后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。 后来数学家从二次互反律的证明里，得到了数学中同余的互反。 而同余思想跟有限域是有关系的，那么数学家发现有限域也有互反。 有限域跟模形式有关系，那么数学家发现模形式也有互反。 而模形式与艾森斯坦级数有关系，那么数学家发现级数有互反，级数往往用狄利克雷级数来表示。 第二百六十一章 高次互反律(数论) 二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。 高斯认为在自然数范围内不能推出高次互反律，需要对数域进行扩张。 高斯找引入了复素数的概念，就是在自然数里是素数的，在复数里不简单是素数，比如：5是自然数里的素数，但是在复数里是5=（1+2i）（1-2i），所以5是合数。但3不能这样分解，所以3是复素数。 代数基本定理是每一个整数均可分解为素数的乘积，而且是唯一的，这被欧几里得证明。高斯把它推广到复数域，也是成立的。 高斯最终找到了形如4n+1的素数是复素数的情形，这些素数可以分解为复的因数。 引入了复素数的概念，四次互反律也变得简洁。 艾森斯坦和雅克比证明了这一点，有优先权之争。 雅克比和艾森斯坦都发现了三次互反律。 但需要在本原3次根中去考虑的整环。 所以高次互反律需要考虑告次根的整环才行。 第二百六十二章 高斯代数基本定理(方程学) 受到阿贝尔的信，阿贝尔声称自己证明了五次方程没有根式解，高斯嗤之以鼻。 “不是没有解，仅仅是因为你解不出来吧？” 高斯被阿贝尔这么一搞，就想要好好琢磨关于解方程的问题，而且不仅仅想给阿贝尔这个‘民科’一个教训，同时也想要在更高层次上来回答这个问题。 这样才能体现出自己数学王子这个霸气的称号。 高斯准备想给阿贝尔一个回信，上面说：“小家伙，知不知道在百年前，就有人得知了代数学基本定理。” 代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。 高斯继续写着：“而且这是罗伯特在1608年已经证明的。” 这时，高斯停笔了，他突然觉得有些不对劲，他只是知道这件事，但是没有见过罗伯特的证明过程。 高斯放下笔，开始去寻找证明过程。 高斯知道代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。 高斯不知的是关于代数学基本定理的证明，后有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。 高斯终于找到该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯仔细分析，证明仍然很不严格的。 高斯说：“我得试试如何证明代数基本定理。” 高斯没有再回信，只是专注于寻找证明方法，终于在1799年成功给出代数基本定理的第一个严格证明，在当年的哥廷根大学的博士论文中交出来。 后来有几种证明方法，复分析证明，拓扑学证明和代数证明。 大数学家 j.p.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。 美国数学家john wird milnor在数学名着《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。 复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。 第二百六十三章 分圆域(方程学) 高斯知道n次方程必然有n个解，那么对于x^3=1这样的方程，除了x=1以外，还有其他两个解吗？ 这就需要试图在复数域里找了。 后来高斯找到了x=-1\/2+√3*i\/2和x=-1\/2-√3*i\/2这两个解也符合这个方程。 高斯也轻松知道x^4=1，有1、-1、i、-i这四个解。 高斯画出了复数域坐标，发现3次的解形成一个等边三角形的形状，4次方的解形成一个正方形的形状。 心想，是不是5次的解是个正五边形，n次的解是正n边形？ 后来一个个解出来发现还真是，而且反而还能用这个方法反推出n次多边形的n个解来。没个多边形的点都必然有个x=1，i=0这个点是解。 这就是分圆域的开端，成为以后数学家研究的对象，并且有很多作用。 然后高斯开始歪歪的想，该不会有分球域这个东西。毕竟分圆域如此优美和给力，分球域如此自然而美妙的想法，不该会没有的，然而怎么会有分球域呢？ 该不会有个j这样的东西，有实部分、i部分、j部分共同组成更加复杂的数域吧。 然后这样的数域的x的n次方是分球的吧？ 那么代数基本定理里没面如此引入如此复杂的数域，就不是n次方程有n个解了，而是更加复杂的一种模式了。 这到底是个什么样的东西呢？高斯被另外一件事跟打断了。 第二百六十四章 尺规作图正十七边形(几何) 高斯拿着圆规和尺子陷入思考。 戴德金说：“你这是想做什么？” 高斯说：“我想使用标准的尺规作图画出任意一个多边形。” 戴德金说：“这个有趣。那你发愁什么？” 高斯说：“我在想正十七边型怎么画，我被卡住了。” 戴德金说：“为什么要画如此古怪的形状，其他的不可以吗？” 高斯说：“其他的当然可以，只是正十七边型被卡住了。” 戴德金说：“我明白了。是一个一个来的画的。从园中截取出来即可。” 高斯说：“没有一边形和二边形。” 戴德金说：“从三角形开始，画一个正三角形还是容易的，其实用尺规作图最容易的就是画出六边形，在六边形的情况下可以轻松画出三角形。” 高斯说：“解决三角形和六边形后，四边形也好画，只需要在圆的中心画一个互相垂直的线，就可以在圆圈中截取一个正方形。同时画出12边形，24边型等等只需要二等分截取就行。而五边形……” 高斯拿起圆规和尺子，很快就画出了五边形，极为娴熟，看得戴德金惊呆。 画完后高斯对戴德金说：“会了五边形，那么十边型，二十边型只需要二等分截取就行了。” 戴德金说：“照你的说法，其实后面的不需要完全一个一个来，只需要掌握等质数多边形就行了。” 高斯说：“也不完全是，二等分截取可以，三等分截取麻烦。” 戴德金说：“现在该画七边型了。” 高斯使用尺柜作图，不一会儿就画出来了，还是那样娴熟，一点都不带停顿。然后说：“我这是在骗你的。七边型是做不出来的，所以正十四边形也不行。” 戴德金说：“八边形就是正方形截取二等分，十六边形也不考虑了。正九变形呢？” 高斯说：“也不可以，你想在三角形上三等分角，三等分角就不可以。其他办法也不可以去画正九变形的。” 戴德金知道正十边形可以五边形二等分角画出，所以问：“正十一边形呢？” 高斯摇摇头说：“也不可以的。正十三边形也不可以。” 戴德金说：“正十五边形呢？” 高斯不一会儿画了出来。 戴德金说：“十六边形在八边形的基础上二等分就可以了。那就剩下正十七边形了吧。” 高斯说：“正七边形、九边形、十一边形、十三边形和十四边形都是画不出来的。” 戴德金说：“那你还考虑正十七边形？说不定也画不出来。” 高斯说：“正十七变形符合费马数，符合费马数就可以画出来，只是我没那个能力而已。” 后来1825年约翰尼斯·厄钦格使用尺规作图画了出来。 第二百六十五章 高斯的地球磁场图(电磁学) 韦伯对高斯说：“如果磁铁可以指向南端的话，就说明，地球也是一个磁铁。” 高斯受到启发的说：“没错，一个磁铁我们可以画出他们的磁场。地球也是可以画出磁场的。” 高斯说：“我们可以这么做，如果画出地磁场来，我们就可以正确的使用指南针了。在地球不同的地方，肯定指南针会有不同的变化。” 韦伯说：“可是我们直接按照跟磁铁磁感线那样来绘制吗？要知道地球是圆形的，磁铁都是直线的。” 高斯说：“那我们就拿出一个圆形的磁铁不就可以了吗？” 韦伯神神叨叨的说：“等等，我还是觉得不对，或许地球不是圆形磁铁。” 高斯说：“除非地球一整个都是磁铁的，否则我们不能够准确的弄清是什么样的磁场形状。我们先要知道地球的磁铁从何而来。” 韦伯说：“应该是地球的中心含磁铁的部分来的，磁铁是四氧化三铁组成。” 高斯说：“这部分的形状是什么样子的？” 韦伯说：“应该是在地球中心，是球体的形状。” 高斯说：“那我们还得按照球体来，同时我们也要估测到球体与条形磁铁也有一定相似性。” 韦伯说：“万一地心是岩浆，是液体，这种四氧化三铁是一种液体状态，而且受地球旋转的影响而出现类似条形的结构呢。或许磁偏角也跟这个有关系呢。” 高斯说：“但是大致都脱不开这种磁感线的样子，我们只要按照测量的来就可以。我不向你这么复杂，我是搞数学的，只要在地球上很多地方采集几个磁力点，我在使用最小二乘法拟合即可。” 1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。 1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织磁协会发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。 高斯已经得到了地磁的准确理，他为了要获得实验数据的证明，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。 1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。 第二百六十六章 高斯定律(微积分、电磁学) 随着电磁学的兴起，高斯也开始对电磁的本质问题来了兴趣。 电磁的本质是什么，或者要先考虑电子的本质是什么？ 高斯说：“一个电子，它会产生电场，向球形一样由内而外，但又不像球形一样，那是向外到无穷远的地方。” 狄利克雷说：“但是一个带点的导体，如果形状不过于复杂的话，也会近似于一个电子的情况。” 高斯说：“导体的左右只不过是增加了电子的数目而已。” 狄利克雷说：“那测量一个导体的电力，该如何去测量呢？” 高斯说：“要在外面拦截一下，吧拦截到的电场强度测量出来，就可以测量电力。而拦截的形状需要包住整个导体，包围的那部分通过的电场就可以反推出导体中的电量。” 狄利克雷说：“如果包围的中心再加一个电子，那包围的电磁场也可以反应出来多了那个电子吗？” 高斯点点头说：“当然了，只要包围的电子都在包围圈里面。” 狄利克雷说：“包围圈只要包住电子就可以，那包围圈的大小和形状不需要考虑吗？” 高斯想了想说：“不需要，根本不需要。” 狄利克雷说：“大一点难道还有那么强的电场力吗？是不是就变弱了。或者更大一些包围的话，甚至会消失。” 高斯大声说：“糊涂了你，一点都不会减弱，电场的力量还是一样的。就算是到了无穷大，包围起来电场的总和，还是那个导体上的一堆电子导致的。” 狄利克雷细细想想，觉得也是这么回事。 这就是高斯定律：在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。 该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。 高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。 在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。 高斯面是高斯定理中的任一闭合曲面，指真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该闭合曲面内包围的电量的代数和乘以1\/e。 第二百六十七章 凯利提出矩阵(矩阵) 凯利发现了一种模型，矩阵才可以方便解决。 以下模型是不同类型汉堡的黎曼的面饼、牛肉和生菜的比例含量。 面饼牛肉生菜 汉堡a 50 60 50 汉堡b 30 20 40 汉堡c 20 20 10 以下是甲乙丙三个城市的面饼、牛肉和生菜的价格。 甲城乙城丙城 面饼 10 20 5 牛肉 9 15 4 生菜 8 10 3 比如汉堡a在甲城的售价是50*10+60*9+50*8=1440. 而且上下两个表格写出矩阵，按照矩阵乘法，可以得到汉堡在甲乙丙三个城市的汉堡的售价。 而矩阵出来能表示一个体系的运算以外，是不是还表示某种东西？ 毕竟一个矩阵可以拓展一个方程的解，也就是拓展了数域。 所以一个2*2的矩阵本身也代表的是比复数域多出一个维度的数域吗？ 而真正有用的是可以转化成上三角的那一部分吗？ 那代表的就是三维数域的实部、i部和j部吗？ 第二百六十八章 超几何函数(反常函数) 一般的函数，可以用坐标表示出图形，显而易见。 而有些数学，就像带奇点的二阶常微分方程。 欧拉在解二阶常微分方程上，研究出了很多反常的东西，尤其是这种带奇点的。 欧拉找到了一种形式，后来还找到了解法。 欧拉认为初等代数都可以由多项式或不等式来表示，而数学问题是不是都是有初等代数问题可以表示的，还在疑惑当中。 高斯突然想到，除了多项式以外，还要有包含除法的一种多项式，这就不仅仅是像多项式那么简单了。这个带了除法，且里面还带有各种系数的多项式就是一种超几何函数了。 高斯也沿着欧拉的轨迹向下走的，是n趋近无穷时2f1(a，b;c;z)=Σa(n)b(n)\/c(n)*z^n\/n!这样的方程，其中的a(n)=a(a+1)……(a+n-1)这样的阶乘函数。 在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2f1(a，b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。 波赫哈默尔对kummer说：“这个函数中的z绝对值小于1 。” kummer说：“这个函数能干什么用？” 波赫哈默尔说：“很多函数都可以用这个方程表示。” 波赫哈默尔然后开始写出以下表示，作为例子。 ln(1+z)=z2f1(1，1;2;-z) (1-z)^-a=2f1(a，1;1;z) arcsinz=z2f1(1\/2，1\/2;3\/2;z^2) kummer说：“我刚刚找到了b求无穷大的情形，名字叫合流超几何函数。贝塞尔柱函数也可以由此函数表示出来。” kummer写出合流超几何函数，形式为m(a，c，z)=lim2f1(a，b;c;b^-1z)。 波赫哈默尔满意的点点头。 勒让德函数，雅克比多项式，切比雪夫多项式，gegenbauer多项式都能用超几何函数表示。所有具有三个正则奇点的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。 其它特殊情形还包括krawtchouk多项式，meixner多项式，meixner–poczek多项式。 超几何函数有pfaff 变换和 euler 变换，都是分式线性变换的例子，跟莫比乌斯变换有关系。 除此以外还有广义超几何函数，这是超几何函数推广，就是这个式子关于p(n)的项变得很多了 那么超几何函数显而易见离初等代数不远，但是能不能纳入初等代数中？这在图形的本质上，就变成了初等代数是否包含奇点？如果奇点太多，那指定不能看做是初等代数问题，但奇点在有限个甚至很少的时候，是不是就可以看做初等代数问题。 第二百六十九章 雅克比恒等式(对称性) 在数学中发现不对易的乘法之后。 雅克比觉得，可以把不对易的乘法推广到多个变量上，看看会有什么样的效果。 多次计算之下，雅克比发现了一种等式，[x，[y，z]]+[y，[z，x]]+[z，[x，y]]=0。 雅可比恒等式是椭圆函数理论中的一个着名恒等式。 现在如果把这个等式带入到任意一个三角形中，x，y，z代表三角形三遍的向量，乘法代表cross product。这个式子本身可以描述三角形的三个高相交于1点。 三角形垂心都交于一点的证明，这是个古老的平面几何问题。 后来，阿诺德竟然用雅可比恒等式来证明。 雅可比恒等式可过渡到一个关于李括号的两层嵌套恒等式，那应该就是微分几何的第二比安奇恒等式，是广义相对论的一个要点。 阿诺德用雅可比恒等式证明这个平面几何定理，给我们演示了高射炮打蚊子确实比较轻松这一伟大命题。 这是个符合3阶轮换对称的一种结构，优美而奇特。 满足雅可比恒等式的代数结构不一定满足反交换律。反交换律是交换律上加变号。 那不满足也可比恒等式的代数会存在吗？可能是高阶矩阵就可以了吧。 那会不会有广义的雅克比恒等式。 雅克比恒等式要是符合李代数或者李群，那更加复杂的广义雅克比恒等式是一种什么代数？ 第二百七十章 雅可比行列式(矩阵) 由于知道一个平面上曲线的导数，就是对应点上的斜率。 那么在曲面中，是不是该有一个切曲面。 而在曲体里，会有切体。 如何去用数学工具去研究呢？ 曲面中，只有一个x变量，出现的就是对应的直线。 而曲面中，需要一个平面的话，就需要两个直线去确定一个平面。 而曲面是在x、y两个变量中的变化，曲面方程的求导只能按照直线求导的方式来。 那先去求x的导数，还是先求y的导数？这个先后如果求的导数不同话，那就说明有一种方向不同的连续性的东西。 当然这也是以后，柯西准则，去判断曲面连续性的东西。 而这里，去对曲面甚至曲体甚至曲高维体求导，就用雅可比行列式。 雅可比行列式通常称为雅可比式，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。 事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。 若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微，则因变量也对新变量连续可微。 这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。 也类似于导数的连锁法则。 偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。 雅可比行列式求导，两个变量之间是垂直的，但是也能反应出斜向的一些曲率变化力。 对雅可比矩阵的理解就是对多变量向量的求导，跟y=f''(x)代表曲线切线一样，雅可比矩阵代表了一个高维度的切空间，有了这个切空间，就可以通过设定初值迭代出无法得到解析解的微分方程组的数值解。比如三体、多摆等问题~ 雅可比在想，如果是任意的高维表面，我在这个表面上，开始做出对应这个维度的切体，这个切体沿着这个高维面滑动，滑动之时，这个切体会发生变化。 可以研究这个切体的变化来推敲这个高维物体的性质。 这样的模型很难感悟，需要感悟这些数字，因为光是数字，很难形成图形，而这些切体也难于用大脑想象，同时切体中的形状也会相互交错。 第二百七十一章 索菲热尔曼考虑震动(波动) 热尔曼发现，薄膜震动时，上面的沙子会出现一种特殊的花纹。 这种花纹十分稳定，整齐，有规律，周期性。 细细一看，薄膜震动强烈的地方几乎没有沙子，薄膜震动比较弱的地方聚集了沙子，沙子的多少与震动的强弱是稳定的反相关存在。 随着震动频率的改变，沙子震动的花纹也发生了改变，图形十分的稳定优美。 热尔曼认为，如果通过这种方式来观察薄膜震动的能力，是个绝佳的实验。 薄膜在某种频率下的震动，当然是震动区的波出现了反射和叠加，当这些发射和叠加处于一个稳定状态的话，就会交错出这些花纹。 但是这些花纹都是有各种最基本的圆形的波的传播和反射形成的，这些波有特定的频率，这些特定的频率就跟这个震动方式有关。 根据花纹周期性的大小，找到周期的中心，每个中心会形成一个点阵，每个点的距离就跟波震动的周期有关系。 索菲亚知道，花纹仅仅是个表面，不要被那华丽的表面迷惑，本质仅仅是那个简单的震动导致的。 索菲亚自己直接根据震动，对固定的震动反射出来的波的叠加，列出华丽的方程，以此直接算出哪个点的震动方式如何。 1811年法国科学院悬赏征答，有关于弹性表面的数学表达式。1816年1月，热尔曼提出“弹性表面理论”。 这可是挑战了当时的拉普拉斯学派。 《弹性震动研究》也奠定了现代弹性理论的基础，论文最终被法国科学院接受并授奖。 第二百七十二章 热尔曼的数论(数论) 1807拿破仑战争，法国军队占领了德国的汉诺威城。举世闻名的“数学王子”高斯就住在那，高斯的家也被几个战士“包围”了。 就当高斯觉得自己这次死翘翘了时，前线指挥官帕尼提将军下令，要给予这位伟大数学家特别的照顾以保护其安全。 高斯感到懵逼，“嗯？说好的杀我呢？” 帕尼提告诉高斯：“那是因为热尔曼小姐要保你的命”。 这一答，高斯更懵了，因为他从来不认识什么热尔曼小姐！ 其实在1798 年，热尔曼就和高斯有了关联。因为读了法国数学家勒让德的《数论》，热尔曼开始研究费马猜想。 为了证明费马猜想，她研究了高斯关于数论的文章，但为了避免麻烦，她仍然以“勒布朗先生”的假名与高斯通信。 所以高斯不知道她也是不奇怪的。 1809 年，高斯的兴趣转向应用性更强的问题，这个“狠心”的男人和热尔曼的通信也就此中断。 十年后，热尔曼又给高斯写了一封信，阐述了她对证明“费马最后猜想”的思路，并在一个特殊的条件下证明了这一猜想。 内容是，她找到了一种热尔曼素数。 对于质数p来说，若2p + 1亦为质数，那么质数p为索菲热尔曼质数。索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若x，y，z均为整数，在x^p + y^p = z^p这式子内，必有一项能被p整除。 是否存在无限个索菲热尔曼质数仍属猜想。 高斯还是没有回信。 但1831年，在高斯的推荐下，哥廷根大学考虑授予她荣誉学位。 高斯对此写道，“她向世界证明了女性也可以在最精细和抽象的领域作出杰出的贡献，因此向她授予荣誉学位是完全合理的”。 虽然法国的大环境给了热尔曼很多的束缚，但她在诸多领域依旧取得了出色的成果。 这是费马定理提出以来，有关这个着名问题最重要的进展。 热尔曼所引入的素数后来以她的名字命名为热尔曼素数 值得一提的是，热尔曼素数至今仍是人们的研究对象，通过计算机的帮助，人们一直 在寻找更多更大的热尔曼素数。 迄今为止，最大的热尔曼素数是在2007年1月得到的。这个数有位！ 第二百七十三章 热尔曼开始研究曲面(微分几何) 她开始研究曲面的弯曲程度。 一个曲线的弯曲程度，只需要知道其导数即可。 而曲面就复杂一些了，但是如何准确的表达这种弯曲程度呢？ 这个问题不好想。 热尔曼找到了一种平均曲率，平均曲率是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为k1，k2，那么平均曲率则为：k =(k1 +k2 )\/ 2。 第二百七十四章 奥斯特电磁感应(电磁学) 汉斯·克里斯蒂安·奥斯特自从库仑提出电和磁有本质上的区别以来，很少有人再会去考虑它们之间的联系。 而安培和毕奥等物理学家认为电和磁不会有任何联系。 可是奥斯特一直相信电、磁、光、热等现象相互存在内在的联系，尤其是富兰克林曾经发现莱顿瓶放电能使钢针磁化，更坚定了他的观点。当时，有些人做过实验，寻求电和磁的联系，结果都失败了。 奥斯特分析这些实验后认为：在电流方向上去找效应，看来是不可能的，那么磁效应的作用会不会是横向的？ 在1820年4月，有一次晚上讲座，奥斯特演示了电流磁效应的实验。 当伽伐尼电池与铂丝相连时，靠近铂丝的小磁针摆动了。 这一不显眼的现象没有引起听众的注意，而奥斯特非常兴奋，他接连三个月深入地研究，在1820年7月21日，他宣布了实验情况。 奥斯特将导线的一端和伽伐尼电池正极连接，导线沿南北方向平行地放在小磁针的上方，当导线另一端连到负极时，磁针立即指向东西方向。 把玻璃板、木片、石块等非磁性物体插在导线和磁针之间，甚至把小磁针浸在盛水的铜盒子里，磁针照样偏转。 奥斯特认为做实验不能面面俱到不说，就算是很多实验，恐怕也不能及时的拿到仪器。 所以奥斯特认为，需要建立一个思想实验，这种思想实验，也是一种实验，不需要实际的去准备那些实验用具，只要思维上可以合理的构建实验过程，然后然实验开始合理进行，这也足够达到实验效果了。 第二百七十五章 亥姆霍兹能量守恒(力学) 能量的英文“energy”一字源于希腊语：?ν?pγeia，该字首次出现在公元前4世纪亚里士多德的作品中。 伽利略时代已出现了“能量”的思想，但还没有“能”这一术语。 能量概念出自于17世纪莱布尼茨的“活力”想法，定义于一个物体质量和其速度的平方的乘积，相当于今天的动能的两倍。 为了解释因摩擦而令速度减缓的现象，莱布尼茨的理论认为热能是由物体内的组成物质随机运动所构成，即物体分子的内能，而这种想法和牛顿一致，虽然这种观念过了一个世纪后才被普遍接受。 1807年托马斯·杨发现了每个东西都蕴含能量，这些能量都是相同的。 1831年法国学者科里奥利又引进了力做功的概念，并且在“活力”前加了1\/2系数，称为动能，通过积分给出了功与动能的联系。 1853年出现了“势能”，1856年出现了“动能”这些术语。 直到能量守恒定律被确认后，人们才认识到能量概念的重要意义和实用价值。 亥姆霍茨开始考虑，如何能量是可以相互转化的，同时也都能用做功的思想来描述，那相对而言所有的能力都可以保存在一个东西上。 但是在保存的过程中，会不会有浪费的情况？ 更重要的是，能不能制造一个机器，可以不断的往外输出能量？如果要是能成功的话，是不是可以制造一种永久机器，不断的往外产生能量，帮助人们劳作？ 亥姆霍茨看到很多人的永动机都不能成功运行，发现能量是不能凭空产生了。 那么能量是如何消失的呢？他发现不论是什么样的能量的转变，都会留下痕迹，这个痕迹即使是人类难以觉察，但是依旧可以用其他方式观察到。 从最本质来讲，如何能量都是动量，也就是质量乘以速度的平方的一半，这样的量在什么情况下都不会轻易发生改变，一个能量的消失也会让另外一个没有活力的东西得到能量。 所以亥姆霍茨认为，能量既不会凭空产生也不会凭空消失，它只会从一个物体转移到另一个物体，或者从一种形式转化为另一种形式，而在转化或转移的过程中，能量总量保持不变。 一切能量，都是由力来产生的。 物体内部的能量也是由于每个分子震动产生，也就是分子之间也有力。 重力势能是来自地球的引力。 电子的能力是来源于电磁力。 光的力量是来源于光里。 亥姆霍茨认为，凡是会有变化的东西，都是内在的力的作用产生的。 把世界上的一切都归结于力，是亥姆霍兹能量守恒理论的核心观点。 关于能量守恒定律，亥姆霍兹主要论点有三，即：一切科学都可以归结到力学；牛顿力学和拉格朗日力学在数学上是等价的，因此可以用拉氏方法，以里说传递的能量或它所作的功来量度力；所有的能量都是守恒的。 第二百七十六章 亥姆霍茨色觉理论(光学) 杨-亥三色说。杨首先提出了三原色的假设。 亥姆霍兹又假设在视网膜上有3种神经纤维，每种纤维的兴奋引起一种原色的感觉。 光谱每一波长的光刺激都能引起3种纤维强度各不相同的兴奋。 如果其中有一种纤维兴奋最强烈，就会产生与之相应的原色感觉。 如果3种纤维的兴奋相等，就产生白色感觉。 若3种纤维的兴奋强度不等，就综合为某种不饱和的颜色感觉。 三色说认为，神经纤维的疲劳是产生负后象的原因(见视觉)。 缺乏1种甚至3种纤维会造成单色盲或全色盲。 现代神经生理学的研究发现，在视网膜上确实存在着3种感色的锥体细胞。 这一发现，有力地支持了杨-亥三色理论。 杨-亥三色理论对颜色混合问题的圆满解释，为色觉的研究和颜色实践的发展作出了重大贡献。但是这一学说却不能圆满解释色觉的缺陷。 黑林四色说。 e.黑林提出有红、绿、黄、蓝4种原色和3对起颉颃作用的器官，即红和绿，黄和蓝以及黑和白感受器。 黑林认为任何颜色和白光都能引起黑白机制的活动，如果等量的黄和蓝或红和绿光混合，因为它们本身是颉颃的，其作用互相抵消了，所以最后只有白色的感觉。 如果不等量的起颉颃作用的光混合，在相互抵消后，剩下的就是较强的那种不饱和的色光感觉了。 如果同时呈现的是非颉颃色光，结果便是二者的混合。 按照这个学说，负后象的产生是由于颜色刺激停止后，与此颜色有关的对立过程开始活动，因而产生原来颜色的补色。 色盲则是由于缺乏一对或两对感受器的结果。 现代生理学发现，在视网膜神经节和外侧膝状核中有4种起颉颃作用的感色细胞。 这种发现有力地支持了四色说。 但四色说对三原色能产生光谱上的一切颜色这一事实则不能给予说明。 色觉阶段说。一种色觉理论。 现代神经生理学的发现既支持了三色说也支持了四色说。 为把二者统一起来，提出了色觉阶段说。 这种学说认为，色觉过程可分几个阶段：颜色视觉机制在视网膜感受器水平是三色的，符合杨-亥三色说，而在视网膜感受器以上的视觉传导通路上又是四色的，符合黑林的四色说，最后在大脑皮层的视觉中枢才产生各种色觉。 第二百七十七章 摩尔斯电码(密码学) 塞谬尔·摩尔斯和他的助手艾尔菲德·维尔发明了发报机而摩尔斯电码。 是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来表达不同的英文字母、数字和标点符号。它发明于1837年，是一种早期的数字化通信形式。 不同于现代化的数字通讯，摩尔斯电码只使用零和一两种状态的二进制代码，它的代码包括五种：短促的点信号“?”，读“滴”（di）保持一定时间的长信号“—”，读“嗒”（da）表示点和划之间的停顿、每个词之间中等的停顿，以及句子之间长的停顿。 这个改变了人与人之间的交流方式，对后来的很多无线电通讯的影响很大。当然，在人与人之间交流的时候，为了防止自己重要信息被外人截获，就加入了密码，这样外人看起来就是乱码。 但他们两个人发明了电报之后，也不限于此。他们想去思考一些更深邃的东西。 比如机器与机器之间如何传递信息？也需要向人那样用语言吗？当然没必要，只需要传递简单的词汇，让对方领会自己的意思就可以了。 什么样的词汇才可以，需要尽量的简化，同时也不要出错。 如何才能达到以上标准，只能是传递一种特殊的，号识别的电波。 塞谬尔·摩尔斯对艾尔菲德·维尔说：“机器之间的对话怎样才会形成？需要人类听懂吗？” 维尔说：“不需要，只需要机器懂就行。” 摩尔斯说：“这个很好理解，让全世界的机器实现自我通讯的功能。充分获得信息，做出效率更高的事情。” 摩尔斯开始思考广泛的这些可以接受的各种各样的信息，不仅仅局限发报机频率的信号。继续说：“之后，我们甚至可以去截获四面八分发来的本不属于自己的电报。或者我们需要去区分是否得到的是个电报，或者是随机的自然界的东西。” 维尔说：“如果是这样，我们就需要制造各种各样的机器，然后排除信号，找到疑似的有意义的信号，然后处理分析，只能看是否能从中提取出对我们有用的信号。” 摩尔斯和维尔开始制造各种个月频段的接收机，想接受四面八方，甚至有外太空的很多信号。 但是自己收到的是各种各样的乱码，而且自己没有过滤各种噪音的手段，所以就算得到了一堆宇宙噪音数据，也没有用。 虽然摩尔斯知道如果其中有一个外星信号有用，那也是重大发现，但现在以自己所学知识，还是无法很好的判断哪个波会有价值。 摩尔斯认为，如果外星人早就开始发射信号，那需要有时间和记录等等的信息，这些不应该加密，从波形上应该可以看出有时间那种数字上递增的一种东西。然后夹杂在其中的，才是一种信息有关的东西。 如果外星人发报的话，那肯定会在没有任何回复的情况下，重复发报。这样的化，自己就不会错过任何一个信息。 但后来，刘慈欣认为，聪明的外星人不会轻易发报，因为会被更高级的文明狙击摧毁。这个也就是后话了。 第二百七十八章 毕奥－萨伐尔定律(电磁学) 萨伐尔也觉得自己不正常了。 明明父亲想让自己当工程师，自己却一定要研究医学，追随拿破仑后，当了军医，拿破仑倒台之后，自己又是医生。 可是自己却又开始去研究声学，以至于沉迷到没有病人来找他了。 萨伐尔恨自己的反复多变，知道自己喜欢的东西多，那个都想做，但是由于时间不够，所以只能做一点点，导致自己高不成低不就，让父亲等人也看不清自己。 毕奥认识萨伐尔，对萨伐尔研究声学这个事情有了兴趣。 看过萨伐尔研究萨伐尔音轮后，对其的研究惊叹不已。 毕奥对萨伐尔说：“喜欢的，就可以去做，这是自己的权利。毕竟人的一生还很短暂。” 萨伐尔想想也对，自己喜欢做什么，就做什么，哪里有那么多道理？ 毕奥说：“你最近也听说关于奥斯特发现电磁感应的事情了吧，我们可以研究这个新东西。” 萨伐尔说：“我知道，电流能生磁。” 毕奥说：“没错，难道我们不需要研究一下电能生磁的本质吗？” 萨伐尔说：“本质就是研究，一个电子，在运动的情况下会生出磁场。但是一个直线运动的电子，会生出什么样的磁场？” 毕奥还原了奥斯特的实验，最后根据导线方向与指南针的偏转方向判断，磁场是横向于电场的。 毕奥和萨伐尔共同发现，电流元在空间某点处产生的磁感应强度的大小与电流元的大小成正比，与电流元所在处到点的位置矢量和电流元之间的夹角的正弦成正比，而与电流元到点的距离的平方成反比。 第二百七十九章 安培环路定理(电磁学) 毕奥与萨伐尔实验完成后，又找到了安培，对安培说了自己的实验。 安培对毕奥说：“你是用电子移动的方法研究磁力的，这个不完全是本质。” 毕奥说：“都已经在围观的层面了，难道还不是本质？” 安培说：“你想想看，你们的使用是在奥斯特实验的基础上做的，你应该明白电子动的原因吧？” 毕奥说：“电子动是因为电池产生的电压，在导线上驱动的。” 安培说：“没错，这个实验，是一个电路实验，我们应该从他们的整体研究。” 毕奥说：“什么意思？” 安培说：“如果奥斯特发现了指南针在电流作用下偏转，我们就应该知道电流下磁场的形状是什么样的。我们就要从这样的整体中研究。” 毕奥说：“我和萨伐尔研究了磁场是横向于电场的，你要是研究整体，就应该是这个思路。” 安培说：“假设是一个环形的封闭电流电流，那磁力线会从环形的一端进入另外一端。” 毕奥说：“你的意思是在环状电路里出现了一个类似磁铁棒这样的东西吧。” 安培说：“不仅如此，在环状电路外围出现了与环内方向相反的磁力线。” 毕奥说：“是呀，这个我没想到，磁力线是封闭的，可能不会往无穷远处跑，理应是返回到圆点的，那也就是说磁力线也是包围着电线的，电场线包围着磁力线，磁力线也包围着电场线。” 安培根据毕奥-萨伐尔定律得出安培环路定理，在稳恒磁场中，磁感应强度b沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。 第二百八十章 安培定则(电磁学) 毕奥说：“这是个了不起的发现，但是磁力的n极和s极都是有方向的，电场线如何判断这一切。” 安培说：“这个你放心，我已经发现好了，用右手就可以。” 安培用右手竖起大拇指，对毕奥解释道：“用右手握，让四指指向电流的方向，那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的n极。” 毕奥正在比划着，安培说：“就是通电的螺线管也是，用右手握住通电螺线管，让四指指向电流的方向，那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的n极。” 毕奥说：“这可以叫右手螺旋定则。” 安培说：“导线也符合这个定则，用右手握住通电直导线，让大拇指指向直导线中电流方向，那么四指指向就是通电导线周围磁场的方向。” 毕奥说：“这太身体了，你几乎要统一整个电磁学了。” 安培说：“不仅仅如此，通电导线在磁场中还会受到力的作用。” 第二百八十一章 安培力(电磁学) 毕奥说：“真的吗？如此神奇？” 安培说：“奥斯特的实验里，通电导线让指南针偏转，这就是电对带磁的东西有力的作用。所以反过来讲磁场对带电的东西有力的作用。” 毕奥说：“有理。” 安培说：“以电流强度为i的长度为l的直导线，置于磁感应强度为b的均匀外磁场中，则导线受到的安培力的大小为长度乘以磁场强度乘以电流强度，再乘以导线方向与磁场方向夹角的正弦。” 毕奥说：“这个式子是千真万确吗？” 安培说：“极其准确，一丝丝错误都没有。” 毕奥说：“以你的机智，恐怕连力的方向都可以迅速判断了。” 安培说：“这是用左手判断的。” 安培把左手自然展开说：“磁场垂直穿过手心，手指指向电流方向，大拇指就是导线受力方向。” 毕奥折服。 第二百八十二章 安培滴定法(化学、电磁学) 安培将电路两极通入溶液中，想要做溶液带电的实验。 在成功通入后，由于电解的反应，让电路产生电流。 电流表的指针指出了一个电流的值。 安培想拿着化学溶液继续配置溶液，往溶液里倒入新化学物质时，发现电流表的指针开始变化。 安培突然想：“通过电流表的信息，是可以解读溶液中的反应情况的。” 安培认为，以前在配置一些溶质的时候，总害怕加多了或者加少了，光看溶液的样子，也无法准确判断，而这个电路是可以判断这一切。 安培开始分析电路变化有四种情况： 电流渐减至一恒定值，说明不会再反应； 电流从一恒定值逐渐增加，反应越来越强，配置越来越均衡； 电流渐减后又逐渐增加，原反应已经完，开始出现新反应； 电流不断增加，反应越来越强。 第二百八十三章 科里奥利力(理论力学) 科里奥利是法国的气象科学家。 对于他来讲气象学需要有一个根源，就是复杂的气象是如何产生的？ 需要考虑地球这个特殊的结构，首先有自转和太阳光的照射，导致了白天和黑夜的交替，赤道与极地温度的区别。 这个很好想象，白天黑夜导致的仅是白天的气体热，黑夜气体凉快，然后气体从温度高的白天往温度底的黑夜吹过去。 同理，赤道的热气会往极地吹过去。 科里奥利认为自转也是影响天气的因素之一。毕竟自转可以让大气有一种惯性，让大气围绕地球旋转。地球一头的大气会由于惯性，到达另一头。 如果把这种综合因素考虑好的话，气象变换的根源就找到了。 最主要的是大气因地球自转产生的惯性，这是最主要的因素。 这不仅仅是气象，这已经是力学了，这不是普通的力学，而是对旋转体系中进行直线运动的质点由于惯性相对于旋转体系产生的直线运动的偏移的一种描述。 这就是科里奥利力有些地方也称作哥里奥利力，简称为科氏力。 江河湖海的流动也跟科氏力有关系。 旋转如何能成为有力的作用的？这个是一个值得深思的问题。假想一个模型，一个球体，绕着自己的轴线旋转，然后把正在旋转球体渐渐放大，就可以看到一个巨大的球体在旋转，在赤道部分运动的速度很快，球体半径越大，赤道运动的速度就越快，而只留下赤道的某一部分，按照原来的方式继续运动，当半径很大的时候，猛一看以为这个东西是一个快速的直线运动。 那么旋转其实在某种程度上，等价于直线运动。当然，这是一种极限思维。 第二百八十四章 科里奥利效应(理论力学) 科里奥利开始思考关于转动的问题， 科里奥利制作了一个旋转台，使用一个机器驱动旋转台转动，自己开始在旋转台上走路。 此刻整个平台的整体在旋转，但在中心附近的一点画出一个小圈，此处在缓慢地运动，而靠近外缘的一点则画出一个大圈，因而在快速地运动。 科里奥利站在中心附近的那个点上，想要直接从中心出发的一条直线上走向靠近外缘的那个点。 在中心附近的出发点上，科里奥利取得了该点的速度，缓慢地运动。 当科里奥利向外走时，惯性效应使他保持缓慢运动，不过，当他越往外走的时候，脚下的台面转动得越快：他本身的慢速和台面的快速的结合，使他觉得你在被推向与旋转运动相反的那个方向去。 旋转游戏台是在逆时针方向转动，科里奥利发现，当他向外走时，他的路线越来越明显地顺时针方向弯曲。 科里奥利从靠近外缘的一点出发向内行进，科里奥利保持着出发点的快速运动，脚下的台面运动得越来越慢。因此，科里奥利会觉得你在旋转方向上被越推越远。 在旋转游戏台是逆时针方向运动的时候，科里奥利的路线会再次越来越明显地顺时针方向弯曲。 科里奥利从靠近中心的一点出发，向靠近外缘的一点走去，然后回头向靠近中心的一点走去，而且沿着阻力最小的路径前进，科里奥利发现，他走的路径大体上是一个圆形。 科里奥利效应如果一个物体是静止的，或者相对于某一固定点作恒速运动，那么，在这个物体上运动是不会出现什么问题的。 如果你想从物体一端的a点沿着一条直线走到另一端的b点，你在走的过程中不会感到有任何困难。 但是，如果一个物体的不同部分以不同的速度运动，那么，情况就大不一样了，假定有一个旋转游戏台或者任何一个绕其中心旋转的平台。 第二百八十五章 科里奥利流量计(流体力学) 有一天科里奥利看到一个流水的管道会震动，期初没有什么感觉。 之后又看到粘稠的油流过一个管道的时候，看到管道有缓慢的震动。 科里奥利开始想：“是不是不同的液体，在流过相同的管道的时候，管道的震动是不一样的？” 科里奥利觉得做个实验，他找了一根软管，把两头固定好，然后找到了水、果汁、油、蜂蜜等等各种粘稠度不一样的液体，让这些液体通过管道，然后科里奥利自己开始观察这些不同液体对管道的震动的情况。 对水、果汁、油、蜂蜜这些液体的震动模式进行记录，发现不同液体的流动导致的软管的震动是不一样的。 科里奥利说：“如果单单看软管的震动方式，就可以判断管子里是什么液体在流动。” 科里奥利开始去寻找其中的原理。 原来流体为了反抗这种强迫振动，会给管子一个与其流动方向垂直的反作用力，在这种被叫做科里奥利效应力的作用下，管子的震动不同步了，入口段管与出口段管在振动的时间先后商会出现差异，差异是由于入口段和出口段流体流向是相反的，这叫做相位时间差。这种差异与流过管子的流体质量流量的大小成正比。如果通过电路能检测出这种时间差异的大小，则就能将质量流量的大小给确定了。这种流量计被称作科里奥利直接质量流量计，它与世界上目前在用的几十种常规容积式流量计的最大不同是它测的质量的大小，使用的单位是kg\/h。用质量作单位的流量计比用容积作单位的容积式流量计要准确和恒定。因为质量是遵循守恒定律的。 后来发现不同的流速，不同密度的流体会有不同的震动。 后来制作出的流速管，就是这种软件，在软管旁边放置电子测量传感器，去记录流动物在软管上的震动来识别不同密度的液体。 科氏力质量流量计的发明是科技界苦苦求索几十年的结果，它不但具有准确性、重复性、稳定性，而且在流体通道内没有阻流元件和可动部件，因而其可靠性好，使用寿命长，还能测量高粘度流体和高压气体的流量。现在汽车用的清洁燃料压缩天然气的计量就是靠它测准的，而在石油、化工、冶金、建材、造纸、医药、食品、生物工程、能源、航天等工业部门，其应用也越来越广泛。它的问世带来了流体测量技术的一次深刻变革，被专家誉为是21世纪的主流流量计。 第二百八十六章 科里奥利错觉(生物学) 科里奥利有一天坐在转盘上，转盘转动后，自己不小心在转盘上打了一个滚，突然感觉自己方向失控，不知所措的在各种滚动，很久才反应过来。 科里奥利觉得这其中很有学问，他开始研究一种特殊的转椅，然后让这个椅子可以有两个轴的转动，然后看看人会有什么反应。 科里奥利造好了这种转椅，开始尝试坐在上面，其中转椅，先是一个方向转动，然后开始第二个方向的转动。 科里奥利突然觉得自己的方向感变得很差，甚至无法定位方向，自己只能任凭转椅转动，而无法做出正确的姿势。 这就是科里奥利错觉，亦称“交叉力偶错觉”。前庭本体性错觉的一种。 产生于人体绕一个轴旋转时，又在与旋转轴垂直的另一个轴面内动头所产生的与前两个轴垂直的第三个轴面内。 这种效应十分严重，可使飞行员产生一系列植物性神经反应。 实际飞行中，当飞机作横滚、螺旋、筋斗或盘旋改变坡度等运动时，飞行员又作低头、仰头、左右转头或弯腰等动作时，最易发生。其发生机理异常复杂，主要是半规管受两个平面的角运动刺激，产生交叉力偶反应所致。 第二百八十七章 莱昂·傅科摆(理论力学) 一个教徒对傅科说：“你给我好好说说，你凭什么认为地球会动？” 傅科看到这个教徒又来纠缠自己，对教徒说：“早就跟你说过了，天上的星辰还有太阳是不会乱动的，是地球自转的。” 教徒说：“你开什么玩笑，地球一旦转动，我们不会被晃死？” 傅科不耐烦的说：“晃死？地球一直就是平稳的转动的，又没有启动和暂停过，所以你感觉不出来，你这个猪脑。” 教徒说：“不对，你说的可是地球的转动，不是平动。” 傅科说：“因为地球太大，我们感觉不到，只是微弱而已。” 教徒说：“严重的诡辩，我们没法相信你的这个说辞。” 傅科说：“江河湖海的流动，也跟地球的转动有关系。” 教徒说：“不是的，那是因为下雨长期累积的。” 傅科说：“你如何才能相信这一切。” 教徒说：“你只要给我证明地球是动的就行。” 傅科对教徒说：“你想想看，如果地球是动的，我挂一个东西，然后这个东西长期被地球转动而拖拽，也会有摇摆运动？”分析这种现象，摆在摆动平面方向上并没有受到外力作用，按照惯性定律，摆动的空间方向不会改变，因而可知，这种摆动方向的变化，是由于观察者所在的地球沿着逆时针方向转动的结果，地球上的观察者看到相对运动现象，从而有力地证明了地球是在自转。 教徒说：“没错，这你可是说出来了，我们现在就证明。” 教徒不一会儿拿了一根绳子，下面绑上砖头，然后挡住风，教徒对傅科说：“你看到了，这么久了，砖头可没有被拽动，你输了。” 傅科思考了一下，对教徒说：“这样，要把绳子弄得高点，然后下面拉下更重的东西。” 教徒说：“没问题，听你的，只要摆动了，我就服你。” 傅科为了证明地球在自转，1851年，找了摆长67米，摆锤重28公斤，悬挂点经过特殊设计使摩擦减少到最低限度。 这样做是为了避免惯性，这种摆惯性和动量大，因而基本不受地球自转影响而自行摆动，并且摆动时间很长。 教徒说：“这个工作的细致令人折服，但是如何才能知道摆子是动的？” 傅科说：“需要在下面做一个标记，来给摆子所在的地方定位，让我们观察出摆子位置的变化。” 教徒还叫了另外一些教徒一起来观察摆子的移动。 摆动过程中摆动平面沿顺时针方向缓缓转动，摆动方向不断变化。 摆锤的下方是巨大的沙盘。每当摆锤经过沙盘上方的时候，摆锤上的指针就会在沙盘上面留下运动的轨迹。按照日常生活的经验，这个硕大无比的摆应该在沙盘上面画出唯一一条轨迹。 在把傅科摆移回巴黎。摆锤的运动可以分解为沿地轴方向的和与之垂直方向上的两个分运动。后者会产生相对地面的旋转。这两个分运动合成的结果是，从地面上的人看来，傅科摆以某种角速度缓慢的旋转——介于傅科摆在北极和赤道的角速度之间。如果在北极的观测到傅科摆旋转一周的时间是31.8小时。 教徒们对这一想象惊到目瞪口呆。 后来傅科摆放在法国巴黎先贤祠最高的圆顶下方。 第二百八十八章 莱昂·傅科陀螺仪(理论力学) 傅科看到小孩们在玩陀螺，陷入了沉思。开始研究陀螺仪。虽然前人已经发现，但是傅科想研究出个所以然来。 傅科找到了科里奥利，对科里奥利开始讨论陀螺仪的事情，他知道科里奥利也研究关于转动的力学。 对科里奥利说：“你有没有找过陀螺仪的事情。” 科里奥利说：“我研究过地球的转动，没有想过小的转动力学。”科里奥利也知道傅科对傅科摆的实验，敬佩其才华，想看看他对陀螺仪会有什么想法。 傅科说：“快速转动的陀螺，转轴保持在一个方向，认为这也是陀螺转动的惯性所导致。” 科里奥利说：“也有移动的时候，类似地球岁差动。” 傅科说：“这种岁差，是因为惯性被破坏导致，由于转动惯性不够大，如果够大的话，就不容易受到外界影响。如果力矩很小，就会严重影响到它的稳定性。” 科里奥利说：“你说的惯性够大，一个是足够的快，一个是足够的重。” 傅科说：“没错，这样的陀螺看起来跟静止的状态一样。” 科里奥利一听到静止这样的词说道：“静止与运动的陀螺仪本身并无区别，如果静止的陀螺仪本身绝对平衡的话，抛除外在因素陀螺仪是可以不依靠旋转便能立定的。而如果陀螺仪本身尺寸不平衡的话，在静止下就会造成陀螺仪模型倾斜跌倒，因此不均衡的陀螺仪必然依靠旋转来维持平衡。” 傅科继续开始剖析陀螺原理的复杂之处说：“同时，陀螺仪本身与引力有关，因为引力的影响，不均衡的陀螺仪，重的一端将向下运行，而轻的一端向上。在引力场中，重物下降的速度是需要时间的，物体坠落的速度远远慢于陀螺仪本身旋转的速度时，将导致陀螺仪偏重点，在旋转中不断的改变陀螺仪自身的平衡，并形成一个向上旋转的速度方向。” 科里奥利开始想太空中的陀螺仪会是什么样子的，是不是有一个稳定的岁差运动。 第二百八十九章 莱昂·傅科发现涡电流(电磁学) 傅科很不喜欢当下萎靡不振的学科发展，认为很多人都只是在学习时很忌讳不讲发明，只讲证明；不讲道理，只讲定理。所以他希望这一切发生改变，变成讲道理的学问，变成讲发明的科学。 1855年9月，傅科对安培说：“我发现的这个奇特现象一定要让你知道一下。” 安培看到傅科的实验装置，心里觉得惊奇。 眼前是一个厚重的铁棒，然后导线缠绕在铁棒上，导线两头通入的是交流电。 安培对傅科说：“你这样做是为了干什么？” 傅科对安培说：“我想给你看看铁棒被加热的过程。” 安培说：“有用，可以应用在非明火加热中。可以解释其中的原理吗？” 傅科说：“移动的磁场与金属导体相交，或是由移动的金属导体与磁场垂直交会所产生。” 安培说：“产生磁场我懂，只是这是如何加热的？” 傅科说：“有了磁场的变化，就可以在铁棒中产生电流。磁场变化越快，感应电动势就越大，涡流就越强，涡流能使导体发热。” 第二百九十章 莱昂·傅科偏光镜(光学器件) 傅科在早年的时候跟斐索一起去研究来探索太阳光的强度。 斐索对傅科说：“对于太阳光的强度，你要以什么来作为标准？” 傅科说：“以火光来做标准。” 斐索说：“我细想过，不知当讲不当讲。” 傅科说：“有什么问题，使用弧光灯和一些元素的火焰来对比阳光，不就可以找到标准了嘛。” 斐索说：“我觉得，我们会有干扰，然后研究出的结果不能很好的反应火焰与阳光的区别。我们探测到的阳光恐怕不纯。” 傅科和斐索简单做过实验之后，发现也确实如此，太阳光的实验数据有水分。 傅科问斐索：“你如何觉得太阳光不纯的？” 斐索说：“我们看到很多漫反射的光，这些光会多次叠加对实验结果干扰。” 傅科发愁的说：“那的想想办法，去寻找自然的光，把不符合实验结果的光给想办法过滤掉。” 傅科没有停止对光的研究，看到百叶窗对自己看窗外风景有干扰后，傅科最终想出一个可以过滤漫反射光的方法。 傅科把一个玻璃片上，使用刀片，小心翼翼的划出很多平行等距直线。 傅科认为这样的镜片只能接受某些方向的光，对滤光有很大的帮助。 1857年傅科发明了以他命名的偏光镜。 1858年傅科又发明了一个测量望远镜的反光镜形状的方法。使用这个方法制镜人可以检查一面反光镜是否是标准球形的。 第二百九十一章 贝尔特拉米曳物线(曲线) 关于曲线的事儿，贝尔特拉米也没有少想过。 看过欧拉的《无穷分析》中关于曲线的定义后，他想找到很多生活中好想到的例子。 贝尔特拉米认为既然是研究曲面，哪怕是负曲率的曲面，肯定也是特定的一些线连续组合起来的。只是这样的线，需要一种可以有普遍性的定义才好。 贝尔特拉米认为，对这种可以组成负曲率的线，需要有一种细致入微的基本性。 贝尔特拉米早就找到了很多曲线，只需要在凸面找一个轴线，以这种轴线旋转，就可以得到负曲率的曲线。 问题在与这样的曲线需要以什么样的东西作为一个标准呢？ 在物理上，又会有什么样的曲线呢？ 他想象制造一种特殊的曲线，是用一个力形成的，让一个力拉动一个物体，不让物体的运动方向与力的方向相同即可。 这就是物体受力做曲线运动的基本定义。 而一个力直接拉动一个物体的话，无论如何物体的运动方向都是沿着力的方向的。 如果用一个绳子拉动物体，让这个力在绳子绷紧的时候跟这个绳子不在一个方向上，那就可以拉出一个曲线运动的样子了。 跟这个物体运动的曲线，起名为曳物线。 .用长度为a的细线牵引一个质点m，使细线另一端p沿不过质点的定直线移动，这时质点m的运动轨迹.定直线是曳物线的渐近线. 这个线的形成很简单，但是却意义重大，因为以它为基础可以形成一种伪球面。 只要把曳物线沿着一个轴转动就可以形成伪球面了。 贝尔特拉米认为，这就是把我曲线本质的一种方式。贝尔特拉米找过其他类型的曲线，但是却没有一种真正本质的定义的。 贝尔特拉米在想，让一个物体移动，是一个力造成的，对于这个力的本质的思索，已经很有必要。 在曲线运动中，最基本的有圆周的弧线运动，有抛物线运动等等，这些都是力的一些性质造成的。一个是方向时刻均匀改变的力，一个是一直不变的力。 如果找到其他类型变化的力，就会产生特殊的曲线，就会产生更加特殊的曳物线，进而产生特殊的伪球面。 第二百九十二章 贝尔特拉米伪球面(曲面) 曲面的问题多个人考虑过，但什么是负曲面？ 如何构造一个标准的负曲面。 很多人有很多古怪的办法，贝尔特拉米认为用曳物线来构造曲面，比较本质化。 贝尔特拉米构造曳物线。 在几何学中，伪球面用于描述具有恒定负高斯曲率的各种表面。 根据应用环境，它可以指恒定负曲率的理论表面，如牵引曲线或双曲面。 伪球面是由曳物线绕其渐近线旋转而形成的回转曲面。 这种曲面的全曲率在每一点都是常数且是负的。 位于此曲面上的直线与平行公设不一致，因而构造这种曲面的可能性为非欧几何学提供了相对相容性的证明。 伪球面形状像个喇叭。 贝尔特拉米认为，既然曲线的运动是由于力与方向的不一致导致的，那么曳物线形成的曲面，就跟原先物理受力运动有关系。 说白了，就是力形成了曲线，力形成了曲率。 这个问题需要好好去想，这到底是什么意思？ 力的出现，导致了曲线，导致了曲面，形成了负曲率这样一种东西。 在本质化的道路上，贝尔特拉米居然有如此巨大的收获。 但是他不知，这是什么东西，只是知道在逻辑上这样的关系存在。 就是曲面是由一个简单的力形成的。 后来的爱因斯坦，在发现广义相对论的时候，才发现了这种奇特的关联。 爱因斯坦认为，引力是弯曲时空的，就是曳物线是由力拖拽物体曲线运动而产生，进而形成了伪球面。 贝尔特拉米差点走到了爱因斯坦这一步。 第二百九十三章 拉普拉斯－贝尔特拉米算子(微分算子) 贝尔特拉米说：“我们需要开始正视一个重要问题。” 贝尔特拉米对自己的学生开始解释，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面。学生津津有味的听着，觉得这是非欧几何学中必然要经历的最重要的一步，让贝尔特拉米算子在曲面中计算。 贝尔特拉米解释道体积形式的时候，学生意识到不对劲。 “我一直听到体积形式这样的东西，我认为你在强调它，你是不是需要解释一下。”学生明显的感受到贝尔特拉米那种不可思议的气氛，总觉得需要细细的去推敲这个意思。 贝尔特拉米对学生说：“对于不同的坐标，我们当然认为对体积的定义是十分重要的。” 学生说：“要是这样的话，我何尝不知道，但你不仅仅是这个意思。貌似有一个可怕的念头从我脑中闪过！” 贝尔特拉米想逗逗这个学生：“我讲的也算简单了吧，你还不懂什么？” “在推广到高维的体积中，是不是我们需要注意一些更重要的东西。这就是你提到的体积的形式，你还用强调的语气提到了这个，不仅仅是曲面几何的问题。这里面有一个更重要的意思。” 学生说话有点久到了语无伦次的样子。 贝尔特拉米也觉得已经吊足胃口，该是给学生好好解释一个问题了。 “好的，你跟其他学生不同，你很不俗。”说罢，贝尔特拉米开始在黑板上写东西。 学生一开，贝尔特拉米画了杨辉三角的图。 然后贝尔特拉米对学生说：“你知道四维空间的单形应该是什么样子了吧。” 学生说：“根据三维空间里的四面体，我知道你想说的是，有五个点，10条线，10个面。” 贝尔特拉米兴奋道：“然后呢？” 学生说：“你的意思是有5个体？” “然后往下说。” 学生感觉这个突破了自己的三观，就说：“这个现实生活中没有把，我们叫什么名字，叫它有一个超体积？一种四维形式的体积？” 贝尔特拉米说：“这是一个比体积还有体积的高维的东西，而且随着维度的增加，这些超级形的体积都会出现的。” 学生说：“因为他们在数学中存在，只是人类无法感知到而已。” “没错。” “那我们如何应对这个东西，如果是超体积，假如是四维体积，边都相互垂直，边长是a、b、c、d，那么体积就是abcd这么大对吧！” “太对了，你已经学会了。” “可是这个意义在哪里？这只是一个超体积而已，我们都感知不到它们是存在的。很多数学家会不小心把它们落下。” “可是数学上存在的，就是存在的。这个以后一定会有用途，毕竟高维推广到了很多系统的研究上，难免会有超体分析这样的课题存在。你要善于去找和挖掘这样的用途才对。” 学生笑着说：“那这个的罪过，是来源帕斯卡三角这个自然而然的奇怪东西。” 贝尔特拉米严肃到：“不要小看这种数学上的自然而然，这个很重要。” 在微分几何中，拉普拉斯算子可以推广为定义在曲面，或更一般地黎曼流形与伪黎曼流形上，函数的算子。这个更一般的算子叫做拉普拉斯－贝尔特拉米算子ce–beltrami operator）。 与拉普拉斯算子一样，拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义为梯度的散度。 这个算子作为共变导数的散度，可以延拓到张量上的算子。 或者，利用散度与外导数，这个算子可以推广到微分形式上的算子，所得的算子称为拉普拉斯－德拉姆算子ce–de rham operator）。 第二百九十四章 四色定理(拓扑学) 1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（francis guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。 即1890年，人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。 不过，让数学家感到欣慰的是，郝伍德没有彻底否定肯普论文的价值，运用肯普发明的方法，郝伍德证明了较弱的五色定理。 肯普是用归谬法来证明的，肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。 他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。 肯普提出的另一个概念是“可约”性。 “可约”这个词的使用是来自肯普的论证。 他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。 自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。 但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。 1913年，美国着名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。 后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。 1950年，温恩从22国推进到35国。 1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。 看来这种推进仍然十分缓慢。 高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。 就在1976年6月，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。 这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。 但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。 一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。 在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。 如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。 不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。 后来，数学家发现7中颜色可以给空间各种形状相邻的模块染色。 高维空间染色问题，大有可为！ 第二百九十五章 马格努斯效应(流体力学) jonsjakob berzelius对马格努斯说：“你还在为什么而苦恼？” 马格努斯痴迷于各种实验，此刻他已经发现了一个在流体中转动的物体受到的力的现象。 马格努斯对jonsjakob berzelius说：“我知道一个飞行中的旋转的东西，必然为因为自身旋转的作用，而发生运动轨道的弧线运动。” jonsjakob berzelius说：“我知道，这就是你提出的马格努斯效应。你还要研究它的什么东西？” 马格努斯说：“我没有办法准确计算这个东西，我要得知物体相对空气的飞行速度，然后再根据物体旋转的速度，来计算物体偏移的程度。” jonsjakob berzelius说：“先不管，计算过程中会减速而导致弧度改变的情况。涉及空气流体力学的东西，本来就复杂。这还需要弄清飞行过程中风力会如何变换的问题。” 马格努斯说：“我虽然发现了这个效应，但我不会准确去计算。这个让人和苦恼。” jonsjakob berzelius说：“流体力学本来就是老大难。你需要建立一个好的实验方法，多去寻找也许特殊情况，记下来，在此的基础上然后再去做更加细致的研究。” 马格努斯说：“我感觉我就是这样来的，但是还有很多不确定性。这个实验想要去精确计算。估计是不可能了。” jonsjakob berzelius说：“只能是看以后会有什么样的用途，再就事论事的去计算了。” 马格努斯效应在球类运动项目中非常普遍，不仅仅是足球和乒乓球项目，在网球、棒球、排球、篮球等中都有应用，所以对马格努斯效应的产生原因和在球类运动中的应用进行研究，对球类运动的教学水平、训练效果和竞赛成绩有着重要的指导意义和实践意义。 另外马格努斯效应是一种非线性的复杂力学现象，深入研究其机理和规律将对旋转弹丸、导弹的设计、气动性能分析以及制导控制起指导意义。 而后来，流体力学的东西，都是用计算机辅助计算的。 在此过程中，也有科学及提出，电子的转动，在电场或者磁场中是否也有马格努斯的效应，以此来更加方便的去研究？ 第二百九十六章 测量光速(光学) 斐索直接跑来，对傅科说：“我有了一种测量光速的办法。” 1676年，丹麦天文学家奥劳斯·罗默利用木星卫星的星蚀时间变化证实光是以有限速度传播的。他利用木星的木卫一在木星在木星圆面上的投影作周期性变化的现象，第一次定量的估计出光速。 1782年，布雷德里推论若光速是有限的，则因为地球的轨道速度，会使抵达地球的星光有一个微小角度的偏折，这就是所谓的光行差，他的大小只有1\/200度。布雷德里计算的光速为公里\/秒，这与现在的数值只有不到1%的差异。 原来，在1849年斐索用旋转齿轮法首次在地面实验室中成功地进行了光速测量。 斐索对傅科说：“我的这套方法还是很巧妙的。” 斐索拿出了齿轮，半反射镜，和反射镜，然后摆好。 斐索说：“一束光穿过齿轮的一个齿缝射到一面镜子上，然后光会被反射回来，我们在这个镀了银的半透镜后面观察。” 傅科说：“这样的话，光速在很快的情况下也难以看出光速。” 斐索说：“我这个摆的距离短，如果是很长的距离就可以了。” 斐索拿出蜡烛作为光源，半透明镜与反射镜之间的距离为8.67千米，这样光往返的路程为17.34千米。然后 的齿轮是由720个齿组成。 实验开始时，齿轮是静止的，然后逐渐增加齿轮的转动速度，斐索发现，当齿轮的转速达到25转\/秒时，他看到的光最强。 于是他知道了，在两个齿间的空隙被下一个齿取代前的这段时间间隔内，光束恰好走了17.34千米。由于在1秒内，共有720x25个齿通过o点，所以，一个齿轮间隙通过o点的时间是1\/秒，在1\/秒内光走了17.34千米，由此，可以得到光速等于千米／秒。 驱动齿轮转动的是重物和滑轮驱动的。 傅科连连点头，说：“这个想法不错。” 之后，也就是1862年，傅科阿拉戈的设想用旋转镜法开始替代索菲测量光速的办法，测得光速为±500千米\/秒。与精确值差仅0.6%。 19世纪中叶j.c.麦克斯韦建立了电磁场理论，他根据电磁波动方程曾指出，电磁波在真空中的传播速度等于静电单位电量与电磁单位电量的比值，只要在实验上分别用这两种单位测量同一电量（或电流），就可算出电磁波的波速。 1856年，r.科尔劳施和w.韦伯完成了有关测量，麦克斯韦根据他们的数据计算出电磁波在真空中的波速值为3.1074x10^5千米\/秒，此值与菲佐的结果十分接近，这对人们确认光是电磁波起过很大作用。 1926年，美国物理学家a.a.迈克耳孙改进了傅科的实验，测得c=（±4）千米\/秒，他于1929年在真空中重做了此实验，测得c=千米\/秒。 后来有人用光开关（克尔盒）代替齿轮转动以改进菲佐的实验，其精度比旋转镜法提高了两个数量级。 1952年，英国实验物理学家k.d.费罗姆用微波干涉仪法测量光速得c=.50±0.10千米\/秒。 1972年，美国的k.m.埃文森等人直接测量激光频率ν和真空中的波长λ，算得c=±1.2米\/秒。 第二百九十七章 卡塔朗猜想(数论) 对卡塔朗来说，他倒不喜欢读太多书，他觉得读太多的书让自己玩物丧志，让人脱离实际，使人有时真伪难辨。 学海无涯，对于好学的人而言，也许往往就是喜欢耽误时间沉浸其中。 沉迷书籍中的事物，而不去想很多实际的事情，是与书中的事情格格不入。最后空谈误国。 很多作者写的东西，往往是为了迎合一些人的口味，所以没有了真实性。即使就是人们所认为的好书，也会有这种毛病。 不读书的卡塔朗，有时喜欢发呆。 1842年的一天，卡塔朗对着8和9这两个数字发呆。 jacobi ， c. g. j对卡塔朗说：“你老是看着这两个数字发呆干嘛？” 卡塔朗说：“你有没有发现，一个是2的3次方，一个是3的2次方？” jacobi ， c. g. j.说：“那是肯定的，这就这么了？” 卡塔朗说：“你还看到有两个连续整数这样的次方转换是连续的吗？” jacobi ， c. g. j.没听明白说：“没懂你的意思。” 卡塔朗说：“比如说4的5次方和5的4次方就不是两个连续的数字了。而且之后也找不到这种类型的连续的数。” jacobi ， c. g. j.恍然大悟的说：“没错，估计是找不到了，因为后面的数字这样的转换，相差的会很大，而且是越来越大了。” 卡塔朗说：“也不知道这样的猜想是不是真正正确的，应该证明一下。如果是不挣钱的，也看看能不能发现其中的其他规律。” 卡塔朗写出了方程x的m次方减去y的n次方等于一，如果是x，y，m，n都是整数，就只有（x，y，m，n）=(3，2，2，3)这个一种解。 后来1986 年，shorey 和 tijdeman 将 catn 猜想扩展到了有理数的范围，提出了如果x，y属于有理数，x>0，y>0，m，n属于整数n，m>1，n>1，mn>4。仅有有限多组解(x，y，m，n)。 这个称之为广义卡塔朗猜想。 由于该猜想与着名的广义 fermat 猜想有直接的联系，所以这是一个很有意义但又非常困难的问题，目前仅解决了一些极特殊的情况。例如，vander poorten证明了：对于给定的 s 集合，即由有限多个素数经乘法生产的正整数的集合，广义卡塔朗猜想仅有有限多组解（x，y，m，n）可使x和y都是s整数，即分母是该s集合中元素的有理数。 1844 年，catn曾经猜测：正整数8和9是唯一的两个连续的完全方幂。 第二百九十八章 卡塔朗数(组合) 卡塔朗有一天去剧场排队，看到售票处因为没有找零的钱而跟顾客发生了冲突。 很多顾客都抱怨为什么剧场售票处没有足够的零钱，而剧场售票处的人也发现大家都用大整钱。 卡塔朗在想，不见所有的人用整钱，只是没有足够零钱的人排队排在前头，导致零钱被找光而发生了断供。 卡塔朗在想：“如果带零钱的人全部在前面排队，那么问题一定好解决。” “不见得所有有零钱的人一定在前方排队，而是有一部分人有零钱的人在前面即可，但是有零钱的人是多少个呢？” 卡塔朗在假设，售票窗口前有2n个人排队买票，每张门票定价5角，每人限购一张。这些人中，只带一张5角人民币的与只带一张1元人民币的各有n人。 开始售票时，售票窗口没有角票可以找零。试问：大家都能顺利买票，售票员始终没有找不出零钱困扰的排队方法共有多少种? 卡塔朗开始思考用0代表身边带5角钱的人，1代表带1元钱的人，则本问题即可变成：有n个0和n个1，问有多少种排列方法，使排成的0、1序列里，任意前i(i可从1变到2n)个数字中，0的个数总不少于1的个数，此性质称为前束性质。 卡塔朗开始画图，发现把0看作向右走一步，把1看作向上走一步，则很明显，n个0和n个1所组成的序列将和图中从原点(0，0)到点(n，n)的递增路径是一一对应的。于是，我们只要计算路径的条数就行了。 很快卡塔朗找到了一个公式计算排队的方法，如果是有n个5角和n个1元的人的排队，则有（2n）!\/(n!(n+1)!)个办法。 如果是有1个人排队是1个办法，2个人排队则是1个办法，3个人排队是2个办法。此后的4、5、6、7、8、9、10个人排队分别有5，14，42，132，429，1430，4862种办法。 卡塔朗数是一个组合数，一些组合计数问题可以归结为解下列形式的递归关系：un=u1un-1+u2un-2+…+un-1u1，n≥2，且u1=1，它的解un称为卡塔朗数。 一般认为这种数是由比利时数学家卡塔朗在1838年首先提出的，但后来有人指出，实际上大数学家欧拉早在1758年就已认识到它了。 我国内蒙古师范大学罗见今副教授以大量的史料论证，所谓“卡塔朗数”的首创者其实并非欧洲人，而是我国清朝的蒙古族学者明安图(1692～1763)。他的发现早于欧拉，比卡塔朗的发现，几乎早了一百年。 第二百九十九章 巴贝奇差分机(计算机) 在看到编织机的工作后，巴贝奇惊叹于编织机的构造。 巴贝奇对自己的朋友阿达说：“有没有一种可以机械计算器。” 阿达说：“帕斯卡和莱布尼茨这种的知道吗？那已经不是初等的算盘了。” 巴贝奇一听，本来一开始自己想着花样做，结果发现都不靠谱。因为自己一开始的经验不丰富，就是有新想法，也没有别人研究过的合理。 巴贝奇说：“我见过，我的方案中，有很多都是在这个基础上改进的。” 阿达说：“没错，可能会用到很多齿轮的技术。我们现在要着手。” 巴贝奇说：“先计划照一个什么样的机器，然后弄清每个零件，每个零件的尺寸在图纸上画出来，然后标记号尺寸。” 阿达说：“计算的原理是什么？” 巴贝奇说：“是把函数表的复杂算式转化为差分运算，用简单的加法代替平方运算。所谓“差分“的含义，又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x)映射到。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。总而言之，差分对应离散，微分对应连续。差分又分为前向差分和逆向差分两种。” 阿达说：“那差分机是设计……” 巴贝奇一边整理自己的海量图纸，一边说：“计算器就像流水线工厂一样进行计算。零和一这样的打孔纸条，在运算室和存储仓库中来回跑。” 阿达细细的看，发现其中有30种不同设计方案，近2000张组装图和张零件图……，惊呆了。其中的图纸里居然还打算以蒸汽机为动力来驱动差分机。 1823年，巴贝奇（babbage）开始制造一台大“差分机”，该机器可以计算对数以及三角函数。他的经验来自于他在1819年至1822年间制造的小“差分机”。 后来的差分机因为超前，当时没做出来，后来还是有人按照巴贝奇的图纸制作出来了，极其精美，不愧是最复杂的机器之一。 后来指导了电子计算机的设计，对人类意义重大。 第三百章 卡诺循环(热学) 在卡诺发明蒸汽机之后，一个叫瓦特的工程师，对蒸汽机有了极大的兴趣。 卡诺在想：“动力究竟是如何发生的呢？” 路人甲说：“很明显，是烧煤烧出来的。” 卡诺说：“表面上看是这样的，是开水的蒸汽用自己膨胀的力气推动气缸。” 路人甲说：“没错，推动气缸后，开水变冷，然后开始收缩，再让另外一个气缸处于工作状态。” 卡诺说：“这个十分尤其，除了有膨胀的热气，还得有收缩的冷气，一起配合工作才能完成做功。” 路人甲说：“只有热气，没有冷气，也是不能正常工作的。” 卡诺说：“往本质上说，一冷一热就会有做功。” 路人甲说：“可不是吧，自然界的大风大雨就是空气一冷一热造成的。更何况只是小小的蒸汽机呢！” 卡诺说：“所以，想要蒸汽机循环的工作起来，就需要有一个一冷一热的循环。烧煤就是热源，而水汽冷却就是一个变冷的过程，也就是烟囱有排热制冷的作用。” 1824年，萨迪·卡诺（sadi carnot）出版了《论火的动力，以及合适的机器来开发这个动力》。这是一本关于蒸汽机的书，它在热力学中有根本重要性。形成热力学第二定律的基础的“卡诺循环”也出现在这本书中。 第三百零一章 贝塞尔函数(反常函数) 施特勒尔对贝塞尔说：“怎么样？考虑的如何了。” 贝塞尔说：“感谢普鲁士国王对我的重用，我不胜惶恐。” 是特勒尔说：“我们推举你来当科尼斯堡天文台台长，这里面因素很复杂，希望你不是因为那个地方比较危险而躲避。虽然俄国沙皇盯着那里，但是那里风景秀美。”施特勒尔对贝塞尔都羡慕了。 贝塞尔说：“我想问，为什么会选我呢。很多人都把天文的工作干得不错，我比他们的优势在哪里？” 施特勒尔说：“因为你的数学很好，你对微分方程的造诣很高，周围人都跟不上了。你已经成为一个重要的数学家了。你要知道一个科学家对某一数学领域了解的深，那逼格是很高的。” 贝塞尔说：“是的，这个工作对我制作星表是很有帮助的，只是这个问题确实太偏数学一些了。我如果真的有幸当上台长，到是把杂活交给别人干了。” 施特勒尔说：“这个方程的解是什么样的？我很好奇。”说着，他王黑板上写出了x^2y``+xy`+(x^2-a^2)y=0方程。对施特勒尔来说，这个在开普勒研究三体问题是提出的东西。他也被这个问题绕的焦头烂额。 贝塞尔说：“我现在主要有以下的成果。” 贝塞尔把第一类贝塞尔函数给写了出来，里面包含的是阶乘和伽马函数这样的东西。 施特勒尔说：“我很悲伤，难道以后所以微分方程的解都要写出级数这种类型吗？虽然规范了，但是不容易看出来，即使计算一个东西，那感觉也特别麻烦，要考虑多种情况。” 贝塞尔说：“虽不得已，但是数学也免不了要讨论多种情况。” 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有： 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律，热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型。 在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成或凯泽窗（kaiser window）以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。 贝塞尔在天文学上有较多贡献，在天体测量方面，他重新订正《巴拉德雷星表》，加上岁差和章动以及光行差的改正，并把位置归算到1760年的春分点。经过修订的星表于1818年发表，其中还列有他求得的较精确的岁差常数、章动常数和光行差常数等数值。在此期间，他还编制出一份相当精确的大气折射表，建立了计算大气折射的对数公式，以修正其对天文观测的影响，在十九世纪得到广泛引用。 在1821-1833年间，贝赛尔测定了赤纬-5度到+45度之间的亮于九等多颗恒星的基本星表，后来由他的助手和继承人阿格兰德扩充成着名的《波恩巡天星表》。 1837年，贝塞尔测量天鹅座视差，发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置，第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早测定的恒星周年视差之一。恒星周年视差是指人们观察远近不同的星星时产生的视觉上的相对位置差异。 1844年，贝塞尔根据天狼星和南河三自行的波浪式起伏，预言它们都有暗的伴星存在，后来分别在1862年和1896年为观测所证实。 普鲁士国王任命贝塞尔为天文台台长，同时跟他聊天：“你的天赋我们都已经知晓，我现在还想问问。你说地球是椭圆，这个是怎么回事？” 贝塞尔说：“这个是难免的，虽然不明显，但是用我们现在的测量仪器可以探测出来。” 国王说：“我的意思是，这个是有根据的吗？是因为地球自转甩成这个样子的吗？” 贝塞尔笑着说：“没错，你说的对！” “可是这个没道理呀，如果地球甩的太快，难不成会更加椭圆？” 贝塞尔说：“没错，而且不仅仅如此。如果到达一定的速度，会被自己给甩裂了，甚至再快点，就把自己给瓦解了。” 国王说：“要你这么说，宇宙中有把自己甩裂开的天体吗？” 贝塞尔说：“到处都是。月亮就是被地球甩出去的，太阳系的的行星和行星带都是太阳转的太快甩出去的。很多其他星星，都有伴星，同时运动很快，说明就是甩的太快。” 国王想了很久，觉得这个说法很有意思，说：“如果把地球，用一种发动机让它转得快点，地球也能碎成渣渣，这可是个有趣的想法。” 贝塞尔哈哈笑说：“要是这样说，这样的发动机是比较昂贵的了。” 第三百零二章 黎曼复变函数和曲面(复变函数) c.g.j.雅可比对黎曼说：“你会成为数学专家。” 黎曼说：“我不能保证，一个人如何才能成为大师？” c.g.j.雅可比说：“你只需要自信即可。” 黎曼说：“我看到了很多大师们，自知能力和水平远远不如他们。” c.g.j.雅可比说：“你要知道，这个世界可不是什么高人组建起来的，而是很多有责任，有自信的人维持的这一切。如果你没有了自信和责任，你觉得世界还能指望谁呢？” 黎曼听后，觉得信心增强很多。 狄利克雷对黎曼说：“你也要大胆的研究很多超纲的知识，不用管别人那一套你学得过于深奥，不合适当下社会之类的话。你要大胆突破，进入别人根本达不到，但自己觉得极端正确的领域，这才是数学家真正的任务。” 黎曼得到两个老师的指点，学会了很多数学知识和做人的道理。 两年后，学有所成的黎曼回到了哥延根，并开始准备他的博士论文。 1851年11月，在高斯的指导下，他终于完成了论文《复变函数论的一般理论的基础》，文中证明了复变函数可导的必要充分条件，即现在的柯西－黎曼方程，还奠定了函数几何理论的基础。 实际上，高斯对这篇论文的评价很高，他说：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，证明作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，以及具有灿烂丰富的想象力。”并且表示他这么多年以来都想写一篇像这样的文章。 自打知道关于复数的事情后，黎曼的脑子里开始充满遐想。 他想：“如果普通的坐标系中引入复数之后，就会有很多不同吧。一个普通的直角坐标系，如果让x轴有了复数。那么就会出现x实轴、x虚数轴和y轴这三个轴。” 黎曼在线：“这会是一种极为奇特的性质，如果让y轴也有一个虚轴，那就是一个画不出来的，四个维度的空间。” 黎曼开始想这个复平面，也是一种实四维空间，这是一个极其吸引人的课题。 “如果圆在现实世界中是360度一圈，那在四维空间中，就是720度一圈吗？” 黎曼画出了一个720度圆，但却是在3维坐标下的，所以会有一个交叉线。 黎曼说：“在四维空间中，当然不会有这样的去交叉线了。” 黎曼说：“或许在四维空间中，普通三角形的内角和也会发生一定的改变，但是如何去规范这些东西呢？” 黎曼知道关于欧拉的解析延拓，明白了很多原来实坐标系中很多函数的定义域是有限制的，而到了这种复平面中，才发现很多函数的定义域可以不可思议的扩充。 黎曼开始研究很多各种函数在复平面中的样子，把自己能想到的所有知识都用在里面。 后来，开始着重研究zeta函数，发现zeta函数的很多解，平凡的解已经得知。而非平凡的解出现了一个令人困惑的现象，就是这些非平凡零点的解法，好像在x=1\/2的一个轴上，同时精通素数的黎曼人为非平凡零点的解法与素数的分布好像有什么关系。 这就是黎曼猜想。 第三百零三章 黎曼几何(曲面、微分几何、复变函数) 黎曼成功毕业了，但还是个困难户。为了谋生，他希望能成为讲师，黎曼申请了无薪讲师，是指学校不提供固定的薪酬，收入完全来自于听课学生所缴纳的学费的讲师。而想要成为讲师，不但要提交论文，还得给学院的教授做一个资格演讲。于是在1853年，黎曼提交了一份求职论文。 论文中推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，研究出三角级数收敛的准则，并定义了黎曼积分，对完善分析理论产生深远的影响。 当时的资格演讲是有一套固定模式和传统的，申请者须向系主任提交三个演讲题目，但通常只准备前两个题目。作为选题目的系主任会为了不为难申请者，一般只选前两个题目中的一个。 如此看来，黎曼其实能够轻易就通过演讲的，只是他遗忘了一点，那就是当时的系主任是高斯，而高斯压根不知道这个规矩，然后黎曼悲剧了。 黎曼申请讲师需要就职演讲，演讲的审核人都是数学家的专家人物，其中也有高斯。 黎曼准备够几个题目让审核人挑选其中之一，让黎曼讲解被挑选的题目。 这些题目都是前沿的数学，是考察讲师的水平的。 高斯对黎曼给出的几个题目进行选择，高斯选择了一个比较奇怪的题目《关于几何学的基本假设》。高斯选这个题目是想看看黎曼跟自己的认识观是否相同。高斯最近在思考环绕数的概念，这是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。 黎曼先是惊了一下，这是黎曼为了凑够数目的一个题目，自己没有打算要讲，却被高斯抽中，而且自己只有一个星期的准备时间了。 没办法，黎曼只能赶紧准备，然后硬着头皮上。 黎曼有些后悔，觉得这次的无薪讲师申请不上，恐怕自己以后没有任何可以糊口的工作了。毕竟搞数学只能在大学里，社会上哪里用得着？看来高斯有点针对自己。 黎曼开始就职演说，讲《关于几何学的基本假设》。 “……几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系……” 老师们听得面面相觑，不知道黎曼讲了什么，只有高斯略有所思。高斯想起了自己被校领导刁难的样子，从黎曼身上看到自己的影子。 “……我认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何。……” 老师们有点想打断这个演讲，但是没好意思让他停止。高斯沉浸在扭结问题问题中，这是一个研究如何判断绳子是否打结的课题，即当两段闭合的绳子缠绕在一起时，如何只通过观察，就判断绳子间是否产生扭结的问题。除了判断绳子是否打结以外，还有研究如何给扭结分类的问题。 “……我认为应该有一个n维流形的概念，即流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质，并阐述了关于延展性、维数、以及将延展性数量化的想法。……” 老师们听完了黎曼的讲解后，表示纷纷听不懂。 而高斯则说：“太棒了，几何应该变革了，以前的几何学无法再满足当下的要求了。” 整个过程中，他特别指出了日常生活中不适用欧几里得规则的例子，比如球面。在球面上所有经线都与赤道相交呈90°，因此这些经线会彼此平行，却在极点相交。 就这样，一个小时的《论作为几何基础的假设》演讲成为了数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，而且在表述方面也堪称典范，勾勒出一个截然不同的几何世界（超越了欧几里得的几何世界）。 这次的演讲不但发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，建立了黎曼空间的概念，还开创了黎曼几何，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。因此高斯兴奋不已，顺利让黎曼获得了讲师职位。 在黎曼之后，庞加莱继续研究黎曼留下来的n维流形，他创立了用剖分来研究流形的基本方法，同时引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数。不过最着名的，还是他在研究三维流形时留下的“庞加莱猜想”。 第三百零四章 黎曼流形(流形) 是一种用黎曼度量的微分流形。 黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。 给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。 流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。 n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。 19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。 1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。 法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。 对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。 流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。 流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的levi-civita联络。 有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。 黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。 德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。 第三百零五章 黎曼的冲击波研究(流体力学) 虽然黎曼成为了讲师，但还是很穷，毕竟当时讲师的薪资靠听课学生的数量来决定的。日子过得很苦，但是黎曼坚持一边授课一边研究数学煎熬着，直到1859年接替去世的狄利克雷成为教授，生活才得到改善。 1857年，黎曼发表了关于阿贝尔函数的论文，文中引出黎曼曲面的概念，并从拓扑、分析等角度深入研究，阐明了黎曼-罗赫定理，使得阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论进入了新的转折点和创造了对代数拓扑发展影响深远的多个概念。 黎曼认为数学不是一个独立的学科，而是跟物理紧密联系的，同时物理的应用性很强，所以黎曼开始慢慢的转入到跟物理有关的方向。 黎曼了解炸药有杀伤力之后，开始研究炸药毁伤的本质是什么。 黎曼对厄恩肖说：“我最近对于爆炸的学问也有了自己的了解。” 厄恩肖说：“炸药爆炸，是体积迅速增加的过程，这种增加的速度十分惊人。这不就是爆炸伤人的本质吗？” 黎曼说：“听起来似乎还不够，需要一个坚实的理论来理解这些。” 厄恩肖说：“你有什么新看法吗？” 黎曼说：“我认为有一种速度很快的推动力，是这样的推动力导致了这样的爆炸。这是一种冲击波，就是当运动速度超过了其波的传播速度时，这种波动形式都可以称为冲击波，或者称为激波。其特点是波前的跳跃式变化，即产生一个锋面。锋面处介质的物理性质发生跃变，造成强烈的破坏作用。冲击波的传播通常通过物质的媒介。” 厄恩肖说：“很有意思，爆炸产生的声音就是从这里来的。这也要用到流体力学吧。” 黎曼肯定的点点头说：“若它的马赫数和雷诺数足够大，频散足够小，媒质中的扰动可能形成间断面，该面的两侧有关物理量产生跃变，间断面的运动形成冲击波。有很多扰动可形成冲击波。” 后来，冲击波引入到非线性声学。一个正弦式扰动所形成的黎曼–厄恩肖波最终形成冲击波即为一个数学描述的例子。马赫数大于1时扰动只限于锥体内，其表面可当作间断面。如果介质存在耗散（如黏滞、热传导等），间断不是出现在一个面上，而是在一个薄层内，后者称为间断层。 一架飞机的速度超过330米\/秒，“声屏障”就被打破，同时伴随有一个在大气层传播的冲击波，并产生一个声“爆炸”。 日常生活中冲击波现象随处可见：超音速飞行的战斗机、雷暴、太阳风、鞭梢甩动的脆响等。当然，最着名的就是核爆炸。 其实，黎曼虽然发表的论文不多，也就11篇，但是他除了黎曼几何、复变函数论、解析理论、微积分理论等方面有着极为重要的贡献外，还对数学物理、微分方程等方面有所研究，如热学，电磁非超距作用等。 他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构，还将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究。 第三百零六章 黎曼－罗赫定理(拓扑学、流形) 黎曼和他的学生古斯塔·罗赫已经开始着手研究关于空间流形的亏格理论。 这是一种研究流形有几个洞的学问，在欧拉多面体亏格理论中已经得到发扬。 黎曼对罗赫说：“我们开始使用复数坐标系中的数形结合，对不同的亏格物进行研究吧。” 罗赫说：“我们要明白亏格在复数流形中，到底是一个什么形式，是零和无穷吗？” 黎曼说：“没错，这就是洞，这两个是一样的东西。零和无穷大在表示中仅仅是互为倒数罢了。” 罗赫说：“那除了这两种洞以为，流形的其他地方必须是光滑而紧密的，这样才合理，不能出现多个甚至无数个漏洞。说白了，就是除了极点的洞以外，其他地方绝对没有洞这种结构存在。这样的流形就是亚纯函数。” 黎曼说：“没错，我们需要构造各种各样我们想要的各种流形。就像我们在直角坐标系想要画出各种函数图像那样来。” 罗赫说：“我们把这些流形，进行分类，或者还没全画出来的时候，就可以分类再说。” 黎曼说：“你知道如何分类吗？” 罗赫说：“就目前而言，按照洞的个数分类，也就是亏格的数值分类。” 黎曼说：“我们分完类后，就要使用代数表示的方法，将其归类，只要看到方程，就一下子知道这个流形有几个洞，甚至是其他重要的性质。” 罗赫说：“如果要是这样的话，就需要找到单元函数来构造，这种单元就是即合理最基本的结构。比如说直线、圆等等。” 黎曼和罗赫说的单元结构就是代数簇。 第三百零七章 黎曼自然边界条件(变分法) 黎曼此刻在思考一个问题，就是磁铁磁感线的问题。 一个磁铁，如果确定形状，知道了它的两级的位置，就可以用数学公式来表示磁场磁感线的形状和在每个点对应的强度。 这种磁感线的公式都是常微分方程的，对当时研究娴熟掌握微积分的数学家来说，不是难事，纯粹就是一道确定的数学题。 但是黎曼认为，如果两个都有磁场的磁铁，相互接近后，磁场的磁性必然会因为挤压而发生改变。所以，磁场就发生改变，而且磁场出出现一个挤压后形成的确定边界。 黎曼意识的，即使是比较简单的情形，也需要深深的考虑其边界问题。 黎曼认为，这是容许函数在固定边界上的值不加限制的情形下，极值函数由于使得一阶变分为零而在边界上必须满足的条件。 这就是自然边界条件，这种条件提出之后，黎曼认为两个相接触的物体，在接触面上，磁场强度h的切向分量和磁感应强度b的法向量分量保持连续。 黎曼认为，这是完善自然中应该出现的一个必须经历的过程。 第三百零八章 洛朗定理(级数) 达朗贝尔得知级数的收敛和发射的临界之后，也就计算出了收敛半径。 然后数学家们推广到了复数。 柯西也发现了有极点的，包围极点的复数域的定积分，其中发现了重要的留数定理。 然后洛朗也发现了洛朗级数。 洛朗认为泰勒级数也不完全是一直有效的。 洛朗开始研究级数的展开，用的柯西的留数定理。 意思是求围绕的某个点的积分展开。 如果有一个极点的话，说明整个函数的定积分完全就是由这个极点决定的，还是一个固定值。 也就是说，有一个极点和有几个极点的复数域上的定积分是不一样的。 当然也可以求围绕环域的定积分。 然后要做的工作，仅仅是对这些点的分类了。 一般就是只有一个奇点的孤立奇点，或者是有多个奇点的非孤立奇点。 里面还有阶的概念，单奇点概念，还有本性奇点的概念。 第三百零九章 魏尔斯特拉斯判别法和波尔查诺定理(级数) 魏尔斯特拉斯和波尔查诺发现了维尔斯特拉斯判别法和波尔查诺-维尔斯特拉斯定理。 维尔斯特拉斯对波尔查诺说：“我们继续开始研究级数收敛的问题吧。” 波尔查诺说：“有界数列必有收敛子列。” 从极限点的角度来叙述致密性定理，有界数列必有极限点。 维尔斯特拉斯说：“只要有界，必然会有收敛的子列？这个想法有意思。一听就知道，是为了解决一个问题而提出和发现的东西。” 波尔查诺说：“在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。” 维尔斯特拉斯说：“我知道，你说的有界，是无限的数列，不是因为区有限定义域的那种。直观来讲肯定是对的，只是为了证明一下而已。数列有没有收敛，只需证明母列是有没有界即可。” 波尔查诺说：“没错。” 维尔斯特拉斯说：“而我发现了一种判别法。跟你说法不一样，但是也有相同意思。” 波尔查诺说：“请教。” 维尔斯特拉斯说：“如果一个数列，在一个定义域内，它的每一项都小于收敛正项级数的每一项，那一定是收敛的。” 波尔查诺说：“你这个在直观上也好理解。证明数列有没有收敛，只需要证明是不是小于收敛正项级数的每一项就够了。” 第三百一十章 魏尔斯特拉斯函数(反常函数) engel对维尔斯特拉斯说：“我知道狄利克雷函数它处处不连续，处处极限不存在。还没听说过处处连续而处处不可导的函数。会有这样的函数吗？”一般人在直觉上会认为连续的函数必然是可导的，即使不可导，不可导的点也必然只占整体的一小部分 维尔斯特拉斯写出了一个方程，是一个余弦求和函数，外部系数a的n次方，a大于0小于1，内部角的系数是b的n次方乘以π，其中b是正奇数，符合一个条件a乘以b大于1加π乘以1.5. engle说：“这样的函数式如何处处连续的？” 维尔斯特拉斯大概将图描出来，是一个异常都懂像是充满毛刺的图。 engle说：“这跟狄利克雷函数差不多了看，看起来处处不连续了。” 维尔斯特拉斯说：“这个图放大了还是这种形状，一直放大，一直是这样相同的形状。”尔斯特拉斯函数可以说是第一个分形函数，尽管这个名词当时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。无论如何放大，函数图像都不会显得更加平滑，不像可导函数那样越来越接近直线；仍然具有无限的细节，不存在单调的区间。 engle说：“听起来确实十分病态。” 维尔斯特拉斯说：“根据我发现的判别法可以证明这个函数的收敛性，也进一步证明这个函数是处处连续的。” engle说：“那如何去处处证明这个函数式处处不可导？” 维尔斯特拉斯说：“直接使用求导公式来，可以从中导出数列，导出矛盾。” 第三百一十一章 阿贝尔发现五次方程无解(方程学) 1828年，法国巴黎的天气阴晴不定，阿贝尔从挪威来到巴黎已经很久了，他可以熟练的背写三次和四次方程了。他现在在解决五次方程，不能说没有头绪，只是有很多的麻烦，他喜欢用一些简单的符号来代替极为麻烦的公式，所以最近解题的速度快了许多。一边推算，一边做详细笔记。 来巴黎之前，阿贝尔为了在高次方程上有突破，以前经常背诵低次方程解法，从来不间断，各种方程和公式背诵和推导的十分熟练。 阿贝尔最要好的朋友克列尔这时进来了，对阿贝尔说：“还在算呢？” 阿贝尔看着纸上乱七八糟的符号，没有回答克列尔，因为他不敢走神，要不然就忘记自己计算的东西了。 克列尔聊完之后，阿贝尔继续喝了一口咖啡，还在继续算着五次方程，他感觉自己的方法要成了，而且他感觉到这种解析有内在的对称性，找到这种对称性就能更加理解内部深刻的解法，这样对六次甚至7次或者更高次的方程会有重大帮助。 阿贝尔脑子里一直有一种高度的对称性灵感闪过，但是一直确定不下来。 他继续用自己才能看懂的符号进行计算，开始小心翼翼的表示五次方程的解法。 到了深夜，他写完了，阿贝尔写完之后，把符号的值带入展开，一个解的通式写了好几页的纸，他很满意的看着自己写的密密麻麻的解法，觉得自己创造了历史，他会像维达和卡尔丹那样变成伟大的数学家。 他开心的睡了。 他早晨早早的醒来，还是迫不及待的看着桌上那宝贝一样的五次方程解法，他觉得应该再进行演算，只有演算过正确了才能成为真正的值。 他开始了漫长的演算计算，他认为自己的方程还是太长，但是没有办法。 用了整整一个上午，他发现算出来是错误的。 克列尔进了屋子对阿贝尔说：“我自己办报还不合适，我需要借助别人的力量，在别人的报纸上进行征集。” 阿贝尔说：“你只能在别人报纸上一个栏里写自己想要的东西，这样你将受制于报纸了，那也不是你真正自己的报纸。” 克列尔说：“我何尝不知道，但是没有办法，我只能这么做，等我名声建立起来了，再自己办报，这样才会有人看。如果自己贸然去办报，万一没人看，我就赔死了。” 阿贝尔说：“没错，说的也是。” 克列尔看出了阿贝尔心里不开心，不知道他是因为自己计算困难的东西还是对自己办报下不了大决心而不开心。 外面下雨了，克列尔穿上了自己的雨衣，继续出去工作，看看工地上的情况。 阿贝尔用了一下午时间，发现还是有错误，根本无法解出。 他只得找，看看是哪里出了问题。 到了晚上，他找到了问题，他开始兴奋的修改，但是一改这边，其他地方都需要改动。而且改来改去的，各种各样的漏洞无法填满。 他很郁闷，就开始了漫长的改方程之旅。 改了很多天，发现自己在循环的做着修改的工作，他很清楚，自己的脑子是没有问题的，精力也充沛，但是却一直无法正确的填满结果。 所以，他明白了，标准五次方程是没有解析解法的，他只得把自己修改方程的笔记进行了整理，缩短凝练了一下，汇集成了一篇论文，名字叫五次方程没有解析解。 他觉得这个观点应该给高手看看，看看高手有没有什么想法，于是找了个黄道吉日把信件寄给了大名鼎鼎的数学家高斯。 这个高斯是德国伟大的数学家，一生中发现了很多有趣的数学公式和定理，但是他也很苦恼。一开始高斯喜欢集思广益，收集很多各个地方来的讨论数学问题的信件，拓宽自己的思路，但是时间久了，信件堆积了很多，发现自己已经看不过来了，有很多都是浪费时间了民科理论。 渐渐的高斯对很多不感兴趣的信件，看一眼后就堆在垃圾箱里。 高斯看到了阿贝尔的《五次方程没有解析解》，他苦笑的说：“胡说八道，是他没有那个水平，要是我攻克了五次方程，那肯定有解。” 高斯没有回过信件，很多天后，阿贝尔心里很郁闷，只能让克列尔帮他发表在那个报社的一个小边栏里。 报社认为论文太长，就极力压缩了阿贝尔的论文，这样就成了不太醒目的民科文。民科文里与给高斯信件内容不一样，而是有阿贝尔定理。据说有卖出去的，似乎有人看，但仅仅是少数人有不错评价之后，就没什么其他声音了。 高斯那里很久没有声音，阿贝尔认为高斯即使信件再多，也该看完了，应该是傲慢的不放在眼里，所以没有回信。 阿贝尔感叹时运不济，大哭了一场，还好几天的失眠了。 他认为自己再不作为的话，还得回挪威去教小学和初中生，因为他花克列尔太多钱了，如果再这么下去，就算克列尔不介意，但克列尔的家人肯定会不开心的。 第三百一十二章 阿贝尔椭圆曲线问题(椭圆曲线) 开普勒说：“我发现了第二定律，但我想知道椭圆的弧长如何更方便的去求。” 1718年左右，数学家找到了一种特殊的积分方程，有k和t这样的参数。 “双扭线的弧长，单摆的周期、弹性细棒弯曲也出现了这样的积分方程。统称为椭圆积分。” 1751年，意大利数学家法纳诺：“我发现双扭线积分倍弧长公式。” 欧拉说：“我得到了椭圆积分加法定理。” 勒让德说：“我开始继续研究椭圆积分。可以转化成三种类型。得到基本性质，引进全椭圆积分。” 高斯说：“我研究的是一类特殊椭圆函数。其实是双扭线的那一种。同时与三角函数进行类比。其中双扭线的一些性质，对椭圆曲线可以有指导作用。” 1828年，阿贝尔开始了他曾经研究过的问题，椭圆形长度和面积的问题。 椭圆形的长度和面积是一个难题，数学大师勒让德对这个难题研究多年，但没有明晰的答案。 椭圆形长度有三个带积分方程的解法，每个解法都有优点，也有自己的毛病，所以阿贝尔想找一个更加合适的去解决这个问题。 勒让德知道表示椭圆长度的方程不能用初等函数的式子表示，但是还是取了近似。 这种近似让阿贝尔看出了这个近似公式的反函数是一种简单一些的三角函数公式，而三角函数的加减乘除运算时很简单的，勒让德为什么没有用这个思路，阿贝尔不清楚，但是阿贝尔认为，使用这个思路会很方便的对椭圆长度线进行轻松的加减乘除运算。 他把椭圆函数定义域展开到了复数域，发现了椭圆函数的双周期性。 果然，阿贝尔在这方面有突破的进展，他把论文寄给了当地有影响力的数学大师柯西，柯西曾经回复过他，说论文写得很不错。 但是柯西工作太过于忙碌，竟然忘记了阿贝尔的工作。 而同样是数学大师的傅里叶也想跟柯西讨论阿贝尔的椭圆曲线的问题，柯西才想起来，但是堆满推写公式纸张的屋子里，柯西翻墙捣柜的找了很久，也没有找到。 勒让德也看到了阿贝尔的公式，大为兴奋，认为自己遇到了天才，要求和很多法国数学家想挪威政府联名上书，给阿贝尔一个科学研究的职位，而且也给德国柏林大学也联合申请了一个职位。 但是阿贝尔失踪了，连克列尔都不知道他的下落，他像空气一样消失了。 第三百一十三章 阿贝尔积分(微积分) 阿贝尔：因为没钱，所以文章精炼。因为发表文章跟钱有关。 阿贝尔对雅克比说：“假设一个初始速度为零的质点沿着一条光滑的曲线在重力场中下落。该质点在重力场中下落高度为h.如果曲线的形状已知，那么我们就可以用微积分的方法计算出质点沿着该曲线下降高度h所需的时间t(h).” 雅克比说：“这是个很简单的问题啊，有什么可研究？” 阿贝尔说：“我考虑的是反问题，已知质点下降高度h所需的时间是t(h)，问如何确定这条曲线的形状？” 雅克比说：“知道时间，直接去求曲线形状，这个有意思，也有挑战性，需要考虑各种情况呢。” 阿贝尔说：“这一般会需要一种积分方程，因为积分方程往往考虑的就是反问题。假如傅立叶展开已知，如何计算原函数。这就需要积分方程去解决。” 雅克比说：“积分方程通常会有一个核函数，有很大一类积分方程的问题是，已经知道了一个函数跟核函数的卷积，如何求出这个函数。” 阿贝尔说：“如果用现代数学的语言来描述，这就相当于已知一个算子作用在一个函数上的结果，如何求出这个原函数。” 雅克比说：“答案就是求出这个核函数或者算子的逆，把这个逆作用在已知的结果上，就得到了那个原函数。这个思路跟线性代数解方程求逆矩阵很像，于是就可以把函数类比做矢量，核函数或者算子类比做矩阵，卷积类比做矩阵与矢量的乘法。这里只是一个粗糙的类比。这种类比一旦严格化泛函分析就出现了。” 阿贝尔说：“例如如何计算一个函数的长度，或者叫范数，如何计算一个算子的逆，如何定义两个函数的夹角，如何计算函数的投影，如何对函数做正交基展开，如何保证求积分的时候不发散。” 后来两个人开始计算质点下降高度h所需的时间是t(h)，问如何确定这条曲线的形状的问题，最后求出是摆线。 第三百一十四章 阿贝尔级数基本定理(级数) 阿贝尔认为，会有很多的数学问题都会不自觉的转化成级数的问题。 而研究级数的问题，最重要的只有一点，就是级数是不是发散的。 阿贝尔认为发散的级数就没有了研究意义，只有收敛的级数才是有价值的，所以只要数学问题与收敛的级数联系在一起，那还有价值，值得研究下去。 可是，如果才能快速的判断级数是否是收敛的呢？ 一般要根据级数的性质来看的。 阿贝尔还是希望能找到简单的数学方法可以快速的判断级数是否是可以收敛的。 级数如果带有x变量的情况下，带入什么样的值才能达到收敛的效果呢？ 阿贝尔认为： 1.如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。 2.反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。 这样去假设，是因为幂级数有单调性，这种单调性看似简单，但是却很重要。 第三百一十五章 阿贝尔函数(微积分) 是施罗德方程的一种变形。 是一种积分函数。 柯瓦列夫斯卡娅用它解决刚体转动问题。 摆、陀螺与回转仪是这种类型的运动的例子。 索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅基本上是从她开始数学生涯时就对这一问题感兴趣，并且一直感到借助于阿贝尔函数是可以解决这一问题的。 数学家们对于分析刚体相对于定点的运动的研究已经有100多年的历史，但都没有解决这一难题，因此，它被称为“数学水妖”。 欧拉、勒让德、泊松和雅可比研究了两种经典的情况。 柯瓦列夫斯卡娅分析了这个问题的第三种情况。 她研究的这类刚体，难度是最大的。 索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的答案不但正确，而且推理过程清晰、简洁，使人一目了然。 这是与她对阿贝尔函数透彻的掌握程度有关，这使得她的论证过程显得轻而易举、势如破竹。 一位数学家评论了她分析问题的方法说：“她处理方法的聪明之处，反映在她机敏地想出了从简单逐渐转化为更复杂的路子，反映在她把非常困难的问题转化成不太困难问题的能力。” 索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的三篇着名的论文中，有一篇论述的是把阿贝尔积分化简成较简单的椭圆积分。 对于这一问题，她使用了一些魏尔斯特拉斯的最新成果。人们评价说她“以高度的技巧性有效地解决了一个很困难的问题”。 第三百一十六章 阿贝尔积分方程(微积分) 拧巴，太拧巴了，一切都不顺利。 没有正经工作，没有稳定的收入，自己已经活成笑柄了吧。 柯西对自己冷嘲热讽，各路数学家对自己不闻不问。 难道法国已经不重视数学了吗？答案是肯定的。 各个领导人倡导的数学治国的理念，其实是一个幌子，或者是一种力不从心而已。 假的，全是假的，原来都是骗局。 自己已经上套，早知道不会离开自己的家乡来这个地方受累。 满腹经纶有何用，到了此处无人知。 家中有妻不会养，浑身患病没钱治。 阿贝尔确定自己得了肺结核，但是他认为这不是坏事，因为如果真的是恶病的话，自己此刻去死，不会留下尴尬。如果活下来，这算什么，难道让大家去笑？ 对于阿贝尔来说，想要好好的活下去是不可能了。 高斯和柯西等人对他的文章置之不理，这里租下的地方也欠下了还不清的钱，朋友对自己的自助也无法偿还，妻子信件温暖的言语中投出一丝丝的绝望。 其实自己一无所有而已，还说什么爱数学。 若干个阿贝尔积分之和可以用 g 个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来，其中 g 只依赖于? ，就是? 的亏格。 阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路，并深刻地影响着其他数学分支。 第三百一十七章 阿贝尔部分和公式(几何) 学了数学变穷，还学不学。跑如此远来学数学，值不值得？ 挪威家乡没有数学的突然，来到有土壤的巴黎。 但是巴黎竞争激烈，物价高，自己的工资都无法承受房租和吃饭的问题。 本来一天三顿饭，渐渐改成两顿，后来只有一顿饭，还是凑合的吃。 自己没有收入，只能急于找工作，向各个高校寄去自己的应聘简历都石沉大海，没有回音。 由于不好好吃饭，缺乏营养，阿贝尔已经日渐消瘦，开始病魔缠身。 但是阿贝尔的数学水平却突飞猛进，数学可以让他忘记贫穷和痛苦。 他还是相信，巴黎需要有更进步的数学的。 阿贝尔公式就是百恒等式a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=a1（b1-b2）+（a1+a2）（b2-b3）+（a1+a2+a3）（b3-b4）+（a1+a2+a3+a4）（b4-b5）+（a1+a2+a3+a4+a5）b5。内这是高等数学里面很重要的一个公式，当然容这里不只有五个数，其个数还可推广至n。 这是计算阶梯面积的等式，a是阶梯的宽度，b是阶梯的高度。 第三百一十八章 阿贝尔群(群论) 阿贝尔得了重病，反复咳嗽，呼吸和变得苦难。 他没有钱治病了，借来的钱也都花完了。 阿贝尔感觉到自己已经离死亡不远了。 尽管自己还年轻，但是那又如何，如果上帝让他去死，这也是无法阻挡。 一生只知道去学习，被人忽悠的做有趣的数学研究。 阿贝尔也无法分清：生病的时候能把数学做得更好，还是因为自己生病快死了，才要去弄数学？ 数学是有趣的，但是赚不到钱，谁说数学是可以赚钱的？这个行业的水很深，不是自己想的那样，有本事施展出来就会别人欣赏到。 死对于自己，反而是一种解脱，毕竟自己已经签下了还不上的钱，在家的妻子自己也无法养活了。既然无法养活，自己也找不到其他行业的工作，这种工作也未必可以顺利赚钱。所以自己的赚钱路已经被上帝给彻底堵死了，简直比五次方程还要难解。 世界跟数学一样，是充满了交换的，上帝花大笔时间让自己深度研究数学，就必然要拿走自己身边的很多东西，比如财富和健康。 很多人也是，就是有了健康和财富，但是生活也不会有什么乐趣，因为他们没有时间去研究数学。 阿贝尔群，又称交换群或加群，是这样一类群： 它由自身的集合 g 和二元运算*构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、g 有单位元、所有 g 的元素都有逆元之外，还满足交换律公理。因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。 阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和向量空间。阿贝尔群的理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被彻底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。 阿贝尔群是以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种与根式可解性的联系的重要性。由阿贝尔群分解定理，任何阿贝尔群可以分解成一些整数群和剩余类群的直和，这个分解是唯一的，其中分解出来的整数群的个数称为阿贝尔群的秩。比阿贝尔群更广泛的概念是模的概念，阿贝尔群就是整数环上的模。阿贝尔群有两个传统的记号方式：加法及乘法。常用加法表示群运算。 阿贝尔看到了很多事情都可以做这样的置换和交换，他仿佛看到了更加精彩的世界。 突然，眼前一黑，所有的意识全部消失，阿贝尔在二十六岁的时候离开了世界。 第三百一十九章 刘维尔的超越数(超越数) 马蒂厄看到刘维尔对着一张纸上的一个数字发呆，便走近看了看，是一个很长的小数，原来是π和e这样的无理数。 马蒂厄看到刘维尔发呆很久，忍不住开口说：“你对着这个数字发什么呆？” 刘维尔说：“我觉得我发现了一种特殊的数字系统，就是一种特殊的无理数。这样的无理数跟一般的不同。” 马蒂厄觉得好笑，认为无理数都是无限不循环小数，哪里会有区别。不过，对于天赋异禀的刘维尔，马蒂厄从来没有太多怀疑，认为他就是有奇怪的发现也是有根据的。 马蒂厄说：“看不出区别，只是都写不完而已了。你说说看，不同的无理数能有什么区别？” 刘维尔说：“有的无理数可以使用代数方法表示出来，有理系数代数方程的根称为代数数。比如说根号二，这样的数字可以使用一种多项式或者级数来表示出来。而有的数字却不行，比如就是我眼前的π和e这样的数字就不可以。所以π和e是一种超越数。” 马蒂厄说：“无理数是个神奇的存在，它无穷长，去掉小数点之后，其实是一个无穷大位的数字。而这个无穷大的数字，我们却很清楚它的头部。而以往我们认为的无穷大，我们顶多只知道有尾部。” 刘维尔说：“从这个角度上看，很有趣。去掉小数点，它像是一个无穷大的数，但我们却知道它的头部，知道头部，就不能算作无穷大了。这种有趣的事情的确让人费解。” 马蒂厄说：“也可以将无理数全部倒转过来，让头部变成尾部，倒是也是一种不知道头部在哪里的无穷大数。” 刘维尔说：“本质上将，你倒来倒去的，那个结构不变，毕竟是无穷的长度。” 马蒂厄说：“不同的无理数，表示的是不同的无穷大啊！我们可以构造出这样的计数方式，去记录无穷大。” 刘维尔说：“在这个时候，你还是发现，有很多无穷大我们还是无法记录的。还是超越数，它是不好构造的。” 马蒂厄说：“无理数每个数字出现的概率都是均等的吗？不论是代数数还是超越数。” 刘维尔说：“没错，代数数和超越数都是这样。” 马蒂厄说：“会不会有不一样的情况，比如有的无理数的某些个数字会比较少。比如按照正常来讲一二三四五六七八九零每个字出现的概率为十分之一。但是有些无理数，我给它规定是有的数字是比较少的。比如是四这个数字很少而一二三五六七八九零相对多了一些，会不会有这样的情况？” 刘维尔说：“不会的，把无理数转化成二进制的话，需要看看零和一，肯定各自占了一半。” 马蒂厄说：“也许一会多一点点也不敢说。” 刘维尔说：“从哲学角度来讲，无理数，是无理的，是让人捉摸不透的，让人不会知道下一个数字是多少。这就是一种模糊性，而平均才会更好的表达模糊。如果你说，一相对比较多，那就会有了某种确定性。” 马蒂厄说：“一多了一点，怎么会有确定性？” 刘维尔说：“不能平白无故的说多了，肯定有一定的原因。” 马蒂厄说：“就规定一个一多了一点的无理数，这个完全有定义而来。” 刘维尔说：“这个定义可以，只是模糊。你要让一多多少？百分之六十，七十？还是全部都是一？这就产生了确定性。” 马蒂厄说：“那就让它成为随机分布的百分之六十，这种定义可以吧？” 刘维尔说：“这就给了两个限定条件，但是也没有意义。这不利于我们研究无理数。研究物理数，要考虑随机分布，而不是自己去定义某一个数字会出现多少次。” 马蒂厄说：“那去研究什么呢？研究无理数中零和一的个数，不就是这样的吗？如果不研究个数的话，研究无理数的意义在哪里？” 从未来穿越回来的埃尔德什突然对二人插嘴到：“可不可以把无理数的样子再变一变。” 刘维尔知道这是未来的数学家，也没多疑心，直接探讨说：“我们二人已经把无理数按照二进制来分析了。” 埃尔德什说：“二进制是最标准的，我还可以改。” 马蒂厄说：“你还要改成什么样子？” 埃尔德什说：“是不是零和一，而是负一和一。” 刘维尔和马蒂厄面面相觑，对埃尔德什说：“我们用二进制想研究零和一是否会出现差异。你这是添什么乱？要变成负一和一？这又不是正常数字？” 埃尔德什说：“我就是想搞无理数中的零和一的数目的研究，我们做和，来研究和为多少。” 马蒂厄说：“会得到很大的数字，不同数目的一，会得到不同数目的大小，但也感觉不到什么。” 刘维尔突然明白的说：“所以，改成一和负一这样的数来取和，会出现意想不到的效果。是这个意思吗？” 埃尔德什说：“没错，看来你明白了。让这个一和负一相加，相比于马蒂厄说的零和一相加。是不是更容易看出结果来？” 刘维尔说：“思路清奇，但是推动力不大。” 埃尔德什说：“直接全部相加取和，当然推动力不大。可以在中间选取，选取的过程中，可以使用某些技巧。比如，可以按照每个间隔来。” 刘维尔说：“那又怎么样？那加出个花样来？就是每两个或者每三个间隔取值相加，又如何？” 埃尔德什说：“看看会有多大？” 刘维尔说：“花样倒是多，为什么要这样？而且这会有人能证明吗？” 埃尔德什说：“因为只是想细致化的研究。至于说，证明的话，后人肯定有人能做到。说不定是少年天才。” 第三百二十章 刘维尔的椭圆函数理论(椭圆曲线) 初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。 刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和c.雅可比(jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。 1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。 两位德国数学家c.w.博尔夏特(bor－chardt)和f.约赫姆塔尔(joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况。 c.w.博尔夏特对刘维尔说：“听说，你最近在研究椭圆函数理论？” 刘维尔说：“肯定的，这是未来的大趋势。” c.w.博尔夏特说：“一个椭圆函数，如何跟二维周期函数成为一回事的呢？” f.约赫姆塔尔说：“我觉得这样的理论不靠谱。” c.w.博尔夏特说：“心里觉得奇怪，我们虽然经历了这样的构造过程，但是还是觉得不可思议。难道数学以后就是要这样研究的吗？” 刘维尔说：“你们不仅仅要适应，还要把这种连续不断的变化变成常态才能更好的研究。” c.w.博尔夏特说：“等一下，让我们再缕缕。是椭圆函数在复空间内，有一种圆环的形状。” f.约赫姆塔尔说：“然后是二维空间中也找到了这样的结构？” 刘维尔说：“是的，这两者间有关联，所以当前我要把我所有的精力都耗在二维周期函数上。” c.w.博尔夏特说：“你有什么发现吗？” 刘维尔像两个数学家展示了刘维尔四个定理。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，如下： 刘维尔第1定理：在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数； 刘维尔第2定理：椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0； 刘维尔第3定理：n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次； 刘维尔第4定理：在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。 后来，到巴黎访问的，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在c.a.布里奥(briot)与j.c.布凯(bou－quet)所着《双周期函数论》(théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一书中得到系统介绍。因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。 第三百二十一章 偏微分方程的施图姆－刘维尔问题(微积分) 如何能随时随地的研究数学，刘维尔身上有很多小笔记本，一有灵感，就会掏出笔记本在上面写东西。 施图姆与刘维尔讨论着解多种情况的偏微分方程的问题。 施图姆说：“解偏微分方程，不是简答的事情。” 施图姆和刘维尔开始各自观察和手写偏微分方程的各种不同情况。 他们知道，如果想要用分离变量法去研究，需要附有边界条件。 在参数取特定值时，才会出现非零解，这些特定值就是本征值，相应的非零解叫本证函数。 所以他们求偏微分方程，也就是在求本征值问题。 后来两个人得到了七种本征值的情形。 第一种情况的，是简单本征值。 第二种情况的，勒让德方程本征值。 第三种情况的，连带勒让德方程本征值。 第四种情况的，贝塞尔方程本征值。 第五种情况的，埃尔米特方程本征值。 第六种情况的，拉盖尔方程本征值。 第三百二十二章 刘维尔定理(复变函数) 安德烈·玛丽·安培对刘维尔的数学才华表示钦佩，对刘维尔说：“据说你发现了一种复变函数的一个定理。其内容可简单描述为一个有界的整函数必是常函数，貌似可以用统计学来解释。可以请教一下吗。” 刘维尔说：“物理图像是这样的，系综中每个系统的状态在相空间中是一点。” 安培说：“什么意思？” 刘维尔说：“一开始的时候，我们选取了相空间中的一个圆，其中圆中每一点都是一个系统的状态，之后我们追踪这个圆每一点的运动，会发现，随着时间的演化，这个圆在相空间中移动，可能会被拖曳成一个椭圆，会变成一条长长的线，但是总的面积是不变的，也就是说，被这些覆盖的面积不会变得更致密，也不会变得更稀疏。” 安培说：“为什么会有这种物理图像呢。” 刘维尔说：“因为相空间中某个范围的点可以看做一团流体，想象一滩水，在流动的时候，它的总体积总是不变的，只是形状改变。” 安培说：“而为什么将相空间中的点类比流体分子是合理恰当的呢？” 刘维尔说：“因为我们讨论这个定理的前提是：相空间中的密度分布不变，对应某个（p，q），该处的密度不随时间改变。最简单的情况，对每个（p，q）有相同的概率，这就像一杯均匀的水。” 安培说：“水的形状是可以变化的吧？” 刘维尔说：“但是你在搅动的时候，这杯水还是均匀的，只是你追踪原来某一小团水，这部分水中每一个水分子的位置都发生了改变，但是位置发生改变的同时，它的密度还是不变的，那一小团水占的体积永远是那么大。” 安培说：“听起来不错。” 刘维尔说：“不过这个定理有个前提：每个系统都被看做封闭系统，这个条件就对应于上面那段，相空间中的密度分布不变。” 第三百二十三章 柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理(微积分) 柯瓦列夫斯卡娅本是俄罗斯的女贵族，但为了追求学业，跟自己的学医的丈夫来了一次假结婚。然后去了德国，师从魏尔斯特拉斯。 1847年柯瓦列夫斯卡娅定理发现了柯西一柯瓦列夫斯卡娅定理。 这是偏微分方程理论中第一个普遍性的解存在定理. 索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的第一项工作属于偏微分方程领域。 这些方程牵涉到一个多变量函数。 这种函数的一个偏导数就是这个函数关于某一自变量的变化率。 由于在应用中总是出现多变量函数，这就导致应用中总是出现偏微分方程，即包含偏导数的方程。 原因是关于一个函数最容易获得的信息往往涉及到函数关于某些变量的变化率和这些变化率之间的关系。 正是由于这个原因，偏微分方程被看成是纯数学与应用数学的基本领域。 在《关于偏微分方程的理论》一文中，索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅证明了，在某种条件下一类给定的偏微分方程有且仅有一解。 法国科学家柯西在1842年已经提出这个问题，并且给出了一个解答，但是1873年至1874年间，无论是魏尔斯特拉斯教授还是索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅都不知道他的工作。 实际上，直到1875年法国人达布发表了一篇与索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结果类似的论文时，数学家们还没有普遍知道柯西关于这个问题的工作。 在一场以魏尔斯特拉斯代表索菲娅为一方，埃尔米特代表达布为另一方所进行的确保优先权的争论中，柯西的解答才得以发现。 索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅的结论及简明扼要的表述赢得了专家们的称赞。 柯瓦列夫斯卡娅还曾经考察了热传导方程，发现了某些偏微分方程即使有“形式幂极数”解，也没有分析解。 柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理对于偏微分方程论是基本的，它是偏微分方程方面所有未来研究的起点。 当代俄国数学家奥莱尼克对此曾表示同意，并且说：“柯瓦列夫斯卡娅的工作标志着偏微分方程一般理论的发展的开端。” 第三百二十四章 土星光环的形状(天体力学) 伽利略第一次用望远镜观测到土星的光环。 后来知道土星环是圆形的。 之后土星的光环，一直就成为了各个天文学家关心的问题。 土星光环的形状。这是古典天文学的一个问题。 拉普拉斯认为确认这些土星环是椭圆形的。 而索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅确定这些环必然是卵体形的，并且以某种方式显示出方向性。 她首先假设这个环是流体的，然后在这一假设之下作了运算，她改进了拉普拉斯关于土星环模型的理论。 尽管后来的科学研究表明，她的结论并非完全正确，但她所使用的方法却具有实际意义，并为其他科学家所采用。 第三百二十五章 路德维希｀施莱夫利思索高维空间问题(高维空间) 施莱夫利是瑞士的几何学家，1814-1895年活了80多岁。 在1850年的时候，他开始深入思考一个很有意义的问题。 就是高维空间的问题。 他知道在亚里士多德时代，普遍人认为世界是有3维空间的。 即使是有4维空间，也不容易想象。 但是，也不是不可以研究的。 这其中，可以用很都角度去研究高维度空间的问题。 研究立体几何图像，可以投影在2维平面中。所以研究4维物体，可以投影在三维空间中来研究。 很多东西，即使没有办法想象到，但也可以想到很多基本的东西，比如勾股定理在高维空间的计算中也是实用的。 而今天，施莱夫利想从最简单的角度来想高维空间的问题，也是一种规律。 那就是单形，也就是几何中最基本的形状。0维单形是点，1维单形是线段，2维单形是三角形，3维单形是4面体等等。 按照以上来看，单形在0、1、2、3、4、5维空间中。 对应单形点的个数分别为1、2、3、4、5. 对应单形线的个数为1、3、6、10、15，这个可以数一数。 对于面、甚至体必然也是存在着同时也重要的，但是对此问题，很多数学家都犯了难，表示很难数。 而对施莱夫利，他找到一个奇妙的办法，就是他突然发现1、3、6、10、15这个数字与杨辉三角中第三排的数字对应。 不仅仅是这样的数字跟高维单形的线的个数之后是吻合的，而且更厉害的是，杨辉三角中第四排和第五排的数字包含了面个数和体个数的信息。 施莱夫利找到很好的办法，很简单的得出了，对应单形的面的个数0、1、4、10、20个。 对应体的个数为0、0、1、5、15个，这个光靠想象的去数，是很不容易的，但用杨辉三角特别容易得到。 甚至连4维体的个数为0、0、0、1、6等等。 施莱夫利知道研究高维度的很多问题可以用杨辉三角，只是杨辉三角本身他也需要思考一阵了。 如果杨辉三角有了这种能力，说明它有一种整合高维空间的能力。 所以他开始考虑高维杨辉三角，这成为他的习惯。但三维杨辉三角的绘制有困难。 他试图想看看是不是有更多的东西会符合杨辉三角，同时把高维杨辉三角转化成二维的杨辉三角问题。 第三百二十六章 奥利弗·亥维赛改良麦克斯韦方程组(电磁学) 1820年，丹麦科学家奥斯特通过偶然发现的磁针偏转现象，提出电流存在磁效应。 此后不久，毕奥和萨伐尔提出了着名的毕奥-萨伐尔定律，可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小。 安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。 1831年，法拉第提出了电磁感应定律。 1837年，法拉第引入了电场和磁场的概念。 1855年，麦克斯韦读了法拉第的着作《电学实验研究》，被书中各种各样的电磁感应实验所吸引，正式开始研究电磁学。 威廉·霍普金斯对麦克斯韦说：“你看了法拉第的那么多的实验，有没有什么感触。” 麦克斯韦说：“有，既然电与磁都可以看成一回事，那我们需要在数学上来统一描述才可以。” 威廉说：“那就免不了要找到很多新的概念了，我看到你建立了很多模型，我感觉你脑子里想的是正确的，但是难以把这样的事情描述清楚。这在数学上已经是一个问题。” 麦克斯韦试图想用自己的大脑去思考这个最本质的问题。 能想到的就是： 在磁铁不运动的时候电场线与磁场线是相互垂直的。 电场线在不运动的情况下，包围发生电场核心的凸包中穿透的电场线的数量是一定的。 在电荷移动的时候，就会产生磁场线。 磁场线是封闭没有截止点的。 没有磁单级。 麦克斯韦对威廉说：“这里最麻烦的，就莫过于要用微积分的方程来描述这些抽象的运动了。” 威廉说：“我知道你已经练就了这方面的本领。你会完成这个工作。法拉第在这方面不如你。” 麦克斯韦说：“我要建立电磁之间的数学关系，需要引进力线。我要正式提出位移电流的概念。我还有把电场和磁场结合成电磁场。除此以外，我还有思考电磁场的作用是一种电磁波。” 威廉说：“电磁波是什么？你要说它可以作用在电场和磁场上。那是如何运动，速度有多快？” 麦克斯韦说：“电场和磁场都是由电磁波产生的，是一种电波和磁波相互垂直的此消彼长的震荡的一种东西，数学上很容易描述，就是不太好想，让人不用一接受。速度的话，就是光速。” 威廉说：“你真的怀疑电磁场跟光是同一回事？” 麦克斯韦说：“一种感觉，电场、磁场和光子都是一种东西。” 威廉说：“你要是这么说的话，那我们就是拭目以待了。” 一直到他逝世的9年后，1888年，年轻的德国物理学家赫兹，通过实验首次证实了电磁波的存在，才真正验证了麦克斯韦理论的正确性。 奥利弗·亥维赛改良了麦克斯韦方程组，从20个方程化成4个。 第三百二十七章 麦克斯韦妖怪(热学) 麦克斯韦妖，是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的。 当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制。但他无法清晰地说明这种机制。他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里。麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形。 这是第二类永动机的一个范例。 麦克斯韦对bet说：“一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功。” bet说：“其实，这个妖怪本身也会消耗自身，或者在旋转不同分子的时候也会损耗一些东西。” 麦克斯韦说：“如果有这样的妖怪，就具备提取能量的能力。我们人类其实就是在尽可能再制造这么一种妖怪。” bet说：“这是一个具有计算功能的机器，不仅仅在空气流通上。而且在其他无序到有序过程中。” 麦克斯韦说：“要是这么说，人类制造的很多机器，其实就是各种各样形式的这种妖怪。” bet说：“这种妖精具有识别能力，具有控制开关的能力，具有按照逻辑做事的能力。如果这些能力能够改变热力学的平衡能力。那就算没识别能力，控制开关的逻辑能力，按照逻辑做事的能力就是一种可以改变热力学的能力。” 麦克斯韦说：“是啊，热力学居然跟信息学成了一回事。以后研究物理的热力和能量，就需要研究其中的信息结构。” 在1981年，bet的论文表明，麦克斯韦妖控制“门”使分子从一格进入另一格中的耗散过程，并不是发生在衡量过程中，而是发生在妖的对上个分子判断“记忆”的去除过程，且这个过程是逻辑不可逆的。 第三百二十八章 弗莱明右手定则(电磁学) 约翰·安布罗斯·弗莱明是麦克斯韦的学生。 麦克斯韦笑着对弗莱明说：“听说你发现了电磁场中关于方向的定律。” 弗莱明说：“没错，右手定则。判断的主要是与力无关的方向。伸开右手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一平面内；让磁感线从手心进入，并使拇指指向导线运动方向，这时四指所指的方向就是感应电流的方向。” 麦克斯韦说：“这就是判定导线切割磁感线时感应电流方向的右手定则。右手定则判断判断导体切割磁感线电流方向和导体运动方向关系。右手螺旋定则，也就是安培定则，是判断通电导线或线圈电流方向和其产生磁感线方向的关系。” 弗莱明说：“没错，实用性很强。” 麦克斯韦说：“这些我知道，但是我有一个疑惑。” 弗莱明说：“什么疑惑？” 麦克斯韦说：“科学中，很多量都有右手或者是左手定则一类的东西，化学中有分子左边和右边不同，在生物学中也有蛋白质和dna等左旋和右旋，物理学的宇称不守恒也有这种左右关系，自旋也有上下等等。” 弗莱明说：“我倒是没有想过太多这些东西。” 麦克斯韦说：“在数学上就是矢量乘积来表达，哲学上必然有深层次的多种解释。” 弗莱明说：“你的意思是？这种事情上，甚至有着更高层面的一种理解。” 麦克斯韦说：“你没有好奇过吗？除了左右以外，会不会有左左右，右右左等这种高维的一种手性，让手性推广得更多。” 弗莱明说：“你说的这些也不是没有，在数学上，这就是矩阵的一种表示，左右矩阵的矢量叉乘法，就是正弦值。” 麦克斯韦说：“点乘是余弦值，叉乘里有正弦。那么更加复杂的会是什么样的？那就是正余弦的傅立叶合体的形式了。傅立叶形式的就是那种在方向上极其复杂的。因为傅立叶是多种正弦余弦的一种合体变化。” 弗莱明没想到这个事情会推广到如此复杂的层面上。在三角函数，力、速度等分量都是用三角函数来表示的，所以那种复杂的拐弯的东西，都要如此表达。难免会用到傅立叶这种极其复杂的方向了。 弗莱明说：“在方向上，是一种90度直角大转弯，这种正交性质的。是一种典型的矩阵式的线性无关的基。这里左右的手性的复杂性，就相互联系起来了。” 麦克斯韦想着弗莱明的话说：“在这个手性里面，虽然力、电、磁之间都是正交，但是却有联系。” 同时他想着，这颇给人一种这都是同一个东西的三种不同表现的感觉。也难免后来的麦克斯韦会将这些给想方设法的统一起来了。 后来，到爱迪生实验室的弗莱明发明真空二极管。 第三百二十九章 克莱因四元群(群论) 数学上，克莱因(klein)四元群，这个定义是在1884年被菲利克斯·克莱因命名的，它是最小的非循环群。有4个元素，除单位元外其阶均为2。 克莱因四元群通常以v表示或k4表示，意为z2xz2。它也是阿贝尔群，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。 克莱因对李说：“我找了一个二阶循环群的直积。” 李开始去想象这样的模型说：“那是一种特殊的循环群结构了吧，是四元的？” 克莱因摇头说：“不是循环群，并且这还是一个最小的非循环群。” 李开始画表推算说：“这是一个阿贝尔群。” 对于四次方程可以用根式求解有帮助。 第三百三十章 克莱因－高登方程(量子力学) 是相对论量子力学和量子场论中的薛定谔方程的相对论形式，用于描述自旋为零的粒子的最基本方程。 狄拉克跟沃尔特·高登在讨论关于薛定谔方程的结果。 高登说：“薛定谔方程没有考虑相对论的结果是不对劲的。” 狄拉克说：“是的，毕竟电子在原子周围移动的速度是很大的，肯定会有一定的相对论效应。但是薛定谔居然排除了这个因素，直接使用经典力学去解释这个了。” 高登说：“而且到目前，薛定谔方程也只能勉强解释氢原子电子轨道，却不能很好的解释氦原子的电子轨道。” 狄拉克说：“所以，我们必须要面对可怕的现实，我们需要把相对论的东西继续引入薛定谔方程，精确的计算出物理的东西。” 后来狄拉克引入克莱因高登方程的时候，发现了很多有意思的物理。 其中引申出负能量的概念，也认为真空不空，而且非常的满，正电子相当于是负电子从真空中抽出留下的空穴。 还可以解释粒子的自旋。 第三百三十一章 李代数(群论) 索菲斯·李意识到矩阵计算的内在复杂性，这是因为行列式那种奇怪的计算性质导致的。还有，就是对矩阵这个含义的理解，本身也有很多层次的内在复杂性。 其中就有非对易性，这是最重要也难以避免的一个性质。 由于矩阵计算的特殊性，和矩阵本身含义的深邃性，他发现了一种关于矩阵计算的特殊代数。 只是，想着有些复杂，也许有用，还是更加深的用途。 所以对其解释，需要专门引入一个严谨的说法，肯定是有关矩阵一类的。 李与克莱因开始讨论关于矩阵计算的一些问题：“我想研究一种代数，就是那种不符合交换律的那种。” 克莱因说：“我知道，矩阵绝大部分都不符合。” 李说：“也不符合结合律。” 克莱因说：“这个有意思了，细细想想，其实矩阵不符合结合律。我们应该建立一种新型代数了，名字就叫非结合代数。” 李说：“非结合代数是很宽泛的，我知道的非结合的代数，是通过矩阵的性质得来的。但是，我总觉得，不仅仅限于矩阵是这样的，就是其他那些我还不知道的其他数学结构，也会有这个。” 克莱因在想：如果是超出矩阵的其他代数，也是可以表示非结合代数的，也不无可能。但是还有一种可能性，那就是任何代数都弄用矩阵来表示，就看会不会表示。 克莱因说：“到了现在，如果想要在数学上有突破。我们要在新的数学领域大展拳脚，只需要去规范一些极其简单的数学法则，如果规划好那些看似简单的法则后，我们就可以以此为基础去扩张自己的优美而繁华的版图了。” 李说：“我们的梦。只是这个非结合代数，给人一种在思考上很别扭的感觉。又需要依赖有些难度但很重要的群论的结构。” 克莱因说：“我们已经离不开群了，那些不爱学习群论的人，不要再碰数学。” 李说：“非结合代数是环论里的一个分支，虽与结合代数有关，但是去掉了乘法结合律。这个东西难免存在，毕竟数学是广泛到人类不会轻易政府的程度。发现了非交换的，那离非结合的还远吗？” 克莱因笑得肚子都疼了，对李说：“你要是用这种变态的思维研究数学，说不定整合上帝创造万物的脾气。就是想这个模型不好想。” 后来，索菲斯·李创立李群。 若尔当是研究矩阵的专家，对矩阵的研究也规范到丧心病狂的程度，当然与李代数的很多非结合代数思维不谋而合了。 若尔当说：“李代数，你规范好了吗？” 李说：“很多概念，有子代数、理想、正规群等等。” 若尔当突然说：“在你心中，有些看似等于0的东西，并不见得真的是0吧。” 李知道若尔当说的是那些基的矩阵表示，用行列式直接解，那就等于零。 李说：“或许这个代数的神秘之处恰恰在此，我的矩阵的斜对角化简完后，是都等于0的，按理说就是0 了吧。但是这些东西相互做一些计算，那也能算出很多花样来，而且你也不能说那就不对吧。” 若尔当笑道：“矩阵里只要有一个东西不为零，那就不是严格的零，对不对吧，你就是这个意思吧。你心里早就这么想了吧。” 李说：“没错，我就是这个意思了，我摊牌了。” 若尔当说：“大胆，你这个神经病，那都是虚妄的，行列式算出来是0的，那就是0.你居然闲的无聊说它们不是0.还有拿它们计算。你对数学不负责任，你是在玩耍。” 李说：“你敢对上帝发誓吗？矩阵里只有一个地方不是0，你必须按0来算？” 若尔当笑道：“跟你开玩笑呢，我太支持你了，你的非结合代数当然以此为根基。我要给你点赞。” 最初是由19世纪挪威数学家，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于威廉·基灵、嘉当、外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。 李代数是挪威数学家索菲斯·李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。 在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。 可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。 李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。 法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。 他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。 嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。 到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。 李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。 第三百三十二章 莫比乌斯带和克莱因瓶(拓扑学) 拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，就成为一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。 莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。 比如在普通空间无法实现的“手套易位“问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。 在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。 用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。 莫比乌斯对克莱因说：“咱们谈完了莫比乌斯带和克莱因瓶。咱们要看看推广到高维的三维的东西。” 克莱因说：“克莱因瓶是一个不可定向的二维紧流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧流形。如果观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑－－克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。我们可以把克莱因瓶放在四维空间中理解：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维度再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。” 莫比乌斯说：“莫比乌斯带这个平面东西在三维中才会有全部形状，克莱因瓶在四维中才能看出那种连续扭曲的变化。那二维的带子或者平面在五维空间会形成一种怎样的不分内外的结构？” 克莱因说：“这是个有趣的问题，很难想象，我们要不要放弃研究？” 莫比乌斯说：“不但不放弃研究，而且要找到一种固定的东西来研究，比如左右变化的对称性这种东西，莫比乌斯带可以从左边连续变化到右面，而克莱因瓶可以从外面连续变化到里面。那么更高维的变化会比左右和内外更加深刻，取个名字就深内和深外，这种就是深内会变化为深外。” 克莱因说：“你说的具体是什么东西，什么状态叫深内，是多个东西的内部就深内吗？多个东西的外部叫深外？经过二维面在五维空间中的变换，多个内部的东西会被翻转成多个外部的？你想说的深刻的推广，就是这样的推广吗？” 莫比乌斯说：“多个东西的内部叫深刻的内部？除此以外就没有其他深刻的内部了？或者是深刻的左右了吗？”莫比乌斯在想俄罗斯套娃这种类型的算不算是更深的深处，同时如何将这种深处反演出来。或者是连续的有厚度的密度不同的带梯度的深处，是否也可以反演翻出来。 克莱因说：“依你这么说，是不是我们需要在现实世界中留意一下，哪里的乾坤是具备可以相互颠倒的性质的是吗？” 莫比乌斯说：“是的，知道的话，就引入到二五这个模型中。” 克莱因说：“或许是三维，是三维空间的五维翻转还会回到自己自身来。” 莫比乌斯说：“我们或许能发现这个东西，并且能够用很多特定的性质来规范它，只是在脑海中去想象就很困难了，我们只能想象到局部。” 第三百三十三章 莫比乌斯反演(数论) 奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯自打跟克莱因讨论的翻转这个事情以来，自己在很多问题上都想找到各种奇思妙想的翻转。 其中一个是关于数论中因子分解的翻转，就是莫比乌斯反演。 莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。 莫比乌斯研究如下函数： f(1)=f(1) f(2)=f(1)+f(2) f(3)=f(1)+f(3) f(4)=f(1)+f(2)+f(4) f(5)=f(1)+f(5) f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) f(7)=f(1)+f(7) f(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8) 反演变化过来时以下情况： f(1)=f(1) f(2)=f(2)-f(1) f(3)=f(3)-f(1) f(4)=f(4)-f(2) f(5)=f(5)-f(1) f(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1) f(7)=f(7)-f(1) f(8)=f(8)-f(4) 后来的莫比乌斯函数用在黎曼猜想j（x）公式里。 μ(1)= 1 μ(n)= 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除) μ(n)=-1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积) μ(n)= 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)。 因此知道了 j(x)就可以计算出π(x)，即素数的分布函数。把这些步骤连接在一起，我们看到，从 ζ(x)到 j(x)，再从 j(x)到π(x)，素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 riemann ζ函数之中。这就是 riemann 研究素数分布的基本思路。 莫比乌斯反演用在黎曼猜想上，就充分说明了在黎曼猜想上，有一个更加深刻的反演的东西，这也许是莫比乌斯和克莱因要寻找的那种反演的东西。 第三百三十四章 戴德金原理和定理(微积分) 在对有理数集q利用戴德金分割构造实数之前，先给出一个引理：任意两个有理数之间，必然存在无数个有理数。 引理非常容易证明，设a和b是两个有理数，那么它们的算术平均值c=(a+b)\/2也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。 戴德金定理是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理。 它断言，若a|a''是实数系r(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在a内，则它为a中最大元，若β落在a''内，则它是a''中最小元。 这个定理说明，r的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明，r的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性。 数学家发现了除数字以外的各种形式的数学，有各种群、环、域、模等各种重要的结构。所以数学家不可避免的要反思，数字，也就是实数是怎样的一种系统，是否在以上的分类中有严格性。或者有什么样的特殊性，或者是否是一个好的例子。 戴德金开始跟黎曼和狄利克雷等人讨论过关于实数系统的严谨性。 戴德金对狄利克雷说：“你让我去看看实数是否符合对应的群、环、域、模这种结构，那就需要挨个去看看他们的严格性。那么我们要对这个看似简单，但是却有点精彩而复杂的系统进行梳理的时候。” 狄利克雷说：“没错，这是迟早的，也是有意义的。我们定义了自然数、整数、有理数、无理数这些东西，但是我们并不是真正的了解它，因为他们的严格性有待商榷。用了这么久，也该看看这些都是什么样子了。” 戴德金说：“其中最为关键的，是一个看似简单，但是却麻烦重重的有理数和无理数的区分方式。因为他们都掺杂的连续的在数轴上，我们需要有一个理论，能够让这些东西进行区分。” 狄利克雷说：“是的他们的混杂，是如此的连绵不绝，却有膈应的无穷。” 戴德金说：“我已经找到了一种分割的方式，能够证明实数是完备的。” 狄利克雷说：“可以保证数轴直线的连续性？如何分割？” 戴德金说：“如果把直线的所有点分成两类，使得：每个点恰属于一个类，每个类都不空。然后，第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。” 狄利克雷说：“这能说明实数的什么性质？听起来怎么没有感觉？” 戴德金说：“可以推出数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则。” 狄利克雷说：“确界原理我知道，波尔查诺发现了确界原理，就是讲如果有实数集有上界，那就有上确界。有下界，就有下确界。” 戴德金说：“这个看似废话的定理有一定的重要性，知道如果有界，必然就会有最大值和最小值。” 狄利克雷说：“单调有界也是具有单调性的，必然哟最大值和最小值。” 戴德金说：“闭区间套定理，是实数连续性的一种描述，几何意义是，有一列闭线段，两个端点也属于此线段，后者被包含在前者之中，并且由这些闭线段的长构成的数列以o为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点。” 狄利克雷说：“一种不动点在其中。” 戴德金说：“有限覆盖定理，是设h是闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，则必可以从h中选择有限个开区间来覆盖[a，b]。” 狄利克雷说：“有限覆盖定理是一个有用而且重要的定理.它是数学分析处理问题的一种重要方法，在数学各领域中都有广泛的应用.有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间.由“无限转化为有限”是质的变化，它对证明函数的某些性质提供了新的数学方法。” 戴德金说：“致密性原理就是有界数列必有收敛子列。” 狄利克雷说：“同样可以以你的分割法来证明。” 戴德金说：“柯西收敛，这也是不可避免了，这是完备性的一个体现。” 戴德金于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组1，2，3的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价。 第三百三十五章 戴德金环(环论) 戴德金发现了一种奇特的数据结构，他跟狄利克雷说：“我发现了一种数学结构，跟群不一样。” 狄利克雷说：“我想听听看看有没有什么用。” 戴德金说：“我也是在想群论的时候想到的。群里只有一种运算，我代在数字里，但无法组成我想要的完整的数字，因为数字之间不仅仅有一种运算。” 狄利克雷说：“找一个数字单元，然后去生成，是不能穷尽。” 戴德金说：“我想到了一种具备两种数学结构的单元可以生成所有整数。” 狄利克雷说：“这个只需要找两个任意整数，就可以加乘出很多整数，几乎是所有的。” 戴德金打断说：“这两个数不能有共同因子，才可以生成所有整数。” 狄利克雷纠正了自己错误说：“没错如过有因子，就取不到因子之间间隔的数字了。其实这个这个结构也不难想，可以想象坐标系的网格，或者数字上的数字，乘和加的运算，就是平移和扩大和缩小，这个就好想多了。” 戴德金写出了一个一般整数的环，狄利克雷也开始写两个因子的线形式子想穷尽整个整数，娶了个名字叫理想。 戴德金觉得环的结构不仅限于整数，也不仅限于数字。 第三百三十六章 拉斯克的准素理想(环论) 拉斯克是数学出身，那时很多人开始对环这个结构开始探讨了。 整数环很好比例子，容易懂，如果引入矩阵的话，就有点讲究了，毕竟涉及矩阵的问题，需要搞清楚是左乘还是右乘。如果左右都相等，那才是可以变成一个可交换的。 环除了有正整数，还有矩阵，还有一段区间内任何可取的数。 环乘以自己，左乘和右乘，还是在自己之内的就是主理想。很显然整数环和多项式环都是主理想环。 爱下棋的拉斯克在想，既然数字中有数的因式分解。比如6776=2*2*2*7*11*11。 那么在环模型当中是不是也有因式分解？ 在数字中，数字的构造是一些基本的因式，那么一个环是不是也会存在有因子环？ 第三百三十七章 庞加莱的三体问题(天体力学) 庞加莱想挑战一个新的计算，就是月亮绕太阳的轨道的计算。 对于地球绕太阳转，月球绕地球转，这种二体问题，庞加莱已经十分娴熟了。 但是月球绕太阳转，这个问题就变得十分复杂了，那个轨道的形状只能大概脑部，拿草纸大概勾勒一下就行。 就算是二体问题，也不太简单，因为旋转的轨道不是圆形，是椭圆形。 其实也不是椭圆，而是类似椭圆的会发生进动的变化，是一个不封闭的曲线。计算的时候，按照椭圆近似计算。 而二体问题还有一个麻烦就是，地球绕太阳转，太阳不是不动的，而是被地球用引力拖动着的。 所以，要计算的太阳和地球绕着地日系统的质心转动的。 庞加莱只要把地球绕太阳转的轨道给算出，再把月亮绕地球轨道算出，合起来就可以了。 用了很长时间庞加莱算完了，而且发表了自己的月亮绕太阳旋转的轨道结果。 庞加莱疲惫而满意的躺在床上，但是他突然认为，这里有个问题，之前脑海里闪过去了，像卡子自己的感觉。 “不对！我知道哪里有问题了，是没有考虑太阳会吸引月亮，本身也会有引力的作用，这是不可以忽略的。” 庞加莱赶紧起床，知道自己的论文第二天就发表了，今晚就必须要把结果给改完。 庞加莱引入了太阳吸引月球这一项，发现麻烦的事情变多了，整个公式越算越乱。 最后，干脆就算不出来了。 庞加莱说：“这样的计算是没有解法的。” 庞加莱联系杂志社，让修改自己的论文结果，结论是月亮的轨道无法计算。而且三体的轨道都是不可精确计算的。 第三百三十八章 庞加莱同调论(拓扑学) 1880年，庞加莱（poincaré）发表了关于自守函数的重要结果。 1883年，庞加莱发表了一篇论文，开启了多复变解析函数理论的研究。 1892年，庞加莱出版了三卷本《天体力学的新方法》（les méthodes nouvelles de mécanique céleste）的第一卷。他旨在完全刻画机械系统的所有运动，援引流体流动的类比。他还证明，以前例如德劳内（dunay）用于研究三体问题的级数展开是收敛的，但一般不是一致收敛。这使人怀疑拉格朗日和拉普拉斯给出的关于太阳系稳定性的证明。 1894年，庞加莱开始了代数拓扑的工作。 1895年，庞加莱出版了《位置分析》（analysis situs），这是他的第一本拓扑学着作，给出了这个专题的较早的系统性处理。他是代数拓扑的创始人，发表了这个专题的6篇论文。他引入了基本群。 1904年，庞加莱提出庞加莱猜想：每个同伦等价于3维球面的3维闭流形必定是3维球面。 1904年，庞加莱在一个讲座中提出一种相对性理论来解释迈克尔逊-莫雷实验。 1908年，庞加莱出版了《科学与方法》（science et méthode），这也许是他最着名的大众读物。 “大家要考虑这个问题，这个猜想所延伸的问题。” 教课是查尔斯·厄米特，他一边在黑白上写着复杂而古怪的符号，一边在画各种表示抽象思想的图。此时，他想把世界性的难题就这样任性的抛给自己的学生。 突然看到一个学生回答道：“使用怎样的简单几何，和构造方法，做成一个特定序列，然后构造出我们想要的复杂的几何体？我觉得不是什么难事呀！” 查尔斯·厄米特看了看亨利·庞加莱，听到这句话就想笑。虽然他是要把这种难题要扔给学生们去解决的，但是如此不走心的回答，还是让查尔斯·厄米特有些反感。 “别着急去这样说，你给我说说，有什么办法？” 亨利·庞加莱想了想说：“一个复杂的曲面形状，是可以由无数个等边三角形构造出来的。” 查尔斯·厄米特噗嗤的笑了一声：“你是刚学的吧，不对，你看到一个复杂的曲面，一下子就能知道如何用无数个等边三角形来构造？你幼稚了！首先这无数个等边三角形都是大小相等的吗？如果不相等，那应该如何去选取大小？” “先用最大的覆盖一下，看看，在小的地方再用次等大的用最大的覆盖，每一个空隙使用尽可能最大的三角形去覆盖，盖到最小的为止。”亨利·庞加莱说着话，带有要豁出去的意思了。 “哈哈，什么叫盖到最小？有多小？是不是在误差范围之内的不用管就可以了？”查尔斯·厄米特随着亨利·庞加莱的意思，也在试图推导，而不急于去反驳他的观点。对于查尔斯·厄米特来说，解决问题，有的时候比提出问题更值得去珍惜，老师的批判应该有水平，而不去做一个情绪化的大杠精。 “没做，做某一个项目的时候，这种误差小的，根本不影响工程，而且这样去做出无数的三角形的办法，完全说可取的。”亨利·庞加莱认为自己想的很完美，只要是认真思考过的问题，就没有解决不了的办法。 “我发现两个问题，第一就是去根据形状去计算覆盖三角形的最大形状，这也不是一下子就能够算出来的。第二就是随着空隙的增加，去用三角形填空的过程也会变得极为繁琐复杂。”查尔斯·厄米特想要反驳的方式去测测亨利·庞加莱的能力，最重要的是要测一测亨利·庞加莱的耐力。 “如果不能够快速给出形状，就用随机的办法来化最大三角形，就没必要遍历的去比较哪个三角形面积是最大的了。而填空这种过程，就使用软件的算法，能不能用分布式的解决来计算了。”亨利·庞加莱认为这种办法也是可取的，没必要非得去找最大三角形，只要随机快速的找到足够大就可以，这样的计算过程就会加快，而且这样的下面的计算过程也会因此而加快。 查尔斯·厄米特心里在想，那这种构造的序列就是，先知道这个曲面，然后随机画上三角形填满，并记录三角形信息，之后随机的没填一个三角形，就记录一个三角形的信息，知道剩下的空隙在误差范围内就可以。 “即使用了这个办法，寻找空隙的算法，还是会很麻烦的。因为你不知道这里是不是覆盖过的。”查尔斯·厄米特还是疑惑的说。 “那就把每一个覆盖进行记录，然后遇到空隙后，计算空隙的中心坐标，中心坐标在覆盖好的三角形之外，就足够了。”亨利·庞加莱继续说：“你在序列里直接加上这个程序就可以了。” “你说的随机给形状，还有判定空隙没有被三角形覆盖等等，这就是查尔斯·厄米特猜想里的模糊问题了。空隙没有被三角形覆盖，你的算法可能是错误的，万一有空隙很小，但质心在覆盖三角形中心处的凹形结构。即使你有其他算法了，但是也是很复杂的了。”查尔斯·厄米特就用这样的方式告诉大家，查尔斯·厄米特猜想的困难性。 亨利·庞加莱瞬间来了兴趣，他认为自己应该用基本的几何体去勾结一个复杂的三维形状。 亨利·庞加莱的脑子里开始用正四面体结构来堆放处一个形状的东西，并且试图让这个东西进行一个变换。 0维单形是一个点，一维单形是一条线段，二维单形是一个三角形，三维单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个顶点的广义四面体。 第三百三十九章 庞加莱截面(混沌学) 某点附近相体积越来越小，这个点称之为吸引子。 吸引子有四种：不动点吸引子，周期吸引子，准周期吸引子，混沌吸引子。 而混沌吸引子是研究混沌形态的一个典型形状，是一个完全随机的一个变换，毫无规律性。 把这个吸引子画出来的话，长得像一个蝴蝶一样。分着一种左圈和右圈。 但是这是一个极度难以描述的精确的图形。吸引子在左圈旋转，也会到右圈选择，这些都是随机的。 大家知道，混沌是数学里最难以驯服的一部分。 很多混沌的问题都可以转化成吸引子那样的数学形状，在数学中转化成左右圈的旋转的不确定性。 庞加莱倒是认为，这个问题可以用一种统计的方法。 这就是庞加莱截面。 虽然不能够精确的计算混沌吸引子的具体运动模式，但是如果选取一个截面，让这个吸引子穿过这个截面，然后统计这个点会穿过这个截面的次数来进行统计，会大致判断这是准周期还是真混沌。 这相当于是用概率统计的方法来研究混沌学了，简单粗暴。 这里的意义变得越来越重大，对于多变量的复杂系统，也可以用这种办法来研究。 多变量复杂系统，跟混沌系统也是有相似之处的，或者就是一回事。 第三百四十章 庞加莱单值定理(复流形) 黎曼提出一维复流形这样的结构以后，很多人都对此展开研究。 到了庞加莱这个时期，已经开始于拓扑学挂钩。 而拓扑学，往往是给各种图形分类的。 庞加莱对黎曼的一维复流形进行了一种分类，这就用到了单值化定理。 庞加莱认为一维复流形首先跟二维的实直角坐标系是一样。 后来引入拓扑学之后，庞加莱进一步认为复平面向四周无限延申到一个无穷大的点，这样就可以把一个复平面看作是一个巨大的球形了。 而一般的二维实坐标系是一个缺了无穷大点的一个巨大球上的洞。 所以一维复流形也于破一个洞的巨大球是一样的。 后来数学家引入了二维周期的环，如果二维坐标系是无数个这样带奇点的单位构成，那一维复流形也等于一个环。 一维复流形也相等于单位圆对某个富克斯群g的商空间d\/g。 第三百四十一章 庞加莱猜想(拓扑学) 庞加莱想平面之间的等价性还是很容易的。 一个皮球，是一个面组成了，可以平展成一个面的形状。 这是让一个二维的面从三维空间中转化成立二维空间。 如果是四维空间的皮球，是否能够平展成二维空间的平面？ 一般人粗略的一想，还以为可以。 但是庞加莱敏锐的洞察到，四维空间中的皮球，不是一个二维的面。 或许是个三维的体，搞不好就是三维空间的实心球体。 这个想法突破了一般人的认知，但在数学是是轻松可以推论的。 只是这需要去证明才行。 123 拓扑”跟“群”一样也是一种对结构的描述，但是它不再专注于结构的外观、尺度，而只关心结构的性质，即不再进行定量研究转而进行定性研究，这是数学发展史上又一次伟大的突破。 比如我们可以把一个瘪了的球、一个正方体、一个十二面体都认为具有同样的拓扑，因为这些结构在三维空间中都是封闭的，它们都可以通过连续变换变成一个球。你可以想象这些物体都是橡皮做的，只要充满气，就能把它们涨成完美的球形，在拓扑学中我们说这些结构与球是同胚的。具有同胚拓扑结构的空间几何体在遵循“不撕裂不扯破”的原则下能够任意相互变换。所谓“不撕裂不扯破”就是不破坏构成结构体的各点之间的关系，比如a点和b点是相邻的，在变换之后a点与b点仍然是相邻的。有一种结构，无论你用同样的方式怎么努力，也不能变成球形，那就是轮胎。这是因为轮胎与球具有不同的拓扑结构，球是单联通的，而轮胎是双联通的。 欧拉公式揭示了拓扑性质与对称性之间的联系，在单联通多面体结构，只能产生5种完美对称，我们真实的宇宙一样具有某些拓扑性质，这些拓扑性质也同样对对称性有约束，因此才形成了我们所见的宇宙。 克莱因瓶 它和莫比乌斯带非常相像，实际上是莫比乌斯带的三维扩展，但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。我们可以想象将两个相反的莫比乌斯带的边缝合在一起，就构成了一个克莱因瓶。莫比乌斯带必须跨越到3维或更高维的空间才得以形成，克莱因瓶则跨越到于四维或更高维空间中才能制造出来，它在我们的三维空间中是不可能存在的，它实际上是在四维空间中将三维空间的正反两面扭曲连接到一起。 拓扑学上最传奇的故事莫过于庞加莱猜想了。1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球，即任何单联通的三维封闭流形都同胚于三维球面。后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”，即“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面”。前面我们已经讲过同胚是指通过不撕裂不扯破的连续变换可以变为同样形状的性质，同伦则是比同胚更宽松的变换，比如我们可以把一个三维的球压扁在一张纸上变成一个二维的圆盘，然后在二维的圆盘上长出几根刺，这个图形与原来三维的球都是同伦的。庞加莱猜想其实意味着在我们的三维空间中的任何封闭物体，不管是一块砖头，一个人，还是一台拖拉机，只要它是封闭的，在四维空间中它就必然能连续变换成四维空间中的三维球面。换句话说，正如三维球体的边界是一个二维封闭球面一样，四维球体的边界其实就是三维的封闭球面，这个球面去掉一个点展开来就是整个三维空间，任何在这个三维空间中封闭的物体都可以通过拉伸、弯曲、延展变成一个三维的封闭球面。类似三叶结这样的结构在三维空间中当然不能变成一个球，但是在四维空间中，这样的变换就变得轻而易举。 一个多世纪以来，无数的科学家为了证明“庞加莱猜想”倾尽了毕生的心血也没有能够完成。希腊着名的拓扑学家帕帕在临终前，把一叠厚厚的证明手稿托付给一位数学家朋友，然而那位数学家发现了其中的错误，他为了让帕帕不留遗憾地离去，最后选择了沉默，这只是庞加莱猜想证明史上无数悲歌中一首。2000年5月24日，美国克雷数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧年大奖难题”之一。这七道问题被研究所认为是对人类科学发展最为重要的定理，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个问题的解决都可获得百万美元的奖励，因为任何一个问题的解决，都将人类对于宇宙的认识提升到新的层次，而庞加莱猜想被公认为七个难题中最不可能被证明的一个。尽管举步维艰，但前方似乎总在闪动着曙光，一群拓扑学的先驱前仆后继，铺就一条通往遥远彼岸的浮桥， 斯梅尔完成了对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明； 福里德曼给出了四维空间的证明； 瑟斯顿引入了几何结构的方法对三维流形进行切割； 丘成桐和李伟光发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论； 汉密尔顿给出了里奇流奇点的理解； 而默默无闻的俄罗斯犹太裔数学家格里戈里·佩雷尔曼则完成了最后的证明。 庞加莱猜想跟圆结构密不可分。我们知道，自然界中普遍存在着圆、球及跟圆密切相关的螺旋，圆是相当神奇的拓扑结构，它有一些看似普通但却深刻的性质。在几何学中，圆是在n维空间中距离一点距离相同的所有点的集合，在二维平面上圆方程为x^2+y^2=r^2，即平面中与同一点距离相同的点组成的环，是平面封闭流形的一种特殊形式。圆的性质之一是封闭性，它将维度空间隔离为截然不同的两部分，一部分为内部空间，一部分为外部空间。圆内空间为有限，圆外空间为无限，圆内边缘与圆外边缘具有截然相反的性质，内圈为负曲率，外圈为正曲率。圆的性质之二是连续性，用数学术语来说是可积可导的，它连续弯曲变化，没有折叠、没有断裂，最终首尾精巧相连，一切都圆融自然。圆的性质之三是它可以收缩为点，圆收缩为点的性质其实对应圆所包围的面，在这个面中所有的点都可通过连续变换收缩于其中的一点，收缩过程可以是通过不断缩小半径变换为更小半径的圆面，原有圆面中的每个点都对应着新圆面中的点，且点与点之间保持原有的相邻关系，不折断也不破裂。圆拓扑的性质之四是有限无界性，我们的地球就是这样一种结构，有限的体积，但表面没有界限，这体现了宇宙的绝妙创意，它让宇宙本身首尾相连、循环相依、浑然天成、自成一体。这样的结构既能使宇宙整体展现完整与自恰，也能让其内部的生命体感到无限开放、无拘无束。我们知道，作为自然界大统一理论备选方案的m理论是由不同种类的弦论组成的，而弦论又都是建立在开弦、闭弦及膜的基础之上的。可以说，在m理论中，开弦、闭弦及膜的拓扑变换及维度扩展最终演化形成了整个宇宙的复杂结构。而线对应“开弦”，圆环对应“闭弦”，圆面对应“膜”，它们都是宇宙中的最基本的结构，不同之处在于开弦有两个自由的端点，闭弦没有自由的端点，而膜则可以变换成开弦与闭弦。从某种意义上来说，圆面是比圆环、线段更为基本的东西，因为所有维度的空间在高于它的维度空间看，都只是一层扁平的薄膜，比如从四维空间中来看，地球实际上是一张三维膜，而黑洞的奇点正是三维膜收缩而成的点。借用一位中国学者的观点：“借助庞加莱猜想熵流，用空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面，可证时间之箭的起源，还能把热力学与量子论、相对论、超弦论和圈量子引力论等相联系”，这让我们似乎看到了揭开时间之谜的一把拓扑学之钥，如果时间的本质是“概率的不可逆”，那么这种概率的不可逆就可能对应于“把空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面”的拓扑变换性质，宇宙的爆发以及膨胀也许正是在执行这种变换。 庞加莱猜想带给我们新的宇宙观：每个n维球面都包裹着n+1维的一块世界，也可以说每个n维的世界，都是由n+1维的世界支撑着。跟我们通常认为的相反，低维世界恰恰是依附于高维世界而存在的，因为低维世界只是高维世界中物体的分界。正如人类是以地球的二维球面为支撑，生长在宇宙的三维球面上。当然不排除还有其他的生命形式以宇宙的三维空间为支撑，生长在更广阔的四维球面上(下图为四维球在三维空间中投影结构)。 第三百四十二章 伽罗瓦群论(群论) chevalier对伽罗瓦说：“你确定要参加那个决斗吗？” 伽罗瓦没有回声，只是在一张纸上快速的做着运算。伽罗瓦看过阿贝尔的论文，认为阿贝尔只知道普通的五次方程不可解，但是具体的为什么不可解却不知道。同时也有的五次方程是可以解的，哪个可以解，哪个不可以解，伽罗瓦找到了一种新方法。 chevalier认为伽罗瓦是一根筋，为了一个女人跟专业的杀手对决，根本不值。但是伽罗瓦一向就是这种性格，谁的话也听不进去。 伽罗瓦对chevalier说：“你别管其他，之需要把我写好的稿子，给那些专家们看看。希望他们会理解，如果他们理解了，他们肯定会知道其中重要的价值。阿贝尔把自己的方程写的太难，他是用解方程的思想去直接推导的，才找到的矛盾，但是他那种方式没有找到本质。我这种才是真正的本质。” 对于伽罗瓦而言，自己惹上了麻烦。仔细想想，自己的一生最需要什么，他也不知道。心爱的女人？法国理想的秩序？优美的数学真理？伽罗瓦发现自己可能更喜欢的是数学优美的真理，那是一种纯粹的秩序，巧妙而神奇，远非人类能够全部轻易可以洞察到的。 “二、三、四次方程可以解出来，那是有一个内在的性质的。” “是对称性，这种对称性在五次方程中没有。” “而这种对称性，跟交换群的对称性，在数学上是一回事，两者是等价的。只是长的不一样罢了。只要我能够证明这两者是等价的，同时在五次的交换群里找到异常的地方，就可以了。” “可什么是异常呢？” 伽罗瓦一边写着，一边一个劲的说，也不管chevalier心里的那种对自己的担忧。 伽罗瓦在自己的草纸上把3、4次的交换群都画出来了。然后画出了第5次，发现第5交换群有问题。这个问题就是5次交换群没有正规子群。 “如果没有正规子群的话，就能说明五次方程是没有四则运算解的吗？” 伽罗瓦开始从域论和扩张域上来寻找答案。 第一：域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。 第二：若k\/f为伽罗瓦扩张，k上的f-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为gal(k\/f)。 第三：对于h是gal(k\/f)的子群，称k中在h中任意元素作用下不动元的集合为h的不动域，这是一个中间域。 第四：对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。 第五：f?e?k形式的伽罗瓦扩张，e\/f是正规扩张当且仅当gal(k\/e)是gal(k\/f)的正规子群。 第六：在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。 广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。 chevalier此刻知道，就算伽罗瓦逃过那次决斗，也会被那个杀手追杀。自己能做的就只是帮伽罗瓦吧稿子给保存下来，然后投教给各个数学家。这就算是对伽罗瓦最大的帮忙了。 第二天，伽罗瓦倒在决斗的枪声中，嘴里还在念叨自己的理论。chevalier按照伽罗瓦的要求，把他的文章发给了法国很多着名的数学家哪里。最终，刘维尔发现他的理论。 到后来，伽罗瓦的群论流芳百世，成为现代数学的基础学科。伽罗瓦的故事也被人传颂，因为太过于传奇了。 帕克特说，数学的魅力在于它是很有趣的学科。 或许数学本身就是吸引人的，没有任何理由。很多人喜欢数学，仅仅就是因为其中的东西本身就很有趣。这种有趣，最撩人的心，甚至让人不顾一切的为之奋斗。至于说为什么要为此而奋斗，难以说清理由，顶多只能说一句，这是好奇。伽罗瓦好奇的就是为什么五次方程不能解，仅此而已。 第三百四十三章 汉密顿发现四元数(四元数) 数字广未尽，矩阵也等价。 四元表旋转，八元表更深。 “爸爸，你找到四元数了吗？”汉密尔顿的儿子问道。 “还没有，我还在想呢。”汉密尔顿还在想着关于四元数的问题。 汉密尔顿跟妻子走到金雀桥上的时候，突然想到了一个公式i*i=j*j=k*k=i*j*k=-1这样的古怪公式。 同时他赶紧拿出随身带的粉笔在桥上写下了这个公式。 心里明白这不是普通的复数可以表达的，一定得是形如a + bi+ cj + dk这样的数字才可以表达，当然abcd都是实数。其中的ijk理解成一种旋转。对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表x轴与y轴相交平面中x轴正向向y轴正向的旋转，j旋转代表z轴与x轴相交平面中z轴正向向x轴正向的旋转，k旋转代表y轴与z轴相交平面中y轴正向向z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。 同时其中的ijk的解法也可以写出是三个二阶矩阵，这个矩阵不能像行列式那样化成数字。这是一个不能使用交换律的乘法，主要就是表达旋转量的。最后量子的自旋也是使用了四元数直接表示的。 到了后来，汉密尔顿一直研究四元数，同时也发现四元数跟向量是等价的，所以慢慢的把很多模型都从四元数转化到向量计算上来。 四元数的加减乘除可以用棣莫弗的一种推广来计算吗？这是矩阵简化的计算问题。 哈密顿的朋友格莱乌斯听说哈密顿的四元数后，一个月后格莱乌斯发明了8元数。 第三百四十四章 最小作用量原理(理论力学) 费马知道，光沿着这条路径传播所需的时间，要比其他的路径所需的时间都更短。用于研究变分的问题。 莫佩尔蒂认为，一切物体运动的作用量都是按最小来，原因是宇宙的运转是很经济化的。他发现了公式a=mvs。用于动量和折射方面的理论。 欧拉独立于莫佩尔蒂发现了这个公式，但是欧拉提出的是对mv求s的积分这种形式。 欧拉又将这结果推广至一群粒子。他认为最小作用原理所以正确，是因为粒子的惯性试着阻抗任何关于状态的改变，自由粒子会选择遵循影响最小的作用力。 拉格朗日作用量，就是动能减去势能，方程对应l=t-v。代表的正是此刻即将能够发生运动的能量。 力学运用到变分原理，成为力学变分原理，虚功是其微分形式，哈密顿原理是积分形式。 哈密顿根据拉格朗日作用量提出了哈密顿原理。 哈密顿知道，一群粒子的运动状态没办法一个个的精确表示，只能是笼统的只用一个系统的作用量来表示这一群粒子总的作用量。 在n+1维空间(q1，q2，…，qn；t)中，任两点之间连线上动势l(q，t)(见拉格朗日方程)的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。 为什么水喜欢往低处流，为什么一根两端悬挂起来的线会自然弯成一道优美的弧线，为什么太空中的星体和水滴都不约而同地选择球体这个形状。这些有趣的现象背后，就是最小作用量原理。 这个原理用最通俗的话说就是，大自然是一个精明的经济学家，它总会选择最省力，成本最低的方法来构建这个世界。此时，如果你掌握数学中的变分法，那么你就可以从最小作用量原理推导出牛顿第二定律。 近代物理中，最小作用量原理依然闪烁着光芒。广义相对论告诉我们，在弯曲时空中，光依然会选择最便捷的道路，而绝对不会去选择一条最艰难的道路。而最小作用量原理也启发了费曼，他提出了路径积分量子化的思想，把量子场论的研究向前推进了一大步。 有了最小作用量原理，我们还会得到更本质的东西——对称性。 什么是对称？对称就是不变的东西！也就是说，经过一系列操作之后，不变的物理量，就是这种操作下的不变量，那么这种物理量就具有了某种对称性。 空间平移不变，对应的就是动量守恒，而时间平移不变，则对应着能量守恒。 第三百四十五章 哈密顿发现辛几何(辛几何) 在19世纪早期，威廉·罗文·汉密尔顿发现了一种具有近乎神奇性质的新型几何空间。 它把运动和数学编码成一个单一的、闪烁的几何物体。 这一现象催生了一个叫做辛几何的领域。 在过去的几十年里，它已经从一个小的见解集合发展成为一个动态的研究领域，与数学和物理的更多领域有着深刻的联系，比汉密尔顿所能想象的还要多。 辛几何最终研究的是具有辛结构的几何空间。 但是一个空间有一个结构到底意味着什么——更不用说这个特殊的结构了——需要一点解释。 几何空间可以像防水面料一样松软，也可以像帐篷一样僵硬。 西北大学的艾美·墨菲说：“防水布很有可塑性，但不管怎样，你可以用一堆树枝或脚手架来塑造它。”。 “这让它变得更加具体。” 结构最少的空间只是连接点的集合。 直线是一维空间。 球的表面是二维的。 这些空间中缺乏结构意味着很容易在不从根本上改变它们的情况下使它们变形：扭曲线条，膨胀、缩进或扭曲球体，在研究这些非结构化空间的拓扑学家看来，它们仍然是一样的。 剑桥大学的艾尔莎·基廷说：“就地形学家而言，如果你从一个球的表面开始，你可以随心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它对他们来说仍然是同一个空间。”他们对整体形状感兴趣。” 当然，当数学家谈论空间变形时，他们并不是说要用手拉它。 相反，它们用函数变换空间：一个点的坐标变成一个函数，一个新点的坐标就出来了。 这些变换将空间的每一个点带到空间中的新点。 这在数学上相当于晃动防水棉。 您还可以向空间添加更多的结构。 这种结构增强了空间包含的信息，但也限制了变形的方式。 例如，您可以向球的表面添加度量结构，例如在地球仪上添加经度和纬度线。 这种结构使测量两点之间的距离成为可能。 但是一旦添加了这个度量，你就不能再在不破坏原有结构的情况下使球膨胀或缩进，因为这样你就改变了点与点之间的距离。 例如，如果你使地球膨胀，纽约和伦敦会相距更远。 辛结构是另一种可以添加的结构，它提供了一种测量空间面积的方法，并且只有在面积测量值保持不变的情况下，你才能改变空间的形状。 汉密尔顿在研究诸如行星运动等物理系统时发现了第一个这样的空间。 当行星在空间中移动时，它的位置是由三个坐标确定的，分别是x、y和z轴。这些点代表了行星所有可能的位置，形成了一个三维空间。 汉密尔顿观察到，在三维空间的每一点上，你可以指定三个额外的坐标，来指定行星沿每个轴的动量。 叫他们xm，ym和zm。现在你有六个坐标：三个代表位置，三个代表动量。 这六个坐标定义了一个新的六维空间中的点。 他的六维空间是一个辛结构空间的例子，因为它可以进行面积测量。 这就是它的工作原理。 在空间中的每一点上都可以画出六个“矢量”，或者有向箭头，它们对应着行星在矢量所指向的维度上的方向或动量。 因为两个向量可以定义一个平行四边形——一个有面积的二维空间——我们可以取空间中的两个向量来测量一个面积。 但是为了确保它是一个非零的数字，你必须选择特定的一对向量:那些表示沿着同一轴的方向和动量的向量。 不匹配的向量，如z方向向量与y动量向量配对，形成面积为零的平行四边形。 这些成对向量也反映了辛空间的另一个重要性质，即它们与复数的内在联系。这些数字包括i，即?1的平方根，它们采用a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。 定义六维辛空间的一种方法是用三个复数，每个复数的两个部分提供两个坐标。 这两部分也对应于我们配对测量面积的两个向量。 因此，对于每个点，基于x的方向和动量向量（例如）不仅提供了测量面积的方法，而且构成了定义空间的三个复数之一。 这种关系反映在辛的名称中，辛来自希腊语单词sumplektikos，相当于基于拉丁语的“plex”，这两个词都意味着“编织在一起”——这让人联想到辛结构和复数相互交织的方式。 这也是辛空间吸引数学家想象力的主要原因之一。 辛几何研究是一种保持辛结构，保持面积测量不变的空间变换。 这允许在您可以使用的转换类型方面有一定的自由，但不是太多。 因此，辛几何占据了一种介于防水布的松散拓扑和帐篷的刚性几何之间的中间位置。 维持辛结构的转换类型被称为哈密顿异型。 但是，尽管汉密尔顿发现了辛空间的第一个例子，接着数学家开始思考在与物理世界无关的几何空间中，辛现象会是什么样子。 数学家总是喜欢推广，所以我们可能会说，‘如果我们生活在八维空间而不是三维空间，经典力学会是什么样子? 从20世纪60年代开始，弗拉基米尔·阿诺德(dimirarnold)就提出了几个有影响力的猜想，这些猜想抓住了辛空间比普通拓扑空间(比如松软的球面)更具刚性的具体方式。 其中一个被称为阿诺德猜想，它预测了哈密顿方程的异态具有数量惊人的“固定”点，这些点在变换过程中不会移动。 通过研究它们，你可以知道是什么使辛空间不同于其他的几何空间。 20世纪80年代末，一位名叫安德烈亚斯·弗洛尔(andreasfloer)的数学家提出了一种名为弗洛尔同构的理论，这是一种强有力的框架，是数学家现在研究辛现象的主要方法。 它使用了被称为伪全纯曲线的对象，这种曲线以迂回的方式允许数学家计算不动点，并确定它们的某个最小数目是辛空间固有的。 物理学符号也是人类解释世界的工具，而不能把物理学理解为客观世界的本质！ gromov，arnold，sindel，eliashberg都是辛几何传奇，达布定理是辛几何第一个定理 结构和量化，它们互相成就！这画面太美，已延续400年 第三百四十六章 康托尔三分集(集合论) 1875年，亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯发现了一个诡异的东西。 是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显着和深刻的性质。 后来1883年，又有康托尔开始对这个问题感兴趣。 史密斯说：“对于线上的点，我总觉里面有很多玄机，上面有很多深刻的道理。不能弄过去的数学去衡量。” 康托尔说：“我也有同感，而且我还有一个不错的模型。” 史密斯说：“说说看。” 康托尔说：“我发现一个三分点集。取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，记为p。” 史密斯说：“这是一个无处稠密的完备集的例子。” 康托尔说：“其中有很多有趣的性质。” 史密斯说：“听你说的这个三分集，无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。” 康托尔说：“除了有自相似性，还有精细结构。” 史密斯说：“是无穷操作或迭代过程。” 康托尔说：“他让传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。” 史密斯说：“没错这是长度为零的。真是一个集简单与复杂的统一的结构。” 康托尔集很庞大，但它当中几乎不含有任何“内容物”。 第二种描述康托尔集的方式虽然有些枯燥但会更加精确。我们通常以十进制来书写数字，但除了这种书写方法以外我们还可以以三进制来书写数字，这就意味着我们只需要数字0、1和2就可以了（十进制书写的1到10如果以三进制来书写就会写成1、2、10、11、12、20、21、22、100、101）。康托尔集是闭区间从0到1的数字中，那些在三进制中仅用0和2书写的数字的集合。例如，0是包含于康托尔集中的，至于1可以被写成0.....(就像0.9999...=1那样)。 用三进制的方式来思考康托尔集特别自然地符合康托尔集的构造。将闭区间[0，1]中的所有数字用三进制转换。当你去掉区间(1\/3，2\/3)，你就同时在去掉这个集合中三进制小数中第一个小数位为1的点。当你去掉剩下区间的1\/3，你就同时在去掉三进制小数中第二位小数为1的点，以此类推。但我们确实要对端点值小心。早期的时候，我们注意到数字1可以被写成1或0.2222...类似地1\/3可以被写成0.1或者0.0...。任何用三进制书写的数字如果以1收尾都可以用2的无限循环来代替，康托尔集是三进制中仅用0和2表示的数的集合，但这并不意味着这个集合中的所有数字一定要按照这种方式来书写，因此我们允许1、1\/3以及诸如此类的数字成为这个集合中的一部分。 第三百四十七章 康托尔定理和悖论(集合论) 康托尔定理(cantor''s theorem)：用p(x)记x的一切子集构成的集，用cardx表示x的势，则cardx < cardp(x)。康托尔定理指的是在zermelo-fr?nkel集合论中，声称任何集合a的幂集（所有子集的集合）的势严格大于a的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。 1874年，康托尔开始引进他的令人感到神秘莫测的无穷大概念。 康托尔提出了集合论，而且提出一种幂基，是原集合中所有子集组成的集合。幂基的个数大于原集合元素的个数。这是因为幂集与原集无法形成一一对应的关系了。 如果自然数是原集，自然数的幂集数大于自然数，所以自然数的幂集数的无穷大，比自然数的无穷大要多。而康托尔有证明了自然数的幂级数与实数一样多，所以得知实数的无穷大数比自然数的无穷大要多。 康托尔证明直线、射线、线段上的点都一样多，同时等于实数的个数。而且直线上点的个数与面上点的个数与体中点的个数一样多。这也是康托尔悖论的核心内容。 后来康托尔又发现函数的个数的无穷大比实数的无穷大又大。 所以最后推出任意函数个数>实数数（线上点的个数）>自然数数。 其中有理数个数等于自然数个数，无理数个数等于实数个数！ 数学家克罗内尔狠狠的批评了康托尔，说：“这不是数学，这是神秘学。” 康托尔也被这一番话弄得怀疑人生，还因为自己真的精神有问题了，然后进了精神病院，后来才康复。 克罗内尔的学生布劳威尔也同意自己老师的观点，说：“数学必须是一种可以明确构造的结果，不能是无法描述清楚的东西。” 外尔也说：“康托尔的理论是雾中之雾。” 克莱因也不喜欢康托尔的理论。 也有支持者。 胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。 希尔伯特认为：“这是人类纯粹智力活动的最高成就之一，是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 第三百四十八章 克罗内克尔符号(矩阵) 设i为集合，ixi的对角线的特征函数称为克罗内克尔符号（kronecker symbol），并记为δ。习惯上将这个映射视为通过集合ixi确定下标的族；于是：如果i≠j，δij=0；如果i=j，δij=1 雅克比说：“我推广了勒让德符号，研究二律互反的。” 克罗内克说：“你推广成什么样子了？” 雅克比说：“从二律互反推广到多律互反了。” 克罗内克说：“那是不是可以继续推广呢？” 雅克比说：“还能怎么推广？” 克罗内克说：“将底数由正奇数推广至一切整数。” 克罗内克写出了二阶的和三阶的克罗内克符号。 后来，数学界延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。 第三百四十九章 布劳威尔不动点定理(拓扑学) g.曼诺利对布劳威尔说：“拓扑学对于结构的研究极其重要，试问哪个数学不要基本结构呢？数学的基础就是结构，所以数学的中心就是拓扑学。” 布劳威尔受到g.曼诺利的启发，开始有意识的培养自己理解拓扑学的能力。 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（荷兰语：l. e. j. brouwer）。 在最初的领域中，这个结果与若尔当曲线定理、毛球定理和博苏克－乌拉姆定理一样，是少数刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理之一。 数学的中心是拓扑学，拓扑学的中心就是不动点。 布劳威尔深深的清楚，随着拓扑学的发展，对于拓扑的分类成为了一个重要问题。 布劳威尔与庞加莱开始讨论拓扑学的问题，说：“即使我们知道拓扑的本质是关于洞的问题，但是很多东西的拓扑学本质即使的存在的，我们也很难看出来，很难判断是什么形状的。” 庞加莱说：“看着很混沌，不容易判断，但是也不能一点根据都没有。” 布劳威尔说：“当然有根据，我们能够感觉到这种根据。” 庞加莱说：“你没办法去测量，你如何去描述这些复杂的形状，属于是那种类型的拓扑形状？” 布劳威尔说：“我感觉到，可以去寻找一些相对固定的点，以这个点的特征去区分各种种类的拓扑形状。” 庞加莱说：“固定的点？如何固定？” 布劳威尔说：“就是一个东西经过变化之后，其中有些点原来的点在位置上没有发生变化。” 庞加莱表示不明白。 布劳威尔说：“取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状，放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。” 庞加莱来了兴趣，笑着说：“你确定过了？有这种有趣的事情？”说罢，庞加莱找了两张一模一样的纸，合起来平铺在桌子上，把上面的那一张纸揉搓成一团，放在一张纸上。然后心里开始感觉，貌似至少一个点都还在原来位置的。 布劳威尔说：“如果你在大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。” 庞加莱说：“没错，确实如此，太好玩了。” 布劳威尔说：“如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。” 庞加莱说：“你刚刚举出了二维的例子和三维的例子，看来这是一个普遍问题，难以从表面感知，但是却是真实存在的。” 布劳威尔定理在拓扑学中也有重要的地位。这个定理也被应用于证明各种微分方程的深入结果中，在大部分的微分几何课程中都可以见到对这个定理的介绍。 即使在看上去与这个定理没有什么关系的领域，例如博弈论中，也能见到布劳威尔定理的应用。 在经济学中，布劳威尔不动点定理以及其推广：角谷静夫定理在证明经济学市场中全局平衡的存在性中扮演了重要角色。后者是由诺贝尔奖获得者吉拉德·德布鲁和肯尼斯·阿罗在二十世纪五十年代发展起来的。 平面上：每一个从某个给定的闭圆盘射到它自身的连续函数都有至少一个不动点。 推广到任意有限维数的情况，就是： 欧几里得空间中：每一个从某个给定的闭球射到它自己的连续函数都有（至少）一个不动点。 一个稍微更一般化的结论是： 每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续函数都有（至少）一个不动点。 schauder不动点定理： 每一个从一个巴拿赫空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续映射都有（至少）一个不动点。 第三百五十章 布劳威尔毛球定理(拓扑学) 布劳威尔对庞加莱说：“如果是地球刮大风这件事的缘由吗？” 庞加莱说：“地球自转是主要原因。” 布劳威尔说：“能不能就算是自转也无风？” 庞加莱说：“如果无公转的自转，可以一起转而无风。如果只有直线走，一起走的时候也无风。但是有公转现象肯定要有风。” 布劳威尔说：“一旦有了风，那么就遍及全球，这也在合理之内吧。” 庞加莱说：“很合理，就行现在的地球。” 布劳威尔说：“有没有绝对无风的地方？” 庞加莱说：“这个不好说，觉得不像有。” 布劳威尔拿出一个带毛毛的球给庞加莱，说：“你看能不能捋顺球上的毛。” 庞加莱捋了捋，发现不管怎么捋都捋不顺。 庞加莱对布劳威尔说：“这个太有趣了，地球上风向就好比这球上的毛，不会顺的。这样看来，一个完全没有风的点对应着向量场的一个零点。事实上，就物理上来说，空气是不可能在某一个区域处处绝对静止的，因为空气总在运动。但毛球定理说明零点存在，因此必然有空气静止的点，并且是孤立点。” 在代数拓扑中，毛球定理证明了偶数维单位球上的连续而又处处不为零的切向量场是不存在的。 第三百五十一章 埃尔米特矩阵(矩阵) j.w.亚历山大与埃米尔特讨论工程控制学的问题，结果讨论到矩阵上来。 亚历山大对埃尔米特说：“你为什么要研究矩阵？” 埃尔米特说：“一个人做很多件事情，每一件事情都有很多种因素。那么多个事情的多种因素，就是可以写成一种矩阵。矩阵表达的是多个事情和多种因素的整体，但也能反过来表示一个东西可以分成多个部分的多个因素。” 亚历山大说：“就只有这样的作用吗？听起来很牵强，还是没有感觉到矩阵的重要性究竟是什么。” 埃尔米特说：“矩阵是一个整体的思想，但也可以剖析一个事情内部的分布情况。” 亚历山大说：“你这次是想解决一个什么样的问题？” 埃尔米特说：“我遇到了工程学里的问题，在工程学里由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差使得在实际工程过程中精确模型很难得到，而系统的各种鼓掌也将导致模型的不确定性。这里就需要设计一种固定控制器，让不确定对象满足控制，这就是鲁棒控制。” 亚历山大说：“我知道，反馈控制系统设计的基本要求包括稳定、渐进调节、动态特性和鲁棒四个方面。” 埃米尔特说：“前三个先不提。鲁棒性就是外界不稳情况下，只需要控制几个参数让系统稳定下来即可。” 亚历山大说：“这根矩阵有什么关系？” 埃米尔特说：“这需要一个矩阵，是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。” 第三百五十二章 埃尔米特多项式(多项式) 埃尔米特对l.巴斯德说：“我看了无数的数学文献，其实我的目的只有一个，就是认为所有的方程一定会有解。” l.巴斯德说：“高次方程无解还有很多其他特殊方程无解不已经成为一个定论的吗？” 埃尔米特说：“那你仔细想想，怎么会没有的，只是以我们现有的方法不可以精确表示。” l.巴斯德说：“依你看的话，一般的五次方程是有解的了？一些二阶微分方程是有解的，或者是所有的二阶微分方程，你都可以表示出来的。” 埃尔米特说：“当然了，哪个方程能没有解？” l.巴斯德：“我听听看。” 埃尔米特说：“五次方程，我们随后说。先说说一些二阶微分方程，我们可以尝试用一种幂级数来表示。” 埃尔米特写出了一个幂级数形式，把这个当做一个微分方程的解，然后把解带入微分方程中，把这个微分方程写成了一种形式。 之后埃尔米特构造了参数系数方程。 最后写出了埃尔米特多项式。 概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。 在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。 物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。 第三百五十三章 埃尔米特的五次方程的椭圆函数解(椭圆曲线) 有时候，遇到没脾气的人，就像遇见没有思想的人。 埃尔米特知道自己被人嫌弃的原因了，毕竟自己成绩差，但是自己喜欢读课外书，所以课外的知识要多点。他喜欢研究一些历史遗留问题，其中一个是关于五次方可解的问题。 欧拉函数写出之后，找到了一个无穷乘积的形式来，就是q级数的雏形。 这是一个超几何函数的一种。 后来引入到模形式中。 后来埃尔米特说：“模形式可以构造成各种形式的函数。” “模形式由q级数来构造。” “既然五次方程也是一种函数，那也可以用模形式构造。” 一般的五次方程是不可解的，但是x^5-x-a=0这种形式的可以解的，也是可以构造的。 具体讲的话不是一般的复杂，分很多步骤，用到很多定理，我也不是很清楚。基本思路是这样的： 没有3，4次项的5次的brioschi方程，其中只有2，3，5次项。6次的jacobi方程。 其中第一个是tschirnhausen转换，第二步利用正20面体的性质，最后一个用到perron定理。而jacobi方程是可以通过weierstrass函数和椭圆函数求解的。 如果是简单近似计算的话建议弄个函数作图器，输入解析式后观察坐标轴上的焦点坐标. 第三百五十四章 埃尔米特流形(流形) 埃尔米特在想：“什么是流形？” 流水、旋涡、引力场的形状，各种各样的形状在埃尔米特的脑海里变换着。 埃尔米特说：“需要有一种可以度量流形的方法。” 埃尔米特认为，先去度量流形中每个点之间的长度，也就是一种弧长，然后再去度量流形中线与线直接的夹角，然后再去计算面积。 而体积如何去计算？在概念上的理解就是流水的体积会有稀疏和密集的阶段。 如果计算总得面积，那就忽略了稀疏地方的空隙。 如果要把稀疏中空隙刨去，那么就对于稀疏的程度要进行计算了。 这越想越乱。 埃尔米特说：“要不然，我换一个思维。如果我不去想这个问题，我就直接根据我当下的数学工具来直接计算即可。” 埃尔米特写出了埃尔米特度量的形式，是直接计算共形向量场中两点之间距离的。这个向量场的流形跟陈省身示性数有关。 埃尔米特流形是一类重要的复流形，具有埃尔米特度量的复流形称为埃尔米特流形。 其中的系数是一个矩阵的形式，这个形式直接决定了向量场的形状。在不同的环境下，这个矩阵中的系数都是不一样的。 埃尔米特微笑表示，天下所有各种各样的流形都能用他的这个矩阵来度量计算。所以各个流形只需要用自己这个矩阵进行表示即可。 第三百五十五章 埃尔米特形式(矩阵) 埃尔米特形式(hermite normal form)复流形上的一种特殊双线性形式。 高斯消元法是可以解方程组的，在矩阵里就是把数字变成上三角的过程。 埃尔米特在矩阵的表示中，用上了这个过程。知道矩阵直接的乘法，也就是矩阵之间的表示就会用到这个过程。 消成上三角就会使问题变得简化。 埃尔米特形式比高斯消元法有用的地方在与，它还会用到逆矩阵的求解。 埃尔米特形式的其他应用包括整数规划、密码学，和抽象代数。 埃尔米特看着这个上三角矩阵，眼前一亮，认为这个阵列里包含着信息。信息的量是很大的，不仅仅是数字之间的累加。 就好比屏幕上的每个像素都是个特定的颜色，而形成整个屏幕之后，整个屏幕不仅仅是关于多个颜色的排列，而是一个图画的信息。 上三角矩阵就好比是一个十分关键的信息，跟图画相比于单个颜色像素而言。 “这是世界之源头吗？是一切谜题的钥匙吗？”埃尔米特开始感慨。 第三百五十六章 埃尔米特插值(拟合) j.m.c.杜阿梅尔对埃尔米特说：“在工程学上，用牛顿插值法不可以吗？” 埃尔米特说：“当然可以，但是，不见得准确。” 杜阿梅尔说：“我敢说，如果把函数原来的值还原后，那个值跟牛顿插的值几乎一样。”抑或是一个标准的函数，绘制出点，然后去掉一个点，用牛顿差值，就会与原来的值相差不远的。 埃尔米特说：“那也不见得，说不定还差一点点的。如果是重要数据，差得这一点点也不少。” 杜阿梅尔说：“吹毛求疵，照你这么说，那怎样才能算作准确的？” 埃尔米特说：“你想想，除了牛顿值以外，导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，那是不是离真实值更近呢？” 杜阿梅尔说：“照你如此说，还真是，就是步骤麻烦了一些吧？倒也不是做不到。逐个尝试不就可以了？” 第三百五十七章 玻尔兹曼常数(热学) 玻尔兹曼对助手普朗克说：“你看起来好像不太支持我的原子论。” 普朗克说：“不是这个意思，我只是对辐射方面的研究兴趣更深，有些发现……” 玻尔兹曼说：“你该不会是支持未能论吧？” 普朗克说：“当然不是了，我坚定的支持原子论。” 玻尔兹曼说：“你知道为什么原子论是正确的吗？” 普朗克说：“我知道热量只是分子震动造成的，唯能论没有任何实际物质的支撑。温度的高低是分子总体的动能高一些，从数量对于能量的分布来看，高温度的数量大于低温度。” 玻尔兹曼写出了理想气体状态方程：rnt=pv.其中t是温度，p是压强，v是体积，n是气体分子数量。 玻尔兹曼对普朗克说：“你知道其中的r，是什么含义？” 普朗克说：“就是你测量出来的常数。” 玻尔兹曼说：“你以为仅仅是气体是有这种常数的，其实液体和固体也有，你小子有向唯能论的倾向。就是因为对于其他常数这些理论的理解不够，不能很好的了解其中的实体性。” 普朗克感觉玻尔兹曼对自己的不高兴，渐渐的快要转化成自己走向邪路的忧虑。赶忙解释的对玻尔兹曼说：“我并没有否认过你的理论。只是光子也是一种粒子而已，它的行为方式跟你认为的那种原子论略有不同。” 玻尔兹曼怒气道：“你还执迷不悟？即使是光子的世界，里面也是符合我的这种状态公式的，光子自身也有能量的不同，也有光压，也会有体积的大小，也会有对应的r值。你的脑子醒醒吧，别稀里糊涂的了。” 第三百五十八章 玻尔兹曼公式(热学) 由于泽尔梅罗批评了玻尔兹曼的h定理，让玻尔兹曼十分生气，他认为普朗克的这个学生并没有把自己的熵的理论真正理解了。 玻尔兹曼对泽尔梅罗说：“你恐怕不知道我对于气体分子运动的未来的预测吧？你总是认为分子的震动是理所应当的永久震动的，不会改变。” 泽尔梅罗说：“我不但没有停止过司考关于分子运动的未来情况，我还在深切的理解其中内在的含义，只是对你的一些不合理的模型进行批评而已。” 玻尔兹曼开始细细的想：“我预测分子运动未来的情况，是按照统计学的规律来的，只是统计学中分子数量和对应能力的图形会有什么样的变化，心里始终有一种难以言喻的疑惑。” 泽尔梅罗说：“你不是提出过混乱程度吗？” 1854年德国科学家克劳修斯首先引进了熵的概念。 1877年，玻尔兹曼用下面的关系式来表示系统无序性的大小：s∝lnΩ。 1900年，普朗克引进了比例系数k，将上式写为s=klnΩ。 玻尔兹曼说：“是的，但是这个东西的界定还不好说。虽说在分子学中，分子越冷，越有序，变成无序的能力会越强。但是在其他的非物理模型中，这种无序性的思想就更重，比如摆牌和下棋之类的应用也很重要。” 泽尔梅罗说：“我知道你说的，你的热学变成了信息论。” 玻尔兹曼说：“没错，就这一点让人疑惑。这样可以吗？让物理学和信息学合二为一。” 泽尔梅罗说：“也许此理论必将大行于后世，但现在看来，着实有些奇怪。” 玻尔兹曼说：“看来我们不仅仅要坚信原子论，在某种程度上来看，需要更加准确的来坚信原子论了，毕竟原子的形状是一种信息。” 泽尔梅罗说：“我丝毫没有怀疑过，只是如果世界是原子组成的，那么什么组成了原子？” 玻尔兹曼勃然大怒，根据泽尔梅罗在模仿奥斯特瓦尔德的说话方式：“你以为我坚信的原子论是什么？是某个数值大小的原子吗？不！是一种原子构造的精神，毕竟原子会由更小的粒子构成，那也是一种原子论。” 泽尔梅罗心里憋着笑，对玻尔兹曼说：“对不起，我不再这样发问了。我现在在思考关于熵的更加深刻的原则了。” 玻尔兹曼对泽尔梅罗说：“虽然你是那个笨蛋的学生，但我看你够聪明，千万别学他。要坚定自己心里的信念。” 第三百五十九章 普朗克的黑体辐射(量子力学) 有热就有原子振动，原子震动就会有辐射。 那么热的东西必然有辐射，如果一个物体不辐射，那么物体的绝对温度为0，但没有温度绝对为0的无题，所以任何存在的物体都必定会辐射。 所以温度和辐射之间，必定有个公式。 而得到这个公式的实验，叫黑体辐射，黑体就是不反射的意思，就是辐射不是来源外界反射这个干扰的因素而来。 之前从经典物理学出发推导出的维恩定律在低频区域与实验数据不相符，而在高频区域，从经典物理学的能量均分定理推导出瑞利-金斯定律又与实验数据不相符，在辐射频率趋向无穷大时，能量也会变得无穷大，这种结果被称作为“紫外灾变”。 普朗克需要解决这个不合理的紫外灾难的问题。 这是个哲学问题。因为日取其半万世不竭的道理深深可入人类骨髓。 但是如果说光子，也就是电磁波的频率的分布万世不竭，那一个很普通的东西，但要放在此处，就会变成波长越短的，频率越高的，会越来越多，即使是越来越少，但也是加不完的。 “难道，一个普通的黑体辐射，会放出无穷能量？” “但是为什么维恩和瑞利会得出局部正确，但不相容的方程？究竟谁的才对？” “难道，两个人局部的正确，而中间能合出一个图像，有一个最大值？” 1900年，普朗克用自己灵光一闪构造的内能－熵的关系，推导出了能描述黑体辐射的能量密度对辐射波长（频率）依赖关系的公式。进一步地，他又想根据玻尔兹曼的那套经典统计的把戏，即计算n个球放到p个盒子里共有多少种不同的放法，同样推导出这个公式。这样，他就必须假设某个频率的辐射对应的内能，必须是他此前引入的具有能量量纲的量的整数倍。这就是说，是频率为的辐射的基本能量单位。此一假设被看作是量子力学的开端，而普朗克常数h也成了量子力学的标志。 “原来波长是有最小值的，这样就能解释通维恩和瑞利的方程了，但是波长有最小值，这一点让人难以接受，世界上最么会有最小的能量？” 第三百六十章 卢瑟福原子模型(量子力学) 汤姆逊认为原子的形状是密集的，是质量均匀分布大小为1埃的球。 卢瑟福跟威尔逊做了一个实验，就是看看原子的真正形状是怎样的。 而想要知道看不到的原子的形状，就需要一个特殊的办法，那就是撞击法。 所以在1911年，卢瑟福用粒子轰击金箔，基于这个散射实验的结果提出了原子的有核模型。 1917年他通过分裂原子的实验发现了质子。 卢瑟福对实验结果感到不可思议，觉得好像你用一颗15英寸大炮去轰击一张纸而你竟被反弹回的炮弹击中一样。 卢瑟福认为汤姆逊的理论是错误的，提出了卢瑟福的模型。 第三百六十一章 卢瑟福半衰期(量子力学) 卢瑟福对波尔说：“自打我们发现原子以来，我们有没有考虑过他们会有寿命？” 波尔说：“如果每个原子又寿命，那它们就不稳定，但是它们死亡之后会是什么样子的？” 卢瑟福说：“当然就不是他们本身了，就变成另外一种东西了。” 波尔说：“这倒是有意思，那我们对他们的生与死一定要弄清，生存的时候是在维持一种动态的稳定性，而稳定性无法维持了，就会死亡，我可以这么说吗？” 卢瑟福说：“没错，可以是这么想的。” 波尔说：“那重的粒子无法维持自己的稳定性而变成轻的粒子，轻的粒子会变成更轻的，最多是不是大家都会变成氢原子。所以宇宙里氢元素才会是最多的，其次是氦。” 卢瑟福说：“你想的草率了，搞不好不稳定的话会变成重的，会原来越重，大家都会变成重的东西。” 波尔说：“听着有道理，但也不像，或许是要变成某个重量的特定的元素，那个元素不会在死亡了，而是最稳定的元素了，比如铁或者金这样的元素。” 卢瑟福说：“是的。” 后来卢瑟福开始做实验来观察粒子的寿命，提出了半衰期的概念，放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。 衰变是微观世界里的原子核的行为，而微观世界规律的特征之一在于“单个的微观事件是无法预测的”，即对于一个特定的原子，我们只知道它发生衰变的概率，而不知道它将何时发生衰变。 量子理论可以对大量原子核的行为做出统计预测。而放射性元素的半衰期，描述的就是这样的统计规律。 第三百六十二章 卢瑟福发现放射性(量子力学) 卢瑟福对自己的学生查德威克说：“我和波尔讨论过原子的寿命，而且原子会死亡，只是不知道是怎么个死法。” 查德威克说：“你的撞击实验没有发现什么线索吗？而且你还发现了半衰期。” 卢瑟福说：“我的实验发现，轻的元素不稳定了，扛不住了击毁融合，如果重的元素扛不住了就会自我分裂，直到铁，连一点动静也没有。” 查德威克说：“那恭喜你，知道铁是万寿无疆的了，大家都会向铁这个方向发展，铁就是煤灰渣子。” 卢瑟福说：“说来神奇，原子都是球形的，真不知道它们会不会向水滴那样的变化，出现融合和分裂的模样。” 查德威克说：“或许情况不会那么简单。” 卢瑟福紧接着说：“没错，我发现了异常的东西，观测起来像一条线。” 查德威克说：“这些线跟原子一样吗？” 卢瑟福说：“这两条线完全不同，一条重的，一条轻的，重的那个像是氦原子，轻的那个倒很轻，貌似是个电子。” 查德威克说：“你是加入磁场和电场根据他们的偏转发现的吗？” 卢瑟福说：“没错，只要原子死亡，必然会发射这些东西，虽然不能看到单个的原子的这种现象，但是能看到一堆堆的原子集体的这种现象。” 查德威克说：“你发现了新射线，应该给他们起个名字了。” 后来卢瑟福又将放射性物质按照贯穿能力分类为a射线与β射线，并且证实前者就是氦离子。 第三百六十三章 波尔的能级(量子力学) 卢瑟福用a粒子撞击原子，发现原子核的结构。认为电子绕着原子核在转。 根据麦克斯韦电磁理论，电子绕原子核运动时，电子释放能量落向原子核，但是电子没有落到原子核上。 所以电子在原子核周围的转动的稳定的。 波尔认为，原子核带正电子，这不是一个简单的异性相吸的过程，复杂的原子核给周围的空间分布了一个看不见的电子轨道。 这些能层之间还有间隙，只有能层内部的电子才可以在中间移动。 这些轨道之间是不连续的。 后来就变成了量子化。 后来科学家发现有13个轨道。 后来波尔认为。 或许氢原子不仅仅只有有限个轨道 也许氢原子的轨道还会有其他可能性。 也许氢原子轨道有无限个，但是最外层轨道太微弱，容易受到外界分子影响。 如果把一个氢原子放在太空纯净的地方，再用适当的频率的光让它跳跃到其他激发态，也有可能。 甚至到宏观水平那么大。 不受外界影响，也不会由于光能量太高，把握一个特殊尺度，就可以让电子在质子周围的宏观方向的宽度。 我们可以构造一个实验室，让其达到这个条件，并且测量出来。 第三百六十四章 索末菲系(量子力学) 索末菲对波尔说：“你说原子上电子的轨道是圆的，我觉得不对，也许是椭圆的，这样才更有道理一些。” 波尔说：“听起来是这样，但是我们看不到电子的形状，全凭猜测。我们对于电子的运动只需要合理的推敲他们是如何运动的。” 索末菲说：“可以根据电子运动过程中释放的光谱来观察，不同的电子光谱不一样。” 波尔说：“我听说了，你找到了氢原子的光谱，以此来解释氢原子的轨道，这太精彩了。而且你还知道了原子在电场作用下，光谱的移动也解释出来，你的才华真是绝顶。” 索末菲说：“不同的原子上的电子有固定光谱，以此也可以搞鉴别原子种类的活动，这是最令我振奋的。” 波尔说：“以后研究原子中电子的运动，就全靠光谱了。” 索末菲是旧量子论的奠基人之一，提出了描述氢原子中电子行为的第一和第三量子数。他为理论物理的时代培养了大批的学生，是学生获诺贝尔奖最多的导师。 第三百六十五章 劳斯的代数稳定判据(多项式) 劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。 由此劳斯获得了亚当奖。 劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在s平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。 假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 第三百六十六章 巴尔莫系(量子力学) 巴尔莫对索末菲说：“研究光谱可推敲电子轨道的情况不够吧。” 索末菲说：“需要对光谱测量？” 巴尔莫说：“是的，确切的说，是对光的波长测量，并用一个公式统一，让这个公式反应对应原子的轨道。” 1885年，巴尔莫猜出氢原子在可见光部分的四条谱线的波长满足公式。 这个公式可以用于表示氢原子谱线波长，波长：Λ=b(n^2\/(n^2-4)). 其中n是主量子数，代表量子在哪个轨道，n能取3、4、5这样的整数。 b 是一个常数，其值为b=3.6456x10-7m。 索末菲说：“你找到了氢原子的公式，用b这样的常数进行校准，确有过人之处，但你如何得知氦锂铍硼这些原子的轨道呢？” 巴尔莫笑说：“再找个公式，和常数校准一下了。” 巴尔莫公式是量子力学发展的第一步。 第三百六十七章 索末菲精细结构常数(量子力学) 索末菲对自己的博士学生海森堡说：“我们知道原子外面是电子包围着的，但你考虑过电子的速度吗？” 海森堡说：“没考虑过，是不是要比真空中电子速度要慢？” 索末菲说：“在不同的轨道上，电子的速度是不一样的，但是我们可以找一个典型的来讨论。” 海森堡说：“这个是很值得研究的，比较电子的速度快慢也能反映出电子轨道的能量的信息。” 两个人开始着手测量原子中电子的速度，选取的是第一波尔轨道上电子的轨道。 之后得到一个常数，就是电子在第一玻尔轨道上的运动速度和真空中光速的比值，计算公式为a=e2\/(4πe0c?)（其中e是电子的电荷，e0 是真空介电常数，?是约化普朗克常数，c 是真空中的光速）。这就是精细结构常数，是物理学中一个重要的无量纲数，常用希腊字母a表示。 精细结构常数是一个数字，量纲为1(或说是无单位)1\/a≈137(更近似为137.0) 第三百六十八章 索末菲金属电子论(量子力学) 索末菲对自己的学生泡利说：“为什么金属导电的能力很强？” 泡利说：“应该跟金属自身的性质有关系，我没有想过这个问题。” 索末菲说：“这个一定要想，毕竟导电不导电是一个值得思索的问题。” 泡利说：“导体比绝缘体，必然有一个不同的微观结构，电流就是让电子从一头到达另一头，导体有一种可以让电子快速通过的快车道，我们要弄清这个快车道是如何运行的。” 索末菲说：“导体往往是个晶体，所以肯定是这个晶体。” 泡利说：“所以这个晶体内部有快车道，让电子快速通过？那其中原子失去电子的能力就很强了，而且每个原子失去电子的能力一样的强。” 索末菲说：“然后导电两端一有电压，便让电子在电压所给的电场下定向移动了。” 泡利点点头，但又摇头说：“这个理论成功地给出欧姆定律的微观图像，并导出金属电导和热导本领之间的关系，。但它不能解释为何在常温时实验上看不出电子气体对比热的贡献。” 电子气体论又被称为维德曼－夫兰兹定律。 第三百六十九章 普拉托定理 视力出现问题的普拉托跟自己的侄子在一起玩吹起气泡的游戏。 普拉托虽然已经瞎了，但是大脑没有停止过思考。 普拉托对侄子说：“一个孤立的悬浮气泡，不考虑空气流动或者重力、温度场对液体分布的影响，是球形的。” 侄子说：“如果许多泡泡漂浮在空中，很可能会发生两个或多个气泡相遇而合并的情形。” 普拉斯说：“那么，两个气泡相遇其稳定构型是什么样的呢？三个呢？或者笼统地说，气泡团簇的构型会是什么样的呢？” 侄子说：“若两个气泡是完全等同的，则它们相遇后的构型必定是对称的，因此它们的边界必然是一个平面，两个泡泡各自的形状关于这个平面成镜面对称。” 普拉托说：“两个相同下气泡好研究，但是不同的就难一些了。” 普拉托经过多年研究，得到了关于气泡及其合并构型的许多重要结论，可总结为普拉托定理如下： 1.气泡由完整光滑的曲面拼成； 2.气泡的每一片膜都是常平均曲率曲面； 3.泡泡表面的边界一定是由三表面相接构成的一条曲线（称作普拉托边界），其表面交角为120°，即夹角为 aos(?1\/2)= 120°； 4.普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个点，四条边界线两两之间的交角都相同，等于正四面体的中心同各顶点连线所成的角，即夹角为aos(?1\/3)= 109.47°。 普拉托对侄子说：“我的这些发现，我能感觉到，就是证明会麻烦些。” 侄子说：“如果两个泡泡大小不相等，然后合起来，就不好计算其中的一些东西。” 普拉托说：“如果气泡不相碰撞，就是一个简单的球形。如果相碰就会形成一种边界，这个边界不适合我们去计算曲率，相当于是曲率很大的奇性。” 侄子说：“如果让后面的数学家计算这个问题，就要去寻找各种边界。我们顶多只能考虑两个气泡的压力的对抗了。” 普拉托说：“这些问题难以证明，我能想象到后人需要用多么细致的洞察力才能去做这种工作。” 侄子说：“后人还会研究吗？这个会有实际用途吗？” 普拉托说：“难说，如果把原子比作气泡，原子堆放在一起，不也是像气泡那样吗？” 侄子突然想到：“我说你的那四个定理的角度如此耳熟，原来是气泡和原子是共通的。那也是这么说的话，我们如果研究原子的结构，只需要用气泡来组建就可以了是吧？” 普拉托说：“没错，这样更加一目了然。” 第三百七十章 利萨如图形(波动) 纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线，朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。 1815年，纳撒尼尔·鲍迪奇找到了一个沙漏摆，下方放一张纸，然后让其做平面摆动，在相互垂直的方向上都以一定的比例摆动，然后发现啥子绘制的图形也跟光束在音叉上的差不多。 纳撒尼尔·鲍迪奇把不同的各种频率的图形都绘制出来，对这种图形做了一个表。 1857年，朱尔·利萨茹在做一个光学实验的时候，偶然发现，一束光照射到一个震动的音叉上，然后看到光的震动的一个图形。 利萨如在想，如果一束光照射到一个音叉上，然后再反射到震动方式不同的音叉上，会不会出现像万花筒这样的形状？ 后来利萨如做了一种这样的实验，让两个音叉的震动是相互垂直的话，就会让反射到的光产生一种漂亮而稳定的花纹。 利萨如觉得不仅仅是光学，就是在单摆移动的时候也会出现这样的情况。 后来利萨如和纳撒尼尔·鲍迪奇相互印证这个结果。 利萨如对纳撒尼尔?鲍迪奇说：“你还在为星下点的轨道发愁吗？” 纳撒尼尔?鲍迪奇说：“我当然发愁，虽然是有规律的图案，但是也不太容易琢磨，感觉心里不清楚。” 利萨如拿出自己的图形给纳撒尼尔?鲍迪奇看，然后说：“看着像不像，有些图是差不多的吧？” 纳撒尼尔?鲍迪奇大惊：“你这些图都是哪里来？很绝妙，没想到对于复杂运动图形，你如此有研究。”纳撒尼尔?鲍迪奇看到利萨如对曲线研究的，是极其专业的。 利萨如讲述了原理，然后说：“虽然卫星运动轨迹花哨而美丽，但其实只不过是两个方向上的震动形成的一种现象而已。” 纳撒尼尔?鲍迪奇说：“所以我们研究轨道形状的时候，就只需要研究这两个方向的震动即可。” 利萨如说：“其实万物中很多东子都是这样花哨的运动。也就是两个方向上的稳定震动。所以一旦看到这个形状，然后对照我这个表，就可以计算震动的比例。轻松研究这个问题。” 利萨如在想，既然在平面内相互垂直震动加起来是这样的优美的图形。那么在相互垂直的三个方向上的立体图形会震动出什么模样来？肯定更加优美吧！ 后来的原子中电子的轨道波函数，是不是一种立体的利萨如图形。 第三百七十一章 林德曼证明π是无理数(超越数) 以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否是循环小数。 自从1761mbert证明了圆周率是无理数。 兰伯特知道了麦克劳林级数，表示出了正弦和余弦的无穷级数的表达式子。 兰伯特就知道了正切就是正弦比余弦，那么正切的无穷级数也可以表示出来了。 用了很久的时间，兰伯特写出了正切的表达式，这是一个有趣的连分式。 同时兰伯特认为，如果四分之π的正切值等于一，那么此中的x就是无理数无疑了，也就是四分之π就是无理数，那么π就是无理数了。 林德曼在1882年解决了一个关于π的重要问题时，证明了π是一个“超越”数，即π不可能是代数方程（一个仅含x的指数项的方程）的解。 林德曼用反证法，假设π，也就是πi是一个多项式方程的一个解，他把n次的标准多项式转化成每一项都是e指数加1这种形式，如果有πi这个解的话，这个多项式就是0，这是因为欧拉方程的缘故。 使用了域论的知识，证明里面每个解有理组合后的值是有理数，就说明没有πi这个解。 通过解决这个难题，林德曼给出了“化圆为方”这一问题的结论，此问题为:给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺，构造一个和它面积一样的正方形。林德曼最后证明了，这个问题是不可能做到的。 因此，“化圆为方”问题仅用直尺和圆规是无法完成的。 第三百七十二章 布洛赫定理(量子力学) 菲利克斯·布洛赫对乔治·威廉·希尔说：“我们知道了薛定谔方程，电子的波函数应该是怎样的。但是很多情况下的电子是在一个物质中的，是不是需要去研究是如何的方程呢？” 乔治说：“听起来是听复杂的，我现在连一个原子上电子的运动过程还弄不清呢。” 布洛赫说：“但是，我认为，如果要是考虑晶体中电子的波函数，也不是难事。” 乔治说：“那也是，我考虑非晶体的了，太难了。” 布洛赫说：“晶体虽然是多原子的，但是排列方式是整齐的。这样就有了一种周期性。” 布洛赫写出了一个周期函数，表示晶体中的电势分布是呈周期性的。 乔治说：“除此以外没有其他不同吗？” 布洛赫说：“出来得到一个具有周期性的每个单元位一个原子形状的场，倒是没有其他大变化，唯一的变化也不用考虑，那仅仅是各个原子衔接在一起的边界和空隙。” 乔治说：“听起来也没个什么呀？” 布洛赫说：“怎么没有？电子在很多地方在等势能带移动，是不消耗能量的。” 乔治这才意识到重要性：“对呀，这可以解释电子可以轻易在晶体中传导的原因。比如金属导电比绝缘体容易很多，是因为金属原子是晶体排列的。” 布洛赫说：“你都可以抢答了。” 乔治说：“如果升高温度就会破坏晶体结构，导致能带混乱，电阻增加。但是绝缘体这个非晶体，居然在增加温度的时候减小电阻，增加导电性，这就说明非晶体升温的时候，就有一种像晶体靠拢的倾向。” 布洛赫对乔治这个有趣的思想吸引。 后来布洛赫和乔治知道亚历山大·李雅普诺夫对这个也有发现。 李雅普诺夫给二人写信的时候说：“非晶体也可以考虑一种准周期性。” 二人回信表示不解。 李雅普诺夫说：“我知道你们不能接受，但是非晶体怎么了？一定不考虑，因为无周期性？虽如此，但是却有一种概率随机性，这样可以抹平成一种类似周期性。当然就可以解释为什么非晶体有时候也可以导电了，数学家应该勇往直前嘛。” 二人对李雅普诺夫的想法感到万分惊叹。 第三百七十三章 里奇的流形(流形) 1884年，里奇-库尔巴斯托罗（ri-curbastro）开始了关于绝对微积分（absolute differential calculus）的工作。 1900年，列维-齐维塔（levi-civita）和里奇-库尔巴斯托罗（ri-curbastro）出版了《绝对微积分方法及其应用》（méthodes de calcul differential absolu et leures applications），其中他们建立了张量理论，15年后在广义相对论中用到。 列维-齐维塔对里奇说：“想要确认是不是拓扑学等价，也需要经过拓扑等价变化得来的。” 里奇说：“等价变换的过程，就意味着这个东西需要做一个改变了，尤其是曲率会有改变。” 列维说：“听起来好复杂啊，能够完成吗？” 里奇说：“会的，复杂但不意味着做不到，一个有曲率的流形，可以用埃尔米特度量来表示，曲率的变换，仅仅是那些上三角矩阵中数字的变换而已。” 列维说：“我们可以尝试的去掌握这种变换。” 里奇想拿热学做类比，但是实际不成熟，脑中想了想之后，还是压下去低调的说：“没错，到时候等价拓扑流形变换，就是埃尔米特流形度量矩阵里数字的变化而已。那个时候，我们可以使用这个工具去构造。”里奇突然在想，很多热力学中的复杂变化跟这个里奇流变化也有关系，而且埃尔米特度量矩阵中的数字，有了一种类似于玻尔兹曼公式中的热学信息的秩序感，那么热学中的无序变化，就是热学中埃尔米特度量的数字信息的变化，从这个数字上可以反映出有序到无序的不可逆性，就类似了棋盘和摆牌这种模型了。 列维说：“然后用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。这个可以应用在力学中，力学可以让材料发生变形。力学几何解释就是，内在的曲率变化就是封闭流形的度规变化的原因。把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。” 里奇觉得力学的比喻是十分恰当的，而且还找到了变化的单元，借助这个局部转动的概念，就可以像垒积木一样的搭建一个流形大厦了。 同时他认为可以从两个角度来解释：“对连续介质力学而言，对dg\/dt 可以作出应变的对应解释。而在几何上，对于曲率变化，可以做出局部内在转动的解释。” 列维说：“所以，把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。如果这个内在转动不为零，则封闭流形会演化下去，只到达成一个平衡位形。” 一般而言，外部的物理作用由一个泛函f引入，从而，完整的、在外场作用下的ri方程为： dg\/dt=-2ri(g)-2ddf(r)。 这样，对特定的外场，就有一个特定的平衡位形。 与连续介质力学不同，应力的概念被一个依赖于曲率的泛函局部二阶微分特性给定了。 这多少与格林应力是等价的。 而在连续介质力学中，一个长期以来的难题是如何定义物质微元的几何属性。 这个物质微元是封闭的3-流形。 从而，ri流方程把微元闭流形的变化与连续介质的宏观位形变化连续了起来。 而在经典的连续介质力学中，微元物质是被隐涵的假定为三个1-流形的直和。 那是最为简单的情况，这是特例。此时，各向同性假定是必须引入的。 但是，各向异性就象一个幽灵，紧随大变形而来，如接受，就与前提矛盾；如不接受，又与客观事实矛盾。因而，理性力学一直在这个问题上纠结不清。 在上世纪50年代后，一个流形的概念是把物质微元看成是一个2-流形与一个1-流形的直和。这就是所谓的：有极介质。它的最终成果就是液晶。 一个更为普遍性的介质是：具有某种旋转对称性的各向异性介质。（旋转对称轴是1-流形，旋转曲面是2-流形。） 对任意的微元为3-流形的介质，唯一的办法是引入先天性的3个独立矢（或者是任意的3-流形g(0)。）而这就是ri流。 这样的一种描述才是现代材料科学所需求的连续介质力学的最基本的理论体系。 我国力学家陈至达建立的理性力学理论体系事实上就是按引入先天性的3个独立矢来构造的。 但是，只完成了几何部分，没有建立相应的外场介入形式，而ri流方程恰恰是一个最为有力的补充。这样，一个更为深刻的理论构造方向就大门洞开了。 事实上，truesdell， noll，等等的后期理性力学一致的指向：连续介质力学的微元物质概念。 我们能够看到的是：ri流概念建立于上世纪80年代，在几何上并没有超前于理性力学。但是，在物理原因的描述上的确是超前于理性力学。 换句话说：ri流概念为理性力学与现代物理的结合打开了一扇大门，而陈理性力学是与ri流概念协调的变形力学体系。我走在了正确的道路上。这是值得自豪的。 第三百七十四章 布拉里－福蒂悖论(集合论) 布拉里对福蒂说：“什么是良序集，就是用一种关系让集合中元素可以根据一个顺序连接起来。” 有一个集合 s ={1，2，3}，在这个集合上有一个关系<，这个关系的意思举例来说就是x 有一个集合 s ={a同学，b同学，c老师}，在这个集合上有一个关系<， 这个关系的意思举例来说就是x 全序必须要分出大小，偏序可以不分出大小。 福蒂说：“没错，关系的重要性不言而喻。” 布拉里说：“但是这里有个问题，就是序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。” 福蒂说：“这个序数的自然顺序只是一个偏序。” 布拉里说：“可是康托尔认为序数集合是全序。” 福蒂说：“序数集虽然是全序，但并非良序。” 布拉里说：“这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。” 由布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出。 这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。 有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。 法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。 第三百七十五章 毕克定理(几何) 毕克研究点阵，或者是网格上，使用各种直接来连接其中的点，然后包围出任意多边形。毕克想在其中寻找到包围面积和点线之间的关系。 1899年，毕克发现了毕克定理。 毕克发现，根据连线内点的个数，直接就能计算出线所包围的面积。 其中：面积=多边形内点的个数+多边形上点的个数\/2-1。 毕克定理会有很多用途，开始在计算多边形上会有一个快速的方法，很多细致的形状需要分成更细的点阵，然后只要确定点阵内点的个数和多边形上点的个数，那就会直接计算出多边形的面积。 这样就可以计算出很多的等高线来。 而毕克定理也会有更加深邃的含义吗？在立体中，根据连面内点的个数，直接计算面包围的体积。在高维空间中，甚至有更复杂的推广。 而很多求面积和体积的问题，会用点阵化来求证。 甚至还要考虑非正方形点阵的，要加入其他类型点阵，三角形六边形等等。甚至是一种二维周期点阵，甚至也要推广的三维以及高维度空间中。 将会是什么样的结果，是否跟现在的很多数学有关系。 对点阵距离的变换，重新审视微积分这门学科，除了黎曼积分，勒贝格积分，还有毕克积分。 毕克定理在数学本质上，极为重要，不可随意忽略，代表着数学某个领域的绝对本质。 是否会重新推出莫德尔猜想，甚至是模形式的东西？ 在拓扑学的示性数上会起到一定的作用，可以使用在拓扑学中。甚至可以在高维空间中重新突破庞加莱猜想之类的东西。 毕克定理中的点阵是否可以起到规范拓扑学的作用，是否可以研究曲面的一些性质？ 第三百七十六章 为什么啤酒瓶盖上的锯齿数是21个?(力学) 啤酒瓶盖最初的锯齿个数并不是21个，曾经还有过23、24个锯齿的瓶盖，并申请过专利。 早在19世纪末，威廉·佩特就发明了24齿瓶盖，并申请了专利。内部还垫有纸片以阻止饮料与金属接触，其主要依据是佩特发现该齿数最适合酒瓶密闭。作为行业标准，24齿瓶盖一直沿用到20世纪30年代左右。 随着工业化的进程，原来手工加盖的方式变成了工业加盖，24齿盖最早是用一台脚踩的压机，一个一个套到瓶子上的。自动机器出现后，瓶盖被装进一个软管自动地安装，但在使用过程中发现，24齿瓶盖很容易堵住自动装填机的软管，改成23齿这种情况就不会出现，最后又逐步规范到今天的21齿。 啤酒瓶盖设计成21个锯齿并不是事先按照什么原理设计好的，而是一次次实验之后得出的结果。而这个实验竟然是和开瓶器有关。 正因为啤酒含有二氧化碳，所以对啤酒的瓶盖有两个最基本的要求，其一是密封性要好，其二是要具有一定的咬合度，也就是通常所说的瓶盖要牢固。这就意味着每个瓶盖褶的数量和瓶口的接触面积要成一定的比例，以确保每个褶的接触表面积可以更大，瓶盖外部的波浪形封口既可以增加摩擦，又可以方便开启，21个齿是满足这两个要求的最佳选择。 而瓶盖上锯齿的数量为什么是21个，另一个原因就与起子（开瓶器）有关。啤酒中含有大量的气体，如果开启不当。造成里面气压不均匀的话极易伤人。在发明了适用于开启瓶盖的起子后，又通过对锯齿不停地修改，最后确定瓶盖为21个齿时，打开时是最容易也是最安全的，所以，今天你所看到的所有啤酒瓶盖都有21个锯齿。 在工业中，很多东西的形状，是因为经过反复试验之后才出现的。 所以，最合理的东西，就是多次使用，然后再去观察其中的问题，进行修整。 这种数学不是数学家可以预料到的，而且这也是最常见的问题。 所以，数学家有无法解决的问题的，可以直接先使用，然后调整其中的东西，慢慢变得最合适。 第三百七十七章 拉马努金恒等式 斯里尼瓦瑟·拉马努金是印度现代数学家。1887年12月22日生于印度南方坦焦尔区的埃罗德，1920年4月26日卒于马德拉斯附近。幼年时即显示出数学才能，家境贫困，1904年获奖学金入贡伯戈讷姆学院，潜心研习数学。 拉马努金写出了一个有趣的连根号公式，根号下1加2乘以根号下1加3乘以根号下1加4，一直到无穷。 这个连根号公式给人一种收敛的感觉，像是会等于一个数，但是也不知道是多少。 拉马努金把这个公式发在数学报上，让大家解答领奖。但是无人能答出来。 而拉马努金答出来了，答案等于三。 拉马努金证明了这个等式，而且看起来很难容。 让3等于根号下9，9等于1加8，然后8等于2乘以4，4等于根号下16，16等于1加3乘以5，这样向下写就证明了这个式子。 拉马努金看着这个优美而惊人的公式，表示这个公式会有一个推广。 拉马努金写出了一个新的公式，就是a等于根号下1加a-1乘以根号下1加a乘以根号下1加(a+1)乘以根号下1加(a+2)这样往下走。 也是以那样的形式证明的，用的公式就是a的平方减1等于(a+1)乘以(a-1)。然后a就等于根号下1+(a+1)(a-1)。 在拉马努金看来，研究数学，需要先有一个准确而有趣的发现。证明的事情，可以慢慢来。这样可以保持对数学的乐趣。 第三百七十八章 拉马努金圆周率公式(超越数) 拉马努金当然知道π的重要性，也想写出一个公式来把π给计算出来。 当然，这也是很多数学家的梦想。 虽然有兰伯特和欧拉的关于π的公式，但是那些级数和连分式收敛很慢，而前很多项如此长的时候都不能准确的逼近3.14这样的值。 比起22\/7这样的计算都还不如。 所以，拉马努金想写出一个方便一点的公式，把π的值表达出来，同时还在在此基础上能够改良出更高精度的值。 从22\/7这样的方程开始，拉马努金试图还是寻找更加精确的接近π的值的方程。 用祖冲之那种割圆术，就需要测量超正多边形的周长，极其麻烦，容易出现差池。 所以拉马努金会加入一些参数进行调整，而且不可避免的都会带了求和符号，毕竟希望在此之后能够做更加精确的改良。 引入k之后，在k取较高的数值时，能够快速收敛到π值，这就可以增加效率。 而拉马努金发现除了有求和符号之后，还需要加入阶乘。 这样做也无非最大化的能够让公式收敛到π的前几项正确的值，同时已经还有发展空间，调整系数，就可以得到之后多个小数点位数的准确值。 这叫两不耽误。 而且拉马努金还偏执般的要从这些有理的公式中，找到无穷的有规律的方式，把π的形状给摸索透彻。 拉马努金废寝忘食的找到了14个这样的公式，十分惊人。 但是很多公式只能精确到小数点的后十几位，拉马努金有些失望和不甘。 哈代看到了拉马努金这些公式，想要找拉马努金聊聊。 哈代对拉马努金说：“我知道你想急切的找到一个方便计算π值的简便方程，但是你有没有想过这是不容易做到的。而你走到今天这一步，已经是想当不容易了。” 拉马努金说：“也许是偏执吧，我们国家对于一些东西的计算，已经接近疯狂。仿佛是神送给我们的公式。” 哈代说：“神？毗湿奴给你这样的公式了？” 拉马努金有些难为情的说：“是一个叫拉马的智慧女神，她送我这些公式，肯定有她的意思。毕竟他是我们家族的智慧神。” 哈代说：“那你领会到什么意思了？” 拉马努金说：“只要拿着我的公式，虽然现在的数值还只能精确到小数点后十几位，但是只要简单经过修改，可以变成成百上千位，甚至更多。” 哈代说：“你犯什么糊涂？π是个无理数，还是个超越数，不要做这种无谓的努力好吗？” 拉马努金说：“我的努力不是无谓，我的公式的奇怪之处就是让你知道π是无理数，还是超越数。我们不会找到准确的值，但是却能够通过我们这种修改的方式，一直前行。然后让我们大胆的去摸索这些公式的诡异形状，充分的感受来自π的一些感觉。” 哈代知道拉马努金对数感超出常人，但他此刻也能感觉到拉马努金试图想以这样的方式引导别人也成为数感能力很强的人。也许是拉马努金在印度那边受到的特定的影响。 哈代看着方程说：“里面涉及的求和与阶乘有点多，这是在说明什么吗？” 拉马努金笑着说：“我疯狂的使用阶乘，就是在数学中增加收敛的效率。阶乘对你们来说，是遥不可及的理论，而在我眼里，仅仅是数学运算工具而已。” 第三百七十九章 拉马努金求和(级数) 拉马努金跟哈代开始讨论关于级数这个多年的热门话题。 拉马努金对哈代说：“我们心目中的无穷数，往往都是只知道个位数，而不知道最前面这个是几。” 哈代知道拉马努金又开始细致的思索一些数学的脑洞问题，只是这一次过分了，难道知道了前面几个数字，这个数字还能称之为无穷大吗？ 哈代突然想到了什么，小心问道：“难道你发现了前几个确认的无穷大数？” 拉马努金对哈代说：“这太简单了，只需要拿出一个无理数，比如根号2，等于1.414这个样的数字。然后去掉小数点，这就是个只知道前几位的无穷大数字。” 哈代笑着说：“去个小数点，然后就变成一个知道前几位的无穷大数字，只是我们永远都不会知道后几位和个位数。” “但这个无穷大数，有什么用？” 拉马努金说：“我们以往一直在说级数只有收敛的才可以计算，但是发散的都是不计算的，无意义了。” 哈代说：“你的意思是，你有研究发散级数的能力？或者是发散级数说是有意义的吗？这跟去小数点的无穷大数字这个有什么关系。” 拉马努金说：“根号2去小数点需要什么？是不是需要乘以10的无穷大次方？” 哈代点点头，但心中怀疑这个合理性。 拉马努金说：“只要我们构造一种级数，就把根号二改造成可以去掉小数点的那种级数。这样这个级数就等于去掉点的无穷大数，这个很确切。” 哈代说：“这听起来还像个话，那么可以说明这个级数是发散的，但是它等于一个确定的无穷大数？你是这个意思吗？然后你还能干吗？” 拉马努金说：“然后就是一个问题了。是不是所有以往我们所认为的发散级数，都会有一个特定的数值，就是一个无穷大数。” 哈代振奋了，觉得也是有道理的，但是有些疑惑的说：“你说的很对，但是超越数我们不像代数无理数那样好表示了，我们只是能够得到这等于一个无穷大数。” 哈代随即想到，拉马努金所说的情况不仅限于无理数，超越数之类的，有理数也是可以的。 哈代开始深思这个问题。 第三百八十章 拉马努金连分数机 在拉马努金提出的定理中，经常涉及到连分数的概念，它会将一个数表示成为无限的嵌套分数和。以色列理工学院的数学家gal raayoni和他的同事受到拉马努金的启发，利用这种思路发明了一种新颖、系统的方法，并将它取名为拉马努金机。这是一种计算机程序，它可以利用算法推导出基本常数的新的数学公式，并揭示其基本结构。 与物理和所有其他科学中的测量不同，数学常数可以用一个恰当的公式计算到任意精度（即小数点后任意位），从而提供的是一个绝对的基本真理。 从这个意义上说，数学常数包含的是无限数量的数据（例如无理数中的无限数列序列）。 e和π就是两个几乎无处不在的基本数学常数，从抽象的数学到几何物理，从生物到化学，到处都有他们的身影。 然而，几个世纪以来，与基本常数有关的新的数学公式很少出现，只有非常偶尔才有零星的发现。 但是利用新的算法，拉马努金机已经找到了几十个表示π、e，以及黎曼ζ函数值的连分数。 其中有的是之前就被数学家找到的，还有一些则是全新的。 在这项研究中，raayoni等人提出了两种算法，它们被证明在发现新结果方面非常有效：一种是密码学里的中途相遇（mitm）算法的变体，还有一种是针对连分数递归结构的梯度下降（gd）算法。这两种算法都是基于数值匹配，因此可以在不需要证明，也不需要具备任何数学结构的先验知识就能找到新的猜想公式。 mitm需要生成许多的数学表达式，为有限次数的迭代计算它们的值，然后消除那些给出不准确结果的表达式。 例如，e的值是以2.718开头的小数，当试图近似e时，任何可能产生过高或过低的值的猜想都将被排除。 再计算出那些似乎可行的猜想，进行更多的迭代，以确定哪些猜测可能正确的。 这样的方法对没有数学结构的基本常数格外有吸引力，因为它推翻了在形式证明中时序逻辑的传统方法。研究人员提出了一种新的概念方法：这是一种利用数值数据揭示新的内部结构和猜想的计算机算法，就像拥有了过去只有伟大的数学家才具有的数学直觉，为新的数学研究提供了线索。 华威大学的数学家saul schleimer认为，拉马努金机就像是一个泛化的试错过程，它可以在不知道这些猜想为什么正确的情况下产生这些猜想，而且它也像拉马努金一样很喜欢连分数。不过，schleimer表示，他认为拉马努金机是比不上拉马努金的，因为拉马努金的连分数更加微妙，在某种意义上说更加成熟。所以他认为虽然这是一项很好的实验数学，但还不能被当做是一种新的思维方式。 研究小组希望人们可以为新的猜想提交证明，他们将拉马努金机的软件分享在网站上供人下载使用。他们决定，一旦有谁发现了某个猜测，就会用发现者的名字为该猜想命名。 第三百八十一章 拓扑学(拓扑学) 1966年，英国拓扑学家马克·阿姆斯特朗对自己的老师知名拓扑学家 erik zeeman说：“拓扑学是如何开始的？” erik zeeman说：“从欧拉的七桥定理开始的，从这个中间把七桥的模型画成图论，从图论中分析出拓扑等价。” 马克说：“听起来很简单，那如何去研究拓扑学呢？” erik zeeman说：“主要就是分类，对不同的拓扑结构进行分类。分类出很多曲面，对曲面解构成抽象空间，然后找到拓扑不变量去分类。” 马克说：“那要分类很多曲面，是什么曲面？有标准吗？” erik zeeman说：“是的，要严格的连续曲面，不能是离散的。” 马克说：“如何说明是连续的？” erik zeeman说：“就跟我说的一样，这是一个抽象空间，这个空间需要由开集和闭集这样的东西给组成。然后开集和闭集需要引入连续映射系统来完整这个函数的描述。” 马克说：“为什么要用开集和闭集这样的东西？” erik zeeman说：“因为严格。如果使用几何、数字、符号或者是其他的描述拓扑的系统，都缺乏严格性。如果时间久了会出现很多我们不想要的漏洞。” 马克说：“我明白了。” erik zeeman说：“在这样的前提下，就可以大胆的研究映射，让曲线充分的施展开来。可以让普通的曲线因为映射充满整个空间。同时开始使用tietze扩张定理。” 马克说：“扩张？如何扩张？” erik zeeman说：“是r的n维空间的有理点集，扩张到整个空间。” 马克说：“扩张到所有的无理点集？” erik zeeman说：“恩，是这个意思。” 马克说：“不错，可是刚刚说的这个开集和闭集，这个如何算严格，怎么去连续，变得光滑？” erik zeeman说：“需要有紧致性和连通性，加有界闭集这种概念。闭集是bai两边类似[1，10]；有界集两边是(1，10]，[1，10）两种。” 马克说：“有界之后，如何紧致化？” erik zeeman说：“这是海涅－博雷尔定理或有限覆盖定理、定理的主要内容是度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的。” 马克说：“是子集紧致就行吗？那能不能在详细一些，紧致空间的性质是什么？” erik zeeman说：“紧致性本质上是有限性条件，有限性条件破解类似一日之椎，日取其半，万世不可遏这样的意思。假如孙悟空在如来的手掌心翻跟斗，跟斗云是一个任意序列，停在如来的手指旁是存在一个子列收敛，留下到此一游的字和撒尿是在一个有界的闭集里。或者一个瓶子里装高尔夫球后，可以装石子，然后还可以装沙子，最后还可以装水，这都说明原来的东西不够紧。这些都可以作为例子来想。” 马克说：“不错，这个解释变得清晰了一些。” erik zeeman说：“然后，就需要了解乘积空间。” 马克说：“乘积空间是干什么的，是要把拓扑空间乘起来吗？” erik zeeman说：“没错，打个比方，就是r的n维空间是n个r直线乘起来的。” 马克说：“这个是在高维度实数坐标中的一种比喻。” erik zeeman说：“现在开始研究连通性。如果非空的a和b都是分离并，他们都在x中，一般是不连通的。” 马克说：“什么？” erik zeeman继续说：“如果x让分离并连通了，就称之为连通的。” 马克说：“r的n维空间是连通的吗？” erik zeeman说：“是连通的。” erik zeeman：“拓扑世界有两种，一个是连通，一个是不通。” 马克说：“如何去判定这些？” erik zeeman：“比如一个实心圆球内部是处处通，若有一个洞，这个洞不通。” 马克觉得研究拓扑，终归就是说很多东西是不是等价的，或者是符合什么什么特性的，他说：“为了这是干嘛？是为了给各种不同的拓扑进行分类？这是最合理的分类方法？” erik zeeman：“没错，之后谈拓扑分类时，都是用道路连通性这类符号去运算各种东西的。毕竟拓扑不看尺寸的长短和面积的大小之类的东西。计算的是一种性质，类似洞数等等之类的，同时也要研究这些不同拓扑直接是否是同一种类型。” 马克说：“然后运算是如何远算的？有四则运算这种吗？”马克脑子里有点晕，在想数字计算的事情，没有用心问问题。 erik zeeman：“拓扑中远算往往要做一些工作，一般讲一些复杂形状是如何用简单形状组成的。但此组成也不像简单的垒积木和焊接那么简单。” 马克笑说：“我当然知道你想说的是莫比乌斯带或者克莱因瓶，他们需要对材料进行一些翻转或者变形之后，才能组合在一起。”说到此处，马克在想长条粘贴旋转一遍时是莫比乌斯带，旋转两遍的时候那是什么？虽不是莫比乌斯带那么，但是也不是正常形状。但马克没敢说这些，因为太魔性了。先收一收搞好学问吧。 erik zeeman：“没错，这确是拓扑特点。明白这些拓扑粘合的灵活性。还有一个，就是复杂形状的拓扑是由简单拓扑形状粘合形成。那就需要问，什么是简单的拓扑形状？也就类似堆积木的积木是什么样的？这样的东西是最简单的吗，是不是还可以更简单。这些简单的元件拓扑，也是研究对象。” 马克说：“那当然，这是必须的，拓扑元件知道怎么弄，才能知道拿什么东西去粘。而元件往往就难免的涉及数学中群的知识了。群就是研究数学对象的各种元件的，拓扑肯定也是需要群分类，群运算也需要了。”马克才想起刚刚说四则运算是不合适的。 erik zeeman：“没错，弄清一堆元件后，我们就敢粘贴了，而粘贴的时候必须弄好顺序，先粘哪个，后粘哪个，这种先后顺序就是轨道空间。不同的轨道空间，肯定会粘出不一样的东西。” 马克说：“没错，然后我们就要开始这些工作了。” erik zeeman：“走到这一步，想必要让自己思想升华一下了，其实知道拓扑学的计算本质后，那是不是就跟数学中图论的东西是相似的，毕竟图的形状，里面也包含洞这些信息，唯一不同的是，图论中连接点和传输线的权重不一样。而拓扑学中这些节点和连线都是平等的。” 马克说：“所以一个个等价的拓扑形状，就成了......” erik zeeman：“这种等价称之为同伦。” 马克说：“这是？” erik zeeman：“一个形状，通过连续变化，变成另外一个形状。不破坏其中洞，或者亏格。” 马克恍然大悟道：“所以开始要构造基本的这些群，使用同论这个方法，可以让一个很简单的形状变成各种各样的样子。这些样子当然都是同一类的。之后我们去计算这种各种各样的映射了。一个简单的拓扑元件会出现各种各样同伦型。但是如何很多同伦型的变换物放在一起，也难以判断出这是否是一个简单的元件同伦变换出来的。” erik zeeman：“布劳威尔不动点定理可以解决这个麻烦的问题。” 马克知道布劳威尔不动点，但头一次听说要解决这个问题。 erik zeeman：“只要是同一形状的各种不同映射，变化出千变万化的各种同伦型的拓扑形状，那他们的布劳威尔不动点一定是相同的。” 马克兴奋说：“太好了，很机智。” “然后大战拳脚了吧。” erik zeeman说：“没错，在研究一些复杂平面的时候，我们可以分而治之，把平面都分成一个个简单的形状，这就是我们研究复杂问题的办法。” “然后研究清楚了，最后粘在一起？或者说那种分离开，我们也要知道他们怎么粘的才对。” erik zeeman说：“我们把这些每个分开的东西的边际研究清就行，这在前面的连通性中，已经说清了。” 马克指着一棵树，上面有一个扭曲的木头，马克说：“我们研究这个扭曲的木头，里面的旋就算一个洞。我们对这个空间进行刨分。” erik zeeman说：“在这里刨分完后，要对每一个被分开的东西，进行编号，存在的依据就是其中心，也就是重心出。有几个重心，就代表分成了几个形状，以此方便研究。” 马克说：“然后尽量分成最基本的单元，分到不能再分处。” erik zeeman说：“这就是单纯逼近。” 马克说：“如何能够实现这一过程呢？主要是看什么呢？” erik zeeman说：“不看这个扭曲的树，打个比方，我们挖出来一个钻石原石，要把他们分成简单的四面体一类的形状，当然不是钻石那种的。我们尽可能剩下材料，不浪费任何一个区域，尽可能多的去切割。” 马克说：“听起来很困难啊。” erik zeeman说：“需要对原来石头的棱进行测量和分析，这就是复形的棱道群，再根据此，进行轨道空间的单纯刨分。尽量分的要合理，一步步来。当然结果就是得知轨道和对应的元件单形。” 马克说：“确实难，但极具备实用性。” erik zeeman说：“切割钻石是三维空间，而我们要面对的很多更加复杂的高维复形。” 马克说：“那怎么办，听起来不见得，让人望而却步啊！” erik zeeman说：“先对其进行分类，其中要得到轨道和单形，所以要把轨道定向工作做好。而分类的过程，要看总体的欧拉示性数，然后把割开和修补进行运算，着都用对应的运算方式。曲面需要很多符号来表示，方便区分和运算。” 马克开窍也快的说：“之后要用同调理论，使用一个有方向的轨道，结合每个拓扑的边缘加上方向，然后对不同复杂形状，分析其形状是否可以连续变换得到。本质上是拓扑变成类似图的一种计算和对比的过程。其中轨道联系单形会以一串数字来表示这种组成。这里很多就会涉及到链，和很多单形的边缘。直接把单形边缘放入轨道中，形成一个链子，这个链子就是带着方向和组合方式的长链。” erik zeeman说：“想想，世间万事很多都可以用同调论，同调论不仅在微分几何、复变函数、代数几何、抽象代数、代数数论、微分方程、对策论等其他许多数学分支中有着广泛的应用。而且在自然科学和其它工程技术领域的许多学科诸如:电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核构造理论等学科都具有广泛的应用。已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一，也是非数学类众多领域的本科生及研究生必修的数学基础课程。” 马克说：“是的，它可以让很多问题变得简单化。” erik zeeman：“同调群也需要分类研究，以示方便研究复杂形状。在此过程中免不了会有单纯映射这种简单的，也有辐式重分的相对复杂的。区分其中复杂形分类的时候......” 马克说：“也需要有布劳威尔不动点之类的不变量。” 第三百八十二章 纽结理论(扭结) 一开始记录事情，用打结的绳子，然后开始用图案，但是图案画得麻烦，就用简单的图案来表达意思，然后简单的图案再变得方便一点，最后渐渐变成大家只要能够记住的形状。然后写在乌龟的贝壳上，写在石头上，写在泥板上，写在木板上，写在铜器上，写在墙壁上。然后内容也变得丰富，除了自己生活种的账目，还有一些抒情的歌，还有一些重大的故事，甚至还有神的语言和启示。然后可以把喉咙和嘴发出的声音也能写出来。 很多地方的旗帜都是从结绳开始的。 成为了语言文字的先驱。结绳如何记录文字信息。如何表达一件事。不同的粗细代表事情的大小，结的个数代表事情的个数。专门的人对绳子的结去解释。有索女、玄女。 一部分转化成数字计算。代数加减乘除。几何学的丈量，埃及人的结可以勾三股四弦五摆出直角三角形，古代没有尺子，可以用等长的结来测量长度和面积。网格的面积测量。历法的记录 一部分转化成占卜算命。 一部分转化成文字。 一部分转化成符号。 一部分转化成图腾。 一部分转化成衣服编织，或服饰。一部分转化成图案。中国结表示一件特定的事情。有些结绳变成了衣服。印加帝国服饰上面都是结绳记事，穿这个衣服的人能根据绳子想起很多重要信息。 有些结绳甚至成为复杂的机关。这些机关到至今为止还常常存在，就是很多绳子的锁节，可以两两个不同的东西连接在一起。所以结绳也有锁子的功能，也有自带开锁的装置。 首先与古代的结绳记事有很大不同。毕竟现在人的结绳肯定有了更多信息。剑诀王留下了文字全部被抹去，无法看到里面写了什么。绳子的捆绑看着很奇怪，绝对有某种含义。衣服上不同颜色的绳子的捆绑，不同绳子里有不同信息。 不太可能代表单纯的数字。只能是某些事情，但难以推敲出是什么事情。找出真相前，查查荒城是否有结绳记录事情的先例或者是习俗。如果有肯定是一脉相承，那剑诀王的后人必然知道结绳的秘密。剑诀王的弟弟很可能知道秘密。 如果想要解开绳子上的秘密，就需要找到索女。索女是荒城中唯一能够理解结绳含义的一个女巫。这里的女巫需要证明自己能理解结绳，需要验证其他的事情。找到荒城中所有与结绳有关的事情，索女能够按照其含义来传递信息。 1880年左右出现了最早的纽结表。 m.w.德恩说：“你有没有感觉到扭结理论有该提出的必要性了？” j.w.亚历山大笑道：“你指的是结绳记事？” 德恩说：“不开玩笑，拓扑学的发展，不就是正合结绳这个形状吗？” 亚历山大说：“也难怪，毕竟拓扑的等价是洞的复杂性，而这个复杂还就体现在可能会打结。” 亚历山大说：“那我们要做一种工作。我们要对扭结的各种类型都要区分开，这样研究拓扑学的时候就能够及时用上。” 德恩开始拿起绳子，随机制作了几个结。 亚历山大对德恩说：“你要注意，我们可以会用两个绳子，甚至是多个，我们要考虑到所有的情况。” 德恩说：“那我们需要用一种精确的表达方式把这种扭结给表示出来。” 亚历山大说：“高斯制作过扭结表，我们还沿用他的知识吧。”亚历山大在图书馆找到了高斯关于扭结研究的资料，这是高斯为了研究研究电动力学时引进了闭曲线之间的环绕数的概念的。 德恩看着扭结表，对亚历山大说：“扭结之间还能相互运算，我们规定一种方式，让扭结之间可以通过运算来相互得到对方，形成一个扭结群，这样就可以做更好的区分和使用了。” 亚历山大说：“没错，这样也能对照数学里其他的群，更好的理解数学中深刻的理论。” 纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。 纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线。 在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把让一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。 纽结理论后来随着代数拓扑学的发展而前进，也反过来刺激了代数拓扑学的发展。 1910年m.w.德恩引进纽结的群的概念 1928年j.w.亚历山大引进了纽结的多项式这个更易处理的不变量，都是重要的进步。 第三百八十三章 艾森斯坦级数(级数) 艾森斯坦级数是一类可直接表成级数的模形式，由费迪南·艾森斯坦首创。对于一般的约化群，罗伯特·朗兰兹也发展了相应的理论。 e.e.库默尔对艾森斯坦说：“你发现的格函数是个什么概念？” 艾森斯坦说：“其实就是二维周期函数，最简单的就像是格的，这个格就是复平面的单元方块这样的东西。系数是一种二乘二矩阵，表现形式是既有乘法和加法系数，也有除法系数。这个函数的系数自变量等于这个系数分母的幂形式。” 库默尔说：“格函数的表示方式我都知道，而且跟椭圆曲线方程有关系。” 艾森斯坦说：“我可以用一种级数把这个格函数给表示出来。” 库默尔说：“其实这是为了傅立叶函数变得广泛而出现的吧，毕竟傅立叶级数是一维的周期，而这个格函数是个二维周期。”库默尔在想也许还会有三维的块函数吧。 艾森斯坦说：“傅立叶级数就是试图让任何一个函数都转化成多个周期函数的和。那么很多面上的函数，也就是模函数，也就是面函数，就需要有多个不同格这样的函数合成。” 第三百八十四章 兰勃特投影(几何) 兰勃特投影是由德国数学家兰勃特（j.hmbert）拟定的正形圆锥投影。 一种是角圆锥投影。设想用一个正圆锥切于或割于球面，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开成平面。另一种是等积方位投影。设想球面与平面切于一点，按等积条件将经纬线投影于平面而成。 兰勃特投影按投影面与地球面的相对位置，分为正轴、横轴和斜轴3种。 三维空间的二维球壳可以按照兰伯特投影，变形成一个正弦函数阴影面积那个样子，求出面积。 四维空间中的曲率相等的二维球壳，按照兰伯特投影，会出现什么样子，如何求其面积？ 那么在四维空间中的三维球壳，如何平放在三维空间中，去与三维空间中的实心球体看其中微小的差别呢？ 这种差别与兰伯特投二维球面，出现的边边角角这样的形状，肯定有借鉴的类似性。 以此为基础构建高维的兰伯特边边角角的理论。 当然会与正弦函数这样的形状有关联了，或许还是一种立体的正弦函数。 那么是怎样的一个立体的正弦函数呢？ 第三百八十五章 皮亚诺存在性定理(微积分) 关于常微分求解问题，最重要的问题是有没有解，确定有解是很重要的。 皮亚诺认为在连续性里总有一个地方有解，感觉就是在解的附近有解的样子。 皮卡和林德洛认为不仅仅有解，还可以在领域附近取其中两个点有形成的导师变化是小于一个值的，也就是其中的变化量有大小的边界。 打个比方，对于一个漏水木桶，其中水高h与对应漏水时间t可以用微分方程定义，以此方程可以观察漏水过程，方程一定有解。 但是如果漏完水的某个时刻的状态，无法倒过来推测原来水位有多高。这个漏完水，那就是一个边界值了。 在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。 第三百八十六章 皮亚诺公理(集合) 如果需要让集合论统一数学，成为一个全面而又严谨的数学基础单元。就需要对基本的原有的数学重新的规整，不能再使用传统的东西直接使用，而是使用一个公理来重新定义数字与运算这个东西。同时这个运算是否符合其他类型的数学。 皮亚诺在想，运算的本质是什么？ 数学计算中的加法和乘法是合理的吗？ 如果构建和证明这种计算的合理性？ 这就需要从几何开始了。 他和戴得金一起努力，提出和反复验证了集合论中的计算系统。 就是皮亚诺公理。 皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。 1889年，在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以l而不是0作为基本概念。 在后来的着作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用至今的皮亚诺算术公理系统。 第三百八十七章 皮亚诺－希尔伯特曲线(曲线) 希尔伯特曲线是一种奇妙的曲线，只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。希尔伯特曲线是一条连续而又不可导的曲线。 皮亚诺在想，是不是三维的立方也能这样遍历？ 甚至是四维的立方也能这样遍历？ 这样的遍历其实就意味着，直线可以与平面、立体等高维空间一一对应。 所以，对于很多遍历理论，只需一条线足矣。 这也是变相等价解释全息技术。 皮亚诺说：“我们画出的这个曲线，不会是用来玩贪吃蛇的吧，难道是为了铺路？” 希尔伯特说：“想想看，这个线可以能够充满一个空间的画，会有一个非凡的价值。” 皮亚诺说：“你的意思是，一个线可以贯穿一个平面，连个缝隙也不留？但是这也只是把平面分成各种单位方块所做到的呀。” 希尔伯特说：“那就把方块再分小点，不也能让这个曲线贯穿所有的方块嘛。” 皮亚诺说：“那也会不自觉的留有空隙，这只是把希尔伯特曲线个拐弯变细了。” 希尔伯特说：“假设可以无限小呢？” 皮亚诺说：“那就是一个让此曲线的拐弯具有可以无限小的尺度这样的假设，可以说明一个曲线是等价一个平面的。” 希尔伯特点点头，笑着说：“这是一个很有价值的想法。” 第三百八十八章 勒夏特列原理(化学) 亨利·勒夏特列研究过水泥的煅烧和凝固、陶器和玻璃器皿的退火、磨蚀剂的制造以及燃料、玻璃和炸药的发展等问题。 勒夏特列还发明了热电偶和光学高温计，高温计可顺利地测定3000c以上的高温。 此外，他对乙炔气的研究，致使他发明了氧炔焰发生器，迄今还用于金属的切割和焊接。 凡特霍夫对勒夏特列说：“你也能感觉到化学的反应是不彻底的了，很多情况下只会反应到某个平衡状态，如果外界条件不变，生成物和反应物的物质的比例是不变化的。” 勒夏特列说：“是的，确切的说生成物会可逆的向反应物转化。你说的平衡状态，就是这两个变化的速度是一样的。” 凡特霍夫说：“我们研究的不单单是化学反应的变化了，而是一种状态，这样的状态就是在特定的温度、压强和物质的比例有关系了。” 勒夏特列说：“增加某一反应物的浓度，则反应向着减少此反应物浓度的方向进行，即反应向正方向进行。增加某一气态反应物的压强，则反应向着减少此反应物压强的方向进行，即反应向正方向进行。升高反应温度，则反应向着减少热量的方向进行，即放热反应逆向进行。” 凡特霍夫说：“加入催化剂，仅仅只改变反应速度，正逆反应的影响程度是一样的。” 第三百八十九章 魏尔肖细胞分裂(生物) 1855年德国学者魏尔肖（r.virchow）提出“一切细胞来自细胞”的着名论断。毕竟任何一个动物都会从小变大。 俾斯麦对魏尔肖说：“我知道你发现了一起细胞来自细胞的学说。” 魏尔肖说：“没错，个体的所有细胞都是由原有细胞分裂产生的，除细胞分裂外还没有证据说明细胞繁殖有其他途经。” 俾斯麦说：“问题是细胞如何分类？” 魏尔肖说：“细胞自己吃饭，吃的长大成原来体积的二倍，然后就把自己一分为二，自己身上的其他所有部分都一分为二。然后再以这种方式一分为四。” 俾斯麦说：“但会是什么形状？怎么能渐渐的长出人的形状、狗甚至是其他各种不同动物的形状？” 魏尔肖说：“不同物种的细胞内部是全然不同的。” 俾斯麦说：“不是一个简单的球形？而是能长出会走会爬的动物形象？” 魏尔肖说：“简单的球形不适应自然而被进化？”魏尔肖同时也在想像个太岁之类的动物渐渐被分解？ 俾斯麦说：“为什么还能分类出器官？是哪里分裂增强，还是哪里分裂减弱？” 魏尔肖说：“具体的原理还不完全明白，但是肯定是没一个部分都参与成一分为二。原因是在分裂以前，内部的东西都已经变成两个排列好了。” 匹斯麦说：“这种分裂如何还能形成复杂的活生生的生物？” 魏尔肖说：“细胞之间肯定有一种巧妙的连接方式，让生物运动起来。” 第三百九十章 施密特正交化(向量) gram对施密特schmidt说：“如果研究空间的话，第一时间就需要找到基。” 施密特说：“没错，所以看到一个数学模型的话，第一时间找到基，是最重要的事情。” gram说：“但是我们知道的往往都是一些向量，也能大致看到这些向量是正交的，但是他们是基吗？如果不是的话，如何去确定有哪些基？” 施密特说：“肯定有一种办法，这个办法是把这些向量都是包含的，只要做一些计算就可以得到涵盖这个空间所有的基。” gram直接在纸上写出了很多向量，a1，a2，……，am gram说：“只要写出这些向量所在空间的单位基即可。” gram在下方写出e1、e2、e3……. 施密特随即从欧氏空间任意线性无关的向量组a1，a2，……，am出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由a1，a2，……，am与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。 第三百九十一章 施密特触发器(电磁学) 对于标准施密特触发器，当输入电压高于正向阈值电压，输出为高；当输入电压低于负向阈值电压，输出为低；当输入在正负向阈值电压之间，输出不改变，也就是说输出由高电准位翻转为低电准位，或是由低电准位翻转为高电准位时所对应的阈值电压是不同的。只有当输入电压发生足够的变化时，输出才会变化，因此将这种元件命名为触发器。 施密特触发器可作为波形整形电路，能将模拟信号波形整形为数字电路能够处理的方波波形，而且由于施密特触发器具有滞回特性，所以可用于抗干扰，其应用包括在开回路配置中用于抗扰，以及在闭回路正回授\/负回授配置中用于实现多谐振荡器。 施密特对路人甲说：“我的这种机器就是为了能够让信号变得简单，由多种信息简化成只要两种基本信号的信息，就是高电压和低电压。” 路人甲说：“这个的唯一好处就是让外来的信号变得节省空间，也变得好计算。但是突兀的分成了高低，就会削弱信息。” 施密特说：“你打个比方。” 路人甲说：“这个比方很好打，只是对于区分高低的阈值的选取，有些时候肯定在很多细致入微的事情上出现粗糙的错误。” 施密特说：“那可以自己选取阈值，选择不同的阈值，然后再看看转换来的数字信号是不是会有很多不同。” 路人甲说：“当然会有不同，阈值一变，数据结果变化很大。” 施密特说：“那我们肯定要参考多个不同阈值的数据信号，才能准确分析其中的信息。” “而且，有很多事情上，如果不同的阈值差异太大。一般有两种情况。” 路人甲说：“哪两种？” 施密特说：“要么就是这个数据是十分精细的，需要多个阈值分析，要么这个数据完全是不对的，因为差异太大导致没有太大价值。” 路人甲说：“看着这个阈值的选取，变得十分麻烦而讲究了。” 施密特说：“谁说不是呢，妥妥的一门大学科。” 第三百九十二章 施密特数(流体力学) 施密特数（schmidt number， sc）是一个无量纲的标量，定义为运动黏性系数和扩散系数的比值，用来描述同时有动量扩散及质量扩散的流体，物理上与流体动力学层和质量传递边界层的相对厚度有关。 路人甲说：“研究两个相之间的相互，比如就是气体状态和液体状态，用什么样的流体公式？” 施密特说：“可以假设这两个相之间存在薄膜。” 路人甲说：“那这个薄膜是液体还是气体的？” 施密特说：“液体有一层，气体也有一层。” 路人甲说：“如何敢做这样的假设？” 施密特说：“我只是假设了膜内没有法相流动的情况，才会有这样一种特殊的薄膜。其中只有扩散与传递，但没有对流。不像阿基米德数这样的状况。”阿基米德数研究的是两个液体之间对流的现象。这两种物体之间主要是由于密度不同的差异导致的。阿基米德数一般研究液体之间是否有强对流现象。 路人甲说：“是的，扩散跟对流是完全不同的两个概念。” 施密特说：“又假设膜外的流体主体中因湍流的扩散作用而不存在浓度梯度。” 路人甲说：“为何要这样假设？” 施密特说：“传质阻力完全集中于膜内。然后计算内部的流体运动，就容易了一些。” “当然，也可以做这样的计算假设，用一种渗透理论，把吸收过程看作是向半无限静止液体中进行不稳定扩散的过程，气相在液相中浓度的分布乃是时间的函数。”施密特接着说。 路人甲说：“那就变成了只考虑一方，然后就是一种极为缓慢的流动这样的情况了，模型上变得简单了很多。” 施密特说：“如果有薄膜这个弊端，那可以使用表面更新理论这一理论是以相界面在不断变化、不断更新为依据的。” 路人甲说：“可以的，薄膜会有一个变化，在数学上是可控制的。” 施密特说：“就是需要用一种表面年龄这样的概念。” 第三百九十三章 勒洛三角形(几何) 勒洛（f.reuleaux）是德国工程师，也是一个数学家，认为数学跟工程紧密联系，甚至认为工程学的魂就是数学。 勒洛擅长对各种机械元件的运动，进行细致的分析，尤其喜欢收集各种有趣的机械装置。 他发现了一种奇特的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形。 三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径a（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触。 这种三角形的滚动效果跟圆形一样，所以很多圆形滚轮可以用勒洛三角形替代。 三维中，可以做出勒洛四面体，几个勒洛四面体放在一个平面下，可以让平面滚动。 而且在工业上，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来。 有些汽车可以使用勒洛三角形转子做发动机。马自达公司就使用了这样的发动机。 出来勒洛三角形以外，还有勒洛多边形，也有这样的性质。 所以勒洛认为，圆形只是无穷大的勒洛多边形了。 那么问题来了，多边形的时候，由于边数越多，就越容易接近于圆，勒洛多边形也是解决与圆形的。 这种极限的形式都是周长越来越接近圆的，那是不是勒洛三角形接近圆要更快一些呢？或者是勒洛多边形比对应的多边形更圆润一些呢？ 勒洛多边形是一个既圆又有棱角的形状。 第三百九十四章 泰森多边形(计算) 荷兰气候学家a·h·thiessen想测量大面积的气候。 但是面积太大，需要多个相距很远的气象站。 提出了一种根据离散分布的气象站的降雨量来计算平均降雨量的方法，即将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，于是每个气象站周围的若干垂直平分线便围成一个多边形。 用这个多边形内所包含的一个唯一气象站的降雨强度来表示这个多边形区域内的降雨强度，并称这个多边形为泰森多边形。泰森多边形每个顶点是每个三角形的外接圆圆心，泰森多边形也称为voronoi图。 泰森多边形的建立： 建立泰森多边形算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建dunay三角网。建立泰森多边形的步骤为： 1、离散点自动构建三角网，即构建dunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。 2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。这只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。 3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。设离散点为o。找出以o为顶点的一个三角形，设为a；取三角形a除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形f；三角形f的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回到oa边。 4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。 5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。 泰森多边形的特性是： 1，每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据。 2，泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近。 3，位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。 泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。 例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。 第三百九十五章 弗雷德霍姆积分方程(反常积分) 积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。根据方程形式的不同，分别称为第一类和第二类弗雷德霍姆积分方程。 弗雷德霍姆对希尔伯特说：“我开始研究含有未知数的积分方程，里面包含隐函数该如何求解。而且我写出了两种形式的解法。” 希尔伯特深感意义重大，说：“那你如何对隐函数直接求积分呢？准确吗？” 弗雷德霍姆说：“我把积分方程跟代数方程组做类比，所以直接使用行列式求解。” 希尔伯特说：“用行列式求解不就是克莱姆法则。” 弗雷德霍姆说：“我就是用离散方程，里面用行列式的比值，逼近求解。” 希尔伯特说：“那个隐函数是用行列式来表示的吗？” 弗雷德霍姆说：“没错，它的名字叫核。” 希尔伯特说：“这就是线性积分算子了，那么很多复杂的积分方程都可以用这样的方法求解了。先弄出近似值，之后再逼近到越来越正确。” 第三百九十六章 伯恩赛德的表示理论(群论) 英国数学家威廉·伯恩赛德在讲一些数学问题的时候，经常把表示理论这样的词说出来。 乔迪·威廉姆森说：“你一直说表示理论，这样的词，这是你的口头禅，还是一个数学理论。” 伯恩赛德说：“是一个理论。” 乔迪怀疑的问到：“表示的是什么？” 伯恩赛德说：“就是一种是一种把复杂的事物用较简单的事物‘表示’的方法。” 乔迪说：“我问的具体的是什么？是群？” 伯恩赛德说：“即使是群也有很多中不同的表示呢？” 乔迪叹气说：“我试着猜猜，比如用不可约群的组成来表示任何一个群这一类型的对吧？” 伯恩赛德说：“这是其中之一，复杂的对象通常是数学对象的集合，比如数字或对称性，它们彼此之间有着特殊的结构关系。” 乔迪说：“听起来不像是新东西，就是一个东西找基本单位而已。” 伯恩赛德说：“在1897年的时候，我觉得这种非正统的观点根本不会产生任何新结果。我只是在用矩阵的方法表示一切，毕竟数学家基本上知道关于矩阵的一切。它是为数不多的被完全理解的数学科目之一。而且他完善到可以表示任何一种东西。” 乔迪说：“可问题是，关于你说的表示理论，研究这个问题是否合理，现在还不清楚。” 伯恩赛德说：“这种问题让人难以察觉，但是随着数学的深入发展，肯定越来越重要。比如群组很重要，我们要把它们表示出来，而比较简单的对象是称为矩阵的数字数组，它是线性代数的核心元素。群组是抽象的，通常很难掌握，而矩阵和线性代数是基本的。要了解如何用矩阵表示群组，有必要依次考虑每个对象。” 乔迪说：“恩，比如李群的表示就需要这样。” 伯恩赛德说：“举个粒子，考虑一个等边三角形的六种对称性：两个旋转对称，120度和240度，三种反射对称，从每个顶点绘制的线穿过对边的中点，一个恒等对称，对三角形不做任何改变。这六种对称形成了一个封闭的元素宇宙，也就是一个群组，它的正式名称是s_3。它们组成了一个组，因为您可以按任意顺序将任意数量的它们应用到三角形中，并且最终结果将与仅应用一个对称性相同。例如，先反射三角形，然后将它旋转120度，重新排列顶点，就像你仅仅执行了一个不同的对称变换一样。数学家将两种对称的结合称为合成：一组反射与另一组旋转的一个组合产生第三组，称之为不同的反射。你可以像数学家一样，把合成看作是乘法运算。如果考虑非零实数，这是最容易看出的，它们也构成了一组。实数有一个单位元素，用数字1。任何与1组合或乘以1的实数保持不变。你也可以乘任意实数的组合，以任何你想要的顺序，乘积总是一个实数。数学家们说，实数组在乘法下是“封闭的”，这意味着你不会仅仅通过元素的乘法就离开这个实数集群组。” 乔迪说：“要按照你说的那个例子，李群包含无限多个元素，而不是六个元素。” 伯恩赛德说：“没错，要解决一个重要的问题，往往需要理解与之相关的特定群组。但是大多数群组比等边三角形的对称群组更难理解。我们不可避免要面对表示理论的领域，它把有时神秘的群组的世界转换成充分约束的线性代数领域。” 乔迪说：“是的，它们编码质数、几何空间和几乎所有数学家最关心的东西的信息。” 伯恩赛德说：“只不过你要用矩阵，也就是线性代数来表示这些，里面就会出现扩大、平移、反转、剪切、选择和反射这样的词汇。这些就相当与我们数学中的加减乘除这样的东西一般。” 乔迪说：“我刚刚想多了，还以为你找到你加减乘除模之外的新的运算方式呢。” 伯恩赛德说：“表示理论根据一定的规则，为群组中的每个元素分配一个矩阵，从而在群组理论和线性代数之间架起了一座桥梁。例如，必须将群组中的单位元素分配为单位矩阵。分配还必须尊重群组中元素之间的关系。如果一个反射乘以给定的旋转等于第二次反射，那么分配给第一次反射的矩阵乘以分配给旋转的矩阵必须等于分配给第二次反射的矩阵。符合这些要求的矩阵集合称为群组的表示。该表示提供了一组简化的图像，就像黑白图像可以作为原始彩色图像的低成本模板。换句话说，它“记住”了关于这个群组的一些基本但重要的信息，却忽略了其他的信息。数学家的目标是避免纠缠于一个群组的全部复杂性；相反，他们通过观察它在转化为简化的线性变换格式时的行为来了解它的性质。” 乔迪说：“一个群组几乎总是可以以多种方式表示。例如，s_3在使用实数填充矩阵时有三种不同的表示：简单表示、反射表示和符号表示。” 伯恩赛德说：“我们进下来的工作就是将给定群组的表示形式整理成一个表，称为字符表，该表总结了有关组的信息。行引用每个不同的表示，列指的是这个表示中的重要矩阵：分配给组中的单位元素的矩阵，以及分配给组中“生成”元素的矩阵，这些元素一起产生所有其他元素。表中的条目是一个称为每个矩阵的“trace”的值，通过对从矩阵左上角到右下角的对角条目求和来计算。字符表提供了该组的简化图。其中的每个表示提供的信息略有不同。数学家将各种观点结合成一个整体印象。” 乔迪说：“你有很多不同的表征，它们记住不同的东西，当你把所有的信息放在一起时，你就能在某种意义上看到你的团队的这种万花筒般的画面。” 伯恩赛德说：“当然，我们肯定就是要把问题简化，所以一些最有效的表示法既不涉及实数也不涉及复数。相反，他们使用的是带有“模块化”数字系统的条目的矩阵。这是时钟算术的世界，在这个世界里，7 + 6环绕12小时的时钟等于1。具有相同字符表，使用实数表示的两组可能具有不同的字符表的使用模块化表示，从而允许你将它们区分开来。” 自一个多世纪以来，“表示理论”一直是许多最重要的数学发现的关键成分。然而，它的用处在一开始还是很难被察觉。 今天，“表示理论”是许多数学领域的中心工具（代数，拓扑，几何，数学物理和数论等）。这种表示理论的哲学在20世纪下半叶已经吞噬了大量的数学。 表示理论在安德鲁·怀尔斯1994年对费马最后定理的里程碑式证明中发挥了重要作用。问题是关于a^n + b^n = c^n这种形式的方程是否存在整数解。 怀尔斯证明当n大于2时，不存在这样的解。然而，直接证明它的不存在太困难了。 相反，怀尔斯使用的是一组模块表示，如果群组存在的话，这些表示就会被附加到组上。他证明了这一族模表示不存在，这意味着群组不存在，这意味着解也不存在。 这也就意味着，在威廉·伯恩赛德认为表征理论无用的100年后，它成为了20世纪最着名的证明理论的关键组成部分。 温斯坦说:“我无法想象费马最后定理的任何证明，都与表示理论无关。” 第三百九十七章 希尔伯特的23个问题 （1）康托的连续统基数问题。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 （5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。 （6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 （7）某些数的超越性的证明。 （8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。 （9）一般互反律在任意数域中的证明。 （10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。 （11）一般代数数域内的二次型论。 （12）类域的构成问题。 （13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 （14）某些完备函数系的有限的证明。 （15）建立代数几何学的基础。 （16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 （17）半正定形式的平方和表示。 （18）用全等多面体构造空间。 （19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ （20）研究一般边值问题。 （21）具有给定奇点和单值群的fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。 （22）用自守函数将解析函数单值化。 （23）发展变分学方法的研究。 第三百九十八章 希尔伯特空间(测度论) 随着高维空间的概念的增加，数学上必须开始正视高维空间的坐标系这样的东西引入了。 希尔伯特认为，想要引入这些概念，就需要让他们变得标准化。 首先从欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。 然后规定其上有距离和角的概念，引申而来的正交性与垂直性的概念。 希尔伯特空间也是一个内积空间。 还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。 希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。 最后可以引入量子力学中。 也为lp空间奠定基础。 l空间都是巴拿赫空间，但只有当p= 2的时候，l空间是希尔伯特空间。 也就是说，可以为l空间中的元素定义内积。 表示复数的共轭。 这个内积是从2-范数自然诱导的内积。 l空间在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。 空间可以看作是l空间的特例。 只要取l空间中的，测度为上的计数测度，则对应的就是空间。 第三百九十九章 希尔伯特变换(傅立叶变换) 在数学与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换(hilbert transform)——在此标示为h——是将信号s(t)与1\/(πt)做卷积，以得到s''(t)。 因此，希尔伯特变换结果s''(t)可以被解读为输入是s（t）的线性时不变系统(linear time invariant system)的输出，而此系统的脉冲响应为1\/(πt)。 这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(plex envelope)，出现通讯理论中发挥着重要作用. 希尔伯特对奈奎斯特说：“对于信号的处理，我们虽说知道用傅立叶分析，但是我们需要用快速的方法来进行傅立叶分析。” 奈奎斯特说：“数据是离散的，所以我们有办法来快速的计算频谱的概率。” 希尔伯特说：“需要做一种变化，让这个过程快速而稳定。” 奈奎斯特说：“有什么更好的办法吗？” 希尔伯特说：“求信号的包络线，让包络线来反应频谱的信息。” 奈奎斯特说：“那用什么办法来求？” 希尔伯特说：“当然是用积分法，积分的图形不就是信号的包络线吗？” 奈奎斯特说：“都是离散的点，如何使用积分？” 希尔伯特说：“卷积，对应时间值就是信号前几个值的相加，而形成一种新函数。” 奈奎斯特说：“可是，这样越加越大呀！” 希尔伯特说：“每加一段，都要减去一个平均值。” 奈奎斯特说：“听起来倒是有有趣方法，就是需要考虑初始值了，这肯定对实验结果影响大。” 1998年，norden e. huang（黄锷：中国台湾海洋学家）等人提出了经验模态分解方法，并引入了hilbert谱的概念和hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（nasa）将这一方法命名为hilbert-huang transform，简称hht，即希尔伯特-黄变换。 黄锷自从研究出希尔伯特黄变换之后，就开始直接拿自己的这套算法做实验，看看自己的这套算法是不是真的管用。 首先，他找到了十几个人，让这个十几个人各自说话，让声音变得嘈杂无比，之后黄锷把这些嘈杂的声音收集起来，变成数据信号，然后用自己的这个算法看能不能区分嘈杂声音里的这十几个人。 发现可以区分开来。 之后让这些声音信号变得粗糙一些，这样占用的数据会少些，看看能不能识别出这十几个人来。如果声音粗糙的情况下，还能识别出来，就说明这个算法是很强大的。 第四百章 希尔伯特矩阵(矩阵) 用最小二乘法拟合数据，求多项式拟合会有一个方程组。 这个方程租就是汉克尔矩阵，这种矩阵的逆对角线元素都是相等的。 让线性系统问题直接转化成能规范的控制问题。 汉克尔矩阵与常对角矩阵，即toeplitz矩阵类似，将汉克尔矩阵上下颠倒即可得到每一条主对角线的元素都相等的toeplitz矩阵。 这些必然在数字信号处理、数值计算、系统理论和自动控制理论中会使用到。 而希尔伯特矩阵就是汉克尔矩阵的一种。 而这种矩阵是病态的，也就是任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化，病态程度和阶数相关。 其中元素是a（i，j）=1\/(i+j-1)。 希尔伯特矩阵是一种特殊的汉克尔矩阵，有着良好的性质。 第四百零一章 希尔伯特旅馆(集合论) 在一片平整的广袤无垠的大地上，希尔伯特带着一个队伍，这个队伍的人数是无穷多个，排成长长的直线，望不到边。 此刻，已经深夜，大家都累了，希尔伯特需要把他们带到旅馆里休息。 虽然有不少旅馆，安置了不少人，但还是有无穷多个人无法得到妥善安置。 终于，希尔伯特看到了一个旅馆，这个旅馆看起来是无限大的。 想必里面能装下很多人。 希尔伯特进入旅馆，问店家这个旅馆满了吗？ 店家说：“满了”。 希尔伯特准备失望的离开。 店家喊了一下：“等等。” 希尔伯特来不及反应。这时来了另外一个不属于希尔伯特队伍的人，也要住旅店。 问：“是否有一个房间？” 店家说：“有，只要把第一个房间的人安置到第二个，第二个安置到第三个，然后依次类推，你就住第一个旅馆。” 那个人问：“那后面的人怎么办？” 店家说：“这不需要你操心，后面能腾开。” 于是第一个人就住进去了，后面的人轮流腾开了房子。 希尔伯特看到，就疑问的对店家说：“你一个人，这样折腾的，倒是能腾开一间房，那我这可是有无穷多个人呢，你如何给我腾开房间？” 店家对希尔伯特说：“我的旅馆就有无穷多个房间，所以能装下。” 希尔伯特说：“不行，你们的旅馆人满了呀。满了怎么还能腾开？” 店家对希尔伯特说：“如果是有限个房间，人满就腾不开一间房。但是无限个房间，那就能腾开。” 希尔伯特惊奇说：“你怎么腾？” 店家通知自己屋子里的人：“让n号房间的人都搬到2n号房间去住，就能腾出无穷个房间。” 店家又对着希尔伯特身后的队伍喊：“你们就按照队伍，快速的进入着腾开的房间即可。” 店家施法，让希尔伯特身后队伍的人瞬间就住进了原来旅客腾开的房间。 店家对希尔伯特说：“你可以检查一下，大家住的对不对。” 希尔伯特笑着说：“不用检查了，这错不了。”希尔伯特这才意识倒，相比于能不能腾开房间，最重要的是如何去腾，即使房间不是无穷大的，可以依次来盖。 后来此理论与现代图论结合，产生了网络枢纽无堵塞观点（参见n色定理）。 第四百零二章 希尔伯特流形(流形) 希尔伯特与他的学生p.贝尔奈斯开始讨论关于流形的问题。 希尔伯特说：“一般的流形都是三维的，就像我们研究的关于水一类的问题。” 贝尔奈斯说：“这是流体力学的范畴吧？” 希尔伯特说：“不是这样的，我想把这个东西推广都高维空间。” 贝尔奈斯知道自己的老师有些魔怔，动不动就跟高维空间杠上了，不管是什么样的数学模型，希尔伯特总喜欢往高维度空间推广。 毕竟没有前人的铺路，所以一些看法经常修修改改，比如高维空间的超四面体、正方体和圆形应该是怎样的，一开始错误的，总是不断的改，改的合理为止。 贝尔奈斯说：“想法是挺有意思的，但是根本没有高维空间，所以你的假设再合理了也没有用。” 希尔伯特没有说话，陷入沉思中，贝尔奈斯看到希尔伯特没说话，也不好意思了，接着问：“那你说说看，我们如何合理的引入高维流形。” 希尔伯特说：“我也正在思索，其实高维空间系统不代表一定就是超越长宽高的一种坐标空间，可以加入其它的量，这些其它的量才是一种真正的高维空间的量，我们到时候就是依据这样的方式研究一个系统。” 贝尔奈斯说：“我知道了，就是高维空间的坐标轴是长、宽、高、时间、动量、能量、甚至对应的不同方向的分量。这样倒是研究系统的时候变得方便了，可是本身高维空间就是复杂的，我们无法形象生动的看清楚其中的每一个变化，只能是是在这多个坐标轴里取其中三个形成一个我们能肉眼看见的坐标来研究我们想要的变化，剩下的变量都必须不能改变才行。” 希尔伯特点点头，认可贝尔奈斯说的那种只需要选其中三个坐标研究的方法。 贝尔奈斯说：“可是，我们直接组建就行吗，这样的系统到底是哪里看起来方便了？” 希尔伯特也不知道这是在干什么，他此刻需要提出一种规范的东西，或者是推广高维空间了，哪些东西可以继续使用的东西。 希尔伯特说：“首先第一点，那些不同变量的坐标轴必须是相互垂直的，是个正交关系。要是这个样子的话，我们就需要先去研究不同量变化的角度了。” 贝尔奈斯说：“带了角度的，要么是直线，或是曲线的切线，而且这些都有复杂的方向，需要使用复杂的向量来表示。” 希尔伯特说：“所以必须要使用向量，也就必须可以使用向量的法则，就是向量的长度和角度都必须存在，同时向量直接加法和乘法的运算必须要跟原来在二维和三维的时候要一样。” 这就是希尔伯特空间的内积性。 贝尔奈斯说：“没错，而且还需要有完备性。” 希尔伯特说：“如果要是有完备性，就需要是一种可以度量的空间。也就是他们的柯西序列是可以收敛在这种空间里的。” 贝尔奈斯说：“没错，这样就可以在高维空间里使用微积分了。” 希尔伯特说：“如果这样的话，在不同正交坐标系上的多项式都可以使用傅立叶变换来表示了。” 希尔伯特流形（hilbert manifold）是模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形。 第四百零三章 希尔伯特零点定理(多项式) 希尔伯特零点定理（hilbert''s nullstellensatz）是古典代数几何的基石，它给出了域 k 上的 n 维仿射空间中的代数集与域 k 上的 n 元多项式环的根理想的一一对应关系，此外，它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关系，由此建立了代数和几何之间的联系，使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题。 希尔伯特说：“群只有一种运算，就是乘法。” 希尔伯特说：“而环有两种运算，就是加法和乘法。” 路人甲说：“那什么结构是环呢？” 希尔伯特说：“多项式就是环，里面既有乘法，也有加法。当然加法满足交换律，乘法满足结合律，也要满足分配律。符合这个条件的，就算做环的结构了。” 路人甲说：“你的意思是，你打算要用研究环的思想来研究多项式吗？” 希尔伯特说：“没错，直接研究环的性质，就可以对多项式这个看着比较繁琐的东西，要相对简单一些了。” 路人甲说：“何以看出有这种简单性？” 希尔伯特说：“从环论中得出理想的概念，会发现更仿射空间子集有一个对应关系。” 路人甲说：“仿射空间是点和向量的集合。仿射空间子集是对坐标轴的一个变化是吗？”仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 希尔伯特点头道：“没错。” 第四百零四章 阿佩尔方程(理论力学) 法国数学家p.-e.阿佩尔导出的适用于非完整系统的重要动力学方程，其形式为： 式中g为吉布斯函数，它是加速度动能式用准加速度。 表示之式；为对应于准坐标的广义力；n是系统的自由度。由于完整系统是非完整系统的特例，因此，凡是适用于非完整系统的动力学方程，亦适用于完整系统。 假定一个有n个质点的非完整系统，它含个有限约束 吉布斯能发现之后，法国数学家p.-e.阿佩尔导出的适用于非完整系统的重要动力学方程。 阿佩尔对吉布斯说：“我得到了一个方程，是描述一种广义的力的。” 吉布斯说：“你引用我的一个方程，是描述化学中的熵和焓的，其中跟分子的特性、体积和压强都用关系。” 阿佩尔说：“我要用微观力学来思考这个问题。” 吉布斯说：“先打住，化学怎可能变为力学？” 阿佩尔说：“那是肯定的，化学在微观层面，就是大量的原子核分子的碰撞和结合的过程。” 吉布斯说：“这样有些繁杂，不建议以这种方式来研究化学。” 阿佩尔说：“驳回，这是一条必然之路。还要从中去找到一些规律，然后得出一些特定的物理。以此可以得到一些……” 吉布斯说：“得到一些惊喜？只需要知道某种力学系统的反应，可以出现某些化学的东西？” 阿佩尔说：“没错，其中我们要定义一些量。” 吉布斯说：“既然是用到力学，那就难免要用加速度。” 阿佩尔说：“这个我知道，我在化学宏观上，对这群微观加速度的整体描述成准加速度。” 第四百零五章 伯恩赛德引理(图论) 1902年，伯恩赛德提出了伯恩赛德引理。 一个由2*2方格组成的正方形，每个格子上可以涂色或不涂色，问共有多少种本质不同的涂色方案。 每个格子可以涂色，可以不涂色，共有16种方案。将16种方案编号。 把本质相同的方案合并：方案1：{1}，方案2：{2}，方案3：{3，4，5，6}，方案4：{7，8，9，10}，方案5：{11，12}，方案6：{13，14，15，16}，共6种方案。 旋转可以看作是置换，所有置换组成置换群。 如果x通过某个置换可以变成y，说明x和y等价。 与x互相等价的一组元素组成了一个集合，称为x的等价类。 这个问题中，我们要求的就是这样的等价类有多少个。 我们由burnside''s lemma 可得一种公式，这个公式的意思是：等价类的个数=每个置换中不动元的个数和÷置换群大小。|x\/g|=（16+2+4+4）\/4=6。 也可说为等价类个数=不动元个数的平均数 第四百零六章 博雷尔无限猴子定理(概率和统计) 埃米尔·博雷尔做了一个离奇的梦。 一群猴子拿着打字机在疯狂胡乱的打印着各种各样的字母。 猴子打出的字母极其混乱，但是时不时的会包含几个简单的单词，只是猴子肯定不会理解这些，他们只管胡乱敲打字母键。 过了几年，乱七八糟出现的字母，出现的越来越有些复杂，虽然伴随的是更多的简单和混乱。 过了几十年，甚至出现了一些人类能看得懂的语言，一句话。 过了几百年，又出现了一段话，甚至是一个熟悉的故事。当然伴随着有更加混乱和不可意思的东西。 过了几千年，博雷尔发现有些猴子无意中打出了一些一部短篇小说。 博雷尔很吃惊，一部短篇小说就在这混乱中无意出现，这貌似是说明着什么。 过了几万年，出现了很多水平很高的文章。 博雷尔醒了，他知道自己在梦中时间还不够长，如果时间是无穷长的，那会写出一个长篇小说，也许还可以写出一个完整的大图书馆的所有文字。 第四百零七章 博雷尔集(集合论) 1:1 起初数学家定义（非负实值）外测度。 1:2 空间是空虚混沌；数学家的目光流转在集合上。 1:3 数学家说：“要有非负集函数。”。就有了非负集函数。 1:4 数学家看空集是好的，就把空集和非空集分开了。 1:5 数学家让空集的函数值一定为0.有起点，这是头一条。 1:6 数学家说：“并集的值一定要包含它在任意集合的所有部分对应值之和所控制。” 1:7 数学家就造出可数次可加性（顺带连通性）。事就这样成了。 1:8 数学家感觉对外测度满意了，是第二条。 1:9 数学家说：“好的集合一定要能够把每个集合分为两部分，使得这两部分的外测度加和与原集合相等。”事就这样成了。 1:10 数学家称这样为可测的，称其它集合为不可测的。数学家看着是好的。 1:11 数学家说：“所有可测的集合会形成一个结构，我们称这种结构为σ-代数。”事就这样成了。 1:12 于是数学家定义了σ-代数，并验证了可测集组成一个σ-代数。这样的做法符合公理化原则。数学家看着是好的。 1:13 有可测集，有不可测集，是第三条。 1:14 数学家说：“空间有意义，需要拓扑，可以谈开闭集。 1:15 开集都要可测才好。”事就这样成了。 1:16 于是数学家造了一个包含所有开集的最小σ-代数，称其为borel代数。 1:17 就把大数中的元素称为borel集。标在空间中。 1:18 所有开集有测度，则必然可以延拓到borel集上。数学家看着是好的。 1:19 有拓扑，赋测度，是第四条。 …… 第四百零八章 法图引理(微积分) 法图对勒贝格说：“函数列的下极限的积分和其积分的下极限。这两者一样吗？” 勒贝格对法图的敏锐性很感兴趣，他认为，函数列是一个对他测度论这个工具有用的东西。 勒贝格说：“我没有研究过这个东西，难道这两者是不相等的吗？” 法图说：“没错，不但不相等，后者比前者大。” 在勒贝格大脑思考的同时，法图证明了这个引理。 这是根据单调收敛定理得来的。 第四百零九章 勒贝格控制收敛定理(测度论) 在法图引理的启发之下，勒贝格将法图引理推广为勒贝格控制收敛定理。 勒贝格说：“从法图引理的道理上看，调换运算顺序会使函数出现运算结果的不同。” 法图说：“我只是把函数列的和积分和积分和调换了一下。难不成你加减乘除的各种运算都调换了吗？” 勒贝格说：“还是取无穷和积分的调换。那不是重点，重点在于，我要根据这种运算的调换性去计算很多古怪的不正常函数的很多区间是否收敛。而且这个过程务必小心进行，不能差池。” 法图说：“也对，很多古怪的不正常东西，你是要保证他们不会此算发散而彼算收敛，这样不利于你的测度与积分的往下进行。” 勒贝格说：“没错，尽量是收敛，哪怕是收敛大小不同，如果换后减小数值，那也可以继续往下积分，毕竟是知道小于一些什么的，可在控制范围之内，而且以此法要找到普遍规律。” 法图说：“是的，几乎都要以我的引理进行证明才可。” 在数学分析和测度论中，勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。 第四百一十章 勒贝格测度(测度论) 不可积分函数的问题出现多年，但让此刻的勒贝格陷入沉思。 明明那种函数是有一定面积的，为什么非说不可积分，但要去求也无法按照固有模式下手。 若尔当曾提醒：“为什么按照黎曼积分才叫最合理？难道没有其他形式的积分吗？” 勒贝格想：即使如老师所说，也不能直接突兀的找奇特形式的积分。就算是要找，那也需要对这种新的积分形式有一个好的解释。 这个解释就是，什么是真正的可积分的？ 很多模型的问题在于，体积的单元和组成体的东西的方式多不严谨，探讨和计算之时，出现了很多不可思议的错误，这种矛盾上升到哲学层面，就是人类对点线面的认识不够深刻。 如果想要深刻，不能在测量的问题上产生矛盾。 勒贝格第一时间想到了等间距的点阵，数点的个数，总是不会有太大错。点又个数，没有体积，不会自我相交。点的个数在某种层面上，就是代表点阵的准确面积和体积。 无非就是知道长度之和，求长宽高直接相乘就可以了，如何一个可以测的，就是长度符合可以测量的标准，让长宽高相乘就可以了。 “是多少个点，就是多少个体积，就是笨办法来求，也指定不会错误。” 点阵在古代就是形数，曾解决毕达哥拉斯定理的证明。 此刻依然可以在看似不可积分的积分问题上能够发挥作用，发挥严谨解释的作用。 勒贝格笑了：“真正的体积和面积是由连绵不断的点组成的，哪里像我所说如此简单，弄个点阵呢？” 其实，只要让一个数学坐标中，符合点阵的一种数学模型存在就行，那种无限的点阵铺满坐标的形式，就是环。 环在宏观上，好解释，把坐标中单位为1的网格画出来，就是一个很简单的整数环。 但是坐标中有大量的小数，那这些无穷小的小数位单位，画网格就不容易了，那就把单位为 1的网格进行类比。之后找到网格环的运算最基本规律，套用在无穷小小数上，只要这个小数的格符合这个运算，那就是小数的环。即使是无理数，如果符合这个环，那也是环运算。 所以坐标要是一个标准的那种方格为无限小的环，这种环不乱来，很严谨，可求积分，也就是可以求出体积。 勒贝格认为：“不需要点阵了，点阵直接不想相交的豪斯多夫这种东西，也可以去求体积，可求积分。” “不仅要消灭点阵，而且点阵有不合理的地方，点阵之间的空隙太大，不好。要变成方块堆叠才可以，方块堆叠形成体积，只需要求出方块个数，和方块的体积。方块堆叠起码没有空隙。所以在数学上，除了点阵方块可以求，还得保证空隙处，也叫补集，也得是可测的才行。” 如果点，不能说体积是大于0的，但是对于方块体积肯定是大于0的。既然是可以测量，那体积肯定应该大于0才行。 多个方块的体积肯定大于少个方块的体积，少个方块是多个方块的子集，那么子集的体积肯定比原集的体积小。 多个方块合起来，那也是可测的，其中有交集和并集。 如果没有方块，那体积为0，就是0测度，这也不是不可测的。 移动方块的位置，那还是可测的。 若尔当问：“你说的那个方块是正方体的吗？” 勒贝格笑了笑道：“就是长方体的有什么问题吗？就是任意六面体的有什么问题吗？” 第四百一十一 勒贝格积分(微积分) 若尔当说：“然后，该如何去找0到1内无理数的长度了？” 勒贝格说：“那就需要了解无理数和有理数的长度为多少，需要借助康托尔的集合论。” 若尔当说：“那在0到1之间的无理数个数远多于有理数。” 勒贝格说：“有理数长度为0，那么对应的面积也为0.无理数的长度几乎为1，就直接按照1的长度去计算对应体积。这个事儿不就完成了。” 若尔当豁然开朗：“要以你这样的方式进行积分，那很多古怪的康托尔集那样的病态函数，也能够进行积分了。只需要把对应集合的长度搞清楚即可。” 勒贝格说：“那当然，我的测度论就是为了让这一切变得合理。也变得更加普遍化。” 而勒贝格在想，是否可以以圆形为单位，堆积起来。这其中的问题就是球体的堆积会留下空隙，再以更小球体补齐剩余空间，会无穷的补下去，计算是收敛的结果即可。 或者说级数的发散和收敛本身可以以堆积的想法去考虑，如果堆积的方式不是补空缺，那级数就是发散的。 勒贝格又认为如果原子是圆形的，那不也是堆积出了这个世界吗？但转念又想，世界也不是说不真正容纳空隙的，所以圆球积分的想法暂存于脑中。 第四百一十二章 波以曲面(曲面) 德国数学家波以在1901年发现波以曲面，波以曲面无法定义方位，就如同克莱因瓶与莫比乌斯带。 我们可以用几何模形创造出波以曲面，其中一个方法是把拉长的圆盘按照莫比乌斯带的原理连接圆盘边界。 波以曲面是三重对称结构，可以找出一条对称轴让波以曲面旋转120o后维持同样的形状。 有趣的是，虽然波以有办法画出各种不同形式的波以曲面，但是他却不知道如何用方程式，也就是用参数模型的方式加以表达。 直到1978年，法国数学家莫昂（bernard morin）才利用计算机找出第1个参数化的方程式，莫昂幼年时就双眼失明，不过却在数学领域功成名就。 他不但没有因为双眼视力不如常人而自怨自艾，甚至可以说是失明，强化了莫昂的能力，一般人不容易想象几何结构的其中一个原因，是因为我们通常只注意到表面，却看不到内部可能非常复杂的构造。 但失明的莫昂已经非常习惯于用触摸的方式接收信息，任何模型只要让他把玩上几个小时，就算经过多年以后，他还是能保有其形状的鲜明记忆。 虽然是个盲人，但是盲人却有空间想象力。 为什么盲人也有空间想象力呢？他不是看不见任何东西吗？为何心中会有图形的概念？ 是因为盲人可以触摸到周围的东西，而且这些周围东西的相对位置也是不变的。 在一个熟悉的地方长期待着触摸久了，脑子就会对这些东西形成一种大体的形状的概念，这可以不用视觉，就能熟悉周围的环境。 所以盲人也有空间想象力，而盲人的空间想象力不比一般人差。 虽然不知道各种东西的色彩，但是却知道一种复杂的图形，或许比一般眼睛好的人去多想这些问题。 第四百一十三 边际递减效应和贝勃定律(经济学) 欧根·冯·庞巴维克与弗里德里希?冯?维塞尔讨论经济学的的有趣现象。 就是边际递减效应。 维塞尔说：“我发现当消费者消费某一物品的总数量越来越多时，其新增加的最后一单位物品的消费所获得的效用，即边际效用，通常会呈现越来越少的现象。” 庞巴维克说：“当人经历强烈的刺激后，再施予的刺激对他（她）来说也就变得微不足道。” 维塞尔说：“原本一元钱的报纸变成了十元一份，你定会感到无法接受；而原本元的东西涨了100元，你一定不会有什么大的反应。” 庞巴维克说：“这已经不是经济学，这已经是心理学。就心理感受来说，第一次大刺激能冲淡第二次的小刺激。” 德国经济学家戈森曾提出一个有关享乐的法则：同一享乐不断重复，则其带来的享受逐渐递减。 庞巴维克说：“经济学何以变成心理学？” 维塞尔心知，以后要研究经济学，那肯定一心理学为核心了，他说：“迟早如此，经济学本来就是人想要买东西。不考虑人的心理，反而奇怪了。” 庞巴维克说：“也有人不会受到边际递减效应的影响。足够冷静的人，可以看出这一切，而避免其中出现的危害。” 维塞尔说：“那是肯定的，但是人天生就是一个喜新厌旧的动物。对于任何一个事情的热情，都难以做到持久。” 庞巴维克说：“没错，谁能够做到长期干好一件事，谁就是了不起的超人。” 维塞尔说：“我提出此观点，就是为了解释经济学发生的这种现象，同时想好接近它的对策。” 庞巴维克想到很多自律的人是一个常年一个习惯的，很多成功人士也可以始终如一。 庞巴维克开始反驳：“你的理论不完全对，也许在某种程度上，有很多人不会像你说的那样喜新厌旧。如果元的东西涨了100也许也会让人心疼。” 维塞尔说：“没错，保持习惯，多喝咖啡就可以保持。边界递减效应，可以保持理性来避免。” 第四百一十四章 赫斯发现宇宙线(天体物理) 1912 年奥地利物理学家赫斯（v. f. hess）的载人气球飞行开创了宇宙线的纪元。 利用气球飞行实验记录到的大气中的辐射剂量随海拔高度升高而增加的现象，他得到革命性的的结论：有来自外部空间的高能射线不断降落到地球上来。 这就是宇宙线――来自空间的高能粒子。 宇宙线是联系宏观宇宙和微观粒子的桥梁。 宇宙线的研究涉及粒子物理学，天文学，宇宙线及其交叉学科－－粒子天体物理学。此外与地球物理学，生物物理学息息相关，与人类的生产生活密不可分。 通过宇宙线的研究，人们从中发现了正电子（e+），μ轻子，π介子，k 介子，各种超子等，发现了强、弱两种相互作用，粒子物理由此而诞生。 raydavis 和masatoshi koshiba 领导的宇宙线实验观测到了来自太阳和大麦哲伦星云sn1987a 的中微子，发现了太阳中微子的振荡，是中微子具有质量的明确证据，开创了中微子天文学。 迄今为止，人们观测到的最高能量的宇宙线事例所具有的能量比人类目前能够建造的最高能量的加速器（位于cern 的lhc）的能量要高一千万倍。 赫斯探测宇宙线，是初级粒子撞击空气形成次级粒子，形成次级粒子簇射产生的电离。 这些在空气中产生的次级粒子，也会有一个范围，这个范围也需要去确定。如果超出这个范围的话，就不是原有的那种形状了。 小于这个范围能量的次级粒子很难进入大气层产生次级粒子，这个不用多说。 大于这个能量的次级粒子，会因为能量太高，而无法有效的拦截，而只出现一开始大家以为的小的那个部分的横截面。其实大能力的粒子，在一定的深度才会产生有效的簇射。 赫斯和我们现在探测到的，仅仅是相对小一些的，出现在地面上的横截面的簇射。严格来说，仅仅是出现了一个截面，所以着对我们来说，恐怕是不够的。 我们需要有几层，通过纵深才能看到清楚全貌。甚至在地底下的时候，才会把超高能量的初级粒子真正的给拦截下来。 或者就算是一个普通的粒子，由于我们的阵列仅仅是一个截面，所以，我们看到的哪怕是同一个能量的初级粒子都会有不同结果，或者是不同能力粒子被探测的是同一个能量的问题。 所以，我们需要对各种不同的事例进行收集和观察，观察清楚这到底是割什么样的粒子。 初级粒子飞快的进入大气中时，猛烈的碰撞。 我们探测的是一个标准大气压的情况下，次级粒子的样子或者方程。 如果在不同的大气压下，不同的湿度，甚至有风的情况下，那肯定会不同。 或者不用空气，用其他气体来电离，或者放置一种特殊的化学物，以此区分表面上相同但实际不同的次级粒子。 理论上讲应该有各种各样的粒子。 理论上会有各种各样的能量。 化学元素，物理元素等等，都会出现，只是几率不同。 区分是最重要的，哪怕是细节上的不同，如果能细致区分不同的宇宙线，那就需要找一些特殊的闪烁体放在旁边，这些闪烁体不需要得知整体簇射。 这样哪怕有两个看似相同但成分不同的簇射，也能轻松区分出来，别正确对待。 空气的次级粒子簇射。 需要研究空气中，地底下，水中，冰层中的簇射的不同能量的形状。 对于此，出现了气体探测器，闪烁体探测器，切伦科夫探测器，强子量能器，晶体管探测器，这些探测器既能探测周围环境的辐射，也就是aβγ射线，也能组合起来根据在空气中电离情况而探测宇宙来的高能粒子射线。 宇宙中终极问题，就是与起源有关系，但大致也就这几种假设： 宇宙线来源，超新星遗迹，星球碰撞。 r中子俘获跟超新星有关系，而超新星的诞生在物理界也没有根据。最大的可能性也只是跟吸积云有关。 但是什么吸积云呢？可能有无数种。 但碰撞也是不能完全排除的一个原因，因为碰撞的概率也是很高的。 再加之狭义相对论的错误性，难免会有极其高速的东西，这就是我们要找的宇宙线。这也可能是高速粒子起源。 想验证正确性，需要知道大量碰撞的地方会有许多超高能宇宙线，而需要去判断哪里有大量的天体碰撞。 需要了解哪里的星系会有大量的碰撞，也要了解哪里会有较少的碰撞，来进行充分的验证。 星系都是椭圆的，星体运动有快有慢，密度高低情况的都需要考虑进来。 一般情况下，银心密度会很高，除了自身旋转运动速度快，还会有吸积云遮挡，导致以为没有那么快的运动这样的因素也要考虑进来，并且去除这种干扰。 在很多实验中，南极的icecube实验中。对中微子探测的事例数很少，少到什么程度？我认为少到跟极高能粒子一样少。icecube这样的实验都是在地底下的，认为探测中微子是可以穿透到地下，之后有了一个次级粒子簇射。但为什么会这么少？中微子应该在太空中很多才对。所以可以理解为，这探测到的是不中微子，而是高能粒子。这种极高能的粒子能量可以高到空气中都没办法产生大量的簇射，而直接穿透到地心。那就需要深思，原来的质量损失是什么了？ 由于狭义相对论的光速的假设是错误的，所以超级加速器不会制造出能包围太阳系那么大的圆圈对撞机，而是使用一个很长的直线对撞。 让两个源头相隔很远的机器的直线加速器，相对加速，然后再发射粒子，让粒子相撞，就可以达到效果。 金尚贤在z2计算了一个距离，可以产生宇宙大爆炸的强度。 还能产生很多难以解释的各种各样的粒子，只是可以探测到这种极低寿命的共振子，但是还不能俘获并利用。 金尚贤对z3飞船的李非命说：“你的进度可以达到预期吗？” 李非命估算了一下，对系统做出了一个保守的结果，对金尚贤说：“一百六十八个小时完成，换算过来是七天。” 两个对撞机分别为dz1和dz2，他们相隔的距离为1光年，也就是大约千米，这两台对撞机的加速度为10米每平方秒。 李非命需要在这一光年部署500个通讯站，500个对对准器。 500个对准器是为了让两个对撞器发射出的粒子能够对准相撞，对准器与对准器之间用的是激光对准，500个对准器与两个对撞器全部对准之后，才能够发射对撞器，在发射过程中还需要引导对准，在第1号和第500号对准器对准完毕后，会启动侧向推力，把自己从两个对撞机连线上推开，给对撞机让路，之后再让地2号和第499号对准器参与两个对撞机的对准。 如果对的不准的话，就会是用通讯站发射信号对对撞机参与对准，对准之后再让对准器自行推开，给对撞机让道。 对准器除了参与对准之外，也会让这个长达一光年的加速器保证整体的完整性，让两个对撞器保持在一光年远和对应的直线上，让500个对撞器也保持一定的距离和对准在直线上。 对撞机是使用电磁加速，加速到接近光速的时候就发射出去。 对撞机在相互之间距离很近的情况下，就开始对撞。 之后会产生巨大的爆炸，根据质能方程式的可以知道巨大的动能可以转换成大量的物质，这些物质都是从真空中分离出来的正负粒子，大量的正负粒子也会以比较高的速度向四面八方溅射出来。 李非命让放在对撞中心周围处的高强度磁场让带点离子喷射出来，对各种不同的离子进行收集，用来做各种物质的原材料。 第四百一十五章 博苏克－乌拉姆定理(拓扑学) 博苏克对乌拉姆说：“如果把球面投影到一个平面上，撕裂平铺，无法保证所有点都能完善的投影到平面上。” 乌拉姆说：“不撕裂也可以。” 博苏克说：“那也无法让任何一个点都正常投射到平面上。” 乌拉姆说：“是的，不管如何扭曲，也是这个样子的。” 博苏克说：“最少，也会有一个重叠的点。” 乌拉姆说：“何止如此，恐怕有不少点都是叠着的。” 博苏克说：“不管如何扭动这个球面，一定有一个相离最大半径的点会叠着的。” 乌拉姆说：“不仅仅是二维球壳，就是高维的球面投射到高维空间上，也会有这样的南北极的点是叠着的。” 博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对跖点映射到同一个点。 第四百一十六章 乌拉姆现象(数论) 斯塔尼斯拉夫·乌拉姆在无聊的时候，把数字写成了一种四方形环状，螺旋展开。 细细一开，发现质数居然分布在一条直线上，十分吃惊。 而且这不是随机，像是很整齐的分布在上面。 乌拉姆认为圆形的才更完美，更有说服力，后来写成了圆形的螺旋，发现质数分布在圆形螺旋的一条悬臂上，像是银河系的悬臂一般。 但乌拉姆还是认为，并不是一个直线和悬臂式的全部都是这样分布的，也不能说其他规律数字没有如此的分布。 乌拉姆本想把这个分布与哥德巴赫猜想和黎曼猜想甚至孪生素数这样的东西套用进去，但奈何证据不足放弃了。 乌拉姆想把旋涡中的质数拉直之后，再看看整个螺旋数字会是什么分布的形状，但以为曼哈顿计划太忙，便没空再理会这些。 第四百一十七章 泰勒－乌拉姆构型(几何学) 曼哈顿自从原子弹试爆成功后，多个科学家情愿，提出了制造氢弹的计划。 政府批准后，科学家开始制造氢弹。 大家知道原子弹爆炸是中子点燃，氢弹爆炸是原子弹点燃，发生核聚变才可。 如何实现这个过程，就是一个复杂的数学问题。 由于核聚变是两个轻的核子碰撞才可发生，所以需要一定的压缩过程，而且需要的时间短，在爆炸过程中不能破坏次过程。 泰勒说：“你的数学模型是怎样的？” 乌拉姆知道，反映效率是最重要的，他说：“如果让裂变和聚变分别反映，不容易实现最大利用率，所以裂变和聚变肯定得同时进行。” 泰勒说：“我知道，要让压力够大，反应截面才足够呢。” 乌拉姆说：“在爆炸过程中，就是反应压力逐渐减小的过程。” 泰勒说：“霍华德莫兰想到了x射线产生的辐射压，可以完成这一切。比起冲击波要好些吧。毕竟冲击波时间太短了。” 乌拉姆说：“想要真正的解决压力问题，就得在爆炸过程中，出现反弹，这样才会让压力增加。” 对一切想现象考虑进来后，乌拉姆开始使用计算器来计算氢弹爆炸过程。 第四百一十八章 伊辛模型的发展(模型论) 伊辛ernst ising和他的老师威廉·楞次wilhelm lenz都研究物质的相变。 其中最重要的是描述铁磁性物质的内部的原子自旋状态及其与宏观磁矩的关系。 物质的相变就是出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。 伊辛说：“我找到了描述物质相变的随机过程模型。研究的系统由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。” wilhelm lenz笑：“只有向上和向下？没有向左和向右的？” 伊辛说：“磁铁嘛，先只研究上下二维的，假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。” 伊辛一边说，一边开始手绘表格，同时往表格里画出各种上下箭头。 辛模型通常被用于模拟铁磁性物质（铁、钴、镍）的结构并对其在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变（phase transition）进行理论描述。当铁磁性物质的温度低于居里温度（curie temperature）时，其内部的原子会按特定方式自旋从而产生宏观磁矩。 20世纪30-40年代，劳伦斯·布拉格wrence bragg）、e. j. williams、汉斯·贝特（hans bethe）、rudolf peierls等学者使用平均场近似理论（mean-field theory）对二维伊辛点阵模型（two-dimensional squarettice ising model）进行了研究。 1944年美国物理学家拉斯·昂萨格rs onsager）得到了二维伊辛模型在没有外磁场时的解析解，即onsager解。 2022年，雨果·迪米尼-科潘改变了统计物理学中与相变有关的数学理论，他解决了几个长期存在的开放性问题，尤其是在三维和四维以及在二维的不可积的情况下。他的工作开辟了几个新的研究方向。在这里我们只列举他在这一领域的众多成果中的一小部分。 迪米尼-科潘的最显着的成果是三维和四维的伊辛型模型。他与合作者一起建立了三维相变的连续性和锐度，这些都是自80年代起就一直悬而未决的问题。在四维空间，他与艾森曼（aizenman）一同证明了伊辛模型的平均场临界行为，并证明了四维欧几里得标量量子场论的平凡性，这是一个自70年代以来就困扰物理学家的开放性猜想。 同样，在二维相关的福图因-卡斯特林渗流中，迪米尼-科潘与合作者一起证明了所有参数值变化的连续性或不连续性，以及在等角点辐射线图上的临界福图因-卡斯特林模型的普适性。此外，通过证明临界福图因-卡斯特林模型的大尺度旋转不变性，他朝着建立它们的大尺度共形不变性迈出了重要一步，这反过来又能为将它们严格与二维共形场论的世界相连提供重要的缺失部分。 第四百一十九章 冰雹猜想(数论) 全体自然数被螺旋式吸入黑洞(4，2，1，4)，再以射线(4，2，1，4)射出 全体自然数被螺旋式吸入黑洞(4，2，1，4)，再以射线(4，2，1，4)射出 1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事： 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个正整数n，并且按照以下的规律进行变换： 如果是个奇数，则下一步变成3n+1。 如果是个偶数，则下一步变成n\/2。 不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论n是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。 黑洞4-2-1，视界8，主旋臂3*5+1=32\/2=16，奇点(4-1)\/3=(2+1)\/3=1 黑洞4-2-1，视界8，主旋臂3*5+1=32\/2=16，奇点(4-1)\/3=(2+1)\/3=1 这就是着名的“冰雹猜想”。 第四百二十章 乌拉姆提出蒙特卡罗法(概率与统计) 为了把氢弹爆炸原理给摸透，乌拉姆想用数据计算的办法来计算。 这就是模特卡罗法。 在计算机里，如果让一个模型发生，除了写出框架以外，需要写出发生源头。 而这个源头的一切量，都需要随机数来产生。 框架就像是一道应用题，不需知道其中的根本模型，只是用公式来计算这个过程即可。 之后得到的得数就看看是不是符合自己想的现象，如果不符合，再去查找框架是否准确。 而源头随机数，只需要有一定的均匀性即可。 乌拉姆意识到，蒙特卡洛可以计算万物，框架仅仅是简单的数学公式，顶多修正几次，但是对于随机数的要求越来越高。 在某种程度上来讲，随机数的纯正才能保证模拟的标准运行。 所以随机数是模拟之根。 而大自然就是随机数的结果，所以随机数成了上帝，是一个真正的上帝。 第四百二十一章 高尔顿顶板(概率与统计) 高尔顿做出一种钉板。 每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。 从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1\/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。 如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。 高尔顿跟另一人打赌：“你知道，让一堆小球中入口掉下去，在底部会形成什么形状？” 那个人说：“会平铺在下面。” 高尔顿开始把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，过了一会儿，那个人一看，是中间的部分比较高，两边比较少。 那个人觉得奇怪，把这个实验做了很多遍，发现都是这种钟形的结果。 高尔顿说：“只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形。” 那个人说：“感觉确实挺违反尝试的，如果是正态分布的话，我也可以如此去理解。就是如果不用这个钉板，让一堆钱自然下落，也会在地面上形成正态分布，而加上这个钉板，只不过是没有改变这个过程而已。” 高尔顿说：“是的，只不过这种钉板是规范了这个过程。” 第四百二十二章 爱因斯坦布朗运动(曲线) 马赫对道尔顿和玻尔兹曼说：“你们两个人说原子是存在的，但是无法测量。” 道尔顿说：“我们无法否认原子存在这件事。” 马赫说：“你如何去测量？” 玻尔兹曼说：“因为太小了，因为原子刚刚就是组成世界的元件，而测量用具也是由原子组成的，所以我们没法测量。” 马赫说：“要是这么说，那也难说世界到底是不是原子组成的。” 我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。 爱因斯坦认为，布朗运动里面包含了很多东西，是一个物理学的宝藏。 首先，爱因斯坦认为，花粉的运动是就是一个从周围获取能量的过程，这个能量的获取是来源周围分子嘈杂的撞击产生的。 布朗运动本身难以计算，但是这种难以计算的东西同样可以引起科学家的兴趣。 一个布朗运动的微粒，它的扩散将会以一个特定的速率移动，也称为均方位移移动，而速度大小取决于单位摩尔流体中的原子和分子的数量。以此可以确定分子或原子的大小。这相当于是找到了计算原子大小的办法。精度也很高。 何止是在复杂的分子撞击花粉而导致无序游走那么简单？ 天下万物恐怕都是来源于此？ 在布朗运动中的启发中，计算出原子大概的大小。 在复杂的物理的更多的运动中，恐怕也是如此。宇宙中光子电子的运动也是在真空中很多狄拉克海粒子的流动对其进行碰撞导致，尽管现在证据不足，但是分析不能不合理。 第四百二十三章 爱因斯坦光电效应的解释(量子力学) 光子打在金属上，可以打出电子来。 勒纳发现光电效应后，大家都想解释这个复杂的本质。 尤其是，为什么光强越大，却不是得到更高频率的光？ 这让人疑惑不解。 爱因斯坦发现，光强仅仅改变光电子个数，并不会改变光子能量。 而是特定能量的光才会产生能量。 这是一种奇特现象，光子可以被存储在电子上，如果光子包含一种信息，原子上的电子具备存储这个光子信息的能力。 这是在原子上的电子具备的，如果电子不在原子上，是不是这个电子就不具备存储能力了？感觉显然是的。 那么电子具备存储能力的原因是因为电子围绕着原子核转动，那样的电子才有了轨道。 所以原子核是可以存储电子的，而电子仅仅是个中间载体。 那么电子是如何可以存储光子的？这是一个简单的事情，但是却不是个简单的原理。 毕竟这里涉及到光子和电子揉合在一起，变成高能量的电子的问题。 除非电子是光子组成的，才能很好的解释这一切，那么就要把光和电想象成一会儿事儿才行。 可以现实世界光子和电子是区分开的，所以需要深度思考这其中究竟有什么样的联系。 第四百二十四章 爱因斯坦光量子传递理论(量子力学) 爱因斯坦说：“为什么电生磁和磁生电。是因为电和磁都是同一个东西相互作用和传播的。” 普朗克说：“可是你前段时间说光是电磁波，那么光也是电磁传播的一种，而且光可以作用出电力和磁力。” 爱因斯坦说：“对！” 普朗克说：“那光如何作用，是不是需要知道光长什么样子？” 爱因斯坦说：“光本身具有波粒二象性。肯定根此事有关。” 普朗克说：“那需要好好想想了，从最基本的机械构造上来想这个问题。” 爱因斯坦说：“如果把光比作水，水也有波粒二象性。” 普朗克说：“那是有区别的，水是充满各个地方，形成一个整体，才出现的波性。而光也是这个样子的吗？宇宙空间中各个地方都充满了光，然后波纹汇聚出电子，激荡出磁场，而这一切都是宇宙中满当当的光液？” 爱因斯坦说：“我觉得，可以这样去假设，毕竟电磁波范围广泛。” 普朗克说：“不妥，水的粘稠性很高，如果把光比作水，光似乎没有粘稠性这一说。” 爱因斯坦说：“那就考虑把水的粘稠性去掉，那就是光的特性了，光是一个纯粹流动的东西。而光子的融合和激荡就是电子的产生。” 普朗克说：“如何让光子激荡出个电子？” 爱因斯坦说：“自由电子可以比作是水的一种冲击波，而束缚在原子中的电子，就是原子核把一滩水给分离出很多清晰的轨道，导致一滩水在此中间分出一道特殊的流动，形成了电子。” 普朗克说：“一滩水是真空？真空中是满满的光子，不动，经过外界激发之后像水一样流动起来？” 普朗克表示不能接受如此荒唐的理论。 第四百二十五章 爱因斯坦狭义相对论(物理学) 麦克斯韦提出麦克斯韦方程组以后，就预言光是一种电磁波，并算出了电磁波的速度。 然后，奇怪的事情就发生了：麦克斯韦在没有选定任何参考系的情况下，就直接从方程组推出了电磁波的速度等于光速c。 我们在谈论光的速度时，一样也要先指明参考系。 那么，从麦克斯韦方程组推出的电磁波速度到底是哪个参考系下的速度呢？ 因为电磁波的速度是直接从麦克斯韦方程组推出来的，所以，只要麦克斯韦方程组在某个参考系里成立，我们就可以说电磁波在这个参考系里的速度是光速c。 于是，上面的问题就有了一个等价的提法：麦克斯韦方程组到底在哪个参考系下成立？ 如果麦克斯韦方程组在所有的惯性系下都成立（即满足相对性原理），那我们就可以说电磁波在所有的惯性系下的速度都是光速c。 如果麦克斯韦方程组只在某些特殊的参考系下成立（即不满足相对性原理），那么我们就只能说电磁波只在这些特殊的参考系下的速度是光速c。 于是，我们又进一步把“麦克斯韦方程组到底在哪个参考系下成立？”变成了“麦克斯韦方程组是否满足相对性原理？”。 这个逻辑大家一定要理清楚，不然下面就没法继续了。 不过，认为麦克斯韦方程组满足相对性原理，也就是认为“电磁波在所有惯性系下的速度都是光速c”太过离经叛道，也完全违反我们的直觉。 你想想，在所有参考系里速度都一样是个什么概念？ 1第一章双生子问题 有画出了一种坐标，横轴表示空间，纵轴表示时间。 在惯性系上物体运动的轨迹是一条直线，非惯性系物体会有一个弯曲，以此表示非线性系物体经历了时间上的扭曲变化。 但是这也是看坐标系的，在地球上看，高速飞行的飞船时间有扭曲。 但以一个高速的为参考系的话，地球反而是那个时间扭曲的物体，告诉飞行的火箭反而成了静止状态了。 爱因斯坦认为，地球做的是惯性系运动，而飞船是非惯性系运动。 凭什么会这样呢？地球不也是受到太阳的拖拽吗？地球的运动是个螺线型的，同时太阳在银河系里也是这样的存在，凭什么就能把地球看做是一个标准的惯性系运动呢？ 整个宇宙，也就是绝对时空（假如存在的话）是一个惯性系吗？ 2第二章狄拉克方程难题 狄拉克方程是薛定谔方程预相对论的结合得到的。 有负能量、负物质、量子涨落、自旋这些重要概念产生。 但是却建立在不牢固的狭义相对论的基础上。 如果狭义相对论错了，那狄拉克方程，已经克莱因高登方程的结果是错误的。 需要深入思考了。 3第三章超光速理论 光速最快，逻辑上不成立。 超过光速，难道真空涨落阻止加速，那不就变相说明真空有以太吗？还的计算真空涨落飘移。所以不成立。 肯定有比光快的，甚至很多普通的天体比光快的比比皆是。 但是为什么天文望远镜无非探测到比光快的东西呢？因为望远镜的原理就是探测光子，所以受到了局限，即使是比m\/s还快很多的光过来了，我们也探测不到他们的速度，或者根本就探测不到。 对于m\/s这样的数值，是用谐振器探测出来的，还需要对这个实验进行深思可细细探究。 有些星球也许相对地球的运动速度就是超光速的，我们需要用其他办法来探测。比如用引力波，引力波不是光速传播的，引力波完全可以轻松超过光速。 4第四章索菲实验 这个实验讨论空气流动情况下光速飘逸。 把水作为了以太，然后推测水的流速不同的时候的光速变化。 所以迈克尔逊莫雷实验是一个受到空气干扰的实验，应该在真空中做才能看到光速的微弱变化？ 5第五章微观世界中的狭义相对论 粒子场论以成熟。 可在微观高速粒子高速运动下，已经接近了可以出现相对论效应的现象。 会有钟慢、尺缩、质能变换等复杂效应出现。 但在一般量子力学只有一个φ的状态。 或者只有概率波、波粒二象性、位置动量测不准、时间能量测不准、纠缠态等。 这些前后之间是否会有联系？ 从原子中飞出一个电子，会有一个φ这样的状态吗？哪怕是直线型的？这会出现量子效应吗？抑或这就是一维线性谐振子或者是德布罗意波这样的状态，一种波函数。 假如一个直线运动状态是φ1，受到光子作用后变为φ2的直线运动，这φ1和φ2之间变化连续吗？ 难道是高速物质就会有量子化的过程吗？低速时，电子量子化程度很低。 6第六章合理的假设 1、以太和绝对空间不存在。 2、光的速度在任何坐标系下是常数可能也不对。 3、坐标系都是相对的依然正确。 4、广义相对论中，引力可以改变时间等量。 5、水星进动是由于太阳引力对光吸收造成，无狭义相对论效应。 6、现在使用的都是运动情况下的相对论。 7、量子力学中电磁力作用有道理，但不是狭义相对论方程。 8、迈克尔逊莫雷，可能受大气影响，在太空中会受到弱电磁力影响，在真空中会比c更快。或会有其它速度。 9、质量越大，引力传播越快。 10、无限大的质量才会有无限大引力。 11、任何物质传播过程中，由于耗散浓度降低，导致速度也随之变慢。 7第七章微观粒子世界线 宏观粒子世界线好画。 但是放大之后，微观粒子世界线，会不会对以前世界线造成冲击？ 这些世界线之间不会有交叉。 8第八章相对论阻止 如果光速到最大，宇宙中有以太的话。 所有物体不能在相互运动中超过光速，甚至无法达到光速。 有可能是真空中有什么东西在阻止往更快的继续加速。 这也等价狭义相对论效应。 但这种阻止不会出现钟慢、尺缩等效应。 两个任意天体之间的速度会是任意值，其中也包含运动的光，这在逻辑上行得通。 如果以上结论不对，那只能认为宇宙中有一种特殊的胶水，不会让任何物体速度超过c。 这种胶水会阻止任何带电物质，唯独只能找引力波了。 也许引力波可以跑的比光快。 9第九章加速器疑惑 相对论是错的， 如何解释加速器中物体运动最高速度是光速？ 其实加速器中物质的运动是在电场作用下加速的，说白了就是电磁波加速的。 电磁波的速度是受到了限制的，所以被加速物质最快的速度也不会超过给它加速的电磁波。 在加速器中常听说电子-电子对加速到几个gev等。我们如何确定它们加速到这么大的？ 是加速器所用的电力，还是测到碰撞产生所有或某个碎片导致？ 能把电子加速到无限大，还是趋近一个值？ 若是趋近一个值，那么这是否跟狭义相对论中光速最大值有关联？ 电子之间的相互作用靠光子传递，电子的加速（减速）会有韧致辐射，是否与光子速度最大有关。 10第十章暗物质与狭义相对论之误 用光谱测红移，后发座星系团中各个星系相对于星系团的运动速度。 利用位力定理，发现星系弥散度高，仅靠星系团质量产生引力不能将星系团束缚在内。 认为这就是暗物质存在。 但是后来没有任何发现。 除了星际尘埃遮挡以外，还可能是跟狭义相对论之错误有关。 高能辐射会有更高速度。 以此，不同能谱的辐射。 11第十一章不同频率光 迈克尔逊实验考虑过不同光子频率吗？ 不同频率光子也许相干方式不同。 迈克尔逊实验是可见光波段的，所以需要特定实验来验证。 但这个意义是否具备，因为或许一直会是未相干反应。 而这个不是狭义相对论的性质。 12第十二章各向异性 各向异性高能物理实验，说明了迈克尔逊实验结果有误吗？ 按照迈克尔逊实验原理，应该各个方向都一样。但各向异性说明了光速这个假设出现了问题？ 我们该如何看待这个实验，当然免不了光的强度的影响。 13第十三章银心的射线 银心来的高能宇宙线是有很多高于光速的。 测高速粒子，不用狭义相对论公式，而是用纯牛顿公式计算。 低速度的光只见看到多年前的样子，高速光能看到不久前的样子。 原来迈克尔逊测量的是光子的相对速度，而光速真正的速度是它的绝对速度。 也许可以根据银河系的旋转来先找可以超光速的星球。用地球位置来探测到它。 能量越高的粒子速度越快。 14第十五章相对论与温度 不仅仅要研究宏观领域的相对论效应。 毕竟宏观物质也是由微观物质组成的，如果温度增高，是否也要考虑相对论效应了？ 毕竟高温的话也就变成相对论性的了。 在超高温度下，很多原子分子热运动变得很快，快到了发生钟慢尺缩等效应。 15第十六章相对论仅仅是光学方面的效应吗？ 因为是解释光，才出现了相对论。 所以仅仅是关于光是相对论的吗？ 更或许，光本来就是组成世界的一部分，导致相对论对所有物质有影响。 那为什么相对论对光有影响呢？是因为光有某种特殊性吗？相对论性是光的一个性质吗？ 16第十七章电生磁的尺度 电子移动会产生磁场。移动速度越高，则磁场越强。 在地球上做一个低速运动，会产生一个磁场。 地球在银河系中会是一个高速，地球上产生的磁场就就变得很大了。 在地球上是感受不到如此强大的磁场的，只有相对地球很快的物体才能感受到。 而地球上去感受来自银河系的大磁场，也是同样的原理，是别的东西相对地球很快。 而地球相对于更大的宏观的呢？是不是会有更强的磁场呢？这个也是很有可能的。 我们只知道地球局部的磁场，不能感受到宏观的那种极大的磁场。 17第十八章黑洞不存在问题 黑洞没有探测到过，只是理论中一直说。 万一没有呢？ 如果超光速理论成立的话，光不是最快m\/s的速度，那黑洞不会把更快的光吸进去的。 所以2015年对黑洞的计算结果，有人为主观的因素，其中就是对光速是m\/s这样的结论去计算的。 如果抛去以上结论，那黑洞就不会按照牛顿的那个定义存在了。 顶多在原子被压缩到钱德拉塞卡极限的时候，成为了特殊的致密状态，不会出现广义相对论的那种奇点。 所以奇点不存在了，那2020年诺贝尔彭罗斯的那个也不对了。 黑洞不存在，是算法算出来的，是在一个错误的假设上。 18第十九章用引力透镜 广义相对论验证用了日食，找到星光偏转。 所以超光速理论可以用黑洞产生的引力透镜来研究。 超光速粒子（包括γ）会有一个小的偏转。 在计算上符合黎曼几何学，去计算这种可能会超过c的种种行为的现象。 用观测m87的数据是否可以观测到？需m87后有高能粒子束， 是否有？如何找？是超新星遗迹？是背景辐射？如何确认，或者同事确认？ 黑洞引力透镜测超光速上的几何是复合黎曼几何的。 也能用类似镜头校正算法计算（黑白方格）黑洞透镜上的仅光速c偏转现象，与任何速度的偏转有何区别。 19第二十章光粒子性 以前对于光速判断时，我们往往只考虑其波动性，没有考虑过粒子性。 所以c=m\/s是波动性速度。 而光的粒子性速度，我们是不知道的，或者那完全是一个独立的概念。 可以是任意的数值，需要一种特殊的方法去测量。 动量的碰撞是一个最简单的办法。 之前曾认为光的静止质量为0，而动光子质量不为0，不就是这个道理吗？ 所以我们需要去测量单个光子的光压。 光是存在光压的，正是因为单个光子对物质有动量碰撞。 超快光速光子肯定有很强的光压。 之前认为光是最快速，同时因为速度不变，仅是测量同种频率的光。而同频率的光有相干性。 需要考虑的是，不同频率的光再来一次迈克尔逊-干涉实验。 argo这次的康普顿盖亭效应，如果选取其中的r成分依然会有这种效应，就说明光子不具备等速性。 20第二十一章中子速度测量 带点粒子容易受磁场影响，速度会被限制。 所以可以测量中子的速度，很可能会有更快的速度。 可能会有任意快的速度。 如何测量中子速度，只需要动量撞击。 撞击能力越强的，中子速度就越快。 撞击能力越强，溅射的碎片就会越多，就会有某种分布的形状。 只要这个形状越大，就说明中子能量越大。 我们就只需要来找这种形状即可。 那南极冰立方，或许就不是中微子，也许就是快速的中子。 如此巨大的能量，也许就超越了光速了。 21第二十二章巨大天体中心粒子的速度 如果巨大天体中心粒子的速度到达光速，势必会出现一种极限。这种星球继续压缩，肯定会出现超光速的运动。 但是物理学中不允许出现这样的情况，所以按照相对论而言，这就会被迫发生爆炸。这就是当天体到达一定质量的话的爆炸了。 需要计算多大的天体，会让被压缩的内部的粒子的运动达到多快，找出这样的的表达式。 之后确认那种压缩出超过速的超重天体是否存在。 天文学家继续分析，会有一种超重天体，内部会发生某种反压缩，之后会被强制性推开。 我认为如果相对论是错误的，那不妨就认为以上天文学家假设是错误即可。 那我的意思就是天体内部会有超光速运动了。那也会有一种对于的热力学方程了。 这种热力学方程当然说相对论里无法支持的，但我认为这个自然存在。 第四百二十六章 爱因斯坦的质能方程式(量子力学) 爱因斯坦根据狭义相对论推导出质能方程式。 解释一些核反应的质量损失是变成了能量。 唯物主义哲学家都反对这个说法，认为不会有物质凭空消失。 哲学家对爱因斯坦说：“你开始把科学像神学化发展了，物质消失变成能量这样的说法不能成立。能量是物质的运动，物质消失全变成物质的运动，感觉不那么充分。” 爱因斯坦说：“这是电磁学方程推导出来的，而这一切的来源就是因为光有一些我们常人难以理解的奇怪的属性。” 哲学家说：“这么说，是全怪光这个东西里。但就算如此，你冒然写出质能方程式，这个意思也会让人误解，意思是物质消失了，全部都转化成了光子吗？” 爱因斯坦停顿一下，解释道：“其实呢，也对。光子确实可以理解成能量的承载形式。物质的运动变化本来也可以转化成各种频率的光。物质几乎就是电磁力在承载，而光就是电磁作用的承载着。” 哲学家大笑：“要照你的意思是，这个世界完全就是光组成的了，任何一个物质都是不同的不同光的复杂几何构造了。” 爱因斯坦对哲学家说：“你说的很好，不仅仅是物质的质量，就是物质的运动也是由光组成的，这个世界就是光的复杂几何结构。” 哲学家说：“就勉强是吧，反正电磁力也是光统一的。强作用力和弱作用力看来也是由光子的复杂构造而传递了。那你觉得引力迟早有那么一天，也能看出来是光子的几何上的复杂构造吗？” 爱因斯坦想想说：“电磁力、弱力和强力确实可以作为光子的复杂构造，我无法完成这样的工作，但这样的工作肯定有人在做。只不过引力有点麻烦，它貌似有点孤立，我得想想办法，把引力纳入进来，尽量表现的像光子作用那样的。” 哲学家说：“你的抓紧时间了，否则宇宙中引力不听你光子的话，就会有很多的麻烦，让人感觉膈应。” “不过。”哲学家接着说：“也许引力和光子确实是独立的两个不同的东西，我们只能被迫接收这个古怪的世界，就是以这样的方式来作用的。” 爱因斯坦陷入沉思，他在想宇宙这个光子的涛涛海洋里，形成什么样的波浪才算是稳定的成为一种有足够长寿命的物质呢？ 第四百二十七章 爱因斯坦广义相对论(曲面) 很多人解释迈克尔逊实验不成功后，爱因斯坦直接认为不会有以太。也不会有绝对空间这个荒唐的概念，因为整个宇宙，相对自己静止，哪里会这样，空间是虚空的，不能成为一个特定的绝对的坐标系。所以自己相对宇宙做一个什么运动，这个想法是完全错误的。 同时光也是一个难以判断的一个东西，姑且给它一个任意速度吧。 爱因斯坦对光子进行思考，一个深入的思考。 在别人看来，颇有很多困难，但对爱因斯坦来说，他们思考的方法不对，所以找对方法思考，就可以容易解决问题。 站在大河边，爱因斯坦看着风吹过波涛汹涌的水波，在想是否可以将其类比成很多光子的传递。 很多人说，光子太快，比水极端灵活。无法类比。 其实光子速度只是比我们认识的世界要快，而在浩瀚的宇宙中，光子也需要跑很久。反过来想，把宇宙想象成一个尺度较小的东西，那光子在其中的运动看起来就像是慢动作了，就是粘稠的感觉。所以不仅仅类似水了，真是都类似胶水或油了。所以可以用水波类比宇宙中远程的光子传播。 提出狭义相对论之后，因为双生子问题，大家都在怀疑这个模型的合理性。 爱因斯坦也知道这个问题，在此过程中考虑了惯性系这些问题，其中引入了引力，并用等效原理解释了引力是物质扭曲时空的一个体现。 与希尔伯特通信后，极端聪明的希尔伯特直接开始使用数学中的黎曼几何来解释这些。希尔伯特当然知道引力不是标量，而是用矩阵才能表示出的张量。 与爱因斯坦通信之后，两人很快写出了引力场方程。里面包含空间弯曲，能力和动量张量，黎曼度规，其中有里奇张量。解是长度可以用度规表示关于时间和空间三个方向的系数。 希尔伯特说：“引力学问题，完全成了几何学问题。” 爱因斯坦说：“我还在想，是不是所以力学都是几何学问题？” 希尔伯特说：“你魔怔了吧？弹力和摩擦力都能扭曲时空吗？” 爱因斯坦说：“那就是引力、电磁力、强力和弱力都是可以用这个几何的。” 希尔伯特疑惑这四种力难道能成一种力的不同变化吗？ 爱因斯坦觉得自己几何学水平要差些，去找陈省身，他是一个拓扑学的专家，可以对整体的弯曲出现的各种特性有一个把控能力。 但陈省身拒绝了，他说：“没道理，强扭的瓜不甜。因为这四种力太不一样了。” 爱因斯坦也只得作罢了。 后来史瓦西使用引力场方程解黑洞问题，引入极坐标系后，解出经典力学无法找到的视界半径。 爱因斯坦也时常想，如果进了黑洞，里面的时空到底是如何的。 除此之外，广义相对论场方程的解还有雷斯勒-诺德斯特洛姆度规，具有这样的度规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞；还有克尔度规，广义相对论中，克尔度规或称克尔真空，描述的一旋转、球对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何...... 第四百二十八章 爱因斯坦宇宙常数和宇宙大爆炸(天体物理) 引力之间本来是吸引的，但是整个宇宙没有缩小。 难道有一个种可以膨胀的空间力？ 爱因斯坦坐不住了，写出了一个宇宙引力场方程，其中有一个量，就是抵消全宇宙的引力的。 Λ是一种神秘而微小的排斥力。是一种可以抵消宇宙引力的度规张量，只是在宇宙中每个局部极其微小，在很宏大的范围内才会有明显的作用。 写完方程后，很多年，哈勃才发现宇宙是膨胀的。 这下爱因斯坦有些尴尬，既然宇宙的碰撞的，那就没必要引进Λ的度规张量了。 爱因斯坦接着就开始疑问，为何会有膨胀，膨胀的源头来源于哪里？ 后来乔治·勒梅特提出宇宙大爆炸理论，这个理论虽然奇怪，但是可以解决宇宙膨胀的问题。比稳态不变理论靠谱很多。 但爱因斯坦对于爆炸的源头，也就是原始粒子这个极高密度和压力的东西充满了疑惑和赞赏。 而后来由于科学家发现有些星系的质量比预计要大很多，所以怀疑星系里有更大质量的东西，但看不见是什么，所以取名为暗物质。 暗物质的出现倒是反而让Λ的存在有了意义，所以爱因斯坦也是没有错误的。 第四百二十九章 爱因斯坦玻色子凝聚(量子力学) 达卡大学的萨特延德拉·纳特·玻色在思考，如果把原子冷冻了会怎样？ 如果原子变冷，那么周围绕它转的电子也会变冷，那电子轨道会不会因此而变小。 之后每一个冷冻的原子只要一个单一的状态，而且不会轻易发生化学反应。 这样，一堆原子就像一个特殊的气体一样堆积在一起。 冷却松散后，物质会如何变化。 肯定是吸收的物质，体积变小，排斥的物质体积增加。 原子冷却后体积会变大还是变小？电子、光子、质子、中子呢？或者是不变？ 先拿电子做例子，我们不知道电子是由什么组成。 甚至不知道是否是一个圆球形状，或者有自旋的影响。 一个电子的所有微粒系统，既有引力、也有排斥力。若无引力，会冷却成雾，若无斥力，就会塌缩成点。 斥力有两种情况，一个是本身的排斥，一个是横向角动量轨道。 一个稳定电子锁具备的条件是：引力=斥力+横向速度力。 加热后，横向速度减慢。故：引力>斥力+横向速度力。 电子体积会变小。 玻色开始给爱因斯坦写信，爱因斯坦十分欣赏玻色的看法。 爱因斯坦说：“把原子冷冻起来，这是一个非比寻常的想法，因为我们生活中遇到的原子都是热得生龙活虎的。” 玻色说：“电子运动就说明电子是热的，如果冷冻，电子就会减速，那么电子的能量会降低，就会变成基态。就是不知道原子核会不会也因为温度的降低受到影响。” 爱因斯坦说：“说不定是同时的，温度以降低，也许因为原子核的作用，也导致了电子速度降低，能量减小，轨道变小。也许是分开的，但是我们要考虑整体的温度降低。” 玻色说：“所以，理论也就到此为止了，重要的是实验观察，看看温度足够低的话，很多东西会变成什么状态。” 玻色在想，什么才是真正的降温？让原子不要乱动，当电子安静下来，让原子核也安静下来。而这一切都需要借助一定频率的激光让它们强制性安静下来。 1995年，麻省理工学院的沃夫冈·凯特利与科罗拉多大学博尔德分校的埃里克·康奈尔和卡尔·威曼使用气态的铷原子在170 nk的低温下首次获得了玻色-爱因斯坦凝聚。 在这种状态下，几乎全部原子都聚集到能量最低的量子态，形成一个宏观的量子状态。 第四百三十章 epr悖论(量子力学) 爱因斯坦说：“不对体系进行任何干扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理量，即实在性判据。” “很显然，量子力学不符合这个判据。” 波多尔斯说：“难道不是迟早会出现这个问题的吗？毕竟我们研究的东西会越来越小。总会有那种不可能我们不影响它就去探究他的一天。” 罗森说：“但是我们还是具备一定的方式来研究。” 波多尔斯说：“测量一个粒子，由于太小，让另外一个粒子与其反应，之后观察这个粒子后，这个粒子本身就影响了要测量的粒子。所以把测量基本到两个粒子上，就难免会有这样问题。” 罗森说：“那就找到一个对被测量粒子影响很小的粒子来测量，这样对实验不会有太大的偏差。” 爱因斯坦说：“不是这个意思，是我们仍然可以想到一种办法来测量我们不知道的粒子，我们可以用一种特殊的箱子，让不可测的粒子在箱子里。然后我们只需要测量这个箱子被作用的力，就可以测量出箱子中不可测粒子的各个量。因为粒子跟箱子不论怎样反应，都逃不出这个箱子。高能量粒子在其中，箱子的反应也剧烈，低能量粒子反应，箱子反应就会迟缓。” 第四百三十一章 贝尔不等式(量子力学) 1935年，爱因斯坦说：“量子力学虽然流行，但不完备。”同时提出epr佯谬。 该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的a粒子和b粒子，理论上a、b具有相反的自旋方向，当a和b相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子。 一个微观电子中，外围包裹着一层电子云。如果这是两个电子a、b，可以试着放大理解，就大到一个比原子要大很多的系统，看到这两个电子在纠缠了。这两个电子a、b只要探测其中一个，则另一个必然会受到影响。就是移动其中一个，另一个也必然会受到影响。 爱因斯坦看出来这是一种超距作用，提出反对意见说：“两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。” 为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。 爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上。 扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。 1921年冯·诺依曼对玻姆提出质疑，在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在。 直到20多年后，贝尔发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（a+b+c，ψ，y）=（a，ψ，y）+（b，ψ，y）+（c，ψ，y），而且是非常低级的错误， 换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。” 以至于贝尔在一次访问中毫不客气地谈到：“冯·诺依曼的证明不仅是错误的，更是愚蠢的。” 贝尔对玻姆的隐变量理论非常感兴趣，隐变理论和量子力学的争论，本质上是关于“定域性”和“实在性”的问题。 定域性：一定时间内，因果关系只会维持在特定的区域。也就是说没有超光速信号的存在。 实在性：真实事物客观存在，不依赖于观察者。 贝尔注意到，爱因斯坦和波尔的争论，关键就在于爱因斯坦提出的“epr”当中。 1964年，贝尔发表了名为《论epr佯谬》的理论，文中以简单清晰却又深邃精炼的证明过程，得到了大名鼎鼎的“贝尔不等式”，被誉为“科学中最深刻的发现”，该论文也成为20世纪物理学名篇。 要推导贝尔不等式的基本形式不难，只需要一点简单的中学知识即可，在这我完全可以给大家展示推导过程，回到之前的epr佯谬当中：一个母粒子分开为a粒子和b粒子，我们考虑两者的自旋方向，由于我们生活在三维空间中，所以选择三个方向坐标（x，y，z）进行观测，xyz不需要相互垂直，由于每个方向上的自旋只有“+“和“-“两种情况，所以对每个粒子来说就有8种情况；对于两个粒子来说，由于同一个方向上的自旋总是相反的，所以整体来说还是只有8种情况，我们把每种情况标定一个概率，分别是： 根据归一性原则有：n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8=1 我需要解释一个数学名词——相关性，对于两个研究对象来说，相关性指的是两者的合作程度，如果两者的行为总是相关的，那么相关性就是100%（或者1），如果两者行为完全不相关，那么相关性就是0。 现在我们需要考察得更深一些，来看a粒子在x方向和b粒子在y方向上的相关性是多少？我们记为pxy。 由于总的也就8种情况，我们只需要把符合相关性的概率加上，然后减去不符合相关性的概率即可，于是我们把符合ax+以及by+，或者ax-以及by-的概率加上，反之减去，根据表（1）很容易得出： pxy=-n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8； 同样的方法，我们可以得到a粒子在x方向和b粒子在z方向上的相关性pxz： pxz=-n1+n2-n3+n4+n5-n6+n7-n8； 然后是a粒子在z方向和b粒子在y方向上的相关性pzy： pzy=-n1+n2+n3-n4-n5+n6+n7-n8; 有了上面四个公式，现在是展现数学技巧的时候到了，绝对值当中有这么一个不等式|a-b|<=|a|+|b|，记住所有概率值都是非负数，于是有： |pxz-pzy|=|-2n3+2n4+2n5-2n6|=2|(n4+n5)-(n3+n6)|<=2(n4+n5+n3+n6) 根据归一性公式，我们可以凑一个“1”出来： 2（n3+n4+n5+n6）=1+（-n1-n2+n3+n4+n5+n6-n7-n8）=1+pxy 于是我们得到了最终的结果： |pxz-pzy|<=1+pxy 这就是大名鼎鼎的贝尔不等式，恭喜你，你已经证明了宇宙中最深刻的定理之一。从证明过程我们可以看出，贝尔不等式是一个非常严密的数学定理，物理中仅仅依赖于定域性和实在性。可是贝尔发现，在量子力学中，当坐标夹角足够小时，量子行为将会突破贝尔不等式！！！ 这简直就是大逆不道，量子力学居然可以破坏这么严谨的定理，说明量子行为之间的相关性，是超出经典力学行为的。 实验究竟如何呢? 直到1982年，科学家阿斯派克特才首次完成了第一代的贝尔实验，他以钙原子为光子对来源，然后把钙原子激发到一定能级，当回落时就会释放一对光子对，实验巧妙地让两个光子飞出12米远（光子需要飞40纳秒），中间的一个偏振器平均10纳秒可以改变一次方向，然后测量光子的合作程度。 一对对光子射向检测器，爱因斯坦坚信的隐变量正在接受着考验，3个小时过去了，科学家们长松了一口气——量子力学赢了，爱因斯坦输了！ 实验结果完全符合量子力学的预言，与爱因斯坦坚信的隐变量理论相差了5个标准方差，贝尔不等式被无情地突破，阿斯派克特的结果发表在当年12月的《物理评论快报》上。 针对阿斯派克特的实验，科学家提出了检测漏洞、定域性漏洞、以及随机数漏洞，其他科学家也在试图重复阿斯派克特的实验，新的实验技术也在发挥着作用，按照贝尔的设想，我们不能让光子对提前知道观测方向，于是实验过程需要随机改变偏振器方向。 1998年，奥地利科学家让光子飞出距离400米，这样就有足够时间随机改变偏振器方向，这次爱因斯坦输得更惨，差了30个标准方差，实验结果完全符合量子力学预言。 2015年，科学家用更巧妙的实验，彻底排除了局域性漏洞和检测漏洞，实验结果以96%的置信度符合量子力学预言。 为了彻底堵上贝尔实验中最后一个漏洞——随机数漏洞，在2016年底，科学家进行了大贝尔实验，在全球随机选择3万人，然后这3万人凭借自己的自由意志随机得到一个数，再来进行贝尔实验，如果有人还对随机数漏洞存在质疑，那么就是质疑这3万人的自由意志。 在2018年，中科大教授潘建伟等人，首次实现了利用11光年外的星光产生随机数，来排除贝尔实验中的随机数漏洞，成功验证了量子力学的完备性，实验光子对总不可能知道11年前遥远星光的数据吧！ 自此，隐变量理论已被彻底否定，贝尔不等式在量子力学中不成立，量子力学的哥本哈根学派经住了层层考验；而贝尔不等式的破灭，说明我们宇宙的定域性和实在性至少有一个是不成立的，或者两者都不成立，至于选择留下谁和抛弃谁，目前科学界还没有定论。 第四百三十二章 罗森桥与虫洞(量子力学) 自打爱因斯坦等人提出了epr量子悖论后，爱因斯坦开始研究虫洞。 显示通过广义相对论的计算，史瓦西算出了视界，对黑洞弯曲的区域分成内外两个部分。 一个是空间被弯曲，但物体和信息仍能逃离的外部区域；一个是物质和信息进去之后就再也无法出来的内部区域。 史瓦西自己都没想到，罗森想到了：“史瓦西解视界这个结构描述的其实是连接两个黑洞的虫洞。从外部看，两个黑洞是相距很远的两个独立实体，然而它们共有一个内部区域。” 爱因斯坦得知后，也很兴奋，觉得两个遥远的黑洞有一个连接的结构，确实很有意思。 后来这个结构的名字叫爱因斯坦-罗森桥。 但史瓦西解告诉我们，连接两个黑洞外部区域的虫洞是随时间变化的：随着时间流逝变长变细，就像把面团拉成面条。同时，在某一点交汇的两个黑洞的视界将迅速分离。事实上，它们分开得如此迅速，以至于我们无法利用这样一个虫洞从一个外部区域旅行到另一个外部区域。 但这一原理断言，存在一些成对的物理量，我们不能同时精确地知道它们的值。最着名的例子就是一个粒子的位置和速度：如果我们精确地测量到它的位置，那么它的速度将变得不确定，反之亦然。 后来霍金发现了黑洞辐射，既然是辐射，那肯定就有温度。 既然有温度，那必然会有某种微观组分。 所以推出黑洞就有这样的微观组分。 所以从外部看来，黑洞应该表现得像一个量子系统，所以也遵循量子系统。 当我们从外部看黑洞，我们应该发现一个拥有许多微观态的体系，而黑洞处于每一个微观态的概率都是均等的。 因为黑洞从外部看就像通常的量子体系，那么我们完全可以认为一对黑洞可以相互纠缠。假设有一对相距遥远的黑洞，每一个黑洞都有很多种可能的微观量子态。现在想象一对纠缠的黑洞，其中第一个黑洞的每一个量子态都与第二个黑洞的对应量子态关联。 如果我们测量到第一个黑洞处于某个特定的状态，那么另一个黑洞必须正好处于相同的状态。 基于弦论（一种量子引力理论）的特定考量，一对微观态以这种方式（即所谓epr纠缠态）纠缠的黑洞将产生这样一种时空结构：有一个虫洞将两个黑洞内部连接起来。 换句话说，量子纠缠在两个黑洞之间创造了一个几何连接。 这个结果是令人惊讶的，因为我们过去认为纠缠是一种没有物理联系的关联。但是，这种情况下的两个黑洞却通过它们的内部产生了物理联系，通过虫洞相互接近了。 我和美国斯坦福大学的伦纳德·萨斯坎德（leonard susskind）将虫洞和纠缠的这种等价性称作“er=epr”，因为它把爱因斯坦和他的合作者在1935年所写的两篇文章联系在了一起。从epr的角度看，在每个黑洞视界附近进行的观测是彼此关联的，因为两个黑洞处于量子纠缠态。从er的角度看，这些观测是关联的，因为两个系统经由虫洞连接。 我们不禁要猜测，这种联系可能并不局限于黑洞这种情况：只要存在纠缠，就一定有某种几何联系。即使是最简单的情况，即两个纠缠粒子，这种联系也应当成立。 不过，在这种情况下，空间上的联系涉及了微小的量子结构，这些结构是无法用常规的几何概念来理解的。 我们仍然不知道如何描述这些微观几何结构，但是这些结构的纠缠或许通过某种方式生成了时空本身。 第四百三十三章 德布罗意波(量子力学) 受光可能是粒子概念的启发，德布罗意1924年提出了物质粒子，如电子，也是波的想法。这就是物质波的概念。德布罗意后来致力于量子力学的因果论诠释。 反对者对德布罗意说：“光的波粒二象性还没有搞清楚，你就敢说，一切都是波粒二象性的？你太唐突了。” 德布罗意说：“你们都在想光的波粒二象性，这种二象性是什么样的形状。而我在想，任何一个物质都会做波粒二象性的运动。” 反对者说：“你如何这样想？一个粒子的运动就能在空中划出一道波形。” 德布罗意说：“一开始我不这样想，是里渊说了原子核周围包围着以太这样的物质，我认为以太可以去掉，这种相互作用是直接传播的，不需要以太来传递。” 反对者说：“所以，任何物质所携带以太，必然相互作用，而你去掉以太学说，直接是这是物质直接有相互作用，所以任何物质的运动，必然会有波动性？” 德布罗意说：“没错的，光和电子都有了波动性，那其他物质多多少少都会带光和电，那总体而言就免不了会有波动性。而且这种波动可以用公式就表示出来，适合任何物质。” 反对者说：“这太违背我们的常识了，我不会相信，我们快速开一个宇宙飞船，在太空中穿梭，会出现波形轨迹。” 德布罗意想了想说：“我没有想宇宙飞船的事情，我想的是一个球。” 反对者对德布罗意说：“怎么了？飞船不可以？那你的理论不就是错的？” 德布罗意拿着一个小球，对反对者说：“如果有成千上万个这样的小球堆在一起，那就难免会有波浪一般的涌动，这样的波动。” 反对者说：“是的，水波不就是因为有许多水分子堆积在一起吗？声波是空气震动，不就是大量的气体分子堆积在一起。你说的大量的球堆积在一起，肯定有类似水波那样的波动。但是我说的是一个物体的飞行运动，不会有波动吧！” 德布罗意陷入沉思，这涉及到了是不是多个物质是否堆积在一起，接触发生相互作用力而导致波动。 第四百三十四章 薛定谔方程(量子力学) 在用相对论的质能方程式中研究量子力学中的德布罗意波的东西，遭到的失败。 而直接用牛顿的力学来分析德布罗意波，却成功了。它可以解释氢原子的轨道对应的能量。 薛定谔方程就是由此而来。 它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。 那薛定谔难免会想：“为何在经典力学中，反而才能解释微观的东西呢？” 波尔说：“那还不简单？因为电子运动的还不够快呢。” 薛定谔说：“我们不知道电子运动的有多块，这个我们也没有测量过。” 波尔说：“如果原子内环境特殊，就难免会出现电子不那么快，而无法出现相对论效应了。那么难免的就会用经典力学来解释这个问题了。” 薛定谔心里不那么宽慰，总是如鲠在喉，但无可奈何。 薛定谔继续说：“那我的这个方程，从直观上看来，就是观察波函数随着时间的变化。” 波尔笑着打断说：“这个真的很难看出来，貌似是不怎么变的。” 薛定谔说：“肯定是变化了的。虽然电子有移动随机的运动性，但你说它不受力作用，也不可能。不仅仅可能，还可以精确测量，只是我们人类现有的仪器还没那么精确而已。” 波尔说：“我喜欢你的乐观，你有没有听说过，有些人认为这些东西是不可测的。” 薛定谔说：“那当然，仪器还不精确。” 波尔说：“不，你没听懂，不是仪器的问题。” 薛定谔大声说：“不是仪器，那是什么问题？” 波尔笑了，他想解释自己第一次听到这也的学说的时候，也是这种反应。波尔说：“是亚原子状态的东西，本身不可测，就算有精密仪器也不行。” 薛定谔说：“说这个话的人，不适合搞物理，他应该当诗人才对。” 波尔也说：“谁说不是呢？爱因斯坦也觉得这不可能。怎么还会有不能测的物理学呢？” 薛定谔说：“未来的微观物理学，只会在我这个方程上越走越远，不可能会改头换面。我告诉你，如果电子够快，爱因斯坦的质能方程也能描述微观粒子呢。” 波尔说：“那是肯定，我们不用怀疑这个。” 后来，狄拉克就发现了狄拉克方程，讲相对论和量子力学合二为一。 第四百三十五章 量子生物学(生物学) “最好别碰这个专业，自打薛定谔写了《生命是什么》以来，就想用物理学解释生物学。但这个或许听起来是蹩脚的，或许是时候未到，不要轻易的钻进去。”一个老教授劝解jim al-khalili 。这个老教授觉得这个太扯了。 jim al-khalili理解教授的保守，但坚持道：“咱们都是做物理学的，没有碰过生物，这无可厚非。但我们为什么不去碰生物呢，生物也不来碰物理。如果这两者之间有了关联，而且很重要，但我们都没有跨界交流，那科技的停顿该怪谁。” 老教授说：“先不说现在有没有太多人做，也不说这个行业是否成熟。你拿出个有说服力的东西，让我觉得这是值得的。” jim al-khalili 说：“光合作用的本质，可以考虑考虑把？” 老教授说：“光合作用顶多也只是光电效应而已，这就到尽头了。用不到什么太深的量子力学的东西。” jim al-khalili 说：“在光合作用中，能吸收光子的光敏分子，如叶绿素叫做发色团。发色团吸收特定波长的光子，其中一小部分光子的能量被转化为热量，也就是分子的振动，而大部分则变成了激子，也就是一种类似于粒子的能量包。激子这种能量包要被传导到一个集中处理站，光合反应中心，才能被用于生命活动。可是，发色团聚集成了一个类似于太阳能板的阵列，天线色素，而某个发色团产生的激子要到达光合反应中心，需要穿越其他发色团。” 老教授听到此处，在回忆自己上学时光合作用的原理，也让jim al-khalili说慢点，然后挨个记光合作用的每个过程。 jim al-khalili继续道：“传统生物理论认为，激子在发色团之间的传递像是随机乱传的击鼓传花，从一个发色团传给另一个，直到最后到达光合反应中心。这个过程叫做 f?rster 耦合。可是问题来了，激子要经历成百上千的发色团才能到达目的地，而每转手一次，就会损失一次能量。也就是说，走的冤枉路越多，光合作用的效率就越低。如果光合作用的能量传输过程真的如此，那么它的理论效率就只有50%。但是，光合作用的效率是95%，超过人类已知的其他能量转化效率，而且发生十分迅速，这是传统理论无法解释的矛盾。” 老教授说：“然后呢，是量子隧穿效应在作祟？” jim al-khalili说：“经典的跳跃模型不正确也不充分，它对真实过程的描述是错误的，而且缺失了对光合作用无与伦比的效率的解释。激子的传递过程实际上利用的是量子相干性。激子具有波粒二象性，它类似于一个向四面八方传播的涟漪，可以同时探索池塘内，也就是天线色素中的各种通道，找到到达光合反应中心最有效的一条途径。” 老教授说：“那倒也是，如果把生物学往细处分析，也难免会涉及到常人难以理解的量子效应。” jim al-khalili说：“没错，量子相干性在光合作用的能量传递过程中起到了很大的作用，揭示了能量传输的效率。激子可以同时搜索所有的能量传输通道，找到其中最有效率的那条。” jim al-khalili继续道：“生物的尽头是化学，而量子相干和量子纠缠决定了共价键的形式。” 老教授说：“生物到达一定层面的时候才会涉及到量子力学，一般情况的话，还未到量子力学这个层面，就算是结题了。或许我的想法是错误的了。” 第四百三十六章 玻恩晶格理论(量子力学) 公元1784年，法国矿物学家奥伊提出晶体结构理论。 1921年，玻恩建立了晶体的晶格理论； 在晶体中，原子都是呈周期性排列，周期排列形成的点阵就是晶格，每个晶格的位置都是原子的平衡位置，所有的原子都在平衡位置做微小的振动。 在经典分析力学中，微振动采用简谐近似的方法来求解，可以对应到晶格振动的求解中，再将其量子化就是晶格振动的理论。 在求解过程中会采用微振动的简谐近似、波恩-卡门近似等近似条件以方便求解，这些近似的正确性是由最终结论和实验结果相一致所决定的。 本文对晶格振动的基本理论进行系统整理，并由一维原子链为例说明代表晶格振动的准粒子——声子的基本性质，并推广到三维。 “因为每个原子能力是有个固定量的，那么晶体总体也会有个量子化的量。” “由于很多原子振动的相同，相位相同的话，就可以得到，特定频率很强的光。” 第四百三十七章 约当矩阵力学(量子力学) 约当在思考并非每一个矩阵都可以相似于对角形矩阵，当矩阵不能和对角形矩阵相似的时候，如何找到构造比较简单的分块矩阵和它相似呢？ 在复数域内考虑这个问题，还确实存在，这就是约当矩阵。 约当、海森堡和维格纳开始研究关于量子力学的计算问题。 维格纳说：“量子力学主要就是计算动量和粒子的位置，但是这些东西都是三维的，所以要一并计算才可以。” 海森堡说：“没错，要用矩阵来计算。” 约当说：“用矩阵计算就要考虑非对易了，也就是ab不等于ba，而且xp-px的差值等于ih，不等于零。” 这是经典力学方程算符化的基础。 维格纳说：“没错要想想这意味着什么。” 海森堡说：“意味着x和p是不对易的，所以满足不确定性原理。” 维格纳说：“你的意思是对易的，就不满足不确定原理了？力学中对易就是确定性的，不对易就是不确定的，那么不确定性的原因是因为不对易？这样的数学基础不会有什么问题吧。” 约当说：“而且我从其中注意道，a·b=(ab+ba)\/2这样的公式，a和b只有对称性，不存在对异性的问题。” 维格纳说：“你说的对称是什么意思，是表示不确定性是控制在某个范围内的？” 约当还导出了费米子的反对易关系式。 约当对量子力学的贡献未得到应有的肯定。 因为由于在应用量子力学求解物理问题的时候，通常都是一些简单的问题，或者为了简化起见做了单电子近似，例如单电子的薛定谔方程、固体的能带理论、第一性原理计算等，通常求解的是标量的薛定谔方程，不涉及算符的对易性问题，薛定谔方程不需要同时求解不对易的算符。 一些可以求解的多体问题也需要满足对易性条件，不需要应用约当代数。 不知不觉，约当代数被边缘化了。 许多人忘记了约当代数的存在和意义。 而三维伊辛模型精确解的研究重新发现了约当代数和约当-冯·诺依曼-维格纳机制的价值。 在三维多体体系的精确求解过程中必须要应用约当代数和约当-冯·诺依曼-维格纳机制来解决算符的不对易问题。 我在三维伊辛模型两个猜想的论文中提出的四元数本证函数的数学结构正好与约当-冯·诺依曼-维格纳机制相通，与量子力学的数学基础相吻合。 第四百三十八章 海森堡发现同位旋(量子力学) 海森堡看到质子的质量为1. x 10^-27千克，中子的质量为1. x10^-27千克，觉得两者的质量太接近了。 海森堡想，中子比质子重了那么一点点，重的多出了什么？他给两者做了差值后，还是没有看出什么来，心中疑惑。 继续想，又有人提出人们还发现2个质子、1个质子1个中子、2个中子之间的强相互作用几乎是相同的。 海森堡想：“不考虑电磁作用，在强相互作用的眼里，质子和中子完全是相同的。” “难道中子和质子是同一种东西？” 海森堡就来了提出了一个大胆的想法：他认为质子和中子压根就是同一种粒子-核子的两种不同的状态，它们共同组成了一个同位旋二重态。 在抽象的同位旋空间里，质子可以“旋转”成为中子，中子也可以“旋转”成为质子，因为质子和中子在强相互作用下是一样的，所以，我们就可以说：强相互作用具有同位旋空间下的旋转不变性。 但这种旋转，跟普通意义上的旋转不同，是一种量子化的概念。 核子内部抽象出来的同位旋空间，因此这种对称性又叫内部对称性，而之前我们谈的各种跟时空有关的对称性就叫外部对称性。内部对称性咋一看好像不那么真实，但其实它跟外部对称是一样真实自然的，它们一样对应着守恒定律，强相互作用下同位旋空间里的这种旋转不变性就对应同位旋守恒。 海森堡继续想：“如果让其中的旋转方式改变，那元素就会发生改变。原子的内部的结构完全是同一个物质构成，只不过是因为同位旋的不同而导致的质子和中子的区别。” 第四百三十九章 海森堡量子矩阵(量子力学) 1925年波恩和约当协助海森堡建立了矩阵力学； 索末菲教授带着他的两个得意门生：亲如兄弟的海森堡和泡利，从慕尼黑赶到哥廷根来听玻尔演讲。海森堡在这里第一次遇到了玻尔。一次，他在玻尔结束演讲后提了一个颇为尖锐的问题，引起了玻尔对这个年轻人的注意，当天便邀他一块儿去郊外散步。 海森堡正在折腾玻尔和索末菲的原子模型时，到北海的赫尔格兰岛，休养一段时间。那个远离喧哗的小地方，倒是激发了海森堡非凡的科学灵感，他构想出了他对量子力学的最大突破——后来被称作“矩阵力学”的理论。 海森堡认为，原子模型中电子的轨道（包括位置x(t)、动量p(t)等）是不可测量的量，而电子辐射形成的光谱（包括频率和强度）则是宏观可测的。是否可以从光谱得到的频率和强度这些可测量，倒推回去得到电子位置x(t)及动量p(t)的信息呢？也就是说，是否可以将轨道概念与光谱对应起来？ 这儿就产生了一点问题。 首先，在轨道概念中，电子绕核作圆周运动，玻尔认为有多种可能的轨道，例如图1左图中的（1n、2n、3n……）。那么，没问题，可以将位置x(t)及动量p(t)表示成这些轨道的线性叠加，或者说，将它们作傅立叶变换。 第二步，我们再来考察右图中宏观可以测量的光谱频率和强度。光谱产生的原因是原子中电子在两个能级之间的跃迁，能级差决定了光谱的频率，跃迁的概率决定了谱线的强度。因此，频率和强度是由两个能级（n和m）决定的。每两个任意能级间都有可能产生跃迁，因此，n和m是两个独立的变量。 如何将轨道中的量（例如x(t)）用n和m两个独立变量表示出来呢？这第三步难倒了海森堡：x(t)是一个变量n的函数，却要用两个变量n和m表示！海森堡也顾不了花粉热的纠缠，没日没夜地思考这个问题。 终于在一个夜晚，海森堡脑海中灵光一闪，想通了这个问题。有什么不好表示的？把它们两者之间的关系画成一个“表格”呀！海森堡大概规定了一下用这种表格进行计算的几条“原则”，然后，剩下就是一些繁杂的运算了。后来，海森堡在回忆这段心路历程时写道： 大约在晚上三点钟，计算的最终结果摆在我面前。起初我被深深震撼。我非常激动，无法入睡，所以我离开了屋子，等待在岩石顶上的日出。 计算结果非常好地解释了光谱实验结果（光谱线的强度和谱线分布），使得电子运动学与发射辐射特征之间具有了关联。但海森堡仍然希望对玻尔模型的轨道有个说法。 海森堡想，玻尔模型基于电子的不同轨道，但是，谁看过电子的轨道呢？也许轨道根本不存在，存在的只是对应于电子各种能量值的状态。对，没有轨道，只有量子态！量子态之间的跃迁，可以精确地描述实验观察到的光谱，还要轨道干什么？如果你一定要知道电子的位置x(t)及动量p(t)，对不起，我只能对你说：它们是一些表格，无穷多个方格子组成的表格。 第四百四十章 海森堡不确定性(量子力学) 海森堡的矩阵则枯燥而且缺乏直观图景，不怎么受待见。 因此，薛定谔方程名噪一时，大家几乎忘掉了海森堡的矩阵。 天才终归是天才，不久后（1927年），海森堡便抛出了一个“不确定性原理”，震惊物理界。 如前所述，海森堡将原子中电子的位置x(t)及动量p(t)用“表格”，也就是矩阵来描述，但矩阵的乘法不同于一般两个“数”的乘法。具体来说，就是不对易：x(t)xp(t)不等于 p(t)xx(t)，或者简单地写成：xp ≠ px。这种不相等的特性可以用它们的差表示出来，叫做对易关系：[x，p]=xp-px=i?。 从对易关系再进一步，可以写成不等式的形式：ΔpΔx≥?\/2。这被称为不确定性原理。 根据海森堡的不确定性原理，对于一个微观粒子，不可能同时精确地测量出其位置和动量。将一个值测量越精确，另一个的测量就会越粗略。如图2a所示，如果位置被测量的精确度是Δx，动量被测量的精确度是Δp的话，两个精确度之乘积将不会小于?\/2，即：ΔpΔx≥?\/2，这里的?是约化普朗克常数（h\/2π）。 精确度是什么意思？精确度越小，表明测量越精确。如果Δx等于0，说明位置测量是百分之百地准确。但是因为不确定原理，Δp就会变成无穷大，也就是说，测定的动量将在无穷大范围内变化，亦即完全不能被确定。 海森堡讨厌波动力学，但也想要给自己的理论配上一幅直观的图象，他用了一个直观的例子来解释不确定性原理，以回应薛定谔的波动力学。 如何测量粒子的位置？我们需要一定的实验手段，比如说，可以借助于光波。如果要想准确地测量粒子的位置，必须使用波长更短、频率更高的光波。使用波长比较长的光波，几乎探测不到粒子的存在，只有光波的波长可以与粒子的大小相比较的时候，才能进行测量。光的波长越短，便可以将粒子的位置测量得越准确。 于是，海森堡认为，要想精确测量粒子的位置，必须提高光的频率，也就是增加光子的能量，这个能量将作用在被测量的粒子上，使其动量发生了一个巨大的改变，因而不可能同时准确地测量粒子的动量。 如上所述的当时海森堡对不确定原理的解释，是基于测量的准确度，似乎是因为测量干预了系统而造成两者不能同时被精确测量。后来，大多数的物理学家对此持有不同的看法，认为不确定性原理是类波系统的内秉性质，微观粒子的不确定原理，是由其波粒二象性决定的，与测量具体过程无关。 事实上，从现代数学的观念，位置与动量之间存在不确定原理，是因为它们是一对共轭对偶变量，在位置空间和动量空间，动量与位置分别是彼此的傅立叶变换。因此，除了位置和动量之外，不确定关系也存在于其他成对的共轭对偶变量之间。比如说，能量和时间、角动量和角度之间，都存在类似的关系。 第四百四十一章 波函数几率波(量子力学) 薛定谔发现波函数之后，很对人都说波函数到底是什么？ “一个具备波粒二象性的东西。” “德布罗意提出微观粒子都有这种特性，电子也不例外。” “薛定谔对德布罗意方程能量用时间求二阶导，动量用位置求二阶导，得到薛定谔方程。” “但这个东西，更难给大家一种这是什么的感觉。” 波恩觉得有必要给大家解释波函数。 “波函数按理说该是电子的轨道，但是却由于波粒二象性的干扰，无法说明这一切。” “同时电子运动的像个球、游泳圈一般的形状，更难以一时半会儿的说明。” 再加之海森堡提出不可测原理，不能同时得知动量和位置，就更加扑朔迷离。 波恩心想：“总该有个含义吧，不说是什么，后者学习是问这个波函数是什么，打不出来多尴尬。” 最后波恩找到了一个说得通的含义，就是电子在某个位置出现的几率，但这是用波函数的平方表示的，如果是波函数本身，就不说明这个，就叫波函数，是带波形的出现而已。 波函数的平方的出现，才会表示电子以粒子出现的几率。 1926年他给出了波函数的几率幅诠释。 第四百四十二章 康普顿散射(量子力学) 光到底去哪里了？ 康普顿开始很久，也想出了很多笼统的答案，但是如果想到细节深处，就发现这个问题大有文章。 照射倒物体上的光去了哪里？一部分被反射了，一部分被吸收了。 这种吸收属于光电效应等内容。 而反射的话，问题就没有那么简单了。 1923年。康普顿将0.71埃的x光投射到石墨上，然后在不同的角度测量被石墨分子散射的x光强度。当φ=0时，只有等于入射频率的单一频率光。当φ≠0（如45°、90°、135°）时，发现存在两种频率的散射光。一种频率与入射光相同，另一种则频率比入射光低。后者随角度增加偏离增大。 康普顿觉得有趣，因为如果波长发生变化，那能量就发生了变化，当然动量也就发生的变化。而对于球的碰撞，动量在不同的角度也会变化。那反倒说明光是个粒子。 从量子论的观点看，可以假设：任一特殊的x射线量子不是被辐射器中所有电子散射，而是把它的全部能量耗于某个特殊的电子，这电子转过来又将射线向某一特殊的方向散射，这个方向与入射束成某个角度。 辐射量子路径的弯折引起动量发生变化。 结果，散射电子以等于x射线动量变化的动量反冲。 散射射线的能量等于入射射线的能量减去散射电子反冲的动能。 由于散射射线应是一完整的量子，其频率也将和能量同比例地减小。 因此，根据量子理论，我们可以期待散射射线的波长比入射射线大，而散射辐射的强度在原始x射线的前进方向要比反方向大，正如实验测得的那样。 第四百四十三章 维格纳简并态(量子力学) 量子力学太难计算了，里面参数太多。 氢原子中的电子有：主量子数n、角量子数l、磁量子数m、自旋量子数s、自旋磁量子数ms（s是下标），拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。 维格纳认为，这让量子力学的计算变得极端复杂。 所以需要有一种简化，维格纳深深的感觉到，会出现运动状态不同，但能力相同的量子状态。 这种状态就只需要考虑能量，就会变得很简单。 很多物理现象的计算，就只需要考虑能量而已。 那么计算的时候，只需要得到绝大多数粒子的能量大小即可。 这种能量相同，运动状态不同的，就是简并态。 在统计物理学中，宏观上由压强、体积、温度确定的同一宏观热力学状态，在微观上可以对应大量不同的微观状态，该热力学状态是这些微观状态的简并态。 简并在量子力学和统计物理中的意义不同，在统计物理中，简并是指量子效应明显的体系。 含有简并电子基态的非直线型分子都会产生姜-泰勒效应，而发生构型扭曲，例如六水合铜离子[cu(oh2)6]2+的表象平面正方结构。这些都是简并的具体例子。 相关工作始于1922年，发表于1925年.维格纳发现简并态的存在同量子系统对称性的不可约表示有关，他是将群论应用于量子力学的重要推动者。 第四百四十四章 维格纳能量展宽(量子力学) 维格纳在其博士论文中首次提到分子激发态有能量展宽，它同平均寿命通过关系式 一个射线经过某些物质所沉积的能量在后验上是确定的，但由于电离过程的涨落，在探测器中产生的载流子在先验上是不确定的，所以对于相同的能量沉积，不同的探测器所测量得到的结果是不同的。电离过程的涨落指的就是电离过程产生的载流子数目的涨落，其涨落符合法诺分布。 在实际中可以使用高斯分布来描述载流子数目的涨落，高斯分布的期望为沉积能量与探测器的平均电离能的商，即产生载流子数目的期望；标准差为探测器的标准差分辨率，需要实际测量得到。 根据测量得到的探测器标准差分辨率对模拟得到的结果进行高斯展宽即为能谱展宽。 对于相同的能量沉积，如果进行多次测量会得到不同的测量结果，而计算机模拟得到的能量沉积结果是实际测量结果的期望值，因此高斯展宽所采用的高斯分布是以模拟结果为期望，探测器标准差分辨率为标准差的高斯分布。 以1.332mev的gamma射线入射到探测器中产生的全能峰为例，可以看出，除了一小部分没有完全在探测器中沉积能量的事例，绝大部分事例严格等于1.332mev，形成了一个几乎没有宽度的全能峰。 加入能谱展宽的结果，可以看出，虽然依然有明显的全能峰，但与加入能谱展宽前相比，全能峰变矮以及变宽了。事实上，上图才是一般的探测器所探测到的真实能谱。 第四百四十五章 泡利不相容原理或三量子纠缠(量子力学) 1924年，泡利推断电子还存在一个二值的自由度，并提出了“不相容原理”。 泡利矩阵是描写自旋角动量的数学工具，它是狄拉克相对量子力学中的狄拉克矩阵的前驱。 粒子自旋同不同量子统计之间的对应也是泡利证明的。 1930年，泡利预言了中微子的存在。 泡利不相容仅仅使用过，但没有深刻的解释。 同一轨道不能有相同状态的费米子，而是有相反状态的费米子。而这肯定是跟形状有关，甚至要用更加复杂的方式去解释。有一种反应是中子与电子碰撞，生成质子和中微子。中微子不在夸克这些标准模型里。是不是可以假设，一切物质都是中微子组成？电子、夸克都是中微子形成了一种特定的复杂而稳定的对称状态。中微子震荡，也是因为中微子也被一个更加复杂的多粒子群组成，这些粒子群集群的变化，让中微子呈现了三种不同的状态。 这需要使用计算机来模拟多粒子集群，仅仅在引力，或者是遥控力下的集群变化。一旦中微子是基本粒子是成立的，那中微子形成电子的形状会有一种集群上的特殊性。各个在一起连接的相反状态的费米子，在集群形状上，就有一种特殊的依赖性。 比如一个轨道上的两个相反状态的电子，会有特殊的连接形状。 泡利灵魂未死，出窍永生，考虑2015年黑洞的二粒子标准涟漪。 在2015年发现双黑洞合并，是因为探测器测到涟漪。两个标准粒子相互旋转就会有一个特定的涟漪。测出一个粒子有双臂涟漪，说明这是一个标准的双粒子。三个粒子也会有其他涟漪。总之不同粒子数，就对应不同涟漪悬臂。而一个涟漪是一个轨道吗？ 因为亚原子层面上涟漪几乎可以成为一个圆圈，或者是一个轨道结构。而量子力学中氢原子有十三个轨道，说明是十三个涟漪，说明是十三个粒子的一个复合系统运动。所以氢原子核中有十三个粒子，跟之前的质子结构不完全一样，跟夸克结构也不一样。当然了大粒子的涟漪宽度很粗，小粒子的涟漪宽度很细。所以可以根据涟漪的粗细能够判断中心粒子的大小。而且对应涟漪留下的轨道能量宽度不同，可以判断氢原子核是由大小不一的粒子运动得到。氢原子轨道是由十三个不同粒子复合运动组成的原子核。也许是错误的，也许是多个粒子的复合结构。 一个电子若不能看做说一个单位电子的话，可能是一个力学系统，可以是一堆颗粒，电子由中微子组成，多个中微子的相互作用形成了一个稳定的电磁力。 假如是五十个全同粒子形成氢原子核，但有的运动复合在一起了。形成了表面上看起来的十三个轨道合在一起各种轨道。在宏观中也能看到类似模型，比如太阳系有小行星带和柯伊伯带这样的结构，或许是太阳和木星的相互运动导致的。宏观天体运动与微观粒子运动是完全一致的。本来天体中引力的传播说是非量子性的，但是我们可以根据其中相似的一点把这两者关联起来。因为他们都是受力导致运动状态变成这样的。 2022年物理诺贝尔奖，有三个费米子的互斥效应。 那么泡利不相容就可以解释成，双量子纠缠形态了，而三个费米子的互斥，只不过三量子纠缠态的情况而已？ 量子力学中很多问题完全可以用理想化的只有引力的天体问题来研究。可以拿特定大小的天体来研究，比如质量相等，或者质量相差过大，或者质量相差某种比例倍数关系。先找这么一个模型，是一种三体，这个三体如果是混沌，就是非标准状态，也就是非量子化状态。所以标准化的状态就是三体有16个特解这个样子。这就是三体的量子化状态。除非受外力扰动，平衡被破坏，也就发射衰变。否则，就会一直平稳的运动下去。宏观和围观不同的是，宏观只有引力，而围观有强力、弱力、电磁力。所以尺寸效果上会有区别，但是只要能够在尺寸上对应好，还是可以相关联的。近下来，就只需要在宏观天体力学中，来寻找稳定的解，以此来推敲围观量子状态了。或者反其道而行也可以。而且在此期间，天体力学中的引力也可以看做是一个理想的流体，引力波也是一种震动，是否这两者之间是否可以联系起来。 如何能把不相容原理解释成纠缠态，可以把流体表面震动与量子力学联系起来。 一个水箱，在特点频率的震动下，水表面会有特定波纹震动。或者在一个板子上撒盐，然后让板子震动，盐会在震动下分不出一种美丽的花纹的形状。在改变震动频率后，会变成另外一种花纹的形状。想到了这跟量子力学中电子受光子激发跃迁到高轨道，因为电子在受激发以前有一种对称的温度的形状，而受光子照射后，就是电子频率发生了改变，跃迁到高能量的轨道，成为另外一种形状了。其中水或板子的震动，跟光子一一对应。而电子和水或盐也是一一对应。这种震动下出现的平衡是稳定的，而且是特定的。唯一有区别的是，光子是单个的，而水和盐是个整体，形成了二维周期的稳定形状。水和盐形成的这种形状可以用模形式来表示吗？可以用圆环上截取的面来表示吗？ 第四百四十六章 费米子(量子力学) 常温下，对热容产生贡献的电子比传导电子要少100倍以上。此外，在常温下给金属施加一强电场，将造成场致电子发射（field electron emission）现象，从而产生电流流经金属。 研究发现，这个电流与温度几乎无关。当时的理论难以解释这个现象。 当时，由于人们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如金属电子理论等方面遇到的困难，无法得到令人满意的解答。 他们认为，金属中所有电子都是等效的。 也就是说，金属中的每个电子都以相同的程度对金属的热量做出贡献（这个量是波尔兹曼常数的一次项）。上述问题一直困扰着科学家。 1925年，费米提出了满足泡利不相容原理的粒子的统计规律，即费米-狄拉克统计。自旋为半整数的粒子被称为费米子，满足费米-狄拉克统计。 费米此刻意识到，计算大量微粒的时候，不能再用古老的统计学的。 古老的统计学只适合，一个单纯的没有任何作用的球体，符合二项式的分布。 而物理学中的粒子，那不仅仅有相互作用，而且还会出现泡利不相容现象，就是两个电子在同一个轨道中，必须是两个不同的状态才行，所以对于电子的统计学，必须要把泡利不相容原理给考虑进去。 不久后，狄拉克也发现了这样的公式。 但是在数学上，这些模型都很难计算，因为情况多，太过复杂。 所以一般只能使用近似后的计算。使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。 在1925年pascual jordan对这项统计规律进行了研究，他称之为“泡利统计”。不过他并未及时地发表他的研究成果。 1926年，恩里科·费米、保罗·狄拉克各自独立地在发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。狄拉克称此项研究是费米完成的，他称之为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。 1926年，拉尔夫·福勒在描述恒星向白矮星的转变过程中，首次应用了费米–狄拉克统计的原理。 1927年，阿诺·索末菲将费米–狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。 1928年，福勒和l·w·诺德汉（lothar wolfgang nordheim）在场致电子发射的研究中，也采用了这一统计规律。直至今日，费米–狄拉克统计仍然是物理学的一个重要部分。 第四百四十七章 费米测出共振子(量子力学) 20世纪50年代，费米发现π介子能量较低时，π介子与核子的碰撞截面随着能量的提高而增大。 之后袁家骝和灵顿鲍开始逐步提高能量，发现上升到一个峰值之后又下降了。 袁家骝说：“我觉得不仅仅是这个，就是其他实验也有这种情况。” 灵顿鲍说：“所以，我们为什么要研究这个，看到他们反应的半中央有个状态？” 袁家骝说：“半中央这个状态，其实就是一个粒子，只不过是寿命有点短而已。” 灵顿鲍说：“所以说，我们刚刚那个碰撞是创造了一个新粒子，但是它寿命太短，所以很快就衰变掉了对吧。而有的情况，也许那样一碰就会很长时间之后才衰变，所以时间很长了。那那些时间很短的粒子，就叫短命子了。但是，我们难以观测他们的寿命了。” 费米说：“有一个办法，就是让粒子在云雾室里运动挂测其轨迹。即使他出现时间很短，但由于速度很快，所以还是能留下他那短暂的踪迹，根据踪迹的长度除以它的速度，就可以算出它出现的时间，也就是寿命。” 共振子时间极短，但种类繁多。或许多到了我们没法想象的程度。我们需要想办法去收集。想想如何延长共振子的寿命。让共振子变多是否会成为一个共振子寿命变长的一种等价。让共振子延长寿命可以方便研究。而共振子寿命在正确的机制下也许可以让组成共振子的微粒合理的运动达到稳定。这里需要用特定频率的光来照射以此来改变共振子寿命。 第四百四十八章 古德斯密特的自旋(量子力学) 塞曼效应，是在磁场下，原子光谱出现分裂和偏振现象。 反常塞曼效应，是在很弱的磁场下，原子光谱还会有微小的分裂现象。 1926年，古德斯密特提出了电子自旋的概念，以此来解释反常塞曼效应，电子自旋，就是电子像个陀螺一样可以自我旋转。 乌伦贝克怀疑道：“反常塞曼效应，可以用多种理论解释，你为何独独旋转了要把电子当做自转的陀螺呢？” 古德斯密特说：“我受到泡利的启发，他认为不相容，就表示一个轨道不能出现两个状态相同的电子，那么这个状态的不同，也就是两种了，而电子的形状是圆的，所以只能认为是它可以做自转，电子为何不能自转呢？” 乌伦贝克说：“那就更加奇怪了，为什么只有两种自转呢？” 古德斯密特也觉得难以说清，叹气说：“因为反常的光谱只出现了两种，所以要有多种，那光谱就极其复杂了。” 乌伦贝克说：“你的意思是，要让电子有两个固定的相反在状态，来解释不相容和反常塞曼原理吗？” 古德斯密特说：“没错，只有这两天，也是一种量子化特征，因为它不是无数种。” “而且，电子自转可以产生磁场，有磁场的力量，当然汇总塞曼效应下反常了。” 乌伦贝克说：“听起来像是这样的道理，只不过电子的自转方式，让人难以接受。” 1926年，他们用电子自旋的概念解释塞曼效应和氢原子光谱的精细结构。自旋是描述原子中电子状态的第四个量子数。 两个人写了文章发出去，被洛伦兹看到了，洛伦兹自己计算了电子的转速，发现电子表面超光速。因为超光速违反相对论的根基，所以两个人慌了。 两个人感觉找老师艾伦费斯，要求撤掉文章，老师笑说：“年轻人犯点错误，不算啥大事儿。” 爱因斯坦看到之后，很喜欢电子旋转的力量，而且还安慰两个人说：“存粹是量子概念，不能用经典物理学的旋转去解释，所以也不存在超光速的问题。” 第四百四十九章 p进数(数论) 库尔特·亨泽尔说：“我用p进数，将幂级数思想引入数论中如何？” 路人甲说：“不仅仅如此，可以更加广泛的来使用。” 亨泽尔说：“如何使用？” 路人甲说：“p是一个质数，p进数进行扩展。这种数域不同于实数和复数域。这个数域是有理数的一种扩展。” 亨泽尔说：“意思是，可以有helmut hasse局部全体原则，大一是特定方程组在有理数上有解当且仅当它们在实数上和所有质数p的p进数上有解。这个域也是拓扑度量空间，这个度量是完备的，符合柯西收敛。” 路人甲说：“不仅仅可以用正整数，负整数和分数不为p正整次幂也可以用p进数记录。比如七分之一等于0.等等这样的数字。可以从中选取p进数。” 亨泽尔说：“这个或许可以在数论中破解费马大定理，可以用量子物理的弦论，可以用信息编码，可以用动力系统理论。” 第四百五十章 杜勃维茨基－米柳金切锥(流形) 一种有关实线性空间中的集合的特殊的锥.它定义为实线性空间的集合中的一点上的切方向的全体.有限维空间中的光滑曲线、曲面以至更一般的光滑流形中的一点处的切方向的全体是可以通过微分法明确定义的. 杜勃维茨基说：“我们现在需要研究关于不同坐标之间的仿射变化，也就是坐标之间会乘以矩阵来互相变化。然后需要找到一种变化的方法，还有一种形状，让这个形状上的每个点上的向量都一一对应。” 米柳金说：“那只能是找凸集，一种没有凹面的形状。凸集合上每个点都有切线，这个切线就是向量形成的一个锥形。是一种切锥。” 杜波维茨基说：“有理，毕竟凸面物上的切线没办法好好研究。” 米柳金和杜波维茨基都开始各自研究各种情况的切锥。 再次之前有一种切锥，是相依锥.这种锥是布里冈(bouligand，g.l.)在20世纪30年代为研究几何问题而提出的，后来在非线性规划研究中又被重新提出，目前在非线性规划的文献中所说的切锥通常就指这种锥。这是一个闭锥。 而米柳金和杜波维茨基提出的是邻接锥，亦称中间锥、可导锥、杜勃维茨基-米柳金锥、尤尔塞斯科锥。 后来一个叫克拉克的数学家提出了克拉克切锥。亦称围邻锥.它是克拉克(rke，f.h.)在研究局部李普希茨函数的广义梯度理论时提出的。 这几种锥依次一个比一个小.但当k是凸集时，它们都与原来定义的切锥重合. 这些切锥也可以用序列极限来 对q，r，s取各种不同的值及不同的次序，由此可定义出几十种切锥.其中最大的是t???(k，x)，它称为共依锥，也是布里冈在30年代引进的;最小的是t???(k，x)，它称为超切锥，这是个开凸锥，当它非空时，恰好是ck(x)的内部;t·??(k，x)有时也有应用，它称为内部锥，也称杜勃维茨基-米柳金锥。 正如在经典分析中，导数概念和切方向的概念是紧密联系在一起的，在非光滑分析中，各种广义导数概念就可通过各种切锥来定义.此外，还有若干种切锥的概念不能包括在上述一般定义中. 第四百五十一章 蝴蝶效应(混沌学) 爱德华·诺顿·洛伦茨做梦，研究害人的龙卷风从何而来，他在梦中练就了时光倒推术，可以通过时间倒推来研究任何东西变化的根源。 他喊了一声：“变。” 世界的一切都变得倒着来，龙卷风也开始倒着转。 他喊了一声：“快！” 时间倒流速度加快，他开始最终龙卷风的来源。 只见龙卷风跨越很长的距离，也变得越来越小，最后变成普通的风，而这个普通的风也越来越小，最后只来源于草丛中一个蝴蝶煽出的风。 他惊呆了，这样的过程重复了几次，发现都是同样的结果，一个蝴蝶煽出了龙卷风。 洛伦兹对蝴蝶说：“你创造了一场灾难，你知道吗？” 蝴蝶说：“我哪里知道，我只不过是一个在草丛中偏偏起舞的飞碟而已。在这个世界上，有很多一样想要运动的东西，你能保准哪一个会引发重大灾难？” 洛伦茨醒了，认为天气的变化有一定的复杂性。 这个复杂性颠覆了经典物理学中每个物质可测的想法。 本来，洛伦茨认为天气变化具备预测性，自己模拟了个地球大气，让地球大气自己运转，看看能不能对应实际生活中的大气，已达到预测天气的效果。 计算机计算出天气的变化性之后，洛伦茨就可以把模拟出来的天气情况做一个有周期的表，这样地球上的天气也有这样的周期性，我就可以预测的。 “只是希望这个时间不会太久，一万天的周期规律变化还是可以接受的。” 想想心里也挺美的，自己成为一个真正可以准确预测天气的人。 做完之后，模拟的是地球上没有海洋的，爱德华认为需要加一个跟地球上海洋一样的东西。 做完之后，模拟的是没有太阳的，加上太阳。 做完之后，模拟是没有公转和自转的，加上公转和自转的这种效应。 做完之后，模拟是没有具体地貌的，加了接近地球的地貌，还把地球的椭球性加进去。 模拟之后，洛伦茨看到没有周期性，十分不规律，达不到自己想要的。 洛伦茨在想，那势必是有哪个因素影响了，他逐个去除地貌、公转自转、太阳和海洋。 看看单单一个圆球上挂大风，会出现什么。 模拟的结果中，一开始是一个有规律的变化，但是时间越久，越是一种规律的像是无数的饼子压扁而折叠的循环而已。 洛伦茨看不到这个气候会跟现在的地球有什么相似的地方。 洛伦茨试图加了一丁点海水，模拟的上亿年的时间，发现乱七八糟，一点周期性也没有。 洛伦茨做了多个模拟，发现只有加一丁点的，哪怕是蝴蝶大小的东西，就比起什么都不加的样子要混乱很多，而且所用时间不长。 如果加入蝴蝶大小的东西，那么几天后在某一个地方居然出现了飓风。 洛伦茨心里极为惊讶，才知道蝴蝶可以引发一场飓风，这太惊人了。 所以系统性的东西的运动状态，由于相互影响的缘故，导致会有极其大的变化。 这种变化就称之为混沌效应。 混沌有随机性、有敏感性、分维的自相似结构。 这是一种非线性系统。 有很多模型可以描述，比如：双摆、三体运动、气象、心律紊乱，云彩分布等等。 后来为了让混沌描述准确，就实用电路方法来理解混沌中的模型。 洛伦兹在想：混沌态构造无理数混沌不可测，根据结构和初使状态，产生无理数，这个无理数确定，可以预测。精确度问题不可能，但跟混沌数相关。稳定混沌系统，可以预测，比如三体。稳定混沌状态，从任何一刻开始向下的运动都可与混沌数联系，以此可以做出预测。混沌分类，简单分类，复杂分类。 他毫无思路，只知道当下任何随机数都有周期性。这些周期性也能用傅立叶分析出对应三角函数提炼出来。想要让这些随机数分布没有周期性，只能让他们试图变得无法傅立叶级数可分离才行。混沌学可以产生随机数，因为混沌绝对没有周期。 只有在达到很多的量时，才有一种统计学的稳定的某个状态。像图灵发现的牛斑。这就是细胞数量过多的结构。很多结构过多是，都会有一种稳定态。大量偶然行为，到达一定数量是形成必然。这是统计学，所以统计学是链接偶然与宏观混沌现象的一个桥梁。 第四百五十二章 玻尔－诺伊格鲍尔概周期函数(函数论) 玻尔-诺伊格鲍尔理论阐明常系数线性微分方程有界解为概周期解的重要理论.玻尔(bohr，h.)最早指出：概周期函数f(t)的积分是概周期函数的充分必要条件是，f(t)对一切t∈r为有界.这就解决了最简单的一阶概周期微分方程dx\/dt=f(t)是否存在概周期解的问题.以此为基础，对于一阶线性常系数概周期方程以及一般n维非齐次线性常系数概周期微分方程dx\/dt=ax+f(t)。 其中a为nxn常量矩阵，f(t)为概周期n维向量函数，论证它们的有界解即概周期解的理论，称为玻尔-诺伊格鲍尔理论. 哈那德·波尔说：“你为什么想要编撰古代精密科学的研究？是不想研究现代的吗？” 诺伊格鲍尔对波尔说：“正相反，我致力于做古代科学研究，正是因为现在的科学就是从古代而来，看过古代科学之后，可以温故而知新，更加熟练的了解现在的科学。” 波尔说：“那你还会研究现在的科学吗？” 诺伊格鲍尔说：“是的，其实我知道这些东西增加了我对文献学的理解。” 波尔说：“哪些是实用的？” 诺伊格鲍尔说：“我们需要把没用的文献，一脚踢开。大量没用的，占用时间的，或者是重复的文献是在占用时间，连一个字都不能多留下。” 波尔说：“然后只读一些新的，最新鲜的，这样可以保证让自己一直快速有效的得到新知识。” 诺伊格鲍尔说：“没错，这也是读文献的真正目的。随着文献的增加，我们肯定需要更多的知识充实自己，然后让自己做出更多有效的贡献。” 随后两个人的交谈转向了数学问题。 波尔说：“前一段时间考虑的系数线性微分方程有界解为概周期解的问题，考虑过了吗？” 概周期函数又称殆周期函数，周期函数的一种推广，具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和序列的极限却未必是周期函数。但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。 不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。 诺伊格鲍尔说：“如果定义域有界，那就可以成为概周期。” 哈那德·波尔本人是波尔的弟弟，他的哥哥是个着名的量子物理学家。而他不逊色自己的哥哥。 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的，且一致连续。 如果f 是概周期函数，那么对于任意实数a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、|f(x)|也是概周期函数。 如果 f 和g 都是概周期函数，那么f+g、f-g和都是概周期函数。 如果f(x)是概周期函数，h是f 的值域到r上的一致连续函数，则 h(f(x))也是概周期函数。 如果概周期函数的序列在实轴上一致收敛于函数f(x)，则f(x)也是概周期函数。 如果f(x)是概周期函数，则f''(x)为概周期函数的充分必要条件是f(x)的导函数f''(x)一致连续。 如果f(x)是概周期函数，则f(x)为概周期函数的充要条件为f(x)有界。 第四百五十三章 柯尼希定理(图论) 柯尼希定理由 xdénes k?nig 于1931年提出的图论领域的定理，用于说明在二分图中最小点覆盖的点数于最大匹配数的相等性。此外jen? egerváry在同年同样独立地将其提出，并拓展到了有权图的范围。 柯尼希知道的图论的重要性，开始研究图论，从最简单的二分图入手。 柯尼希说：“二分图是一种可以把点集分成两部分，每一部分不能有线相连，只能让这两个部分有线相连。” xdénes k?nig说：“如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。” 柯尼希说：“最小点覆盖的点数等于最大匹配数。” xdénes k?nig为了验证柯尼希的说法，开始自己画图连线。 我们称下图中的下部分点集合为l，上部分的点集合为r。从左至右给下部分的每个点标号为1，…，7；并给上部分的点标号为8，…，14。令u为l中未匹配的点的集合，u={1}。从u出发的增广路径为1-10-3-13-7， 1-10-3-11-5-13-7， 1-11-5-13-7， 1-11-5-10-3-13-7及它们的子路径，那么构造性证明中的集合z为{1，3，5，7，10，11，13}，可以得到l\\z={2，4，6}，rnz={10，11，13}，所以最小覆盖k={2，4，6，10，11，13}。 第四百五十四章 天体物理钱德拉塞卡极限(天体物理) 最近兴起一阵恒星的研究热。天文学家纷纷开始组建恒星一生演变的模型。同时，对于不同种类的恒星，他们死亡之后的状态也成为大家重视的对象。 在1935年皇家天文学会的会议上，这个24岁的钱德拉塞卡终于得到宣读自己论文的机会。 钱德拉塞卡紧张略微结巴，而又带自信的说了一阵后，被人打断。 泡利说：“你的意思是耗尽所有燃料之后，多大的恒星可以继续对抗自己的引力而维持自己？是想说明恒星耗尽所有燃料，然后只去对抗自己的引力？” 钱德拉塞卡说：“没错，这是我这个演讲的核心内容之一。” 泡利说：“你不适合做天文学的研究，因为你的命题极具欺骗性，不知道你自己看出来了没有。” 钱德拉塞卡说：“我没有骗人，我思考的是本质，因为恒星一直不断挤压自己这个事情会有了结。” 泡利说：“恒星的了结不是你说的这个样子吧，因为恒星被挤压，是产生核聚变的，核聚变后变成光子，然后发射出去。” 钱德拉塞卡说：“是的，但也有发射完的时候。” 泡利说：“可是你刚刚说，一个足够重的恒星会受到巨大的挤压，然后会挤压出一种特殊的状态，甚至违反不相容原理。不管是不是违反的，你说的这个挤压的事情是不正确的。” 钱德拉塞卡说：“不是的，挤压是有的。” 泡利说：“不对，已经核聚变辐射完了，变得很轻了，没有任何挤压了。” 钱德拉塞卡说：“那就是我的一个错误，是还没有辐射完，巨大的恒星中央肯定会有巨大的挤压。” 这时会场上一片骚动，大家开始窃窃私语。 钱德拉塞卡说：“你们想，恒星总是有很大质量的，核心承受压力是很大的吧。” 泡利说：“你已经开始偷换概念的，你刚刚说的是耗尽所有燃料这样的。也就是都变成铁的时候，铁结合能大，导致会被继续压缩。我不计较，现在你又跟我说，恒星年轻正重的情况的，那是……” 钱德拉斯卡说：“铁很多的，年轻的情况。” 泡利说：“即使是这样，那也就不是燃料耗尽了，那会继续燃烧铁，而铁不会受到影响，铁只会越变越多。你确定，你是明白这个过程的吗？” 钱德拉塞卡一时语塞，结巴的说：“是这样子的，我们要考虑铁受压迫时，会与以往的原子状态不同，会是一种特殊状态。在高于1.4倍太阳质量的情况，铁会被压出一种简并能量的一种状态，是中子星。在低于1.4倍太阳质量情况，就不会是这样的，只是白矮星。” 泡利说：“还是不对，我认为不论什么质量的恒星，他们辐射轻后，就都是一个死亡的状态。大概就是含铁量大的冷星，或者甚至就是行星。甚至掉入到其他恒星里。” 爱丁顿终于发话，说：“不好，这个理论没有考虑清楚。什么辐射、对流、压力、铁被压迫后成什么状态这些因素都是相互融合，相互干扰，而且是连续变化的。不能以一个印度人的简单思维，只去想一个因素去穷究。你这样做天体物理是根本不行的。所以这次的报告，就当是让大家看看热闹吧。” 第四百五十五章 卡门涡街效应(流体力学) 普朗特交给博士生哈依门兹（karl hiemenz ）的任务，是设计一个水槽，使能观察到圆柱体后面的流动分裂，用实验来核对按边界层理论计算出来的分裂点。为此，必须先知道在稳定水流中圆柱体周围的压力强度如何分布。哈依门兹做好了水槽，但出乎意外的是在进行实验时，发现在水槽中的水流不断地发生激烈的摆动。 哈依门兹向普朗特教授报告这一情况后，普朗特告诉他：“显然，你的圆柱体不够圆”。可是，当哈依门兹将圆柱体作了非常精细的加工后，水流还是在继续摆动。普朗特又说：“水槽可能不对称”。哈依门兹于是又开始细心地调整水槽，但仍不能解决问题。 冯·卡门当时所做的课题与哈依门兹的工作并没有关系，而他每天早上进实验室时总要跑过去问：“哈依门兹先生，现在流动稳定了没有？”哈依门兹非常懊丧地回答：“始终在摆动”。 这时冯·卡门想，如果水流始终在摆动，这个现象一定会有内在的客观原因。在一个周末，冯·卡门用粗略的运算方法，试计算了一下涡系的稳定性。他假定只有一个涡旋可以自由活动，其他所有的涡旋都固定不动。然后让这一涡旋稍微移动一下位置，看看计算出来会有什么样的结果。冯·卡门得到的结论是：如果是对称的排列，那么这个涡旋就一定离开它原来的位置越来越远；而对于反对称的排列，虽然也得到同样的结果，但当行列的间距和相邻涡旋的间距有一定比值时，这涡旋却停留在它原来位置的附近，并且围绕原来的位置作微小的环形路线运动。 星期一上班时，冯·卡门向普朗特教授报告了他的计算结果，并问普朗特对这一现象的看法如何？普朗特说，“这里面有些道理，写下来罢，我把你的论文提交到学院去”。冯·卡门后来回忆时，对此事写道：“这就是我关于这一问题的第一篇论文。之后，我觉得，我的假定有点太武断。于是又重新研究一个所有涡旋都能移动的涡系。这样需要稍微复杂一些的数学计算。经过几周后，计算完毕，我写出了第二篇论文。有人问我：‘你为什么在三个星期内提出两篇论文呢？一定有一篇是错的罢’。其实并没有错，我只是先得出个粗略的近似，然后再把它细致化，基本上结果是一样的；只是得到的临界比的数值并不完全相同”。 冯·卡门是针对哈依门兹的水槽实验，进行涡旋排列的研究的。后来人们由于冯·卡门对其机理详细而又成功的研究，将它冠上了卡门的姓氏，称为卡门涡街。 冯·卡门自己后来在书中写道：“我并不宣称，这些涡旋是我发现的。早在我生下来之前，大家已知道有这样的涡旋。我最早看到的是意大利bologna教堂中的一张图画。图上画着st.christopher抱着幼年的耶稣涉水过河。画家在christopher的赤脚后面，画上了交错的涡旋。”冯·卡门还说，在他之前，有一位英国科学家马洛克（henry reginald arnulpt mallock 1851~1933）也已观察到障碍物后面交错的涡旋，并摄有照片。又还有一位法国教授贝尔纳（henry bénard 1874~1939）也作过关于这一问题的大量研究。只不过贝尔纳主要考察了粘性液体和胶悬溶液中的涡旋，并且其考察的角度是实验物理学的观点多于空气动力学的观点。 冯·卡门认为他在1911~1912年，对这一问题研究的贡献主要是二个方面：一是发现涡街只有当涡旋是反对称排列，且仅当行列的距离对同行列内相邻两涡旋的间隔有一定的比值时才稳定；二是将涡系所携带的动量与阻力联系了起来。 第四百五十六章 控制论(控制论) 诺伯特·维纳对自己的父亲列奥·维纳说：“我发现了一种控制理论，关于在动物和机器中控制和通讯的科学。” 列奥说：“听起来是一门新学科吗？我以前没有听说过。”列奥一向严谨，不喜欢自己的儿子去做一些看似聪明实则无用的突发奇想。 诺伯特说：“为了改善某个或某些受控对象的功能或发展，需要获得并使用信息，以这种信息为基础而进行通信并作用于对象，就叫作控制。” 列奥说：“诈唬！这是信息论而已吧？” 诺伯特说：“这是控制了的信息论。” 列奥说：“不稀奇，控制信息不是新东西。” 诺伯特说：“这可不是控制一般的信息，而是一个系统，只是以信息的方式展示出来。” 列奥不耐烦的说：“然后，仅此而已，就完了？” 诺伯特说：“我的这个控制论，主要使用控制器根据反馈信息，让系统达到人想要的那种状态。” 列奥带着讥讽的笑容说：“你找到控制器了？长什么样子？” 诺伯特说：“一个是随机控制，一个是记忆控制，还有共轭控制。一个机器系统的运行有无限可能，而想要达到人想要的那种，如果不知道该怎么办为好，可以先随机控制，来观察状态。如果发现有好的控制，就记忆下来，不好的控制就再一不会用了。共轭控制就是实用转换的办法来分解相对困难的问题，比如曹冲称象。” 列奥说：“能再具体一些吗？” 诺伯特说：“方法可以分成反馈、黑箱和功能模拟。老鹰抓兔子，需要反复看兔子奔跑的路径，这就是反馈。黑箱就是不知道中间是什么，就实用信号输入，然后观察输出的结果来推敲黑箱。功能模拟就是不研究系统本身，而是找到类似物来研究得到相近结果。” 列奥笑说：“要真是新学问的话，这可以用到工程控制论、生物控制论、社会经济控制论和智能控制论。” 第四百五十七章 建立维纳测度(测度论) 对于测度这样的概念，维纳何尝不知道呢？ 受到勒贝格和吉布斯的测度论的影响之后，自己开始从积分和空间研究对维纳测度的研究。 这是一个可以比作大小、长短、体积、概率等等的量。 维纳知道测度这样的量可以推广到任何一种集合上。 今天要用到布朗运动上，让布朗运动变成一个种测度。 能够成为这一切的依据是，布朗运动不是极端混乱的，也会有一定的规律。 有一种可以控制的合理的随机性，应该细致研究。 既然研究，就需要找到一个标准的模型规范布朗运动的测度。 布朗运动是大粒子被液体小分子连续不停撞击后产生的不规则随机运动。 然后需要定义在连续函数空间上的一种描述布朗运动的测度。 维纳过程是一个连续的时间随机过程，而这个测度是跟概率有关系的。 他知道碰撞是连续不停的，所以是一种连续但不可微的的曲线，所以这样的积分只能使用测度来进行。 为了方便计算，需要用一维的概率模型。 它通常被称为标准布朗运动过程或布朗运动，因为它与被称为布朗运动或布朗运动的物理过程有关。 它是已知的最着名的列维过程(即静态独立增量的滞后随机过程)，经常出现在纯应用数学、经济学、定量金融和物理中。 维纳好控制论，任何一个系统都要控制在手掌中，而控制的前提就是预测。 所以维纳当然要认为，任何东西都可以得到有效控制。 罗素是一个严谨的哲学家，反驳了维纳的论点。 罗素对维纳说：“你的控制论，不会有效的控制微小的颗粒。” 维纳一向想的是宏观东西，哪里想过控制颗粒的事情，但是他觉得颗粒也能有效控制。 “是你没有想到好办法，如果有足够的条件，微粒也能被控制。”维纳自信道。 罗素对维纳说：“那就讲最简单的，布朗运动你知道吗？” 维纳没专门研究过布朗运动：“对于一个随水飘荡的颗粒的观察，写一个论文，实在不值一提。” 罗素笑说：“我一开始也是你这个想法，觉得这没有什么好观察的。但是你要是看过爱因斯坦是论文，就知道你没有认真想过这个问题。” 维纳看过爱因斯坦论文后，对其对布朗研究的精细性折服了。 维纳对罗素说：“你只不过是想要告诉我，微粒受到水分子无规则运动的撞击，而且水分子的运动是处处连续不可微的。” 罗素对维纳说：“没错，如果一个曲线不可微，那你如果预测微粒的运动，如果你无法预测，你就不会控制微粒。” 维纳对罗素说：“没错，布朗曲线是复杂了点，但是，我还是可以驯服它的，用电统计学的方法就可以解决问题了。” 然后维纳通过函数空间来描述粒子的运动路径，并建立了维纳测度和维纳积分这样强有力的分析工具，证明了粒子运动路径连续但几乎处处不可微。 他发明了柱测度，对x落入a中的概率给出了一个公式： 维纳对罗素说：“我不仅仅要计算布朗运动，还要对你宣布，布朗运动这个物理问题可以用纯粹数学方法来研究了。” 维纳的工作是现代概率论重要的开创性成就，后来日本着名数学家伊藤清（1915~2008，沃尔夫数学家得主）在维纳工作的基础上发展建立了随机积分理论。 第四百五十八章 阐述位势理论(生物学) 维纳知道了位势论的重要性，在各个理论的层面上都很重要。 同时这也是复杂的，想要在这个复杂的东西中抽丝剥茧的话，就需要找到一定的方法。 想要找到方法，就需要从最简单起，建立模型。 沃森与克里克是发现dna的人，但是他说自己受到了维纳或多或少的启发。 沃森没有止步，只是想跟维纳探讨，生物为何能做复杂而稳定的运动。 维纳对沃森说：“很高兴，你不止步于肤浅的基因遗传让生命传播的东西。” 沃森说：“怎么可能呢？我想深层次的知道生物如何运动？如何变成一个复杂的精美的机器？如何能够稳定生长，运动，自我修复，甚至自我衰老？” 维纳说：“不能简单的认为生物是被受控制的机器，因为没有其他什么东西老设计我们，只是大自然进化过来的。” 沃森说：“以你这么说，那我们就是自然而然的过来的？” 维纳说：“在此中，我们的每个细胞的运动，每个化学过程的运动，都是来源于分子或者原子。而这个分子原子的运动，是来源于分子很原子带来的力场，这个稳定的力场中，有稳定的位势。” 沃森说：“位势？是拉普拉斯算符计算的力场，那种位势？” 维纳说：“没错，这个位势的稍微变化，导致大自然乃至生物的无穷动。你不容易从中感觉到这有关联，但细细想想，这种关联必然存在，而且微乎于斯。” 沃森说：“你的意思是，这种分子原子的位势的微小扰动带来了这大自然乃至生物的丰富运动？那么如何着手去研究这种位势？” 维纳说：“从拉普拉斯开始就开始研究了，多个立场的结合也有黎曼等人在研究。但是多个位势的研究现在虽然有人在做，但是困难重重。研究格林函数的人，就是做这个研究的。” 沃森说：“依你说来，这个还是很广泛的，而且是一个复杂的跨学科研究。” 维纳笑着说：“但是出发点，还是很简单的。就是从复杂现象中剥离出简单的本质组成成分，那是很多研究当中不可避免的地方。所以这个学科必定要大行于后世。” 位势论是数学的一支，它可以定义为调和函数的研究。 维纳知道，研究位势的化，肯定要研究调和分析，也就是研究函数展开成傅立叶级数或傅立叶积分，以及有关这种级数和积分的各种问题。它起源于物理学中将一个周期振荡分解为简谐振荡的迭加的问题，已发展成为有广泛应用的学科。 第四百五十九章 维纳—霍普夫方法(数论) 维纳－霍普夫方法，数学物理中一种常用的方法，其核心思想为函数因子分解定理。 维纳和霍普夫研究辐射传输理论中的米尔恩方程时，发现了一种半无穷区间上的带差核的奇异积分方程。 维纳说：“任何一个数字，要么是质数，要么说合数，合数可以用质数因子相乘来表示。那么函数也分质函数和合函数。” 霍普夫说：“合函数也能用质函数因子的乘积来表示。” 维纳说：“想要看一个函数的是不是合函数，就得找到它的因子。” 霍普夫找到了一种积分变换的方法来求函数的因子。 第四百六十章 开创维纳信息论(信息论) 维纳对香农说：“以前研究物理学，必须要研究物质。但今天，我知道信息的重要性了。” 香农说：“没错，信息就代表了物质的结构，也是一个很重要的量。” 维纳说：“信息就是信息，既不是物质也不是能量，但这个也很重要，我们需要严肃对待这个问题。” 香农说：“信息是有别与物质与能量的第三种东西，是对事物运动状态或存在。” 此刻，维纳陷入沉思，自己的脑子犹如涡虫的脑袋一般被利刃劈开。 涡虫感到一阵剧痛，但是他心知，自己不会死，自己的再生功能十分发达。 随着利刃把自己的脑袋切开成两段，涡虫一开始没觉得有什么特殊变化。 只是自己的感官一感知的时候，发生了一些说不清的障碍。 他心知自己已经变成两个，但左边虫不知自己为何在左边，右边虫不知为何在右边。 左边看到了色彩，却说不出名字，右边是能说出名字却看不到色彩。 左边的涡虫想不起来右边的一点事情，右边的虫子也丝毫想不起左边的东西。 涡虫在被劈开的一刹那，就瞬间出现了两个互不认识的两个自己，这两个虫子看到彼此的时候，知道对方是自己的原身，但也清楚的知道那些都不是自己。 渐渐的虫子开始愈合自己，愈合的是自己的基本逻辑，这个基本逻辑是一种修复自己神经元，将感知的不同的各个记忆互相联系的能力，也许是一种这种生物体特有的先天经验能力。 这种恢复恢复的是生物体的基本数学感知能力，数学就是先天经验产生的直接证据，而是是在各个不同数量级上的层次的逻辑，这种逻辑有，计算力，因果感知能力，统计归纳能力，分析规范的能力，对随机性感知的能力，对随机性计算的能力，规划能力，集合构建能力，测量能力，抽象能力。甚至更多，更深，更杂，更交叉的各种与数学相关能力。 这是神经元结构才能完成好的能力，这个结构必然更复杂，更深层次，更宏广。 可以尝试把神经元看作基本运算，每个神经元是数学模型中基本单位，这些基本单位组成了只有加法和乘法的环运算。一次做出巨大的堆叠，形成具有系统性的意识思维。如此，大脑便是一个简单严谨系统，以极大的量组成一个宏观的复杂的东西的典范。 维纳此刻不知该说什么，好像想要说，意识是数学决定的。信息是能量，结构是工作原理，计算是推动过程。 第四百六十一章 维纳滤波理论(滤波、傅立叶) 维纳的控制论，实现控制就要对系统的信息进行采集，才可以对症下药进行控制。 而采集信息的过程中有大量的噪音。 维纳觉得这些不可避免的噪音需要有一种方式来去处。 只能是数学上的办法。 信息的数值有个平均值，也有方差，如果方差不大的话，信息就有用。 如果方差太大，就可以去掉，这就是维纳滤波。 维纳滤波器的本质是使估计误差，定义为期望响应与滤波器实际输出之差，均方值最小化。 离散时间维纳滤波理论是从维纳关于连续时间信号的线性最优滤波器这个开拓性工作演变过来的。维纳滤波器的重要性在于，它为广义平稳随机信号的线性滤波提供了一个参考框架。 但维纳滤波效果不太好，还需要有其他的滤波方式。 第四百六十二章 维纳思考集群问题(控制论) 维纳开始思考第一个问题，集群内外均匀流动的问题。他认为可以随机设定一个漩涡点，让集群外层可以沿着这个漩涡点，往里面飞行，这样这个外层全部进入集群内层之后，就可以把第二层自然而然的暴露出来了，最外层进入漩涡之后还需要到整个集群的最中心聚焦，为了不能变得太致密而导致碰撞等其他问题，需要在流动的过程中，让集群的其他部分慢慢的拉开距离，让整个集群膨胀为跟原来大小差不多的形状，这样就可以完成第一次流动，而且，第二次的流动也跟第一次一样，以此类推，直到所有的集群的火力全部发射完为止。 维纳开始思考第二个问题，集群稳定成阵列降落问题。其实最重要的是在一个什么样的地形下降的问题。就算是最简单的平地，也不能是直接下降，而是需要排列成一个平面的阵型，然后正常下降即可。排列成平面形状就是算出集群下降时相互之间最小距离，然后在三维平面坐标中，保证不要在垂直方向上有重叠即可，如果有了最小距离内的重叠，就可以让重叠的一个飞行器离开原有位置，到达最外层，或者是垂直稀疏的部分，如果是多个重叠的话，就让最外圈膨胀，让垂直密集区也在尺寸上慢慢拉开，这种拉开都是从外到里进行，拉开出现稀疏区域后，确定稀疏区域存在，确定位置，再让密集集群飞行器进入这个稀疏区域的中心位置，一直有垂直重叠，就按照上述算法一直循环，直到正常为止。对于稀疏区域的计算，就是设定好最小距离之后，计算一个区域每两个飞行器的相互距离的平均值是否是远大于设定的最小距离，即可确定。 维纳开始思考第三个问题，集群用最优化的办法来变换对应形状。对于不同的战争，集群或许会有不同的形状。相对区域狭小的地带，集群可以是密集的，而相对于广阔的地带，集群可以展开成一个巨大的平面，这样一次朝一个点开火，威力巨大，而且敌方用火力也无法一个个的消灭自己。但是也不能太大，如果太大的话，有些飞行器就会离敌方太远，导致射击精度下降，甚至相互之间会断绝通讯联系。有时集群需要缩成一团，这样会有比较好的隐身效果，不容易被敌方发现，一般是球形的，或者是类似于球形的形状就可以了。如果有特殊需要变换成正方体等其他形状，可以编号进行排列，排列方式可以按照希尔伯特曲线来排，虽然是三维的形状，但是可以按照一维的方式进行控制。 维纳开始思考第四个问题，集群自身不能碰撞。如果，集群之间不能发生碰撞，那就得需要集群之间保持距离，而保持距离中，需要有一个参考，这样不会因为不同集群相互挤压而影响运算。但是也不能相互之间离的太远，导致影响通讯。那就需要设定最小距离和最大距离，同时确定集群飞行器的个数，如果飞行器之间的平均距离小于最小设定距离，那最外层必须要相互远离，进行膨胀，紧接着次外层也要做远离，以此类推，知道密集部分的飞行器之间的相互距离大于最小设定距离即可，这个算法是自动化运行的，如果集群之间相互距离正常的话，就自动停止这个算法运行。 维纳开始思考第五个问题，集群自身需要保持特定距离。这个跟第四个问题开起来类似，但是不一样，这不仅仅是要保持不要太近而导致碰撞，还有保持不能太远而导致飞行器相互之间无法联系，也不能因为各种算法的运行导致飞行器来回乱串，导致无法执行正常任务。这需要集群之间需要相互稳定，在确定最大距离之后，停止集群的膨胀。对于来回运动的集群，给一个参考，让运动的飞行器想方设法的相对参考物停止，而且在集群运动的时候，也要跟随参考物运动。集群的每个飞行器有了最小距离之后，形成一个球状，在集群排队之时，使用球形堆放原理可以让整个阵列稳定下来。 维纳开始思考第六个问题，集群阵型最大计算。这个问题是很有趣的，就是保证集群体积达到最大，还要保证不失去联系，或者是可控制范围内的暂时性失去联系。这种最大无非就是线性最大、面型最大、体积最大而已了。线性最大，就是让集群之间排成一条线，然后尽可能的拉大集群之间的距离，可以让首部和尾部离得非常远，这个作用就是为了能让两个距离遥远的通讯可以用这种方法连接，而对于面形和体积的最大，则有多重情形，可以让集群增加攻击范围。这里最终要的就是不要按最大的距离来，因为稍不留神就容易丢失通讯连接。 维纳开始思考第七个问题，丢失部分集群重新布阵。在执行集群任务过程中，丢失其中一个或者多个的时候，如果不及时调整，就会破坏阵型。集群本身是要确定数量的，实时会更新是不是所有的集群飞行器都在正常运转。如果发现数量减少，而一时半会无法确定丢失的那个在哪里，有需要继续执行任务，就需要对比较集群阵型进行重排，为了不让集群重排计算量过大，就只能使用一维链式控制，对断裂处结合起来即可。就算是多个失联，也用这种一维的方式进行重排就行。如果使用一维的方法，那就需要前一个编号飞行器和后一个编号飞行器之间相互之间，不能距离太远，想要达到这种效果，又必须是面积或体积形状的，就可以采用螺旋结构来稳定这个集群的阵列。 维纳开始思考第八个问题，丢失集群在被丢失后自动寻找回来。如果丢失的飞行器还想找回来，就需要确定是哪个飞行器，确定后，使用拨号的方式对周围进行扫描呼叫。在这种情况下，先展开成面形最大，增加面积扫描。如果没有找见，就直接排出一字，像表的指针一样，一头为不动的中心，这个一字沿着这个中心做顺时针或者逆时针旋转，最大化的拨号呼叫到丢失的飞行器，不论是失败还是成功，最后这个一字型要自动以螺旋结构来缩小自己的面积或体积，使得阵型稳定，而不至于会遭到通讯不稳而混乱。 维纳开始思考第九个问题，集群不受其他电波干扰。维纳认为，这个设计到编码论的问题，对于这些集群之间的联络，要采用实时更新，这样就不会让其他电波对其进行干扰，导致集群丢失。维纳甚至认为，在某些情况下，也就是在电磁波干扰很强的情况下，集群无线电静默，然后根据提前设定的程序逃离，强干扰地区，直到到达安全地区的时候，才开始继续使用通信收发装置。 维纳开始思考第十个问题，集群对特定形状进行适应飞行。让集群保持一个形状很容易，但如果让集群到达一个特殊的地点，在特殊的地方一特殊的形状来飞行，就需要测距雷达了，集群自身必须搭载一个雷达装置，探测周围的障碍物，再使用堆球法在这种特殊地方飞行。比如，在几十个集群飞行器被大飞机回收的时候，那些集群首先需要排队飞入大飞机的门口，然后再用测距雷达探测大飞机内部的结构，之后再出现堆球法方案来进行特殊队列的排列。 第四百六十三章 谢尔宾斯基正规数(超越数) 瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基给在哥廷根的塔杜施·巴纳赫维奇写信，喜欢讨论很多关于集合论的问题。 1916年，谢尔宾斯基说：“我发现了正规数。” 巴纳赫维奇说：“什么是正规数？” 谢尔宾斯基说：“这种数在任何基底下每个数字出现机会均等。” 巴纳赫维奇说：“是无理数这样的数字吗？” 谢尔宾斯基说：“没错，就是数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。” 巴纳赫维奇明白了这个“数字”指的是小数点前有限个数字，以及小数点后无穷数字序列。 巴纳赫维奇说：“你如何去证明，这个是正规的？核心思想是什么？” 谢尔宾斯基说：“x的数字中找到字串s的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。如果以任何b为底x都是正规，x称为正规数。” 巴纳赫维奇说：“你的意思是随机导致的这种正规吗？但你如何去证明这个是随机的？” 谢尔宾斯基说：“波莱尔—坎特利引理还记得吗？” 巴纳赫维奇想起来，这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔—坎特利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。 巴纳赫维奇说：“这就是把随机性有用在勒贝格测度上了。” 谢尔宾斯基说：“他这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是我。非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。” 巴纳赫维奇要求谢尔宾斯基打个比方，谢尔宾斯基直接从自己的口袋里掏出了自己随身用的笔和一个小草稿本子。开始站在那里写起了数字。 巴纳赫维奇很佩服谢尔宾斯基随身携带纸币的习惯，也钦佩他那种站着也能写好字的能力。只要左手端着小本，右手直接写字就行。 谢尔宾斯基在本上列出了一下几个情况。 钱珀瑙恩数(champernowne)： 0.... 是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但在某些底不是正规。 科普兰—艾狄胥常数(copnd-erd?s)： 0.... 从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。 0.... 有理数在任何底都不是正规，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻(veronica becher)和桑蒂亚戈·菲盖拉(santiago figueira)构造一个可计算正规数；蔡廷常数(chaitin)Ω给出一个不可计算的正规数例子。 要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根、圆周率π（它的二进制表达已被证明为正规数）、2的自然对数ln2和e是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(david h. bailey)和理查德·克兰德尔(richard e. crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的，虽没有找到反例，却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。 第四百六十四章 谢尔宾斯基三角形(分形) 一维是直线、二维是平面、三维是立体。 对于维数的定义，往往想到的是整数，很少有人能想到分数的。 但是谢尔宾斯基就发现了非整数维度的东西。 维度还会有非整数的维度吗？如果有，那维度是如何定义的？ 谢尔宾斯基制作了一种特殊的图形，就是谢尔宾斯基三角形这，是一种分形，它是自相似集的例子。制作方法是，取一个实心的等边三角形。沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。去掉中间的那一个小三角形。对其余三个小三角形重复前面的方式。 若设操作次数为n（每挖去一次中心三角形算一次操作），则剩余三角形面积公式为：4的n次方分之3的n次方。 它的豪斯多夫维是log(3)\/log(2)≈ 1.585。 谢尔宾斯基垫片的极限图形的面积趋于零，而小图形的数目趋于无穷，作为小图形的边的线段数目趋于无穷，实际上是一个线集。 操作n次后边长r=(1\/2)n，三角形个数n(r)=3 n，根据公式n(r)=1\/rd，3n=2dr，d=ln3\/ln2=1.585。 所以谢尔宾斯基垫片是1.585。它比普通的一维直线占据了更多空间，但还是没有二维正方形占据的那么多，可以用等比数列的知识求出他的面积是0。 第四百六十五章 莫尔斯不等式(流形) 亚瑟·凯利说：“考虑一个山区景观，用水淹没这个景观。当水达到一个的高度时，考虑这个区域的拓扑如何随着水的上升而变化，直观地看来，除了通过临界点的高度之外，它不会改变。” 詹姆斯·麦克斯韦尔说：“这些水只能发生如下三点：填满盆地；覆盖鞍座；淹没高峰。” 亚瑟说：“对于这三个关键点中的每一种：流域、通道和峰值，也可以叫为最小值，鞍形和最大值。” 詹姆斯说：“直观地说，盆地，山谷和山峰的指数分别为0，1和2。” 亚瑟说：“严格来说，关键点的指数是在那一点计算的不确定矩阵的负定子子矩阵的维数。在平滑地图的情况下，海森矩阵证明它是一个对称矩阵。” 在数学中，特别是在差分拓扑中，莫尔斯理论使得人们在莫尔斯之前，在拓扑背景下开发了莫尔斯理论。 莫尔斯开始研究微分拓扑，很多拓扑的结构都有不同的微分结构。 不同的微分结构在离散的点上，可以用相减做差分来分析。 做出差分的性质本身就可以区分很多不同的拓扑的结构。 必然的高亏格的，差分的数要大一些，低亏格的，差分的数要小一些。 当然了不论是什么拓扑的，都尽量的保证曲率是要相等的。 莫尔斯研究拓扑学，想把拓扑学能分解成很多单形。 然后去研究这些单形，根据单形的性质来推敲这个拓扑的性质就可以了。 这里涉及到一个同调群的概念，同调群是很多链组成，链一个复形上每个单形的有向的成分集合而成的。这些有向的单形的边形成了一个图论，而图论可以用拉普拉斯矩阵拉表示。所以拓扑中的同调群可以用矩阵来表示。 这个矩阵的研究往往就是看维度有关的信息，就是秩。 这个秩的大小与组成单形的个数有一个不等式关系。 这个不等式关系是恒成立的。 所以莫尔斯可以通过研究该多面体的可微分函数来分析多面体的拓扑。 根据马斯顿·莫尔斯的见解，在多面体上的典型可微函数将直接反映拓扑结构。莫尔斯理论允许人们找到cw结构并处理多面体的分解，并获得关于它们的同源性实质信息。 莫尔斯原来将他的理论应用于测地学（路径上能量函数的关键点）。这些技术在raoul bott的周期定理的证明中被使用。 第四百六十六章 雷诺数(流体力学) 雷诺在想：“为什么不同的液体流速是不一样的？水的流动就很顺畅，油的流动就很迟缓。” 1883年英国人雷诺(o.reynolds)观察了流体在圆管内的流动，首先指出，流体的流动形态除了与流速(w)有关外，还与管径(d)、流体的粘度(μ)、流体的密度(p)这3个因素有关。 雷诺写出了一个公式re=pvl\/μ，p、μ为流体密度和动力粘性系数，v、l为流场的特征速度和特征长度。 利用雷诺数可区分流体的流动是层流或湍流，也可用来确定物体在流体中流动所受到的阻力。 任何一个流动性的东西，都可以用雷诺数来表示了。 雷诺数较小时，粘滞力对流场的影响大于惯性，流场中流速的扰动会因粘滞力而衰减，流体流动稳定，为层流；反之，若雷诺数较大时，惯性对流场的影响大于粘滞力，流体流动较不稳定，流速的微小变化容易发展、增强，形成紊乱、不规则的紊流流场。 第四百六十七章 诺特环与诺特模(代数学) 其中发现环论以来，很多数学家开始研究环这个结构。 一开始研究环论是居于整数环、希尔伯特的多项式环，还有一些复数环。 研究环论的核心概念就是理想的概念。 诺特环的研究就是观察了环中理想的特性。 诺特说：“很多东西都可以归结为环的计算。” 诺特说：“反过来有很多种环，比我们想象的要多很多。在某种程度上讲，有两种截然不同运算的代数结构也可以叫做环。” 诺特说：“不需要执着于加和乘，加是平移，乘是倍数扩大而已。” 希尔伯特说：“照你如此说，什么环适合做研究？” 诺特说：“让其中理想符合升链的条件。” 一个环中有多个理想，这些理想之后有相互包含的关系，形成了一个链的形状。 希尔伯特说：“这是对环可以分类的重要条件把，这样就可以把环变成一系列的数字表示出来。” 诺特说：“是的，不符合这种有链结构的环太多了，我们不好研究这些，这些问题交给后人来吧。” 希尔伯特说：“那就是非交换的了，非交换的代数就是没有说的这种理想升链结构的。” 这种有理想符合升链的条件的环叫诺特环，后来根据此诺特又提出了诺特模的概念。 模是环外面的一种系数，也是数字中重要的研究对象。 第四百六十八章 诺特的守恒定律和对称性(对称性) 1475年，罗伯特·迈尔说：“能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其它物体，而能量的总量保持不变。” 这就是能量守恒定律，是自然界普遍基本定律。 赫尔曼·外尔说：“如果你对一个物体进行某些操作，在这些操作完成之后，它看起来和之前是一样的，那么这个物体就是对称的。例如，球体是完全对称的：无论你朝哪个方向转动球体，它看起来都是一样的。同样地，对称性也普遍存在于物理学定律中：物理方程在时间或空间的不同位置不会改变。” 诺特发现：“每一个这样的对称性都有一个相关的守恒定律，反之亦然。能量守恒与这样一个事实有关，那就是物理规律在昨天或今天都是一样的，这是时间对称性。同样地，动量守恒与物理规律在这里或宇宙的任何地方都是一样的这一事实有关，这是空间对称性。” 外尔大惊：“这太惊人了，我没反应过来。” 外尔的脑袋里还沉浸在对称如何跟守恒联系起来这样的事情中。 诺特发现了物理学中两个重要概念之间的联系：守恒定律和对称性。 外尔说：“人类发现对称的脸比不对称的脸更漂亮。脸的两半几乎是彼此的镜像，这一特性被称为反射对称。在艺术作品中，我们更是经常看到对称性的出现，比如马赛克、纺织品和彩色玻璃窗等。大自然也是如此：一片典型的雪花在旋转60度后，看起来是一样的。类似的旋转对称性出现在花朵、蜘蛛网和海胆中等等。这些如何体现守恒？” 诺特说：“我的这个发现不实用熟悉的例子。因为我们在周围世界看到的对称性是不连续的，它们只适用于特定的值，例如，雪花的旋转角度为60度。然而，与我发现的相关对称性是连续的，无论在空间或时间上移动多远，它们都是成立的。” 外尔说：“连续的，那是什么样的对称性？” 诺特说：“平移对称性。” 外尔说：“请解释。” 诺特说：“物理定律不随空间中的位置而变化，它在这里、哪里、任何地方都是一样的。” 外尔说：“听起来很简单，这是空间中的对称与守恒吗？算我明白点，那能量是守恒怎么算？” 诺特说：“这是时间平移守恒性。” 外尔正在想这句话的意思，脑子里模拟了一个系统，想弄清诺特的话。 诺特说：“与每一个连续对称相关的守恒定律是物理学的基本工具。在物理课上，学生们被教导能量总是守恒的。当一个台球撞击另一个台球时，第一个台球的运动能量就会被分散：有一些传到第二个台球的运动，有一些产生声音或热量，有一些能量则留在第一个球上。但无论如何，总能量保持不变。动量也是如此。” 诺特继续说：“这些规则被当作死记硬背的事实来教授，但它们的存在背后是有数学原因的。能量守恒来自于时间的平移对称性。” 外尔惊讶的沉浸在这个思想里。 诺特说：“而角动量守恒则是从旋转对称性，就是物理规律在空间旋转时保持不变。一个熟悉的例子是，当一位溜冰者把她的手臂收起时，她的旋转速度会加快。这是因为总的角动量必须保持不变，而这要归功于旋转对称性。” 外尔说：“你的意思是，物理规律在时间、空间和旋转上都是对称的。” 诺特点头说：“这些对称性表明能量、动量和角动量是守恒的。” 第四百六十九章 诺特第二定理(对称性) 随后在爱因斯坦的广义相对论中，没有绝对的时间和空间，守恒定律变得更难以理解。正是这种复杂性首先将诺特带到了这个话题上。 1915年，作为一个全新的引力理论，广义相对论将引力描述为物质弯曲时空的结果。除了爱因斯坦外，德国哥廷根大学的数学家希尔伯特和克莱因都沉浸在新理论的奇妙世界中。希尔伯特与爱因斯坦竞争，希望发展出这个复杂理论背后的数学。 但希尔伯特和克莱因却遇到了一个难题。他们在试图用广义相对论的框架写一个能量守恒的方程时，遇到了一个无谓的重复：就好比写“0”等于“0”一样，这个方程没有物理意义。这个发现令他们感到惊讶，在这之前并没有一个被接受的理论有这样的能量守恒定律。他们想要弄明白为什么广义相对论会有如此奇异的特征。 这个时候，他们邀请诺特加入哥廷根，以帮助他们揭开谜题。 诺特发现，这些看似奇怪的守恒定律是一种被称为“广义协变”的特定类型的理论所固有的。在这样的理论中，无论你是稳步前进还是疯狂加速，与理论相关的方程都是成立的，因为理论方程的两边都是同步变化的。其结果是，广义协变理论——包括广义相对论——总是会有这些非传统的守恒定律。这一发现被称为诺特第二定律。 在她证明第二个定理的过程中，诺特证明了她的第一个定理是关于对称性和守恒定律之间的联系。1918年7月26日，这两个结果被发表在 g?ttinger nachrichten 上。 在诺特去世后，诺特定律继续闪耀着光芒，尤其是在粒子物理学中。要梳理出基本粒子世界发生的神秘事情是非常困难的。wilczek说：“我们必须依靠理论洞察力、美学和对称性的概念来猜测事物可能是如何运作的。”诺特定理带来了很大的帮助。 在粒子物理学中，相关的对称性是被称为“规范对称”的隐藏类型。物理学家在电磁学中发现了这种对称性，它导致了电荷守恒。 在上个世纪60和70年代，物理学家扩展了这一概念，发现了与守恒定律相关的、其它隐藏的对称性来发展粒子物理学的标准模型。 在发现守恒定律的任何地方，物理学家都在寻找对称性，反之亦然。这个标准模型解释了大量的基本粒子以及它们之间的相互作用。许多物理学家都认为标准模型是有史以来最成功的科学理论之一，因为它能够精确地预测实验结果。然而，标准模型并不完美，还有许多问题是它无法解释的。 一直以来，物理学家的目标便是构建一个统一理论，用几个方程就可以描述万物，尽管这已经被证明是非常困难的。这些统一理论是建立在基本对称的假设上。什么样的对称性能够统一基本力中的电弱力（电磁力和弱核力的统一）和强核力，物理学家还不知道。但是寻找这样的一个“大统一理论”是物理学中一个活跃的领域。 一个好的大统一理论能够预言宇宙中的质子和中子从何而来。质子和中子这两种粒子被称为重子，重子的总数应该是守恒的。在实验上，科学家寻找的是质子是否会发生衰变。如果我们观测到质子衰变，那么我们就会知道重子数是否真的守恒，这是大统一理论的关键线索。 但是，当我们寻找超越标准模型的理论时，物理学家发现了一种隐藏的对称，称为超对称，这是许多大统一理论的核心。超对称是建立在统一两组主要的基本粒子的基础上：费米子（比如电子和夸克）和玻色子（比如光子和希格斯玻色子）。它假设所有的费米子都有一个玻色子伙伴，反之亦然。 对称性是标准模型的基础。图中圆圈部分代表了标准模型中的粒子，比如光子和电子。外围则是超对称理论提出的假想粒子。 超对称优美地解决了许多标准模型无法解决的问题，因此大型强子对撞机（lhc）的首要任务便是寻找超对称的迹象。但到目前为止，科学家还未发现这样的粒子，尽管人们对探测寄予厚望，一些物理学家开始质疑超对称的正确性。也许对称性只能让物理学家走到这一步。 这一观点让一些物理学家左右为难。如果这不是一直以来的指导原则——即越对称越好——那么指导原则究竟是什么？ 尽管这个局面令人沮丧，但对称性在物理学上仍然保持其光芒。诺特定理是发展量子引力的潜在理论的必要工具。量子引力理论把两种截然不同的理论——广义相对论和量子力学——结合在一起。诺特的工作帮助科学家理解在这样一个统一的理论中可以出现怎样的对称性。 在众多理论中，有一个候选者依赖于两种互补理论间的联系：二维表面的量子理论可以作为三维弯曲时空中量子引力理论的全息投影。这意味着，三维宇宙中包含的信息，可以编码到环绕它的二维表面上。 试想一下，一瓶汽水罐的标签上描述了罐中每个气泡的大小和位置，并列出了这些气泡是如何合并和破裂的。一个好奇的研究人员可以利用罐子表面的行为来了解罐子内部的情况，例如计算摇晃罐子时可能发生的事情。对于物理学家来说，理解一个更简单的二维理论可以帮助他们理解发生在三维物体内部更复杂的情况。（这种全息原理（holographic principle）适用的量子引力理论被称为弦理论，在弦理论中，粒子是通过振动的弦来描述的。） 在一个描述粒子二维空间行为的理论可以作为三维量子引力的全息图。这就像仅仅通过阅读标签就能研究汽水罐里面的气泡一样。 物理学家daniel harlow说：“诺特定理是这个故事中非常重要的一部分。”二维量子理论中的对称性出现在不同背景下的三维量子引力理论中。通过一种令人满意的转换，诺特第一、第二定理被连接起来了：描述二维空间的第一个定理，与描述三维空间的第二个定理有着同样的表述。这就好比有两个句子，一句是中文，一句是英文，在翻译的时候意识到它们用不同的方式表达了同一件事。 诺特的工作彻底改变了我们理解宇宙的方式。当你下次阅读到关于宇宙暴胀理论、超对称粒子、或者一切跟万有理论相关的进展时，都应该想到艾米·诺特，她的定理是所有这些理论的核心概念。 第四百七十章 阿廷思考环论(环论) 阿廷对路人甲说：“你知道哥德巴赫猜想的奇妙之处在哪里吗？” 路人甲说：“在于不仅仅想把任何一个数字使用素数乘法因子拆开，还想猜成素数和。是想以某种形式把加法和乘法给联系起来。” 阿廷沉思很久说：“乘法和加法是一回事吗？看来这是一个很有意思的问题。”阿廷想到了对数的一些模型，还在想平移和扩大缩小是不是可以做一种等价。 路人甲说：“你想把加法和乘法统一起来，这是一个有趣的东西。” 阿廷说：“其实我想到了一个办法，只需要把环论和群论证明是等价的就行。” 路人甲说：“为什么呢？” 阿廷说：“你想让加法和乘法直接等价，不太容易。但环论是加和乘，群里只要一种运算。” 路人甲说：“你的意思是只要是环论和群论是等价的，那么就能说明环论其实可以只有一种运算，那么就能说明乘法和加法是一回事了吧。” 阿廷笑着说：“没错，很快你就会知道，数学家就会朝着这个方向而努力了，到时候你别觉得数学家干的事情会很奇怪。” 第四百七十一章 罗素的理发师·第三次数学危机(集合论) 策梅洛与罗素在讨论关于集合论的问题。 策梅洛对罗素说：“一切东西都可以使用集合原理进行推导，然后就可以推导出任何一种数学的定理。这就是集合论存在的原因。” 罗素说：“是一个十分迷人的想法。” 策梅洛说：“所以数学都可以用集合符号进行表示，这将是一个宏伟的工程。我们以后可以把各种数学上的定理都用集合的方法描述。” 罗素说：“我的心里总觉得不对劲，感觉有问题。” 策梅洛说：“这个问题会是因为集合论引起的吗？” 罗素说：“那就是集合论是否包含自身？”罗素心里觉得这是一个十分重要的问题。 策梅洛说：“你想这样的怪问题干什么？集合论怎么会有如此古怪的东西？自己去包含自己，想都很难想。” 罗素说：“假如一个理发师给一个村的不会自己理发的人理发，这算不算一个集合？” 策梅洛说：“算！” 罗素说：“如果算是一个集合，那这些人里是否包含理发师？” 策梅洛不耐烦说：“包含。” 罗素说：“如果包含理发师，那理发师就会给自己理发，那就不能给自己理发了。” 策梅洛赶紧改口说：“不包含理发师。” 罗素说：“但如果不给自己理发，那自己就是一个不能给自己理发的人了。” 策梅洛明白了罗素发现的问题，即然理发师要理发的人为一个集合，那到底是否包含理发师。这个问题转化为，集合是否包含自己。 策梅洛陷入深思：“一个集合会不会包含自己？如果包含自己，该如何继续使用它。” 策梅洛担忧的说：“如果集合论出现危机，那集合公理化将会是一场灾难。” 第四百七十二章 孤子理论(非线性、流体力学) 罗素在一个河边骑马，发现河上有一条船在行驶。 孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波，这个孤立波可以传递到非常远的距离而不减弱。但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔(kruskal)等人作出的 克鲁斯卡尔开始在家里做实验，用一个大玻璃水缸，装满水，上层染成红色，与下层水能分开。轻轻拨动水层下方，看到内层有一个巨大的波缓缓的向前走，而水面上风平浪静没有太大波动。 然后克鲁斯卡尔再将水的底层染成红色，然后在底层拨动一下，发现内层的红色的波缓缓的往前走，而水面几乎是风平浪静。 在波涛中，孤波的形成在碍于波动能量向外逸散小时的自然倾向为外力均衡。 在电路中电子的传导中，导体的晶格结构能营造一种适当的微环境，使电子能以孤波的形式传导，则电能自毁击中在传播煤质的薄面上，历远而不失。这就是超导体了。 后来贝尔实验室的l·默勒淖尔认为如果用光子孤波在光纤中传导的话，那信息就可以传递到很远的距离而不减弱。 默勒淖尔使用单式光纤，其中中继器作用是将经长距离传导面衰弱的广播信号再度转化成电流，然后雨衣扩大增强，在转变回光脉搏脉冲继续传导。 第四百七十三章 策梅洛的zf公理系统(集合论) 策梅洛得知这个情况之后，想着手处理这个难题。策梅洛认为，想要解决理发师悖论问题，就需要规范集合论。不能再是按照康托尔的朴素集合论那样简单的进行了。 策梅洛对弗兰克尔说：“理发师的麻烦，摧毁了集合论，那集合公理化这个数学工程是没法做下去了。” 弗兰克尔说：“这个问题确实棘手，但是貌似我们还是可以有办法的。” 策梅洛说：“出现如此大的漏洞，不会那么容易有办法吧？” 弗兰克尔说：“罗素说的理发师问题，这是一个定义上的问题。不是每个数学模型都会有如此儿戏般的定义。我们只要在集合公理上加上一条，不要用类似有理发师悖论的定义了。” 策梅洛说：“废话，我还不知道吗？可问题有其他类型的悖论该怎么办？脆弱的集合论随时都会被各种古怪的话语所摧毁。” 弗兰克尔说：“你都说，古怪的话语，我们只要不要让古怪的话语在其中出现，问题不就解决了？” 策梅洛说：“如果做到这一点，难道是在其中设置一些限制，就像是法律规定一样，不要出现一些东西？” 弗兰克尔说：“当然了，正是有太多怪东西，我们分类铲除不就可以了？” 两个人商量着，根据前人的基础，创立了公理化集合论。其中有九条，这九条有了，任何集合公里都可以建立在这个基础上使用了。其中第二条，直接就排除掉了理发师悖论的问题。 一，外延公理：一个集合是由其元素决定的。两个元素相等则集合相等。 二，分离公理模式：一个公理元素对应的性质同时为真，才能是一个集合。 三，配对公理：两个集合中任意两个元素配对后可以形成一个集合。 四，并集公理：让两个集合元素加起来，形成一个新集合。 五，幂集公理(子集之集公理)：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。 前五个集合，消除了可能会出现罗素理发师悖论的可能性。 六，无穷公理：存在归纳集。也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。 七，替换公理模式（置换公理）：也就是说，由f（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。 八，正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。 前八个是zf公里，再加上第九个就变成zfc公理。 九，选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合c，使对所给的族中的每个集合x，集合x与c的交恰好只含一个元素。 第四百七十四章 策梅洛定理(集合论) 两个人正下得热火朝天，策梅洛突然开始思考下棋的本质。 对普朗克说：“下棋的真正快乐来源于哪里？” 普朗克说：“希望自己能赢。” 策梅洛说：“问题的关键是，有没有必胜的一种方法？” 普朗克说：“棋下得多了，经验丰富了，你就容易破解对手的招式，就容易赢了。” 策梅洛说：“那是当然，如果遇到下一个高手，他的经验也很丰富，就不容易赢了。” 普朗克说：“你说的不是废话吗，一个人怎么能绝对赢呢？” 策梅洛说：“如果一个人掌握了下棋的所有经验，一个也不落下，那就可以赢了吧？” 普朗克说：“是的，这个人必须对棋局有极为充分的理解，不能忽略每一个细节。” 策梅洛说：“如果双方都是这样的绝对高手的话，那是谁先下，谁就占优势了吧？” 其表示在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜\/必不败的策略。 若运用至国际象棋，则策梅洛定理表示“要么黑方有必胜之策略、要么白方有必胜之策略、要么双方也有必不败之策略“。 第四百七十五章 保罗·巴赫曼的大o符号(微积分) 大o符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼（paul bachmann）在其1892年的着作《解析数论》引入。 保罗·巴赫曼在计算工程问题的时候，找到了一个公式，然后对这些公式产生了疑惑。 然后找到了一个无穷大渐进和无穷小渐进的一个表示，认为这个表示有一定的重要性了。 保罗·巴赫曼找到了埃德蒙·朗道开始讨论这个问题。 巴赫曼说：“解决一个规模为 n 的问题所花费的时间，也就是所需步骤的数目，可以被求得。” 巴赫曼写出了公式t(n)= 4n^2 - 2n + 2，给朗道看。 巴赫曼继续说：“当 n 增大时，n^2;项将开始占主导地位，而其他各项可以被忽略——举例说明：当 n = 500，4n^2;项是 2n 项的1000倍大，因此在大多数场合下，省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。” 朗道说：“然后，是不是尾巴拖着难受？” 巴赫曼说：“进一步看，如果我们与任一其他级的表达式比较，n^2;项的系数也是无关紧要的。例如一个包含 n^3;或 n^2项的表达式，即使 t(n)= 1，000，000n^2;，假定 u(n)= n^3;，一旦 n 增长到大于1，000，000，后者就会一直超越前者(t(1，000，000)= 1，000，000^3;= u(1，000，000))。” 朗道说：“没错，当年的2次方是最重要的，但3次方挤进来，居然就叫不重要了。让人头疼。” 巴赫曼说：“谁说不是呢！肯定得需要想个办法才对啊。” 朗道说：“我们需要对剩下的尾巴打包处理才行。” 巴赫曼说：“我们对这个量定义阶这样的概念吧，就是order of 中开头o这个部分，当然来源于希腊语omicrond开头，我们叫他大o。” 朗道说：“是的，可以表示无穷大或无穷小的渐近。” 第四百七十六章 闵可夫斯基的非欧几何(曲面) “太荒唐了，两个平行线相交于两点，你胆敢改欧几里得的公理。” “弯曲的几何你就按照弯曲的算嘛？为什么要提出什么空间弯曲的概念呢？” “拿绳子一比，再把绳子拿下来，一伸长就可以量出直线距离来，何苦要那么麻烦呢？” 闵可夫斯基看到再坐的所有学者都在质疑自己的理论，早已有了心理准备。 然后说：“在地球上，我们地面上的直线难道是直的？” “强词夺理！如果太长的当然不是直的，我们可以用绳子来丈量。” 闵可夫斯基说：“你把莫斯科到远东城市的绳子找到！” “不用绳子，一个个直线对接来相加。” 闵可夫斯基说：“但用我的理论，就可以解释。” “只是圆弧而已，你直接用圆的弧长公式解就行了。” 闵可夫斯基说：“那不太圆的地方呢？” “那就没有办法了，也不能用你的那一套来解释啊，这是不过是在测量弯曲的曲线而已。” 闵可夫斯基说：“那弯曲的曲面呢？” “这番歪理邪说简直听不去了。”一个年老的教授叹气。 另一个年轻的老师说：“你能测出曲面的面积？” 闵可夫斯基说：“平面内周长相同的，肯定曲面面积大于平面面积。” “这部废话吗？还用你说吗？” 闵可夫斯基说：“我可以计算出来，只要了解一点的量。” 一个教授叹气：“你可以说，有一种技术处理这个问题，但你不能说这是什么推翻欧几里得公里的东西。因为地球，或者不平的曲面这些，仅仅是面有些弯曲，处理方式也是仅仅找到一个新曲面的对应公式而已，你要这么讲，没有欧几里得的变化。” 闵可夫斯基说：“你们总觉得这个世界是平的，但这个世界其实是弯曲的。” “比如呢？” 闵可夫斯基说：“电磁场是弯曲的，肯定是弯曲的东西，不平。” “那也找电磁场公式就行，不是理由。” 闵可夫斯基说：“引力恐怕也。” “停止！简直太不像话了。” 闵可夫斯基被大家驱逐了，知道爱因斯坦广义相对论才被大家认可。 第四百七十七章 切比雪夫多项式(计算) 龙格对切比雪夫说：“我想利用多项式对某一个函数近似逼近，计算相应函数值。” 切比雪夫说：“表面上觉得貌似好像对，但是……” 龙格说：“按理说多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。可我发现插值次数越高，插值结果越偏离原函数。” 龙格写出了公式f(x)=1\/(1+25x^2)。 然后继续说：“例如它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。” 切比雪夫说：“那就说明多项式是不完善的。只用幂多项式，恐怕不那么对。” 龙格说：“为什么会这样子？” 切比雪夫说：“我们把这个多项式画一画，一次是直线，二次是抛物线，三次是有个峰有个谷两边都是反向无穷大的，四次是有两个波峰然后有两个负无穷大的，这样一直往下走，我们没有感觉到这样的多项式会有一些准确性。整体上不敢说是准确的，局部的同样也没有保证。” 龙格说：“那需要什么样的不等式。” 切比雪夫说：“可以写另外一种多项式的类型，使用跟傅立叶相关的那种，三角函数多项式。” 龙格说：“这听起来都是靠谱了一些，但是如何得出来？” 切比雪夫写出的第一切比雪夫多项式和第二切比雪夫多项式。 第四百七十八章 切比雪夫距离(测度) 切比雪夫对他的数学老师h.Д.布拉什曼说：“看过别人下国际象棋之后，我一直听别人说‘你这个还差几步’、‘我还有几步就可以成功了’、‘这个棋的步数与另外一个棋的步数不同’。” 布拉什曼说：“看来在象棋中也有一种距离，就是棋盘规则下的距离。” 切比雪夫说：“这个距离同样可以应用在很多学科中。” 布拉什曼说：“那如何规定这个的距离呢？” 切比雪夫说：“在本质上向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。换句话说，它就是沿着一个轴的最大距离。通常被称为棋盘距离，因为国际象棋的国王从一个方格到另一个方格的最小步数等于切比雪夫距离。” 布拉什曼沉思在距离这个定义里面，想出了很多关于距离的深刻的定义，然后说：“没错，这个跟欧几里得距离、曼哈顿距离既有相似的地方，也有不同的地方。” 切比雪夫说：“通常用于特定的用例，这使得它很难像欧氏距离或余弦相似度那样作为通用的距离度量。因此，在确定适合用例时才使用它。” 布拉什曼说：“我知道用途在哪里，搬运仓库大量或许的步数计算肯定能用上。提取从一个方块移动到另一个方块所需的最小移动次数。此外，在允许无限制八向移动的游戏中，这可能是有用的方法。” 切比雪夫笑着说：“用于仓库物流，这个用途确实很大了。” 第四百七十九章 切比雪夫函数(数论) 勒让德的素数定理问世后，很多数学家开始研究这个定理，也想要试图证明它。 切比雪夫就开始思考π(x)~x\/(alnx+b)中的a、b值。 他在1852年左右证明了存在两个正常数c1，c2，使得不等式c1x\/lnx≤π(x)≤c2x\/lnx成立，其中x≥2。 切比雪夫引入了曼戈尔特函数，这个函数的特性让他研究p\/(lnp-1-e)=x<=p\/(lnp-1)中e的值， e由-2.递增到0.0后，再递减。切比雪夫还绘制出了图形。 e在x=处为最大值，x增加时，e逐步减小，当x趋于无穷大时，e应该趋于0。此公式是以内的不完全逼近公式。公式比较客观有效。 之后。切比雪夫在想，为什么值考虑质数的分布，合数应该被打包起来看吗？ 要不要去考虑不同因子的合数的分布。 比如只有一个因子的合数是如何分布？只有两个因子的合数是如何分布？等等，这是不是也符合这一类的公式？ 第四百八十章 切比雪夫定理(概率与统计) 俄罗斯的几个数学家切比雪夫、柯尔莫哥洛夫和马尔科夫在一起聊天。 柯尔莫哥洛夫说：“我们要让看着疲软的俄罗斯数学振兴起来呀。” 马尔科夫说：“我们的数学不错的呀，欧拉不是来过吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“但人家始终认为自己是瑞士人。虽然很多贡献是在俄罗斯做出来的，但是也有人挑刺说这是瑞士人的骄傲，我们也难反驳。” 马尔科夫说：“那倒也是，人家毕竟也是约翰伯努利的弟子，算是法国一派。” 柯尔莫哥洛夫说：“我说的振兴，不是在一个领域的细节上小打小闹，而是要在一个领域上迅速建立我们该建立的东西。” 马尔科夫说：“代数、几何和微积分这些，我们选哪一个？” 柯尔莫哥洛夫说：“概率。” 马尔科夫说：“这个领域不是已经确定了，就是帕斯卡等人的那点东西？” 一直沉默的切比雪夫突然开口说：“貌似是定了，实际还有很多发展空间。我们确实可以在这个领域大展手脚。” 马尔科夫说：“比如，哪里可以展开拳脚？” 切比雪夫说：“还知道大数定律吧？” 柯尔莫哥洛夫说：“伯努利大数定律，实验数量足够大，就可以达到接近发生个概率值。” 切比雪夫说：“没错，我们可以根据这个，继续发展自己的新理论，保证是伯努利没有想到过的。” 马尔科夫说：“洗耳恭听啊！” 切比雪夫说：“我知道了一种不等式。” 说着，切比雪夫在一张纸上写上了切比雪夫不等式里面包含x事件发生概率的期望，发生概率的方差。一边写，一边解释这个公式的符号的含义。 马尔科夫说：“这个不等式有什么用呢？” 切比雪夫说：“任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1减去m平方分之一，其中m为大于1的任意正数。” 马尔科夫说：“然后呢？假如平均数m等于2呢。” 切比雪夫说：“所有数据中，至少有3\/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。” 马尔科夫说：“假如平均数m等于3呢。” 切比雪夫说：“所有数据中，至少有8\/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。” 马尔科夫说：“假如平均数m等于5呢。” 切比雪夫说：“所有数据中，至少有24\/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。” 切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据.设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果x1，x2，…，xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量x1，x2，…，xn的试验数值，并且有同一数学期望a。于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即a≈（x1+x2+x3+……）\/n。 第四百八十一章 切比雪夫型滤波器(滤波) 电子滤波器是可执行信号处理功能的电子线路、元件或装置，专门用于去除信号中不想要的成分或者增强所需成分。 b.r.布尼亚科夫斯基对切比雪夫说：“我看到了你关于滤波器的研究。感觉上，你的滤波器跟巴特沃斯滤波器差不多，只是有点细微的差别。” 切比雪夫说：“目的都是一样的，是要减去噪音，得到纯净的结果的。” 布尼亚科夫斯基说：“那为什么你自己还要提出一个新的滤波器？只用巴特沃斯的不就可以了。” 切比雪夫说：“只是在电路连接上不同而已。巴特沃斯滤波器是一个波长对应个数的一种图，上面显示的是通过的波相对波长振幅小于平均振幅的百分之40的时候，通过率几乎是百分之百，在波长振幅介于平均振幅40到60之间的，通过率急速下降，在波长振幅大于百分之60的时候，几乎为0了。” 尼亚科夫斯基说：“你的大体上不也是这样吗？” 切比雪夫说：“略微有不一样的地方。第一类的是波长低于总体百分之40的那部分，有波动。” 尼亚科夫斯基说：“第二类的是波长高于总体百分之60的地方有波动。这在说明什么？而且你的过渡带衰减快。” 切比雪夫说：“第二类的不常用，使用的元件比较多。第一类的只不过是摆放的方式跟巴特沃斯的不同罢了。” 第四百八十二章 切比雪夫窗(傅立叶变换) 布拉什曼知道切比雪夫开始染指傅立叶变换的东西，心里兴奋。 布拉什曼说：“傅立叶变换那是法国人的东西，在某种程度上，他们发挥到一定的极致了。” 切比雪夫说：“就算如此，也不能很方便的使用。” 布拉什曼说：“如果能在这里找到毛病，那也不简单了。我到想听听是什么毛病。” 切比雪夫说：“这个毛病很明显，就是不能够实际应用，只是理论上听起来理想而已。因为傅立叶分析需要整个时间域和频率域。” 布拉什曼说：“没错，如何不能用？” 切比雪夫说：“因为是无穷长的，我们做分析哪里有无穷数据呢？” 布拉什曼说：“还真是，但是可以取足够长的数据。” 切比雪夫说：“即使长，量也太大。” 布拉什曼皱眉头说：“等会儿，难不长你取一点点？这哪里还是谐波分析？不能用啊！” 切比雪夫说：“是这样的，我取其中一部分。然后对这一部分做周期延拓，取消了因不能取无穷大的出现的影响。” 布拉什曼笑说：“听起来是可以取消的，但一点影响都不会有吗？” 切比雪夫说：“就有畸变，在零处能量被分到两个较宽频带中去了。这叫能量泄漏。” 布拉什曼满意点点头说：“不是什么大问题，那就可以实用了。” 切比雪夫窗是一种局部优化的时窗函数，它满足窗函数的最大振幅比准则，所以也称为最大振幅比时窗函数。 切比雪夫窗(chebyshev window)一种局部优化的时窗函数.它满足窗函数的最大振幅比准则，所以也称为最大振幅比时窗函数.用切比雪夫窗来设计fir滤波器，比采用通常的时窗函数具有明显的优点. 第四百八十三章 李雅普诺夫稳定性(理论力学) 李雅普诺夫对马尔科夫说：“我研究一个系统的稳定性。” 马尔科夫说：“你知道，你研究火箭在天上飞的时候，会慢慢的不太稳定。这里面会涉及到很多因素。” 李雅普诺夫说：“不考虑太多其他复杂的因素，而是用一个模型来对比一下。” 马尔科夫说：“这可以用简单模型对比吗？我倒想听听。” 李雅普诺夫说：“火箭的简化模型可以看成是一个倒立摆，在最低端施加控制力，来保持其在竖直方向的角度可控。” 然后李雅普诺夫写出了一个矩阵方程，把倒立摆的不稳定性给表示了出来。 马尔科夫兴奋道：“你这个厉害了。”然后他在想火箭的喷口推着整个火箭往上，那按照静止来，可不就像是控制倒立单摆的模型。 李雅普诺夫对马尔科夫说：“掌握了火箭的这个方程，只需要在火箭尾部喷口按照这个方程了稳定调整就可以让火箭稳定了。换句话说，如果这个喷口可以按照方程固定倒立的摆，就可以安装在火箭上驱动火箭稳定飞行了。” 马尔科夫看着这个带时间微分的矩阵方程，对李雅普诺夫说：“这个方程看似简单，但却是个非线性方程啊！” 李雅普诺夫说：“没错，正因为是非线性方程，所以才要用我的稳定性理论来研究。” 马尔科夫说：“那你说说，系统稳定性有哪些？” 李雅普诺夫说：“简单来说，如果稳定状态x_e受到扰动后，仍然停留在x_e附近，我们就称x_e是稳定的。如果更进一步，如果稳定状态x_e受到扰动后，最终都会收敛到x_e，我们就称x_e是渐进稳定的。再进一步，如果稳定状态x_e受到任何扰动后，最终都会收敛到x_e，我们就称x_e是大范围内渐进稳定的。相反，如果稳定状态x_e受到某种扰动后，状态开始偏离x_e，我们就称x_e 是不稳定的。” 马尔科夫说：“光看这个些个名字就不一般，在百余年后，这个理论必定在数学、力学和控制理论中全面开花，已经成为稳定性研究方向的基础性理论，看来你对于数学上和工程上的直觉确实令人赞叹。” 第四百八十四章 李雅普诺夫第一方法(非线性力学) 马尔科夫对李雅普诺夫说：“正如你所说，非线性的东西的稳定点不不好控制的，那你如何控制和计算它？” 利亚普诺夫说：“只需要把非线性的化作线性的就可以了。” 马尔可夫说：“是不是将微分方程中的变函数，变成一个常熟乘以简单变量就行？” 李雅普诺夫说：“谁不希望一个复杂的非线性系统要变成一个简单的线性系统啊！” 马尔科夫说：“可不是，这么每个数学家的梦想。” 李雅普诺夫说：“谁不希望能够以一个简单的方式来变换！” 马尔科夫说：“等一下，你这个简单法太过突兀，肯定不妥。” 李雅普诺夫说：“那就需要细致分析这个过程。” 马尔科夫说：“不用细分析，适用条件不多。” 第四百八十五章 李雅普诺夫第二方法(非线性力学) 马尔科夫说：“你刚刚那个方法鲁莽而突兀，不适用很多非线性系统。” 李雅普诺夫说：“我还有一种方法，可以解出一种函数计算这个函数时间求导的信息来推断其稳定性。” 马尔科夫说：“什么意思，难道不需要求解得知？” 李雅普诺夫说：“没错，可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。通过寻找满足某种几何性质的函数值直接推证方程组稳定性的一种方法。” 李亚普诺夫第二方法是 就是借助于一个所谓李亚普诺夫函数v(x，t)及根据微分方程所计算得到的v沿着轨线的导数dv\/dt的符号性质来直接推断稳定性问题。 马尔科夫说：“没错，求解是最麻烦的，而我们此刻只想知道他是不是稳定的而已。” 李雅普诺夫第二方法对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。 李雅普诺夫说：“我这样的方法必然会成为研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。” 马尔科夫说：“但这个方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。” 李雅普诺夫说：“随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的函数，还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。” 第四百八十六章 李雅普诺夫变换(非线性力学) 马尔可夫说：“既然涉及到非线性的问题了，那具体是如何的方法才可以解答非线性的问题呢？” 李雅普诺夫说：“有一种直观的变换方法，来分析这个运动是稳定的还是渐进稳定甚至是不稳定的。那振动来打个比方。” 马尔可夫说：“可以，先从一维的开始分析。一个简谐振动是稳定的，那非稳定的振动该怎么计算？” 李雅普诺夫说：“大范围的周期运动，变成线性的时变的周期图像。弹性机构以临界速度运动时，振动振幅变得非常巨大，这是个很令人惊奇的现象。” 马尔可夫说：“我知道，这有三种方法，一个时傅里叶变换法，一个是单值矩阵，一个是稳态准则法。你用的是什么办法？” 李雅普诺夫说：“使用矩阵转移法，对方程中的值一个个带入，然后画在坐标轴上进行观察，就可以分析了。” 马尔可夫说：“按照你这个方法，直接把点画在坐标轴上，然后看到趋势就可以了。” 第四百八十七章 李雅普诺夫曲线与曲面(非线性力学) 马尔可夫开始写矩阵公式，x1，x2作为初始的系统的两个变量。 然后x`1和x`2作为是系统变换后的量，这个中间联系着2*2的矩阵。 李雅普诺夫对马尔可夫说：“从这样的矩阵中，我就可以告诉你什么叫稳定，什么叫渐进稳定，什么叫不稳定。” 马尔可夫说：“好的，我看你的演示。” 李雅普诺夫开始画图，对马尔可夫说：“先给你看看什么叫稳定的系统。” 李雅普诺夫x11、x12、x21、x22这四个点分别赋予0、1、-1、0这四个值。 然后李雅普诺夫对马尔可夫说：“让x1、x2分别取1、1，2、2，3、3这样的值，然后观察对应的x`1和x`2这样的值，看看在坐标轴上是如何变化的。” 马尔可夫按照这个取值，在坐标轴上画出了圆环这样的图形。 马尔可夫对李雅普诺夫说：“看来0、1、-1、0这样的值，属于系统稳定的现象。” 李雅普诺夫说：“给你一个1、-3、5、-2看看是不是稳定的。” 马尔可夫取了多种取法，发现有的值是螺旋往中心的，像水的漩涡，也想银河系的样子。 马尔可夫说：“这个算是渐进稳定的，即使受到绕道，但是还是很稳定的样子。” 李雅普诺夫说：“给你一个1、3、-5、2看看是什么样子的。” 马尔可夫说：“这是一个往外的螺旋，算是发散的。” 李雅普诺夫说：“给你一个4、-2、1、-3看看是什么样子？” 马尔可夫画出来后直接看到这是一个发散的，因为没有一个规矩会在中心摆动。 李雅普诺夫说：“这些曲线就是我用这样的方式绘制出来的。” 马尔可夫说：“其实在3个变量系统里，三维的曲面也可以翻译系统是否稳定。” 第四百八十八章 李雅普诺夫定理(矩阵) 李雅普诺夫对马尔可夫说：“在计算力学的过程中，我们难免要用到矩阵。” 马尔可夫说：“没错，几乎每一个力学问题都是一堆方程组，有方程组就必然用到矩阵。” 李雅普诺夫说：“既然是这样，那我们一定会研究矩阵这个东西。” 马尔可夫说：“把矩阵弄通了，肯定有利于解决一堆力学问题了。” 李雅普诺夫说：“对n阶实矩阵a和n阶正定矩阵c，若存在正定矩阵b，使得ab+ba′=-c，则a的特征值的实部必全小于零。这个是我的新发现。” 马尔可夫对李雅普诺夫说：“我知道你的意思了，你像用这中公式取计算你的稳定性图案中的系统是不是稳定的，这种稳定性只需要通过矩阵中的特征值就可以翻译出来。” 李雅普诺夫说：“没错，我可以让复杂的系统动力分析问题，变成简单的数字问题，甚至可以以此分类。” 马尔可夫对李雅普诺夫说：“你刚刚取值的用的是1、1，2、2，3、3，你需要找更加合理的方式来取数。” 李雅普诺夫说：“需要带入随机数才是最合理的。” 第四百八十九章 李雅普诺夫维数(非线性) 马尔可夫对李雅普诺夫说：“到此为止，其实我们需要对系统稳定性进行一下分类了。” 李雅普诺夫说：“给两个大致相同，但初始值有差异的两个函数。” 李雅普诺夫说着开始画出了这两个假设的函数图形，随着实际的变化，一开始有微小差别的函数，然后一段相同到重合在一起，之后就出现了差异，这种差异的变动越来越大。 李雅普诺夫说：“我用一个函数来表示这两个函数的差异。” 马尔可夫说：“两者做差？” 李雅普诺夫说：“不仅仅做差，要求导迭代。”说着李雅普诺夫写出了指数公式。 马尔可夫看到李雅普诺夫写出一次迭代，二次迭代一直到n次迭代。 李雅普诺夫对马尔可夫说：“一次的迭代没价值，如果迭代到无穷次，是趋向于一个值的，这样的指数才会有价值呢。” 马尔可夫说：“你用这样的无穷思想，真真是厉害极了。发散了，就不用管了，收敛了就会让这个成为一种等价性，变得可以分析了。” 李雅普诺夫说：“如果是混沌的，这个指数λ就会发散。” 然后李雅普诺夫将指数λ的分类给马尔可夫看。 （λ1，λ2，λ3，···），吸引子的类型，维数 （-，-，-，···），不动点，d=0 （0，-，-，···），极限环，d=1 （0，0，-，-，···），二维环面，d=2 （0，0，0，-，···），三维环面，d=3 （+，0，-，-，···），奇怪吸引子（混沌），d=2~3（非整数） （+，+，0，-，···），超混沌，d=高于3的非整数 马尔可夫沉静在这优美的思想中。 第四百九十章 柯尔莫哥洛夫的奇数与平方数关系(数论) 柯尔莫哥洛夫生下来，母亲难产而死，父亲疏远他，但是小姨对他好，给他数学的书来读。 他6岁就发现了柯尔莫哥洛夫就独自发现了奇数与平方数的关系： 1=1^2， 1+3=2^2， 1+3+5=3^2， 1+3+5+7=4^2， 柯尔莫哥洛夫体会到了数学发现的乐趣。 后来柯尔莫哥洛夫成为了一个全能数学家。 第四百九十一章 数学只需要一个证明 “你这个文章该不会是指向什么的吧？” 一边问，柯尔莫哥洛夫的历史老师一边翻看着这个论文。 柯尔莫哥洛夫对历史老师解释：“我这个说的是中世纪的事情，是想说那时的政府对村庄的课税往往是整数，而分到每家户人家时就成为了分数。因此当时税收政策是按村缴纳再摊派到户，并不是按户纳税再由村庄收齐上缴。” 历史老师说：“你不会是在说今天的吧。” 柯尔莫哥洛夫说：“当然不是，如果假设的今天就太荒唐了。” 历史老师严厉的说：“不是！我看你就是这个意思，正式因为摊到各家各户变成分数，而在收取的时候取了整，就在着取整的时候多了出来，难道你不是在说这个？” 柯尔莫哥洛夫说：“好吧，我是这个意思，也是说现在。在古代，没有四舍五入，所以收取都是按照高的整数来的，当然不是可以四舍到低的地方。” 历史老师说：“你的意思是今天也是？起码是你知道缴税这个事情上不得少一分，所以没有人可以少交，所以每个人都是多交了一点点？” 柯尔莫哥洛夫说：“我没有调查今天的，我想说的是中世纪那个时代就是。” 历史老师说：“你的意思是还要把今天的也给写出了，在档案馆去调查？” 柯尔莫哥洛夫说：“你们都不是常说，档案馆难以进去吗？我没想过去档案馆。” 历史老师说：“那你的论文是靠什么写？自己的推敲？” 柯尔莫哥洛夫说：“当然，合理的推敲和心理学就可以推出这种合理性。” 历史老师说：“那种所谓的合理性只是你自己的想法，历史得拿证据。” 柯尔莫哥洛夫说：“哪里需要什么证据？” 历史老师说：“就好比你写的这个中世纪税收的文章，就需要在档案馆拿到档案，为自己所写的东西举证，才能用。” 柯尔莫哥洛夫说：“那拿几个证据？” “最少五个！” 柯尔莫哥洛夫说：“这样太麻烦了吧，那个论文需要证据最少？” “数学，只要一个。” 柯尔莫哥洛夫说：“那我不学历史了，我还是学数学吧。” 第四百九十二章 卢西塔尼亚号共同的心跳(微积分) 卢津塔尼亚经常爱跟自己的学生们讨论各种数学的问题，涉及到任何一个领域。 但是大家说着说着就变了味儿。 卢津塔尼亚的学生柯尔莫哥洛夫也喜欢讨论这些，而且受到了很大的启发，对他的数学研究极为深远。 卢津塔尼亚对同学们说：“大家都学过微分方程对吧。” 大家异口同声的说：“学过。” 卢津塔尼亚：“那也必然学过偏微分方程吧。” 大家说：“这个当然了。” 卢津塔尼亚说：“这个东西，是经不住推敲的，偏微分方程细细想想，是个有问题的东西。” 柯尔莫哥洛夫说：“我学习的时候，是把偏微分方程是看着一个曲面切成一段一段的组合而成的。” 卢津塔尼亚说：“这就是问题了，切一段段的切法，不具备完善性，而且那种切法不合理，只是朝着一个方向而已了。” 有的学生说：“你居然质疑已经几百年经过无数次验证的东西？你这不应该吧。难道很多偏微分方程不对？” 卢津塔尼亚反问到：“无解的偏微分方程很多吧？而且有解的也有很多无穷小量吧，而且这些无穷小量的问题在某些情况下也会干扰到结果吧。这就是不严谨的东西。” 学生说：“可以用近似法。” 卢津塔尼亚说：“如果要近似的话，目测就行了，何必去花如此大的力气去计算？不精确的数学，就是不合理的，就是一个偏不尊重方程。” 柯尔莫哥洛夫说：“不尊重就是在偏的方向上太唐突了些，我们需要主义本应该有多种偏法。” 学生说：“看来微积分不是靠谱的东西了，概率论我们要发扬。” 卢津塔尼亚大笑说：“这是不幸论。” 柯尔莫哥洛夫说：“为什么不幸？” 卢津塔尼亚说：“概率是根据等可能的事件来定义的，因此只适用于元素有限的系统。面对无穷大的系统时，比如有无数个面的骰子，或者一个连续的球面，当时的概率论就显得捉襟见肘了。” 柯尔莫哥洛夫这时才意识到，概率是依赖定义的，而且如此之依赖，达到唇亡齿寒的程度。 “就连差分理论也是错误的。”卢津塔尼亚打断柯尔莫哥洛夫的沉思。 学生们说：“你的意思，我们经常不得不用的近似计算微积分的东西，不对的？” 卢津塔尼亚说：“这只是美梦差分而已，在很多极其复杂的变化大的函数上，不能随意使用，甚至绝大多数函数都不可以，会出大问题。这种极其不准确的近似数学，最终会消失到历史的长河中。” 第四百九十三章 柯尔莫哥洛夫的概率公理体系(概率与统计) 柯尔莫哥洛夫将概率论做了根本性的修正。他所使用的是一种由法国传入的名为测度论。 测度论将长度、面积、体积等概念泛化，使得无法被常规方法测量的数学对象可能被测量。例如，一个有无限多个孔的正方形，被切割成了无穷多份并散落在了无限的平面中，借助测度论我们仍然可以表示出这个七零八碎的物体的“面积”（测度）。 1933年，柯尔莫哥洛夫的专着《概率论的基础》出版，书中第一次在测度论基础上建立了概率论的严密公理体系。 学生格涅坚科看到了柯尔莫哥洛夫的概率公理体系，一共就三条。 1.一个事件的概率大于等于零。 2.至少一种可能的结果发生的概率为1。 3.如果两事件不可能同时发生，那么这两个事件其中有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和。 格涅坚科说：“老师，为什么要弄这三条公理？起来很简单呀，有什么了不起的？” 柯尔莫哥洛夫说：“概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始建设，和几何、代数的路一样。” 格涅坚科说：“我想知道，你这里有什么特殊的改变？” 柯尔莫哥洛夫说：“我引入了概率测度。” 格涅坚科说：“测度代表的是研究集合的“大小”和“面积”的，怎么用在概率中的？” 柯尔莫哥洛夫说：“我的这三个公理规定了有界性、规范性和有限可加性，分别跟三个公理的第一二三条对应。因为现代的数学都是以集合论为基础的，所以概率也需要用集合论的语言来描述。” 大圆悖论（the paradox of the great circle）就是通过柯尔莫哥洛夫的概率论得以解决的。大圆悖论是说，假设有外星人会随机降落到一个完美的球形星球上，且降落到每个点的概率也都是平均的，这是否意味着所有球体的大圆（great circle，即过球心的平面和球面的交线，把球体分成了两个相等的半球）上的降落概率都是一样的呢？ 其结果是，对于赤道所在的大圆而言，圆上每个点的概率是均等的。而对于经线来说，靠近赤道的点概率大，靠近两极的点概率小。 这一发现或许可以用越靠近赤道纬度圈越大来解释。 但是，这种结果与我们的直觉相违背，因为对于一个完美的球体而言，通过旋转，赤道可以变成任意一条经线。 柯尔莫哥洛夫认为，大圆是一条线段，面积是零，因此测度为零。这一悖论的矛盾之处就在于我们无法严格计算相关的概率。 第四百九十四章 柯尔莫哥洛夫的随机过程论(概率与统计) 柯尔莫哥洛夫是随机过程论的奠基人之一。 柯尔莫哥洛夫证明：相容的有限维概率分布族决定无穷维概率分布的“相容性定理”，解决了随机过程的概率分布的存在问题。 柯尔莫哥洛夫的学生阿诺尔德说：“老师，你的随机过程是什么？” 柯尔莫哥洛夫说：“一件事，或者一个系统，他的发生，需要有很多零部件，而这些零部件都会有一定的概率。通过研究这些零部件的概率，来研究这个系统的可行性和稳定性。” 阿诺尔德说：“听起来很麻烦呀，我们以后会接触到这些东西吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“那是肯定的。很多东西在制造以前，我们需要模拟它的存在，已经它运作时的合理性。所以以后，肯定有用的。” 阿诺尔德说：“可是，为什么不直接跳过这个麻烦的过程。毕竟是理论化的，离显示还差些距离。我们直接研究存在的东西就可以了。如果没有，我们直接制造出来，不管三七二十一。” 柯尔莫哥洛夫说：“简单的，肯定是这样的，但是复杂的，尤其是昂贵的。如果造出来，根本就不合理，甚至没法用，那就白花很多钱，不划算。” 阿诺尔德恍然大悟的点点头。 柯尔莫哥洛夫说：“除此以外，我们模拟这个随机过程的时候，会更加深刻的理解这个机构。如果只是制造出来用，那复杂一些的东西，我们未必能完全明白其内部的构造。” 提出了现代的一般的条件概率和条件期望的概念并导出了他们的基本性质，使马尔可夫过程以及很多关于随机过程的概念得以严格地定义并论证.. 20世纪20年代，在概率论方面他还作了关于强大数律、重对数律的基本工作：他和辛钦成功地找到了具有相互独立的随机变量的项的级数收敛的必要充分条件； 他成功地证明了大数法则的必要充分要件；证明了在项上加上极宽的条件时独立随机变量的重对数法则； 得到了在独立同分布项情形下强大数法则的必要充分条件. 20世纪 30年代，他建立了马尔可夫过程的两个基本方程. 他的卓越论文《概率论的解析方法》为现代马尔可夫随机过程论和揭示概率论与常微分方程及二阶偏微分方程的深刻联系奠定了基础. 他还创立了具有可数状态的马尔可夫链理论. 他找到了连续的分布函数与它的经验分布函数之差的上确界的极限分布，这个结果是非参数统计中分布函数拟合检验的理论依据，成为统计学的核心之一. 1949年，格涅坚科和柯尔莫哥洛夫发表了专着《相互独立随机变数之和的极限分布》，这是一部论述20世纪30年代以来，柯尔莫哥洛夫和辛钦等以无穷可分律和稳定律为中心的的独立随机变量和的弱极限理论的总结性着作. 在20世纪30—40年代之交，柯尔莫哥洛夫建立了希尔伯特空间几何与平稳随机过程和平稳随机增量过程的一系列问题之间的联系.给出了这两种过程的谱表示，完整地研究了它们的结构以及平稳随机过程的的内插与外推问题等. 他的平稳过程的结果创造了一个全新的随机过程论的分支，在科学和技术上有广泛的应用；而他的关于平稳增量随机过程的理论对于各向同性湍流的研究有深刻的影响. 第四百九十五章 柯尔莫哥洛夫湍流定理(流体力学) 1941年柯尔莫哥洛夫在建立湍流的统计理论过程中提出的三个基本假设。 即局部均匀各向同性湍流。 柯尔莫哥洛夫的学生盖尔范德说：“老师，你对于涡流理论有新理解吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“假如流体向各方面无限扩展，则在大雷诺数时，可以认为湍流涡旋运动的随机特征是各向同性的。” 盖尔范德说：“没错，有什么问题吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“但实际上，这种条件很少能被满足：一方面，流动会受到固体边界的限制；另一方面，流动的总能量也不可能无限制扩大，量级为 l的大涡旋运动肯定不是各向同性的，但对于小涡旋，整体运动的影响迅速下降。” 盖尔范德说：“你的意思是虽然流动整体式非各向同性的，但在给定的微小区域内，可以近似的把它看作是各向同性的。” 柯尔莫哥洛夫说：“没错。这正是我的第一假设。” 盖尔范德说：“那你的第二假设的内容是？” 柯尔莫哥洛夫说：“在局部均匀各向同性区域中，流体运动由内摩擦力和惯性力决定。” 盖尔范德说：“嗯，有点意思。” 柯尔莫哥洛夫说：“涡旋体系单位体积中传递的能量流在数值上等于能量耗散率，与此相应，运动统计特征可以依赖的参数只有能量耗散率和运动粘性系数。” 盖尔范德说：“还有第三假设内容吗？” 科尔莫哥洛夫说：“当然。在大雷诺值时，存在称为惯性范围的尺度区间，在此范围内，内摩擦力的影响是不重要的，因而可以略去，运动图像由惯性力决定。” 一边说，柯尔莫哥洛夫写出了这个尺度区间的范围。 第四百九十六章 柯尔莫哥洛夫检验(概率与统计) 普通的人不是人才，大多是灰人。人才才是人才，是非同一般的。普通人做事的结果不要妄加指责，因为是平常的。 在格里汶科的眼里，柯尔莫哥洛夫属于，突破困境的才是人才，一个人顶好几个人。 柯尔莫哥洛夫就是这种一个人可以顶很多人的那种。 在俄罗斯的数学中，他直接撑起一个学派。 柯尔莫哥洛夫对格里汶科定理进行修整，加了拒绝域这样的概念。 格里汶科定理是，当n充分大时，样本分布函数近似地等于总体分布函数，又因随机变量的各种数字特征由其分布函数唯一确定，因此，当n充分大时，样本的数字特征，包括样本均值，样本方差及样本各阶矩，也就近似地等于总体的数字特征。事实上，由大数定理可以证明，当n→∞时，样本的数字特征将收敛到总体的数字特征(假定存在的话)，因此，格里汶科定理就是利用样本来推断总体分布及其数字特征的理论依据。 格里汶科对柯尔莫哥洛夫说：“你的我的概率模型有什么修改？” 柯尔莫哥洛夫说：“第一把样本观测值都列出来，以升序来。第二计算其中的平均水平。第三给出一个显着水平，也就是临界值。第四使用拒绝域，进行左检验和右检验。” 一边说柯尔莫哥洛夫一边画图，把样本正态分布的图画出，同时给画出了拒绝域这样的区域，只留下置信区，这就是柯尔莫哥洛夫检验。 柯尔莫哥洛夫检验是由柯尔莫哥洛夫提出的一种分布拟合检验，用于检验完全已知的连续型分布函数。 第四百九十七章 柯尔莫哥洛夫强大数律(概率与统计) 苏斯基：“光说花钱研发才能成功，有没有想过研发失败了怎么办？” 柯尔莫哥洛夫：“怎么会的？只要掏钱了，总会有有用的结果。” 苏斯基：“别说的那么轻巧，科研是要目的性的，不像有钱的闲贵族，在家坐着玩玩偶然发现个什么这个样子了。科研是需要一定的计划性的。” 柯尔莫哥洛夫：“如果失败了，只能继续掏钱，不能放弃，放弃就太可惜了。攀登科学的高峰上，没有坦途。” 苏斯基：“你说的是屁话，我问你的是一个严肃的问题。假如你是管理人员，你需要研发一种特定的东西。你掏钱给了那些技术人员，而技术人员研发出的东西达不到要求，或者有副作用，那该怎么办？” 柯尔莫哥洛夫说：“我知道你说的意思，但是我们不能随意放弃研发。如果放弃研发，落后就要挨打。” 苏斯基说：“我们需要避免无用的研发，而且就是有用的，也要择贤而立，不要把一堆鸡蛋放在一个篮子上。” 柯尔莫哥洛夫说：“意思是有人需要来竞争，而不仅仅是让一个组的人来轻易拿到钱。” 苏斯基说：“还有，就是竞争的这些人必须拿出自己可行的方案，甚至就需要出现成果。” 柯尔莫哥洛夫叹气说：“如果有些人拿假成果骗取资金该怎么办？” 苏斯基说：“需要每隔一段时间进行审查。拒绝审查，或者审查不合格，就取消研发资格，停止拨款。” 柯尔莫哥洛夫说：“如果有些复杂的东西，不会在短期内出现效果呢？我们就不研发复杂的东西了吗？” 苏斯基说：“不见得，我们可以在报告的过程中体现出这些复杂性。” 柯尔莫哥洛夫说：“一定复杂性的东西，我们需要做出来，然后要慢慢的与此接近方为实在。一开始不能显现，所以一定要足够多的次数和时间。” 苏斯基说：“那究竟得多长时间？” 柯尔莫哥洛夫说：“越长越好，长得足够夸张，就越接近。长到无穷，就会达到目的。” 苏斯基说：“可是我们无法做到无穷的长，甚至连足够的长也难以维持。” 柯尔莫哥洛夫说：“那我们就用概率计算这个接近的函数，如果随着取样本次数越多，期望值能达到效果，那么我们就可以采用这个方案，如果不可以的话，我们就一开始可以放弃了。” 苏斯基说：“你说得倒也合理了，是个解决问题的办法，这叫什么名字？” 柯尔莫哥洛夫说：“这叫强大数律若{xn}为独立同分布随机变量序列，exn存在，则以概率1成立n个独立同分布随机变量x1，x2，...，xn的平均值随n增大几乎趋于μ。” 苏斯基说：“一个不确定的事情，就可以用到这种方法。” 柯尔莫哥洛夫说：“我在做很多实验的时候，都会用到这样的办法去分析。” 第四百九十八章 柯尔莫哥洛夫微分方程(概率与统计) 马尔可夫提出马尔科夫链之后，用矩阵来表示一个系统的变化，这是连续时间参数马尔可夫链理论。 其中的每一个量都是每一个参数从一个状态到另一个状态的概率。 所以这个柯尔莫哥洛夫开始研究这个方程随时间变化后，自己想要的哪个状态参数的量。 马尔可夫说：“从我的这个系统方程里，最有趣的就是那种状态才会发生，而那种状态永远都不会出现。” 柯尔莫哥洛夫说：“需要推到哪个是随时间变化而变化的，哪个是随时间变化都不会变的。” 马尔可夫说：“然后再去研究哪个是随时间概率会加强的，哪个是随时间概率会减弱的。哪个是随时间改变毫无规律而变化的甚至是瞬间变化的。” 马尔可夫链x={xt:t>=0}，p(t)=[pij(t)]，q=[qij]，i，j属于s，当s为有限状态空间。 向前方程p`(t)=p(t)q。 向后方程p`(t)=qp(t)。 第四百九十九章 kam定理(非线性力学) 柯尔莫哥洛夫对阿诺德说：“我开始想关于n体力学的问题，我们未来在研究动力学系统的时候，必须要面对这个严肃的问题。” 阿诺德说：“n体问题属于不可积分的难题，只能寻求级数解。换言之，这类系统无法根据初始条件求出描述系统未来确定性行为的精确解。力学系统一般说来不可积分，可积分系统只是极少的特例，并指出共振项可能影响级数的收敛性。” 柯尔莫科洛夫说：“我们要研究弱不可积系统问题。” 阿诺德说：“哈哈，柿子捡软的捏。” 柯尔莫哥洛夫说：“在扰动较小也可以说非线性程度比较小、v足够光滑、离开共振条件一定距离等三个条件下，对于绝大多数初始条件，弱不可积系统的运动图像与可积系统基本相同。” 阿诺德说：“在满足一定条件下近可积系统绝大多数解是规则的，其相轨迹被限制在一个由n个运动不变量决定的n维环面上，该环面与可积系统的环面相比有微小的变形，但拓扑结构不变，称为不变环面；确切些说，相空间分成大小两组体积非零的区域。” 柯尔莫哥洛夫说：“在大区域中仍然保持着与可积系统类似的环面结构；也有一些“随机”解，但被限制在环面之间，成为“随机”层。”随机二字打上引号表示并非真正的随机，而是因为系统的性态随初值的敏感而呈现混乱，这仍然是混沌现象的决定性的表现 阿诺德说：“因此，近可积系统与可积系统的解相差不多，这时确定性与“随机性”共存。” 柯尔莫哥洛夫说：“当然，随着摄动的加大，上述条件受到破坏，我说的这个不再适用。分隔相邻“随机”层的环面将逐个破裂，“随机”层也相应变大，这时系统的所有可能解中大部分都是混沌解。” 阿诺德说：“轨道的不稳定性是力学系统运动中出现随机性、不可预言性和混沌的原因。” kolmogorov 在1954年世界数学家大会上指出：非退化的可积系统在保守的微小扰动后，虽然某些不变环面一般说来会被扰动破坏掉（称为共振环面），但仍会有相当多的环面被保存下来，也就是说整个相空间中仍然有许多的相流的运动是非常简单的（直观地，可以想象二维平面虽然没有被同心圆分层，但仍有许许多多的同心圆保存了下来，每个圆上的相流都共扼于一个旋转，只是相邻的两个同心圆之间相流的运动会比较复杂一些）。 阿诺德后来与德国数学家moser也开始通信讨论这个问题。 moser说：“不可积的哈密顿系统又是什么样子？” 阿诺德说：“直到现在也不完全清楚，也许永远也搞不清。但是由已知的东西出发探索未知的方法提醒我们应该先去了解充分接近可积的系统是什么样子。” moser说：“我们现在准备试图证明这个定理。” 阿诺德说：“有什么好的办法码？” moser说：“用牛顿迭代的办法了。就是找一系列的典则变换，不破坏哈密顿方程的式，一步步地变换近可积的系统使之越来越靠近一个可积系统，只要对参数的大部分点能做到就行。由于在迭代过程中会出现所谓的“小分母”，用通常的牛顿迭代法无法保证最终无穷多步变换的复合收敛，但利用改进的牛顿迭代方法克服了小分母带来的麻烦，从而完成了定理的证明。” 阿诺德说：“这个办法不错。” moser说：“sigel也对这个工作感兴趣，他在考虑圆周映射的线性化时，也曾提出过类似的证明思想，我在降低该理论对可微性的要求上又作出了一些重要的工作。”后来，john nash 在他证明有关黎曼嵌入的论文中，也用到了类似的迭代方法（当然是独立完成，甚至可能早于moser），于是，后人又把他们的证明方法叫做 nash-moser 迭代。 阿诺德说：“曾经的遍历性假设是猜测：通有的哈密顿系统，相流是遍历的。如果按照我的理论，遍历性假设不攻自破？由于可积系统不是通有的系统，一般的系统都是不可积的，因此由相流不遍历的可积系统并不能否定遍历性假设，但是我们知道近可积系统却是通有的。如果我们考虑 4 维的相空间，其等能面是三维的，如果该近可积的系统有不变二维环面存在，则此环面必将能量面的其余部分分割为不连通的两块，相流不可能从环面一边跑道另一边，所以也就不会有何遍历性可言。” moser笑说：“不知道当年 fermi 是怎么证明了遍历性假设的。不过据说他开密码锁也是一把好手。”fermi当年的工作恰恰发现了不遍历性。说的是他搞了一批耦合谐振子，原来觉得能量可以自由的在自由度之间流动，最终达到玻尔兹曼分布。结果后来发现根据初始条件不同，能量卡在若干个自由度之间来回变，永远不会达到玻尔兹曼分布。验证了动力系统中，遍历性假设不是先天靠谱的。 阿诺德说：“我在想，共振环面破裂后到底会怎样？” moser说：“这个问题仍没有完全解决。目前大家都比较清楚的是：一般会有较低维数的环面存在，分椭圆环面，双曲环面等，，也就是说仍然还有比较规则的相曲线；同时还会有一些很不规则的轨线，有人称之为 mather 集；甚至还有所谓的“马蹄”。” kam 理论，不仅是 kolmogorov 定理本身，还包括为证明该定理所发展的一系列方法，该理论诞生至今虽已近半个世纪，但仍在不断的发展和完善中。它所应用的范围也不仅限于哈密顿系统，对于可逆系统，保体积映射，以及无穷维哈密顿系统（包括一些特殊的偏微分方程）都发展出了相应的 kam 理论。甚至可以说，凡是有小分母出现的地方，就是 kam 大显身手之处。 第五百章 人工散布炮击理论(概率与统计) 斯大林知道德国瓜分波兰其实是为了对付自己，如果斯大林再不做准备，就可能无法抵挡纳粹的冲锋。 斯大林找到了柯尔莫哥洛夫，当然眼前还要很多火炮学专家和将军。 斯大林对柯尔莫哥洛夫说：“这些专家们都跟我说，很多问题还的来问你，你可以让武器变得更先进，或者是战斗力变的更强。” 柯尔莫哥洛夫说：“如果不是因为要面临危险的战争，我才不愿意研究武器系统。” 斯大林点点头：“我们都不喜欢战争，但我们都得面对危险的形式，在场的人和我都希望你要进提高火炮效率的方法。” 柯尔莫哥洛夫接下了这个任务，一开始他开始瞄准精确度，因为大家理所应当的认为精度越高的跑，威力才越大，炮弹才不会被浪费。 但随后，柯尔莫哥洛夫发现，在某些情形下，与其提高每一颗炮弹的命中率，还不如对小幅度偏离目标的范围进行连续猛击。 这一策略被称之为是“人工散布（artificial dispersion）”。 研究好后，柯尔莫哥洛夫找到了斯大林和军事专家们讨论了这个问题，斯大林对柯尔莫哥洛夫说：“你找到了最高效的办法吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“每次，只需要让一个炮静静的在一个地方，连续攻击，就会有很大的杀伤力和杀伤半径了。” 斯大林说：“你知道炮打的很远，你总得瞄准的吧，光是开炮，不可能炮炮都打中同一个地方，你说的连续攻击，不是在浪费弹药吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“你也是知道炮不能每一跑打到同一个地方的吧，肯定因为自己的很多因素，比如风力的改变，炮的震动，开炮后炮的微微的后移，甚至还有左右摆动，那连续攻击的话，炮打出来的是一片区域吧。” 斯大林说：“对呀，这这么瞄准？” 柯尔莫哥洛夫说：“没必要瞄准呀，我们打的本来就是大型目标，只要几炮打下去，那一片肯定要遭殃呀，你又何必要调整炮的精度，一个一个的那样打，干脆就让炮打的不准，而打击一片区域吧，这样我们也能让自己威力提高呀。” 斯大林恍然大悟，对柯尔莫哥洛夫大加称赞：“你太聪明了，你找到了炮的真谛。” 在柯尔莫哥洛夫主持下的莫斯科大学概率系也计算了低空、低速轰炸的弹道表。 为表彰柯尔莫哥洛夫在二战时期的贡献，苏联政府于1944年和1945年授予了他两枚列宁勋章。二战后，他担任了热核武器计划的数学顾问。 第五百零一章 柯尔莫哥洛夫熵(力学) 柯尔莫哥洛夫对阿诺德说：“熵表示的是无序的量，但这个量是指的是静止状态。”柯尔莫哥洛夫认为，研究运动状态是不是也可以引入熵，虽然是运动的，但是毕竟也是信息在发生着变化。 阿诺德说：“没错，我没有听说过动态熵，也是有动态熵，那也是随着时间的变化而变化的，但是如何去表示动态的熵呢？着需要什么办法？” 柯尔莫哥洛夫说：“我想到了一个，就是动力学轨迹。” 阿诺德说：“对一个系统研究时，去研究这个系统的一个点来计算熵？那么这个点本身的位置变化意味着什么？” 柯尔莫哥洛夫说：“一个点的运动跟动力学随机性有关系。” 阿诺德说：“随机性越大，说明无序性越大，说明熵就越大了？” 柯尔莫哥洛夫说：“这里面我们一定要注意区分，随机性跟混沌态时不一样的。” 阿诺德说：“这点清醒我还是有的，随机比混沌要混乱。” 柯尔莫哥洛夫说：“毕竟熵表示的时结果的信息，我们要注意信息之间的变化还要用马尔科夫链系统来解释。” 阿诺德说：“如果时研究平稳性的话，你的这个理论时重要的，运动熵的数值可以用来区分规则运动、混沌运动和随机运动。” 柯尔莫哥洛夫认为： 在随机运动系统中，k熵是无界的； 在规则运动系统中，k熵为零； 在混沌运动系统中，k熵大于零，k熵越大，那么信息的损失速率越大，系统的混沌程度越大，或者说系统越复杂。 阿诺德说：“熵的概念从香农熵延申到动力学中，那就是一个很重要的突破了。” 第五百零二章 希尔伯特第13问题(函数) 1957年，柯尔莫哥洛夫跟学生们爬山的时候问：“我突然想到了希尔伯特的第13个问题。” 阿诺德笑说：“老师爬山还不忘研究数学问题呢。” 柯尔莫哥洛夫说：“这个问题是存在连续的三元函数，不能表成二元连续函数的叠合。” 阿诺德说：“这个说法对吗？” 柯尔莫哥洛夫说：“是错误的。” 阿诺德说：“为什么？” 柯尔莫哥洛夫说：“因为，我刚刚证明了任意多个变量的连续函数都可表成单变量连续函数的叠合。” 阿诺德说：“没错，要是这样个话，那任何一个函数都可以表示从单变量连续函数的叠合了，三元可以，二元的也可以，那么三元函数就可以表程二元连续函数的叠合了。” 柯尔莫哥洛夫笑着说：“没错。” 第五百零三章 艺术复杂性的计算(概率与统计) 对柯尔莫哥洛夫来说，音乐和文学也非常重要，他相信自己可以从概率的视角去洞察人类心灵的运作方式。他也是一个文化精英主义者，认为艺术的价值是分三六九等的。最顶尖的就是歌德、普希金和托马斯·曼的着作，还有巴赫、维瓦尔第、莫扎特和贝多芬的音乐作品——这些作品的永恒的价值类似于永恒的数学真理。柯尔莫哥洛夫强调，每一件真正的艺术作品都是独一无二的，是所谓“不可能”的事物，是超脱统计规律以外的事物。他在1965年的一篇文章中讽刺地问道，“有没有可能把‘托尔斯泰的《战争与和平》’以一种合理的方式纳入‘所有可能的小说’集合中，并进一步假定这一集合中存在某种特定的概率分布？” 同时，柯尔莫哥洛夫也渴望能找到解密艺术创作本质的钥匙。1960年，柯尔莫哥洛夫为一组研究人员配备了机电计算器，指派他们计算俄罗斯诗歌的节奏结构。柯尔莫哥洛夫对实际韵律与古典韵律的偏差特别感兴趣。在传统诗学中，抑扬格是由一个非重读音节跟着一个重读音节组成的。但在实际的创作中，这条规则却很少被遵守。普希金的《叶甫盖尼·奥涅金》是俄语中最着名的古典抑扬格诗，全诗的5300行中，几乎有四分之三的诗句违反了抑扬格定义，超过五分之一的音节都非重读音节。柯尔莫哥罗夫认为，重音偏离古典韵律定义的频率为诗人提供了一个客观的“统计画像”。在他看来，一种不太可能出现的重音模式恰好反映了艺术的创造性和表现力。通过对普希金、帕斯捷尔纳克和其他俄国诗人作品的研究，柯尔莫哥洛夫认为，诗人对韵律格式的独特运用，奠定了自己作品的“调性”。 为了衡量文本的艺术价值，柯尔莫哥洛夫还采用了字母猜测法来估算自然语言的熵（entropy）。在信息论中，熵是对不确定性或不可预测性的度量。对于信息而言，一份信息的不可预测性越大，它所携带的信息量就越多。在柯尔莫哥洛夫眼中，熵成为了一种评价艺术独创性的指标。他的研究小组进行了一系列实验：给志愿者们展示一段俄罗斯散文或诗歌，并让他们猜下一个字母，再猜一个，以此类推。柯尔莫哥洛夫私下说过，从信息论的观点来看，苏联报纸的信息量不如诗歌。因为政治话语会使用大量的固定短语，内容更容易预测。而对于诗歌来说，尽管存在严格的格律要求，但那些伟大诗人的作品却难以预测。他认为这就是诗人的独特标志，也是艺术上的不可能，但概率论有助于衡量艺术的价值。 虽然将《战争与和平》这样的小说置于一个概率样本空间的想法遭到了柯尔莫哥洛夫的蔑视，他却可以通过计算《战争与和平》的复杂性来表达其不可预测性。柯尔莫哥洛夫假设，复杂性是一个对象的最短描述长度，或者是生成一个对象的算法的长度。确定性的对象的描述是简单的。比如，它可以通过一个周期性的0和1组成的序列产生。但不确定的、真正随机的对象则是复杂的，任何生成算法的长度都必须和对象本身一样长。比如，无理数，小数点以后的数字没有规律可循（循环小数可用一个简洁的分数来表示）。因此，大多数无理数都属于复杂对象，因为要描述它们就只能原样再写一遍。这种对复杂性的理解是符合直觉的，即没有任何办法去预测、描述一个随机对象。今日，这一观点对于衡量一个物体所需的计算资源非常重要，在网络路由、排序算法和数据压缩都有所应用。 第五百零四章 柯尔莫哥洛夫－阿诺德表示定理(拓扑学) 阿诺德的研究领域遍及可积系统、代数、代数几何、微分方程、拓扑、灾变理论、奇性理论、辛几何、经典力学和流体力学，等等。 辛拓扑(sympletic topology)明确是阿诺德开创的领域，它来自辛几何(sympletic geometry)，再往前追溯应该是来自哈密顿正则方程。 就研究风格来说，阿诺德确实和哈密顿是一路的。 一般大学课程意义上的经典力学，能顺着牛顿力学-拉格朗日力学-哈密顿力学把个概念脉络说清楚，那就烧高香了。 阿诺德的深度，自然不会满足于泛泛的概念介绍。 都知道拉格朗日力学始于约束体系的研究，谈约束怎可不讨论约束条件相应的几何问题，你看阿诺德的书就会给你讲流形上的拉格朗日力学。 等到进入哈密顿力学，微分形式、外微分自然是必用的语言(其实，这也是热力学必用的语言！)。 既然都来到了哈密顿力学领域，盯着哈密顿正则方程焉能没有研究的冲动，于是人家阿诺德顺着辛几何一路下去发展出了辛拓扑这一崭新数学物理领域。 数学是实验不花钱的那部分物理 jacobi注意到，一个数可表示为四个平方数之和与单摆的运动是由同一个函数所支配的。 20世纪把数学和物理分成两个学科，这是灾难性的。 一代数学家在不知道科学那一半的情况下成长起来，然后把丑陋的经院赝数学教给学生们。 从来没有也永远不会有什么应用科学，只有科学的应用！ 真正的数学家不需要拉帮结伙，脑子不够使的才拉帮结伙以便混吃等死。他们能以任何理由结伙，但是本质上就是解决一个社会学问题—在有点儿文化的环境中赖活着。 阿诺德对柯尔莫哥洛夫说：“我研究了哈密顿的辛几何。他所刻画的随时间变化的物理过程可以等价为相空间的几何变换。” 柯尔莫哥洛夫说：“相空间也是一种坐标系。常规坐标系有x，y，z坐标轴，而相空间在常规坐标轴基础再增加坐标轴或动量轴。质点在初始时刻的位置和速度就对应相空间中一个广义的“点”。我们用这个广义点来表示物理的一些状态。” 阿诺德说：“所有感兴趣的点在相空间里组成一个高维块体。随着时间变化，这个块体会像面团一样变化，所以就把这个块体叫流形。”这里常规是三维块体，二维区域。 柯尔莫哥洛夫说：“上述流形肯定是千奇百怪的，其中符合外尔心目的symplectic 的，就叫做symplectic manifold，中文就翻译为辛流形。辛流形像面团一样被揉来揉去就叫辛拓扑，标准叫法是symplectic topology，而symplectic group就叫辛群了。” 阿诺德说：“之所以symplectic在经典力学和理论物理研究中时髦起来，是因为对保守系统，也就是没有耗散的系统，辛流形的广义体积不随时间变化。” 柯尔莫哥洛夫说：“很多时候，被研究系统的微分方程太复杂，以至于寻找封闭的精确解已不可能的。” 阿诺德说：“需要借助于计算机求数值解。求数值解需要把微分方程近似为代数方程的迭代。近似方法有多种，如形形色色的差分法，各种格式的龙格库塔法等等。” 柯尔莫哥洛夫说：“近似方法在每一个迭代步内有误差，所造成的误差还可能会在下一步迭代中被放大。或者换个名词，这相当于计算带来了虚假的计算阻尼。如果这种阻尼是“正”的还好，误差不会累积暴增。如果一不小心，迭代格式所造成的阻尼是“负”的，那么近似计算出来的系统能量会越来越大，计算结果就会发散，这时根本谈不上精度了。” 阿诺德说：“如果在构造近似格式时，首先约束格式要保证辛流形的体积不随迭代而变化，那么计算出来的“系统能量”就不会无限增大。不管精度如何，这至少数值结果不会发散了！因为保守系统运用的广泛性和计算机分析的流行性，所以对能保正辛流形体积不变的迭代格式就特别受到计算科学家的重视。” 阿诺德说：“目前对微观世界的理论物理和日月星辰的天文学，几乎都不强调能量损耗或认为就根本不存在，而且其运行的时间尺度很大，所以若不用保辛格式，则很难得到长时间的行为。” 柯尔莫哥洛夫说：“但是就很多工程问题，对耗散和摩擦都不能掩耳盗铃，所以辛算法是否还那么霸气呢？” 阿诺德说：“辛算法主要针对的是保守系统，比如天体力学，电磁场中的粒子，薛定谔方程等等。工程上用的要少些，实际上工程中还常常要加入人为耗散来抹掉噪声误差。 第五百零五章 阿诺德的舌头(力学) 人们知道共振，最早是从相同音律的共鸣开始的. 用振动理论的行话说，频率相同的两个音会共鸣，或者叫频率比为1:1的共振。 在力学教科书里，容易从力学基本规律出发，通过数学方法(诸如列出微分方程求解等等)解释共振原因. 这是熟知的1:1共振.为和比值数字呼应，下文写成1\/1共振. 在历史上，接着有记载的是1\/2(频率比为1:2)的共鸣. 这种1:2共振在线性振动理论范畴内也容易理解.一个音的频率正好是另一音的频率乘2，乐律上叫“高八度”. 更一般地，设想有两个物体(或系统)，两者固有频率之比恰好为1:n。(或n:l)，n为正整数，如两者有某种相互影响，即通常称为有耦合，也会发生l\/n共振. 以上所说共振，用线性的振动理论就能解释. 再进一步考虑有非线性的因素.我这里只是原理性的解释，相关的条件见非线性振动专着. 设在某种非线性条件下，系统的“固有”频率不是那么死板，不可变动，那么只要两个频率之比接近于1:n，也会出现共振.这种共振也就是次谐波(subharmonic)，比如，1\/3次谐波就是因为有1\/3共振。 所谓阿诺德舌头比这更进一步，这个术语说明的是m\/n共振的条件，这里m和n是没有公因子(不可公约的)两个正整数，特别是比较小的正整数，比如2和3，或者5和8.这种共振通常是以某种非线性为前提的，非线性可能存在于系统自身，也可能见于两者耦合的机制. 我用生活中的例子来说明“耦合”怎样起作用. 个人走路，总有自己的习惯，形成固有的频率(如一分钟多少步)。 这种频率不会象电机转动频率那么严格地等于多少，而是在某个平均值附近有一个比较窄的“分布”. 现在观察年龄相仿(因而固有频率相近)又比较亲近(有足够的耦合程度)的甲乙两人(设想是两个初中女生)，让他们一起走路. 走呀走的，就会走到一样快慢，甚至于不仅“同步”(synchronized)“锁频”(frequeney一loeked)，而且“锁相(phase一locked)”，相位也相同，甲出左脚.乙也是左脚. 两人的亲密程度，反映了“耦合”的强弱. 是甲影响乙，还是乙影响甲，或者相互影响? 阿诺德舌头说明的是:更一般的m\/n共振中，耦合强度要多大才会发生.借用走路的说法，两个人(比如，大人和孩子)，让他们分开走，自然频率比大致是2\/3，甲走2步的时间，大致是(不必准确地是)乙走3步的时间.甲和乙一起走，亲近(耦合)到什么程度，会发生2\/3共振，甲每走2步，乙不多不少正好走3步，而且一直维持下去，耦合不够这个程度，就乱了套，不合拍，追追停停，甚至各走各的了。 第五百零六章 阿诺德扩散(非线性) 阿诺德最擅长就是相空间的研究，他坚信相空间中点的形状分布能够反应原来系统的特点。 而对于很多混沌的系统，他知道其中有很多不可测的麻烦，但是他还是想试图用自己的创造力和洞察力来对这些不好驯服的系统里找到一些有用的规律。 阿诺德对m. berry说：“相空间里，在那些稳定的岛屿与不变环面之间，可能存在一些幽灵般的轨道，以近乎随机的方式极其缓慢地漂移，这一机制我一直不清楚。有序运动与无序运动交错共存，不管在哪一个量级或层级上，一定会有不可预知、难以控制的信息隐藏在深不可测的黑暗地带。” berry说：“如果是不清楚，那为什么还有去研究？” 阿诺德说：“难道出现的东西，我们不要去思考一下吗？” berry说：“那个深不可测的黑暗地带，是随机的，你研究它还有什么意义？” 阿诺德说：“我们现在看似是随机，万一里面有一种规律呢？万一这个规律是很重要的，可以反应其中特性的呢？” berry说：“或许一丁半点的变化，就会让这些随机性大为改变。所以极难研究。” 阿诺德说：“研究不稳定处的原因，不也正是要研究稳定的原因！尤其是这两者之间相互接触和关联，若不研究，也许我们就错过了好的时间。” berry说：“那你具体是如何研究？” 阿诺德笑着说：“研究那些不稳定物的形状，看这个形状像什么。” berry说：“这倒像你的风格。” 第五百零七章 阿诺德用拓扑学证明五次方程无根式解(拓扑学、方程学) 1963年。 由于阿诺德对相空间的研究已经走火入魔，看到哪个问题都想用这样的思路来解决。 他盯上了伽罗华理论，一元五次方程没有有限根式解的证明。 阿诺德心想，可以拿出一个五次方程，然后对系数进行变化，然后在相空间上描绘出点来。 “方程系数绕一个环路回到原点可能会造成多项式方程根的置换。” 定理是，两个环路对易式定义的环路会造成根空间里的环路。 这样问题就来了，如果根的置换的对易式还是根的置换的话，那代数方程解的公式就必须是嵌套根式的样子。 若根的置换的对易式之对易式一直是根的置换，那解的根式表达就必须是无限嵌套的样子。 五次方程没有有限根式解由此得到了一个拓扑学角度的证明，思路清晰，比伽罗华理论好懂多了。 第五百零八章 环数字 阿诺德思维诡异奇绝，很多不相干数学可以联系一起思索。 但苦于证明这些浪费时间，所以只自己思索，不会轻易发表，让很多人都不知道其中的奥妙，以为数学发展仅限当下之世，没用再近。 阿诺德在自我互通的数学海洋里荡漾，对多个惊人的本质化数学问题处理上的东西已经娴熟，随便拿出个东西都能得一堆的奖。但他已经不屑干那琐碎的事情了。 他的目标除了想要处理复杂的世界难题以外，还想自己寻找一些难题。 这种难题是自己遇到的实实在在的真难题，而不是演给大家看的。 阿诺德突然想象出一阵数字。 在刘维尔想到无穷大这种数字后，阿诺得想了很久，觉得有些问题，貌似可以轻松找到其瑕疵。 但是他没有执着的去寻找这个由于展现自己创造力而落下严谨性的瑕疵，毕竟在数学界的潜规则里，创造性先于严谨性。 阿诺德突然想到一个特别奇怪的数字，那就是环数字。 这种数字没有头部，没有尾部，所以是一个圆环形状，而且长度可以是任意值，可以是有限的，也可以是无限的，而普通的数字就是一个无线的环数，比如2，环数是头部尾部连接了无数个0的数字，就是......0000000000000002.000000000000000000......这样的无限环。 这个有吗？可以拿钟表来看，这是有12个数字的环数，可以写成0这个样子，形成了一个闭环。 这个有用吗？阿诺得还没想好，只是认为这个东西可以做加减乘除等运算，或者都简化成了群计算等等，这跟循环群是类似了。总之，这种数字当然是可以计算的。 除了是圆环之外，阿诺得甚至想到了，杂环，是一种四面体边的那种环。 阿诺德笑着问自己，是不是太过于无聊了，而无聊也许可以产生有用真数学，或者等价其他数学，对解决其他数学问题有用。 但魔怔的阿诺德居然没有放弃，继续想要给自己研究下去的理由。 第五百零九章 米富斯概率样本空间概念(概率与统计) 米富斯在柯尔莫哥洛夫概率公理基础上，建立了概率测度。 概率测度有如下九种性质。 1.不可能事件，概率为0. 2.有限可加性。 3.对立事件概率公式。 4.正常差概率公式。a属于b时，概率可以做差。 5.单调性。a属于b时，b发生概率大于a。 6.有界性。 7.加法公式。其中用到集合加法。 8.半有限可加性。集合并发生概率，小于这些集合概率之和。 9.半完全可加性。集合取无穷时的8情况。 柯尔莫哥洛夫说：“这与古典概率有区别吗？” 米富斯说：“假设一个旋转陀螺，上面一周刻上数字，从0到3，如果陀螺停止倒下，与地面接触会有0到3之间的一个数字。这个数字概率是多少？这就不符合古典的模型。古典概率需要把所有情况考虑到，就好比一个骰子有1、2、3、4、5、6这六个点。而陀螺0到3之间却有无数个数字，是不能把概率空间全部列举出来的。所以，用你的古典概率是不可以的了。” 柯尔莫哥洛夫说：“没错，你已经考虑到数字的连续性。那我们的概率公理也需要进行合理的完善了。” 第五百一十章 马尔科夫链(概率与统计) 辛钦对马尔科夫说：“你发现了一种重要的概率模型吗？” 马尔科夫说：“没错，名字叫马尔科夫链。” 辛钦说：“描述一下，我听听合不合理，重不重要。” 马尔科夫说：“当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态。” 辛钦说：“与之前很久时间的状态无关，是这个意思吗？” 马尔科夫点点头。 辛钦说：“有个好的例子吗？” 马尔科夫说：“一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个这样的链。因为这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。” 辛钦认为这一模型的哲学意义是十分明显的，他说：“就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。” 马尔科夫说：“这就是一种无记忆性。” 辛钦说：“你从哪里来的这个想法？” 马尔科夫说：“这即是对惠更斯提出的无后效原理的概率推广，也是对法国数学家拉普拉斯机械决定论的否定。” 辛钦说：“有些意思，上升到某些哲学意味了。你这样做就是开始考虑相依随机变量序列的规律。” 马尔科夫说：“从中选出了最重要的一类加以研究。这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。” 辛钦认为，马尔科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物质背景，在他的工作之前或同时，一些马尔科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或用精确的数学语言表述出来罢了。 辛钦说：“除了有深刻的哲学意味，还有很多物理方面的不错的解释。比如布朗运动，家族遗传规律，容器中分子扩散使用，传染病感染人数，谣言是散播，原子核中电子跃迁，人口的增长等。” 马尔科夫笑说：“有趣的是，我倒是没有太多的注意有关物理的模型。而是统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博得朋友的欣赏。”诗人那火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：在这条锁链上只有两种链环，c代表辅音、代表元音，此处为了使问题简化起见，不仿把两个无音字母算作辅音。马尔科夫分别统计了在c后面出现c和的概率p和1-p，以及在后出现c和的概率q和1-q，把结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的从概率的意义上讲，字母序列符合他所建立的概率模型。” 辛钦说：“原来是利用了语言文学方面的材料来说明性质。” 后来，马尔科夫完成了关于链的大数定律的证明之后，马尔科夫又开始在一系列论文中研究链的中心极限定理。 1907年他在《一种不平常的相依试验》中证明了齐次马尔科夫链的渐近正态性； 1908年在《一个链中变量和的概率计算的极限定理推广》中作了进一步的推广； 1910年他发表了重要的论文《成连锁的试验》，在其中证明了两种情况的非齐次马尔科夫链的中心极限定理。与此同时他在一些假定的前提下证明了模型的各态历经性，成为在统计物理中具有重要作用的遍历理论中第一个被严格证明的结果。遍历理论亦称ergodic理论，是奥地利物理学家玻耳兹曼（l. boltzmann， 1844－1906）于1781年提出来的，其大意是：一个系统必将经过或已经经过其总能量与当时状态相同的另外的任何状态。 第五百一十一章 马尔科夫转移矩阵法(概率与统计) 自从发现马尔科夫链之后，马尔可夫便开始进行深度挖掘。 一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。 马尔可夫认为自己可以对一个系统进行预测，自己可以当一个完美的算命先生。 就是使用马尔可夫转移矩阵法。 假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用a牙膏，7000人使用b牙膏。又据调查，使用a牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用a牙膏，40％的人将改用b牙膏；使用b牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用b牙膏，30％的人将改用a牙膏。 现用\\拟用 a牙膏 b牙膏 a牙膏 60％ 40％ b牙膏 30％ 70％ 根据这个表，马尔可夫用矩阵表示。 b=[ 60% 40%] [ 30% 70%] 称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。 有了转移矩阵，可以预测下一个月（1月）的使用各种牙膏的人数。 （3000 ，7000）[ 60% 40%]=（3900，6100） [ 30% 70%] 如果转移概率矩阵不变，继续可以预测2月份情况 （3900，6100）[ 60% 40%]=（4170，5830） [ 30% 70%] 二月份使用牙膏数也知道了。 而且从中可以看出其中2个月的变化，就是这个矩阵的二次方。 辛钦对马尔可夫说：“你发现的第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。这个会有很大作用吗？感觉n-1以前的全部作废了？” 马尔可夫说：“你的脑子还是没转过来吧。n-1与n-2有关联，n-2与n-3有关联啊！” 辛钦说：“我们不是要研究n的状态吗？前面的我们还要管他干嘛？” 马尔可夫说：“很多系统，在时间演变过程中，我们只是取到其中几个时间点的一些碎片。我们要把整个系统的演化过程推演出来，之后分成很多段时间点，把从上到下的每个转移矩阵推敲出来，然后对系统前后的变化进行推敲。” 辛钦摇摇头说：“概率转移矩阵又不是恒定的？你这样做的意义？” 马尔可夫说：“不一样，所以可以把每个状态的概率矩阵都写出来，然后观察其中的变化。” 辛钦说：“试图寻找稳定的，或者即使是不稳定的，也是可预测的那种？” 辛钦说：“是的。” 后来结合蒙特卡洛，马尔科夫又发现了马尔可夫链蒙特卡洛方法(markov chain monte carlo)，简称mcmc，产生于19世纪50年代早期，是在贝叶斯理论框架下，通过计算机进行模拟的蒙特卡洛方法(monte carlo)。该方法将马尔科夫(markov)过程引入到monte carlo模拟中，实现抽样分布随模拟的进行而改变的动态模拟，弥补了传统的蒙特卡罗积分只能静态模拟的缺陷。mcmc是一种简单有效的计算方法，在很多领域到广泛的应用，如统计物、贝叶斯(bayes)问题、计算机问题等。 第五百一十二章 辛钦常数(超越数) 在我们开始一项事业的时候，我们往往会信心十足，但随着工作的展开，我们会发现事情远没有我们想象的那么简单，此时的自信与信心也会随之下降。 要相信“长期主义”才有可能走向“达克效应”中的开悟之坡。在长期主义中还有方向，和时间两个系数，当方向发生错误时，时间越久，离开悟之路就会越远。 亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦开始研究连分数。 辛钦想看看很多数字使用一个连分式展开。 辛钦开始尝试a0加一个1除以a1加1除以a2加除以到无穷分之一分之一分之一无穷到最上面的那个分之一停止。 辛钦开始研究a0、a1、a2……，这些数字的变化规律。 后来发现一直往后，这个数字趋向于2.……这么一个数字。 后来辛钦发现任何一个实数都用这种连分式展开，都会接近这个数字。 这个数字被称之为辛钦常数。 由于计算难度大，人类后来也计算到7035位。 也不知道这个是不是无理数。 第五百一十三章 维纳－辛钦定理(傅立叶分析) 自打傅里叶分析出现以来，很多数学家和物理学家都巴不得把任何一个信号，快速的用傅里叶分析出来，找到其中的周期信号。 维纳、辛钦、爱因斯坦、柯尔莫哥洛夫等人都在这个上面下了很多功夫。 各自都发现了任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换。 广义平稳随机过程是与狭义的随机过程不同，狭义随机过程是它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。广义平稳随机过程若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关。 功率频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率这被称为信号的功率谱密度。功率的谱反应特定的系统，它出现的功率的信号就是一个特定频率对应有多少功率。 自相关，也叫序列相关，是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式，如被噪声掩盖的周期信号，或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。 可先对影像的功率谱进行估计，经逆傅里叶变换就可以得到影像的相关函数，提供了一种估计相关函数的方法。 由于信号的自相关函数计算量大，所以信号的自相关函数通常不直接计算，而是用信号的自功率谱密度的逆fft变换来计算。 以此可以断定这是一个什么样的系统，或者是这个系统处于什么样的状态。 在旋转机械的故障诊断中，周期信号最主要的信号，而信号的周期和信号的频率有很强的数学关系，这也是功率谱和自相关函数关系的根源，自相关函数反映信号的周期性，功率谱密度反映信号在各个频率上的能量。白噪声是在整个频谱上能量不变的信号，即一条平行于x轴的直线，更具傅里叶变换的性质，其傅里叶反变换（信号的自相关函数）是狄拉克函数，即冲击函数。 第五百一十四章 辛钦大数定律(概率与统计) 辛钦研究了伯努利的大数定律和切比雪夫大数定律后，也提出了一个自己的大数定律。 伯努利的大数定律是取了无数个样本，得到一个理想的概率。 切比雪夫找到了一个公式，描述是取了无数的样本，这无数个样本平均值减去这个样本的平均的期望值，就接近与零了。 辛钦的公式就在切比雪夫的基础上改了改，就是无数样本的平均值减去样本的期望，接近零。 切比雪夫大数定理并未要求样本同分布，相较于伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性。 第五百一十五章 辛钦单峰性准则(概率与统计) 辛钦说：“测量一个物体多次，每次测量都必定产生偏离精确值的误差。每次产生的误差值都不同，但与实际相差较小的出现频率高，与实际相差较大的出现频率低。” 切比雪夫说：“高斯分布就是如此的。只有一个峰。” 辛钦说：“一个峰代表只有一个事件。” 切比雪夫说：“那两个峰就是两个事件了。” 辛钦说：“是的，这很重要，我们要明确两个峰不可能是一个事件，一个事件不会有两个值，也不会有分布上的两个最高点，所以也不会有两个峰，所以两个峰必然会是两个事件。我们还要学会从乱峰中分离出n个事件来。这对我们采集分析数据十分重要。” 第五百一十六章 walsh函数(傅立叶变换) 1923年，美国数学系j.l walsh提出walsh函数。函数展开有三种：walsh序的walsh函数，佩利序的walsh函数，哈达玛序的walsh函数。 walsh函数取值简单，仅取0和1两个值，但是它们在这两个值之间频繁地跃变，似乎比三角函数要复杂得多。 沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换。这种变换压缩效率低，所以实际使用并不多。但它快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。 j.l.沃尔什提出的，定义在半开区间0≤t<1的一组完备、正交矩形函数，其波形如图所示。从图中可见，函数只取+1和-1两个值。 显然，它的抽样也只有+1和-1两个值，与数字逻辑中的两种状态相应，特别适合于数字信号处理。 沃尔什变换与傅里叶变换相比，由于它只存在实数的加、减法运算而没有复数的乘法运算，使得计算速度快、存储空间少，有利于硬件实现，对实时处理和大量数据操作具有特殊吸引力。 在通信系统中由于它的正交性和具有取值和算法简单等优点，便于构成正交的多路复用系统。 沃尔提出任何复杂函数f(x)都是简单的方波r(x)二分演化的结果。 这像是一种傅里叶的思维方式。 第五百一十七章 阿达马矩阵(矩阵) 雅克·所罗门·阿达马为了解决一些数学问题，提出了阿达马矩阵。 阿达马矩阵是一个方阵，每个元素都是+1 或?1，每行都是互相正交的，常用于纠错码，如reed-muller码。 n 阶的阿达马矩阵 h 满足hh^t=nin，其中in是n阶单位矩阵。 提出这个矩阵后，西尔维斯特提出西尔维斯特构造。 阿达玛说：“我想说明这是一个矩阵的单位的寻找，或者是矩阵的逆的寻找。” 西尔维斯特说：“我可以拿假设''''h''''是一个''''n''''阶的阿达马矩阵，则下面的矩阵。” 西尔维斯特直接把很多h和-h写入一个矩阵中，然后再换算为1和-1的样子，继续说：“这也是阿达马矩阵。” 阿达马说：“有趣。” 西尔维斯特说：“他们都是对称矩阵，并且这些矩阵的迹都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1。”这些矩阵和walsh函数有密切的关系。 阿达马说：“我猜想，对于每个4的倍数n= 4k，k为自然数，都存在n阶的阿达马矩阵。” 西尔维斯特说：“我可以构造法给出了阶数为1， 2， 4， 8， 16， 32 等等的阿达马矩阵。” 阿达马说：“我可以构造阶数为12和20的阿达马矩阵。” 后来。raymond paley随后给出了任何q+1 阶的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为3的质数任意次幂。 他也给出了形式为2(q+1)的阿达马矩阵的方法，其中q 是任何模4为1的质数任意次幂。他使用了有限域的办法得出了这些结论。 2004年6月21日hadi kharaghani 和 behruz tayfeh-rezaie宣布他们构造出了428阶的阿达马矩阵。 最小的尚未被构造出来的4k阶阿达马矩阵是668阶。 第五百一十八章 阿达马变换(傅立叶级数) 阿达马与自己的学生安德烈·韦伊讨论广义傅里叶变换。 阿达马说：“傅里叶级数是由大量的三角函数合成的，但其实还能有一种比较简单的办法。” 韦伊说：“能找到简单的傅里叶级数方法，这里的每一步都是个重大突破。” 阿达马说：“把所有的三角函数都换成1和-1这样的值，或者是换成1和0这样的值，然后进行计算。” 韦伊说：“那样感觉会失真吧。加入我们去看很多的颜色，你这样的变换导致只会有黑白两种颜色，都看不清楚色彩。” 阿达马说：“这个要的不是准确的得到图形的信息，而是要快速对频谱进行分析。” 韦伊说：“那这其中需要哪些性质呢？” 阿达马说：“有正交性、奇偶函数性质、线性关系、逻辑相加性质、特殊函数、平移性质、调变性质、帕塞瓦尔定理、折积性质。” 韦伊说：“这样就可以灵活的进行频谱分析了。” 第五百一十九章 阿达马证明素数定理(数论) 韦伊对阿达马说：“你走火入魔了，你对素数定理的研究走上的偏路。” 阿达马说：“迟早会这样的，黎曼猜想其实已经暗示我们素数的研究肯定要涉及到其他领域的。” 韦伊说：“那也不知道到用复变函数论去研究素数定理吧。数论就是数论，复变函数就是复变函数。” 阿达马说：“给你足够的时间就就会发现其中的联系。” 韦伊笑说：“其实我不太喜欢研究数论，那只是数字游戏而已，不喜欢的都还觉得很枯燥呢。” “我喜欢数学那优美壮观的景象。”韦伊继续道。 阿达马说：“你说的这个东西，我更喜欢，因为我有一颗数学心，我经常会想一些数学思维过程。我不太喜欢拙劣的语言描述，那些不准确，我认为真正的数学是没有字的，其实我也不喜欢文字，只是心里想象这个过程，这里里面本身就带有证明了。” 韦伊说：“等会！那你还研究数论？” 阿达马说：“你没听懂，数论就是一个十分优美的画卷，而且无字的证明在我的脑海中已经呈现。” 韦伊吃惊：“你怎么能做到这一点的？” 阿达马说：“黎曼研究的ζ函数，你脑中想没有画面都有点难。简单点勒让德的素数定理，其实我用自己的脑海也能感受到这个过程，加上切比雪夫和曼戈尔特的函数，我脑海里都是关于这个东西的画面。这些必然要联系到复变函数，如果用复变函数，就会呈现一个广阔的令人兴奋的领域。你必然会爱上这一切的。” 韦伊说：“说的我都好像试试看了。” 阿达马说：“你找到一个绝对安静的地方，练习自己对复变函数感受的能力，时间一久，自然而然你就会在这个地方有所成就。” 韦伊说：“这世界上哪有如此安静的地方，既要研究，又要赚钱。真要是有，我倒是希望自己能够破解黎曼猜想。” 阿达马说：“黎曼猜想极其困难，你需要换个方向来。” 韦伊说：“没事，我可以找一个有限域来试试这个的黎曼猜想是怎样的，能不能被证明。” 阿达马兴奋的说：“没错呀！你这个方向不错，倒是可以试试。” 韦伊说：“我现在需要找到一个既安静，又能饿不死的地方就好了。” 阿达马笑：“去监狱不就可以了！” 二人哈哈大笑。 第五百二十章 波特图(傅立叶分析) 贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波特在1930年发明波特图。 波特图是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，利用波特图可以看出系统的频率响应。 波特用简单但准确的方法绘制增益及相位的图，因此他发明的图也就称为波特图。 波特图可用来计算负反馈系统的增益裕度（gain margin）及相位裕度，进而确认系统的稳定性。 如果是时间短，振幅高的波形，第一时间就容易看出来和探测出来。 但是如果是时间长，振幅高的波形，除了第一时间难以反映，而且等待时间长，难以看到全貌。 所以波特对频率取了对数，就如果在相对小的图中看到了。 第五百二十一章 奈奎斯特频率(滤波、傅立叶分析) 哈里·奈奎斯特1907年移民到美国并于1912年进入北达克塔大学学习。1917年在耶鲁大学获得物理学博士学位。1917年～1934年在at&t公司工作，后转入贝尔电话实验室工作。 作为贝尔电话实验室的工程师，在热噪声(johnson-nyquist noise)和反馈放大器稳定性方面做出了很大的贡献他早期的理论性工作。 是关于确定传输信息的需满足的带宽要求，在《贝尔系统技术》期刊上发表了《影响电报速度传输速度的因素》文章，为后来香农的信息论奠定了基础。 1927年，奈奎斯特确定了如果对某一带宽的有限时间连续信号（模拟信号）进行抽样，且在抽样率达到一定数值时，根据这些抽样值可以在接收端准确地恢复原信号。为不使原波形产生“半波损失”，采样率至少应为信号最高频率的两倍，这就是着名的奈奎斯特采样定理。奈奎斯特1928年发表了《电报传输理论的一定论题》。 奈奎斯特频率（nyquist frequency）是离散信号系统采样频率的一半，因哈里·奈奎斯特 （harry nyquist）或奈奎斯特－香农采样定理得名。采样定理指出， 只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。 从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。 但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量 全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。 在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和 信号重建的过程中可能会发生畸变。因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率， 具体的情况要看所使用的滤波器的性能。 需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。 如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊 而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。 我五百二十二章 奈奎斯特稳定判据(电磁学) 在贝尔实验室，有很多伟大的实验研究，很多机械与电子学的完美结合的发明，都出自那个地方。而在这里系统的稳定性控制，也成为了常见又重要的课题。 系统的稳定性控制，当然由电子来反映，因为把所有的系统转化成电流电压和电阻的数值，并加以记忆，就可以准确的去分析这个系统的变化了。 剩下的仅仅是依据如何去分析这样的变化而已。 奈奎斯特开始面对这个问题了，很多系统在他的眼前就是一堆电压和电流的变化图，他必须要从中找到什么是稳定的，什么是不稳定的。 奈奎斯特找到了很多稳定的和不稳定的模型，来区分其中的图形，像找到一种简单的办法，通过这个这个办法快速的判断出来这个模型是否稳定。 1932年奈奎斯特发现了一种稳定判据，用于确定动态系统稳定性的一种图形方法。 从电压的反馈中找到一种函数，当然这种阻抗图是一种复函数，所以需要做一个复变函数图f(s)。 在这个复变函数图中根据辐角原理，找这个函数的一个截面的逆时针曲线包裹了几个零点和极点。 令 f(s)=1+g(s)h(s)=1+b(s)\/a(s)=[a(s)+b(s)]\/a(s)，那么f(s)的极点为a(s)，也是开环传函的极点；f(s)的零点为a(s)+b(s)，是闭环传函的极点。不得不说，f(s)是非常巧妙的构造，f（s）联系开环传函和闭环传函；同时它的零点就是闭环传函的极点，正是我们判稳所需要的，即f(s)没有在s坐标实部大于0的零点，系统就是稳定的！ 它只需检查对应开环系统的奈奎斯特图，可以不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用（虽然必须已知右半平面每一种类型的奇点的数目）。 因此，他可以用在由无理函数定义的系统，如时滞系统。 与波特图相比，它可以处理右半平面有奇点的传递函数。此外，还可以很自然地推广到具有多个输入和多个输出的复杂系统，如飞机的控制系统。 奈奎斯特准则广泛应用于电子和控制工程以及其他领域中，用以设计、分析反馈系统。尽管奈奎斯特判据是最一般的稳定性测试之一，它还是限定在线性非时变（lti）系统中。 非线性系统必须使用更为复杂的稳定性判据，例如李雅普诺夫或圆判据。虽然奈奎斯特判据是一种图形方法，但它只能提供为何系统是稳定的或是不稳定的，或如何将一个系统改变得稳定的有限直观感受。而波德图等方法尽管不太一般，有时却在设计中更加有用。 第五百二十三章 集合论为数学根基(集合论) 1939年，让?勒瑞看到书架上突然出现了《数学原本》（第一卷）。 从书的内容上课，对所有的数学都进行了高度的概括，当然此刻还只是第一本。 让?勒瑞惊叹不已，认为只要真正专业的数学家才能写出如此过硬的书。 他赶紧看看书的作者是谁，是尼古拉·布尔巴基 “布尔巴基是谁？怎么没听说过？” 这件事情在轰动一阵后，平静了一段时间。 但是没过多久第二卷、第三卷陆续上了书架。 让?勒瑞沿着出版商的轨迹去找，找到了真正的布尔巴基，原来布尔巴基不是一个人，而是一群人。 让?勒瑞找到这两个人的时候，这两个人先是谨慎的看着让?勒瑞，都说自己是布尔巴基。但是后才承认自己的真正姓名，他俩分别迪奥多内和韦伊，他们是巴黎大学的学生，是这本书的作者之一。 此时，迪奥多内和韦伊正在讨论关于《数学原本》这本书的构思。 迪奥多内说：“写这部书的意思很简单，仅仅是为了学好数学。毕竟数学发展到今天太过于庞大，对于我们这群越学越贪婪的人来说，什么都想学到位，所以想要把所有数学的东西凑在一起。”其实迪奥多内等人真正的想法是邻国的科技太过强大，就是因为数学领先世界，自己的国家想要追赶，就必须要加强数学能力。 韦伊说：“但不是随意的东拼西凑，而是需要有一个统一的想法把这些各种不同的数学全部统一起来。用的办法是结构主义的框架来，当然是建立在集合论的基础上的。” 迪奥多内说：“这次写书，不像以往，仅仅靠生动支撑自己，我们这一次要靠绝对的严谨性来解释每一个数学，用严格规范后的集合论。这样的数学才会是高度准确的。” 让?勒瑞说：“你们是一个学派吗？” 韦伊说：“没错，我们这个学派需要有扎实的数学功底才能来，不是光懂得多，还得严谨才可以。” 让?勒瑞说：“你们是否会碰上一个麻烦，就是在集合论推导一些东西的过程中，会有一些尚未发现的东西，你们还得自己去推导？” 迪奥多内说：“常常会有，这很正常，所以我们需要自己来创造很多东西，甚至有些巨大的数学体系的工具也需要我们重新创造，验证，规范后直接使用。” 让?勒瑞说：“那就是布尔巴基风格的新名词了。” 韦伊说：“没错，但是这种新名词的诞生很不容易，需要经过很长时间的锤炼才行。” 迪奥多内说：“所以，我们除了写书，还需要巩固知识，然后找到一个很稳定的办法，一统数学江湖。” 让?勒瑞说：“我可以加入吗？” 迪奥多内说：“我倒是没有意见，这需要问问我们的老大。” 让?勒瑞说：“我很想见见你们的老大。” 韦伊眼睛直勾勾盯着迪奥多内说：“我们有老大吗？” 迪奥多内笑着一说：“没有老大，我们这里只有一个人，就是尼古拉·布尔巴基。” 让?勒瑞对着两个人的诡异行为感到不理解，心里有很多问题要问。 让?勒瑞被带到一个会议室。 眼前坐着五个人，分别是安德烈·韦伊，亨利·嘉当，克劳德·谢伐利，让·迪奥多内和让·戴尔萨特。五人全是巴黎高等师范学校出身。剩下一个女秘书叫利丽安·布利尤。 嘉当对让?勒瑞说：“你也要参与数学公理化系统中吗？” 韦伊严肃的说：“你基础如何？” 让?勒瑞拿着手中的《数学原本》说：“我数学基础就是因为差，才在书店买到这本书，其实我抱着学习的心态……” 嘉当打断说：“没关系，但是最好不要差太久，要有快速自学的能力，我们现在就是缺写书的人，现在好不容易成立了这些人，我们要加快速度，你要跟上。” 韦伊吃惊的看着嘉当：“你打算用他？不考考他？” 让·迪奥多内说：“今天上午的谈话看出，他对这个数感兴趣才来找我们。” 让?勒瑞突然问：“尼古拉·布尔巴基，为什么你们要用他的名字？因为不屈服，还是有希腊血统，还是因为某个雕像。” 韦伊说：“是我们考你，不是你问我们。” 韦伊说：“看过维特根斯坦的书吗？《逻辑哲学论》。” 让?勒瑞说：“我没有注意过哲学，我看的是数学书。” 韦伊说：“世界是由许多“状态”构成的总体，每一个“状态”是一条众多事物组成的锁链，它们处于确定的关系之中，这种关系就是这个“状态”的结构，也就是我们的研究对象。” 让?勒瑞说：“这个状态是指？” 韦伊说：“结构主义。” 让?勒瑞说：“我听说过结构主义的一些事情……” 韦伊打断说：“数学是研究结构的科学，所以需要研究其中的结构为主。数学结构主要是一些对象的集合，对这些对象并没有预先指定其特征，而是着重考虑他们之间的关系。” 让?勒瑞说：“这我不清楚了，我不知道这会有什么用途？” 韦伊表示让?勒瑞无可救药，对嘉当说：“你觉得他这种状态可以吗？”并看着让·迪奥多内说：“你要是爱他的话，可以让他当抄书员，不可参与核心讨论。” 让?勒瑞看着气氛不对，想打破僵局说：“不好意思，我主要是在计算一些东西。” 嘉当说：“我们这个学派不是你想的那样。我只对抽象的数学结构感兴趣，而对对象本身究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心。” 让?勒瑞说：“不说计算的技巧吗？” 嘉当摇摇头说：“计算性内容不上议题，几乎完全被省略。” 让?勒瑞说：“不需要解题过程吗？” 嘉当说：“解题被认为次于公理。分析论被“软”处理，没有“硬”计算。” 让?勒瑞说：“是纯粹逻辑的？” 嘉当说：“逻辑只需最低限度，佐恩引理就已足够。” 让?勒瑞说：“如果应用的一些工程需要计算……” 嘉当继续摇头说：“应用全无提起。” 让?勒瑞不解的问：“就是组合学的一些巨大扩展了吧？” 嘉当无奈笑着说：“组合学结构被视为非结构性的。” 让?勒瑞吃惊的大喊：“这是为什么？” 嘉当说：“c va sans dire（这是很自然的）。”并且比划的对让?勒瑞说：“这里也没有图示，图太麻烦了。” 让?勒瑞表示不能接受的大喊：“太不可思议了，我玩不下去了。” 嘉当说：“我们纯粹只为了继承希尔伯特计划，使用集合论组建数学世界。” 让?勒瑞退出了这个会议，连一天都没待下来。 此会议记录在布尔巴基档案中有存档：「欲知初级会议的详情，请与“数学咨询组”的利丽安·布利尤接洽」。 成立时的其他四名成员是 让·库朗，夏勒·埃瑞斯曼，瑞内·德·波塞尔和佐勒姆·门德勃罗， 保罗·杜布莱依在布尔巴基宣布正式成立之前退出。 其他较后参加的有名成员有劳朗·舒瓦兹，让-皮埃·塞尔，萨缪尔·艾伦堡，亚历山大·格罗登迪克，塞尔格·朗格和罗杰·戈德门。 测度论掩盖了radon测度 数学家总是喜欢轶事传奇。布尔巴基的数学史并不缺少学术性，而是缺少“英雄史观”，历史是由那些经过奋斗而终于得到清晰公理的获胜者写成的。 最终布尔巴基宣言还是产生了影响，特别是在纯数学的研究生教育上。详见本百科全书的相关部分。 新数学对初等数学教学几乎没有影响。比如说文氏图的使用，一直可以追溯到19世纪教学法。对微积分和离散数学的分界之争至今热狂不减当年。 布尔巴基在国际数学界的带头作用可能已被1960年代的波恩工作会议计划所取代。 正是这个体系，构成了现代数学的核心。 但是布尔巴基学派认为数学只是研究结构的科学，因此，因此70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。 第五百二十四章 序偶取代映射(集合论) 嘉当和韦伊讨论在撰写《数学原理》时，里面有映射的概念，但是映射不是集合。 如果不能用集合论解释的东西，时决不容于本书和布尔巴基学派里的。 嘉当说：“原来咱们写书的时候，带着映射的概念，大家就不高兴，要不就去掉吧。” 韦伊说：“主要当时我们认为映射这个概念太基本了，如果去掉，那我们如何定义函数呢？再说，你要用什么样的概念来取代映射？” 嘉当说：“库拉托夫斯基的序偶。” 韦伊说：“是波兰华沙数学学派的领袖人物。会不会沾波兰数学的味？” 嘉当说：“数学无国界，别管他们怎么说，偶序完全可以说明这个概念。” 嘉当写下（a，b）={a，{a，b}}符号。 韦伊说：“左侧是序偶，右侧是集合。” 嘉当说：“库拉托夫斯基巧妙地避开了“对应”、“映射”，将函数概念划归为集合。” 韦伊说：“这比豪斯多夫关于“序偶”的定义更为简单、明了。” 嘉当说：“下一版的时候，把映射的概念去掉吧，我们用序偶。” 第五百二十五章 库拉托夫斯基定理(图论) 波兰数学家有个梦想，就是绝对不当其他国家数学的仆从，波兰人需要有属于自己的数学。 波兰数学领军人物，华沙学派的库拉托夫斯基与里沃夫学派的巴拿赫的在咖啡馆里聊起很多问题，除了集合论和拓扑学的很多问题，还有图论问题。 库拉托夫斯基对巴拿赫说：“图论的发展如火如荼，很多数学问题都要有意无意的跟图论联系起来。” 巴拿赫说：“是的，只是这个其中免不了很多问题。” 库拉托夫斯基说：“如果没有问题了，图论可能会一统数学江湖。毕竟图论也可以更好的表示拓扑学的东西。” 巴拿赫说：“那你能用笔画出立体的图吗？毕竟很多问题的图论难以在平面中很好的表达。” 库拉托夫斯基说：“尽量不要画立体的图。把立体的图转化成平面的图不就可以了。” 巴拿赫说：“当然是需要这样了，可也得弄清了什么样的图才能彻底用平面来表示？” 库拉托夫斯基在纸上画出了两个图，一个是五角星的五个点，让每两个线相连的。还有就是2*3阵列的6个点，并排的三个点之间不相连，而与对面的三个点都是两两相连的。 库拉托夫斯基说：“第一个是k5图，第二个是k33图。” 巴拿赫说：“这两个图，都是典型的没法画在一个平面内不相交的图。” 库拉托夫斯基说：“如果图里的形状没有一个部分是同胚于这两个图的，那这个图一定可以表示在一个平面内。”即一个图是平面图的充分必要条件是这一图不包含任何同胚于k5或k3，3的子图。 巴拿赫笑着说：“看来你是早有准备，这个已经证明了吗？” 库拉托夫斯基说：“我在1930年就证明了它。” 巴拿赫说：“布线中会常常遇到这个问题，只是实际应用较困难。” 第五百二十六章 库拉托夫斯基十四集问题(拓扑学) 对一个拓扑空间(x，t)，a是x的任意子集。对x取补或闭包，得到一新集合a1，对于它重复以上操作，如此往复，最终得到一列集合，那么这一列集合中至多有14个两两不同的集合。 同上，将操作改为取闭包或取内部，那么结果如何？答案是7个。 证明其实是比较容易的。只需要讨论两三种特殊的情况，即可全部说清楚。而且其中的过程，除去问题的背景外，跟拓扑似乎再无关联；相比之下，似乎更像是一个组合或者代数问题（其实这种操作的复合可以构成一个幺半群，称之为kuratowski幺半群）。 另外六十年代以来，貌似出现了更多形态类似的相关的问题，虽说跟拓扑关系很小，但是这些问题都清一色的反哺于拓扑学，比如利用空间的kuratowski幺半群进行分类等。 有兴趣的话可以参考gardner et al.十年前发表的一篇相关文章，里面细致的讨论了这个问题相关的结论。 14这个数有很多特殊性： 硅的原子序数 ph的最高值 库拉托夫斯基十四集问题 布拉维晶格有14种。 最小的偶数使得欧拉函数φ(n)=14无解 第五百二十七章 佐恩引理(集合论) 康托尔发现集合论后，提出集合论有互异性、确定性和无序性后，有的数学家耻笑康托尔集合无序性的原则。对康托尔说：“无序性会有什么作用？” 康托尔反驳：“我们把东西堆在一起，形成一个集合就行，不需要给他排序。” 克罗内克笑道：“你研究集合论是研究有理数和无理数个数时开始的，对数字不讲顺序，你着集合算什么数学？是个不知大小没有高低的东西？那证明里的归纳法如何用集合问题取解决？” 康托尔这时才深深的感觉到，良序定理是“思维的基本原理”。他对数学家们说：“所有集合都可以被良序排序。” 康托尔不仅仅要面对一般的数学归纳法，还要面对超限归纳法，数学归纳法时后继序数，而超限归纳法不是后继序数。 策梅洛提出了良序定理，其内容表述为对任何集合s，存在s上的二元关系r，使得是良序集。 良序定理是非常重要，因为它确保所有集合适用超限归纳法的强力技术。 后来为了证明良序定律，策梅洛提出了选择公理，表述为设c为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在c中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。 要证明选择公理，并非一件容易的事，其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题，而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论，所以在证明时，工具也会较少。 而这里又出现了新情况，就是左恩引理的出现。 佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现，1935年佐恩亦独立地发现此结论。 表述是在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理，良序定理和选择公理彼此等价，在集合论的公理基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。 第五百二十八章 引入空集?(集合论) 空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。 可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。 为什么会引入，因为可以方便研究子集。 在没有集合的时候，就要空集，这样方便，也是一个结果，不能没有结果的时候就用无结果。 这在西方哲学，称作“柏拉图的胡子”悖论问题：如果要说明某物不存在，首先要假定其存在。 就像刚才所说，说某物不存在，我们必须要承认存在着“不存在”。 例如，我问：世界上有鬼吗？ 你回答：没有鬼。既然没有鬼，那么你提到的那个没有的“鬼”是指什么？这个悖论的实质是说，我们应当如何定义不存在？ 更多更复杂的概念里更需要引入空集了。 好比数字中因子是1和自身，空集代表这个1. 跟数字中零差不多，但比零虚空，是纯粹没有的意思。 当两圆相离时，它们的公共点所组成的集合就是空集； 当一元二次方程的根的判别式值△<0时，它的实数根所组成的集合也是空集。 有了空集作为我们构建集合的起点，我们还无法构建新集合，还需要另外一个公理作为工具，这个公理就是：无序对公理，又称配对公理：如果有两个集合，那么就会存在以这两个集合为唯二元素的集合。 这个公理大致上就相当于《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物。”，告诉我们如何从一个集合构建两个集合，如何从“无”集合构建“有”集合。这个过程是这样的： 1 存在着唯一的空集合?；（空集合公理） 2 由无序对公理，我们可以构建：{?，?}=>{?}；（构建了新集合{?}） 3 由无序对公理，我们可以构建：{?，{?}}； 4 由无序对公理，我们可以构建：{?，{?}，{?，{?}}} 第五百二十九章 嘉当活动标架论(几何学) 嘉当开始寻找怎样才可以更准确的研究流形？ 他开始想象一个流形，这个流形在局部当然是平整的，但这个局部的点开始移动的时候，这个平整的面就会有角度的变化。 当然在光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点的变化。 这种变化，除了位置以外，还有切线的变化。 在曲率的切线速率变化几何特征。 居然可以找到恒变量。 活动标架法的原始想法很老的。 要试图了解空间里一个曲线的几何 你要标示曲线的每一个点。 首先标示曲线的速度向量。 就是曲线的切线方向。 然后标示曲线的加速度。 就是曲线转的方向。 然后第三个防线方向。 显示曲线的扭曲方向。 装备了这套东西后，也就是 给曲线上每一点这三个方向后 就可以框出曲线的走向。 曲线上每一个点都有不同的标架 这就是活动标架法的由来。 这个想法在曲面上也很管用。 它的美妙之处在于。 当你顺着曲线走的时候。 你可以专注于标示架转动的方式。 这样可以算出曲面上。 所有有用的信息。 这个关于三维空间里。 曲线和曲面的简单概念。 可以被推广到。 高维空间的高维对象。 从活动标架法出发。 写下微分形式。 把微分算子a作用到微分形式上去。 将它们用别的形式表达出来。 再把a作用到这些微分形式上去。 最后得到了一些几何不变量。 这简直就是奇迹。 在局部上一点的标架的存在性是显然的，在全局上的存在性要求拓扑条件的满足。 嘉当发现在圆圈或圆环上的活动标架就存在，在二维球面上就不存在了。 存在一个全局活动标架的流形称为可平行化的。 嘉当还发现将纬度和经度的单位方向作为地球表面上的活动标架在北极和南极会有问题。 埃里·嘉当的活动标架法基于对于所研究的特定问题取一个相应的活动标架。 例如，给定一个空间中的曲线，曲线的前三个导数通常可以给出其上一点一个标架(参看定量的形式参看挠率-它假设挠率非0）。更一般地，活动标架的抽象含义是将切丛作为一个向量丛时，其伴随丛主丛gln的一个截面。一般的嘉当方法利用了这点，并在嘉当联络中讨论。 对于球面只有s1、s3、s7和是可平行化的。 第五百三十章 昂利·嘉当的滤子(集合论) 嘉当对韦伊说：“对于极限的问题，我们有了突破。” 韦伊说：“你的意思是，可以用集合论准确表示极限的意思了？” 嘉当说：“是的，我这里用集合论制造出了一个滤子，可以解决数学中的极限问题，不仅仅在拓扑学上，在其他极限思想上都可以使用。” 韦伊说：“我想听听你说的滤子。” 嘉当说：“滤子是一类集族，设x是集合，f是x的非空子集族，f的任意两个成员的交属于f；其中，若a∈f，a?b?x，且b∈f；则称f为x上的滤子。” 韦伊说：“听起来是够绕的。” 嘉当说：“但是可以解决对极限的问题，设f?，f?为集合x上的两个滤子，若f??f?，则称f?弱于f?或f?强于f?，这种强弱关系是滤子间的序关系。” 韦伊说：“以此作为滤子的排序，来找到最大和最小的概念。” 嘉当说：“没错，以前我们说的极限的概念仅限于数字、数列和函数，其实还有广义的概念，拓扑学上，向量列上都可以研究极限。” 1937年，嘉当发明了滤子，是为了解决数学中出现的极限问题。 提出这个论断的时候布尔巴基都为之一振，详细介绍了这个概念。后来的巴特尔(r.g.bartle)以及布龙斯(g.bruns)和施密特(j.schmidt)于1955年分别证明了它们的等价性。 第五百三十一章 韦伊证明有限域的黎曼猜想(域、数论) 韦伊被关入监狱，但他不痛苦，反而高兴。 他在想，就是在监狱里，自己的工作照样可以进行，就是对黎曼猜想要证明。 在此刻，自己已经不会受到任何打搅，只要按照自己的思路，没日没夜的开始证明，必然能够得到一些结构。 他在监狱里无所事事，思路也变得清晰，然后一直想着黎曼猜想的破解方法。 突然，他想到黎曼猜想用的是复数域进行破解的，那是一种无限域，所以难免会有一定的难度。如果自己要是在有限域里，就行用泽塔函数来构造，看看其中的非平凡实数解还在那个负二分之一的轴上。 如果有限域里就出现了反例，那黎曼猜想就要凉凉了。如果有限域里就可以得到证实，那需要想个办法把有限域里的道理引入到无限域里就可以了。 这就需要构造有限域的一个复数域那样一个世界，有限的话，基本先要把原来的复数域的里超越无理数去掉，如果去掉了这一部分，就基本上可以证明自己构造的域是有限的了，这样的话就只需要让这个有限域里的任何一个部分都由实数进行表示就可以完成。 然后在写泽塔函数的时候，也就不是无穷的级数了，而是有限的。 这样就好解了，非平凡实数零点就好找了。 但一般的无限有理数几乎还是展现了很多不方便的性质，他只能把方向转向了有超越数的，但是确实有限的领域。 但一开始，数域太大，还是发现几乎跟原有的黎曼猜想的情况差不多。 他只能大胆的缩小数域，缩小到肉眼可见的水平。 韦伊把有限域继续缩小，发现只找到几个非平凡零点，倒是在一个直线上，但是那不能满足他的求知欲。 他继续开始了适当的扩大，发现不论如何大，大到他好几天算下来，非平凡解还在一条线上的时候。他突然觉得，应该让自己找到一个普遍的东西来证明有限域的情况都是复合的。 这就需要群论了一些表示的知识了，然后他表示出一个公式来，让这个公式能做一个数学归纳法一般的推广，就可以一举攻克这个问题了。 他发现如果让有限域变得普遍化，这个问题就变成了在椭圆曲线上证明里面猜想是如何的。 为了证明有限域上的黎曼猜想，韦依需要使用经典的代数几何方法，所以他必须先解决经典代数几何的概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。 为此他在1946年专门写了一本专着《代数几何基础》，在其中韦依仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的抽象“代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射代数簇粘贴在一起，成为了一个抽象的代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦依用交换代数的语言，重新引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。 1946年，在上述这本书出版之后不久，韦依终于证明了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在1948年，韦依根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇(grassmann variety)等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦依猜想”。 这个猜想充分显示了在有限域上代数簇的算术(arithmetic，即数论)与复数域上的代数簇的拓扑之间具有非常深刻的内在联系。 他果然找到了这个方式，而且证明了有限域的黎曼猜想问题。 他不敢相信这个清晰的结构是如此的振奋人心，还在想方设法在其中找各种各样的漏洞。结构发现自己的证明过程是严谨的，没有任何漏洞。 第五百三十二章 勒雷层论(代数几何) 层论最早是由法国数学家勒雷(leray)在20世纪40年代初提出，层的概念来源于复变函数中的全纯(解析)函数，它的元素既可以是函数，也可以是包括了群、环和纤维丛的截面(section)等在内的其他各种对象，因此它可以看成是纤维丛的某种形式的推广。 层的优点是包含了纤维丛中的各种几何与拓扑信息。 例如通过建立层的上同调群，可以从局部的信息来得到拓扑空间整体的信息，并且还可以处理带有奇点的复杂几何空间或流形。 20世纪50年代，数学家h.嘉当(e.嘉当的儿子)在研究多复变函数论的时候，发现勒雷的层论非常有用。 他发现意大利学派的许多复代数几何不变量都可以通过层的上同调群语言表示出来。 h.嘉当还进一步给出了环层空间(ringed spaces)的定义，它的作用是将简单的空间“粘贴”在一起。 他还与艾伦伯格(eilenberg)一起创立了在代数几何中大量使用的同调代数基本理论体系，证明了同调代数中的许多定理。 第五百三十三章 塞尔簇(代数几何) 另一位大力推进层论进入代数几何的重要数学家是塞尔(serre)。 塞尔先在一种允许有奇点的stein复流形上引入了十分重要的凝聚层(coherence sheaf)的概念(它可以看成是纤维丛的某种模拟)，凝聚层的上同调群具有十分良好的性质。 接着塞尔又看出层论也可以用在比stein流形更特殊的复代数簇上，于是他就立即系统地将层论大规模运用到了代数几何中。塞尔为代数几何构思了一个最基本的研究对象，称为“塞尔簇(serre variety)”，其中充分吸收了h.嘉当的环层空间的概念。 塞尔认为这是一个比韦依的不用层论的抽象代数簇更简单的概念。 不过和韦依的抽象代数簇一样，塞尔簇也有自己的缺陷，例如有一个涉及“完全性(plete)”的附加条件就限制了塞尔簇的使用范围。 实际上在20世纪50年代的时候，已经有人想到了概形这个比塞尔簇更基础的概念，但是没有人真正敢去实际建立这个概形理论。 这是因为如果要将概形作为代数几何的最基本的研究对象，那么就等于是将迄今为止建立起来的整个代数几何的理论大厦推倒重来，并且这个概形理论需要综合一百多年来所产生的代数、分析、几何、数论与拓扑等学科的大量主要成果，以其工作量之浩大，这无疑就是一个“不可能完成的任务”。 这个空前庞大的概形理论的诞生需要一个像格罗滕迪克那样的超级天才式的人物。 第五百三十四章 塞尔的谱序列(代数几何) 拓扑学里有两个基本不变量：同调群和同伦群。 其中同调群有现成的算法可以计算，同伦群的计算则十分困难，没有一般的计算方法。 1951年，法国数学家塞尔（jean-pierre serre，1926-）发展了“谱序列”方法，并以之计算出了球面的有理系数的同伦群（简称有理同伦群）。 塞尔因此获得了1954年的菲尔兹奖，是迄今为止最年轻的获奖者。 塞尔的工作提示大家，有理同伦群的计算比一般的同伦群简单得多。 第五百三十五章 范畴论和函子(范畴) 1945年。 塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在研究拓扑学里的同调论，引进了范畴论。在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。 在拓扑空间上如基本群或基本群胚等基本的架构，可以表示成由群胚所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。 桑德斯·麦克兰恩说：“对象与对象之间不是孤立的，而是具有许许多多的“联系”的。但是“联系”是一种空泛的词语，它既可以表示对象与对象之间所有联系的集合，也可以表示对象与对象之间所有联系之中的某一条联系。为了使得描述的对象不那么空泛，我们用专有名词“态射”来指代对象与对象之间所有联系中的某一条联系。” 塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。” 乌拉姆说：“1930年，波兰也有过类似想法，主要是bourbaki总结了三种基本数学结构，范畴论将这三种数学结构归结为一种。对数学结构可以统一化描述。” 桑德斯·麦克兰恩说：“态射也可以看成一种对象，所以态射之间也会存在态射。而对象在某种程度上也可以看成一种态射，所以事实上，对象和态射其实是一种东西。这句话不理解没关系，已经超越了范畴论的内容。” 塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。” 阿诺德打断道：“那范畴与范畴之间有映射吗？” 塞缪尔·艾伦伯格说：“范畴与范畴之间的映射称之为“函子”。映射是一种特殊的态射，所以函子也是一种态射。我们可以利用范畴和函子构建一种新的范畴。” 阿诺德听完以后有些懵。 桑德斯·麦克兰恩说：“而函子本身也可以看成一种对象，所以函子之间也会存在态射。这种函子之间的态射我们称之为自然变换。” 柯尔莫哥洛夫实在是听不下去了，直接高喊：“先等一下，你们这是在闹什么？我觉得你们创造数学符号和数学名词的时候非常随便和混乱。在我学哲学史的时候有一个非常重要的思路，就是任何一种理论都是要解决一个特定的问题。如果没有这个问题，这一理论就毫无意义。因此在说明一种理论的第一件事，应当是说明这个理论要解决什么问题。你们这些人讲了许多定义，但是没有“问题”。” 塞缪尔·艾伦伯格说：“我这是个十分有用的东西，范畴论直观，更容易理解。是以公理集合论定义，所以都是集合论语言，很冗长。集中使用在代数拓扑，代数几何，代数几何子领域的非交换几何，代数数论。理论物理以来代数几何中非交换几何，所以也用范畴论表示。” 柯尔莫哥洛夫摇摇头说：“仅仅是一个哲学概念，不会很好的精确解决问题。” 阿诺德说：“这些都是抽象到一堆像云雾一样的了？还有其准确性？为什么听起来如此混乱？” 格罗滕迪克说：“如果拿纯粹的集合论表示，那才麻烦，用范畴论让这些变得简化了。” 格罗滕迪克说：“这不但有用，非交换几何十分有用，而非交换几何也只能用以上的理论来解决，所以这是个十分有用的东西。这是可以的，在集合论的基础上，对这些东西进行了严格而精细的改造，出来的这些东西可以规范原有的理论，以此衍生出的新东西当然可以构造出新的理论。对此，有两个问题需要面对：1，如何去规范这套理论，尽量没有任何瑕疵，对待任何瑕疵，都要拿出数学家严谨的一面来解决。如何使用这套理论，让数学家对这些理论有一种情感上的准确把握和认识。” 柯尔莫哥洛夫说：“我就不吐槽态射这个词了，我都快不认识态这个字了。对象和态射既然打包叫范畴，那么范畴到范畴的态射按照正常的思路应该叫什么？高级态射？宏态射？居然叫函子！而且既然箭头往右打，为什么要用一个反向的动词跟随，再把对象反过来写？再加上前面范畴用的是不知道什么字母，后面又变成abc了，让人非常混乱。” 格罗滕迪克说：“我脑子里想事情不需要问题，只需要直接想定义即可。非交换几何可以一眼就看出其物理意义。也只能用代数几何方法来研究。”格罗滕迪克对那些苏联的土老冒也毫无办法了，看来即使是在数学上杰出的人，也不见得事事都可接受。 第五百三十六章 格罗滕迪克概形(代数几何) 亚历山大·格罗滕迪克（grothendieck），现代代数几何的奠基者，被誉为是20世纪最伟大的数学家。主要成就：奠定了现代代数几何学基础，代表作品是ega，sga，fga。 格罗滕迪克拿着一个教授的介绍信，自信满满的到了昂利·嘉当。 他是埃利·嘉当的儿子。 格罗滕迪克带着傲慢的语气说：“你的数学怎么样？能接得住我吗？确定不让老嘉当来？” 埃利·嘉当对傲慢的格罗滕迪克见怪不怪，他倒是还希望能见上这种傲慢的有才华的人，这样打击他才有成就感。 嘉当说：“听说你在德国出生，沾染了德国数学的风景，带着丰厚的知识来了吧？” 格罗滕迪克说：“是的，只可惜德国的数学家里也没有几个像我这样的人才了。” 嘉当笑着说：“很好，看来你带着满满的干货来了，我们需要像你讨教。最近我们这里有个研究班，你帮助我来带带这里的笨孩子吧。” 格罗滕迪克说：“不会吧，我这么有才华的人，来这里就给你打下手？” 嘉当说：“你不愿意？这个下手不那么好打。这个研究班的人准备想建立一个完善的代数几何大框架。” 格罗滕迪克说：“像我这样博学的计算家，这种事情不是小问题嘛。” 嘉当说：“问题倒不是太大的问题，就是你会把一个实际的数学领域抽象的很高，高到仿佛是虚空的。” 格罗滕迪克说：“我知道，我觉得意义不大，太虚了吧，数学要那样吗？也不简单，还麻烦。” 顺便嘉当给格罗滕迪克费力的解释了概形理论，格罗滕迪克用了半天才缓过神来。 格罗滕迪克使劲的点点头：“面上感觉虚，其实很实，太实在了。能用，可以把代数簇给统一了。” 嘉当说：“就是工作量大，每个很多人有丰富的才华，几十年的通力通过，不好完成这个，简直太费脑子了。” 格罗滕迪克说：“我试试吧，带着你这个班子。” 嘉当钦佩格罗滕迪克这个决心，格罗滕迪克也心里开始佩服小嘉当，心想：“布尔巴基果真名不虚传。” 格罗滕迪克开始按照嘉当的推荐学习，对很多艰深的知识开始啃下了。 对于格罗腾迪克来说，他想的东西都对了，他已经抓住了世界形而上学之绝大多数本质。 同时自己此刻心态是绝对正确的，无需怀疑。 所以学习那些自己没有尝试的东西，仅仅是看其中符号跟自己所想的构架的那一部分有关而已。 这样抱着数学百科大辞典来学习，速度就变快了。 不再是生硬的去看了，而是当作自己已知这些，这样学习就更快了。 所谓符号公式多的繁琐，那只不过是为了严谨而服务的。 当看到一个自己没见过的词的时候，不妨大胆认为到自己思想殿堂的知识构架中去。 十年后，格罗滕迪克靠努力使用概形重新更新了代数簇，这个强大的理论深深影响了后世很多数学难题的破解。 拓展领域，奠定基础，建构理论——这就是格罗腾迪克做研究的方式。他在上世纪五六十年代以十几部巨着建构成的宏大而完整的“概型理论”，堪称现代代数几何的巅峰；其首次给出的黎曼-洛赫-格罗腾迪克定理的代数证明导致了如下数学事件： 1973年，p.德利涅证明了韦伊猜想； 1983年，g.法尔廷斯证明了莫德尔猜想； 1995年，a.怀尔斯证明了谷山-志村猜想，进而解决了有三百五十多年历史的费尔马大定理。 上述代表了当代数学最高水平的成果，足以震古烁今，彪炳数学史册。 20世纪的代数几何学涌现了许多天才和菲尔兹奖，但是上帝只有一个，就是格罗滕迪克。他的系列专着ega是公认的代数几何圣经。 虽然概形看起来是抽象的很虚空的，但是确实实实在在的东西。 以后，大家都会用到这个工具。概形概念的引入，使代数几何学还原为交换代数学。 所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。 在这之后，格罗腾迪克投入到了同调代数的研究中。 也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期着名通信。 从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。 他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦依猜想。 前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。 然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数(-algebra)”。 由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环(例如整数环就是如此)，所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”。 大约在1957年左右，卡吉耶(cartier)建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”）来作为与对应的“几何对象”，它是经典仿射代数簇的抽象推广。 这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。 这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间(，)，这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形(affine scheme)”。 这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”。 一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。 概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。由于仿射概形是仿射代数簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。 1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。 他的这场报告不是对他过去已取得成果的汇报，而是对其未来十年工作的预告。 后来被誉为代数几何的圣经的八卷《代数几何基础》(简称ega)，就是格罗滕迪克在1960-1967年间与迪厄多内(dieudonné)合作完成的。 在写完ega之后，格罗腾迪克和他的合作者们一起又马不停蹄，继续撰写缩写代号为sga的另外八卷系列代数几何专着。 就这样，通过总篇幅达7500页的这两套书的写作，格罗腾迪克在20世纪60年代末，终于将经典的代数簇理论推广成了适用面更广的概形理论，真正为整个代数几何学建立起了一个牢固的逻辑基础，并且彻底重写了代数几何。 格罗腾迪克的概形理论将代数几何打造成了一个在很大程度上将几何、代数、数论与分析完美统一起来的逻辑推理体系，它具有许多经典代数几何理论所没有的优点。 例如在概形上，可以有严格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。 同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论(包括serre对偶定理等)，可以建立严格的代数簇分类理论和黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论(包括周环和陈类)等。 在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。 后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即取得了巨大进展，并因此促进了20世纪后半叶现代数学的大发展。 下面列举一些现代数学中因代数几何的进步而获得的重大成果，它们分别是：德利涅(deligne)证明了数论中韦依猜想、广中平佑解决任意维数代数簇的奇点解消问题、芒福德(mumford)建立了一般模空间的理论、法尔廷斯(faltings)证明了数论中的莫德尔(mordell)猜想、森重文完成了3维代数簇分类、怀尔斯(wiles)证明了数论中着名的费马大定理以及吴宝珠证明了朗兰兹nnds)纲领中的基本引理等。 不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理研究的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等）反过来又促进了对于代数簇的拓扑和计数几何的研究。 人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。 数学家巴斯(bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。 第五百三十七章 格罗滕迪克连续与离散的对偶性(代数几何) 格罗滕迪克认为真正的数学家不是仅仅去破解什么猜想，那样只是局部的，数学家应该解决大问题，那就是组建一种强大的东西，这个东西可以轻松的破解很多猜想。 格罗滕迪克有疑问：“为什么数学中会有连续，会有离散。” 让·库朗说：“这不是很常见的事情吗？” 格罗滕迪克说：“到我们这里这个看似最常见的事情就很奇怪了，任何一个看似简单的东西都是奇怪的。很多东西其实还会对代数理论大一统会起到阻碍作用。” 库郎说：“如果要是真要这样刨根问底，那世间的每个东西都会很困难，也许向你这样的人反而会认为很简单吧。” 格罗滕迪克说：“我跟你们一样，也是一步步来的。我想说的师，自从我开始研究范畴论之后，我首先面临的问题就是对偶的问题。我从寻来范畴众，找到了6种对偶运算。” 库郎说：“你说的对偶运算，是不是类似加和减对偶，乘与除对偶这个意思？” 格罗滕迪克说：“是的。范畴里的对偶要丰富很多，其中有单射与满射对偶，核与上核，始对象核终对象，内射对象与投射对象。” 库郎说：“等等，你说的这些是对偶的？” 格罗滕迪克说：“是对偶，而且不仅仅是这样，在范畴论里这样的对偶会让一个概念变成两个概念，这两个概念如果不这样说，你都不知道会有对偶这样的关联。” 库郎惊骇的说：“那你的意思是，会让很多看起来没关系的两个数学用这个对偶来联系？” 格罗滕迪克说：“你不觉得，数学种需要这样的例子吗？像你这样的，天天大喊例子的人。” 库郎说：“那能是什么样的对偶，莫非是数论和几何图形？” 格罗滕迪克说：“没错，这只是其中之一而已。” 为何代数簇与坐标环一一对应，因为多项式环是多项式， 前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。 然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数(-algebra)”。 由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环(例如整数环就是如此)，所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”。 大约在1957年左右，卡吉耶(cartier)建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”）来作为与对应的“几何对象”，它是经典仿射代数簇的抽象推广。 这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间(，)，这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形(affine scheme)”。 这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”。 一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。 概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”后而得到的。 由于仿射概形是仿射代数簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。 第五百三十八章 黎曼－洛赫－格罗腾迪克定理(代数几何) 格罗滕迪克陷入深深思考中，脑子里闪现这变化的各种空间优美的单形，在三维的投影变换着。 心里开始想，构成这个世界的是什么？就是这些无数的单形而已，这些单形可以进行任意拓扑变换，只要洞数不发生改变，只要对应点线面不发生改变，然后拿着这无数的单形构成一个世界就可以了。把设计分开也会分成这些单形而已，就是分成原子、电子、夸克这些结构，也是一堆堆的单形。 存在的是什么？是亏格，是图，这个图就是只有固定点或者固定线的一种图。这就是最根本的结构，组成世界的东西就是这个，只需要学会构造就行。 图就是变形了也没事，不要多出或少去点，或者多出或者少些线，结构就不变。 就是这样的去构造世界，这样就需要研究如果构造的问题就行。 很多数学问题也把他们分成这些图，然后研究图和对图的构造就行，不需要麻烦其他计算。 说不定很多极其困难的问题就迎刃而解。 等等，也不仅仅要这样就够，还要考虑，有些东西是对称的，有着光滑的结构。 那好办，只需要让单形变对称就行，对称也简单，让对应的形状仅仅是曲率表示就行。这个曲率可以先是处处相等的，这样计算体积、面积、长度和角度都不是太难的事情。 黎曼-洛赫-格罗腾迪克定理，把黎曼一洛赫定理由代数曲线和代数曲囱推广到任意高维代数簇，其间发展了拓仆k理论。 第五百三十九章 拓扑斯理论(代数几何) 格罗滕迪克在想，组成这个宇宙的基本单元是分立的，而不时连续不断的。 以量子力学为根基的宇宙，说明物质、空间、时间、动量等都不时无限可分的。 格罗滕迪克在想，这也许是必然，可以在想法上独到一点。 假如宇宙是分不完的，连绵不断的东西组成了现在这个样子，那自己可以反过来去想，宇宙就是由某个单位产生。 为什么，因为如果宇宙连绵不断，在无穷细分的情况下，会出现一个基本单元。 以上等价一个说法，就是以一个基本单元无限堆叠出一个宏大的整体。这两者直接其实是同一种说法。 一个是看到不最小，一个收摸不清最大。 如果无法分开连续无限小，那么可以转换一个思维，可以让某个单位的东西假设的不可分的基本单元，让这个单元以尽可能多的方式去形成宏观的东西，那个宏观之极的东西，必定是类似我们现实的普通世界。 而这个单元就是拓扑斯。 格罗滕迪克说：“我已经知道基本单位，那直接让这个单位自己去尽可能多的组合起来，看如何能形成一个现实世界。” 格罗滕迪克说：“本来的模型可以叫做普朗克量级的能量子，但是自己也可以假设数学中的自然数，或者是坐标中的单元格可以作为基本单位。然后在此基础上，开始组成其他东西。” 如何组成，只需要是环的相加，不同的东西就是不同的素环，或者子环，或者素理想。 这些都可以让坐标中二维周期函数，演变成一个环的不同的各种截面，以此代表各种数学环中的各种信息。 而如果让格子作为单位，那取各种各样的二维周期，就是以那个格子为最基本单元来取。 如果遍历所有选取格子的情形，可以以希尔伯特曲线这样的类型为基础，以此为根基去取到所有可能性的方案，这样就可以以希尔伯特这种以少到多的方式，按照顺序去找无数中不同的环，或者是选取方格的方案。 格罗滕迪克心里觉得奇怪：“如果以基本单元构造世界，以希尔伯特方式找到无数种环，这样的问题就等价成了数字加拐弯方向的一个信息了。这样的信息，可以轻松的，变成一个自然数增长的方式去构造了。” 终于格罗滕迪克，以一个有限最小单元的单位，创造的无穷大的世界，巨大的海量汇集出一个有规律的超级宏观世界，那个宏观世界与现有人类所经历的事情完全相同。 第五百四十章 格罗滕迪克平展上同调与l进上同调(代数几何) 平展上同调（étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。 这一概念作为证明韦伊猜想的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。 平展上同调的理论可以用于构建?进上同调，后者则是代数几何中韦伊上同调理论的一个例子。 这一理论有着众多的应用，包括weil猜想的证明以及李型有限单群的表示的构造。 格罗滕迪克思考问题的方式让塞尔感到不可理解。 塞尔对格罗滕迪克说：“你的这些代数几何的工作，我应该如何用一种例子来看懂？” 格罗滕迪克用怀疑的眼神看着塞尔，用轻蔑的语气说：“你们这些人，怎么老是例子例子的，我听的耳朵都磨出茧子了。” 塞尔说：“我看到了你的分析方式，我觉得我来不了这个，我必须用例子才能去理解很多数学问题。” 格罗滕迪克摇摇头说：“没必要那么麻烦。你每次要找例子的话，会很浪费时间，如果你想提升自己，应该提升自己的逻辑推理能力。” 塞尔对格罗滕迪克说：“你是不是像那个不识字的慧能法师悟佛法那样，使用自己的抽象的思考能力直接思考很多代数几何问题？” 格罗滕迪克说：“你倒是放心，我很懂符号，我也可以不借助符合直接思考抽象问题，这不算太难。甚至比你们借助例子要简单。” 塞尔心想，或许借助例子和直接不借助符合的抽象思考是一回事。但塞尔没说什么。 第五百四十一章 格罗滕迪克晶状上同调(代数几何) 在整个人类的文明历史发展中，数学是被研究时间最长的学科。 而其中关于整数和方程的性质，更是两千多年来一直吸引无数智者的问题。 而作为方程零点集的代数簇，通过研究它们的性质可以得出许多强大的定理。 而上个世纪，在法国的天才数学及亚历山大.格罗滕迪克的带领下，人们提出了所谓的概型的概念，它是代数簇的概念的更加抽象和一般的推广，建立在层的语言之上。 自从有了概型的语言，整个代数几何的面貌焕然一新，在这中新的语言下，人们解决了许多重要的问题，比如困扰数学家们三百多年的费马大定理，被怀尔斯证明，以及莫德尔猜想被德国数学家法尔廷斯证明，这些无不显示了代数几何的强大。 我们知道同调群是一类重要的几何不变量，其在代数拓扑中非常重要。 同样的在代数几何中，研究层及概型的上同调也是非常的重要，在代数几何中，上同调群也是非常的重要。 我们知道有几种定义上同调的方式，比如整体截面函子的右导出函子，还有所谓的平展上同调，我们将在本文中介绍一种新的上同调，即所谓的晶体上同调。 它在研究所的特征p的域k上的概型的寸候，特别有用。 第五百四十二章 创造世界的规则 不少数学家试图假如自己是上帝，给予原始神学理论来规定法条。但规则过重神学，而其中神学原力能量观念混乱，导致多人不敢染指这样的思索。 所以这种游戏设定创造世界属性，其中还有创造和规定单元物。 一开始试错多次后，建立此中数学之标准才可进行。 但需数理学问精湛博大之人才可胜任此要务。 其中开始之时为无限空间，时间任意无快慢。里面可以勾勒各种图形，相互作用，数学法则等可存在之物。 艺术造物，天马行空，各种优美形状色彩都会出现，但华而不实。 群论造物，出现各种对称形状，但组合之时瑕疵颇多，对称组合变化，宇宙像万花筒一般反转。花哨不实。 环论造物，虽然秩序但无法无限细分方格，反而以堆叠无穷之后，缩小作为细微物质。 分形造物，虽然简单形状简单变化之后，有各种真是绚丽世界，但大小雷同，层次不定容易缩放丢失。 格罗滕迪克开始自己创造世界的办法，是一个依照自己意识中的法则，进入到电脑中，创造一个自己生成的世界。 那难免会受到当下世界的影响，自身需要尽量排除不必要的干扰。 所以力求简单，却明了无法避免细节之瑕疵。 创造多次之后，不成任何东西，反而混乱无法稳定任何物件。 格罗滕迪克认为，能给稳定任何物件之后，才能以此物件构造一个世界。 虽然格罗滕迪克毕生所学颇多，但却在此刻慌忙手脚，即使夸克原子理论也不能形成最起码的稳定，需要确定参数以及误差，稍微差池则一切虚空。 而原子理论构造之物，必须严格遵循物理中尺寸和力学各种比例。格罗滕迪克将前人之结果代入和调整，只是出现短暂的各种对称烟花之形状，不能长久稳定。 格罗滕迪克认为这些烟花形状起码有短时间之生成，也可以用，只需把时间拉长让极短时间变成极长时间，即为稳定。让共振态拉长时间即为稳定粒子。 得到此方法后，世界时间被拉长，然后开始用此烟花共振物瞬间出现的特性来构造稳定宇宙。 此刻才发现共振物短时间内，居然与稳定原子性质有相似之处。震动物理学界。但格罗滕迪克也管不了太多。 此刻构造世界还是机遇量子涨落之形状建造的物理世界。 依旧不稳，之后继续找到其他形状。 第五百四十三章 格罗滕迪克稳和拓扑(代数几何) 拓扑稳定性，就是很多系统，把它看作拓扑系统，然后在多种自映射的情况下，还能得到自己。 要是把量子力学看作基本单元，组成一个大型的量子计算系统。 应该让这个特殊的拓扑系统，在多次计算下，依然有一种稳定性，就需要拓扑稳定性来验证。 而量子系统里面有非对易，不确定性原理，非布尔代数等等因素在其中。 所以要组成一个晶格来形成量子电路计算，怎么不考虑稳定性？ 而一般的稳定性分三种，一种是稳定的，一种是渐进稳定的，一种是不稳定的。 如果让涨落的量子系统变得稳定，是不现实的。 所以只能寄希望了渐进稳定化。 而拓扑的计算涉及到的是度量空间计算，只要能够让看似狂乱的量子晶格计算能够稳定的作此计算，保证存在拓扑中的同胚性，就可以说明这是稳定拓扑。 之后就是使用量子编码化，去验证和证明这些。 第五百四十四章 格罗滕迪克非阿贝尔代数几何学(代数几何) 塞尔觉得自己的学生成就很高，而且开始向着更深的领域发起冲击，非交换几何。ncag，就是nonmutative algebraic geometry的缩写了。 这是从概型的基础上发展而来的，grothendieck的观点是affine scheme x上的coheren scheves范畴等价于gamma（x）上的有限生成模范畴。 塞尔对格罗滕迪克说：“我们迟早会面对这个问题，非交换几何的问题，只是我们要找这个模型是什么。” 格罗滕迪克说：“应该说这样的模型肯定是到处都是，非交换的当然会比交换的多得多。” 塞尔说：“按你如此说，这个世界是不对称的？” 格罗滕迪克说：“话不能这样将，眼前所谓的非对称，只是更高对称的一个局部。” 塞尔说：“你说到处都是，那你举个例子。” 格罗滕迪克说：“最典型的是海森堡的矩阵力学，里面不是有非对易的公式吗？这里面的算符表示的是光谱频率和对于的功率。” 塞尔说：“这个我知道，但你的意思是，研究非交换几何，也要用海森堡的这个非对应矩阵的算符这样的公式吗？” 格罗滕迪克点头。 塞尔说：“那我们要把概型用矩阵来表示吗？写出像光谱一样的表象？” 格罗滕迪克说：“概型本来就是环论中的理想素谱，跟你说的光谱的意思也差不多。” 塞尔说：“既然是这样的话，那光谱会联系到傅里叶级数，概型的谱也要用到傅里叶级数吗？” 格罗滕迪克说：“当然，这是基础。” 第五百四十五章 弓箭手悖论(力学) 弓箭手悖论是射术里最有意思的现象之一了。在射箭的时候，普通人下意识的反应应该是拿箭对准目标。但实际上，正常的弓箭手在射箭时箭头所指的延长线并没有经过目标。而箭头指向目标的射法，肯定会打偏。这就是弓箭手悖论。 英国史上最强弓箭手 horace ford是第一个注意到弓箭手悖论这个现象，并且记录下来的人。但是弓箭手悖论直到20世纪40年代才得到解答。 简单来说，在用传统的弓射箭时，要瞄准目标的并不是箭头，而是箭的波节，也就是它射出后左右振动的弦上的不动点。这两个波节的连线必须直插目标，否则就无法打中靶心。 箭在空中飞行时会左右振动，两个不动点为波节。 许多人会感到奇怪，箭不是咻一下笔直射出的吗，怎么会振动呢？ 啊哈，箭并不是严格的刚体，被射出的时候它会被掰弯，这就直接导致了它的飞行振动模式。 1938年，被称为科学弓箭术之父的发明家、美国人 rence n. hickman 用了一个4000fps的相机拍摄了箭在飞行时的画面，搞明白了箭振动的过程。 原来在飞行的时候，箭就像一条蛇，会左摇右摆，一边振动一边前进。而开弓后，箭头和箭身会机智地绕过弓把转弯，不会和弓发生摩擦。 虽然箭会摇头晃脑，但是箭身上有两个点并不会左右晃动，那就是波节。更有趣的是，波节的连线直指箭最终的位置。换句话说，只要让箭的波节和目标对线，就能射中。 所以问题的关键就在于如何让箭左右振动，以及如何寻找波节了。 其实，箭飞行时的左右振动是射手手指和弦摩擦的结果。 具体来说，在拉弓的时候，箭并没有扭曲，这种扭曲是手指释放弓弦时的摩擦产生的。 以西方常见的地中海式开弓法为例，这种射法是用右手三根手指拉弦，箭放在弓把左边。左撇子的话左手三根手指拉弦，箭放右边。 此外，因为一根手指拉弓的关系，拇指很容易被擦破皮，所以我国人民从先秦开始就有手指戴韘（shè）的传统，到了清朝这玩意儿就叫做扳指，满语叫“憨得憨”，用的时候是这样的—— 总而言之，手指产生了正确方向的摩擦，才能使箭振动，同时产生瞄准目标的两个波节。而在发射前，预判这两个波节到底在哪里，就要靠射手的技术和手感了。 从技术上来说，箭的振动以及波节的位置取决于箭的质量分布和挠度（箭的弹性），以及弓的张弓拉力和拉距。同一把弓，换一根箭射，波节就会发生变化。所以即便是老手，随手抓起一根箭也不能一次射准。 在古代，箭和弓的匹配主要靠人体智能，到了20世纪，这就是数学的事了。 考古学家和历史学家就靠弓箭的数学建模估算古代的冷兵器的量级。说个着名的例子。依靠弓箭数学模型，一些人提出，在1415年英法百年战争期间使用的60克的箭搭配的是张弓拉力超过450牛顿的弓。 振动的箭有更大的迎风面积，受到的空气阻力更大。 弄明白了箭的物理原理后，hickman 改良了传统的弓，发明了从中间放箭的弓（centre-shot bow）。这类弓射箭时不再有明显的弓箭手悖论，张弓时箭头甚至可以直指目标。 但是现代的弓箭在射出的时候，箭本身依然会左右振动，导致箭产生偏移。所以现代的弓上装有箭震吸收器，吸收箭一开始的振动。 第五百四十六章 冯若依曼的edvac机 原有的eniac计算器在运行，但是不能够满足更高的计算能力了。 冯若依曼被任命设计一款计算能力更强的计算机。 冯若依曼开始着手这个工作。 想要制造一个计算机，就需要让这个带电的东西计算水平增强，存储能力增加。同时他们之间的协同作用也要随之加强才行。 而设计这一切的话，这样的计算机既有运算能力，也要把任何一个复杂问题都化解成数学能力才行。协同之间的通讯传输必须是高效的。 冯若依曼知道需要一个输入、输出、运算、存储和控制这五种东西的协同，这是必须的。 无论计算机的制造需要多复杂，都需要这五种东西相互协同，才能够高效工作。 在物理上，冯若依曼设计了一个磁带记录仪、一个连接示波器的控制单元、一个分发单元，用于从控制器和内存接受指令，并分发到其他单元、一个运算单元、一个定时器和用汞延迟线的存储器单元。 即使是复杂的计算器，也是这五种机构，或者是两个这样的东西协同起来而已。 为了传输的简洁和高效，只需要传输二进制数字即可。 最终冯若依曼设计出了离散变量自动电子计算机，简称devac机。 原子弹不能通过试错的办法来制造，每个设计方案都必须有理论上的测试。冯? 诺依曼意识到解决链式反应问题的唯一途径就是离散方程并求出数值解；而拉克斯奠定了激波计算理论，大大推进了核武器设计、数字风洞等尖端研究。这些都是对实际问题做出了实质性的贡献。 第五百四十七章 补码的原理(计算机) 在二进制的计算中，八位的二进制1等于00000001，那么八位的二进制-1应该等于多少？ 根据00000001+x=0这样的公式可以知道，就是与00000001相加为0的数字x。 是这样的数字，因为00000001+=，因为只能取八位，所以后面的八位就等于00000000. 很多人都质疑冯诺依曼，但是冯诺依曼表示，这才是最简单。 很多人质疑：“为什么不用减法器，然后引入负数？” 冯若依曼说：“计算机中再去制造减法器和引入负数当然可以，但是如果只有加法器，整个机器的制造会异常简单，只不过你们在理解的过程中，有些困难。” 很多人说：“是啊，不可理喻，减法就是加更多，这有什么数学根据？” 冯诺依曼开始解释补码：“就是跟了一个位数，整个位数是一种限制，这种限制的产生反而成绩了减法和加法可以等价起来。在普通的没有最大位数的数学中不存在，或者我们没有使用过这种方式。但是在有限的位数当做，这种加和减的统一性就直截了当的出现了。” 很多人说：“以你所见，数学也要改革？” 冯诺依曼说：“其实，像是改革，但没有改革过，仅仅是我们发现了，使用了其中的规律了。” 很多人说：“你说的太玄乎了，我们还是没办法接收溢出去的那个1。” 冯诺依曼不耐烦的说：“你实在不愿意理解的话，就把这个看做权宜之计的机械结构吧。” 很多人说：“这就对了！” 第五十四十八章 函数坍缩和意识有关? (量子力学) 在自然科学理论的发展历史上，唯一涉及到“意识”的理论就是量子力学。不过，这里要多说一点，并不是说，量子力学和“意识”有关，而是有科学家在往这方面琢磨，不过并没有成为主流理论。这个理论之所以会备受关注，最主要的原因还是提出者是大名鼎鼎的计算机之父：冯·诺依曼。 要了解这个问题，我们就得先来聊一聊冯诺依曼之前的量子力学发展。量子力学起初是一门研究微观世界的科学理论。这是基于20世纪初，大量的观测设备已经可以直接或者间接观测到微观世界的物理学现象。于是，科学家基于这些现象提出了相应的理论。 我们可以从电子的角度来简单地了解一下量子力学。科学家一直都在研究，微观粒子的运动。起初，很多人都用宏观世界的那一套，用时间、速度、质量等物理学概念来描述。可是，后来科学家越来越发现不是那么回事。尤其是物理学家波尔所能领衔的哥本哈根学派，他们就提出了许多颠覆人们认知的观念。 具体来说是这样的，我们知道原子是有原子核和电子构成的。一般情况下，我们看到的原子模型有点类似于太阳系，电子在原子核外绕着原子核转。 不过，事实上，他们发现事实并非如此。所谓的轨道其实是假想出来的，而不是真实存在的。他们发现，电子其实是以概率云的形式存在于原子核外。那具体是啥意思呢？ 意思是就是说，电子同时存在于不同的原子核外的各个地方，处于一种叠加态当中。我们只知道它出现在某个位置的概率，可以用薛定谔的波函数方程进行描述。 当我们一观测它时，系统的波函数就会坍缩，就会按照概率对应出一个实际的结果。如果不观测，那电子还会继续遵守波函数方程。不过，科学家就一直在纠结一个问题：在观测和没观测之间到底存在着什么样的机制，可以导致一观测就出现如此巨大的变化？ 冯·诺依曼 恰好，当时冯·诺依曼就在欧洲跟随者数学家希尔伯特搞研究，而他研究的领域就是量子力学的数学基础。他也一直在琢磨这个问题。那冯·诺依曼是如何思考的呢？ 首先，虽然我们一直在用“观测”这个词，但是如果仔细琢磨，你就会发现，这个词很模棱两可。什么样的才算是“观测”？ 到底是用眼睛看一下，还是用手摸一下，还是用计算机等仪器记录一下？ 冯·诺依曼就认为，用于观测的仪器本身就是由不确定性的粒子构成的，也是拥有自身的波函数。当科学家用这些仪器去“观测”时，仪器本身的也会被卷入到“叠加状态”当中。 如果用无限多的仪器，一台观测着电子的状态，另外一台观测着第一台仪器，第三台仪器观测着第二台仪器，这样无限复归下去，那么整个系统（从电子到所有的观测设备）的波函数都不会坍缩。 这个过程也被称为冯·诺依曼的无限复归链。那么问题就来了，为什么人来观测就会坍缩，而仅仅机器测量，就会发生叠加呢？这不是预示着人的“观测”才是影响波函数坍缩的原因吗？这是不是说明“人的意识”是会影响系统的波函数？ 于是，冯·诺依曼就提出：只有当电子的波函数被“意识到”，才会发生坍缩，得到一个确定的结果。如果没有被“意识到”，电子就总是处于叠加态当中。 这听起来是不是很疯狂？其实不光是冯·诺依曼在疯狂，也有和他志同道合的科学家。这个人就是魏格纳。 魏格纳的朋友 魏格纳就直接提出，“人的意识”在改变波函数中起到了极其关键的作用。他还提出了一个思想实验叫做：魏格纳的朋友。 要了解“魏格纳的朋友”，我们就得像搞懂另外一个着名的思想实验：薛定谔的猫。这是物理学薛定谔提出来反驳哥本哈根学派的一个着名实验。 他假定有一只猫在一个密封的盒子里，在这个盒子当中装了“镭”和“氰化物”。其中“镭”存在着衰变的概率，一旦衰变机关就会打破装有氰化物的瓶子，这时候猫就会被氰化物毒死；如果“镭”没有发生衰变，猫就可以活下来。 根据量子力学，我们知道“镭”是处在了衰变和不衰变的叠加态，因此，猫也应该处于死猫和活猫的叠加态中。所以，这就会出现“既死又活的猫”。 “魏格纳的朋友”就是在“薛定谔的猫”基础上延伸出来的思想实验。魏格纳提出就在猫在盒子里时，如果他有个好朋友带着贩毒面具也进入到这个盒子里等待观测这只猫。而魏格纳自己不去观测这个盒子，因此，他是不知道猫到底是死还是活的。不过，他可以事后去询问朋友。而他的朋友肯定会告诉他一个猫的确定状态。而不是这猫既死又活的叠加态。这就说明，他的朋友虽然在系统当中，但却影响波函数，这也正是“意识”在起作用。 因此，魏格纳就提出，意识是可以作用于外部世界的，并且使得波函数发生坍缩。他还进一步解释了其中的原因，他认为外部世界的变化会引发意识的改变。因此，根据牛顿第三定律，也就是作用力与反作用力，意识也可以引发外部世界的改变。 无论是冯诺依曼还是魏格纳，他们的看法都足够颠覆。但是也存在着一些问题。首先，我们根本无法定义“意识”，谁也说不清楚到底什么才算是意识？是一些动物拥有意识，还是只有人才拥有？所以，这个理论还有很多基础都不牢固。 许多科学家认为他们的解释太过牵强附会，因此，目前这个理论并非是主流的科学理论。 第五百四十九章 莱维曲线(曲线) 夏天在外边吃饭的时候，苍蝇经常会不请自来。打苍蝇是件技术活，因为苍蝇的飞行轨迹十分诡异，人类只靠双手很难找到准头。 所以问题来了，苍蝇为什么会乱飞呢？ 你可能不知道，苍蝇这样乱飞，实际上应用了一种强大的数学原理，这个原理让它们的飞行轨迹难以捉摸，从而避免被打中。 而这种数学原理，就叫做莱维飞行。 1900年，法国数学家保罗莱维，发现了莱维曲线。 莱维飞行是一种分形，也就是说不管放大多少倍，看起来还和原来的图案类似的图形。更重要的是，莱维飞行属于随机游走，也就是说它的轨迹并不能被准确预测，就和苍蝇的步伐一样鬼魅。 布朗运动也属于随机游走，不过，莱维飞行和布朗运动不同。 布朗运动有个特点，那就是每步的步长集中在一个区域内，画成图就是钟形曲线。 莱维飞行图中，每步行走的距离就符合幂定律。运动中大多数的步子很短，但有少部分步子很长。 莱维飞行比布朗运动更有效率。走了相同的步数或路程的情况下，莱维飞行位移比布朗运动要大得多，能探索更大的空间。 莱维飞行用更少的距离和步数覆盖了更大的面积，这对于探索未知而言很有用。 2008年，一个来自英国和美国的研究团队在 nature上发表了一项研究，他们给大西洋和太平洋的55只不同海洋掠食者（包括丝鲨、剑鱼、蓝枪鱼、黄鳍金枪鱼、海龟和企鹅）带上了追踪器，跟踪观察它们在5700天里的运动轨迹。 在分析了1200万次它们的动作后，这些研究者发现了大多数海洋掠食者在食物匮乏时对莱维式运动的偏好。更有趣的是，猎物，比如磷虾的分布也符合莱维飞行的特征。 不仅如此，土壤中的变形虫、浮游生物、白蚁、熊蜂、大型陆地食草动物、鸟类、灵长动物、原住民在觅食时的路线也有类似的规律，莱维飞行似乎是生物在资源稀缺的环境中生存的共同法则。 不仅是野生动物，许多自然现象都有莱维飞行的特征。 比如，自来水龙头滴水时，两滴水滴之间的时差属于莱维飞行；健康心脏两次跳动的间隙，甚至连股票市场的走势都是莱维飞行。 莱维飞行甚至被用于研究流行病的爆发。 在分析了46万张纸币的轨迹后他们证实了自己的猜测：传染病的传播和纸币的传播一样，符合莱维飞行的特征。他们把这项研究发表在了2006年的 nature上。 第五百五十章 莱维偏序关系(集合论) 1905年，保罗莱维开始着手研究关于集合论的一些问题。 其中一个重要问题，是关于排序的。 集合论中有特性是无序性。 所以研究很多数域的时候，关于顺序的问题也变得重要起来。 其中最为重要的是哪些可以排序，哪些不可以排序。 莱维的老师和顾问为雅克阿达马。 他指导莱维做这方面的研究。 莱维说：“很多数域都可以正常排序，称之为全序。而很多数域不能有全序，那也不能贸然看成无序，也要研究偏序性。” 自然数的集合配备了它的自然次序（小于等于关系）。这个偏序是全序。 整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。 自然数的集合的有限子集{1， 2，...，n}。这个偏序是全序。 自然数的集合配备了整除关系。 给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序。 向量空间的子空间的集合按包含来排序。 阿达马说：“偏序集合是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。这理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。” 莱维说：“一般的说偏序集合的两个元素x和y可以处于四个相互排斥的关联中任何一个：要么xy，要么x和y是“不可比较”的（三个都不是）。全序集合是用规则排除第四种可能的集合：所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数（有符号）大小是全序的，而复数不是。” 阿达马说：“这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过x+iy小于u+iv当且仅当x小于u或x等于u且y小于v，但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得1大于100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序，但这不是偏序因为1和i有相同的绝对大小但却不相等，违反了反对称性。” 莱维陷入沉思，开始思考如果要标记东西，就需要有一定的顺序。 而很多东西是有顺序的，也就是可以被可数标记。 而有些东西是没有顺序的，也就是不可以被可数标记。 那什么是不能被标记的？ 1、无理数无法被标记，因为其不可连续表示性。 2、随机量子涨落无法被标记。 3、等高线一类带梯度的东西，不方便标记。 4、流体向量中含涡流和湍流的。如果可标记的话，那就可以解了，就可以写出维纳斯托克斯方程的解了。 第五百五十一章 科恩的力迫法(集合论) 科恩和莱维开始讨论关于zfc中的力迫法。 科恩说：“我要构造构造公理系统的模型的方法。” 莱维说：“如何构造。” 科恩说：“用于构造兼纳扩充的偏序集。你不是研究了偏序集了吗？” 莱维说：“你能打个简单的比方吗？” 科恩说：“没问题，假设从前有上帝，人不可能了解上帝的全貌，但是有许许多多的人接触过上帝的神迹.” 莱维说：“是的，上帝神迹的集合就是zfc构造的所有集合。” 肯恩说：“不同的人了解的上帝的神迹不一样，有的多一些，有的少一些，甚至有些互相抵触，互相矛盾;两个人见识的神迹，有可能所见识过的，另一个完完全全清楚.” 莱维说：“没错，你需要用zfc去统一他们。” 科恩说：“有虔诚的信徒想调查所有人所知道的神迹，然后把这些神迹全部拼凑在一起，也许就是完整的神的模样.他调查了许许多多人，采信并记录了一些人的观点.” 莱维说：“这就是你要做的工作。” 科恩说：“但是很显然，那些相互矛盾的内容至多选择其中之一，也就是说，他记录的的观点，都是互不矛盾的.” 莱维说：“没错，这样是本质上产生偏序集的原因。” 科恩说：“此外，为了保证自己记录观点的完整性，如果对于某一个看法，互相矛盾的看法有很多，大家众说纷纭，那么他必须选择其中至少一个说法记录下来.” 莱维说：“这是最重要的，必须选择重要的正确的来做集合。” 科恩说：“因为神迹实在是太多了，几乎无穷无尽，他不管怎么调查，都还是有一些问题悬而未决.” 莱维说：“这也是无法避免的。” 科恩说：“最后，所以上帝毕竟是上帝，这位信徒直到死也没能完成这个记录.但是他从已经记录下来的信息中，获得了许多前人所不知道的知识.” 莱维说：“或许，这就是结果。” 第五百五十二章 巴拿赫流形(流形) h.斯泰因豪斯(steinhaus)在克拉科夫旧城中心附近的花园里散步，突然听到有人在聊勒贝格积分的问题。 斯泰因豪斯突然来了兴致，开始听这两个人交谈。 原来这两个人是o.尼可丁(nikodym)和斯特凡·巴拿赫。 巴拿赫说：“我在研究一种可以测量的拓扑流形。” 尼可丁说：“拓扑学是不可测的几何学，你要去测量它吗？” 巴拿赫说：“肯定的，我要对很多复杂的系统进行研究，那就涉及到一些复杂流形的直接分析。我要对复杂的流形直接要掌控，使用微积分方法直接求解。比如爆炸问题，工程力学的受力，水流的各个部分的力量，地球内部的压力的具体受力等等。这需要流体几何学的东西。” 尼可丁说：“那你需要用到如此复杂的东西吗？比如是高维空间，高亏格的东西。” 巴拿赫说：“当然了，我是搞数学的，就要理所应当的吧有限维度的流形往无穷维度直接推广。变成一种可以计算的微分流形。甚至是复数域的高维的情况。” 尼可丁说：“那就必须要去规范你说的那种计算方式了。” 巴拿赫说：“这种流形是拓扑流形是豪斯多夫拓扑的，上面的每个点之间是可以相互区别的，而不是连在一起的。这是首先要知道的。” 尼可丁说：“这就说明你打算要考虑这个拓扑流形的尺寸了，而不是只考虑形状了。如果只考虑形状的话，那就是紧的，不是豪斯多夫那种的了。” 巴拿赫说：“可以以我的名字命名，叫巴拿赫空间，这是一个有长度和方向的空间，所以不是一个简简单单的只去测量有几个洞了，而是要把其中每个结构的尺寸给弄的清楚。” 尼可丁说：“太好了，就可以研究复杂形状的流形了，尤其是高维空间的那种。” 巴拿赫说：“不仅可以考虑其中有多少个亏格，还有去规范其中的东西去考虑这种亏格下，流形会有什么样具体的形状。” 尼可丁说：“这是一个必须的数学测量活动，意义也重大。” 巴拿赫说：“我打算要把这种复杂流形给进行仔细分析。” 第五百五十三章 巴拿赫空间(泛函数) 斯泰因豪斯打断了二人对话，对巴拿赫说：“什么是巴拿赫空间？” 巴拿赫说：“是一种有长度和向量的空间。” 斯泰因豪斯说：“听起来好像可以研究空气动力学，挺有趣的。” 巴拿赫说：“按照标准来说是完备赋范向量空间。” 斯泰因豪斯说：“明白，可以近下来他的作用是什么呢？” 巴拿赫说：“我和汉斯哈恩找到了一种有界线性算子，作为研究泛函数的工具。让对偶空间变的有了一定的趣味，而且价值性很高。” 一脸懵逼的斯泰因豪斯说：“什么是对偶空间？” 巴拿赫说：“是行向量（1xn）与列向量（nx1）的关系的抽象化。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度，分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。” 斯泰因豪斯说：“你的巴拿赫空间对研究这个很有帮助吗？” 巴拿赫说：“还对我和斯坦豪斯研究的共鸣定理有帮助。” 斯泰因豪斯说：“解释一下……” 巴拿赫说：“是论述有关一族有界线性算子为一致有界的定理。是泛函分析中的一条重要定理，由我与施坦豪斯于1927年在勒贝格关于奇异积分、特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等前人研究成果的基础上提出的。” 斯泰因豪斯还在反应共鸣定理的事情，巴拿赫继续说：“还对闭图像定理有帮助。”， 巴拿赫说：“也是泛函数里的一种重要定理，闭图像定理可以从开映射定理推导出来。” 斯泰因豪斯说：“开映射是指，连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。” 巴拿赫说：“没错还会用到贝尔纲定理和弗雷歇空间的知识。以后详谈。” 巴拿赫空间证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。 第五百五十四章 巴拿赫泛函分析(泛函数) 斯泰因豪斯对巴拿赫说：“你对函数的理解已经足够深刻了，可能是个革命。” 巴拿赫说：“以前研究函数是数字，方程这些东西。而对我来说，函数应该更加广泛才对。所以，就叫更广泛的函数，简称泛函数。” 斯泰因豪斯说：“你的意思是？” 巴拿赫说：“自变量和因变量纯粹就是集合，要按照集合的样子严谨分析。” 斯泰因豪斯说：“你的意思是不仅限于数字，而是任何一种可以组成集合的元素，也就是任何一种研究对象？比如，数字、图形、符合甚至语言等等？” 巴拿赫说：“没错，但是在这里面我们需要严格定义。” 斯泰因豪斯说：“如何严格呢？” 巴拿赫说：“首先我研究的是无限维空间，而且无限维空间必须要有各个单位，成为基。这需要引入佐恩引理。” 斯泰因豪斯说：“我知道，是在任何一非空的偏序集中，若任何全序的子集都有上界，则此偏序集内必然存在极大元。数字有大小，集合的大小也就是这样了。按照偏序集来，真正序不太可能了。” 巴拿赫说：“主要原因是来源于非欧几何，我们为了让整个几何结构严谨，才在希尔伯特空间基础上加工出这样的结构来。” 泛函分析目前包括以下分支： 软分析，其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。 巴拿赫空间的几何结构，以jean bourgain的一系列工作为代表。 非交换几何，此方向的主要贡献者包括in connes，其部分工作是以george mackey的遍历论中的结果为基础的。 与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照israel gelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。 第五百五十五章 巴拿赫定理(泛函数) 在苏格兰咖啡馆，巴拿赫跟哈恩在讨论数学问题。他们常用这种方式研究数学，提到精彩地方的时候，还要用笔记下来。 巴拿赫对哈恩说：“向量上的有界线性算子可以扩展到整个空间。” 哈恩说：“有界线性算子，指的是次线性空间吗？是不是仅此于线性空间的这个东西？” 巴拿赫说：“是的次线性空间，就是不线性。线性就是过原点的一条直线，而次线性的是个凸曲线而已。” 哈恩说：“那这个作用是什么？” 巴拿赫说：“说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。” 哈恩说：“对偶空间是是行向量1xn与列向量nx1的关系的抽象化吗？” 巴拿赫说：“是的。这个结构能够在无限维度空间进行并为测度，分布及希尔伯特空间提供重要的观点。对偶空间的应用是泛函分析理论的特征。傅立叶变换亦内蕴对偶空间的概念。” 哈恩说：“我知道这个等价超曲面分割不相交的凸形。” 这些记录本就产生了一部传奇式的书：‘苏格兰书’.由于提问者当时或后来都很着名，使得这些记录具有重要的科学与历史价值，而且具有一种引起人们求知欲望的力量.由于巴拿赫夫人的功劳，这些‘苏格兰书’免遭战火，奇迹般地保存了下来”.此书后来由e.马尔采夫斯基(marczewski)和斯泰因豪斯负责编辑出版.原稿由巴拿赫的儿子(一位博士)献给了巴拿赫国际数学中心。 第五百五十六章 巴拿赫－塔斯基悖论(集合论) “分球怪论”，是一条数学定理。 1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基首次提出这一定理。这一定理指出在选择公理成立的情况下可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，不过要旋转(不可列)无穷次，可以组成两个半径和原来相同的完整的球。巴拿赫和塔斯基提出这一定理原意是想拒绝选择公理，但该证明很自然，因此数学家认为这仅意味着选择公理可以导致少数令人惊讶和反直觉的结果。 假设旅馆有无限个房间，把这无限个房间按照一定的分类规则分成两类，并把这两类房间分开，分别称为“旅馆a”和“旅馆b”。 除去每个房间编号的问题，那么超模君请大家思考：这两个新的旅馆，和原来的“希尔伯特旅馆”有区别吗? 我们都知道答案：没有区别，两个新旅馆，和原来的旅馆一模一样，房间数一样，每个房间的大小也一样。 同样的，我们往下对“巴拿赫-塔斯基分球定理”这个“无穷”的概念做一个更深层次的理解。 一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同）。 超模君初看这个定理就觉得违反了人类的直觉常识，假设球体的体积或质量是一定的，通过旋转或者平移以后这些碎片的总体积或总质量应该也是不变的，拼起来后也不可能会变成1=1+1啊，这不就是个悖论吗？ 这个定理还有更强的版本描述： 一块石头经过分解，可以随意组合成任何东西，可以拼成一个星球，也可以拼成一个人，甚至藏进一个细胞之中！ 有画面了吗？可以用一个石头去拼接星球，也可以去创造一个世界。 咳咳，说过了，让我们先从梦中醒来，详细地了解一下这个定理的强大与神奇。 时间回到1924年的一天，又是一个美好又平静的早晨。就在这个伟大的日子，两位数学家斯特凡·巴拿赫（stefan banach）和阿尔弗雷德·塔斯基（alfred tarski)提出一个反常识的定理，人称“分球怪论”。 他们当时发表了一篇论文来概述这个理论： 把一个三维的半径为1的实心球用某种巧妙方法分成五等分——五等分的意思是，把其中一份旋转平移后可以和另外一份重合——然后把这五个分块旋转平移后，可以组合成两个半径为1的实心球。 简单的说，一个球分割重组后变成了两个同样大小的球！当然了，这样的过程还可以继续下去，两个变四个，四个变八个...... 但当他们发表了这个篇论文后，就有人一马当先开始抨击，说这显然不正确吧。 如果一个实心球体积为v（因为球的半径是1，所以v > 0），那么五个等分块，每块体积为v\/5，平移旋转不改变体积，那么无论它们如何组合，最后得到的东西总体积是v，而不可能是2v。 因为，这个论述是基于这么一个假设： 每一个分块都是有“体积”的。而分球定理的理论之处就在于它把球分成了五个“不可测集”——也就是五个“无法定义体积”的奇怪分块。所以，这里我们说“五等分”只是说它们其中一块平移旋转后能重合到另一块上，并不是说它们“体积相等”——因为根本就没有体积，也就没有相等之说。 其实巴拿赫-塔斯基在证明结论的时候主要用到的就是集合论中的选择公理。 通俗一点的说，选择公理可以这么描述： 用任意一组（可能有不可数无限个）非空集合，我们都可以从每个集合挑出一个元素。 看上去非常“无辜”啊——这不就是典型的“正确的废话”么——所以它被叫做“公理”。可是就是这么一个公理，却是魔力惊人，能让我们把实心球一个变俩。这就是数学的魅力！ 其实数学家们一开始发现这个结论也觉得这不太可能，包括塔斯基本人也是想利用这个定理来展示出选择公理中存在的某些先天不足，也就是说他们最先想责怪的就是选择公理. 如果放到现在估计一大半的数学家会晕倒！因为他们学的东西里面有太多的定理都是在选择公理的基础上证明的，现在大多数数学家还是承认选择公理的。 但其实我们还忽略了一个问题:?3的子集的体积该怎么定义? 回到“分球定理”中，只有那些比较漂亮的子集我们才给它们定义了体积，比如:一个球，一个立方体等等。如果是一些杂乱无章的点构成的子集，是很难定义其“体积”的。 分球悖论的奥妙之处就在于，将一个球分成几个部分的时候，很多部分都是一些“非常难看”的子集，它们是没有“体积”的.也就是说最终把一个球分成了几个没有“体积”的部分，然后把它们平移、旋转后反而成了两个同等大小的球！ 第五百五十七章 巴拿赫不动点定理(拓扑学) 1922年。 巴拿赫笑说：“若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。” 乌拉姆说：“还真是，也等价于你拿出地图，你此刻所在位置必在地图上的一点。” 巴拿赫说：“我们用严谨的泛函分析来表达这个压缩映射定理。” 乌拉姆说：“这是度量空间理论的一个重要工具。” 巴拿赫说：“这可以保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。” 第五百五十八章 哈代空间(巴拿赫勒贝格空间) 哈代空间在数学分析、控制论及散射理论中有所应用。 哈代说：“我突然开始考虑一种特殊的空间。是单位圆内的一类重要的解析函数空间。” 李特尔伍德：“为什么要考虑单位圆呢？” 哈代说：“也可以是上半平面。” 利特尔伍德:“单位圆与上半平面等价？” 哈代说：“没错。” 利特尔伍德说：“听起来像是某个傅里叶分析，是一个等价方法。” 哈代说：“在实分析中，这个空间是复分析的边界值。在高维的情况可以考虑管状域的函数。” 利特尔伍德说：“你从中发现了什么呢？” 哈代说：“我构造了一个这样的空间，发现凸函数定律。我发现的是某种意义上的广义圆。” 第五百五十九章 法图引理(测度论) 皮埃尔·法图在研究测度论的时候遇到了一个问题。 法图说：“有没有想过一个问题，就是函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限是否是相等的？” 哈代说：“这是个好问题，我没算过。” 法图说：“我计算过，后者比前者大。” 哈代说：“这是基于什么证明的？” 法图说：“使用单调收敛定理推导的。” 第五百六十章 保罗·潘勒韦的奇点理论(力学) 早期的科学家在计算力学的时候，遇到一个常见的麻烦，那就是引力的中心的加速度和力是不是无限大？ 科学家花费了一个世纪才认识到这种研究是徒劳的：在奇点，理论遭遇了其极限。 出现的黑洞这个概念的时候，也难免再次碰到这个躲不开的麻烦。 奇点存在于许多数学领域中，我们在研究曲线和曲面、复变函数以及微分方程时常会遇到它们。 如今，科学家知道奇点通常是超出他们的理论适用范围的。 牛顿说：“在中心点意外还好计算力和对应的速度的变化，但到了引力中心点。我想不出来该怎么运动了。就算没有横向速度，直直的落到引力中心点，我也不知道该怎么细细的说。它此时运动速度极快。还有什么能比无穷大的速度更快呢？引力会增长至无穷大。无穷大的速度和并不亚于它的引力，哪一个会占据上风呢？”牛顿表示很发愁。 保罗·阿佩解释道：“这个运动物体接近点中心点时，速度无限增加，这显然是无法实现的：在这两个物体距离为0之前，它们会先发生碰撞。”当然，阿佩是在实际问题上来回答的。并没有把引力中心看做是真正的一个点而已。 达朗贝尔论述了这一棘手的问题：“很显然，会越过引力中心，并不断远离，直到它与点中心间的距离与它开始运动时的距离相等。之后，它将重复这个过程，不断振荡。”他只考虑速度无穷大，没有考虑力也会变得无穷大。 欧拉说：“一个直接落向中心的物体，当中心对它的作用力与距离的平方成反比时，会在到达中心后原路返回。” 达朗贝尔对欧拉说：“你这个错的离谱，很反直觉。” 欧拉说：“你知道我是怎么想的？我是假设它的移动轨迹将会是一个椭圆，经过繁复论证和计算后，当椭圆扁到极限时，椭圆轨道上的运动就会变为原来位置和中心点之间来回的直线运动，完全不一样了。”这个解释显然给引力中心赋予了一种斥力，一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论。他们不理解，为什么每颗行星都会花费一半的时间远离吸引着它的太阳。 拉普拉斯借用了被压扁的椭圆的概念，他认为：“朝向焦点的椭圆运动与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别。在前一种情况下，物体会越过焦点，然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下，物体会经过焦点，然后回到起始点。若在原点，物体具有一个运动轨迹切线方向的速度，不管这个速度多小，它都会引起这种差异。但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间。” 拉普拉斯说：“哈哈，直线就是一个无限被压扁的椭圆。” 让·艾蒂安·蒙蒂克拉提到了牛顿，但没有提及欧拉，他也认为这种运动是一种极限情况下的椭圆运动，并总结道：“物体不会越过引力中心。”但是又他补充道：“我们也能确定它不会回头。因为没有任何能让它反向运动的因素。欧拉当然也不对。其实物体到达点中心点后停在那里。”这个很极端了！ 直到1930年，保罗·潘勒韦说：“对于以无穷大的速度到达引力中心的运动质点，一瞬间后，问题就无法讨论下去了。用经典力学不能解释这个问题。所有的猜测都不具备科学价值。在理性力学中，自由下落的质点的运动必然会停在这个奇点上，这个点就像一个点状的黑洞，最终会“吸收”掉这个质点。”这个奇点，成为了数学黑洞。 第五百六十一章 德军的恩格玛密码机(密码学) 随着无线电波的发展，无线电波直接用在战争中，用来上下级传递命令和同级直接传递信息。尤其是在 但是无线电我们可以收发，那敌军也可以收发，所以自己收发的内容会被敌军截获，敌军反而能根据次来预测我军下一部行动，反而会中敌军提前设好的埋伏。 所以需要对电波内容加密，密码本只要各个军队的指挥官有，这样发出的加密的消息就是敌军截获了也不能破译。 那使用什么样的秘密呢？二战的德军何尝不知道凯撒密码是不靠谱的，就是交差替换，也能根据频谱对比找出来。所以必须要要用靠谱的算法来对密码进行加密。 为了避免让敌军使用频谱法破译自己的加密内容，德军开始正式使用恩格玛密码机。这个密码机中有三个凯撒盘一样的字母转子，明文在键盘上按下之后，第一个转子转动，带动第二个，第二个再带动第三个。这些转子在收发消息之前，必须是德军直接秘密调整到一样的状态，这样收发状态就会直接得到明文。 恩格玛转子后还有一个板子，只有6根线，选择其中的字母两两相连。这种连接方式也是德军对好成一样的才可以。 这样德军在发送消息的时候，也就让敌人截获之后也难以破译了。 可是波兰人知道德国对自己不友好，所以波兰政府想弄清德国人心里在想什么，就让波兰数学家们研究一种可以破译恩格玛密码的办法。虽然波兰人用间谍得到了德国人的恩格玛机器结构，甚至暂时破译的恩格玛密码，但是德国人如果一调整新的状态，那波兰破译的密码库就报废了。 第五百六十二章 图灵炸弹破译机(密码学、计算) 波兰人对德军密码的破译，感动了二战期间的英国政府，英国政府拿着波兰人破解德军密码的资料，自己也开始着手破译德军的密码。 阿兰·图灵知道，直接去破德军的恩格玛密码是很麻烦的，需要很多人上千万年才能把所有的结果给试出来。 越难试出来的密码，当然越安全，图灵何尝不知道呢？ 所以让人力破译，这基本上就是一个在人来有生之年都不见得完成的工作。 思路必须要改变，可以用另外一台机器去破译恩格玛机器，就是机器对机器。 同时需要用电的机器，只要使用电，再找到一个可以巧妙破译的计算方法，就可以迅速的破译了。 这种爆炸密码机可以取代很多人大量时间的工作，相当于是一种分布式的运算，以空间计算量换区时间。 剩下的就是考验破译人员的破译技巧了。比如，德军会对元首有问候语，还经常说关于天气的情况，这是因为天气对军事任务很重要。密码的大敌就是重复，只要在问候语和天气信息的重复性进行判断，就可以借助爆炸机的技巧快速推敲出德军恩格玛机器调整的初始状态。 之后就可以轻松的破译德军密码了，一般情况下还要装作不知道，以防德军修改加密方式。在重大型战役中，只要以稀里糊涂的方式进行精确防守即可。 第五百六十三章 丘奇的λ演算(计算) 一阶逻辑是一种不能量化的简单的属性逻辑。与高阶逻辑和数理逻辑不一样。它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。 里面有很多“任意有”和“必须存在”这样的符号。 我们可以大胆地设想，把整个数学理论内容用一阶逻辑表达式全部写出来，成果就像是一本”天书“，一般人很难看得懂。但是，布尔巴基学派偏要这样做，否则，似乎不够”意思“，不过”瘾“。因此，我们能够想像，在布尔巴基的《数学基础丛书》里面各种稀奇古怪的数学谓词多得去了。对此，有人说，这纯粹是形式主义，但是，也有人说，这就是现代数学的本来面目。 1935年，邱奇发明了“λ演算”，来源证明一阶逻辑没有通用判定而发明的，但对于今天的计算机科学家是一件无价的工具。 在函数式语言中，函数的排列更像是个链条，而不是我们说些的那些方程式。意思是后一个函数可以从前一个函数得出。 写出一个函数后，也要写出要带入的变量的值，这样在计算过程中就可以让变量值和带入值进行交换就可以了。丘奇发明这种演算后，他的学生们完善了这种工具。 同年邱奇出版了《初等数论中的一个未解决问题》。其中包含了邱奇定理，它表明算术没有判定程序。在理论计算机科学中，有了可计算性概念复严格的数学刻划，才使证明一系列重要的数学问题的算法不可解性成为可能。 递归函数是一个自己调用自己的函数。 “算法可计算函数都是递归函数”这一丘奇论题提出，算法可计算性这个直观概念才有了精确的数学刻划。 丘奇虽然不是搞计算机的，但是他的这些工具都服务于计算机了，图灵证明自己的图灵机器里很多东西跟丘奇的演算理论等价。 第五百六十四章 布尔代数(数理逻辑) 玛丽.埃弗雷斯特对乔治布尔说：“你这是个什么样的数学，看起来不像前一段时间那样的数学？” 布尔说：“这是一种逻辑符号，运算方式与以前不同。” 玛丽说：“这个有意义吗？” 布尔说：“正是因为我看到了其中的意义，才开始当作一个重要的学问来研究的。” 玛丽说：“重要在哪里？” 布尔说：“这是计算的本质，所有的计算的本质就是这种计算。” 玛丽说：“以前的计算还不是最根本吗？” 布尔说：“没错，我认为十进制数字不简单的就是一定的，就是其他进制数依旧可以。二进制的话会根本一些，计数和累加很明显。而在规定基本的加法运算和乘法运算是必须要有基本规则。” 玛丽很惊讶这种诡异的想法说：“你认为这比几本的四则运算还要基本？那我倒想看看这是个什么样的运算。” 布尔开始在手边的纸上书写起来。 运算逻辑的符号就是：集合为b，0、1是集合b中元素。0 为假，1 为真，∧为与，v为或，?为非。 这些规则就用到或与非这样的符号。 布尔说：“我这样的运算规则特别根本，很多复杂的计算都可以化作这样的规则。每个计算或者逻辑问题都可以变成二进制数字的或与非运算。” 玛丽说：“我还是没有看到这种基本跟四则运算之间能建立起什么联系。” 布尔说：“进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集，进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。” 玛丽说：“可以转化成加减乘除这样的计算吗？” 布尔说：“肯定的，而且比那些东西更加基本。这就是计算的最基本单元。” 玛丽看着这些东西都无法理解。但是绝对布尔说得有道理。同时他感觉到布尔对这个事情很有兴趣。 布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代数在代数学（代数结构）、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用。 这就是很多数学问题的根本，而且制造计算机也可以使用这样的运算来做电子元件。两元素的布尔代数也是在电子工程中用于电路设计；这里的 0 和 1 代表数字电路中一个位的两种不同状态，典型的是高和低电压。电路通过包含变量的表达式来描述，两个这种表达式对这些变量的所有的值是等价的，当且仅当对应的电路有相同的输入-输出行为。此外，所有可能的输入-输出行为都可以使用合适的布尔表达式来建模。 大约在 1935年， m.h.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系，这使布尔代数在理论上有了一定的发展。 第五百六十五章 约翰纳什破解外星信号(语言学、密码学) 纳什说他所用的天文望远镜发现了深空中kic深空信号，大概距离这里1500光年。 若依曼对纳什说：“有线索吗？” 纳什说：“我从不说有和没有。” 若依曼说：“你不是做这个方向吗？” 纳什说：“只有我一个人在做，所以需要摸索。别的人是不是在做，我不知道呢。” 若依曼说：“我觉得你的肯定最强。” 纳什说：“我只能从信号本身的特性来看。” 若依曼说：“你看的是哪些特性？” 纳什说：“看看信号的来源是不是非自然信号。如果不是随机产生，可以认为是非自然信号。” 若依曼说：“非自然信号会不会可以被所有的周期所拟合叠加出来。” 纳什说：“你说的可能性不大，就算是那样，那么也就等价于有生命的可能性了。” 若依曼说：“发射出的信号也可以被许多周期信号拟合出来，那么就认定发出的信号就是一个自然信号了？” 纳什说：“按理说，最好不要这样。” 若依曼说：“还是可以剔除出来真正的生命体信号的？” 纳什说：“没错，我就是想做好这个课题。” 若依曼说：“会不会受混沌学的感染？” 纳什说：“对于混沌学的研究，会发现可以出现一些简单模型，可以由于细小的差异便可以产生许多看似非自然的信号，在台球中有三个固定台球中有第四个活动的球对撞这三个台球，对撞的形式是由微小的差异可以产生很多不可思议的就像是人为的秘密的。” 若依曼说：“如此巨大的干扰，如何解决？” 纳什说：“筛选信号的方式就是在排除这些信号的情况下提取的，需要证明三个台球是否能够产生出无数种信号，如果有些信号是无法产生的，那就可以当选这样的信号就是生命周期的行列。” 若依曼说：“那需要电脑模拟了，看起来不容易。” 纳什说：“一种信号，它存在但却并不是任何一种周期的信号叠加起来的。那是很有趣的，而且提炼过程当中还有很多麻烦。一个未知生命体会费工夫发送这样的信号吗？作为这样一个生命体，会发送如此难搞的信号到外星吗？这太过于费力，发送者会费时间，接受破译者更会浪费时间。” 若依曼说：“要是这么讲的话，可以缩小范围呀！” 纳什说：“首先假设自己想要向太空发射信号，而且能够把信号发射过去，让外星人知道自己是一个有智慧的生命体，还要知道这个生命体想要联系外星人，那么双方在根本不知道对方的情况下就会有一种局面，如果a向b发射，b首先接收到了来自a的信号，先要把a的信号收集好，然后再把信号排列开来，之后就应该想想这个信号是不是自然信号，那么就需要知道自然信号会有哪些可能，而什么样的信号才会有生命体发出。” 若依曼说：“那样的话，就是需要外星人心理学了。” 纳什说：“如果b收到一种信号，有高低两种不同的波段，很稳定，高频发射1，低频发射0，发射····的信号，那么就需要主要注意，这个很可能不是智慧生命发出来的，脉冲星就可以产生这种类型的信号，所以不论是复杂的还是简单的，周期性信号不是智慧生命所发出，那么b可以排除掉所有的周期性信号来源a生命体。其次宇宙中有许多周期性存在的信号，以及型号叠加，因此，我们需要用傅里叶叠加出各种函数图像，以此可以排除掉更多的非智慧发射信号。” 若依曼说：“这样的信号很好排除，肯定一般都是自然信号。” 纳什说：“如果是一点周期性都没有的信号，那也根本不可能。那么像0···的信号是不是智慧生命发出的呢？看起来人为的可能性很高了，而且大自然的傅里叶函数很难叠加出来，所以很可能是。但是如果是的话，很可能只是a想对b表明自己是一个智慧生命体，这种智慧生命体可以发射出大自然本身不会发射出来的东西。尽管a对b一无所知，但是那样的序列的识别还是很简单的。但是那个序列不会按照那个规律无限进行下去。而且这样的信号指示规律的其中之一，如果没有这样的信号也会有其它的规律型信号，只要是有规律的，非周期的才能说明是外星人信号。” 若依曼说：“听起来很有趣了，你看到过这样的信号吗？” 纳什说：“没有，我只是打个比方。” 若依曼说：“那么类似的呢，像是智慧会发出的信号。” 纳什说：“我们很难去明确某种频率或者是方向去找，而且在接收的所以波段中去提取。” 若依曼说：“那你们如何提取，要做什么分析吗？” 纳什说：“说实话，我心里很乱，现在还在找这么一套方法，而且这个事情肯定是需要双向进行的，我们也要猜测生命体会发送什么样的信号。” 若依曼说：“按理来说，数字是避免不了的吧。” 纳什说：“对，这个是重要的一环。” 若依曼说：“他开始想要是发送大量信号的话，而对于信号本身，外星人会用到二进制数的概率会有多大？” 纳什说：“这个会很大。但是也会有使用3进制的生命体，因为使用e进制数效率是最高的，而e约等于2。7，四舍五入接近3，所以有这种可能性，平衡三进制的可能性高于二进制，而3进制以上的可能性是微乎其微了，也不能完全否定，所以一般要是判断是否来源a生命体，就先看看其中的信号是2进制还是3进制的吧。” 若依曼说：“那么说就是非2即3了，那就可以缩小范围了，不过也要防止其他的可能性啊。” 纳什说：“对呀。” 若依曼说：“除此之外，就需要a对b说明一些事情了，假如a就是地球人，地球人倒是更加喜欢炫耀自己的几何，化学，音乐等水平，以显示自己是具有一定科技水平的生命体。这是一方面，地球人的探索者号中有一幅关于太阳系的模型。所以b外星人若能收到那种碟，必然先会研究一下太阳系这个系统，根据太阳系这个系统，才能识别出a生命体会生存在何方。b需要识别a的还有就是来自哪个方向，还有方向有多远。其实如果根据方向的话很容易，在b星球是在全天区探测a信号在正确的方向下肯定是最强的，所以信号最强的方向就是a生命体所在之处的方向。” 纳什说：“挑战者一号发的那个光碟就说了一些这种情况。后若有复杂的，需要更多的耐心去分析。” 若依曼说：“但是你说的那个1500光年的信号，是什么意思。” 纳什说：“我使用的天线阵列探测到了疑似有价值的脉冲信号，这种信号的格式进行多层破解，绝对不是自然情况能够加密的。里面的内容是前面是一个时间信号，后面的字节是有规律的重复，我给这种字码取了名字叫h，对这内容信号进行自己的理解，有以下几种情况：1，有可能是呼救，自己遇到了危险或者缺少某些资源；2，有可能是打招呼，想探寻有没有除自己以外的其它地外生命。对我来说不太可能是有其它什么事情，因为除了时间信号之外，仅仅是一个简单重复的字码。但是时间一长久了又有一些貌似重复字码，之后又再是大量的重复原有h的字码。我开始收集除了h字码以外的字码记录下来，下次出现的时候看是否相同。大约是五次的收集之后，我惊奇的发现了这五个字码大体相同，仅仅是细节上有差异而已，我给五个字码取了名字分别为j1，j2，j3，j4，j5。他开始推测，这五个字码应该是对h字码的解释。” 若依曼说：“五个字码如果去解读呢，如何在不知道对方语言的情况下去了解对方？” 纳什说：“需要懂得语言学，首先信号不需要复杂加密，如果是求救的，那很可能就是死马当作活马医，如果是救人的来，就能得救，如果是害人的来，那我们就会遭遇重大灾难。所以开始以当前的h，j语言作为标准。开始学习语言学。开始尝试寻找信号中的最高频词汇，找到疑似第1，2，3人称，找到疑似标点符号，找到疑似某些像数字一样的信息，找到疑似使用的动词，找到疑似的使用的可能是呼救的词汇。” 若依曼说：“然后你有没有回复过？” 纳什说：“我开始制造并运行同一波段的发射器，回馈一些信号，时间是按照对方的标准而来。” 若依曼说：“如果是1500光年的话，那么1500年后才能收到了。” 纳什说：“而且并不能保证他们不会浪费时间去发送或者破译。需要破译，分析，解释，之后。如果把次信号放在生命体信号发送候选人的行列，那么就可以尝试着回馈，然后看对方信号是否会因为我的回馈而产生一定的反应。” 若依曼说：“看了想要远程正常交流，就必须要建立在通讯能够及时到达的基础上，否则就是相互收一些时间漫长的考古信件了。” 纳什哈哈大笑说：“对于太奇特的疑似信号会如何判定，对方是回馈了，或者没有回馈，或者回馈的是信号，而不是物理反应？若真是生命信号，那么信号往往都会有一种特征，寻找这种特征不会太复杂。把那几种有特点的特征找到之后，就可以列出来。然后自己回馈相同级别的信号之后，就可以对比对方信号特征上的变化，在智慧生命体的心里较量之中，对方应该也会这么分析我们的信号，因此也对比回馈我们信号。我们也需要回馈我们自己的具有特征的信号，而且得长时间的去捕捉这样的信号。” 若依曼说：“似乎股票分析的图形变换当中看到了一个生命体信号，生命如何生长，如何睡觉，如何饮食，如何死亡，我都有研究，这些是可笑的题外话了。” 纳什说：“提选生命的非自然信号有了依据。因为不论是如何兑成的非自然周期信号，虽然麻烦的，但是这已经足够，那就是一个生命体了。我们人类就是被大自然的各种周期拟合叠加的，如果信号是那样的话，我不再理会什么动力学系统，那已经足够是一个生命体了。而且生命体，我对它的定义是生命体也心理学，从而有琢磨其心理学的能力，如此的话，我们要想到他们有这种能力，由此我们要想到我们需要捕捉这个信号，分析这个信号，由此我们也要不断地发送这个信号。” 第五百六十六章 囚徒困境(博弈论) 囚徒困境是1950年美国兰德公司的梅里尔·弗勒德（merrillflood）和梅尔文·德雷希尔（melvindresher）拟定出相关困境的理论，后来由顾问艾伯特·塔克（alberttucker）以囚徒方式阐述，并命名为“囚徒困境”。两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。 如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十年；若互相揭发，则因证据确凿，二者都判刑八年。由于囚徒无法信任对方，因此倾向于互相揭发，而不是同守沉默。最终导致纳什均衡仅落在非合作点上的博弈模型。 囚徒困境的故事讲的是，两个嫌疑犯作案后被警察抓住，分别关在不同的屋子里接受审讯。 警察知道两人有罪，但缺乏足够的证据。 警察告诉每个人：如果两人都抵赖，各判刑一年；如果两人都坦白，各判八年；如果两人中一个坦白而另一个抵赖，坦白的放出去，抵赖的判十年。 于是，每个囚徒都面临两种选择：坦白或抵赖。 然而，不管同伙选择什么，每个囚徒的最优选择是坦白：如果同伙抵赖、自己坦白的话放出去，抵赖的话判十年，坦白比不坦白好；如果同伙坦白、自己坦白的话判八年，比起抵赖的判十年，坦白还是比抵赖的好。 结果，两个嫌疑犯都选择坦白，各判刑八年。 如果两人都抵赖，各判一年，显然这个结果好。囚徒困境所反映出的深刻问题是，人类的个人理性有时能导致集体的非理性-聪明的人类会因自己的聪明而作茧自缚，或者损害集体的利益。 第五百六十七章 凯泽窗(信号处理) 凯泽窗是由贝尔实验室的james kaiser所提出的。凯泽窗是一个单参数的窗函数群，用在数字信号处理中。 在信号处理中，窗函数(window function)是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。 123对凯泽说：“为什么要研究窗函数？” 凯泽说：“窗函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩等方面有广泛的应用。” 123摇摇头，还是没明白。 凯泽说：“为了让信息变得简单话，不是1，就是0.” 123说：“我还是感到疑惑，你这样做，不就是把信息的单元一分为二吗？万一有中间的状态，那该怎么办？” 凯泽说：“你说的是0.5的状态了，这个概率不高，高于0.5的，都是1，低于0.5的都是0.我们只有这样，才能干脆利索的处理信号和信息，否则，我们设立很多不同的情况，我们无法处理。” 123说：“你的意思是，模糊是信息的大底吗？” 凯泽说：“没错，所以才出现了各种各样的窗函数。” 第五百六十八章 小平邦彦消灭定理(曲面) 代表性成就： 1.消灭定理 2.复流形的形变理论 3.复代数曲面的黎曼洛赫定理、 4.紧复曲面双有理分类 4.小平嵌入定理 小平邦彦是现代代数几何全球领袖之一，他开创的现代复代数几何体系与教皇代数几何体系既融合又相互独立，他在代数几何中地位仅次于教皇，绝不下于塞尔、韦伊，尤其在复代数几何中，基本是第一人的存在，地位与陈省身在现代整体微分几何中的地位相当！ 小平邦彦是二战后崛起的一代日本数学宗师和领袖，他对于代数几何的深刻影响是本质的，消灭定理就是开了一个挂，形变理论，复代数曲面分类，小平嵌入定理等工作都是现代代数几何中决定性的伟大成就！ 小平邦彦开创的代数几何传统在日本有很好的传承，至今日本都是世界代数几何，流形理论的中心之一，实力并不弱于法国美国！人们只记得塞尔是最年轻的菲尔茨奖得主，记得塞尔是教皇的领路人，记得塞尔是现代代数几何的支柱之一，很多人都忽视了，小平邦彦是和塞尔同一年获得菲尔茨奖的，伟大的外尔颁奖时评价小平邦彦和塞尔达到的高度是他不敢想象的。事实上，小平邦彦的成就从来就不比塞尔弱！ 有意思的是，小平大神年轻时学习数学，一度进展缓慢，不得其解，有过靠不断抄书来学习的经历。可见大神也需要勤奋，实际上小平邦彦正是勤奋的不得了的学者，不是每个人都能像庞加莱一样做数学的。 小平邦彦说：“我在想一种流形上的问题。” 高木贞治说：“还是复流形上的吗？你已经讨论过了，我有些不敢接受。” 小平邦彦说：“你不解释的原因，就是你不去想关于坐标变换的问题，所以不能够解释关于仿射空间的很多问题，你的思路当然打不开。” 高木贞治说：“我觉得既然叫平行线，你为什么么非要说他们在无穷远出交于一点？” 小平邦彦说：“我们完全可以构造这么一个空间，我们要直面无穷远点，换句话说，只要到达无穷远点，就可以看到两个平行线交于一点。” 高木贞治说：“这只是在语言上有流畅性一样，是个文字游戏，你不能如此草率的对待无穷的问题。” 小平邦彦说：“你只能说我们达不到，但是这个概念出现之后，对欧几里得空间这些一点都没有影响，而且很多问题得到简化，就会变得简单。” 高木贞治说：“可是你说一个坐标系中的无穷远，都能合成一个点，你凭什么这么说，这比平行线相交还要荒谬。” 小平邦彦说：“这不荒谬，这就是坐标的变换，你不要认为正无穷大和负无穷大离的距离很远，就觉得他们水火不容，他们其实可以在一起。” 高木贞治说：“等等，怎么能在一起？” 小平邦彦说：“你知道世界地图吧？” 高木贞治说：“我知道呀！” 小平邦彦说：“你知道世界地图和地球仪吧。世界地图其实不能弄成什么形状，都不会想地球仪上面那个地方一样统一，因为是投射成这样的，俄罗斯和南极洲明显变大了很多，实际上没有那么大，而且我们如果使用其他的方法投射，世界地图的变形将会难以想象。” 小平邦彦描述出一个图景，把投影灯放在地球仪不同位置，就会在一个平面上透出各种扭曲，但是还能保留信息的各种扭曲的地图。把投影仪放在北极向下照射地球仪，发现了南北极在一个点上，而把投影灯放在地球仪内部中心，南北极就在无穷远的两个点上。 高木贞治说：“你的意思是，投射灯只要变换位置，南极和北极可以在一个点上，也可以分别在无穷远，依此说明坐标系上的正无穷和负无穷也可以粘在一起？” 小平邦彦点点头说：“没错，而投影灯的移动，就是坐标系的一种变换。” 高木贞治说：“你要这样说，我就明白了。” 小平邦彦说：“然后，我只要研究一下投影灯、地球仪和平面的相对位置，我就可以知道坐标变换成什么样子了。相当于是，我要了解变换的坐标上的相对于原来的弯曲程度是多大就可以了。” 第五百六十九章 高木贞治类域论(域) 就凭开创类域论这一项成就，高木贞治就足以站在这个位置。 类域论是现代数论的中心，研究数域上阿贝尔扩张的理论，如今已经渗透到数学各个分支，构造类域的世纪难题，依然是当今数学的最重要的中心之一。 高木贞治是日本现代数学最重要的开创者和祖师爷，早年游学德国，回日本后培育了整整一代的日本数学家！可以说，高木贞治大师是现代日本数学的真正意义上的开创者。 高木贞治的伟大成就，经他教育传承下，奠定了日本代数，数论学派的深厚传统，时至今日，日本仍然是世界抽象代数、代数数论研究的重镇。 高木贞治知道阿贝尔的扩张论，对伽罗瓦解释数域的扩张，和高次方程无解的理论都有很大的帮助。 阿贝尔扩张是一类重要的域扩张，设k是域f的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群g(k\/f)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，k称为f上阿贝尔扩域。 但高木贞治认为，属于的扩张可以已经基本的算数运算，在算数运算的扩张可以看看数字可以饱满到什么程度。 高木贞治对小平邦彦说：“人类是怎么定义数字的？会不会不讲究啊！” 小平邦彦说：“你指的是自然数？那皮亚诺公理不是从新定义了吗？规范了呀。” 高木贞治说：“只能说自然数或者是整数还勉强的符合群论或者环论的一些东西，其他的小数、无理数、超越数恐怕就难以用群、环、或者交换环或者是伽罗瓦的扩张来得到了，来自人的灵性而已吗？” 小平邦彦说：“发现如此之多的数学工具，不就是为了重新规范这些已经存在的有用的各种数字嘛，这点类也受不起？” 高木贞治说：“如果是1用皮亚若公里扩展到自然数，在加个加法交换性得到负数，乘法交换性和商群得到小数，然后加个i扩展到复数。但来个非交换的矩阵，说实话，不太能吃得消。你说一下，你顶得住非交换的东西嘛？” 小平邦彦说：“但数学中普遍存在呀！” 高木贞治说：“任何一个人都不喜欢不对称的，也不喜欢非交换的，所谓此刻的非交换，也只是为了下一次的巨大的交换做准备的，所以任何一种域，都可以用阿贝尔扩张出来。” 小平邦彦说：“胡说，你喝多了吧！” 高木贞治说：“非但没有，我还要跟你死磕到底，咱们要来个这个世界上有没有非交换的东西来掰扯一下。” 小平邦彦说：“有非交换的，很多矩阵就是。” 高木贞治说：“幼稚，那些矩阵我可以还原出一些原型，改造成可以交换的易如反掌。”高木贞治开始写出了一个矩阵，然后再周围加了一圈零。对小平邦彦说：“你看看，这不就改造成交换的了吗？” 小平邦彦说：“你加了0，那就不是原来的矩阵了。” 高木贞治解释道：“谁说的？你眼里就是什么2乘2阶，3乘3阶矩阵。那是你每看透，都是无穷阶的，其中只有2乘2阶，3乘3阶有非零的数字，其他都是0而已，每个矩阵阶数相等，都是无穷乘无穷阶的。” 小平邦彦说：“你太突破传统了，我不太能接受你那个所谓的简写0的矩阵这个说法，即使你耍赖，我还能找到很多的非交换的东西。” 高木贞治笑说：“一样的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成个其他东西，即使旋转三角形那些，也是一样，我都可以给你变变。最终你发现，你找不到非交换的东西。” 小平邦彦说：“照你这么说，数学都是交换的，岂不是更容易统一了？大喜事呀！” 高木贞治说：“不完全对，即使世界上任何一个东西都是由一个简单的元交换出来的，但是这个交换过程极其繁琐，是一大堆的逻辑符号，就算用范畴论的语言都需要写好几页呢。” 小平邦彦无语：“那还不如非交换呢，把非交换弄简单点，不也可以操作嘛！” 阿贝尔感觉到，关于数论中同余的问题，往往就会关联有限群。 这是不可避免的。 只要以规范，就会让其得到大面积惊人的使用。 比如二律互反等一类的数论问题，在有限域这种地方也能用得着。 那么近下来，让大家接受有限数域，就是最终于的问题了。 对于此，阿贝尔扩张就是关于这个问题的研究的，同时后人有循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张。 对于分圆扩张，克罗内克发展了克罗内克的青春梦。 而高木贞治，解决了克罗内克青春梦猜想。 类域论就是研究怎样用k的元素来描述k的所有阿贝尔扩张的问题。 1920年日本数学家高木贞治完成了类域论的最早突破：对于每个扩张k，都对应k中的一个对象t（k），即k的理想类群在某一等价关系之下的一个等价类。 高木描述了这些t(k)的集合，而且每一个t（k）都刻划k的唯一的阿贝尔扩张k，并且k的代数及算术性质可由t(k)直接推出。 对这个漂亮的定理，高木给出的证明非常繁复，中间还要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定义狄利克雷l级数。 之前几百年，高斯发现了二次互反律的多种证明。 1920年，高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张理论，和类域论。 后来阿廷发现了阿廷互反律。 从中发现了在数论、群论和代数几何之间的相互联系。 同余代数，对于椭圆曲线与模形式。 而模形式对应艾森斯坦级数。 所以二律互反对于级数，一般级数使用狄利克雷的l级数来表示的。 阿廷就发现了这个东西，后来推广到阿廷互反律。 第五百七十章 罗杰·戈德门特自守函数 1890年，克莱因在一般拉梅函数理论中，提出了自守函数。 是一种亚纯函数，给复流形的解析变换下的离散群不变，f(γ(x))=f(x)，x属于m，γ属于离散群Γ。 自守函数是三角函数和椭圆函数的推广，是数学中分析、代数和几何理论交叉的产物。 出现这样的结果，往往是多个数学家的共同研究，共同承认结果。 一个数学家，提出一个新的东西，只有很多同行朝着这个方向研究，甚至竞争，才能在正确和适当的时间内，被广泛的承认和传播，数学家此刻会名声鹊起。 而如果一个数学家提出一个新东西，同行们没有朝着这个方向研究，就不会出名，换句话说，这就是研究的太超前了，超越了当时这个时代。 自守函数属于第一种情况。 戈德门特对吴宝珠说：“分析学的发展，你了解多少了？” 吴宝珠说：“微积分发展的时候开始扩展微积分的主要内容，其中研究钟摆和拉杆的问题。遇到了椭圆和双曲弧长中的无理函数积分，成为椭圆积分。”吴宝珠说着，写出了一个这样的函数，是一种积分公式，是椭圆积分近似表示。 然后看着公式，继续说：“这个函数不能用代数函数、圆函数、对数函数和指数函数。这种无理函数确实是个迷人的问题，同时也越来越普遍了。还推广到复数域。最后出现了勒让德称霸四十年的那个椭圆函数。阿贝尔和雅克比发现了椭圆函数反函数中，有类似三角函数的性质。” 戈德门特接着说：“对于微分学的发展，你了解多少？” 吴宝珠说：“有常微分和偏微分方程。跟物理学有关，力学向电磁学发展过来的，最后出现了复杂的物理运动，比如风帆运动、薄膜震动、行星运动和弦振动。以上有很多二阶线性微分方程。解决方法有几何法、不变量理论方法、群论方法，其中群论方法最成功。其中研究的最重要的是超几何方程，许多重要方程都是这个方程的特殊情形。” 吴宝珠继续开始写，一边写一边想着说：“它是以1、0和无穷大作为奇点的二阶线性常微分方程。欧拉给级数解，高斯研究收敛性。然后常微分方程研究进入一个新的历程，就是奇点理论，一阶奇点领域内有特定形式级数解。从一阶奇点的解推广到高阶奇点的解。” 吴宝珠继续兴奋的说：“黎曼找到了亚纯函数的奇点，亚纯函数在复平面上不是单值” 吴宝珠开始一边画图，一边说：“方程一组基本解系，当自变量绕着某个奇点解析延拓一周后，解系变换到另外一个单值解析分支中去。这些基本解系之间，存在线性关系。所有路径解析开拓得到的相应变换集合，被埃尔米特称之为方程的单值群。富克斯在黎曼基础上，推进超几何方程研究，研究n阶微分方程问题。证明奇点在奇异系数的地方，激发大家用系数研究微分方程。” 吴宝珠激情说完后，戈德门特说：“代数学的研究，你了解多少？” 吴宝珠说：“这好像是你擅长的吧。” 戈德门特说：“我的代数方程的几何理论，涉及到有限变换群，推广到无限离散变换群。” 吴宝珠说：“你刚刚东拉西扯一堆是？” 戈德门特说：“我把分析学、微分学和代数学三合一，找到了一种自守形式。我的思想几何化，用几何学和群的观点研究5次以及5次以上代数方程和线性常微分方程。” 吴宝珠恍然大悟。 戈德门特说：“我成功的从20面体中获得5次代数方程完整理论。通过5次方程线性变换关系，以及斯瓦兹对三角函数理论的合作研究，研究椭圆函数模形式。” 第五百七十一章 冯布劳恩的昆虫笔记(生物学) 作为一个资深火箭学家，他反而在思考，大自然制造的生物比起人类的很多机械制造要巧妙。先不说人这种复杂的灵长类动物，先从简单的思考起，可以研究昆虫。 于是他开始收集各个昆虫的特性作为研究。 用各种玻璃给动物做巢穴。蚂蚁，苍蝇，蟑螂，蜘蛛。给蚂蚁的巢穴，是将真正的蚂蚁完整展现出来，并把蚂蚁放进去，来观察蚂蚁的生活。 蜗虫：被切开后能重生，还有记忆功能，说明蜗虫本身都带有大脑功能，或者是备份大脑的功能。有一种身体其他器官与大脑平等的特性。 蚂蟥水蛭：有32个脑袋，说明水蛭是一个团队，目的是为了身体各个部位去寻求各种资源。吃饭有很多张嘴，这就需要大脑相对简单，才能专一做好自己的目的。 蚂蚁：蚁穴算法。 蚂蚁：可以驯养放牧蚜虫，并从这些虫子身上汲取吸收到的汁液。 反应与寿命的关系：昆虫反应越快，寿命就越短。 蟑螂：忍受核辐射的能力很强，蟑螂难以被杀害，蟑螂可以生活在太空中。 蟑螂：是可以无性繁殖的，怪不多是打不死的小强！ 水熊：很难被杀死，刚出生就成年，身体细胞数目不变，可以停止新陈代谢的隐生，-273摄氏度到150摄氏度可以生存。太空和辐射中有10%的存活率。无论是极热还是极冷，高压或是高辐射，你甚至可以把它们扔进太空，但是它们依然可以存活。水熊虫能够在极端条件下幸存下来，进入脱水状态，并能够存活数十年，一旦放入水中还会复活。 灯塔水母：可以返老还童。 巴西的蝇蛆：可以钻到人体中生活，是苍蝇在人体中产软。 毛毛虫中的蜡虫：可以吃塑料袋。 黄粉虫：能降解聚苯乙烯。 海星：有 8 只眼，每只脚都有一只。海星至今还没演化出脑。 眼睛有毛：有些昆虫的眼是有毛。 牡蛎变性：一只牡蛎的性别会由男变女，此后一生中还会变个几次。 无头昆虫：有些昆虫没有头还可以再活上一年 毛虫肌肉：一只毛虫身上有超过两千条的肌肉 虾米：心脏在头部。 人无意中吃虫子：fda的数据显示普通人每年要吃掉平均一磅的虫子，主要是混在食物里摄入。 胡蜂：在给无花果授粉的时候会在里面产卵，公的没翅膀会死在里面，被无花果吸收。有翅膀的雌胡蜂会挖洞飞出去。 无菌苍蝇：澳大利亚的苍蝇因其干净的环境进化成了无菌苍蝇，以森林为家，以植物汁液为食，他们既能分解粪便和尸体，又能像蜜蜂一样采蜜授粉，还作为国家日常出口商品之一，因此有人说苍蝇才澳大利亚的“国鸟” 三叶虫：是距今5.6亿年前的寒武纪就出现的最有代表性的远古动物，是节肢动物的一种，全身明显分为头、胸、尾三部分，背甲坚硬，背甲为两条背沟纵向分为大致相等的三片——一个轴叶和两个肋叶，因此名为三叶虫。5亿～4.3亿年前发展到高峰，至2.4亿年前的二叠纪完全灭绝，前后在地球上生存了3.2亿多年，可见这是一类生命力极强的生物。在漫长的时间长河中，它们演化出繁多的种类，有的长达70厘米，有的只有2毫米。三叶虫生有原因的，死更是有重要原因的。 船蛆：菲律宾发现，巨型的“船蛆(shipworm)”。这种蛆非常粗大，长达五英尺(约1.5米)，呈黑色，住在象牙状的壳里，而且全身都黏糊糊的。巨型船蛆生活在泰国湖边的浅泥滩里，以鳃部细菌制造食物。对于巨型船蛆的最新研究发表在美国国家科学院的学报上，研究称这种生物还可以从泥浆中的一种硫获取能量。 火体虫：看起来像收集了好多泡泡的瓶子的生物，科学家称为【火体虫】。长约7厘米，是一种球形的聚合体生物，那些泡状物就是聚合体的“居民”。每一个微小的个体都像泵一样给有机体提供水分和养分，使得这个聚合体能够生存，同时还发出光芒。 大力甲虫：是相对来说力气最大的动物，它能轻易举起于它体重850倍的物体。 蛔虫：在人体内能够长到30厘米长，长到这个长度之后，他会从人体体表的任何一个空隙或者孔洞钻出来。 嘴巴里微生物：在任何时候，你的嘴巴里都生存着数量超过1亿的微生物。女生在特殊情况下可以高达3亿。 蜘蛛：让人害怕有理由，蜘蛛也会对同类下手。人对蜘蛛的恐惧超过死亡。女人比男人更害怕蜘蛛，这是基因遗传。 狼蛛：可以活40年。 蜘蛛：用液压来运动，死亡时，液体排出，所以腿是卷曲的。 蜘蛛：烧伤时蜘蛛会爆炸。 蜘蛛：吃自己的网，再回收利用。屋中95%蜘蛛适应室内生活，拿出屋来就死了。至少有4378种种类。 蜘蛛：用地球静电场推动大气中2.5英里。只有一种蜘蛛家族没有毒液，长腿叔叔也被认为最危险。一些男性蜘蛛剥离生殖器插入女性性器官，增加亲密关系。在日本武士蜘蛛可以战斗。只有南极上找不到蜘蛛。大多数蜘蛛有4个眼睛。蜘蛛无法消化固体，先弄出液体才行。蜘蛛的血液是蓝色的。 飞蛾：可以吸鸟的眼泪。 蚊子：母蚊子吸血，公蚊子吸植物汁，喜欢咬体温高的人，喜欢深颜色，22-32摄氏度活跃，10c以下停止活动，能在雨天飞行，雌蚊子会传播疾病，几天内可孵化，一生产卵几千，母蚊子一生交配一次，寿命20天之内，世界上最致命动物第一。刚被蚊子咬完时，抹上肥皂会止痒。 世界上最大的蚊子：身长40厘米。 非洲牛蛙：捕食能力很强。小老鼠都可以吃。 气步甲（brachinusfavicolps）：喷出的毒液温度可达100c。 雀尾螳螂虾：是世界上出拳最快的动物，在1\/50秒内将捕肢前端弹射出去，最高80千米\/小时，高达60千克冲击力。 蜂群：小龙女控制蜜蜂破了毒蜘蛛。 人体寄生虫：不论如何，人体内寄生虫重量占人体的1\/100。 鱼虱：比其他种类虱子更大。 飞稻虱：中可以发现齿轮，是进化出来的。 蚱蜢：是用全身呼吸的。 昆虫没有肺：或者整个机体都是肺。 蚰蜒：与蜈蚣是近亲，叫草鞋底，在阴湿地方，捕食小虫，有益农事。吃蜘蛛。五毒之一。可以断足逃脱。微毒，可入药。给人饱疹。美国人爱吃的菜。 蠕虫：原虫，蠕虫（吸虫、线虫、绦虫）可以钻进大脑，预防拒绝吃生食。 弓形虫：是细胞内寄生虫，随血液流动，到达全身各部位，破坏大脑、心脏、眼底，致使人的免疫力下降。 白蛉：能传播黑热病、东方疖、皮肤黏膜利什曼病、巴而通病等。每年5-8月为白蛉活动季节，白蛉吸吮患者的血液时，原虫便进入白蛉体内发育繁殖成鞭毛体，7天后白蛉再次叮蛟人体时，将鞭毛体注入即可引起感染。原虫主要生活在患者的血液、肝脾、骨髓和淋巴结中。 螨虫：已经成为人类最主要的过敏源之一。螨虫除了造成呼吸道和皮肤的过敏外，还会传播一些严重的疾病，比如一种叫做革螨的螨虫，可传播流行性出血热病毒。 蜱虫：传播疾病的能力排名世界第二，仅次于蚊子，比人们熟知的跳蚤、虱子更强。近年来，蜱虫引发的“无形体病”急增。蜱虫一般寄生在一些动物的表皮上，如牛、狗等，平常约有黄豆大小，在吸血之后会变得更大，有八个爪，钻进人肉里，抠不出来。这种虫在每年5月至10月活动最为频繁，全国许多省份都已发生蜱虫伤人事件。 跳蚤：主要寄生于哺乳动物如老鼠、鸟类等的体表，可传播鼠疫、斑疹、伤寒等多种疾病。 蚊子：对人的危害不仅是被咬后皮肤红肿痛痒和影响睡眠，最危险的是会传播疾病。经蚊子传播的疾病主要有流行性乙型脑炎、疟疾、登革热和登革出血热、丝虫病等。 恙虫：和蜱虫一样体型很小，肉眼很难看到，多寄生在老鼠身上，在流浪的猫、狗身上也有发现。恙虫病是一种通过恙虫叮咬而传播给人的急性传染病，在我国东南、西南地区的沿海岛屿发病率较高。 喜马拉雅蜘蛛：喜马拉雅蜘蛛生活在6700米喜马拉雅山脉，可以在氧气稀薄的环境下生存。 深海微生物：它们生活在世界上最深的海洋—马里亚纳海沟，它的深度大约为10.9公里（6.8英里）。这里的极端压力大约是海平面压力的1100倍。 红扁甲cucujus vipes：具有非常好的抗寒能力，它们甚至可以在北极生存。当温度降低到一定程度，昆虫体内液体会形成冰晶，导致个体死亡。但红扁甲会产生阻止水分子聚集在一起的抗冻蛋白质（afp）和抗冻糖脂（afgl），并进入滞育阶段。而科学家们也正在研究红扁甲中的抗冻蛋白，以便在冷冻保存和农业中得到应用。另外，它们还会产生高浓度的甘油来“武装”血液，这些甘油起着“防冻剂”的作用，减少液体冻结。美国的john duman教授发现，有些幼虫甚至可以在-150°c下存活，真是让人难以想象。而它们能在如此低温下存活还有一项保命技能，那就是脱水。研究表明，气温保持不变情况下，含水量最高的红扁甲个体的冷冻概率最高，而含水量最低的个体的冷冻概率最低。 南极贝摇蚊belgica antarctica：生活在南极半岛的岩石上，无翅，是该大陆特有的昆虫和完全陆生动物。它的幼虫在南极的冬天发育，每次脱水都会损失近一半的体重。而成虫的寿命为7~10天，在此期间它们发生交配和产卵。科学家研究发现，它拥有昆虫中最小的基因组，仅有9900万个碱基对，比之前发现的体虱（1.05亿个碱基对）还要少。这一发现也有着重要的意义。研究人员将这些基因与其他动物的已知功能进行了比较，发现了大量与调控和发育相关的基因。 碱水蝇：不怕盐碱的碱水蝇，碱水蝇ephydra hians分布在美国西北部以及加拿大和墨西哥，数量最多的栖息地位于加利福尼亚的莫诺湖。它们主要生活在软质和硬质底质的滨海区，数量众多。莫诺湖的湖水比海洋水还要咸三倍，碱性更强，这对生活在那里的任何生物都是一项挑战。碱水蝇依靠吃岸上和海底岩石上的海藻为生，它们也为数以百万计的蜘蛛和候鸟提供美味的食物，成为建立湖泊食物网的关键环节。而碱水蝇能在高盐度的湖水中生存的秘诀是它们在入水时身体的表面和微观毛发会从旁边捕获一层空气，使水流出，形成一个保护自己的空气泡。 石油赫水蝇：石油中还有生物存在？说出来不知道有多少人会相信。这种奇葩的昆虫是石油赫水蝇heomyia petrolei，也可称石油蝇，它们被发现于美国的加利福尼亚州的石油坑中。它们以油田附近的死昆虫为食，幼虫到化蛹的整个发育阶段完全是在石油中进行。幼虫能够摄取大量的油和沥青。研究发现，幼虫体内含有大约200，000 个异养细菌，这对于寻找在有机溶剂环境中起作用的微生物或酶的科学家来说是个非常好的研究度对象。但是，这些细菌是否是昆虫能够生存在石油中的关键还亟待研究。 长尾管蚜蝇eristalis tenax：也称蜂蝇，属于双翅目食蚜蝇科的昆虫。腹部色斑多样，以浅色者为主，成虫形似雌蜂。其幼虫全身乳白色，体短，圆柱形，末端有一条“长尾”，称为管尾蛆。它们可以在含氧极低的死水潭中生活。死水潭往往会含有散发难闻气味的硫化物，对于大多数动物来说，这些化合物非常危险。但长尾管蚜蝇的幼虫可以在此生存，腹部的长管可以伸到水面上当做呼吸管使用。 胭脂红虫：口红是用虫子尸体做的，是胭脂红虫。 蚯蚓：一般蚯蚓有4-5颗心脏。 锥蝽：一种活跃在热带地区的吸血昆虫，是美洲锥虫病的传染源。感染锥虫之后，患者最初会出现发烧、淋巴结肿大、肝脾肿大、颜面浮肿、肌肉酸痛的症状，这些症状和艾滋病病毒感染初期的症状很相似。锥虫开始默默在人的体内进行繁殖。它们可以让心脏不断扩张，导致心脏功能逐渐下降，出现心衰，甚至还可以导致心脏爆炸破裂，造成患者猝死。 苍蝇：比人类灵敏得多的嗅觉和味觉，可以说是暗黑料理界的美食家。会把自己头拧下来。 苍蝇飞行速度：接近每小时100公里。 蛆：会体外消化。 麻蝇和丽蝇：属于无肉不欢的类型，非常喜欢动物尸体，只吃死掉的组织，不会去碰活肉，因此被用在蝇蛆疗法里，可以有效地清理伤口。另一些蝇连活肉也一起下口，甚至喜欢吃活组织，乃至演化成寄生性的，就比较可怕了。 汗液：其实不光家蝇，很多其他动物都对人的汗液情有独钟。这是因为对于盐分摄入量不足的野生动物来说，汗液和人的其他体液里的盐分是珍贵的矿物质来源。蝴蝶、蜜蜂这些看似甜党小清新的动物，都对咸口的汗液、尿液和血液无法拒绝。 管水母：澳大利亚科学家深海发现世界上最长动物外媒称，“falkor”号海洋研究船上的海洋生物学家在澳大利亚西北部宁格鲁海域中遇到了一个45米长的怪异生物，这个生物是“管水母”。据了解，管水母并不是单一生物。它是由很小的、互相连接的有机体游动孢子组成的群体生物，在海洋中呈圆圈或螺旋状游动。研究人员说，此前，在动物类别中堪称全球最长动物的管水母已知样本长度为40米。而此次发现的管水母是迄今为止新发现的最长的动物。 海蜘蛛：活了5亿年，因为无用，所以没有利用价值。身上除了嘴和腿，没有太多肉，没有动物愿意吃他。 果蝇：体内相邻细胞，谁出现问题，对方就会将它吃掉，以保证系统可以稳定运行。 粪类圆线虫：一位64岁的西班牙男子，患有转移性肺癌，肿瘤已扩散到脊柱，并开始压迫他的脊髓，于是他不得不住院治疗。医生用高剂量的糖皮质激素为患者进行了四天治疗之后，发现他全身上下都出现了红疹。并且，红疹的形状是一些波浪线。当医生把一处红疹的轮廓勾勒出来，等到24小时后，那处红疹却不见了，波浪线已经移动到新的位置。有的是杆状，有的是丝状。而那些遍布全身的会挪移的红疹，就是丝状幼虫在皮下蠕动的结果。这是一种兼性寄生虫。也就是说，它们并不是必须在宿主体内寄生一段时期，才能走完生命历程。这种蠕虫的生命周期分为两类，一类是自生，一类是寄生。两种形式会交替出现，母亲可能寄生，孩子可能自生，孙辈可能再去寄生。丝状幼虫接触到人类时，能穿透皮肤进入体内，进入肺部的寄生虫有时会被人咳出来，然后被吞下去，再进入肠道。还有的人从第一次被粪类圆线虫选中开始，直到65年之后仍然受到这种蠕虫感染的困扰。如果不接受有效的治疗，影响可能持续终身。全球大约有3000万~1亿人被粪类圆线虫感染。它们偏爱温暖潮湿的环境。如果人们接触了被这种寄生虫污染的水源、土壤或粪便，身体就有机会遭到入侵。那位西班牙患者，就曾经在污水处理厂工作过。对一些免疫功能低下的人类来说，这种寄生虫更容易在他们体内引发严重感染。比如，那位西班牙男子是癌症患者，医生在癌症治疗过程中为他施用的高剂量的糖皮质激素，会抑制机体的免疫应答。造成高死亡率的一个主要原因是诊治来得太迟。从这个层面上说，64岁的西班牙男子还算是幸运。医生发现他的症状之后，用抗寄生虫药伊维菌素对他进行了治疗。口服这种药物之后，患者的红疹和腹泻症状都明显减轻了。 线虫：说寄生青蛙身体的线虫那个，我不幸见过。以前还有卖野生青蛙水蛇的陋习。家里一次杀青蛙的时候，爸以为他看花眼，叫我去帮看看。我就看到无数像白线一样，约大半指长的虫子从青蛙身体逸出来，渐渐充满整个不锈钢水槽，那个数量，跟下了锅米线似的……感觉那些青蛙的身体大概只剩表皮和骨头了吧。幸运的是，我爸妈把这可怕的事完全彻底忘了。聊起来好像只是我一场梦似的。但我知道那是真的发生过。所以，绝对不要吃野味了！自然界的生物链，啥动物没点寄生呢。 蚂蟥：河里有蚂蟥，直接往肉里钻，咬烂还会释放神经毒素，没有感觉。有一回小时候被蚂蟥钻了，被人看见都钻了一大半了，最后用巴掌扇出来的。 第五百七十二章 海岸线悖论(分形) 路易斯·弗莱·理查森在1951年发现了海岸线悖论。 他在试图计算两个国家因共享边界而发动战争的可能性时发现了这种现象。在研究各种出版作品时，他注意到国际边界长度的差异，特别是西班牙和葡萄牙之间以及荷兰和比利时之间的差异。 理查森发现了影响海岸线大小的悖论，这取决于使用的尺度。 他发现，当使用更小的尺度时，海岸线的大小会趋向于无限大。 benoit mandelbrot后来扩展了richardson的观点来解释海岸线悖论。在建立计算自然界物体粗糙度的公式的过程中，曼德布洛特发现了分形。分形是一个抽象的对象，它具有自相似的模式，随着你的放大，它变得更加复杂。因此，确定分形的长度成为一项不可能的任务，只能进行估计。海岸线带来了这样的挑战，因为你放大的越多，不一致会成倍增加，无法确定它们的实际长度。分形很常见，包括山脉，植物和海岸线。他们在大自然中的存在，特别是在海岸线的情况下，加强了地球的不可约性以及不是一切都可以确定的事实。 由于侵蚀、海平面上升和潮汐的影响，世界的海岸线在不断变化。这些，加上测量海岸线的数学复杂性，使得确定海岸线的实际长度变得更加困难。其他特征如峡湾和海岸线的粗糙度增加了测量海岸线的难度。 海岸线悖论给制图者和研究人员带来了很大的挫败感，他们不能准确地确定海岸线的大小。正因为如此，建立了对这些海岸线大小的估计的标准。这些标准包括1990年从华盛顿自然资源部(washington department of natural resources)获得的海岸线，该部门用低空飞行的飞机测量海岸线。所做的估计是一个可管理的数字，而不是使用抽象的定义，如无穷大。然而，这些标准化也存在误差范围，与实际海岸线相比，有时会产生相当大的测量差异。 芒德布罗对理查森说：“这个问题不能解决吗？测量海岸线的问题。” 理查森点点头，肯定道。 芒德布罗说：“一根直线，你把它的尺度放大，测量它的尺寸是不会变化的。” 理查森说：“肯定呀，我们知道这必须是个直线。” 芒德布罗说：“圆形，你放大了，它还是圆形。” 理查森说：“废话，直线和圆这两个形状是规定好了的，我们必须知道他们就是那个形状。而海岸线是一堆石头，而且石头都是不是平滑的，所以才会越小，尺寸会变得越大。” 芒德布罗对理查森说：“是呀！我只是想要知道，是不是无线增大的话，就会趋近于无限大？” 理查森说：“好像是的！我每想过这个问题。” 芒德布罗说：“对海岸线石头的认识，我们没有太深刻，你假定的是它们不断的放大，就会出现不规则的拐折，但没有问过石头的拐着到底是不是不规则的。” 理查森说：“你这话说得，意思是要是规则了？长度还会有一个收敛值？” 芒德布罗点点头，认为就是这个意思。如果是个自相似的一种分型，也许会像可以收敛的级数一样收敛起来，那么长度可以确定了。 理查森说：“难说难说，且不谈就算一种特定形状收敛后，那测出的长度是匪夷所思的长，避免不了一个石头的边缘的长度是一个太阳系的直径。那也得是极其特定的形状，否则就算是自分形，也十有八九会发散。而且非自分形的随机形，肯定是发散了。” 芒德布罗说：“你也不能担保非自分形的，肯定是发散的，也许我们可以使用某种概率论统一某些随机分形。而且非自分形的也不见得就是随机形，也许还要非随机的其他的非自分形呢。” 理查森无奈的说：“好吧，我们不要再争论了，这样的问题一直会没完没了的。” 第五百七十三章 mandelbrot分形世界(分形) 欧式几何一直是人类认识自然物体形状的有力工具，还是各种学科理论的基础。 1883年，康托尔引入了如今广为人知的康托尔集，也称为三分集。虽然康托尔集很容易构造，还是个测度为0的集，也就是它的函数图像面积为0，但它具备很多最典型的分形特征，因此康托尔始终无法解决。 目前分形几何的特征有：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则；（至少是大略或任意地）自相似，豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有着简单的递归定义。 1895年，在大部分数学家认为除了少数特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率的情况下，魏尔斯特拉斯提出了第一个分形函数“魏尔斯特拉斯函数”，并凭借函数曲线特点“处处连续，处处不可微”证明了所谓的“病态”函数的存在性。 1906年，科赫在论文《关于一条连续而无切线，可由初等几何构作的曲线》中提到了一种像雪花的几何曲线，而这个雪花曲线就是de rham曲线的特例科赫曲线。 1914年，波兰数学家谢尔宾斯基利用等边三角形进行分形构造，提出了谢尔宾斯基三角形；两年后，利用正方形进行分形构造提出了谢尔宾斯基地毯。 之后的59年间，陆续有人研究出相关的分形情况，但始终都没有人能够消灭这些数学怪物，直到“分形学之父”benoit mandelbrot（本华·曼德博，又译为芒德布罗）误打误撞发现了一只臭虫，诞生了真正属于自然界的几何学——分形几何，才彻底解决。 1961年，在ibm担任研究员的mandelbrot收到了解决阻止信号传输的白噪声的任务。虽然任务相当简单，但是mandelbrot被要求提供新的解决方案，因此他只好借助自身擅长可视化思考问题的优势来探索解决方法。 于是在从形状上观察白噪声的时候，mandelbrot发现白噪声转换而成的扰动图形揭示了一种奇怪的特征：无论图形的比例是多大，无论数据代表的时长是多少，扰动模式基本一致。 这很奇怪，谁能告诉我为什么 这个奇怪的特征让mandelbrot甚是苦恼，不过他有个好叔叔。因为他的叔叔佐列姆·芒德勃罗伊（szolem mandelbrojt）曾经建议他研究研究皮埃尔·法图（pierre fatou）和加斯顿·朱利亚（gaston julia）建立的迭代理论和公式z = z2 + c。 公式采用变量z和参数c，映射了复平面上的数值。其中x轴测量复数的实数部分，而 y 轴测量复数的虚数部分。 而正是因为这个建议，在借助ibm家的高性能计算机的情况下，mandelbrot通过迭代对数字进行了成千上万次的运算和处理，最终成功绘制输出值的图形—一个形似臭虫的图形。 迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果。每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值。 没错，这就是那只臭虫 图形的成功绘制并没有让mandelbrot过于兴奋，因为他在细心观察后发现这只臭虫的小触角跟大触角的形状是一样的，但是结构并不完全一样，每一个小触角比前一个触角更为复杂。也就是说全部触角的形状都很相似，但是细节存在不同之处。 mandelbrot对此甚感兴趣，进行深入研究后得出细节的特异性仅限于计算等式所用的机器的能力，而形状的相似可以永远持续下去—无限地揭示越来越多的细节。随后，mandelbrot就觉察出自己无意中有了能够震惊数学界的发现—一种新的几何学。 对于这类重复的或者自身相似的数学图形，mandelbrot在1975年提出了“分形”，紧接着在1967年，他发表了题为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，萌生出分形思想。 直到1982年出版的《大自然的分形几何》（第二版）才让分形几何彻底走进公众的视野，而通过描述树，mandelbrot指出了分形几何适用于自然物质。 进入了主流数学研究范畴，帮助数学家们彻底解决了困扰着大家n年的数学怪物，还对非负实数维数进行研究，形成分形理论，并应用于多个领域。 分形几何无处不在，离我们最近的要数身体中的生理过程了。 在过去很长时间里，科学家们一直认为人类的心脏是以规则的线性形式跳动，然而真正健康的心脏的心率是以特殊的不规则形式跳动的。同样，体内的血液也是以不规则方式在人体内分布。 借助分形几何，医生无需借助更清晰的医学图像或者更强大的机器就可看到人体器官癌变前的结构，并能通过分形学生成的数学模型更早的检测出癌变细胞，而非显微镜。 生物和医疗只是分形几何的其中两个最新应用领域，而更加为人所知的应该就是分形艺术了。 最开始将艺术和数学联系在一起还是mandelbrot，他向世界展示了这两个领域并非互相排斥的，之后分形艺术便一发不可收拾。 分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，它主要利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合创作者的审美及美术功底，就将创作出一幅幅精美的艺术画作。 芒德布罗在想：“分形的本质就是一个无穷的反馈过程，大自然界的分形，就是大自然自我反馈的过程，这种自我反馈就是今天的信息来源于昨天的基础，昨天不是消失了，而变化成了新的模样。” “书和花的形状与分形如此的类似，那是因为植物的生成就是一个自我不断反馈的过程，而反馈的发生正是因为细胞的分裂，细胞分裂就是一个反反复复的过程。” “世间没有不自我反馈的形状，抽象的圆形、正方形和三角形不存在。万事万物都是无限的自我反馈而生成，所以都有自己的分形。” “随机似乎不那么容易天然自然而成，更像是无限自我反馈的过程中，不小心出现了杂志一般的自我混乱的过程。所以随机不是自我的反馈，而是一个杂质的干扰而已，在无穷强大的分形和自我反馈中，随机数有时候表现的像个虫子。” “自然之母，来之无穷的相同反馈。” 第五百七十四章 米勒的实验(生物学) 空气、水、沙子在闪电下生成蛋白质。 得到这个实验之后，米勒很震撼，觉得生命竟然是以如此简单的方式而生成的。 生命是cho这样的元素生成。c在沙子里主要是碳酸钙里的c，h是水里的氢，氧气就是空气里的氧气，氮也是空气里的氮气。 一个闪电，出现的蛋白质，那么蛋白质的复杂结构是如何诞生的？ 难道是因为瓶子里的东西不纯？ 米勒提纯来做实验，发现了依旧是同样的结果。 米勒犯了难，不知为何，奥巴林笑对米勒说：“其实也不算太难。” 米勒说：“我知道闪电可以让很多化学反应变得可能，甚至容易，但是蛋白质，从何说起。” 奥巴林说：“一个闪电下来，碳氢氧氮一出来，然后合在一起，不是有很大的概率能合成那几十种氨基酸吗？而氨基酸水解合成，不就是蛋白质了，这概率不低。” 米勒说：“照你如此说，倒真是有可能会形成的。” 第五百七十五章 卡尔曼滤波器(滤波) 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。 对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。 他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。 近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 卡尔曼滤波器的介绍： 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。 根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。 假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。 我们把这些偏差看成是高斯白噪声（white gaussian noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分布（gaussian distribution）。 另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。 我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。 下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差(covariance)来判断。因为kg=5^2\/(5^2+4^2)，所以kg=0.61，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.61*(25-23)=24.22度。可以看出，因为温度计的协方差(covariance)比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。 对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.22度）的偏差。 算法如下：((1-kg)*5^2)^0.5=3.12。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的3.12就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差(covariance)递归，从而估算出最优的温度值。 他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的协方差(covariance)。 上面的kg，就是卡尔曼增益（kalman gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！ 在航天领域，卡尔曼滤波是一种殿堂级的理论，应用的到处都是! 好吧，假设你在去一个风景区旅游的时候，种下了一棵果树，但显然从果树幼苗到果实不是一天两天能完成的啊，需要慢慢长高。而你又不可能经常去看，但又想知道果树的高度，那怎么办？ 所以要解决的问题是：如何正确估计一棵果树的高度？ 我们把想要知道的果树高度叫做待估的状态变量。我们想一年知道一次，这就叫做步长。 你需要知道种下果树的时候大概高度啊，于是你想了想，大概1米吧，但我也不确定，有可能90公分也有可能110公分。于是这个1米，叫做你的初始状态估计，这个10公分的不确定性，叫做状态估计的误差协方差矩阵，后续它会随着你的下一步估计而变化。 怎么办呢？ 你在网上查了查，这种果树差不多每年都比前一年生长10%的高度（纯假设而已哈），这个生长的规律\/模型就叫做状态转移矩阵。于是根据模型，假如2017年有1米，2018年就大概有1.1米。 但显然这个模型不适用于任意一棵果树和你种植当地的实际日照风土情况，而且你明明知道果树不可能无限增长。所以咱们的模型不可能是100%准确的，我们用一个叫做过程噪声的东西来衡量它。可以理解为模型递推下去的不准确度。比如假设这个估计模型误差在0.3米，这叫做白噪声。过程噪声越小就意味着你相信生长模型很准确，越大就表示模型越垃圾。 但尽管如此还是不靠谱啊，闭门猜果树高度肯定不可能一直准，这个时候我们需要找一下本地的朋友们定期去看一眼。由于是拜托他们帮忙，也不想真要求他们爬上去拿尺子量，大概给个数就行，这个朋友帮忙看到的高度就是我们的测量值。 假设有朋友a和b，朋友a很认真，每次都拿尺子大概比一比，告诉你都用大概多少分米来说，比如大概1米8到1米9吧；而朋友b不认真，只瞄一眼说大概1.5－2米吧。但是a有一个坏处，比较懒，两年才给你发个短信；b比较勤快，每年就有。这个2年或者1年就叫做测量更新频率。我们需要他们尽可能提供数据，所以两个都要采纳。而且这两个测量一个来自尺子一个来自视力，不同的测量类型我们都能同时使用，太好了！ 你明显觉得a比b要靠谱一些，于是认为a的精度在分米级，b的精度在半米级，这个分米和半米叫做他俩的测量噪声。基于这个测量噪声你可以建立一个测量噪声矩阵，衡量在参考时对a和b观测值的权重。 那么你现在明白了，既需要果树生长模型，这样即便a和b不给我数据，我也大概能估计出明年这个树的高度。但也不能只依靠模型，比如果树进入成熟期慢慢就不长了，我们也需要a和b的观测值去校正估计，那么就需要把他们融合在一起。 于是，从模型这里，有一个衡量初始估计是否准确的矩阵叫做状态估计协方差矩阵，有一个衡量生长模型准确度的过程噪声矩阵；从观测那里有一个衡量观测是否准确的矩阵叫做观测噪声协方差矩阵。 我们把它和模型融合在一起，就变成了一个叫做增益矩阵的东西。糊涂了？别着急，其实增益矩阵就是一件事情：我到底是应该相信我推的模型多，还是应该相信来自a和b的测量多呢？ 于是通过增益矩阵和这一系列矩阵，你建立了一套系统：当模型比较准确时，我相信模型多一点，当它不准时我相信实际测量多一些。而且还有一个优势，测量帮助我校正模型准确度；当a和b突然不给我测量时，我也能通过已经建立好的这套体系估计在下一个步长（明年）果树的高度。 卡尔曼滤波就这样建立起来了。 最理想的情况是怎样? 最准确的果树初始高度估计，=较小的状态估计误差 最准确的果树生长状态模型，=较小的过程噪声 最准确的果树测量值，=较小的测量噪声，而且测量类型越多越好（尺子和视力） 卡尔曼博士在1960年去了nasa访问，把这套理论首次提出，震惊了nasa，于是很快采用。美国的标志性阿波罗登月任务，就是使用这套崭新的估计理论，登上月球的！ 第五百七十六章 同伦群周期性 1)最优停止理论（概率与统计） 面试官对梅里尔·弗拉德说：“假设一堆人申请一个秘书岗位，而你是面试官，你的目标是从这堆申请人中遴选出最佳人选。你不知道如何给每一名申请人评分，但是可以轻松地判断哪一名申请人更加优秀。你按照随机顺序，每次面试一名申请人。你随时可以决定将这份工作交给其中一人，而对方只能接受，于是面试工作就此结束。但是，一旦你否决其中一名申请人，就不能改变主意再回头选择他。” 弗拉德说：“先观察前1\/e的面试者，每面试完一个人，都能知道其能力水平，然后选择后面遇到的第一个比前面所有面试者都优秀的人，否则就不选择。也就是37%法则。” 面试官说：“为什么是37%呢？” 因为这已经变成了一个概率问题了，假设总共有n个人，在面试的前r个人中，我们记住一个最优秀的人为k，那么从第r+1个人开始，只要大于k的，就选择，那么我们要求的是能够最大化成功选中最优秀面试者的概率可以近似为： 37% 面试官说：“那我们就需要去估计我们要去面试几个人了，因为这个数觉得了，我们用37%法则。” 第五百七十七章 费曼路径积分(量子力学) 费曼路径积分表明量子力学是基于传统的拉格朗日法却能用点和线来衡量不同的路径。经典力学中的最短路径原理来源于数学近似也就是人们所知道的稳定相近似法。费曼路径积分有很多的含义，其中最大的意义是你可以用洛伦兹不变式的其中一种来构想量子力学理论而不是用洛伦兹不变性几乎不出现的正则交换方法。 费曼当时想，一个电子产生一个场而这个场又作用于产生该场的电子，这个想法太荒谬。他认为，一个电子只能作用于其它的电子，这样既消除了电子自能也没有了场的无穷多自由度。 来到普林斯顿不久，费曼就认识到，如果电子不作用于自身，辐射阻尼就得不到解释。 按照经典电动力学，一个加速运动的电子要辐射能量，因此必须有一个额外的力来补偿这一能量损失。 这个额外的力源自何处？本世纪初，洛沦兹认为，它来自电子各部分之间通过推迟势的相互作用，并就一维情况推导出它的显式。 倘若一个电子的质量完全来自电磁质量，那么电子各部分之间的静电斥力就会使电子灰飞烟灭。因此，设想电子的结构很容易使人陷入一团迷雾之中。 即要解释辐射阻尼，又不愿放弃原来的想法，费曼一筹莫展。 怎样用另一个电子的反作用来说明辐射阻尼呢？为此费曼求教于惠勒。 惠勒当即指出，费曼的想法有三个错误： （1）反作用力依赖于第二个电子的质量和两者之间的距离r，而辐射阻尼与此无关； （2）反作用有一时间推迟，而辐射阻尼没有； （3）如果该电子周围均匀地分布着大量电子，那么反作用与体积元r2dr成正比，因而正比于周围物质的厚度，从而也会趋向无穷。经惠勒的指点，费曼才恍然大悟，他的反作用就是普遍的光反射，与辐射阻尼不沾边。 但惠勒却接过了无自相互作用这一想法，并引进狄拉克的超前波假设来拯救费曼思想。 狄拉克一度设想，一个电子既可以通过超前势也可以通过推迟势作用于自身，因为麦克斯韦方程同样容许超前解。 如果假设电子的自相互作用是半推迟势减除半超前势，那么洛仑兹公式中的第一项现在消失了，我们由此便得到一个有限的辐射阻尼。 惠勒首先把狄拉克的半超前自相互作用改成不同电子之间的半超前相互作用，从而解决了费曼反作用的时间推迟问题。 接着，惠勒权且假设，超前波通过媒质时没有折射，而推迟波却有一折射系数n。 用这个相当任意的假设，他证明了费曼的反作用与电荷和媒质厚度无关。 在惠勒这个想法的基础之上，费曼定量地证明了半超前和半推迟解正确地给出辐射阻尼项。 他还证明，如果在源附近放一个试验电荷，来自于源和媒质的两个半超前波同时到达并相互抵消，而两个半推迟波合成一个推迟波。超前波没有可观测到的效应，仅对辐射阻尼有所贡献。 这是一个很奇妙的理论，它不仅成功地避开了经典场论中的无穷大电磁质量，同时还保留了线性麦克斯韦方程和点电荷这两个优美的特点，既不用像玻恩和英费尔德那样采用复杂的非线性方程，也不会陷入猜想电子结构的泥淖之中。 同一理论的不同表述从此给费曼留下了深刻的印象，井对他日后的研究工作产生了重大的影响。 “每一位优秀的理论物理学家都知道同一理论的六七种不同的表述”。 1964年他在康乃尔大学的铕讲中说：“从科学上来讲，它们是等价的，但从心理学上来讲，却有两点区别。 首先，你可能出于哲学的考虑偏爱其中的某一种；其二，当你猜想新定律时它们的启发价值大不一样。” 经典自能的研究，使得费曼更偏爱于从作用量出发的粒子解释，而不是用微分方程描述的场论形式。 在他看来，“场不过是坚持用哈密顿方法的簿记变量而已。” 应用这个新的作用量，费曼还能很容易地对麦克斯韦方程作出某些修正。 第五百七十八章 费曼图(量子力学) 量子力学有够困难，不易描述。 薛定谔用波动力方程来描述，海森堡用矩阵力学来描述。各有利弊。 而费曼找到了第三种方法，就是用费曼图。 这是一种用形象化的方法，方便地处理量子场中各种粒子相互作用的图。 在费曼之前，因为技术上太过困难，几乎没有人能够做出相对论量子力学计算。费曼给出了一个近似计算方法让普通的物理学者（读者：一位不叫朱利安·施温格的人)能够做计算。尽管这个方法整体上有缺陷即这个构想在接下来的量子物理学理论方面可能有些过于复杂但我们现在仍在用它来做此类计算。 在费曼图中，粒子由线表示，费米子一般用实线，光子用波浪线，玻色子用虚线，胶子用圈线。一线与另一线的连接点称为顶点。费曼图的横轴一般为时间轴，向右为正，左边代表初态，右边代表末态。与向右的箭头代表费米子的轻子数或重子数为正，与向左的箭头表示费米子的轻子数或重子数为负。 费曼图中有很多玄之又玄的东西，比如从左到右的电子跟从又到左的正电子是一个意思，很多人不愿意理解这样的东西，而费曼认为这个可以完善狄拉克海结构。 同时如果反转正负电子湮灭图像，就会变成一个康普顿散射图，这样的变化就费曼物理不变性，就把两个不同的物理学就给说成是一种物理的两种不同表现的形式。 很多人不理解这个拓扑，但是也找不到反对的证据。 除了它们在作为数学技巧的价值外，费曼图为粒子的相互作用提供了深入的科学理解。粒子会在每一个可能的方式下相互作用：实际上，居间的虚粒子超越光速是允许的。（这是基于测不准原理，并且不违反相对论，因为狭义相对论只要求可观测量满足因果律；事实上，超越光速对保留相对性时空的偶然性有帮助。）每一个终态的概率然后就从所有如此的概率中得出。这跟量子力学的功能积分表述有密切关系，该表述（路径积分）也是由费曼发明的。 如此计算如果在缺少经验的情况下使用，通常会得出图的振幅为无穷大，这个答案在物理理论中是要不得的。问题在于粒子自身的相互作用被错误地忽视了。重整化的技巧（是由费曼、施温格和朝永所开发的）弥补了这个效应并消除了麻烦的无穷大项。经过这样的重整化后，用费曼图做的计算通常能与实验结果准确地吻合。 费曼图及路径积分法亦被应用于统计力学中。 有关费图及路径积分的数学内容尚未完善，它还处于依赖物理直观的阶段。 第五百七十九章 费曼部分子模型(量子力学) 质子是一种复杂的实体物质，大部分人都知道它有三种夸克组成。 然而，过分的简化会戏剧性的出现质量错误。费曼创造了一种可以让我们预测质子亚核相互作用的质子模型，亚核是质子中一大部分近独立粒子的集合。实际上质子组成的分布远比三个夸克这种模型更加复杂。这种思考质子的方法可以帮助我们理解强相互作用里的盖尔曼矩阵和量子色动力学图。虽然这种模型只有在高级研究生的量子场理论课程中才会讲授，但它对我们理解大自然非常重要。 费曼量子场理论研究虽然很重要但也有不足。就如费曼所承认的，它基于没有意义的粒子模型而且会引导人们忽视朱利安·施温格猜想中场中更多的组成。下面是我在书中对它的描述。 场vs粒子（回合3）”在物理学历史上的第三次转折中，在粒子和场之间曾经有一个重大的争论，然后在这次里以粒子获胜场失败告终。1905年，爱因斯坦的光的粒子性（之后放弃）取代了普朗克的场量子图（第3章）。1933年，在薛定谔的场图基础上，狄拉克粒子理论成功了。然后在1948年，在薛定谔场的基础上，费曼基于粒子关于重正化的研究成功了，很大一部分是因为证明了它的图表用起来比薛定谔方程更容易。尽管费曼最终改变了他的想法（见于下面的“费曼转换”），后两代物理学家仍使用费曼图表并且相信大自然由粒子组成。 “没有人可以在费曼理论中挑错然后找出一种容易使用的方法，没有人可以在粒子方面挑剔他的理论，比如狄拉克，或者曾经的爱因斯坦。然而，就像蛋壳游戏，一个优秀的不矛盾的理论可以解释如此多的事情，我是不会挑剔他在量子场论中的缺失。在美国物理协会之前我甚至听到他在一场讲座里嘲笑施温格的数学方法的参考书。比如进行质量运算，就如施温格说在他为费曼写的颂词里，费曼创造了一种没有任何理论基础并忽视了已有充分依据的理论公认荒谬的理论，他创造了一种与自然并不矛盾的画面。 “费曼转换！”根据弗兰克·威尔切克的看法，费曼最终失去了在唯粒子观点中的信心： “费曼告诉我他意识到自己关于光子和电子的理论在数学上与平时的理论是相同的，这打碎了他最深的希望。在他算出量子电动力学的数学版本的同时他便放弃了，之后出于方便他用余生独自提出了场理论。他告诉我他在真空项目上失去了信心。” 很不幸，费曼转换并不广为人知。今天的大部分物理学者日常仍使用传播存在困惑和矛盾费曼图表并使它得以保存下来。” 第五百八十章 盖尔曼的夸克模型(量子力学) 1964年，盖尔曼使用鸡兔同笼的线性方法找到基本粒子，提出夸克模型，成为现在物理学的基础。 费曼表示怀疑：“你说中子是质子都是上下夸克组成，但电子能分成2\/3或者1\/3的量，让人难以认同。” 盖尔曼说：“但是可以把八重态解释的很好。” 费曼说：“密立根在自己的实验里发现了最小电子，就是那样的元电荷数，为什么没有再小一点的电子的量？” 盖尔曼说：“那有很多原因，也许是因为实验的精确度，或者是其他的某种条件。抑或……” 费曼说：“我知道，你想说的就是这个意思，在原子核中的质子和中子上才能突出这一点。” 盖尔曼说：“恐怕就是这样。” 费曼说：“那你就要看看为什么会是这样的了，一种特殊的技术将电子一分为三？” 盖尔曼说：“没有往再深的地方想，我只是在解释这样的八重态现象了。” 费曼说：“如果再出现个新粒子，不符合你的八重十重态，你就说这是一种新的夸克。” 盖尔曼说：“你别讽刺的太着急，万一这是实情呢，而且这样确实有这方面的倾向。” 费曼说：“如果再出现不符合你提出的夸克的作用方式，就说它是奇异的。” 盖尔曼说：“如果你没有想出更好的办法，那你只能用我这样的权宜之计了。” 第五百八十一章 外尔半金属(量子力学) 外尔认为，自己不能沉浸在相对容易的事情里，如果这样的话，就容易堕落。 看似努力，实际上这样只能做自己擅长的事情，而其他不擅长的事情来临的时候，自己则无法很好的应对。 聪明的人从来不把自己的时间和精力平均分配，他们只会把精力放在最能体现自己价值的事情上。 也不要去接收低信息密度的信息，要思考有价值的问题。不要做一堆杂七杂八的事情，浪费自己宝贵的时间。 做事情千万不要只去依赖经验，经验重要，但是也有很多失效的时候。 所以外尔开始研究物理了，相对数学来说，对于这个自己不太熟悉的领域。 外尔对朗道说：“这世界上除了导体，就只有绝缘体了吗？” 朗道说：“还有半导体。” 外尔说：“绝缘体还是可以继续分类的，平庸绝缘体和拓扑绝缘体。” 朗道说：“平庸的我知道，拓扑绝缘体是什么？” 外尔说：“拓扑绝缘体表现出与一般绝缘体完全不一样的量子现象与物性，例如：拓扑保护的表面态、反弱局域化、量子自旋、反常霍尔效应等等。” 朗道说：“从最基本的物理上如何解释？” 外尔说：“外尔半金属有拓扑非平庸的能带结构，在基础物性研究方面具有重要地位。其线性色散关系又使得外尔半金属成为一种相对论性的电子系统，被称为是“三维的石墨烯”，在器件应用方面有巨大的潜在价值。外尔半金属中的低能激发被称作外尔费米子。” 朗道说：“那就跟狄拉克费米子和马约拉纳费米子组成的一个家族了。” 第五百八十二章 外尔自旋和方程式(量子力学) 后来盖拉赫和施特恩两个人做了一个实验。 使银原子在电炉内蒸发射出，通过狭缝s1、s2形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域，磁场垂直于射束方向，最后到达照相底片上。显像后的底片上出现了两条黑斑，表示银原子经过不均匀磁场区域时分成了两束。 两个人惊奇，怎么电子在不均匀磁场不会分成一片，那是因为电子的速度都严格相等，那为什么会分成两段？是因为有两种不同电荷？ 后来的直到1925年g.乌伦贝克和s.古兹密特提出电子自旋的假设，实验结果才得到了全面的解释。 后来外尔提出外尔旋量。外尔张量的旋量形式是由旋量ψabcd所决定的，后者对所有指标都是对称的。 在坐标变换下不变的量被称为标量，在坐标变换下按照标记固定方向变化的量被称为矢量。由多个矢量可以耦合出含有更多分量，在坐标变换下级次更高的量，被统称为张量。 以上这些量虽然在坐标方向选择不一样时，其具体数值可能不同，但是他们表示的总是某种固定的物理量。 他们数值上的变化只是由于不得不选择坐标而带来的，只是对坐标选择的依赖而已，而不是物理量本身的变化。 标量，矢量和张量具有本身不变，分量的具体数值可能随坐标转动而变化这样的性质。 但是他们并没有包含所有具有这种性质的量。 具有这种性质的最基本的物理量是旋量。 旋量具有四个分量，在坐标转动下，由某些特定的矩阵决定自己各分量数值应有的变化。 我们的物理时空具有洛仑兹变换下不变的性质。 根据洛仑兹变换群的性质，旋量才是4维时空中能够构造出来的最基本的方向依赖的量。 物理量与坐标方向的依赖级次可以由对应的角动量来表示，旋量为1\/2，矢量1。两个旋量可以耦合出矢量，更多的旋量可以耦合出对应角动量3\/2的量，对应整数角动量的张量等。 外尔把群论引入到量子力学进行研究。 外尔也提出了规范场论。 第五百八十三章 外尔电荷对称性与相位不变性(量子力学) 物理由麦克斯韦方程组出发，统一四个力。 前三个好说，引力不行。 杨-米尔斯理论描述的由强力为主要，但引力不行。 爱因斯坦说，尝试对称性。以此推数学方程。 广义相对论发现统一场方程，可以借鉴这个。 从洛伦兹不变性导出了狭义相对论，从广义坐标不变性导出了广义相对论，现在我们试图统一引力和电磁力，那么，有一个问题就会很自然地被提上日程：究竟什么样的一种对称性会导出电磁理论呢？ 诺特定理告诉我们对称性跟守恒定律是一一对应的，我现在不是要找导出电磁理论的对称性么？那么我就去看看电磁理论里有什么守恒定律呗，最好还是电磁理论里特有的。 说到电磁理论里特有的守恒定律，那肯定就是电荷守恒啊。电荷肯定是只有电磁学才有的东西，而且电荷守恒定律又是这么明显，不管是不是它，它肯定是嫌疑最大的那个，必须抓起来严刑拷问，看看跟它私通的对称性到底是什么。 在外尔的严刑逼供下，电荷守恒招了：跟电荷守恒相对应的对称性是波函数的相位不变性，（在量子力学里粒子的状态是用波函数来描述的，既然波那肯定就有相位），但是由于历史原因，这个相位不变性我们一直称为规范不变性，也叫规范对称性。 这个相位不变性，或者说规范不变性，我们怎么理解呢？为什么麦克斯韦的电磁理论里会有规范不变性呢？如果从公式里看就非常的简单，就是我给它这里做了一个相位变换，它另一个地方就产生了一个相反的相位，总体上刚好给抵消了；如果从直觉上去感觉，你可以想想，在量子力学里，波函数的模的平方代表在这里发现该粒子的概率，你一个波函数的相位不论怎么变，它的模的平方是不会变的啊。如果你还想继续深挖，我推荐你去看一看格里菲斯的《粒子物理导论》（在公众号回复“粒子物理导论”可以获取这本书的电子版），他在第十章里专门用了一章来讨论规范理论，而且很通俗。 总的来说就是：规范不变性导致电荷守恒。 外尔接着发现了一件真正让人吃惊的事：我们上面说规范不变性导致电荷守恒，这里说的规范不变性指的是整体规范不变性，但是外尔发现如果我们要求这个规范不变性是局域的，那么我们就不得不包括电磁场。 1941年，泡利发表了一篇论文，他在论文里严格的证明了：u（1）群整体规范对称性对应电荷守恒，它的局域规范对称性产生电磁理论，甚至可以直接从它推导出麦克斯韦方程组。u（1）群是群论里的一种群的名字，叫酉群（unitary group），或者幺正群，数字1表示这是1阶酉群，我们现在只需要知道对称性在数学上就是用群论来描述，而且通常不同的理论对应不同的群（这里电磁理论就对应u（1）群）就行了。 决定电磁理论的对称性，它就是u（1）群的局域规范对称性。u（1）群和规范对称我前面都解释了。 第五百八十四章 对称性的整体和局部理论(量子力学) 米尔斯说：“为什么要研究对称的整体和局部性，要从中找到什么区别吗？”、 杨振宁举了个例子：“整体对称，顾名思义，如果一个物体所有的部分都按照一个步调变换，那么这种变换就是整体的。打个比方，舞台上所有的演员都同步地向前、向后走，或者全都做同样的动作，观众看着演员都整整齐齐的，觉得所有人都像是一个人的复制品一样，这样的变换就是整体的。如果经过这样一种整体的变换之后，它还能保持某种不变性，我们就说它具有整体对称性。” 米尔斯说：“那局部性呢？” 杨振宁说：“有了整体对称的概念，局域对称就好理解了，类比一下，如果一个物体不同的部分按照不同的步调变换，那么这种变换就是局域的。还是以舞台为例，导演为了使表演更具有个性，他想让演员表现出波浪的样子，或者是千手观音那样，再或者是形成各种不断变化的图案，这种时候每个人的动作变换就不一样了吧，也不会说所有人都像一个人的复制品一样了，这时候这种变换就是局域的。因为它不再是所有的人按照一个规则变换，而是局部的每个人都有他局域特有的变换规则。同样的，如果经过这样一种局域的变换之后，它还能保持某种不变性，我们就说它具有局域对称性。” 米尔斯说：“那真正的区别是什么呢？” 杨振宁说：“整体变换要简单一些，所有的地方都按照同样的规则变换，而局域变换就复杂多了，不同的地方按照不同的规则变换。所以，很明显，如果你要求一套理论具有某种局域对称，这比要求它具有整体对称复杂得多，局域变换对物理定律形式的要求就更加严格一些。但是，你一旦让它满足局域对称了，它能给你的回报也会多得多。” 米尔斯说：“那为什么拐了那么多的弯要研究这个呢？” 杨振宁说：“还是电磁理论的例子：整体规范对称性下我们只能得到电荷守恒，但是一旦要求它具有局域规范对称性，整个电磁理论，甚至麦克斯韦方程组都直接得到了。电荷守恒和麦克斯韦方程组，这就是整体对称和局域对称给的不同回报，孰轻孰重差别很明显吧？电荷守恒是可以直接从麦克斯韦方程组里推导出来的。” 米尔斯想了想，觉得深奥却易懂，点头说：“用标准的说法说吧。” 杨振宁说：“以上是偏科普的解释，从数学的角度来说，整体变换就是你所有的变换跟时空坐标无关，局域变换就是你的变换是一个跟时空坐标相关的函数。跟时空坐标相关的函数，其实就是说不同的时空点，这个函数值是不一样的，也就是说变换不一样。” 米尔斯在想，不管从哪种解释（从数学更容易），我们其实都可以看出：整体变换其实只是局域变换的一种特例。局域变换里变的是一个跟时空坐标相关的函数，但是这个函数的值也可以是一个定值啊，这时候局域变换就退化成整体变换了。 杨振宁继续说：“在电磁理论里，整体规范对称性对应着电荷守恒，但是我一旦要求这个整体规范对称性在局域下也成立，我立马就得到了整个电磁理论。 那么我可不可以把这种思想推广到其他领域呢？比如强力、弱力，有没有可能同样要求某种整体对称性在局域成立，然后可以直接产生强力、弱力的相关理论呢？” 第五百八十五章 非阿贝尔规范场论－杨－米尔斯理论(量子力学) 外尔手一挥，呈现在杨振宁而外尔眼前的是u（1）对称群的变换。 此变换为数学抽象内容，仅有对数学内容功力深厚之人方能看到，外人看到的一团变换的乱麻一般。 “美不美！”外尔对杨振宁笑道。 杨振宁当然知道其中的奥秘了，在西南联大时，学士论文的题目选的就是《群论和多原子分子的振动》，他的老师吴大猷就借此引导他从群论开始关注物理学的对称性问题。所以，年纪轻轻的他，就对对称的问题有很大兴趣。 杨振宁对外尔说道：“你的意思是？这是符合电磁变化的吗？”说罢，他从中看到了麦克斯韦方程组中描绘的图像，如此的具体而清晰。 外尔对杨振宁说道：“u（1）群整体规范对称性对应电荷守恒，但是，一旦我把这个整体对称性推广到局域，我就可以直接得到整个电磁理论。” 杨振宁在想：“如果我在强力、弱力里通过把某种规范对称性从整体推广到局域，是不是也可以得到关于强力、弱力的理论呢？” 外尔笑道，看来你有更大的野心，我想看看你的想法。 杨振宁带上诺特定理心法，鼓足内力，发出一个劲力，眼前呈现了同位旋的变化图像su（2），是特殊幺正群，里面的数字2提醒我们这是两个物体（如质子和中子）相互变换来确定的。毕竟弱作用暂时没有特殊守恒规律。 外尔说：“没错，你没有敢放出弱作用力，你知道弱作用力没有守恒性。但你放出的同位旋也仅仅在强相互作用下守恒，这还不见得在其他作用下守恒呢。” 把一个东西从u（1）群推广到su（2）群难度太大，外尔止步了。 u（1）群的问题之所以比较简单，是因为跟u（1）群对应的电磁理论它本身就具有局域规范对称性。也就是说，当我们的麦克斯韦同学写下麦克斯韦方程组的时候，他就已经把u（1）群的局域规范对称性写到这方程里去了，虽然他自己没有意识到。熟悉电磁理论的人都知道其实我们有两套表述电磁场的体系，一套就是我们初中就开始学习的场强体系，还有一套势体系，也就是电磁势这些东西，从这个角度很容易就能看出它的规范不变性。 外尔对杨振宁说：“su（2）这里一切都是空白，没有电磁势这样的东西。简单说，物理学中可能都不见得有这样的东西，这是纯数学。” 杨振宁说：“那就试着推广一下，也许能套用。” 外尔摇摇头说：“我把u（1）群的整体规范对称性推广到了局域，因为u（1）群，1x1矩阵，是阿贝尔群，所以这个过程很简单；杨振宁试图把su（2）群的整体规范对称也推广到局域，但su（2）群，2x2矩阵，是非阿贝尔群，这个就麻烦了。你的第二个问题就是非阿贝尔。” 杨振宁脑子盘旋着，强作用力的同位旋不见得在其他作用可以用……弱作用力没有对称性……su（2）是个非阿贝尔的东西。 会不会这三个问题一起解决掉！ 米尔斯对杨振宁一个助力，突然二人再一个猛劲，眼前呈现出su（2）群的图景，把局域规范对称的思想从阿贝尔群推广到了更一般的非阿贝尔群，阿贝尔群的电磁理论成了它的一个特例，从而使得这种精妙的规范对称可以在电磁理论之外的天地大展拳脚，也使得他一直坚持的“对称决定相互作用”有了落脚之地。 米尔斯对杨振宁说：“在这个框架里，我们怎么只看到光子这样的玻色子？难道其他的还没有发现？”米尔斯觉得自己找到了基本粒子的元素周期表。从强力和弱电理论里预言那么多还未被发现的粒子。 杨振宁细细一看：“不是同位旋决定强子作用的。” 米尔斯说：“海森堡提出同位旋只不过是中子和质子质量大致相等，但是有精细的差别。这恐怕也是其他物理学家望而却步的原因了。很多人都寄希望于这是电磁污染，但情况不是那个样子的。” 杨振宁说：“那我们就是没有很好的理解强子这个东西。” 1954年，两个人的神功没有练成。 1964年，盖尔曼和茨威格提出夸克的结构，最终描述强力的理论称之为量子色动力学（qcd）。 夸克有六种（上夸克、下夸克、奇夸克、粲夸克、底夸克、顶夸克），每一种夸克也称为一味，质子和中子之间的微小质量差异是就是因为上夸克和下夸克的质量不同。另外，每一味夸克都有三种色（红、绿、蓝），比如上夸克就有红上夸克、绿上夸克和蓝上夸克，这不同色的同种夸克之间质量是完全相等的，这是一种完全精确的对称，这种色对称最后决定了强相互作用。 1967年，后来有温伯格根据su（2）xu（1）练就了弱电统一理论，这却也是对称的，于是，他们索性不去单独建立描述弱力的理论了，转而直接去建立统一弱力和电磁力的弱电统一理论。而最后在弱电相互作用中真正起作用的是（弱）同位旋——超荷这个东西。 泡利心里觉得这里产生了灾难，就是关于质量的问题，泡利对杨振宁说：“玻色子是专递作用力的，局域规范对称场也需要有玻色子这个东西传递作用力，但规范场之间力的传递需要跑无限远的质量为零的玻色子。” 杨振宁思索着泡利的话，毕竟自己也是在1941年看到泡利文章后，自己才入坑对规范场论感兴趣的。杨振宁认为规范场就是完全诠释了“对称决定相互作用”的完美代表，那么还有什么比基于规范不变性这种深刻对称的杨-米尔斯理论更能描绘上帝的思想呢？ 泡利继续说：“那局域规范对称性要求规范玻色子是零质量的，但是强力、弱力的短程力事实似乎要求对应的规范玻色子必须是有质量的，怎么办？你知道吗？我不想研究这个问题了，” 杨振宁想要坚持到底！ 成功描述强力的量子色动力学的核心就是夸克模型+杨-米尔斯理论。在杨-米尔斯理论这同一个框架下描述电磁力、强力和弱力，这是物理学的伟大胜利。但杨-米尔斯理论不等于标准模型，没有夸克模型你拿着理论也不知道怎么用，它是一个数学框架。 传递相互作用的粒子都叫规范玻色子，每一个群都有跟他对应的规范玻色子，只要你把这个群确定了，这些规范玻色子的性质就完全确定了。比如在u（1）群里，规范玻色子就只有一个，那就是光子；在su（3）群里，理论计算它的规范玻色子不多不少就是8个，然后实验物理学家就根据这个去找，然后真的就找到了8种胶子。 杨振宁首先解决第一个问题，在描述强力的量子色动力学里，我们注意到传递夸克间作用力的胶子本来就是零质量的，零质量跟规范对称性是相容的。那但是，如果这样的话，零质量的玻色子应该对应长程力啊，为什么强力是短程力（只在原子核里有效）呢？ 后来发现了渐进自由。渐近自由是夸克之间的距离很远的时候，它们之间的作用力非常大，一副谁也不能把它们分开的架势，但是一旦真的让它们在一起了，距离很近了，它们之间的相互作用力就变得非常弱了，好像对面这个夸克跟它没任何关系似的，活脱脱的一对夸克小情侣。这样在量子色动力学里，零质量的规范玻色子就和强力的短程力没有冲突了。 下一个问题就是，渐近自由解释了为什么胶子是零质量但是强力确是短程力，那么传递弱力的w和z玻色子可是有质量的。有质量的话短程力是好解释了，但是我们上面说有质量的规范玻色子会破坏规范对称性，这规范对称性可是杨-米尔斯理论的根基啊，它被破坏了那还怎么玩？ 希格斯提出了希格斯机制。希格斯机制是来打圆场的：你杨-米尔斯理论要求规范玻色子是零质量的，但是最后我们测量到w和z玻色子是有质量的，怎么办呢？简单，我认为w和z这些传递弱力的规范玻色子一出生的时候是零质量的，但是它来到这个世界之后慢慢由于某种原因获得了质量，也就是说它们的质量不是天生的而是后天赋予的，这样就既不与杨-米尔斯理论相冲突，也不跟实际测量相冲突了。 所以，希格斯机制其实就是赋予粒子质量的机制。它认为我们的宇宙中到处都充满了希格斯场，粒子如果不跟希格斯场发生作用，它的质量就是零（比如光子、胶子），如果粒子跟希格斯场发生作用，那么它就有质量，发生的作用越强，得到的质量就越大（需要说明的是，并不是所有的质量都来自于粒子和希格斯场的相互作用，还有一部分来自粒子间的相互作用）。 2012年7月，科学家终于在大型强子对撞机（lhc）中找到了希格斯粒子，为这段故事画上了一个圆满的句号，也理所当然地预约了2013年的诺贝尔物理学奖。 之后在霍夫特完成了非阿贝尔规范场的重整化（重整化简单的说就是让理论能算出有意义的数值，而不是无穷大这种没意义的结果，这是点粒子模型经常会出现的问题。举个最简单的例子，我们都知道电荷越近，它们之间的电磁力越大，那么当电荷的距离趋近于零的时候，难道电磁力要变成无穷大么？这个当做思考题~）之后，粒子物理标准模型就完全可以使用了。 杨-米尔斯理论涉及的东西实在是太多了，对称性和守恒律、规范场、非阿贝尔群、标准模型，最后带来的果实有希格斯机制、渐近自由、夸克禁闭、自发对称破缺、规范场的重整化。 第五百八十六章 快速傅里叶变换(傅立叶分析) 傅里叶分析革命了数学哲学，但是却留下一个大麻烦，就是计算量太大。后人对此做的努力都是在想方设法的减小计算量，也能得到时域和频域的转换结果。 离散傅里叶变换（dft），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（dtft）频域的采样。 美国数学家库里和图基发明快速傅里叶变换，把时间复杂度降低一个量级。 dft是离散傅里叶变换，fft是快速离散傅里叶变换，让离散傅里叶变换所需要乘法次数减少，被变换的抽样点越多，fft算法越显着。 快速傅氏变换（fft），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 不是新发现，但在计算机中变得方便。 把此公示写出来，弄成离散的，再表示成矩阵的。 利用对称性，先减少一半的计算量。 然后把一分为二的思想进行下去，达到极致，机会极大的减少计算量。 所以点数越多，优势越明显。 第五百八十七章 摩尔定理(计算机) 仙童半导体公司戈登?e?摩尔认为，随着社会的发展，芯片的容量在集成电路上可以容纳的晶体管数目在大约每经过18个月便会增加一倍。换言之，处理器的性能每隔两年翻一倍。 因为摩尔知道，社会在发展，人类对集成电路的需求在增加，同时集成电路的设计也越来越精细，所以增加是必然的。 但是，紧接着会有人问，这种增加会有个头吧。 摩尔认为，当然不会。 但有人还会紧追不舍的问，如果是集成电路小到一定程度，那容量就不会再增加了吧？ 摩尔认为，社会只要还在发展，这种事情就不会有头，即使芯片最基本的单元太小，也会以一种其他形式继续储存，原子级别的单位不行的话，会用原子核的技术来储存。 摩尔定律的出现，是一个激励，明白电子行业必须要更新换代，不会轻易停止。如果不更新换代，就容易被淘汰，这是社会经济学的趋势。 但有人认为， 制造出的单个晶体管中，只有一小部分，只有百分之十至二十—能够真正发挥作用。将这样的六七个器件一起放在集成电路中，你一定会认为这些小问题会叠加，导致只有极少数的芯片能够正常使用。 摩尔认为，这一逻辑却是错误的。事实上，在制造含有8个晶体管的芯片时，能够正常使用的芯片比例与制作8个单个晶体管时的可使用比例是相近的。原因在于这种概率并不是针对单个晶体管而言的。缺陷会占用空间，而多种类型的缺陷会像飞溅的油漆一样随机分布。如果将两个晶体管紧密地放置在一起，单个晶体管自身的缺陷便可以同时影响两个晶体管。因此，将两个晶体管并排放在一起时由缺陷导致的失效风险与单独一个晶体管是相同的。 摩尔确信，最终一定能够证明集成工艺是经济合算的。 在1965年发表的论文中，为了证明集成电路拥有无限光明的未来，摩尔在一幅曲线图中按照先后顺序绘制了5个时间点。第一个时间点是仙童半导体公司首款平面晶体管问世，随后是公司的一系列集成电路产品推出的时间。摩尔采用的是半对数曲线图，其中一个轴是分度不均匀的对数坐标轴，另一个轴是分度均匀的普通坐标轴。指数函数在这种坐标图中会被显示为直线。而摩尔所画的，连接这5个时间点的线大约是一条倾斜的直线，其倾斜度恰好对应集成电路上每年翻倍的元件数量。 从这条小小的趋势线出发，摩尔作出了大胆的推断：这种翻倍现象将继续维持10年。他预测，到1975年时，集成电路上的元件数量可以从64个增加至6.5万个。实际上，摩尔的推测几乎完全正确。 摩尔于1968年离开仙童半导体公司，并与别人共同创立了英特尔公司。 而英特尔公司在1975年所筹备推出的一款电荷耦合器件d）存储芯片中，大约有3.2个万元件——仅比摩尔的千倍增长预测结果少了一半。 不仅仅是半导体芯片，也包含了其他类型的存储方式。 除此以外，摩尔还能预测集成电路会相对便宜。 元件数量翻倍如何实现的问题。他提出，这一变化趋势是由3个因素决定的：越来越小的元件尺寸、不断增加的芯片面积和能够缩小多少晶体管之间的未使用面积。 但是对于英特尔公司当时正准备发布d存储器，他认为精明性将很快不再发挥决定性作用。d阵列中，所有器件均密密麻麻地排列成紧密的网格状，已经没有多余空间可进一步节省。 于是，摩尔预言，未来的翻倍趋势很快将只受两个因素驱动：更加微小的晶体管和更大面积的芯片。而后果便是翻倍速度将减半，元件数量从每年翻一倍减缓为每两年翻一倍。 在过去10年左右的这段时间里，摩尔定律在更大程度上是关乎成本的阐述，而非性能；我们制造尺寸更小的晶体管只是为了降低成本。但是，这并不代表目前的微处理器不及5或10年前的同类产品。这些年里，产品设计一直在不断进步。但是，绝大部分性能方面的进步还是源于更加低廉的晶体管所实现的多核集成。 摩尔定律始终在强调经济学方面的意义，原因就是该定律中一条非常重要但从未被广泛认可的内容：随着晶体管的尺寸越来越小，我们能够一直将每平方厘米成品硅片的制造成本年复一年地（至少到目前为止）维持在同一水平。摩尔所定义的这一成本约为每英亩十亿美元——虽然芯片制造商们几乎从未将英亩作为芯片面积的衡量单位。 第五百八十八章 可计算的理论(数理逻辑) 图灵发明了爆炸机之后，开始陷入了深深的思考当中。 图灵在想，这就相当于是机器对付机器，虽然有一点点人力的帮助，但是总体而言。都是由机器之间的电波相互识别的，这样的电波有的快速的反应能力。 一天在梦中，有一个机器盒子，有两条纸带。一条纸带咔擦咔擦的从左往右走，另一条纸带从右往左走。机器不停，一直发出几个声响。打带机有很多台，不仅仅是单独的，有的是两个打带机的纸带连接着两个甚至多个机器，有的打带机甚至是一个带子连接着一个机器的。有很多地方的机器都通过带子连接在一起，同时运动。最后前后四方无边无际的都是这种机器，有的运行很慢，半天一动，有的很快一直不停。有的忽快忽慢，有的有时往左移有时往右移。这是一台可以自己运算的机器，机器在自己运算的时候就是这样的。 尽管只是个普通的二进制，但是他也变成了几个具有对话意义的过程，这是个伟大的突破。 图灵在想，机器的本质是什么？对话的本质又是什么？他开始深入的思考这个问题。图灵开始自己制作一个机器的模型，他需要定义一个事情。 先假设有一台机器，这个机器具备计算任何一个模型的能力。在输入口输入问题，经过计算后再从输出的地方输出想要的东西。 是不是任何一个东西都可以计算？计算的时候要什么元件才可以？ 肯定使用电器，这个电器的基本运算是什么样子的？可以有很多种，在堆砌成大运算的时候也有达到运算能力越来越强才对。 这个点子元件就是布尔代数的原理，也是数学中的环代数，所以以后的计算机全部都是环代数。也就是数学家要研究环代数的原因。 结合了丘奇的理论，就可以丰富图灵机。 除此以外，图灵第一个要面对的问题就是，什么是可以计算的，什么是不可以计算的？是有能计算的才能用布尔代数去计算，不能计算的就不可以放在计算机中，必须在第一时间内排除掉才可以。 在排除掉不能计算的问题的情况下，才能酣畅淋漓的去计算任何一个可以计算的问题。 1936年，图灵发表了《论可计算数及其在判定问题上的应用》，其中描述了一种理论上的机器，现在称为“图灵机”。它成为可计算性理论的重要组成部分。 第五百八十九章 讨论计算复杂性(计算机) 怀特说：“将计算能力提升是很了不起的事情，需要了解计算复杂性问题，你有把握做好这些？” 丘奇说：“世界上最难的问题就是世界上最简单的问题，多，到难以想象。能有简单的方法吗？如果有就会重新变得没有简单的方法。如果有了方法，那么在更远处就会也变得难数，就是借助复杂的机器，也会到崩溃的一天，就是让很多机器分开去读。” 怀特说：“假如有简单方法可以解决，计算时间变短，效率变高。一段范围在短时间之内解决吗，几分钟甚至几秒。那么在这之后位长的，计算也变得容易。那么更长的呢？那种很长很长，是任意长，能够吗?但是，不同的长应该是不同算法吧。如果是不同的长是相同算法的话，肯定是越长，算得越慢，是一个简单的比例，所以长到一定程度，一定会变慢。所以这也算是没有简单方法，必须是一直有不同方法，或者是同种算法的不同情况，那也是一种难。” 丘奇说：“随着提升计算器能力，以及计算简化的改进，会慢慢解决。” 怀特说：“如果就是有，那就是有超长数解决，超长数后的也解决了，之后的无穷远的也解决了。那么解决的方式不是完全相等的，不同的数段所用的方法分别不同，而且能够达到人类难以承受的程度，所以后面的方法虽不能在前面用，但在应该在后面的的方法应该如在前面时那样简单，所以后面的，以及在往后一些的等等之时，应该是相对越来越简单才可以。” 图灵说：“如果要说是有简便方法的话，那么还需要在我们的意料之中才行，在意料之中这种称之为是从前面到后面有一个我们所知的规律，那才能叫简便方法的存在，那么这个规律就是简便方法规律，但是当达到一定多的程度时也会算不过来，所以这个方法规律也要分段，那也要有规律才行。所以以此类推，一直有这种规律，一直往上层推，才能为简便方法的解决。一开始的多是第零层，那么第一层，第二层，一直到更高层推导。所以层的问题就很重要了，一看到问题需要先确定层才行。” 怀特说：“分层也会遇到难题。而且数太多，计算太多，一开始需要做工作，很繁琐。” 图灵说：“看到问题了，确定层，就会先数层的数目，确定位数就能确定用哪一层。如果输位数很慢，就分段数，使用分布式，就会快速解决问题。所以解决层的问题，就是使用多台机器计算。多台机器运行能够解决一台机器的时间问题，当很多时，能计算出来多少台机器去计算最为合理吗？这里的合理指时间最短，机器尽可能不要太多，计算性也相对最简单的情况。” 说着图灵在黑板上开始画着自己说的模型和公式。 怀特说：“一时望不到边呢，那是近似无穷大问题，你的方案会解决这个吗？能从开头开始？如果是不同的方法解决，那就只是一个半解决状态，这种东西会存在吗？换个思路，可以被解决，但不是一次性解决，因为以上的可能没有规律，需要人不断的去发现。也就是复杂计算一出现因为太大太强以至于在简单时用不到，称之为“以后用方法”。那么人类能够预测“以后用方法”吗？那么人类是不是已经有了一些人类意识不到的以后用方程了呢？” 图灵说：“一道一个数字，长的望不到边，怎样才会这样的，一张纸写不满，一本书写不满，那也能从纸和书上能够确定。如果从一个地方不停的往这里发送，才会有一种不确定何时结局的感觉，那么在此刻，能够被解决吗？如果不能是因为下一位数的不确定性所导致。那么在可以分段解决吗？多可以被分段解决了吗？假如不知道整体的，每个部分都相应解决一些东西，就可以解决吗？” 哥德尔说：“轻易用不到层层的问题，太偏。” 图灵说：“层的问题的意料之中的方式，以及层层之间的意料之中最终有一最高层，那一个层就是一个方法了，这个意料之中的整体称之为“意料中方法大三角”。如果够大，意料大三角也会比较复杂，因为层数太多，所以推敲不同层的上下关系的式子也需要有规律，称之为“大三角层高规律”。而这个大三角层高规律也必须用起来简单，但是当太大时会出现极度复杂情况，所以“大三角层高规律也会出现对于的大三角层高规律”，称之为“三角层层规律。”以此类推需要有三角层层规律的人类难以承受的运算的三角层层层规律。达到多少个三角层层层称之为，方法层层三角规律，那要画成一个形状就是，一个高维三角形的形状的单形。” 第五百九十章 停机问题(逻辑学) 图灵一开始假设，有可能制造出一台图灵机，它可以计算出一个程序在给定某种输入后是否会停止或永远运行。然后他证明，这台机器会导致一个矛盾，所以不可能存在。 图灵提到的这个想法，后来被称为停机问题。今天的软件开发人员将其称为无限循环，这是他们在编写循环或递归函数时遇到的一个问题。 戴维斯在想什么是可以计算的，只要把不可以计算的全部排除，剩下的就是全部可以计算的了。 停机问题就是判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行的问题。 该问题等价于如下的判定问题：是否存在一个程序p，对于任意输入的程序w，能够判断w会在有限时间内结束或者死循环。 最后戴维斯说：“存在一种图灵机，其停机问题是递归无解的。” 停机问题就是判断任意一个程序是否会在有限的时间之内结束运行的问题。如果这个问题可以在有限的时间之内解决，则有一个程序判断其本身是否会停机并做出相反的行为，这时候显然不管停机问题的结果是什么都不会符合要求。所以这是一个不可解的问题。 停机问题本质是一高阶逻辑的不自恰性和不完备性。类似的命题有理发师悖论、全能悖论等。 第五百九十一章 哥德尔定理(逻辑学) 德国数学家大卫·希尔伯特（david hilbert， 1862-1943）扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了着名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论，他提出以下3个问题是否存在正解： 一个形式理论，其中的公理不能产生矛盾，它的一致性能否在理论本身内得到证明？ 形式理论能被证明是完备的吗，因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。 是否存在一个纯粹的机械过程，我称之为通用证明机制，来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题（entscheidungsproblem）。 哥德尔对于所谓的所有东西都可以被计算这样的问题词嗤之以鼻。 对于策梅洛的zf公理，总会有问题存在，不可能对于数学计算是完备的。 “谁也不能证明他们的功力系统，即是完备的，又是可靠的。” 哥德尔认为这可以打败任何一个自称可以自圆其说的理论系统。 “对于任意可靠的公理和推理规则系统s，必存在正确的数论结论不能在s中被证明。”哥德尔证明这个震惊世界的理论。 对于聪明的科学家和数学家，就明白自己只能无限接近真理而无法到达真理。 只有倔强的爱钻牛角尖的人才觉得自己可以统一宇宙。 首先这个定理虽然保护“不完备”三个字，但是你千万别理解说哥德尔这个人，创造出来的定理是不完备的，恰恰相反，定理本身肯定必须完备，只不过定理的内容是说“某某东西不完完备而已”。所以了解这点之后我们就要进一步讲解这个定理。 所以哥德尔不完备定理，精髓就是自然数系统内“自洽性”和“完备性”不可兼得，只能放弃一个，保全另一个，有点鱼和熊掌不可兼得的意思。 但是事情到了这里还没完，因为我们目前数学上面还有很多猜想未被证明，比如黎曼猜想，哥德巴赫猜想等等，人类奋斗了这么多年，还是没有证明出来。在哥德尔不完备定理出现之前，人类遇到某猜想不能证明，第一反应就是：虽然现在不能证明，不代表以后不能证明，未来某时刻，肯定有某位数学家能够证明。但是当哥德尔不完备定理出现后，这个想法似乎被打破了，这似乎再暗示我们，有一些数学猜想，可能就是因为人们过渡去追求“自洽性”，把“自洽性保全了”，但是“完备性”却破坏了，所以出现了类似于“黎曼猜想”。这似乎再暗示：有一些数学猜想就是既不能被证明，又不能被证伪的，现在是这样，以后也是这样，不会有某位数学家能够改变这一点。 第五百九十二章 哥德尔分离(逻辑学) 因为谁能说我们自己不是机器，只是比图灵机更有能力？ 哥德尔的一句话：谁能证明人类思维的一致性？即使大脑超越了机器，也许它还有一些未知的东西。哥德尔在今天所谓的“哥德尔分离”中表达了可能性的范围：要么人类的思维超过了所有的机器（更精确地说，它能比任何机器决定更多的数字理论问题），要么存在着人类思维无法决定的数字理论问题。 每一种可能性都令人着迷：如果人类的思维能力超过了机器，那么我们的大脑中肯定有一些it工程师无法构建的东西。换句话说，大脑不能被映射到电脑中。因此，我们的人工智能梦想被击碎了。 这个选择激发了对意识本质的询问。人们可能会想，之所以不可能把它构造成机器，是因为它是非物质的。 第二种选择似乎更不现实。如果某些数学问题有一个答案，而这个答案是人类思维无法触及的，这就意味着我们可以谈论一些柏拉图式的“数学”——独立于我们思维的对象（定理），客观且不变。这似乎把我们推向了违背我们意愿的哲学观点！ 还有第三种选择：虽然析取是以“非此即彼”的形式陈述的，但这两种可能性似乎并不相互排斥。两种情况都有可能发生。我们可以想到某种认知能力的层次，它从图灵机开始，然后进入人类的思维，然后到达后者无法到达的领域。这种选择引入了大量的本体论差异，因此是非常不经济的，但我们仍然不能排除它。 必须强调的是，第二次吸取并不意味着答案是不可接近的。也就是说，它仍然可能是没有“数学”的情况，而数学纯粹是人类心灵自由活动的果实。如果人类没有答案，那么就没有答案。这条路把我们引向了一个更深层次的问题：我们能否从一个接一个的“实际”任务中，以某种方式研究数学问题是否有抽象的答案？也许数学中使用的概念具有某种固有的形式，从而导致给定问题的“不合理“？也许有一些深奥的数学语法，可以告诉我们“没有确定一个任意问题的一般程序”，但为什么会这样？ 如果我们愿意，我们可以进一步对初始情况进行问题分析。既然心智实际上是一台机器这一观点没有被证明是错误的，那么我们就可以假设存在某种“超级机器”，它能够看到我们的不完整性。这将把这个定理最初的哲学结论颠倒过来。 图灵相信，他和哥德尔的研究结果表明，抽象的人类大脑在数学上总是比一台人造计算机更有能力。但是，当所有计算机“联合起来”时，它是否会超越所有计算机的总和，这个问题并不是那么明显。图灵也看到了这个问题，他在1951年的bbc广播中说，机器不可能是智能的，我们不可能从机器的研究中学习到关于我们自己大脑的任何东西。 另一方面，哥德尔相信大脑无限地超越机器。在1936年的论文中，他（错误地）采用了图灵的推理，认为大脑可以等同于机器。他把这种说法称为“哲学谬误”。后来在与王浩的谈话中，他这样说 大脑在使用中不是静止的，而是不断发展的。 机器不能以这种方式发展。这种开发过程是非算法的、非机械的、机器无法追踪的。因此，机制和反机制之间的新论述开始于两位为计算机科学奠定理论基础的研究成果之父的陈述。 当然，在讨论中还有很多需要澄清的地方。“人类思维”、“抽象思维”以及“机器”的概念仍然需要一些解释。更不用提图灵的“独创性”和“直觉”概念，以及哥德尔的“数学直觉”，这些概念在这场争论中扮演着重要的角色，但仍然非常模糊。 我们在问题中越陷越深。一段时间以前，不完全性定理对我来说似乎是一个决定性的论点，结束了许多讨论。但最近我倾向于看到相反的情况：它激发了多少问题，以及这件艺术品在哲学上有多么丰富。 第五百九十三章 高斯－博内－陈定理(曲面几何) 1827年，高斯证明了这一定理。 1944年，博内将这一定理推广到一般曲面上，由任一闭曲线c围成的单连通区域，形成了着名的高斯-博内公式. 1944年，陈省身给出了高斯-博内公式的内藴证明. 欧拉数虽然神秘有趣，可还是引不起数学家们的强烈兴趣，原因是它太简单了，小学生都可以很快弄懂这些数的来源，那个时代的数学家们总是希望有个积分，微分什么的，以显示其高深莫测，高斯那时候正在研究曲面和曲线的几何学，对于各种曲率玩得和吃饭喝水似的，这个时候人们还没有意识到弯曲可以是几何的内蕴性质，而一般考虑嵌入曲率，第一个认识到弯曲可以不需要嵌入的人是黎曼. 某天，对于没有边界的二维曲面，高斯搞了一个曲率做了一个积分，他发现，他能够计算出欧拉数!很快他把这个公式推广到带边界(二维面上有洞的情形)的二维曲面，同样得到了相应的欧拉数. 高斯当时应该是没有认识到这个公式的巨大作用，以至于他懒得去发表这样的结果，他认为这种工作对他而言太简单了，只和弟子们稍微讨论了一下，然后，就转去研究别的东西去了，可见这些宗师级的人物也有走眼的时候，几年以后，博内得到了同样的结果. 令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯-博内公式的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系，而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在还可以得到经典的高斯-博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了，虽然过程不尽善尽美，然而，并没有脱离这个系列的核心:几何直观. 在曲面上的形状：角差变量=曲率k上的面积大小的积分。 变化量则表示为面积分。这就是微分几何中的高斯-博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面积分，诸如球面三角形的内角和等内容都与它有关，它是整体微分几何的开山之作之一 第五百九十四章 霍恩贝格－科恩定理(量子力学) 早在科恩-沈吕九方程提出之前，物理学家们对周期性材料体系已经有了原始但模糊的认识，电子是一种全同(狄拉克)费米子（当然今天最新的进展认为这个观点不再全面，但与本文关系不大，详见外尔weyl费米子、马约拉那majorana费米子），以下简称费米子。 霍恩贝格-科恩定理堪称科恩-沈吕九方程的理论基石，它的内容如下： 不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数的唯一泛函； 能量泛函在粒子数不变条件下在正确的粒子数密度函数中达到极小值，此数值等于系统基态能量。 进而粒子数密度函数确定后，直接决定基态所有物理性质：能量、波函数以及所有力学量算符的期待值； 简言之，一旦知道固体中的电子数密度函数，就等价于知道了能量泛函的极小值，并且这个极小值就是体系绝对零度下（所有状态能量最低的温度）基态的能量。 如上一期所讲，密度泛函理论这套体系中所有算符的作用对象都是密度函数，它与科恩-沈吕九方程的关系如同传统量子力学中波函数之于薛定谔方程；而论物理含义，波函数的模方表示在位矢处找到某个电子的概率，与之对应的，密度函数的模则反应了在位矢处观测到电子的数目。 那么结合泡利不相容原理原理，对于某一种特定的材料，原子核点阵产生的周期性势场一定、电子总数一定的情况下，基态的电子密度分布应当是唯一确定的。 这句话等效于说密度函数唯一确定，对应的基态能量也应当是唯一确定的。 进而对于给定的体系，随给出任意一个试探解，我们都可以使用数学上的变分法一步一步最终找到能量本征值最小的密度函数。 而在找到所有穷尽的可能的密度函数之后，这当中谁的能量本征值最小，谁就是基态真正的密度函数。 第五百九十五章 陈省身示性数(曲面几何) 大数学家陈省身有一次在bj大学的讲座中语惊四座：“人们常说三角形内角和等于180°，这是不对的。”大家愕然，三角形内角和是180°，这不是数学常识吗?接着陈省身做了精辟的解答：说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360°”。 把眼光盯住内角，只能看到三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°……如果看外角呢，三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，五边形的外角和是360°……任意n边形外角和都是360°。这样就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了，一个与边无关的常数代替了与边有关的公式，找到了更一般的规律。 大家看清题目了，是问凹四边形的外角和是多少? 凹四边形有一个角为凹角，即180-360度，另外三个是凸角，即0-180度. 假设凹四边形abcd，角c为凹角，连接bd，则其内角和为∠a+∠b+∠d+360-∠bcd=∠a+∠b+∠d+（180-∠bcd）+180=∠a+（∠abc+∠cbd）+（∠adc+∠bdc）+180=∠a+∠b+∠d+180=180+180=360度，又内外角之和为180*4=720，所以凹四边形外角和是720-360=360度. 任意一个凸（或凹）n多边形，都可分画为n-2个三角形，因此凹多边形的内角和，也适用（n-2）180°这个公式。理由是：（1）先把凹多边形画分成n-2个三角形（2）每个三角形的内角和为180°，所以凹多边形内角和为（n-2)x180°凹多边形的外角和并不恒等于360°凹多边形外角和是：360°n-(n-2)x180°=180°n+360°这就是凹多边形内角和与外角和及边的关系。 五边形的外角和都是360°，任何一个多边形的外角和都是固定值，为360°。五边形在平面几何学上指所有由五条边围衬成及有五只角的多边形。完美五边形和正五边形都是五边形的一种特殊类型。正五边形，是正多边形的一种，有将正五边形的对角线连起来，可以造成一个五角星。组成的图形里可以找到一些和黄金分割（φ=(√5-1)\/2）有关的长度。 “多边形外角和等于360°”这条普遍规律把几何学引入了新的天地，由此发展出来的“陈氏类”理论被誉为划时代的贡献，在理论物理学上有重要的应用。 颠覆了日常的认知，将人类的思考带入到一个新的天地，这便是数学家的眼光。这种眼光是怎样的，张景中有一个概括：“数学家的眼光是抽象的，我们觉得不同的问题，他们看来却是相同的。数学家的眼光是精确的、严密的，我们觉得一样的东西，他们看来却有天地之别。数学家的眼光是透彻的、犀利的，我们觉得很满足的数学结论他们却穷追不舍。数学家的眼光是辩证的，我们觉得一是一、二是二，他们却常常盯住变中不变的东西，不变中变的东西。” 继续去想，发现在非欧几何下，任意多边形的外角和就不是360度了，不论是多少度，反正可以去度量曲面的弯曲程度。 用什么去度量曲面呢？当然是矩阵了，矩阵就要直接反应曲面的弯曲程度了。 那么这个矩阵就要具备反应曲面外角和大小的能力，跟已知其他度量曲线的能力一般。 第五百九十六章 幸存者偏差(概率与统计) 瓦尔德刚到美国不久，就爆发了第二次世界大战，瓦尔德再次看到了希望——正式加入了哥伦比亚大学的统计研究小组（srg）。srg是一个秘密计划的产物，它的任务是组织美国的统计学家为“二战服务”。 当时美国军方就遇到了一个严峻的问题：想要在战争中获得优势，就必须掌握空战的主动权，但大伙看着千疮百孔的飞机，“这些人打飞机也太准了吧。” 后来，军官们将压力施加到了瓦尔德等众多科学家身上，“这场空战，我们一定要拿下！” 经过大量的实地考察后，众人发现返航的飞机中，绝大部分的弹孔都分布在机翼和机身，而发动机的区域基本完好无损。 “对机翼和机身进行特殊加固即可”，众人纷纷得出结论。 正当军官们准备下达命令的时候，角落里传来了三个字：“我反对！” 众人纷纷疑惑地望向人群外的瓦尔德，脾气火爆的军官们正在压抑着即将爆发的怒火。 “需要特殊保护的部分不是那些千疮百孔的补位，而是那些看似完好无损的区域，也就是飞机的发动机”，瓦尔德耐心地解释道。 实际上，飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但众人看到的现象却是，发动机区域的弹孔远远比其他区域要少。 那问题来了，那些发动机上“消失”的弹孔到底去哪了？ 都在未返航的飞机上了，也就是说发动机被击中的飞机基本上都回不来了，而众人看到的飞机，即便被打得千疮百孔也能顺利返航，就说明重点并不在于机身，而是发动机。 看着一脸懵逼的军官们，瓦尔德领着众人到了隔壁医院的病房，“我们可以统计一下病房里的伤员，四肢中弹的肯定要比胸部中弹的要多得多，不是因为胸部中弹的概率小，而是胸部中弹后致死率高！” 话音刚落，病房里就响起了热烈的掌声... 不久之后，瓦尔德便发表了一篇论文《a method of estimating ne vulnerability based on damage of survivors》： 最后得出结论是：发动机是飞机致命的地方，只要被击中一弹，就有 39%的概率坠毁。 当时不少人都好奇，瓦尔德思考问题的角度为何如此独特，而他总是笑而不语。 其实，这就是典型的数学思维！ 对于数学家而言，弹孔问题其实是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias ）的现象。 实际上，这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，一旦我们像瓦尔德那样熟悉它，在我们的眼中它就无所遁形，甚至还可能会出现在高考的卷子上。 第五百九十七章 扎里斯基拓扑(概型) 扎里斯基早年在基辅大学学习时，对代数和数论很感兴趣，在意大利深造期间，他深受三位意大利卡斯泰尔诺沃、恩里克斯、塞维里在古典代数几何领域的深刻影响。 意大利几何学者们的研究方法本质上很富有“综合性”，他们几乎只是根据几何直观和论据，因而他们的证明中往往缺少数学上的严密性。 扎里斯基的研究明显带有代数的倾向，他的博士论文就与纯代数数学有着密切联系，精确地说是与伽罗瓦理论密切联系。 当然也就激发了他在研究方程的时候，也会用到环论这样的思想。 取得博士学位後，他在罗马的研究工作仍然主要是与伽罗瓦理论有密切联系的代数几何问题。 一九三七年扎里斯基的研究发生了重要的变化，其特点是变得更代数化了。 他所使用的研究方法和他所研究的问题都更具有代数的味道〔这些问题当然仍带有代数几何的根源和背景〕。 扎里斯基对意大利几何学者的证明感到不满意，他确信几何学的全部结构可以用纯代数的方法加以重新建立。 在一九三五年左右，现代化数学已经兴盛起来，最典型的例子是诺德与范德瓦尔登有关论着的发表。 范德瓦尔登从这个观点出发把代数几何抽象化，但是只取得了一部分成就，而扎里斯基却获得了巨大成功。 扎里斯基开始研究如果方程在坐标系里有一种图形，能不能从方程中翻译出拓扑学的一些性质呢？ 对于这个方程来说，也有一种拓扑学的那种洞。 而这个洞，必须是一种无穷大那样的奇点。 最简单的奇点是通常二重点，还有尖点，迷向点，ade奇点（确切地说这是曲面奇点，但是它可以对应成曲线奇点） 他的博士论文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分类，这里面f和g是多项式，x可以解为线性参数t的根式表达式。扎里斯基说明这种方程可分为五类，它们是三角或椭圆方程。 ade奇点就是代数曲面上的有理二重点，它可以通过奇点解消的方式爆发成为ade曲线。 ade奇点有五种类型： a_n型：对应方程z^2=x^2+y^n d_n型：对应方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4） e_6型：对应方程z^2=x^3+y^4 e_7型：对应方程z^2=x(x^2+y^3) e_8型：对应方程z^2=x^3+y^5 任何ade奇点都是超曲面奇点，也是循环商奇点。它们的有理典范除子是零，重数是2。 除此以外有无穷大点，不连续的拐折点。 为了严格下定义，扎里斯基认为方程等于0，x一阶导等于0，y一阶导为0，就可以称之为奇点了。 如果f(x，y)的泰勒展开中不包含一次项的话，否则就称该点是光滑点。 换句话说，我们幂级数展开f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次项，如果a和b不全为零，那么该原点就称为c的光滑点，否则就称为奇点。 一个带有奇点的平面曲线 c 必定是某个射影空间中的光滑曲线 c''到射影平面的投影。 找出这样的光滑曲线 c''的过程，称为 c 的奇点解消或者正规化。 曲线奇点有很一些有趣的不变量来刻画，比如它的重数（就是泰勒展开式中最低项的次数），局部分支数，几何亏格，milnor数等等。 这些不变量之间有着一定的联系，对它们的研究属于奇点拓扑这一分支。 扎里斯基对莱夫谢茨说：“我听了你的代数几何的拓扑问题后，想到让方程的拓扑学体现出来，就可以从代数簇中直接进行。代数簇的思想，不就是所有的方程本来都是多项式，而多项式仅仅有加法和乘法。就相当于是代数簇在做很多加和乘的运算来组成各种曲线，那么就是环的作用而形成曲线。代数几何的问题也就是交换环的理想的问题。” 莱夫谢茨说：“那你要是研究方程的拓扑性质，就从环这个结构开始就行了。” 扎里斯基知道这些方程不需要在坐标系里定位，所以用了仿射空间，或者叫线性空间，只需要表示他们的形状就行。 仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 然后扎里斯基的工作就是把这些方程变成拓扑结构了。 在一九二七至一九三七年间，扎里斯基给出了关于曲线c 的经典的黎曼-罗赫定理的拓扑证明，在这个证明中他引进了曲线 c 的 n重对称积 c(n)来研究 c 上度数为 n 的除子的线性系统。 在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。 扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。 他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定 p 外不是正则的，那么 p 的像的各个分支的维数大于等于一。”由此阐明了双有理对应的性质。 对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。 一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。 域 k 上的不可约代数簇 v，如果它的函数域上 k 上是纯绍越的，就称为一个有理簇。 扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面 s 是有理的一个充分必要准则。 这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。 关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设 l 为代数闭域 k 上两变量有理函数域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 l 上为可分代数的，那么 l 是 k 上的二元有理函数域。 在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。 关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。 他还引进正规簇和正规化的概念，并应用于线性系、双有理变换及代数对应等理论中。 关于诺德环，他得出：若半局部整环 r 是一个域上的有限生成环的商环，则 r 是解析非分歧的，若 r 还是正规局部环，则 r 是解析正规的。 他还指出，即使以更一般的理想的幂引入拓扑，一切理想仍是闭集。 在关于局部一致性的研究中，扎里斯基导入了代数簇 v 上的拓扑，现在称为扎里斯基拓扑。在这个拓扑中 v 的闭子集就是 v 的代数子簇。 在一九四九至一九五一年间，他发展了在簇 v 上的全形态方程以及在簇 v 的代数子簇上这种方程的解析连续性的半球理论，这个理论使他能够给出一个新的、严密的对退化原理和恩里克斯连续定理的证明。一九五〇年他还发展了局部环论。 一九六四至一九七八年间，扎里斯基主要关心两个新理论的发展：在簇 v上的等奇异性理论和饱和性理论。 等奇异点簇。 从古典几何到现在，奇异的等效性只在代数曲线上有定义。因此，只能对 w 具有维数 r-1 而 v 具有维数 r 的情形下发展一个完全的关于等奇异性的理论。 扎里斯基和其他美国和外国数学家〔特别是法国数学家〕後来致力于发展一个具有任何维数的簇 v 和其子簇 w 的等奇异性的可能性的一般理论。 饱和性理论在某种意义上是等奇异性理论的特殊情况。 这个理论是已经在 w 上等奇异性的 v 建立一个在最小意义下的等奇异性的标准，即它是在 w 上的解析乘积。 扎里斯基关于饱和性的一般定理的证明为这个标准提供了依据。 扎里斯基对极小模型理论也作出了贡献。 他在古典代数几何的曲面理论方面的重要之一，是曲面的极小模型的存在定理〔一九五八年〕。 它给出了曲面的情况下代数-几何间的等价性。 这就是说，代数函数域一经给定，就存在非奇异曲面〔极小模型〕作为其对应的“好的模型”，而且射影直线如果不带有参数就是唯一正确的。 因此要进行曲面的分类，可考虑极小模型，这成了曲面分类理论的基础。 具有仿射结构的集合就是一个仿射空间。 从a的扎里斯基拓扑就可诱导得代数簇的扎里斯基拓扑。 扎里斯基对代数几何做出做出了重大贡献。 代数几何是研究关于高维空间中由若干个代数方程的公共零点所确定的点集，以及这些点集通过一定的构造方式导出的对象即代数簇。 从观点上说，它是多变量代数函数域的几何理论，也与从一般复流形来紧密地结合起来。 从方法上说，则和交换环论及同调代数有着密切的联系。 第五百九十八章 狄拉克的方程游戏(量子力学) 如果把相对论和量子力学合起来，那需要什么样的方程呢？ 狄拉克写出了狄拉克方程。 是在克莱因高登方程的基础上写出来的，猛然一看，是个很奇怪的东西，不容易看懂。 但是这个方程很强大。 狄拉克说：“先是解释了，电子有自转，像个小铁棒。连选择的速度，和磁性的强度都可以计算出来。” “可以发现原子在一瞬间自发地消失成光猝发的方式。” “发现了反物质，任何一个物质都有反物质，可以与物质相互淹没。也可以凭空成对产生。” “里面有无所不知的真正的东西，量子场。” “泡利所说的电子的两个自旋，在这个方程里是自然而然的合理。这是内禀的形状。”不仅是对的，还在电磁计算与存储的计算机里，等到验证和应用。 “在里面引入旋转的速度，离心力等等的量，都是可以计算的。结果越怪异，越会与实验出现惊人的吻合。”哥德斯密特和乌仑贝克的模型可以论证这些。 “质子和中子的自旋，不仅不违背，而且以一种更复杂的机制吻合着这一切。” 一开始看似错，但极其正确的一点是：“负能量解，是说明反物质是真空中的一个空穴。这个更好的解释的正反离子的相互产生。” “解释的真空是满满到不透气的物质海洋。” “不仅有反物质，还有反能量。” “但正负两重性的这种负能量的能级的东西，发散的太厉害。”狄拉克想用泡利不相容原理来解释。 “真空也成了一种特殊的物质，这难以避免了。”或许真空只能让光子运动在m\/s这么快了，如果再做一些特殊加工，得到特殊状态，一种特殊的晶体，光速在这个晶体中运动可以快过这一切。 “后来，研究对撞机，用简单的物质快速对撞，出现了大量的东西，原因也在真空中东西很多。同时能量转化成了物质。”这个太有用了，可以无中生有。 以此类推，狄拉克方程还会有无限的用途。 第五百九十九章 邮件炸弹客的《论工业社会及其未来》(社会学) 泰德独自背着行李出门，远离了家人。 在哈佛大学里，泰德认识了数学教授乔治·皮拉尼。 有一次，皮拉尼教授告诉他的学生，他手头上有一个比较冷门的数学课题，叫边界函数（boundary functions），这么多年来，从来没有人能够解开它。 3周后，泰德走进皮拉尼的办公室，在桌上放了一沓稿纸——整整一百页，全手写，边界函数迎刃而解。 大学毕业后，泰德又进入密歇根大学攻读数学博士，不到半年时间便取得博士学位，论文题目正是“边界函数”。 这篇论文被评为当年的密歇根州最佳数学论文，获得了萨姆纳·迈尔斯奖，泰德的名字因此被刻在了哈佛东四区宿舍入口的牌匾上。 1967年，25岁的泰德被加州大学伯克利分校招聘，成为该校历史上最年轻的助理教授。 1959年秋天，正在读大二的泰德第一次走进哈佛大学神道7号的地下室。 他被招募来参与一项心理实验，却发现审讯人员异常粗暴。 不明真相的他被强制关进暗房里、绑在椅子上，浑身插满电极；他什么也看不到，只听见审讯人在不停地辱骂他，说他的论文是垃圾、他妈妈嫌弃他心理不健全...... 接着，他又被抽打、被电击，甚至被注射致幻剂。 泰德反复地昏迷、激醒、抽搐，大脑里开始出现幻觉，情绪濒临崩溃。 从这一天开始，17岁的他被间歇性虐待了整整3年。 在这栋楼里，和他一同受害的还有另外21名学生，他们被当成豚鼠，供哈佛大学的心理学家亨利·默里进行人脑控制实验。这项实验被称为“mkultra计划”，由美国中央情报局（cia）秘密组织实施，目的是要创造一种可以撕裂苏联间谍心理防线的逼供法。 试验期间，cia联合成百上千个场所——大学、医院、监狱、医药公司等等，对受害者使用催眠、电击、感官剥夺、性虐待、注射药物等暴力手段，摧残他们的肉体和意识。 在经历了百般折磨后，泰德彻底崩溃了。 他变得更加内向和木讷，非常害怕与他人对视，甚至患上了幽闭恐惧症。 读博期间，他开始向往隐居，并且时常幻想杀人：“带着步枪走进森林，远离这个社会......如果我过不下去了，能赶在饿死之前回到这里，那就把我讨厌的人杀死。” 社会毁灭了他，他试图毁灭社会。 但是，犯罪永远都是不可取的，而反思永远都是必要的。 遭遇非人虐待后，泰德时而恍惚时而清醒，他的心里充满了仇恨和暴力，理智的却知道这是由于那个折磨自己的实验造成的。 他时常在想，为什么自己会遭遇这些事情？ 本来这样的实验是为了给人带来有益的东西，但是为什么会出现如此大的副作用。 难道单单是因为实验品受到牺牲，所以自己才成为了不幸的牺牲品？ 那么如果科技和工业化也是一种实验，那是不是整个人类都会受到牺牲。 泰德清醒之余，开始冷静的推理现代社会的工业化对未来的影响，到底是正面的多，还是负面的多，泰德知道这是一个重要的问题，如果不搞清楚这样的为问题，那么以后受害的是整个人类的后代，所以自己必须要进行推敲。 泰德用了很多年，看过很多书，对社会学、数学、心理学和科学都进行的深刻的分析，得出了一个结论，就是看似标志人类文明进步的标志，也就是工业化，对未来的危害远大于受利。 同时泰德写成了自己的作品《论工业社会及其未来》。 泰德明白，自己在今日受害，这只是个开始，而到了未来，是整个人类会受到比自己严重的危害。 泰德要阻止这一切的发生，他知道这个世界上没有人会成为自己的战友，自己是孤军奋战的。 哈佛大学是世界上最重要的学府，而这个学府里的实验也是国家cia资助的，但是他们居然把自己和自己的同伴用这种方式对待。 泰德要把这个事情给揭发，那是何等的困难，就算是说出来，大家也只会相信国家，没有人会相信泰德，更不会相信泰德所写的《论工业社会及其未来》这样的文章。 泰德要以轰动世界的方式，把自己的文章发表出去，就是制造恐怖袭击，只有这样，人们才会注意到他，只有这样他的论文才会有人看，只有这样，自己才会拯救世界的未来。 一连串惊世骇俗的恐怖袭击后，大家终于知道了这个高智商犯罪的人，也注意到他所写的文章。 第六百章 岩泽理论(数论) 数论中，岩泽理论是理想类群的伽罗瓦模理论，由日本数学家岩泽健吉于1950年代提出，是割圆域理论的一部分。 1970年代初，考虑了岩泽理论在阿贝尔簇上的推广。 1990年代初，拉尔夫·格林伯格将岩泽理论应用到动形理论。 岩泽健吉起初观察到代数数论中某些数域所成的塔的伽罗瓦群同构于p进数所构成的加法群。 这个群通常写作Γ 并采乘法符号，它是加法群 z\/p^nz的逆极限，其中p是固定的素数而。 我们可以用庞特里亚金对偶定理得到另一种表法：Γ对偶于所有复数域里的p-次单位根所成的离散群。 自岩泽理论在1950年面世起，已经有了一套丰富的理论。 人们注意到在模论与黎贝和heinrich-wolfgang leopoldt在1960年定义的p进数l-函数间有根本的联系。 后者从函数在负整数点的取值（与伯努利数有关）作插值，得到狄利克雷l函数在p进数域的类比。 显然此理论有希望从库默尔一个世纪创建前的正则素数理论向前迈进。 “岩泽理论主猜想”被陈述为：以两种不同方法定义的 p进数l-函数（模理论\/插值法）应当相等，只要它们是明确定义的。 这个猜想在q上的情形最后由贝利·马祖尔（barry mazur）与安德鲁·怀尔斯证明，并由怀尔斯证明所有实域的情形，称作马祖尔-怀尔斯定理。 他们仿造肯尼斯·阿兰·黎贝证明埃尔布朗定理之逆定理（即所谓埃尔布朗-黎贝定理）的办法。 近来 chris skinner 与 eric urban 也仿用肯尼斯·阿兰·黎贝的办法，公布了gl(2)的“主猜想”的一个证明。 借由 kolyvagin 发展的欧拉系统，可以得到马祖尔-怀尔斯定理更初等的证明（请参见 washington 的书）。 karl rubin 等人用欧拉系统得到主猜想其它的推广形式。 第六百零一章 冯康有限元分析(力学) 1、有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2、有限元法的基本思想是将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3、有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4、有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他cad软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5、梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6、简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第l个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7、有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8、位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9、简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 10、简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系x’y’z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xoy下，这个统一的坐标系xoy称为整体坐标系。 11、简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 12、弹性力学的基本假设是什么 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 13、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的，材料力学只研究和适用于杆件问题。 14、简述圣维南原理 答：把物体一小部分上的面力变换为分布不同但静力等效的面力，但影响近处的应力分量，而不影响远处的应力。“局部影响原理” 15、平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么？ 答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板的面力，且沿厚度均匀分布，体力平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。 平面应变问题的特点：z向尺寸远大于x、y向尺寸，且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同，受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷，约束条件沿z向也不变，即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化。区别：平面应力问题中z方向上应力为零，平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零。 16、三角形常应变单元的特点是什么？矩形单元的特点是什么？ 答：三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。 矩形单元的位移模式是双线性函数，单元的应力、应变式线性变化的，具有精度较高，形状规整，便于实现计算机自动划分等优点，缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界，也不能随意改变大小，适用性非常有限。 17、写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关. 答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵，局部坐标系下的单元刚度矩阵，节点位移有关的坐标变换矩阵。 18、如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵（叠加法）？ 答：（1）把单元刚度矩阵扩展成单元贡献矩阵，把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列，空白处用零子块填充。（2）把单元的贡献矩阵的对应列的子块相叠加，即可得出整体刚度矩阵。 19、整体刚度矩阵的性质 答：（1）整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力；（2）整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；（3）整体刚度矩阵是一个对称阵；（4）整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵。（5）整体刚度矩阵式一个奇异阵，在排除刚体位移后，他是正定阵。 20、简述形函数的概念和性质。 答：式中（i，j，m可轮换），为三角形单元的面积。形函数的性质有：(1)形函数单元节点上的值，具有“本点为一、他点为零”的性质；（2）在单元的任一节点上，三角函数之和等于1；（3）三角形单元任一一条边上的形函数，仅与该端点节点坐标有关，而与另外一个节点坐标无关；（4）型函数的值在0~1之间变换。 21、有限元分析的解题步骤 答：（1）力学模型的确定；（2）结构的离散化；（3）计算载荷的等效节点力；（4）计算各单元的刚度矩阵；（5）组集整体刚度矩阵；（6）施加便捷约束条件;(7)求解降阶的有限元基本方程；（8）求解单元应力；（9）计算结果的输出。 22、为了保证解答的收敛性，单元位数模式必须满足什么条件 答：（1）位移模式必须包含单元刚体位移；（2）位移模式必须包含单元的常应变；（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。 23、有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件。 答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移，2.位移模式必须包含单元的常应变，3.位移模式在单元内要连续，且位移在相邻单元之间要协调。 24、简述等参数单元的概念 答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数，这种单元称为等参单元。 25、有限元法中等参数单元的主要优点是什么？ 答： 1）应用范围广。在平面或空间连续体，杆系结构和板壳问题中都可应用。 2）将不规则的单元变化为规则的单元后，易于构造位移模式。 3）在原结构中可以采用不规则单元，易于适用边界的形状和改变单元的大小。 4）可以灵活的增减节点，容易构造各种过度单元。 5）推导过程具有通用性。一维，二维三维的推导过程基本相同。 26、简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程义 答： （1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵 （4）用虚功原理球的单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 27、为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数？ 答：简化计算 28、为什么要引入雅可比矩阵？ 答：得到形函数的偏导关系。 29、ansys软件主要包括哪些部分？各部分的作用是什么？ 答： 1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具，用户可以方便地构造有限元模型。 2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析，可以模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出。 30、ansys软件提供的分析类型有哪些？ 答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析。 31、简述ansys软件分析静力学问题的基本流程。 答：1.前处理器：1）定义单元类型，2）定义实常数，3）定义材料属性，4）创建实体几何模型，5）划分网络；2.求解器：1）定义分析类型，2）施加载荷和位移约束条件，3）求解；3.一般后处理器。 补充： 1.满足保证收敛是要求选取位移模式中的1）、2）条件的单元称为完备单元，吧满足条件3）的称为协调单元或保持单元。 2.节点编号的选取原则：在进行编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，一边最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。 3.三角形单元和矩形单元中待定常变量反映的是刚体位移，a2x，a3y，a5x，a6y反映的是常应变。 4.三角形三节点单元的位移是连续的，应变和应力在单元内是常数，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变。矩形单元的边界上，位移是线性变化的，显然，在两个相邻矩形单元的公共边界上，其位移是连续的。 5.节点的选用原则：一般说，集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点。 6.单元的划分原则：（1）划分单元的数目，视要求的计算精度和计算机的性能而定。（2）单元的大小，可根据部位的不同而有所不同。 第六百零二章 齐默猜想(高维空间，对称性) 罗伯特·齐默(robert zimme)证明了低维度空间的一些对称性质不存在。 2017年，一个三位数学家组成的团队解决了名为齐默猜想的问题，这个问题主要是研究在某些情形下几何空间会显示出某种特定的对称性。他们的证明是近几年来最大的数学成就之一。这个问题是齐默在20世纪70年代后期到20世纪80年代前期学术活跃期间提出的，现如今这个问题得到了解决。 一般而言，我们通常认为几何空间的维度越多，对称性特征也就越多。比如，你可以去比较二维平面上的圆和三维空间中的球：旋转球的方法就比旋转圆的方法要多得多。这就是因为球的额外维度使得球有了更多的对称性。 齐默猜想关注点主要是在某种特定类型的对称性，这通常被称之为高阶格(higher-rankttice)。这个猜想关注了以下问题：一个几何空间的维度是否会限制对这些类型对称性产生。 芝加哥大学的阿伦·布朗教授(aaron brown)。 赛巴斯提安·乌尔塔多·萨拉查教授(sebastian hurtado-szar)。 印第安纳大学的大卫·费希尔教授(david fisher)的最新研究表明，只要低于某一维度，某些特殊的对称性就不可能存在。 这也就证明了齐默猜想是正确的。 对称性是人们从孩提时期的数学中便接触到的几何学概念。通过动手分析，孩子们便知道由于对称性，图形可以旋转、翻转和平移，最后得到的图形和最开始是一致的。图形的这种在变化中保持不变的特性满足了某种内在特点——它揭示了宇宙法则中的某种深刻涵义。 在数学中，数学家们用自己特定的规范性语言来研究对称性。这种语言为他们提供了非常准确的方法来描述在给定的几何空间中所有不同的对称性。 比如说，正方形有八个对称变换——也就是说有八种方法可以将正方形翻转、旋转成原来的图形。而对于圆来说，圆按任意角度旋转之后仍然是圆；它有无数个对称变换。数学家把特定几何对象或空间所具有的对称性全部归类在一起，称之为“群”。 群原本就是非常有价值的研究对象。群通常会出现在特定几何空间的研究中，但是他们也会出现在非几何领域中。比如，数的集合也可以组成群。（比如说：考虑如下的对称性，例如给一个数+5或-5。） 齐默说：“理论上，各类事物的对称性都可以用群来表达。” 现在我们讨论的对称性和我们在小学时所学到的相差甚远。比如，参考格的对称性。最简单的格就是一个二维网格。在平面上，你可以将这块网格往上、下、左、右的方向平移任意方块的距离，然后得到一个它完全一样大小的网格。你还可以对网格内任何单独的正方形进行对称变换。这种有类似格的空间，一般而言会有无穷个多种多样的对称变换。 这种可以存在任何维度的空间里。在三维空间里，格就是一个个正方体，而不是正方形。在四维或更高维度的空间里，我们就无法画出这种格了，但是性质是一样的。数学家可以用自己的语言进行准确描述。齐默猜想的关注对象主要就是这些特定维度的。“如果你可以看到这些网格，这些奇怪的格会特别美丽。尽管我看不到。”乌尔塔多-萨拉查教授说，“我猜想如果它们能展现在我们眼前，他们的形状一定特别好看。” 齐默说：“由于在高维度的情况下，你由此得到的群会愈发复杂，问题的解决也就变得更加困难。” 当我们分析对称性的时候，我们所想象到的是，整个图形正在进行旋转，就像一个正方形按顺时针方向转90°。在一个比较微观的层级中去观察，对称性与点的运动有密切的联系。按对称性将空间进行变换意味着将空间上的每一个点移动到空间的另外一处。在这种视角下，将正方形顺时针旋转90°的真正意义是：考虑正方形上的每一个点，然后将它顺时针旋转90°，这样每个点就移动到了新的边上，这些点最终出现在与初始位置不同的边上。 或多或少的，我们都是用刚性的方式来进行移动。最熟悉的一些对称操作——通过对角线进行镜面变换，或者旋转90°——都非常刚性的。他们之所以刚性的是因为他们并没有对点进行扭曲。镜面变换前在顶角上的点在变换以后还是顶角上的点（只不过是不同的顶角），镜面变换前在边上的点在变换以后还是边上的点（只不过是不同的边上）。 但是，在实际上，还有很多更为灵活的对称变换类型，这也是齐默猜想所感兴趣的地方。在这些变换中，点会被最大限度的重组；他们在变换的过程当中不会完全遵循他们在变换前的位置关系。例如你可以将正方形的每一个点都围绕着移动三个单位——这还是满足了一个对称变换的基本要求，它将空间上的每一个点都移动到了新的位置。新证明的合作者艾伦·布朗借助球的模型来解释这种不受约束的变换方式。 布朗称：“你可以试着将球的南北两极向相反方向拉扯，球上的距离和点之间的距离会加大。” 当你在讨论一个网格时，除了平移平面中的网格，你还可以对网格进行扭曲，或者在某些地方进行扭曲，而在其他地方进行拉伸，这就使得转换后的网格不再与原来的网格完全重合。这些变换就没有那么刚性了，他们被称之为微分同胚。 在他的猜想当中，齐默有非常好的理由认为这种更为柔性的变换是有意义的。在20世纪60年代，格里戈里·马尔古利斯(grigory margulis)对在齐默的猜想当中涉及的这种高维格进行了研究。马尔古利斯也因为这项工作由此获得了菲尔兹奖。当要求只进行刚性的变换时，哪些空间可以由这些高维格转换而来，马尔古利斯给出了这种空间所有满足的条件。 因此，齐默猜想是对马尔古利斯研究的自然延伸。他便是开始于高维格架构变换得以实现的空间——马尔古利斯所找到的空间——并持续深入探讨如果允许不那么刚性的变换，也就是在放宽变换的条件之后，这个集合是否会进一步扩张。 在他们新的研究当中，三位数学家们证明了当高维格的放宽对对称性的定义以后，广义的对称性特征并没有本质变化。即使格进行不规则的空间变换时——比如剪切、弯曲、拉伸——高维格仍然被限制在它们所在的空间中。 费希尔说：“由于在这个问题上加了那么多的灵活性之后，你就有了一种直观的感受，这些高维格群能作用于任何空间上。所以，我们很惊讶的发现，答案是不对的。在某种情况下，他们不能作用于任何空间上。” 这几位数学家们在空间的维度和能作用在其上的高维格维度（或秩）之间建立了联系。他们证明了在通常情况下格的维度越高，空间的维度也应该越高，这样才能对格的对称性产生作用。在高维空间里，即使有非常好的空间变换灵活性，高维格的变换依旧受到高维空间的限制。 威尔金森说：“这就告诉了我们，空间将物体组合在一起会有一些非常基础的特性，这种特性使得他们能够产生这些变换。” 齐默猜想只是解决一个大问题的第一步。通过解决这个猜想，这个问题的研究者们对这些高维格能做用的空间给出了一个粗略的限制条件。下一步是更加宏伟的计划，研究者将关注在这些空间中格是如何出现的，接着将这些格在空间中变换的方法进行分类。 齐默说：“这项计划最后是要分清楚所有这些方法。在你目前所看到的问题之外还有更有趣的，有一些空间中，格是不能保持对称性的。但有趣的问题则远远超出了这些内容。” 第六百零三章 拓扑动力学(拓扑学) g.d.伯克霍夫开始研究拓扑动力学。 扑动力系统 topological dynamic system 又称抽象动力系统，是动力系统的一个组成部分。所谓拓扑动力系统，是指拓扑空间(一般是度量空间)上的动力系统。它通常包含流、离散动力系统、半流及离散半动力系统。主要是从拓扑的观点研究系统的不变集的结构及其轨道的性质。从20世纪70年代以来，由于微分动力系统研究的发展和深入，极大地推动了拓扑动力系统，特别是一维连续映射的研究，并取得了相当丰富和重要的成果。 拓扑动力学，是对运动进行分类的学问。 这里先分4类：1单个粒子运动的拓扑学；2多个粒子运动拓扑学，多体天体力学；3多粒子集群运动拓扑学，集群遥控或鸟类鱼群运动；4流体拓扑学。 1）这里先分第一个，单个粒子的运动。 单个粒子的运动可以先做几个分类。 匀速直线运动，是亏格为0 的运动。 抛物线运动、匀速圆周运动都是亏格为1 的运动。因为都是一个引力造成，而且匀加速直线运动也是1个亏格，因为等价于自由落体运动。这个亏格的洞就是地心，也是产生引力的中心。 如果是两个力产生的话，就有两个亏格了，这个很容易想到。 但是这里有个麻烦，就是力的合成会让这个不容易分辨。 在一个物体某种情况下，受两个引力拉动，会合成一个力，然后会暂时看做是一个亏格的，但是这不长久，因为物体移动的情况下会出现与一个力不同的变加速运动，还是可以看出这个两个亏格的。 至于三个引力、四个、五个等等就更好考虑的。 不同亏格之间，就是曲率的不同了，这个很容易想到。 一个星球的曲率就是单纯的引力场，而两个星球产生的引力场就是两个引力场，就是不同一个引力场的曲率了。 那么这个粒子在上面的运动状态也可以明显的的表示出来。 这里比较麻烦的就是复杂曲线的亏格了，需要从曲线上提取多个弧度，这些弧度都是对应不同圆的圆心导致的，这些也是这个曲线的亏格，这个亏格是圆周运动的圆心。 抛物线的亏格是无穷远点，这个很好像，因为它受力圆心在无穷远点，在不同位置受力都是同一个方向，亏格所在就在那个力指向的方向。 2）第二个的分类，比较复杂，可以拿二体问题先说说看。 其实刚刚的一个粒子运动的亏格严格是两个，因为粒子自身带质量，即使手里中心也是施力中心，但是为了简化先看成一个。 这个二体其实就是为了明确说是两个的。这两个粒子大小相同，排除外界力量，为了简单分析，就考虑相对之间的运动即可。 直接相互吸引是一个亏格为0的运动。 相互旋转成匀速圆周运动的理想状态，就是一个亏格为1的运动。 这里的亏格为1，与静态拓扑体和一个粒子的亏格1 的状态是等价的吗？这是一个需要严格探讨的问题。 想要弄清两个粒子亏格为1的问题，也需要弄清两个粒子亏格为2会是什么样子的。 假设两个粒子质量完全相等，并且绕对方做匀速圆周运动，那这个1的亏格是在两个粒子连线的质心上的。 如果这两个粒子不能按照匀速圆周运动的话，那就是一个简单椭圆运动了。这个椭圆就会有两个焦点。这个情况就相当于有两个圆心了，也就是亏格为2的情况了。 如果是三个亏格，情况就复杂了，我们假设这两个天体在做一个我们看着复杂，但确实一个动态平衡运动的状态。假如这个天体离某三个点距离和是个固定的值，那这个物体就是做复杂椭圆运动了，那亏格为三。 亏格为三是什么样的双体运动呢？ 这是一个极为只得深思的问题了。 这可以以亏格为二的双体运动作为出发点。 第六百零四章 埃尔德什的素数定理的初等证明 fbi一个探员找到了保罗·埃尔得什说：“我们调查过一个信件，你是不是跟中国的一个数学家保持通信状态。” 埃尔得什说：“是的，他是华罗庚，我问了他一些问题。” 探员说：“我们怀疑，你跟他国人私通，作出危害我国人的事情。” 埃尔得什说：“我可以把信件给你看看，我哪里会这么做？” 探员说：“我看过了，很多东西看不懂，我怀疑是加密内容。” 埃尔得什愤怒的说：“因为看不懂，你就怀疑我作出不好的事情。那是因为你的数学不好，看不懂公式而已，不是什么加密的内容。” 探员说：“你知道他国对我们都危险吗？选择在这个时候频繁通信，你是什么居心？我们从现在的处境中无法判断你到底还要作出什么事情来。” 埃尔得什说：“我现在要研究的问题，只有华罗庚具备相关知识，能为我解答一些东西。你看不懂，就认为我是加密通信，危害国家机密。你们难道没有人能研究出来，信件中文字是否具备危害国家的一种特殊的分析方法吗？你们这些人花纳税人的钱，就不愿意多动脑子？” 探员说：“那你在分析什么问题？” 埃尔得什说：“素数知道吗？” 探员说：“还说没有通敌？素数就是跟加密有关系的东西。” 埃尔得什说：“你听我说完。素数定理是不超过某个数的素数个数的定理。素数定理有些初等证明只需用数论的方法。这是我跟挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的深度。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。selberg-艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。” 探员说：“这根华罗庚有什么关系？” 埃尔得什说：“有些定理只有华罗庚掌握了，我是向他请教问题的。” 探员听得有些蒙，也不再审问埃尔得什说：“为什么使用坚深的数学证明，要用简单的初等方法？初等方法也很复杂。” 埃尔得什对探员说：“很多数学家原来不信，而现在初等方法有了效果，说明是可以的。同时数学中很多问题能化成初等方法也是很重要的。” 探员说：“我还是懂点数学的，为什么要多此一举。” 埃尔得什说：“因为数学要发展到现在，会涉及到自动化证明方法，而自动化证明方法，会用逻辑方法来证明，而这个本质就是把问题变成初等数学的过程。” 探员说：“看来数学里的东西还是不少。但是你还是要求被我国驱逐出境了，毕竟很多人都盯上你了，这也是未来我们安全而言的。我们担心你会泄漏我们国家的机密。这是麦卡锡本人说的。” 埃尔得什说：“我不在意了，反正我也没有牵挂，只要有数学，我去哪里都一样。” 第六百零五章 埃尔德什数 埃尔德什微笑的在咖啡厅喝着咖啡，望着眼前的新点的款式，他享受当下的每一个不同，而不要让习惯麻痹自己。 数学也是可以不同的，以前都精通数论领域，但是他今天想要挑战他不擅长的领域。 也是一种说不清道不明的理论。 一个人对埃尔的什说：“那个生物学家认识的人跟你的毕业论文有关系？那么到底有多少个人有这样的第二重关系了？” 埃尔的什说：“因为我文章多，所以关系不少了。” 那个人说：“可以做做这个无聊的工作我们看看你有多少的朋友的朋友。” 埃尔的什说：“就是朋友的朋友的朋友也可以呀。” 那个人说：“有何不可？” 两个人开始去找了，同时起名叫埃数。 由于科学家有时候会跨领域合作，有许多非数学家一样会拥有埃数，例如： 保罗·埃尔德什←→数学家daniel kleitman ←→遗传学家erder ←→其他遗传学家、染色体学家 保罗·埃尔德什←→数学家n d. taylor ←→政治学家steven brams ←→其他政治学家 保罗·埃尔德什←→数学家ralph p. boas， jr ←→统计学家john tukey ←→其他统计学家、生物学家、医学家 保罗·埃尔德什←→数学家伊万·尼云←→数学家samuel eilenberg ←→数学家marcel-paul schutzenberger ←→语言学家noam chomsky ←→其他语言学家 除此以外还有其他领域的相关数。 而此刻，埃尔的什敏锐的察觉到做这个工作的意义。 他开始思考，如何能让世界各个行业的科学发展的更快。当然是把他们联合起来。 埃尔的什这个有志向的数学家当然希望不仅仅是数学，就是其他科学也能快速的全面发展起来。 而这样的发展，当然需要把不通行业的各个学科给发展起来。 但是想要有效结合，就需要把人联系起来。 如果想要把人联系起来，就会需要埃尔的什数。 埃尔德什数（简称埃数）（erd?s number），根据现代匈牙利数学家保罗·埃尔德什，这个最多产的数学家命名，是描述数学论文中一个作者与埃尔德什的“合作距离”的一种方式。菲尔茨奖获得者的埃数中位数最低时为3。 保罗·埃尔德什的埃数是0，与其合写论文的埃数是1，一个人至少要k个中间人（合写论文的关系）才能与保罗·埃尔德什有关联，则他的埃数是k+1。例如：保罗·埃尔德什与a合写论文，a与b合写论文，但保罗·埃尔德什没有与b合写论文，则a的埃数是1，b的埃数是2。 有贝肯数：以演员凯文·贝肯为中心，以是否一起演出描述与凯文·贝肯的距离，也因此产生着名的游戏：六度空间（six degrees of kevin bacon）。少数人同时拥有埃数与贝肯数，例如danica mcker，她的埃数是4，贝肯数是2；daniel kleitman的埃数是1，贝肯数是2，是已知数字最小的。 秀策数：围棋中用来描述玩家和棋圣本因坊秀策之间的距离。 stringfield数：描述幽浮学的研究者与第一位幽浮学家leonard h. stringfield之间的距离。 埃尔的什说：“现在只是初级的水平，以后肯定会变成一个人极其重要的学科的。” 那个人说：“何以见得这不是一个无聊的游戏呢？” 埃尔的什说：“任何一个现在看似简单的无关紧要的东西，最后一定会发展成更好更复杂更有用的东西。现在是初等埃数论，以后会有高等埃数论。而且对社会贡献巨大。人类甚至脱离不了这个理论的影响。” 那个人细想，认为有理。 他说：“所以很多现在看似玩闹的小东西，以后都会发展成学问。” 他一边说，一边觉得有很对学问可能跟其他学问相互吻合，殊途同归而已。 第六百零六章 埃尔德什－莫德尔不等式(不等式) 莫德尔对埃尔德说：“我发现三角形的一个有趣定理。” 埃尔德什说：“我好久没有研究过几何学了。” 莫德尔说：“对于任何三角形abc和其内部的一点o，点o到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点o到三角形的三个顶点的距离之和的一半。” 埃尔德什想到几何中欧拉定理有一个也说三角形内外心半径的问题，一般是外心半径大于内心半径2倍，而莫德尔的这个发现，更有一定精确性。 埃尔德什说：“这相当于是几何欧拉定理的推广，o点在三角形内部是这样的，在三角形外部是怎样的？这个还符合吗？” 莫德尔说：“不符合了，离远一点，你就能想到。” 埃尔德什一想那个样子，便满意的点点头。 第六百零七章 柯克曼女生问题(图论) 1850年，英格兰国教会神父柯克曼在闲暇时间提出一个数学问题：“学校有15名女生，每天3人一组出去散步。要保证每周的7天内，任何两人都有一次同组的经历，但也只能有一次同组经历。请问如何办到？”，这就是柯克曼女生问题。 在现代数学家看来，这类问题最好的办法把他们看成超图——一堆三个节点或更多的节点组成的集合。15个女生就是节点，三人同组就看成这三个节点用三条线段(图论术语会说三条边)连接成的三角形。 柯克曼女生问题实际上就是问，有没有一种三角形的排列，把这些女生节点连接起来，并且，这些三角形还不能共边。共边意味着两个女生被同组安排了两次。题设要求的安排意味着女生们每周都能相聚一次，而每一天都是和新朋友一起散步。 柯克曼提出这个问题之后，近200年来，无数相关问题吸引和困扰着数学家。 1973年，传奇数学家埃尔德什提出了一个类似的问题。 他问能不能构造一个超图，这个超图拥有如下两个看似矛盾的性质。 性质一，任意两个节点都恰好被一个三角形包含，就和之前的女生一样。性质一要求了三角形要非常的密。 性质二要求三角形要以某种精确的方式铺得足够广(具体的说，就是任意拿出几个三角形，三角形占用的结点数要比三角形本身的数量至少多出三个)。 ”这有点矛盾，这些物体的布局你既要求局部上稀疏，又要求整体上稠密。“加州理工学院的数学家康隆(david conlon)如是说道。 2022年 1 月，四位数学家通过一份长达 50 的论文，证明了只要节点足够多，总是可以构造这样的超图。伯明翰大学的数学家罗(an lo)说：“为了得到这个结果，他们用的办法的技术性程度令人惊叹。”康隆也说：“这是一个非常优秀的成果。” 研究团队建立了一个满足埃尔德什苛刻要求的系统方法，该系统方法从一个随机选择的三角形的开始，极其小心地设计以后续过程以满足他们的要求。“证明里那些复杂困难的分支情况的数量是非常惊人的。”康隆说。 他们的证明策略是从一个三角形开始，细致的构造这个超图。举个例子，你可以试想一下我们提到的15个女生，然后两两相连做线段。 我们需要从这些线段上描出我们需要的、满足条件的一堆三角形： 第一，任意两个三角形不共边。(满足这样条件的系统叫做施泰纳三元系) 第二，让每个三角形的子集占用足够多的节点。 数学家们对此有个通俗的类比。 现在假设我们不是在描三角形，而是在用乐高积木建造房屋。 你建造的前几个房子非常宏伟、坚固和精致。 你建好这些后，就把它们放在旁边备用。数学家把它们称为”吸收器“。 现在，用剩下的乐高积木继续随意的建造房屋。 当剩下的乐高积木越来越少的时候，你会发现一些散落的积木，和一些搭建不完善的房屋。 这个时候，你可以从吸收器上抽出几个积木块，用在不完善的建筑上。 因为吸收器非常的坚固，抽出一些积木不会导致严重的后果。 施泰纳三元系中，你的构造的房屋就是吸收器。 吸收器在这里就是精心挑选的线段(边)。 如果发现无法把剩余的三元组搭建成满足条件的三角形时，可以使用吸收器中的线段进行调整。当你做完这些调整后，吸收器本身也融入到了各个三角形之中。 吸收器的办法有时会遇到阻碍。 但是数学家们修补了这个问题，他们找到了一种新办法绕过这些阻碍。 比如，有一种叫做迭代吸收器的，它将线段划分成嵌套集合序列，于是每个吸收器都是会为下一级迭代服务。 ”十多年来，进步巨大，“康隆说。”这已经是某种艺术形式，如果看成艺术，他们展示了一个非常高级的艺术。“ 即便有了迭代吸收器，埃尔德什问题也依旧很难。”这就是问题没有得到解决的原因“，论文其中一个作者索尼(mehtaab sawhney)说。 比如，在迭代吸收的其他应用中，一旦你完成了一个集合的构建——无论是三角形、泰纳三元系，还是其他结构——你可以认为事情告一段落并扔在一边。然而，埃尔德什的条件要求让这四位数学家不能这样做。有问题的三角形很容易触及多个吸收器的节点。 “一个你在500 步前选择的三角形，你需要以某种方式记住，并知道如何处理它，”索尼说。 这四个人最终发现，如果他们选择的三角形足够精细，他们就可以绕过每一个小问题。“最好的办法是考虑每个由 100 个三角形组成的子集，并保证以正确的可能性挑选三角形，”索尼说。 论文的作者们乐观地认为，他们的这个方法可以推广到别的问题。他们已经将他们的方法应用于一个关于拉丁方的问题——一个简化版的数独问题。 除此之外，还有几个问题最终可能被吸收器方法解决。“组合学中，尤其是在组合设计论中，随机过程是一个非常强大的工具。”其中一个也是关于拉丁方的问题叫做ryser-brualdi-stein 猜想，自 1960 年代以来一直没有解决。 智利大学的数学建模中心的副主任斯坦恩(maya stein)说，虽然吸收器方法可能需要进一步发展才能解决这个问题，但自 30 年前方法建立以来，它已经走过了漫长的道路。“看到这些方法是如何进步和丰富起来，真是人生一大幸事。” 第六百零八章 王元讨论超越曲线 特洛特说：“我在想他们这种是直线、双曲线、原函数、抛物线等都难以合成的函数了。搞不好有可能是更加复杂的椭圆函数，里面包含的都是一些复杂的积分曲线。” 特洛特说：“我们先排除几个，直线、圆、三角函数曲线、对数曲线。” 周海中说：“飞机在空中飞的是三维的曲线。” 王元说：“我们已经考虑过了，看出了投影的二维，这些都可以计算。速度够快的火力可以抵消来自立体产生不同远近的结果。” 周海中说：“下悬线吗？” 王元说：“目前下悬线还是按照双曲线去解决的，约翰伯努利和牛顿都可以解决这个问题，我不认为这里会有小的变动。” 周海中笑着拜拜手说：“小变动或许是失败原因的。” 王元这时拿出一个玻璃杯，将手中的大桶可乐往杯子里倒，在可乐倒满之时，埃尔德什缓慢的降低流出可乐的速度。 周海中看到杯子已经倒满，而埃尔德什还在缓缓的往里倒，大声的喊：“满了，满了。” 王元不理会周海中，继续认真的往已经满了的杯子里细细的倒入可乐，这时看到水面形成了上凸的形状，而且凸的越来越大，旁人的人都看着这惊人的一切，从来都没有见过水可以在杯子里凸起这么高。 水面高出，快变成了半圆，王元小心的将可乐一滴一滴的往水面上轻轻的倒，之间一滴滴的可乐水占到水面上就散开的球面上，形成了一个新的面。 水面的凸出十分的显眼，感觉稍微变动一下，就会破裂迸出。很久才看到王元停下手来。王元指的水泡对周海中说：“你以为我不同下悬线吗？这就是下悬线。” 说完，用牙签沾了一滴可乐，将牙签上的水滴滴到呈圆面形状水面上，水面然后炸裂了，高出杯口的可乐溅了出来。 众人十分惊讶的赞叹眼前这一切。 特洛特说：“那圆锥曲线方程中的椭圆方程和双曲线方程都研究过吗？” 王元说：“椭圆方程我们早就成熟了，而且要在宇宙飞船中用到，在多体引力情况下都会出现近似于混沌的曲线。我们对行星轨道线都研究过，都可以适用于太空中星体的运动。虽然不精湛，但是几乎可以排除那样的运动。” 周海中说：“为什么可以排除？” 王元说：“因为太大了。” 周海中抓着不放说：“虽然没有进入星际太空做大型运动，但不能不考虑在混沌作用下的飞行轨迹是十分复杂的，也难以计算。” 王元说：“我明白你的意思，但是根据亨利庞加莱截面可以推算出这样的概率。” 周海中说：“推算不出来怎么办呢？” 王元说：“那就不是你说的那种混沌吸引子曲线了。” 周海中笑着点了头，周海中继续要说，被埃尔德什打断：“三体混沌，双摆线我们都在分类，而且这些也是我们的软肋，但是如果外星人熟练使用了混沌曲线的话，我们应该可以推算出来。” 索伊费尔说：“布朗运动也是可以考虑的。” 王元说：“没错，布朗运动也有很高的价值。” 特洛特说：“最速下降线或者等时间降线能用的到吗？” 王元说：“如果做省时间下降弧线运动的话，最速下降线在某些情况下可以使用，但是敌人往往不是为了省下时间的。当然我们在其他地方会应用到这些轨迹的。” 特洛特说：“难道会有椭圆曲线吗？” 王元说：“说起椭圆曲线这样的东西，它的用途已经远超过想像，在数学里它具有统一整个数学的性能。” 特洛特说：“椭圆函数做为加密算法上就有难以反推的功能，敌方是否能够使用这样的技术。我认为这种可能性是很大的，如果敌方科学技术如此发达，可定在数学上有着一定的造诣。” 王元说：“椭圆函数是在椭圆曲线上求弧长积分得来的，说不定也可以在求三次或者四次方程弧长的方程也会对此有帮助。” 索伊费尔说：“同样不要忽略了对螺线的研究，毕竟很多昆虫也是以螺线来运动的，而且螺线十分优美，有很多不错的数学性质。” 索伊费尔说：“希尔伯特曲线倒是可以遍历所有交流。” 特洛特说：“椭圆方程的概念就是离两个点距离和相等的轨迹，其实还可以拓展成离两个店距离乘积相等的轨迹，这就又有了双扭线。” 索伊费尔说：“并且椭圆方程等是两个焦点，我们还可以有三个焦点的更加复杂的曲线，并且还有丧心病狂的三角点三纽线，甚至是多焦点圆，简单的都是卵型线，复杂的，我都不敢往下想了。” 王元说：“我希望有人能往下想，洛马公司可以给这种人出高工资。而且还不能完全忽略超椭圆线。” 特洛特说：“除此以外，我们还有从其他概念切入，花瓣线和花叶线” 周海中说：“说起花瓣和花叶，倒是可以用分型结构弄出来，分形线的研究怕是难以断绝的。分形的方程不那么难，却有很多令人难以置信的形状出来，只需要改动一下方程组的参数，然后就做一个单纯的放大和缩小就可以找到各种不同的形状，这些形状我们都研究不完。” 王元说：“没错，而且这样的研究需要与以往的角度不同，而且需要更多的耐心才行。” 索伊费尔说：“如果所料不错，对曲线的研究肯定也对炮弹轨迹有很大帮助。” 王元说：“没错，我们打出去的炮弹有着复杂的轨迹，也不容被格瑞星人拦截。” 特洛特说：“极坐标方程曲线肯定少不了，比如心脏线极其长度表示的曲线。” 王元说：“极坐标还可以有更多其它精彩的曲线。” 周海中说：“当然还有勒让德曲线、贝塞尔曲线、这些都是微分方程的解，也有一定的复杂性，所以一定也要这种曲线。” 王元点了点头。 周海中说：“经济学中的需求曲线、力学中的应力应变曲线、流体力学中流体曲线、统计学中的高斯曲线、傅立叶分析曲线、光学包络线的反射焦散曲线。这些是不是也可以加上？” 王元皱眉头说：“虽然你说得这些都是曲线，但是总是感觉到别扭，经济学里得曲线有事另外一种难以描述的复杂了，你确定这些对研究飞行器的轨道有帮助吗？” 周海中说：“你的放开自己的思想，不能画地为牢，说不定你就是败在这样的轨迹上的。除了经济学曲线，力学应力曲线谁一般能想到，往往变态的线更容易躲避对方的瞄准和拦截。” 王元还是摇摇头，表示不能接收这些古怪的理论。 周海中拿起一支笔在一张纸上随意乱画了一堆线对周海中说：“这样的线或许有用。” 王元不屑的说：“看来你有回去了，你这样做就好比手拉着操纵杆胡乱的拉，跟我刚刚说的人体随机性没哟太大区别了，而且弄不好还毁坏飞行器。” 特洛特说：“还可以是阿涅西的女巫”的曲线、埃尔米特曲线、轮线线、渐伸线、渐屈线。” 王元说：“这些听起来还差不多，最起码曲线有定义，我们变着花样的定义曲线也是很好的思路。定义代数簇这种基本曲线，我们就可以组合了。” 索伊费尔说：“我们也要了解微分几何中的测地线。起码我们也是在引力场中，说不定交战的时候会到电磁力场。” 王元说：“在某种程度上力就是数学，力学就是几何学。” 特洛特说：“一些连续与不连续的曲线，还有无穷长度处处不可微的科赫连续线。当然这种怪异的曲线对格瑞星人飞行的轨迹有借鉴意义。” 周海中说：“我知道你可能不爱听，一些特征信号曲线虽然不是标准定义，但是也是一种可以进行对应的控制的数字，统计来的曲线或许可以直接让飞船做一些怪异的飞行。” 王元点了点头说：“椭圆曲线中的极线、精确率召回率pr曲线等等。今天就到此为止，以后我们将会创立全新的代数簇力量，研究和收集我们所了解的曲线，然后加载在我们电脑上，让战斗机根据这些各种曲线的信息能够完成协同瞄准作战和规避逃脱敌方的火力。” 第六百零九章 最脆弱的素数(数论) 1978年，数学家发现了一种十分“脆弱”的素数，任意改变其一位数就会变成合数，它们被称为“易损素数”。 近期，数学家找到了更多的“易损素数”，而这一概念也被再一次扩展…… 让我们来看看以下几个数字，试试看能否发现它们的特别之处：、、。 你可能会注意到它们都是素数（只能被自己和1整除），但其实这几个数的不寻常之处远不止如此。如果我们选取这几个数字中的任意一位进行更改，新得到的数字就成为了一个合数，比如将中的1改成7，那么得到的数字就可以被7整除，改成9，则可以被3整除。 这些数字被称为“易损素数”，它们是相对较新的数学发现。1978年， 数学家默里·克拉姆金（murray mkin）提出了这一类素数的猜想，之后迅速得到了有史以来发表论文数量最多的数学家保罗·埃尔德什（paul erd?s）的回答，他不仅证明了易损素数确实存在，而且证明了它们的数量是无限的。后来，其他数学家进一步扩展了埃尔德什的结果，其中就包括菲尔兹奖章得主陶哲轩，他在2011年的一篇论文中证明了易损素数之间是呈“正比例”的。这意味着，随着素数本身变大，连续两个易损素数之间的平均距离保持稳定。也就是说，易损素数并不会变得越来越稀少。 在近期发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的迈克尔·菲拉塞塔（michael fseta）更进一步地阐述了这一观点，并提出了一类结构更为精妙的易损素数。 他受到埃尔德斯和陶哲轩工作的启发，设想将一个无限长的前导零串作为素数的一部分，就像数字53和…0000053的值是一样的，那么如果改变一个易损素数前无限的零中的任意一个，素数会变合数吗？菲拉塞塔假定这些数字是存在的，并将其称为“广义的易损素数”。 2020年11月，他与研究生耶利米·索斯威克（jeremiah southwick）共同发表了一篇论文来探究这些数字的性质。这项结果得到了乔治亚大学数学系教授保罗·波拉克（paul pock）的盛赞。 显而易见，这样的数字比原来的易损素数更加难找。波拉克说：“是一个易损素数，但并不是一个广义上的易损素数，因为如果我们把…000变为…0，得到的并不是合数，而是另一个素数。 事实上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以内的所有整数，也没有在十进制下找任何一个广义的易损素数。然而，这并没有阻止他们继续寻找的脚步。 经过不懈的探索，他们证明了这样的数字在十进制的情况下确实是可能存在的，而且还会有无穷多个。更进一步，他们还证明了广义的易损素数同样是呈正比例的，就像陶哲轩的结论那样。之后，在索斯威克的博士论文中，他在2、9、11和31进制上获得了相同的结果。波拉克对这些发现印象深刻，他说：“对于这些数字，你可以做无限多可能的改变，然而不管你做哪一个改变，你得到的始终是一个合数。” 证明过程主要依靠两种工具，第一种被称为覆盖同余（covering systems），是由埃尔德什在1950年发明的，目的是解决一个数论中的问题。索斯威克说：“覆盖同余能够提供大量的分组，同时保证每个正整数至少在其中一个分组中。”例如，如果将所有正整数除以2，我们就能得到两个分组：一组偶数，一组奇数。这样即可“覆盖”所有的正整数，而在同一组内的数字则被认为彼此是“一致”的。当涉及的数字量十分大时，也就是面对寻找广义易损素数时，情况会显得更为复杂。我们需要更多的分组，大约个，在这些分组内的每一个素数都要保证，在增加了任意一位的数字，包括前面的零之后，能够变成合数。 但为了找到广义的易损素数，这些数中的任何一位数字减少后，也必须变成合数。这就是第二种工具，称为筛分法。筛分法最早可以追溯到古希腊，它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数个数限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一个筛分参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的组中取素数并减少其中的一个数字，会有呈正比的素数变成合数。换言之，广义的易损素数也是呈正比的。 然后，在一月份的一篇论文中，菲拉塞塔和他现在的研究生雅各布·朱伊拉特（jacob juillerat）提出了一个更加惊人的观点：存在任意长的连续素数序列，其中每个数字都是广义的易损素数。例如，有可能找到10个连续的广义易损素数。但这必须得检验大量的素数，菲拉塞塔说，“这一数量可能比可观测宇宙中的原子数还要多。”他把这比作连续10次中彩票，虽然概率特别小，但是依旧是有可能的。 菲拉塞塔和朱伊拉特分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们使用覆盖同余来证明存在一个包含无限多个素数的分组，分组内的所有数字都是易损素数。在第二步中，他们应用了丹尼尔·邵（daniel shiu）于2000年证明的一个定理：在所有的素数中，存在任意数量的连续素数属于上述的分组中。这也就能够进一步说明，这些连续的素数必然是广义的易损素数。 达特茅斯学院的卡尔·波默朗斯（carl pomerance）非常喜欢这些论文，他称赞菲拉塞塔是应用覆盖同余的大师。同时，他还指出，用十进制来表示一个数字可能会很方便，但这并不符合数字的本质。他认为，还有更基本的方法来表示数字，比如梅森素数的定义——素数p的表现形式为2p–1的素数。 在之前的研究基础上，最近的一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。比如，每一种进制下是否都存在广义的易损素数？当在两个数字之间插入一个数字，而不是仅仅替换一个数字时，是否会有无穷多的素数变成合数？ 此外，波默朗斯还提出了另一个有趣的问题：当数字接近于无穷大时，是否所有的素数都会变为（广义）易损素数？这是否也就意味着，非（广义）易损的素数个数是有限的？尽管他和菲拉塞塔都还没有想到办法来证明这个猜想。 波默朗斯说：“数学研究的魅力就是你事先不会知道你是否能够解决一个具有挑战性的问题，或者这个问题是否是有意义的。就像你不能提前决定：今天我要做一些有价值的事情，因为你不知道在数学研究中，什么事情才是有价值的，你只能去不断思考，不断尝试。” 第六百一十章 埃尔德什－格雷厄姆问题(数论) 公元前1650年左右的古埃及数学典籍《莱因德数学纸草书》，其中记录了古埃及人如何将有理数表示为单位分数之和。 这里有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36} 10个数字组成的一个数集，我们可以选择其中的2、3、12、18、36，就能得到1\/2+1\/3+1\/12+1\/18+1\/36=1。 单位分数就是分子是1的分数，或者也可以说是正整数的倒数，它们是当时古埃及数字系统中唯一一类分数，他们需要用单位分数来表示其他更复杂的分数，比如将3\/4写作1\/2和1\/4的和。 到了20世纪70年代，有关这类分数的问题再次引起了一些数学家的兴趣。当时，数学家埃尔德什（paul erd?s）和格雷厄姆（ronald graham）在探索想要设计出不满足条件的整数集有多难，也就是说，一个整数集中不能有任何子集，其倒数之和等于1。 如果a是n的子集，a具有正密度，那么存在有限的s是a的子集，使得其中数的倒数和为1。在此，数集a是自然数集的子集，无论你怎么数下去，都存在一种非零的概率，会遇到集合a中的一个数字，那么a就具有正密度。 猜想提出约半个世纪后，牛津大学数学家thomas bloom证明了它。 举个简单的例子，a是一个包含所有大于1的奇数的集合，它属于自然数集的子集，并满足正密度的条件，因为无论你数到10亿还是100亿，也一定会遇到奇数。然后，我们可以在a中找到有限子集s ={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有这些数的倒数相加恰好等于1。 这理解起来并没有那么困难，但证明它显然就变成另一回事了。那就变成了一个大得多、复杂得多的问题。对不少数学家来说，似乎找不到什么显而易见的数学工具来解决它。 数学家ernie croot，他解决了所谓的埃尔德什-格雷厄姆问题的着色版本。 这是一种更弱的证明。可以这么理解，在着色版本中，整数被随机地分类，指定放到不同颜色的桶中。猜想预测，无论这种分类中用到了多少个桶，至少会有一个桶包含一个倒数之和等于1的整数子集。 croot这篇发表于2003年的论文引入了来自调和分析的强大的新方法，那是一个与微积分密切相关的数学分支。 着色版本和密度版本非常相似，但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中，整个数集a被分成了不同的“桶”，具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是，有一个“桶”里的数字满足条件。这正是croot在论文里构建的证明，表明了至少会有一个“桶”里包含足够多具有低素因子的数字，用数学术语来说就是光滑数（smooth number），从而满足定理。 这可以看作证明的一条捷径，但在密度版本中，这样的捷径并不存在。当bloom看到这篇证明后，却认为这种方法要比人们普遍认为的更强，那实际上证明了密度问题的一个特例。bloom谦虚地表示，他所做的“只是又推了一下那扇已经打开的门”。 粗略来说，先前的证明依赖于一类被称为指数和的整数。指数和可以分成两个部分，分别是优弧贡献，也就是我们可以明确计算并且很大的部分，以及劣弧贡献，也就是我们不知道如何计算，但能证明很小的部分。 先前证明的巧妙之处在于，croot想到了一种思考劣弧贡献的新方法，把它变成了一类不同的问题。他没有试图计算数值，而是研究了这个集合中倍数是如何沿着数轴分布的。 在此基础上，bloom将它进一步改进成适用于密度版本，进行了更多“局部”处理。在bloom的新论文中，他将自己的方法解释为“croot引入的方法的一种更强形式”。 同时，bloom没有直接寻找倒数之和为1的答案，而是先找到了倒数相加更小的数集，然后再把它们当作“零件”，最终构建出想要的答案。这进一步帮助简化了过程。 bloom的新证明受到了许多数学家的赞赏，但这显然不是数集与和的问题探索的终点。 数论一直在寻找数字中的隐藏结构。当数论学家遇到一种似乎无可避免的数字模式时，他们会不断测试这种模式的稳定程度，探索它的边界和极限，从而挖掘出埋藏在数字中的新信息。 在过去20年间，组合与分析数论都有了很大发展，让数学家能够以全新的视角看待许多古老的问题。同时，在计算机的帮助下，以更严格的方式检验证明也成为可能。 第六百一十一章 随机性有时也能让数学更容易(概率论、算法学) 随机性似乎使得数学命题的证明更困难。但实际上，经常会让事情更容易 在数学家可用的所有工具当中，随机性似乎没什么用处。数学具有逻辑性和严谨性，它主要的目标是在浩瀚的对象“海洋”中寻找秩序和结构。正是因为数学世界不是随机的，整个数学宏伟目标才有可能实现。 然而，最近《量子》杂志的一篇文章《随机表面隐藏着错综复杂的秩序》（random surfaces hide an intricate orde）涉及到了一个新的证明。 在这个证明中，随机性使得一切变得不同。 证明结果还包括到在随机构建的几何空间上绘制的棋盘样图案。 该证明的作者发现，几何空间中的随机性使棋盘样的图案更容易描述。 巴黎第十一大学数学家、该论文合着者尼古拉斯·库里安(nics curien)也说道，“令人惊讶的是，引入随机性能让你做更多的事情”。 事实证明，随机性在很多方面对数学有帮助。 例如，数学家通常想要证明具有某种性质的对象存在，例如具有某种对称性的几何体。要解决这些存在性问题，最直接的方法是寻找一个具有对应性质的对象，但这需要一些运气。“我们很难展示出一个具有相关属性的特定对象”，菲尔兹奖获得者马丁海雷尔如是说道，他的领域涉及随机过程。 抽象概念可以引导一些在科学和数学中有潜力的想法。下面与我们一起来看看吧。 如果一个问题不太可能直接解决，那么人们可能用间接的方式尝试间接解决。例如，如果您在考虑某一类型的对象的存在性，你可以这样思考:随机选择其中一个对象，则选中一个具备所需性质的对象的可能性要大于0。这种“概率方法”是数学家保罗·埃尔德什（paul erd?s）开创的。 随机性也可以用来寻找非随机的固定路径。最近关于网格上棋盘式图案的证明就是这种情况。研究人员对一种叫做渗流模型的过程感兴趣。在这个过程中，您想知道如果仅在一种颜色的点上移动，那么观察点在什么条件下可以从网格的一侧移动到另一侧。 当你根据确定性的规则——沿着规则网格的严格确定的线——绘制这样的路径时，路径中后续的每一步都被之前的每一步所约束。对于一个复杂的网格，此要求是一个负担。这类似于俄罗斯方块拼图中的前几块比较容易放置，您可以把它们放在任何您想放的地方，但之后方块的放置就难很多，因为它们必须符合您已经放置的所有方块。 然而，当您的路径随机进行时，您不必担心您过去走过的每一步。从某种意义上说，每一步都像第一步一样自由：只要掷硬币决定下一步去哪里。 数学家试图利用这个事实。用一种叫做被称为kpz公式的推导关系，将随机网格的结果转换为确定性的结果，反之亦然。“在这样的理论下，这意味着你可以随意在确定环境下计算或者在随机环境下计算”，布兰迪斯大学数学家、论文合着者奥利维耶·伯纳迪如是说道。这一新的工作与以前（更难证明的）关于在规则网格上渗流的结果是一致的，这也使kpz公式得到了验证。 如果一个数学问题比较简单，那数学家可能不需要使用随机性。但对数学家而言，大多数重要的数学问题都很难直接回答了。“这可能是显而易见的，但我还是重申一下，在大多数情况下，对于数学或理论物理方面的问题，如果不借助一些工具，直接回答是不可能的”。纽约大学数学家保罗·布尔加德（paul bourgade）如是说道。“我们只是没有解决问题的工具”。在某些情况下，随机性使事情变得更松散，足以问题的解决成为可能。 第六百一十二章 本原集猜想(集合论、数论) 一个正整数集合a如果里面任意两个元素都都没有一个是另外一个的倍数的情况发生，那么我们说这个这个集合叫做本原集。 比如如果a是所有质数组成的集合，那么a是本原集。 对于一个正整数，如果它所有非本身的因数之和等于其本身，这个数叫做完美数。 比如6非本身的因数有1，2，3，这三个数加起来正好是6，所以6是一个完美数。另外28也是完美数。 如果a是所有完美数组成的集合，那么a是本原集。 如果a是本原集，我把a中的每一个数n都取出来，计算一下对应的 n·ln(n)的倒数，再把所有的这些倒数加起来，这样会得到一个计算结果： 1935年，埃尔德什本人证明了f(a)有一个统一的常数上界。 1988年埃尔德什猜想，当a取所有质数的时候，能得到最小的上界。就是说，下面的不等式成立。 李奇曼(jared duker lichtman)2022年证明了这一猜想，他的导师梅纳德(maynard)看到后说了一句：“这运气也太好了吧。” 第六百一十三章 四元数破解黎曼猜想的思路 吴俊喝了一口咖啡说：“你不是学数学的吗？费马大定理猜想的证明过程好像就是数学家们在咖啡厅里讨论出来的，因为咖啡能提神。” 埃尔德什喝了一口咖啡，想了想，数学家们确实经常在咖啡厅讨论问题，有了灵感才回去计算，吴俊说的有道理，然后接着问：“你现在有什么灵感？” 埃尔德什笑着说：“我想弄清黎曼猜想是个什么东西，看能不能证明它。” 埃尔德什确实没有看懂他数学书中黎曼猜想的含义，仅仅是好奇，不知道质数分布、欧拉金钥匙方程、泽塔函数、复数域这些之间会有什么关联，更不知道泽塔函数上一个负二分之一的轴线上的点的分布会有什么意义，为什么会让很多数学家沉迷其中。 埃尔德什果然开始去思考这个问题，开始拼凑起这些东西来，心里还不肯定自己是否真的懂，但是比起以前还是明白了很多。 质数的分布规律跟泽塔函数上非平凡解的实数的解的分布有关系，为什么都在那个负二分之一的轴上分布，为什么这种分布跟自然数里的质数的分布还能有某种关系，尽管这需要做一个复杂的积分关系。 埃尔德什皱眉自言自语的说：“如果知道每一个那样的解都一定只在那个轴上？” 然后埃尔德什翻开书来看，看到了很多个数学家多年没发现有脱离那个轴线的解。 埃尔德什又合上了书，他在想，既然泽塔函数是按照自然数的排列来的，而质数理所应当的包含在自然数之内，那在一定程度上，泽塔函数身上会包含这种带质数分布的一些特质，这就是泽塔函数跟质数联系起来的魅力之一，而用其它数字的分布，一个自然数的分布，一个质数的分布，等差数列，等比数列，随机分布数列，随机二进制分布数列，脑子里似乎在摆脱自然数以及含在其中的质数的分布。 吴俊看到埃尔德什在皱眉思考，觉得他应该要寻找破解黎曼猜想的能力，正在纸上写着公式。 埃尔德什说：“你说的是椭圆曲线这样的，可黎曼猜想是级数。” 吴俊说：“级数可以解析延拓成一个函数，可以以此作为复变函数的出发点。” 埃尔德什说：“如果弄成复变函数做好了，就可以根据泽塔函数的洞的个数或者是分布，来破解黎曼猜想中非平凡解在一个直线上的事情。这跟破解费马的方程有没有有理点的问题，不太相同吧，最起码问法是不一样的。” 吴俊说：“或许不一样，但是还是希望在这个有趣的领域里探一探，说不定会有发现。” 埃尔德什的心中一切都成为了投影，一个事物，经过扭曲的投影变化之后，都会变成一个极为简单的计算公式，要说这些都是一回事，埃尔德什还真的难以理解。 泽塔函数在埃尔德什的脑海里滚动，已经不仅仅是某个截面，而是个整体，他惊叹的看着这个极为美丽的结构，一个调和级数的极为复杂和精美的东西在复杂的复数域世界里在不同角度下变换，当然这个变化是不损害结构的那种。 埃尔德什说：“模理论如此奇怪，在计算中只是取余数，这个余数却能在函数中变成奇异的对称的万花筒？模是计算，怎么会变成如此优美的令人惊叹的图案，还在在高维空间中的难以想象的，甚至只能用投影来看？” 吴俊说：“模可以看做是一个周期。或者分型中自然是有双周期结构的，只是没有单位了，可以取很多种不同的单位，那些单位会用复杂的方式合成一个复数域里的环状结构，要找各种方法去合成，而且变化不同的区域，找到了一定的规律就可以去合成了这种环状。” 埃尔德什说：“去想圆环的截面的方式吗？” 吴俊说：“没错，是一种极为复杂的截面。” 埃尔德什说：“能想泽塔函数的多个变化，但是挑不出质数这个坎，质数似乎代表着永远的位置，就像难以驯服的烈马，不论数学家们有何等的力量，都驾驭不了这个疯马。” 吴俊笑着说：“我们不论怎么研究数学，只要是跟数字有关的，那就离不开自然数，当然就离不开质数。有了结果，或许会有很多帮助。” 陆遥说：“弄清这个猜想就是为了破解现有的密码系统对吧，那样全世界很多的密码系统，我们就可以快速破解了吧。” 吴俊点了点头。 陆遥说：“不错，很有意义。” 埃尔德什脑子里可以看到高维空间的复变函数，对黎曼猜想的排列有了新理解，可以变换函数坐标，理解各种形状级数，他心中可以看到级数的形状，把这个形状都运用的密码学中，他可以破译所有的密码，不仅仅可以破解，而且还可以去组建一个宇宙级的区块链系统，让一切人和事物之间的运用都用密码学的原理来沟通和协作，可以少有的人为干预。 埃尔德什试图想要理解奇异函数的变化，对坐标改变，图形依然在大脑。 埃尔德什假设了一个级数，这个级数也有一个非平凡零点，实数也都是在一条线上，而且这些点的分布都是等间距的，跟泽塔函数的点的分布不同。而这个级数埃尔德什还没有发现怎么去写，埃尔德什只是假设它是一个级数，以此来猜测这个排列还是不是自然数，还是否有跟自然数之间的联系，这种排列是否跟质数的联系，这对于破解黎曼猜想是否有作用。 吴俊跟埃尔德什说：“你要突破四元数域吗？” 埃尔德什缓缓的点头，然后在想着泽塔函数那个自变量变成四元数的样子，同时脑子里有着高维空间的样子，复数域里是四维空间的化，那他此刻的四元数域已经是一种八维空间的样子，他的脑子里可以熟练地出现那个流形，而不需要去想投影来推敲。 吴俊对埃尔德什说：“有一种感觉吗？” 埃尔德什说：“我在找一种不符合自然数的特殊排列。” 吴俊说：“那不是特殊排列，自然数才是特殊的。” 埃尔德什说：“需要用一种基本群排列才可以，先对基本群进行分类，之后再做排列，那么这里面的素数分布肯定会不一样，那就会出现本质上与泽塔函数不同的流形。” 第六百一十四章 陶哲轩破解埃尔德什差异问题 埃尔德什差异问题就是：对于任意一个1和-1随机组成的数列，必然可以取其中的位置为n倍的各路项，得到的和为任何一个大的数字。 这样的取值方法为n=1时，为1、2、3、4这样取值。n=2是为2、4、6、8这样的取值。不能是1、2、4这样的取值。 2015年，陶哲轩证明了这个是正确的。 原有的大于1或者大于2比较好证明，但是3和3以上就困难了。 但是陶哲轩找到窍门的办法证明不论是多大都是可以的。 这个东西的用途很大，可以在战争策略论里直接使用。 当a国和b国的两个高级军事指挥官对付对方策略时，分别有一二三四等种策略。双方在发生对决的时候，开始随机使用自己的策略，分别攻击敌方。而这样的策略使用也会导致双方不同胜负的状态。对于使用策略的的不同状态，都可以转化成二进制数，和加起来的这种胜负数，就可以使用以上结论。 在某种策略在劣势或者平局状态下，把策略改编成不同间隔使用方式会不会导致自己胜率大于之前。 陶哲轩认为可以。 但是具体如何使用这种策略，何种状态下才可以增加，就需要另想办法。 这可以在陶哲轩的证明过程中找到答案。 除了战争以外，很多种策略使用不同间隔方法也会导致长期制胜的办法。比如在做生意的过程中的某种手段。 而对方在察觉这种行为时，也可以使用改变策略间隔的方式来对付自己。 同时，这样说明，大数定律可能会有某种失效，或者是这样的选取方式使得大数定律会有巨大的偏离误差的现象。 第六百一十五章 华罗庚推广华林问题(数论) 1770年，英国数学家华林提出： 每个正整数可以写成4个平方数之和g(2)=4； 可以写成9个立方数之和g(3)=9； 可以写成19个四次方数之和g(4)=19； 等等…… dickson找到了g(k)=2^k+[(3\/2)^k]-2这个公式。 1964年陈景润证明g(5)=37这个公式。 推广华林问题是自然数可以写成垛状物数之和。 杨武之指导华罗庚继续研究这个问题。 华罗庚写出了每个整数都可以写成7个f(n)=(n^3-n)\/6 (n∈z)的数之和。 事实上，只4个这样的n=f(n+1)+2f(-n)+f(n-1)数之和。 第六百一十六章 王元讨论超越曲线(曲线) 造导弹的王元想要研究导弹无法被追踪的轨迹，这个轨迹最好不是初等函数曲线。 特洛特说：“我在想他们这种是直线、双曲线、原函数、抛物线等都难以合成的函数了。搞不好有可能是更加复杂的椭圆函数，里面包含的都是一些复杂的积分曲线。” 特洛特说：“我们先排除几个，直线、圆、三角函数曲线、对数曲线。” 周海中说：“飞机在空中飞的是三维的曲线。” 王元说：“我们已经考虑过了，看出了投影的二维，这些都可以计算。速度够快的火力可以抵消来自立体产生不同远近的结果。” 周海中说：“下悬线吗？” 王元说：“目前下悬线还是按照双曲线去解决的，约翰伯努利和牛顿都可以解决这个问题，我不认为这里会有小的变动。” 周海中笑着拜拜手说：“小变动或许是失败原因的。” 王元这时拿出一个玻璃杯，将手中的大桶可乐往杯子里倒，在可乐倒满之时，埃尔德什缓慢的降低流出可乐的速度。 周海中看到杯子已经倒满，而埃尔德什还在缓缓的往里倒，大声的喊：“满了，满了。” 王元不理会周海中，继续认真的往已经满了的杯子里细细的倒入可乐，这时看到水面形成了上凸的形状，而且凸的越来越大，旁人的人都看着这惊人的一切，从来都没有见过水可以在杯子里凸起这么高。 水面高出，快变成了半圆，王元小心的将可乐一滴一滴的往水面上轻轻的倒，之间一滴滴的可乐水占到水面上就散开的球面上，形成了一个新的面。 水面的凸出十分的显眼，感觉稍微变动一下，就会破裂迸出。很久才看到王元停下手来。王元指的水泡对周海中说：“你以为我不同下悬线吗？这就是下悬线。” 说完，用牙签沾了一滴可乐，将牙签上的水滴滴到呈圆面形状水面上，水面然后炸裂了，高出杯口的可乐溅了出来。 众人十分惊讶的赞叹眼前这一切。 特洛特说：“那圆锥曲线方程中的椭圆方程和双曲线方程都研究过吗？” 王元说：“椭圆方程我们早就成熟了，而且要在宇宙飞船中用到，在多体引力情况下都会出现近似于混沌的曲线。我们对行星轨道线都研究过，都可以适用于太空中星体的运动。虽然不精湛，但是几乎可以排除那样的运动。” 周海中说：“为什么可以排除？” 王元说：“因为太大了。” 周海中抓着不放说：“虽然没有进入星际太空做大型运动，但不能不考虑在混沌作用下的飞行轨迹是十分复杂的，也难以计算。” 王元说：“我明白你的意思，但是根据亨利庞加莱截面可以推算出这样的概率。” 周海中说：“推算不出来怎么办呢？” 王元说：“那就不是你说的那种混沌吸引子曲线了。” 周海中笑着点了头，周海中继续要说，被埃尔德什打断：“三体混沌，双摆线我们都在分类，而且这些也是我们的软肋，但是如果外星人熟练使用了混沌曲线的话，我们应该可以推算出来。” 索伊费尔说：“布朗运动也是可以考虑的。” 王元说：“没错，布朗运动也有很高的价值。” 特洛特说：“最速下降线或者等时间降线能用的到吗？” 王元说：“如果做省时间下降弧线运动的话，最速下降线在某些情况下可以使用，但是敌人往往不是为了省下时间的。当然我们在其他地方会应用到这些轨迹的。” 特洛特说：“难道会有椭圆曲线吗？” 王元说：“说起椭圆曲线这样的东西，它的用途已经远超过想像，在数学里它具有统一整个数学的性能。” 特洛特说：“椭圆函数做为加密算法上就有难以反推的功能，敌方是否能够使用这样的技术。我认为这种可能性是很大的，如果敌方科学技术如此发达，可定在数学上有着一定的造诣。” 王元说：“椭圆函数是在椭圆曲线上求弧长积分得来的，说不定也可以在求三次或者四次方程弧长的方程也会对此有帮助。” 索伊费尔说：“同样不要忽略了对螺线的研究，毕竟很多昆虫也是以螺线来运动的，而且螺线十分优美，有很多不错的数学性质。” 索伊费尔说：“希尔伯特曲线倒是可以遍历所有交流。” 特洛特说：“椭圆方程的概念就是离两个点距离和相等的轨迹，其实还可以拓展成离两个店距离乘积相等的轨迹，这就又有了双扭线。” 索伊费尔说：“并且椭圆方程等是两个焦点，我们还可以有三个焦点的更加复杂的曲线，并且还有丧心病狂的三角点三纽线，甚至是多焦点圆，简单的都是卵型线，复杂的，我都不敢往下想了。” 王元说：“我希望有人能往下想，洛马公司可以给这种人出高工资。而且还不能完全忽略超椭圆线。” 特洛特说：“除此以外，我们还有从其他概念切入，花瓣线和花叶线” 周海中说：“说起花瓣和花叶，倒是可以用分型结构弄出来，分形线的研究怕是难以断绝的。分形的方程不那么难，却有很多令人难以置信的形状出来，只需要改动一下方程组的参数，然后就做一个单纯的放大和缩小就可以找到各种不同的形状，这些形状我们都研究不完。” 王元说：“没错，而且这样的研究需要与以往的角度不同，而且需要更多的耐心才行。” 索伊费尔说：“如果所料不错，对曲线的研究肯定也对炮弹轨迹有很大帮助。” 王元说：“没错，我们打出去的炮弹有着复杂的轨迹，也不容被格瑞星人拦截。” 特洛特说：“极坐标方程曲线肯定少不了，比如心脏线极其长度表示的曲线。” 王元说：“极坐标还可以有更多其它精彩的曲线。” 周海中说：“当然还有勒让德曲线、贝塞尔曲线、这些都是微分方程的解，也有一定的复杂性，所以一定也要这种曲线。” 王元点了点头。 周海中说：“经济学中的需求曲线、力学中的应力应变曲线、流体力学中流体曲线、统计学中的高斯曲线、傅立叶分析曲线、光学包络线的反射焦散曲线。这些是不是也可以加上？” 王元皱眉头说：“虽然你说得这些都是曲线，但是总是感觉到别扭，经济学里得曲线有事另外一种难以描述的复杂了，你确定这些对研究飞行器的轨道有帮助吗？” 周海中说：“你的放开自己的思想，不能画地为牢，说不定你就是败在这样的轨迹上的。除了经济学曲线，力学应力曲线谁一般能想到，往往变态的线更容易躲避对方的瞄准和拦截。” 王元还是摇摇头，表示不能接收这些古怪的理论。 周海中拿起一支笔在一张纸上随意乱画了一堆线对周海中说：“这样的线或许有用。” 王元不屑的说：“看来你有回去了，你这样做就好比手拉着操纵杆胡乱的拉，跟我刚刚说的人体随机性没哟太大区别了，而且弄不好还毁坏飞行器。” 特洛特说：“还可以是阿涅西的女巫”的曲线、埃尔米特曲线、轮线线、渐伸线、渐屈线。” 王元说：“这些听起来还差不多，最起码曲线有定义，我们变着花样的定义曲线也是很好的思路。定义代数簇这种基本曲线，我们就可以组合了。” 索伊费尔说：“我们也要了解微分几何中的测地线。起码我们也是在引力场中，说不定交战的时候会到电磁力场。” 王元说：“在某种程度上力就是数学，力学就是几何学。” 特洛特说：“一些连续与不连续的曲线，还有无穷长度处处不可微的科赫连续线。当然这种怪异的曲线对格瑞星人飞行的轨迹有借鉴意义。” 周海中说：“我知道你可能不爱听，一些特征信号曲线虽然不是标准定义，但是也是一种可以进行对应的控制的数字，统计来的曲线或许可以直接让飞船做一些怪异的飞行。” 王元点了点头说：“椭圆曲线中的极线、精确率召回率pr曲线等等。今天就到此为止，以后我们将会创立全新的代数簇力量，研究和收集我们所了解的曲线，然后加载在我们电脑上，让战斗机根据这些各种曲线的信息能够完成协同瞄准作战和规避逃脱敌方的火力。” 第六百一十七章 陈景润1＋1＝2(数论) 陈氏定理（1966）每一个充分大的偶数都是一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和。简记为（1，2）。 诚如哈贝斯坦（h. halberstam）与黎切尔特(h.e.richert)所称，陈氏定理为“惊人的定理”，而且“从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点”。 陈氏定理与筛法相关，筛法导源于公元前250年的“埃拉朵斯染尼氏（eratosthenes）筛法”，1919年，布伦(v.brun)对这一方法作出了重大改进，并将它用于哥德巴赫猜想。1947年，赛尔贝格（a.selberg）给出了埃拉朵斯染尼氏筛法的另一个重大改进。 哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫与欧拉（l.euler）的通信中提出来的，可以表述为：每一个不小于4的偶数都是两个素数之和。简记为（1，1）。 1900年，在希尔伯特的着名演讲中，又将这一猜想列入他的23个数学问题中的第八问题。布伦首先证明了：每个充分大的偶数都是两个素因子个数均不超过9的整数之和，简记为（9，9），余类推，（1，1）即表示哥德巴赫猜想对充分大的偶数成立。布伦的方法与他的结果先后被拉代马海尔（h.rademacher），艾斯特曼(t. estermann)，黎奇(g. ri)，布赫斯塔布(a.a. buchstab)与孔恩(p.kuhn)所改进。 将布伦、布赫斯塔布与赛尔贝格方法相结合，王元改进了布赫斯塔布的结果，他证明了（3，4）（王元，1956）。 再与孔恩方法相结合，他又得到了当时的最佳结果（2，3）（王元，1957）。 处理哥德巴赫猜想的另一途径是，将布伦筛法与林尼(yu.v. linnik)的大筛法相结合。首先是雷尼(a. renyi)于1947年证明了，存在常数c使(l，c)成立，潘承洞与巴尔巴恩(m.b.barban)独立地确定了c之值，潘承洞的结果如下：（1，5）（潘承洞，1962），（1，4）（潘承洞，1963）。 这是当时的最佳结果，由于邦比里( e. bombieri)与阿?维诺格拉朵夫(a.i.vinogradov)对大筛法及算术级数素数分布的均值定理的重大贡献，他们于1965年证明了(1，3)，在上述成就的基础上，加上天才的创造，陈景润于1966年证明了(1，2)，陈景润的方法在国外称为“转换原理”。 有人问陈景润：“你研究这个1加1等于2，有什么用？” 陈景润慌忙：“貌似没有实际作用，我以后会抓紧时间好好研究有用的东西。” 那个人问：“当真仅仅是为了玩，没有一丁点的用，也就是说数学中也有完全没用的东西？” 陈景润说：“其实我个人以为，如果要是把这样的思维给推广了就可以了，就是加和乘，是一个意思。毕竟任何数字都可以表示成是素数的乘积，那么任何数字都可以表示成是素数的相加，就能找到乘法和加法的关联性。” 那个人说：“那找到乘法和加法的关联性，就算是证明了加法和乘法是一回事，那能做什么？可以让乘法计算器变得跟加法一样简单？” 陈景润说：“在计算上已经有了对数尺，也不知道会不会有其他类型的关联了。但是如果环论是一个加和乘法组成的东西，那必然环论就只剩下一种运算了，那就跟群一样的，如果从一种宏观的构架来看，这算是数学家很了不得的大事。” 那个人说：“环论和群论成为一会儿事，那就不需要环了，环也能用群来表示，这又意味着什么？” 陈景润说：“很简单了，又任何类型的运算方式，都会往群这个方向上转化。多项式就会只剩下一种运算，而多项式这样的代数一阶逻辑谓词这样的表达，将会更加简洁，一阶逻辑谓词只有一种运算，就是或或者且的运算，只用其中一种即可。” 那个人说：“即使你说的很对，但是如果这样下去，就会造成你只有一种运算，但是表达另外一种运算就会显的很繁琐了。” 陈景润说：“是的，让一台电脑只有一个且运算，不见得这个电脑的计算量会减轻，所以在这方面可能没有太大的作用了。” 第六百一十八章 李天岩周期三(混沌学) 李天岩周期三包含混沌。 2020年6月25日，美国华人数学家李天岩去世，享年75岁。 他最着名的论文是1975年和导师约克合作完成的“period three implies chaos”一文。 文章内容初等，结果震撼：若函数有3周期点，则有任何k周期点。 简而言之，三生万物。此后的研究如雨后春笋，混沌（chaos）这个概念因而开始在数学界大放异彩。 有三周期点，则会有任何周期点，说白了，就是三生万物。 三生万物定理证明完毕后，诸多疑问纷至沓来：3特殊吗，例如，5能不能生万物？周期点之外，或者每个周期点附近，函数迭代的性态如何？ 我们首先解答第二个问题。我们不加证明地叙述如下定理，它也是李天岩和约克在同一篇文章中证明的。 这个定理的含义不言自明：周期三，则混沌无序！只要函数有3周期点，就有一个由非周期点组成的不可数的集合，使得其中每个点在函数迭代中无穷次地远离周期点；而这集合中每两个点在迭代中也无穷次地互相接近或远离。 也就是说，3的确是很特殊的；3可以生万物，包括5；但5却不能生3.那么，一般情况下，各个周期k之间的相生关系又是如何呢？其实，早在李天岩-约克定理发表十年前，就有一位数学家给出了完美的答案，完全超越了李天岩-约克的结果。可惜这位数学家沙可夫斯基是苏联乌克兰人，论文用乌克兰语发表在当地的小众杂志上，因而未受学术界重视。 第六百一十九章 陆启铿猜想(域论) 1966年，提出了常曲率的有界域解析等价于单位超球的论述，并提出了一个问题被称为“陆启铿猜想“。 陆启铿认为有界域其实是一个大定义，它没有空间维度的限制。 而且单位超球不也是不受空间维度限制的吗？ 研究有界域可以跟单位超球联系起来，这在几何上的感受是比较直观的。 域是研究一堆有规律的数字的，有界域是有最大和最小的边界，解析其实就是连续的意思。 大家心里想域的时候，哪里会想到他们会有形状呢，就像个不破的橡皮泥一样变来变去而已，不管如何变都是解析的。 但陆启铿认为即使像橡皮泥那样的，也可以等价于单位超球。 因为橡皮泥那样的解析有界域可以不考虑空间维度的，而且必然有一个中心，而且中心与外界必然会有联通。 有人反驳：“单位超球好歹是球，人家半径都是相等的，你这样的有界域怎么会半径相等呢？” 陆启铿说：“捏成橡皮泥的时候，必然会有有个中心，让这个中心与边界之间半径是可以相等的。” 这个人说：“胡说，哪里会呢？” 陆启铿说：“只需要把坐标轴，或者是坐标也按照橡皮泥那样的形状去按比例改变，就可以这样研究。” 这个人说：“费话，那当然可以，可以把坐标改来改去，你不嫌麻烦？” 陆启铿说：“反正跟橡皮泥的捏的形状是相关的，我不嫌这个麻烦。” 这个人数说：“这样也对，可我们这是图什么，就是等价了又怎么样？” 陆启铿说：“以后研究有界域的解析，心里就不迷茫了，就知道橡皮泥这样这样捏来捏去的参数，然后该对应坐标即可，而坐标也是可以改来改去的。” 这个人说：“有界域直接看成单位超球！倒是也方便了。” 第六百二十章 万哲先典型群(群论) 万哲先是继华罗庚、段学复之后中国代数界公认的当之无愧的领军人物，他在典型群、矩阵几何、有限几何、编码与密码、图论与组合数学等领域做出了杰出的贡献，在国际上有重要影响。他是华罗庚典型群和矩阵几何学派（国外称之为典型群的中国学派）的继承人，是中国有限几何及其应用研究的开创者，在编码和密码领域也有卓越的成就，并带出了一支队伍。 典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记（下标 n≥ 1），可以描述为： an = su(n)，特殊酉群，行列式为 1的 nxn酉矩阵。 bn = so(2n+1)，特殊正交群，(2n+1)x(2n+1)行列式为 1的实正交矩阵。 = sp(n)，辛群，保持 hn上的通常内积的 nxn四元数矩阵。 dn = so(2n)，特殊正交群， 2nx2n行列式为 1的实正交矩阵。 为了某些特定的目的，去掉行列式为 1的条件考虑酉群和（不连通）正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通紧实形式群；在复数域中有相应的类比，以及多种非紧形式，例如，和紧正交群一起可考虑不定正交群。这些群相应的李代数称为“典型李代数”。 第六百二十一章 周毓麟流体学(流体力学) 周毓麟主要从事核武器理论研究中的数值模拟和流体力学方面的研究工作。 周毓麟得到了核武器爆炸的流体力学力量的研究工作，以此来计算核爆炸的威力和范围分布情况。 周毓麟认为虽然核爆炸是个极端反应，但是可以使用对比和转化的办法来研究。 核武器的爆炸可以使用蘑菇的生长来类比，因为两者的形状很强，所以只要把蘑菇给研究透了，就可以代入核武器思想。 而那个时候他就是有摄影机，但是浪费的交卷也太多，实在是不忍心用太长时间，所以他采用了很多个从大到小的不同年龄段的蘑菇的形状按照年龄从小到大排列开，以此快观察蘑菇的生长状态。 这样自己就得到一个既视感很强的蘑菇的生长情况了，然后再去找到一个函数来描述这种变化。 这是个三维形状的变化，描述起来会用到3个空间自变量和1个时间自变量的函数。 但是周毓麟认为，三维太麻烦，可以简化到二维函数。 而如何简化到二维函数呢？因为蘑菇是像伞一样是对称的，所以只需要考虑二维截面的雨伞形状。 周毓麟也知道蘑菇的生长就是细胞的二次分裂的挤压所造成的。 第六百二十二章 杨乐整函数与亚纯函数亏值之间的具体联系 整函数与亚纯函数亏值之间的具体联系 杨乐在函数值分布论、幅角分布论、正规族等方面取得了一系列的重要研究成果。 （一）在亚纯函数与其导数的总亏量方面获得几个精确结果，回答了专家d.drasin提出的三个问题，首先证明了亏函数的可数性。 （二）在函数正规族理论中，研究了不动点、微分多项式的取值与正规性的关系。 （三）他与张广厚首次揭示了整函数与亚纯函数的亏值数目与borel向数目间的紧密联系，获得了最佳估计。 （四）获得了亚纯函数borel向的分布规律，对奇异方向在涉及导数与重值时作了深入研究。他还和海曼（w. k. hayman）合作研究了特沃德（littlewood）的一个猜想。他获得了亚纯函数在涉及重值时普遍与精确的亏量关系。杨乐在复分析中的研究工作为国内外同行学者广泛引用。 海曼对杨乐说：“一个好好的函数，你还研究他值域的分布？是像从中看出什么，是不是标准的正态分布或者是偏态分布？” 杨乐说：“我只是觉得这样的东西存在，而且能够反映出函数的一种性质，也许可以让我们更深刻的理解函数这些东西。” 海曼说：“无聊。我就看着函数本身就够能反应太多东西了。” 杨乐笑：“不是的，是奇怪的不连续函数，或者是奇异函数，我才做这样的研究。” 海曼说：“那可以从中看出什么呢？比如有一个反常函数，不能连续求导的。” 杨乐说：“这样才能直接画出分布图来，而且这样的分布是极为简单的，而且我们不需要给定义域面子，只看值域即可。” 第六百二十三章 龚升比贝巴赫猜想 致力于比贝巴赫猜想的研究 大意是：若是定义在单位圆内的单叶解析函数，那么对所有成立；而且只对克贝函数有。这个猜想于1916年由德国数学家比伯巴赫提出。比伯巴赫猜想十分困难和引人入胜，以致被广泛地列人研究生的课程。许多学者花费了毕生的精力试图证明它。由此开展的研究形成了几何函数论这一领域。 关于这个猜想的证明，是沿着几条途径进行的。对于的单个系数而言，数学家们所做的工作是逐个攻破。比伯巴赫本人证明了对于第2个系数，猜想为真。1923年德国数学家勒夫纳（ch.loewner）创造了参数表示法，证明了。 1955年，美国数学家加拉贝迪安（p.r.garabedian）和席费尔（m. m.schiffer）应用变分法证明对第4个系数猜想也对。 1968年，两位数学家分别独立地证明了对第6个系数猜想成立。 1972年，对于第5个系数也被证明。 对于的全体系数而言，数学家们的工作是逐步接近比伯巴赫的估计。 1925年，英国数学家李特尔伍德证明了； 1951年，原苏联数学家巴济列维奇得到估计（c为一常数）； 以后经过多次改进，到1965年，原苏联数学家米林证明了； 1972年，美国加州大学的菲茨杰拉尔德（c.fitzgerald）证明了；他的学生又改进了这个结果。 由比伯巴赫猜想产生了一系列相关的猜想，其中最重要的是米林猜想。可以证明，由米林猜想能推导出比伯巴赫猜想。 第六百二十四章 陆汝钤异构型分布式人工智能 吴文俊说：“什么是异构型分布式人工智能？为什么要用这个？” 陆汝钤说：“同构型分布式人工智能你肯定理解，就是计算一个问题，分成多个计算机，计算方法相同，计算模型相同，而异构的就是不一样的。” 吴文俊说：“什么不一样，是分开后多种计算机的计算方法不同，还是分布式方法不同？” 陆汝钤说：“是后者，而我认为人工智能、知识工程和基于知识的软件工程为主要研究方向，而且也要使用机器辩论。在实现分布式逻辑推理和基于分布式推理的城市交通管理软件等成果应用。” 吴文俊说：“能具体解释一下吗？” 陆汝钤说：“我这里提出了知件和知识中间件概念，来解释一种从软件中分离出来的领域知识的独立商品化形式。并进一步研究了知件工程、基于知件的软件工程、软件\/知件协工程及其生命周期模型。拓展了基于量子逻辑的格值量子有限自动机，给出并证明了其上的广义泵引理。证明了希尔伯特空间上的该类量子自动机全体对复空间维数n构成一个真包含谱系。研究了量子进程代数的代数语义，证明了两个量子进程代数双模拟当且仅当相应的种子代数深度同构。” 吴文俊说：“什么是知识中间件？” 陆汝钤说：“是一种能够帮助组织有效管理和共享知识的技术工具。它通常会包括一系列的软件应用、知识库、文档管理系统、搜索引擎、协同工具等等。这些工具的目的是为了促进知识的共享、存储、传递和再利用，以便组织内部的学习、创新和决策能力得到提升。” 吴文俊说：“是表示和使用知识的一种方式吗？知识中间件是由什么组成的？” 陆汝钤说：“知识中间件的几个核心功能包括：1.知识建设：通过专家知识库、协同工具等手段，收集、分类、存储和更新知识。2.知识共享：提供多渠道的分享和交流机制，使知识能够在组织中流通和共享。3.知识传递：通过搜索引擎、问答系统等方式，让知识得到快速和准确的传递。4.知识管理：对知识进行分类、评价、授权和版本管理等操作，以确保知识的质量和安全性。” 吴文俊说：“听起来像是一种协同不同知识让其组合成为一个知识管理工具了。很不错。” 陆汝钤说：“没错，知识中间件的实现可以依赖于企业内部的it平台，也可以选用一些开源的平台或者第三方服务商。无论采用哪种形式，知识中间件都是一种有利于企业内部协同合作和知识管理的重要工具。而要完成以上管理的话，需要广义泵引理才能驱动。” 吴文俊说：“那什么是广义泵引理？” 陆汝钤说：“广义泵引理是热力学中的一个重要原理，它指出在非平衡态下工作的系统，可以通过耗散功源进行控制和稳定。简单来说，就是将外能源注入到一个非平衡状态的系统里，能够让其保持稳定并且产生可控的运动。广义泵引理具体可以分为两个方面：1.热力学方面：广义泵引理是对传统的热力学第二定律的扩展和补充，它区别于传统的热力学描述平衡态体系，而是用于描述非平衡态体系下的特殊情况。广义泵引理表达了一个关于耗散、势函数和流量之间关系的基本定理。2.控制论方面：广义泵引理还有一个重要应用，即可以用于控制与稳定非线性系统。这种方法就是用外界外力来控制系统，使其保持稳定的状态，并能够在所需的时间内产生指定的运动，从而达到控制目的。” 吴文俊说：“那广义泵如何作用到知识中间件里面？” 陆汝钤说：“这就是知件工程，是一门运用人工智能、机器学习、本体论等技术，以及专家系统、决策支持系统等应用工具，将知识表达、建立、管理和利用的学科。其目的是从已有的知识中提取出可操作、可变换、可应用的问题解决方法，并将这些解决方法应用于新的问题领域。知件工程分为两个部分：知识表示和知识推理。知识表示包括知识获取、知识表示和知识组织三个阶段。其中知识获取指的是从领域专家、知识库等处收集知识，知识表示指的是将从不同来源获得的知识进行分类和组织，知识组织指的是对知识进行结构化处理，以更好地支持知识推理。知识推理则是利用前述的知识表示来实现对新问题的求解。” 吴文俊说：“有哪些应用呢？” 陆汝钤说：“知件工程被广泛应用于各个领域，如医学、金融、法律、环境保护等。在医学领域，知件工程可用于帮助医生进行疾病诊断和治疗方案选择；在金融领域，知件工程可用于辅助投资决策和资产配置；在法律领域，知件工程可用于作为法律咨询和智能法律系统的基础等。” 吴文俊说：“我明白了，可以在不同的领域都发挥作用，所以这样的ai可以做好任何一个行业了。” 第六百二十五 张益唐的无穷多对素数相差都小于7000万(数论) a.o.l.阿特金和n.w.里克特于1979年提到孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。 即两个差等于2的一对素数，称为孪生素数。例如，3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…和；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是x2-1和x2+1； 陈景润于1966年得到存在无穷多个素数p，使得p+2是不超过两个素数之积。 为了证明自己的结果，张益唐使用了一种叫 k元组（k-tuple）的数学工具来寻找素数。你可以把 k元组想象成一把梳子，其中部分梳齿被折断了。如果你从数轴上任意选定的位置开始，沿数轴放置这样一把梳子，那么剩余梳齿将会指向一组数字。 张益唐的目光集中在一类折断梳子上，其剩余梳齿满足“可容许性”（admissibility）这一整除性质。首先，他证明，任意一把至少有 350万个梳齿的“可容许梳子”会在数轴的无穷多个位置上发现至少两个素数。接下来，他展示了如何从一把有 7 000万个梳齿的梳子出发，通过折断除素数梳齿以外的其他所有梳齿，来得到一把至少有 350万个梳齿的可容许梳子。张益唐得出结论，这样一把梳子一定能不断地找到两个素数，且找到的两个素数相差不超过 7 000万。 蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔称这一发现是“一个了不起的突破”，“（这）是一个具有历史意义的结果”。 张益唐的工作包括三个单独的步骤，每一步都为他 7 000万的上界提供了潜在的改进空间。首先，张益唐引用了一些非常深奥的数学过程来确定素数可能隐藏的位置。接下来，他用这个结果计算出他的梳子需要多少梳齿，才能保证它可以无穷多次地找到至少两个素数。最后，他计算出自己必须从多大的梳子开始，才能在折断到满足可容许性之后还能留下足够的梳齿。 在张益唐的三个步骤中，最先得到改进的是最后一步。在这一步中，他找到了一把至少有 350万个梳齿的可容许梳子。张益唐证明，只需一把长度为 7 000万的梳子，就能得到这样一把可容许梳子，但他并没有特别努力去尝试缩短这一长度。这其中有很大的改进空间，擅长计算数学的研究人员很快就开始了一场良性竞争，寻找具有给定梳齿数的更小的可容许梳子。 关于张益唐网友评价很高，甚至有人认为是有史以来最伟大的华人数学家。关于孪生素数猜想老张已经给出了终极性的研究方向，就是不断地缩小这个距离，事实上在陶哲轩的带领下，一群菲尔茨奖获得者集体在为老张“打工”，2，3个月内把这个距离从7千万降到了5414。 后来，陶哲轩看到张益唐的成果，然后自己也雇了个团队，加班加点把5414继续降低到246，离2越来越近了，但是没有继续往下走。 第六百二十六章 张益唐推进朗道－西格尔猜想(黎曼猜想) 2022年，张益唐宣布自己对朗道-西格尔猜想推进了一步。 这个猜想是黎曼广义猜想的部分。 广义的黎曼猜想就是狄利克雷函数分子上有个函数，符合可积性和互质性要求。而分子为1时，仅仅时广义函数退化的形式。 所以证明广义黎曼猜想不成立，也不见得时黎曼猜想不成立。 而朗道和西格尔提出的是广义狄利克雷函数上的零点是实数部分不在1\/2这个轴上，在0到1内，对称在1\/2这个轴上。数学家为了省力就需要看在不在1\/2到1这个地方有一个。数学家发现可以继续缩短一个范围，找到了1-c\/logd这样的数值，其中c是常数，d是以上所说的互质性的要求。 在1-c\/logd到1这个部分应该是没有的，而1\/2到1-c\/logd部分无法确定。 张益唐的结果是1-c\/(logd)^2024到1\/2是没有的。 张益唐希望这个结果能在此基础上从1-c\/(logd)^2024能够变到1. 陶哲轩团队已经注意到张益唐一百来页的论文，当然希望能变到1，团队的人快速阅读了张益唐的论文，发现了张益唐对论文引用的不明确处。 第六百二十七章 中国团队成功证明国际数学界60多年未解核心猜想(流形) 陈秀雄教授与程经睿解出了一个四阶完全非线性椭圆方程，成功证明“强制性猜想”和“测地稳定性猜想”这两个国际数学界60多年悬而未决的核心猜想。 凯勒流形上常标量曲率度量的存在性，是过去60多年来几何中的核心问题之一。 关于其存在性，有三个着名猜想——稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想。 稳定性猜想限制在凯勒-爱因斯坦度量时称为丘成桐猜想，由着名华裔数学家丘成桐于二十世纪九十年代提出，并由陈秀雄、唐纳森和孙崧率先解决。 经过众多着名数学家的工作，强制性猜想和测地稳定性猜想中的必要性已变得完全清晰，但其充分性的证明在陈-程的工作之前被认为遥不可及。 求出一类四阶完全非线性椭圆方程的解，就能证明常标量曲率度量的存在性。陈-程的工作恰恰就是在k-能量强制性或测地稳定性的假设下，证明了这类方程解的存在。 专家认为，求解一类四阶完全非线性椭圆方程，此前就如同一块无形的幕墙挡在数学家面前，陈-程的工作就是在幕墙上“掏了一个洞”，在毫无征兆的情况下找到一个突破口，不仅求出了方程的解，而且建立了一套系统研究此类方程的方法，为探索未知的数学世界提供了一种新工具。 审稿人评价：“可以预见，这一系列论文将成为几何与偏微分方程领域的经典之作。”英国皇家科学院院士、fields奖和首届数学突破奖得主西蒙·唐纳森爵士认为，陈-程的工作已经提供了众多常标量曲率凯勒度量的新例子，毫无疑问将成为完全认识这个问题的基础。 我国数学家用了11年成功证明了微分几何领域两大核心猜想，分别是哈密尔顿-田与偏零阶分析，论文超过120页，是由中国科技大学陈秀雄，王兵做出的。 这个突破被数学界最高奖菲尔兹奖得主唐纳森称作几何学领域最近几年的重大突破！ 第六百二十八章 莫尔斯理论 莫尔斯考虑研究微分拓扑需要找到一个切入点。 这个切入点就是流形的表面，也就是这个流形的临界面，这个临界面虽然仅仅是表皮，但是依然能够反映出流形的内部信息，甚至是流形的全部信息。 莫尔斯理论(morse theory)是微分拓扑学中利用微分流形上仅具非退化临界点的实值可微函数(称为莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是h.m.莫尔斯在20世纪30年代创立的。 莫尔斯理论是微分拓扑学中利用微分流形上仅具非退化临界点的实值可微函数(称为莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是h.m.莫尔斯在20世纪30年代创立的。由莫尔斯理论得知，微分流形与其上的光滑函数紧密相关，利用光滑函数不仅能研究微分流形的局部性质，而且某些光滑函数例如莫尔斯函数包含了刻划流形整体性质的丰富信息。莫尔斯理论主要分两部分，一是临界点理论，一是它在大范围变分问题上的应用。 莫尔斯理论是研究可微流形m上定义的可微实函数f的性质与流形m的拓扑与几何性质相互关系的数学分支。给定拓扑空间x与其上的连续实函数f，则称定义了变分问题(x，f).大范围变分法即是对于给出的变分问题(x，f)，以函数f的性质与空间x的性质之间的关系作为研究对象的数学分支。在应用上重要的变分问题有： 1.与可微函数f有关的问题； 2.与由道路构成的空间Ω上的能量函数e有关的问题。 其中特别是问题2是以黎曼流形上的测地线理论为基础，因而是以普通的变分法为其分析学基础的。 问题1和2是由庞加莱与伯克霍夫(birkhoff，g.d.)所开创，莫尔斯(morse，h.m.)把它们发展成近代的样子，即莫尔斯理论。 继莫尔斯以后，柳斯捷尔尼克(Люctephnk，Л.А.)和施尼雷尔曼(whnpeльmah，Л.Г.)开辟了另一条估计临界点个数的途径，即利用畴数来估计流形上函数的临界点。 而斯梅尔(smale，s.)把莫尔斯理论中梯度向量场零点的问题推广为流形m上一般向量场的零点问题，从而导致维数n≥5情形广义庞加莱猜测的解决，这是微分拓扑中的一个重大成就。 其次，由于测地线问题是一维变分问题，故可使得无限维空间Ω上的问题，化为有限维流形上的临界点问题。 但是对于多维变分问题，无法做到这一点，这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要。总之，近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化，并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果。 根据莫尔斯的基本见解，一个流形上的一个可微函数在典型的情况下，很直接的反映了该流形的拓扑。 莫尔斯理论允许人们在流形上找到cw结构和柄分解，并得到关于它们的同调群的信息。 在莫尔斯之前，凯莱和麦克斯韦在制图学的情况下发展了莫尔斯理论中的一些思想。 莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量函数的临界点）。 在数学中，k-理论（k-theory）是多个领域使用的一个工具。 在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑k-理论；在代数与代数几何中，称之为代数k-理论；在算子代数中也有诸多应用。 它导致了一类k-函子构造，k-函子包含了有用、却难以计算的信息。 在物理学中，k-理论特别是扭曲k-理论出现在第二型弦理论，其中猜测它们可分类d-膜、拉蒙-拉蒙场以及广义复流形上某些旋量。 第六百二十九章 hermitian－einstein度量 另一个与卡拉比猜想密切相关的问题是代数几何中全纯向量丛的稳定性与其上的hermitian-einstein度量的对应问题，这个问题约化成一个与规范场理论相关的极为困难的非线性方程解的存在性问题。 1986年丘成桐与乌伦贝克（uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解决了这个问题。 稍后，唐纳森也在投影流形上用不同的方法将这个问题解决。 1988年，辛普森（simpson）将这些结果推广并与霍奇变分理论相结合，发展成为代数几何中一个极为有效的工具。 凯勒流形的内在对称性 我们花了点时间来讨论度规，是为了要对凯勒度规和具备这种度规的凯勒流形能够稍微有点概念。一个度规是否为凯勒，和在空间上移动时，度规如何变化有关。 凯勒流形是一组叫作“厄米特流形”（hermitian manifold）的复流形的子类。 在厄米特流形上，你可以把复数坐标的原点放在任何一点上，它在该点上的度规看起来像是标准的欧氏几何度规。 但当你离开该点时，它的度规就愈来愈不像欧氏的。 更明确地说，当移动到与原点的距离为e时，度规系数本身的改变差异大致是e倍。我们将这样的流形称为“一阶欧氏空间”。 所以如果e是0.001英寸（1英寸=2.54厘米），当我们离开e距离时，厄米特度规的系数与原先的差距会维持在约0.001英寸的误差内。至于凯勒流形则是“二阶欧氏空间”，这表示它的度规会更加稳定。当与原点的距离为e时，凯勒流形的度规系数的改变大致是e2倍。 沿用前面的例子，当e=0.001英寸时，度规的变化误差只有0.000001英寸。 为何卡拉比要特别重视凯勒流形呢？要回答这个问题，我们得先考虑可能的选择范围。 比方说，如果真的想要严格限制，你可以坚持流形必须是完全平坦的。 但只要是二维以上的任何维度，唯一完全平坦的紧致流形就只有环面或它的近亲。 就流形而言，环面其实相当简单，因而也相当受限。我们希望能够更多样，看到更多可能性。至于厄米特流形，则又嫌限制太少，它的可能性太多太多了。于是介于厄米特和平坦之间的凯勒流形，正具有几何学家经常寻找的那种特质：它们具有足够多的结构，因此不会难以操作，但是结构又不会多到限制过多，以至于根本找不到符合你的明确条件的流形。 第六百三十章 kahler－einstein度量 特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了kahler-einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。 这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。 要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如k3曲面上，是否有爱因斯坦度量。 正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。 对于复流形的切丛，kahler-einstein度量可以认为是没有挠率的hermitian-einstein度量，所以kahler-eienstein度量意味着流形的切丛在代数几何意义下是稳定的，但要更细致更深刻。 多年来，丘成桐一直考虑什么样的代数稳定性对应着kahler-einstein度量的存在。 从我1988年来到哈佛成为丘成桐的学生，他的讨论班里最多的话题就是代数几何中各种稳定性的概念与相关的度量和分析问题。 第65个问题就猜测kahler-einstein度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。 在第一陈类大于零的复流形上，这个猜想首次给出了kahler-einstein度量存在的充分必要条件，建立了标准度量与代数几何的密切关系。 第六百三十一章 伯格曼核 在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近kahler-einstein度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇着名的综述文章中予以详细的阐述。 与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。 首先这类流形有不存在kahler-einstein度量的例子。 在20世纪60年代，松岛（matsushima）证明了kahler-einstein流形的自同构群必须可约。 80年代初，福复（futaki）引进了此类流形上存在khler-einstein度量的障碍函数，被称之为福复不变量。 事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是kahler-einstein度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。 在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。 此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与kahler-einstein度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为k-稳定性，并取得了一些进展。 然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。 非线性方程虽然难解，但是有一些方法可以让它变得稍微容易处理。 首先，当面对非线性问题时，我们尽可能援用线性理论。例如，要分析一条弯弯曲曲（非线性）的曲线，我们可以在曲线上任一点，对曲线（或定义它的函数）求导数以得到其切线，这基本上就是曲线在该指定点的“线性逼近”。 用线性数学来逼近非线性世界是常用的策略，然而宇宙毕竟是非线性的，这一事实当然不会有所改变。要追寻宇宙的真理，我们需要能把几何和非线性微分方程结合起来的技巧。这就是几何分析所做的，而它也对弦论和最近的数学发展极有裨益。 我们的研究提供了观察如何在非线性系统中发展出奇点的定量73方法，其做法是追踪两点距离如何随时间变化。 如果这两点发生碰撞，亦即两点间距离缩小至零，那就是奇点了。 了解奇点几乎是了解任何与热流动相关问题的关键。尤其是，我们的技巧提供了“尽可能逼近奇点”的方法，显示了在碰撞发生之前瞬间的情形，例如各点移动的速度等，就好像鉴识人员要重建车祸的事故现场一样。 第六百三十二章 正质量猜想 这个猜想是说：在任何孤立的引力系统里，总质量或能量必定是正的。 在此，质量和能量这两个术语是互通的，因为正如爱因斯坦着名的方程式e=mc2所示，这两个概念是等价的。 因为宇宙可以被视为孤立系统，所以正质量猜想也适用于整个宇宙。 由于这个问题关乎时空的稳定性，以及相对论本身的一致性，所以多年以来，每当举办广义相对论的大型学术会议时，都会有专门的议程讨论这个重要问题。 简言之，除非时空的总质最为正值，否则时空不可能是稳定的。 斯坦福的会议上，格罗赫发出战帖，邀请几何学家来攻克这个物理学家在当时仍无法解决的问题。格罗赫之所以向几何学家寻求奥援，不但是因为几何学和引力在理论基础上有着紧密的关联，而且也因为质量密度为正，相当于空间中每一点的总曲率平均必定是正值。因此物理上的正质量猜想，可以转化成一个几何问题。 格罗赫很渴望得到某种解答。他最近回忆说：“我们很难相信这个猜想是错的，但要证明它成立也同样困难。”他还说，像这样的事情，我们不能依赖直觉，“因为直觉未必会正确地引导我们”。 他提出的挑战，就此一直印刻在我脑海里。数年之后，当我和以前的研究生、现任斯坦福大学教授的孙理察（richard schoen）合作研究另一个问题时，突然心血来潮，想到我们刚发展出来的几何分析技巧，或许可以用到正质量猜想上。我们所做的第一件事，是依照处理大型问题时的惯用策略，把问题切割成数个较小的问题，以便各个击破。因为正质量猜想对几何学家来说并不容易理解，更别说要去证明了，所以在对付整个猜想之前，我们先试着证明几个特例。更何况，从纯几何的观点来看，我们并不相信这个猜想可以成立，因为它所断言的结论似乎太强了。 第六百三十三章 k－稳定性概念 第一陈类大于零的复流形也叫作法诺流形，这类流形比第一陈类小于零的流形相对来得少，其内容也远不如后者丰富，例如复一维情形只有一个球面，而复二维的流形从拓扑来看也只是复投影空间吹大几个点。 更有意思的是代数几何中研究这类流形的工具也远比微分几何的方法强大，特别是1979年森重文（mori）在法诺流形上用有限域的技巧发现的有理曲线存在性，这是迄今为止微分几何方法一直无法超越的天才发明。 以此为工具，代数几何学家对法诺流形几何的了解走在了微分几何研究的前面。 这种情况与第一陈类小于和等于零的情形形成了鲜明的对比，这两类流形包含比法诺流形丰富得多的例子，而由于丘成桐证明的卡拉比猜想，在这些流形的研究中，微分几何的方法和工具更强大也更有效。 这里我们还要注意到，正如唐纳森等人在他们的文章中所阐述的，k-稳定性并不是一个容易验证的条件，其实用性也与丘成桐所证明的卡拉比猜想相差甚远。 目前他们所证明的丘成桐猜想唯一有意思的推论还是丘成桐所指出的，k-稳定形可以推出切丛的稳定性。 所以即使k-稳定性等价于kahler-einstein度量的存在性的猜想得到证明，其重要性也需要在日后的应用中才能得到检验。 而丘成桐本人则在勾画了他的猜想的证明纲领后，便将题目交给了他的学生和朋友，一方面他认为他的猜想虽然重要，但与他证明的卡拉比猜想相比还是有很大的距离，另一方面他认为弦理论引发的数学问题要比他自己的猜想更具挑战性，也有更大的潜力。 事实上，他和他的学生与博士后在cbi-yau流形上的工作已经在近代数学中开创了一个新的重要研究方向。至于丘成桐猜想证明的正确性和其在几何学中的前景，只有他这个开创者和专家才有资格来评判了。 第六百三十四章 陈氏类 我们的最后两片拼图，陈氏类和黎奇曲率，是彼此相关的，它们是源自于几何学家尝试将黎曼面从复一维推广到多维，并从数学上刻画这些推广结果之间差别的努力。 这把我们带到一个重要定理：高斯—博内定理，它适用于紧致黎曼曲面，以及其他任何无边界的紧致曲面。 “边界”在拓扑中的定义很直观：圆盘是有边界的，亦即有明确界定的边缘，而球面则没有。在球面上，不管你朝哪个方向走，而且不管走多远，都不会碰到或接近任何边缘。 这个定理是在19世纪时由高斯和法国数学家博内（pierre bo）所提出的，它建立了曲面的几何性质及其拓扑性质之间的关系。 高斯—博内公式是说，上述曲面的总高斯曲率（或高斯曲率的积分）等于2π乘以该曲面的“欧拉示性数”（euler characteristic）。而欧拉示性数x（希腊字母chi）则又等于2-2g，其中g是曲面的亏格（也就是曲面的“洞”数或“把手”数）。举例来说，二维球面没有洞，所以它的欧拉示性数是2。在此之前，欧拉提出了另一条求任何多面体欧拉示性数的公式：x=v-e+f，其中v是顶点数，e是边数，f是面数。以四面体为例，x=4-6+4=2，与球面的x值相同。一个立方体有8个顶点、12个边和6个面，所以x=8-12+6=2，再次和球面相同。因为欧拉示性数只和物体的拓扑，而非几何形状有关，那么这些几何相异，但拓扑相同的物体有着相同的x值当然很合理。欧拉示性数x是空间的第一个主要的“拓扑不变量”，也就是在拓扑等价但外观可能极为不同的各个空间上（例如球面、四面体和立方体），都能维持不变的性质。再回到高斯—博内公式。由此，二维球面的总高斯曲率是2πx2=4π。至于二维环面，因为它的x是0（2-2g=2-2=0），所以环面的总高斯曲率是0。把高斯—博内的原理推广到更高维，就会把我们带到陈氏类。 一个可赋向（或是有两面）的曲面，拓扑上可由其欧拉示性数来描述。计算多面体的欧拉示性数有一条简单的公式（多面体即是由平坦的面和直线的边所构成的形体）。欧拉示性数x等于顶点数减边数，再加上面数。对于本图所示的长方体，其值为2。四面体的欧拉示性数也是2（=4-6+4），四角锥也同样是2（=5-8+5）。因为这些物体都是拓扑等价的，所以它们理所当然有着相同的欧拉示性数2 陈氏类是由我的指导老师陈省身所发展的理论，是一种在数学上刻画不同复流形的概略方法。简单来说，如果两个流形的陈氏类不同，它们就不可能相同；反之却不一定成立：两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。 复一维的黎曼面只有一个陈氏类，即第一陈氏类，而对于这个情况，正好等于欧拉示性数。一个流形的陈氏类数目，视其维数而定，例如复二维的流形具有第一和第二陈氏类。至于弦论所关心的复三维（或实六维）流形，则有三个陈氏类。它的第一陈氏类为六维空间中的实二维子空间（子流形）各对应到一整数，其中所谓子空间是原空间的一部分形体，就像纸张（二维）可以摆在办公室（三维）里一样。类似地，第二陈氏类为空间中的实四维子流形各对应一整数。第二陈氏类则为这个复三维（或实六维）的流形本身指定一个数字，也就是欧拉示性数x。事实上，对于任何复n维的流形，它的最后一个，亦即第n个陈氏类必定对应到流形的欧拉示性数。 但陈氏类究竟告诉了我们什么？或者说，指定这些数字的目的何在？其实这些数对于子流形本身并没提供多少信息，但是对于整个流形，它们却透露出许多重要的讯息。这在拓扑学是很常见的：当要了解复杂、高维的物体结构时，我们经常检视此物体中的子物体的数目和类型。 打个比方，假设你给身在美国的每个人都编上不同编号。那么，为个人指定的数字丝毫无助于理解他或她本人，但若把这些数字汇总起来，就可以呈现出更大的“物体”——美国本身——的重要情报，例如人口规模、人口成长率等。 我们还可以再举一个具体实例，来解释这个相当抽象的概念。让我们依照惯例，从很简单的物体开始。球面是一个复一维或实二维的曲面，它只有一个陈氏类，在这个情况等于欧拉示性数。回想一下，我们在第2章讨论过，居住在球形行星上时，关于气象学和流体力学的一些影响。例如风有没有可能在地表上的每一点都是由西向东吹？在赤道以及赤道之外的任何纬度线，都很容易想象风如何向东吹。但是在南极和北极的极点（这两点可以被视为奇点），却根本没有风，这是球面几何的必然结果。对于这种有着明显例外的特殊点的曲面，它的第一陈氏类不等于零。 第一陈氏类（对于本图中的二维曲面来说，正好等于欧拉示性数）与向量场中流动停滞的地方有关。在像地球的球面上，我们可以看到两个这样的点。如果流动是从北极往南极流（左上图），在两个极点上，所有表示流动的向量会彼此抵消，因此净流动为零。同理，如果流动是由西向东（右上图）还是会有两个根本没有流动的停滞点，同样又是出现在北极点和南极点，因为在此根本没有西向、东向可言。如果是环面，情形就不同了。在此，流动可以是铅直的（左下图）或水平的（右下图），都不会遇到停滞点。由于环面上的流动没有奇点，所以它的第一陈氏类是零，而球面的则不是零。 第六百三十五章 k3曲面 第一陈类等于零的二维复流形是有名的k3曲面，托尔罗夫（todorov）用cbi-yau定理证明了其周期映射是满射，萧荫堂利用cbi-yau度量证明了所有的k3曲面都是卡勒曲面。 而高维数的第一陈类为零的复流形的基本结构定理也随之而来。 这些都是复几何与代数几何中着名的猜想，在卡拉比猜想证明之前，人们毫无办法，望而却步。 最令人惊奇的是上世纪80年代初，超弦学家们认识到第一陈类等于零的三维复流形，恰好是他们的大统一理论所需要的十维时空中的一个六维空间，这神秘的六维空间，在我们看不到的尺度里主宰着我们大千世界的千变万化。 这个发现引发了物理学的一场革命。 物理学家们兴奋地把这类流形称为cbi-yau空间，yau便是丘成桐的英文姓氏。 有兴趣的朋友如果在google中输入cbi-yau，就会发现近40万个条目。以至于不少物理学家都以为cbi是丘成桐的名字。正如威滕（witten）所言，在这场物理学的革命中，每一个有重要贡献的人都会名扬千古。 复二维（或实四维）的“k3曲面”的第一陈氏类等于零（第6章会进一步讨论k3曲面）。根据卡拉比猜想，这表示k3曲面就像环面一样，可以支持黎奇平坦度规。但是和欧拉示性数为零的二维环面不同，k3曲面的欧拉示性数是24。这里的重点是，虽然在复一维时，欧拉示性数等于第一陈氏类，但在较高维度时，两者间可能有极大差异。 很显然，弦论需要的是更复杂的几何形体，在葛林与史瓦兹成功化解宇称破坏的问题之后，寻找这个几何空间就变成当务之急。因为只要找到卷曲额外六维的适当流形，物理学家就可以放手做一些真正的物理学了。最初的尝试也是在1984年，葛林、史瓦兹，以及伦敦国王学院的魏斯特（peter west）决定检视“k3曲面”，这是数学家已经研究超过一世纪的一大类复流形，更何况我证明的卡拉比猜想，显示这些曲面上存在黎奇曲率为零的度规，因此k3曲面当时更吸引物理学家的注意。史瓦兹回忆说：“我理解的是，为了确定我们居住的较低维空间不具有正宇宙常数，这个紧致空间必须是黎奇平坦的，这是当时大家认定的宇宙事实。”（后来由于暗能量的发现，意味着宇宙常数是一个非常小但却是正值的数，弦论学者设计了一个比较复杂的方法，从紧致黎奇平坦空间，推导出我们四维世界的微小宇宙常数，这是第10章讨论的主题。） k3曲面的名称既暗示它犹如世界第二高峰k2峰那么崇高，又表示三位探讨这个空间的数学家：库默（ernst kummer）、前面提到的凯勒以及小平邦彦（kunihiko kodaira）。不过k3曲面只是实四维（复二维）的流形，和弦论需要的六维不合，葛林、史瓦兹、魏斯特之所以选择k3曲面作为初始的研究目标，部分原因是有位同事告诉他们，已经没有更高维的类似流形了。尽管如此，葛林说：“我自己绝不认为我们可以厘清这个问题……即使我们当时能得知正确的讯息（即存在类似黎奇平坦k3的六维流形）也一样。”史瓦兹补充说，拿已被研究透彻的k3曲面做尝试，“并不是真的是要进行紧致化，我们只是试试玩玩，看看能得到什么，看它和反常消除能怎么结合”。从此以后，k3曲面一直是弦论学者重要又常用的紧致化“玩具模型” k3曲面也是探讨弦论对偶理论的基本模型. 第六百三十六章 七维怪球 稍后，米尔诺（milnor）发现了七维怪球。 七维怪球是一个处处光滑的七维流形，虽然它可以连续地变形成正常的（圆球状）的七维球面，但却不能光滑地变形成正常的七维球面。 因此怪球和正常球面是同胚，但不是微分同胚。 本章一开始提到的数学家米尔诺，他在1962年获得菲尔兹奖，主要就是因为证明了怪球确实存在。 在此之前，人们根本不相信会有这种空间，所以才会被称为“怪异的”。 这是 milnor怪球的微分结构。s^4上的 s^3-丛是一个纤维丛，底流形是 s^4，标准纤维是 s^3.这个纤维丛同胚于 s^7，但是不微分同胚于 s^7. 这是同一个度局部欧氏空间上可以存在不同微分结构的着名例子，或者说是拓扑结构不足以决定（如果容许的话）微分结构的例子。 如果一个拓扑空间是一个局部欧氏空间的话，就可以用局部坐标来分片刻画它，但是坐标变换只能是连续的，不一定可微。 如果在所有这问些坐标系中筛选一部分出来，使之能够覆盖整个空间，而相答互之间的坐标变换又是光滑（或某个 k阶连续）的，这就相当于在该空间上指定了一个微分结构（要求微分结构极大，即，不可再向其中添加新的坐标系使之满足相容性，这只是为了让这个极大集去代表这个微分结构而已）。 milnor怪球的例子表明，在拓扑结构所容内许的局部坐标系中挑容选微分结构的时候，有可能选出不同的微分结构，所以，微分结构是拓扑结构之上的一个新的结构。 它不是球极投影的纤维丛。 第六百三十七章 卡拉比猜想 为什么在学习数学以前要先学习文学？ 不学习文学就不能学习数学？ 这是父亲建议自己的，自己感到疑惑不解。 因为过于研究数学，会严重偏科，而不好找到工作？ 也许这是父亲对他的担忧吧。 对他来说，文学可以化解理科对自己的戾气。这样更方便自己与研究数学。 31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他着名的猜想：令m为紧致的卡勒（kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式r，都存在唯一的一个卡勒度量，其ri形式恰好是r。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。 但3年后，在1957年的一篇关于cbi-yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。 卡拉比心想：“会不会有反重力现象？” 卡拉比心里在想如果宇宙只有引力，那只能是依靠其他天体的引力才能把地球上的东西给吸引起来。 如果要是这样的话，那只能需要在地球外面包一个巨大的外壳。 这个外壳极其巨大，还有巨大的引力。 这个巨大的引力就可以让地球上的引力场被抵消掉。 听起来浪费的东西更多，需要比地球更重的巨大壳层。 先不想了。 但是这倒是有个现成的类比，就是这就好比是在地球中央的某一层，这一层刚好让地球的引力开始有这样向外吸引和向内吸引的抵消状态。 如果把中心挖空了，自己就更加悬浮了。 而此刻在这个空壳中，会有力场。 第六百三十八章 解决沃尔夫猜想 读研究生的第一年，丘成桐初试身手，便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题，事后他才知道这就是微分几何中着名的沃尔夫猜想。 这一点颇像米尔诺（milnor）把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。 为了解决卡拉比猜想，他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析，特别是monge-ampere方程的理论、方法与技巧。 基本群是拓朴上的概念，基本上考虑的是从定点出发的所有回圈，并将可互相形变的回圈视为等价。 普莱斯曼定理说，负曲率流形的基本群中，任两个可交换的元素，皆能写成某元素的自乘。 这个结果很引人入胜，我试着推广普莱斯曼的结果，想看看如果空间曲率非正，结果又是如何？ 这是我平生第一次将空间的曲率（精确的几何描述）和比较粗糙、只留意形态特征的数学理论（称为拓朴学）联系起来。 第六百三十九章 同伦群周期性 在数学中，n阶酉群（unitary group）是 nxn酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。 酉群记作 u(n)，是一般线性群 gl(n， c)的一个子群。 在最简单情形 n = 1，群 u(1)相当于圆群，由所有绝对值为 1的复数在乘法下组成的群。 所有酉群都包含一个这样的子群。 酉群 u(n)是一个 n2维实李群。 u(n)的李代数由所有复 nx n斜埃尔米特矩阵组成，李括号为交换子。 一般酉群(也称为酉相似群）由所有复矩阵 a使得 a * a是恒同矩阵非零复数倍，这就是酉群与恒同矩阵的正数倍的乘积。 博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。 博特是工程师出身，因为学习一些数学知识而爱上数学，他开始研究微分拓扑中的莫尔斯理论。以此证明了他不朽的同伦群周期性定理。 在微分拓扑中，莫尔斯理论的技术给出了一个非常直接的分析一个流形的拓扑的方法，它是通过研究该流形上的可微函数达成。 第六百四十章 蒙日－安培方程(偏微分方程) 常见于黎曼几何的非线性偏微分方程。 是一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的monge-ampere方程。 魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。” 这个方程需要用动态图才可以演示出来。 卡拉比说：“一片贴在固定钢圈上的平坦塑料布。假定这片塑料布既没有刻意拉紧，也不会太松，那么当我们推挤这片塑料布时，它所形成的曲面会怎么弯曲或变化呢？如果是在中央处拉开，它会造成正曲率的向上隆起，这种蒙日—安培方程的解是“椭圆”型的。反过来说，如果塑料布的中心向内弯扭，曲面会变成曲率处处为负的鞍形，而其解是“双曲”型的。最后，如果曲率处处为零，则其解为“抛物”型。” 丘成桐知道，如果不管哪一种情形，要解的原始蒙日—安培方程都是一样的，但是必须用完全不同的技巧来解。 而上述三种微分方程里，我们分析椭圆型的技巧最为完备。椭圆型方程处理较简单的静止状况，物体不随时间或在空间中移动。这类方程用于描述不再随时间变化的物理系统，例如停止振动、回复平衡的鼓等。不仅如此，椭圆型方程的解也是三种里最容易理解的，因为当把它们绘成函数时，看来是光滑的，而且尽管在某些非线性椭圆型方程中会出现奇点，但我们几乎不会碰到棘手的奇点。 双曲型微分方程描述的是像永远不会达到平衡状态的波与振动。和椭圆型不同，这类方程的解通常有奇点，因此处理起来困难许多。如果是线性的双曲型方程，我们还可以处理得相当好（线性指的是当改变某一变数的值时，另一变数的值会成比例变化），但如果是非线性双曲型方程，我们就没有有效的工具来控制奇点。 抛物型方程则介于两者之间，描述的是最终会趋于平衡的稳定物理系统，例如振动中的鼓，但因还未到达平衡状态，因此必须考虑时间的变化。与双曲型相比，这类方程较少出现奇点，而且就算有，奇点也会慢慢趋于平滑，因此就处理的困难度而言，也介于椭圆型和双曲型之间。 然而，数学上的挑战还不仅止于此。虽然最简单的蒙日—安培方程只有两个变数，许多方程则有更多变数。有些方程已超出双曲的程度，有时称为超双曲型；关于这类方程的解，我们所知甚少。 卡拉比所说的：“一旦超出了熟悉的三种类型，我们就对方程的解毫无头绪，因为在此并没有物理世界的现象可资援引。” 由于这三类方程的难易度有所不同，迄今为止，绝大多数来自几何分析的贡献，都是关于椭圆型和抛物型的情况。 当然我们对三类方程都有兴趣，而且双曲型方程还有许多引人入胜的问题，像是完整的爱因斯坦方程。只要还有余裕，数学家当然是非常想要解决的。 第六百四十一章 minkowski猜想和bernstein问题 他先与郑绍远合作，用实的monge-ampere方程解决了着名的闵可夫斯基（minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。 首先，对于第一陈类小于和等于零的紧卡勒流形，卡拉比猜想告诉我们，kahler-einstein度量总是存在。 但是即使已经具备了这些工具，仍然有许多准备工作要做。 第一道难关，是在此之前，除了复一维的情形外，还没有任何人解过复系数蒙日—安培方程。 就像登山者不断挑战更高的山岳，我则是向更高维挑战。为了培养攻克高维蒙日—安培方程的实力（它们有多么非线性是不消说的），我和我的朋友郑绍远开始研究某些高维的题目，先从实数的情况着手，然后再对付更难的复方程。 我们首先找上的是闵可夫斯基在19世纪与20世纪之交所提出的着名难题。 闵可夫斯基问题涉及先取一些预设信息为条件，然后判定符合这些条件的结构是否存在。 以一个简单多面体为例，当你检视这样的结构时，可以借由其面数、边数和尺寸来刻画它。 而闵可夫斯基问题则是反过来问：如果被告知面的形状、面积、数目和方向，你能否判定有没有符合这些条件的多面体？若有的话，是否唯一？ 实际的闵可夫斯基问题的范围更广，因为它适用于任意的凸面（convex surface），而不只是多面体。 其中各面的方向条件，则改用曲面各点的指定曲率来取代，而这些曲率则是各点的法向量（normal vector）所对应的函数值，这相当于描述曲面各点所指的方向。 然后你可以问，具有上述指定曲率的物体是否存在。 将问题这样表述的一大好处，是问题不再以纯几何的形式来呈现，它也可以写成偏微分方程。 纽约大学理工学院的鲁特维克（erwin lutwak）解释说：“如果能解出这个几何问题，附带还可以得到一项大礼：你同时也解决了一个可怕的偏微分方程。 几何和偏微分方程之间的交互关系，是这个问题如此重要的原因之一。” 郑绍远和我找到一个方法来解这题，我们的论文在1976年发表。 不过后来发现，另一个独立的解答，已在数年前由俄罗斯数学家波戈列洛夫（aleksei pogorelov）发表在1971年的一篇论文里。 论文是以俄文撰写的，所以郑绍远和我原先并不知道该篇论文存在。总结起来，关键在于解一个先前无人解过的复非线性偏微分方程。 即使先前不曾有人解过这个问题（波戈列洛夫除外，但是当时我们并不知道他的研究），但是关于如何处理非线性偏微分方程，却已有一套明确的既定程序，称为“连续法”（continuity method），这是一种采取一连串估计的方法。 方法本身并不新奇，诀窍在于能制定出一套对于手上问题特别有效的策略。 连续法的基本想法是通过一次次愈来愈准确的估计来逐渐逼近解答。 证明的本质在于论证经过足够多次的迭代之后，这个过程可以收敛到一个良好的解。 如果一切顺利，最后你得到的，仍然不会是可以作为解而写下来的明确算式，而只是证明出该方程的解的确存在。 就卡拉比猜想以及与它同性质的问题而言，证明某一偏微分方程有解，就等于几何里的存在性证明，说明给定某一“拓扑”条件，则合乎该条件的特定几何形体确实存在。 不过这也并不表示你只证明了有解，却对解一无所知。 因为你证明解存在的方案，可以转化成运用电脑计算来逼近答案的数值技巧。 第六百四十二章 atiyah－singer指标定理 这些结果很快激发出了atiyah-singer指标定理。 阿蒂亚看到博特的同伦群周期性定理后，开始准备准备以此作为工具来研究拓扑学。 阿蒂亚深知数形结合对于数学的影响是极其深远的，而且会越来越深远。 阿蒂亚在想，普通的方程的解的个数，就是曲线与直线的焦点的个数。 而微分方程寻找解法的话，那解的样子应该是什么样子的？ 刚好辛格也来凑热闹了，得知阿蒂亚的想法后，他在一杯咖啡下肚后说：“你已经知道普通曲线的解就是跟曲线交点数了。那是一种拓扑的结构，而研究微分方程的解法，很难，在图形里肯定也有一种结构，也是一种拓扑结构。” 阿蒂亚说：“没错，我们现在就需要搞清楚，微分方程的解会是什么样的拓扑图形结构。” 辛格说：“这是一个集映射、流形、纤维从、特征类、上同调、椭圆算子、博特周期、范畴和k理论于一身的东西。只要把这些东西合起来才可以。” 阿蒂亚也深知，这是一个对微分几何、拓扑学、微分方程和代数几何相互融为一体的学生，必须要有强劲的数学功力才可以。 阿蒂亚说：“事情其实不难想，我研究的事情，也就是微分方程的解或者解的数目是由其定义在该微分方程空间的几何拓扑特征全部决定的。” 辛格说：“没错，简单说微分方程解的数目是一个拓扑不变量。但是这必须是行为良好的微分方程，杂乱无章的恐怕不可以了。” 阿蒂亚说：“没错，我们先不能研究病态的那些微分方程，只需要把正常的弄好就可以了。” 阿蒂亚和辛格开始从简单的微分方程起，研究对应在空间中的拓扑结构，然后由简单到难处，慢慢的对很多微分方程的解，都用了拓扑学来解释。 阿蒂亚和辛格的工作，被后来的数学家广泛使用了。 第六百四十三章 谱序列 赛尔（serre）对勒雷（leray）说：“我们是不是可以引入正合列了？” 勒雷说：“你说的是谱序列？用他研究拓扑中球面的同伦群？” 赛尔认为，既然要让同伦群变得明晰，肯定需要有一种确定的分类方法，这种方法在每到使用的时候，就必须能够明确而且不出错的表达出来。 赛尔说：“没错，正合列是研究群和映射的结构，可以做一个明确的分类来用，用这个工具给同伦群分类，是一个好办法。而且我坚信，这种办法在以后的数学家了会常用。” 勒雷说：“我知道这个谱序列，我总以为暂时会用到几个特殊问题而已。照你如此说，以后数学黑白上或者是草稿纸和笔记本上，肯定会经常出现这些。” 赛尔和格雷先把谱序列的很多个例子都列举出来，对其感悟之后，就可以尝试规范的使用在同伦群上。 最终研究同伦群，就可以对各种各样的同伦群都变成了一个个序列号，也就是对应成了一个个密码，这些密码就是同伦群结构的骨头，同伦群的变化和组合也就是这些密码直接的变化和运算。这样，一个抽象复杂的问题就变成了简单的运算了，岂不妙哉！ 赛尔和格雷最终把很多正合列的单元找出来，直接标出对应的符号或者数字，规范了这个谱的用法，让正合列直接变得一目了然。 最后塞尔用勒雷的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇gaga，将复分析系统地引入代数几何。 第六百四十四章 小平邦彦嵌入定理 小平邦彦躺着躺椅上，咖啡的力量让他的思维开始在脑海里翻飞。 显示一个直角坐标系，有一个圆心在坐标原点的圆形，再加上一个过原点的直线，跟圆相交于原点。 这个图形很简单，任何人都可以想到。 小平邦彦飞入坐标系中，用手扭动直线，这个直线总交于坐标原点，只有方向上的改变，这样只是跟圆有两个对应的改变的相交的点。 小平邦彦先不动直线，开始移动圆，不移动圆形位置，只是改变圆形半径的大小。圆形与直线相交的点一直在原来那个直线上。 小平邦彦说：“如此看来，每个交于原点的直线，必定对应相交的那个圆形的那两个点。” 小平邦彦把这个二维的直角坐标系延伸成三维的坐标系，直线还是总是交于原点的，圆形变成球壳，球心也在原点。 小平邦彦说：“每个交于原点的直线，必定对应相交的那个球形的两个点。” 三维坐标系变成四维坐标系，直线依然交于原点可以来回转动，三维的球壳变成了四维的球壳。 小平邦彦有点想不明白四维球壳的形状，但是他依然能断定，每个交于原点的直线，必定对应相交四维球壳的那两个点。 四维坐标系上升为n维的高维坐标系，依然能成立。 交原点的直线就是射影空间，因为那种直线的集合就像以坐标原点发射出来的光芒一样。 而高维的球壳也可以变成一个包裹坐标原点的曲面，这种曲面的形状也不能太过缭乱，只要让过原点的直线能交于两点即可。 所以射影空间和高维球壳那样的形状，有一个一一对应的关系，这就是小平邦彦嵌入定理。 第六百四十五章 纳什嵌入定理 约翰纳什在考虑关于黎曼曲面上几何测量的问题。 纳什让自己变身为一个飞虫，飞入了黎曼组建的复平面世界。 说白了，约翰纳什让自己尽量摆脱三维空间的束缚，尽量进入优美而华丽的复平面世界。 那个黎曼面是绕两圈，也就是在三维空间里有720度角的圆形。 在三维空间了，这种四维空间的圆形，会有一个交叉口，看起来很别扭，但是为了能让初学者看懂，只能在书上那么画了。 纳什深知在四维空间，肯定没有那么丑陋的交叉线，从自己飞虫这个角度来看，是一个跟三维空间里360度圆圈一样优美的四维720度圆圈。 摆脱三维的局限后，飞虫纳什看到了，眼前是一个四维空间的720度圆，而不是那个书上画的有交叉线的那个丑陋的绕两圈圆。 纳什看到这个720度圆跟360圆一样，十分平整，没有什么太特殊的地方，这个圆也有一个固定的半径和光滑的周长，并没有异常的地方。 同时纳什看到四维空间里面的单位网格没有发生弯曲，跟三维空间的网格一样都是相互垂直的，只不过三维的是xyz三个轴相互垂直，纳什飞虫眼前的是xyzw四个轴相互垂直。 纳什认为，所有的不同仅仅是来源于多了个轴而已，而出现黎曼那种绕两圈的畸形的结果只是受限于三维空间。 纳什明白了，既然720度圆跟普通圆差的不太多，那么其他的复平面的诡异形状，也只不过在四维空间里面都是平直的，根本不会有单位上的伸长、缩短或者弯曲，一切单位都是平直规范的。只是在三维的视觉上有弯曲效果罢了。 纳什认为，复平面的诡异流形透射在欧几里得平直空间里，上面的尺寸不会有任何改变，这就是纳什嵌入。 后来纳什（nash）证明了黎曼（riemann）流形的嵌入定理。 第六百四十六章 calabi－yau空间 霍奇理论、小平邦彦嵌入定理、cbi-yau定理是复几何发展史上的三个最伟大的里程碑，也是整个数学中屈指可数的最美妙的定理。 它们有许多异曲同工的地方。 它们都是用微分几何证明的，都是连接几何与其他领域必不可少的桥梁，如代数几何等。 它的定义就是用非线性微分方程的方法来系统地解决几何与拓扑中的难题，反过来也用几何的直观与想法来理解偏微分方程的结构。 丘成桐在1978年的国际数学家大会的大会报告中系统而清晰地描绘了几何分析与高维单值化理论的发展前景。 由此方法，一系列着名的问题得到解决，特别是唐纳森（donaldson）为代表的规范场理论与低维拓扑的结合，汉密尔顿（hamilton）的ri流与庞加莱猜想的历史性进展，将几何分析的发展带到了一个高峰。 丘成桐高兴：“总算可以破解了，这不仅仅是物理的，更是数学上美妙的地方，神奇的是这就是一码事，原来这些数学和物理是分开的。我要想想如此神奇的形状，是一个绝对的真空，表面上的总曲率等于0，是平坦的，实则内部都是扭曲的，这种扭曲一方面形成了量子力学的强、弱和电磁炉，另一方面就是引力，然后就是这样的无数的扭曲形状.” 卡拉比说：“如果说这些空间会像你说的那样扭曲呢？动力来源于哪里？” 丘成桐说：“物理学家好说量子涨落，我理解的是越小的东西就越不稳定，空间越容易扭曲出各种形状，符号卡拉比流形的就会形成物质，扭曲不出卡拉比流形的就无法形成稳定物质，这就是量子涨落的基础了，也顺便解释了海森堡不确定原理。” 卡拉比说：“如果你要这样讲，那么我们数学家的任务就更重了，你想想看，凭什么会不研究量子涨落这种不稳定的可以变成任何形状的跳动呢？我们就要想方设法的自己构建这些。” 丘成桐说：“虽然量子涨落很小，但是我们在宏观的东西来找到类似物，就比如水面的波涛汹涌来找量子涨落。我们要观察那些有特殊现象的水。” 卡拉比说：“就是陶哲轩说的水会不会爆炸这样的东西？你见过水想《美人鱼》里面那样出现过奇迹吗？” 丘成桐说：“海洋里面有很多效应，比如内波，巨浪和海啸一类的东西，我们都应该留意这些东西，说不定对我们的研究有用。” 第六百四十七章 德拉姆上同调 “上同调群”是讨论流形闭链（可以想成高维的闭圈）以及它们彼此相交的理论，闭链与流形之中没有边界的子流形有关。 想理解子流形的意思，可以想象一个切成球状的瑞士起司，整个球状的起司块可以想成一个三维空间，而它的内部则可能有上百个洞孔，这些洞的壁面就是子流形，某些可以从外包覆，有些可以用橡皮筋在里面绕一圈。 子流形是有精确形状和大小的几何形体，但对物理学家来说，闭链则是一种基于拓扑考虑，不需要那么明确定义的物件，大部分几何学家将闭链视为广义的子流形。 虽然如此，我们可以将闭链想成类似绕甜甜圈一圈的闭圈，借以得到流形的拓扑信息。 物理学家有一套方法，为给定的流形指定一个量子场论。 流形通常有无穷多个闭链，物理学家用一种逼近法将闭链数降到有限个、因此也比较容易处理的值。 这样的过程称为“量子化”（quantization），将本来有无穷多可能的设定变成只有几个容许值（就好像广播电台的频率）。 这个过程必须对原来的方程式做量子修正，又因为这是一组关于闭链的方程，因此是关于上同调群的方程，所以我才为它取名为量子上同调群。 不过做量子修正的方法并不是只有一种，幸好有镜对称，对于给定的卡拉比—丘流形，可以得到与它物理性质相同的镜伴流形。 这个镜伴流形有两种描述方式，来自两个看起来很不同但基本上等价的弦论版本：2a理论和2b理论，它们所描述的量子场论是相同的。 在b模型时，做量子修正的计算相对简单，而且量子修正为零；而a模型实质上是不可能计算的，量子修正也不是零。 德拉姆发现了一种上同调结构。 这是结合了代数拓扑和微分拓扑的工具。 代数拓扑本是用群论来研究拓扑空间的。 微分拓扑是研究微分流形和可以微分映射的数学分支。 德拉姆把它们结合后，找到了能适合计算和用具体上同调类的方法表达关于光滑流形的基本拓扑信息。 霍奇得知之后，就想用这种工具研究光滑流形，光滑就是这个流形是处处可以微分的。 霍奇主要就是研究光滑流形m的实数上同调群在m上的黎曼度量，使用的工具就是很多个拉普拉斯算子和偏微分算子。 这两种算子也就是可以反映光滑流形的表面和内里的形状变化的。 这就是霍奇理论，到1941年的霍奇理论由魏尔（weyl）和小平邦彦（kodaira）整理完成。 第六百四十八章 舒伯特(schubert)计数 cbi-yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家cands等人通过研究不同的cbi-yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（schubert）计数问题。 大概在格林恩与普列瑟的论文发表一年后，镜对称的下一步发展攫取了数学社群的注目。 坎德拉斯、德拉欧萨（xenia de ossa）、保罗·葛林（paul green，马里兰大学）、帕克斯（linda parks）四人证明了，镜对称可以帮忙解决一个代数几何学与“枚举几何学”（enumerative geometry）中的难题，这是超过数十年未解的问题。 坎德拉斯团队所研究的是五次三维形的问题，这个问题也称为舒伯特问题，舒伯特（hermann schubert）是19世纪的德国数学家，他解决了这个难题的第一部分。 所谓舒伯特问题是计数在五次卡拉比—丘流形上“有理曲线”（rational curve）的数目，其中有理曲线是像球面一样，亏格为零或没有洞的曲线（实二维曲面）。 计数这些东西听起来像是种古怪的消遣，但如果你是个枚举几何学家，那么这就是你每天的主要工作。 不过这个工作丝毫不简单，绝不像把罐子中的太妃糖倒到桌上数一数而已。 如何计数流形上的物件；如何为问题找到正确架构，使得计数所得到的值有用，百余年来一直是数学家的挑战。 举例来说，如果想让最后计数出来的数值是有限而不是无限的话，我们能计数的对象就必须是紧致空间，而不能像是平面那样的空间。 又例如要计数的是曲线的交点数，这时相切（轻触彼此）的情形就会造成麻烦。 枚举几何学家发展了许多技术来处理这些情况，希望最终的结果是离散的数。 这类问题最早的例子出现于公元前200年左右，希腊数学家阿波罗尼斯（apollonius of perga）曾经提问说：“给定三个圆，有多少圆可以同时和这三个圆相切？”这个问题的一般答案是八，并且可以用直尺与圆规来解答。 但是要解决舒伯特问题，则需要更精密的计算技巧。 数学家处理这个难题的方式是逐步处理，每一步只处理一个固定的“次数”（degree）。 这里所谓次数，指的是描述曲线的多项式中各项的最高次数。 例如4x2-5y3是三次多项式，6x3y2+4x是五次（x和y的次数要加起来），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等于零（2x+3y-4=0），就可以定义一条线。 因此这个问题是先取出五次三维形，指定有理曲线的次数，然后问说有多少这样的曲线。 舒伯特解出了次数是一的情况，他证明五次三维形有2875条线。 大概一个世纪之后的1986年，现在任职于伊利诺斯大学的卡兹（sheldon katz）解出二次的情况，二次有理曲线数等于。 坎德拉斯、德拉欧萨、葛林、帕克斯解决的是三次的情形。不过他们的解法运用了镜对称的想法，因为想要直接在五次卡拉比—丘流形上解这个问题极端困难，但格林恩与普列瑟所构造的镜伴流形，提供了容易得多的解题框架。 事实上，在格林恩与普列瑟关于镜对称的原来论文中，就已经指出这个基本的思路。他们说明汤川耦合这个物理量，可以用两种差异很大的数学公式来表示，一种来自原来的流形，另一种来自镜流形。一个公式牵涉流形中不同次数的有理曲线数，根据格林恩的说法，计算起来绝对是很“恐怖”的事情；另一个公式则牵涉流形的形状，相较起来要简单得多。然而因为这一对镜流形描述的是相同的物理性质，因此结果必须相等。这就像“狗”和“犬”两字看起来不同，描述的却是同一种覆毛的动物。格林恩与普列瑟的论文中有一个方程式，明确说明这两组看起来长相各异的公式其实是相等的。格林恩说：“你可以有一个抽象上已知正确的公式，但是想把方程式计算到适当的精确度以得出数值，却是很大的挑战。我们有方程式，却没有从它提炼出数值的工具。而坎德拉斯和他的合作者发明出这项工具，这是很大的成就，对几何学也有很大的影响。” 19世纪几何学的重要结果之一是凯利（arthur cayley）与赛尔曼（george salmon）的研究，它们证明在所谓的“三次曲面”上共有27条直线。舒伯特后来推广了这个凯利—赛尔曼定理。（ 这个想法阐明了镜对称的潜力。我们或许不需要再去烦恼卡拉比—丘空间中曲线数量的计数，因为另外有一种和计数这种苦差事比起来很不一样的计算方式，也可以获得相同的答案。坎德拉斯团队运用这个想法，计算了五次三维形中三次有理曲线的数目，结果答案是。 计数这些有理曲线的目的，并不仅止于该数值，而是放眼于整个流形的结构。因为在计数的同时，基本上我们是以成熟的数学技巧在移动这些曲线，直到过程涵盖整个空间。在这样的过程中，我们其实是利用这些曲线来定义这个空间，不管它是五次三维形或其他空间都适用。 计数曲面上的直线或曲线数，是代数几何学与枚举几何学中的常见问题。想知道曲面上的直线的样子，可看看图中这个双直纹双曲面，它是由一系列的直线所完全构成的，而它之所以称为双直纹，是因为曲面上每一点都有两条直线通过。不过对于枚举几何学来说，这样的曲面并不是好例子，因为上面的直线数是无穷多。 这些结果的整体效果，让一个垂死的几何学分支乍然苏醒。根据美国加州大学圣地亚哥分校的数学家马克·格罗斯（mark gross）的看法，坎德拉斯团队领先运用镜对称的想法，解决了这个枚举几何学的难题，导致整个领域获得重生。“当时这个领域基本上已经死了，”格罗斯说，“当旧问题解决之后，人们有时回头用数学的新技术来计算舒伯特数，但是这些方法并无新意。”然后完全出乎意料的，“坎德拉斯带来了新方法，是远远超出舒伯特所能想象的方法。”物理学家曾经迫切地从数学借用许多材料，然而当数学家倒过来要跟物理借用资源时，他们却要求先看到坎德拉斯方法严格性的更多证明。 第六百四十九章 卡拉比流形 卡拉比猜想是由意大利着名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场。 卡拉比（cbi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。 使用以上的工具攻克了猜想之后，就知道这是一个存在的东西了。 卡拉比笑着说：“看我们找到了一个证明，证明世界上有基本物质的存在，可以把量子力学和引力结合起来，在数学上也是合理的，还有很多解，还有很多细节，但是唯独没有标准答案。” 丘成桐说：“没错，如果说是答案的话，有4亿种，只不过不知道到底是哪一种，或许都不是。” 卡拉比说：“不要说是我们有生之年了，你觉得人类能搞定这个问题吗？” 丘成桐摇摇头：“我也不敢说呀。” 卡拉比说：“有的物理学家跟我们说，不会有高维空间的，因为高维空间对引力和热力学的问题都不支持。” 丘成桐说：“那就是需要规范一下引力学和热力学了，保不齐他们都不是不标准的，也许引力学是在高维空间下才是这样运行的呢。” 卡拉比说：“你不觉得我们太过于数学游戏了吗？不谦让物理？” 丘成桐笑：“我懂，大家都喜欢三维空间，但是我现在还找不到三维空间的卡拉比流形呢，如果能找到，我比如会直接拿出来，震撼大家，只不过就把以前的成功给推翻了。” 卡拉比大笑。 第六百五十章 庞加莱单值化定理 卡拉比大笑到：“你说单值化会不会拯救这一切？” 丘成桐知道庞加莱的单值化定理是，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。 如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。 丘成桐说：“我知道二维复平面的环其实只是三维的东西，这反而简单，但是我们如何把卡拉比流形构造成一个三维的东西？其实我们的认为就是要把单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。” 卡拉比说：“反正我们还没有从上亿种流形中找到合适的，所以反而可以把不能单值化的给排除掉，然后不确定的可以先留下。如果要是可以解决这个问题，那我们就可以不考虑引力和热力学在高维空间中麻烦了。” 丘成桐说：“那应该如何找思路，首先是足够的对称的东西基本就单值化，比如说圆环，在4维空间里就3维的单值，而圆球基本上在高维空间中就足够单值了，如果考虑单位超球，对我们来讲，就跟普通的圆球差不多。” 卡拉比说：“那么几何对称性足够高的，单值化就越严重，那么我们要找到卡拉比流形，就需要找到对称性足够高的几何形状才行，而圆形球形或者是圆环之类的，显然也无法满足我们所说的要求，那就是几何形状足够精密和复杂的高对称性的形状的东西，才是我们要找到那种。” 丘成桐说：“我看到研究电子形状的实验，声称可以将电子扩大足够大的倍数，按理说会有电子的不对称性，但是他们的实验结果是足够大的电子还是足够的圆，尽管我们相信它没那么圆，但是毕竟电子是一个足够完美的一个自然物质，这也就启发了我们电子可以引领我们去找到足够对称的可单值化的高维几何形状，其实是一个三维形状的空间流形。” 第六百五十二章 镜对称 卡拉比-丘空间的热潮，始于 1984年，当时的物理学家，开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。 热情持续了几年，便开始减退了。 可是到了上世纪 80年代末期，格林恩（brian greene）、普列瑟（ronen plesser）、坎德拉斯等人开始研究镜对称（mirror symmetry）时，卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。 镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间，看起来没有什么共通点，但却拥有相同的物理定律。 具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”（mirror partner）。 1995年，史聪闵格、札斯洛（eric zaslow）和我提出一个猜想，对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识，为镜对称给出解释。根据这个 syz猜想的理论，六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间，其中之一是三维环面。 如果模仿把半径 r变成 1\/r的操作，把这些三维环面“翻转”，并与另一个三维空间结合起来，就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。 这个猜想提供了镜对称的几何图象，尽管目前只在一些特殊情况下被证明成立。 数学家把物理学家发现的镜关系搬过来，成为数学上强而有力的工具。 在某个卡拉比-丘空间上要解决的难题，可以放到它的镜伴上去考虑，这种做法往往奏效。 例如有一个求解曲线数目的问题，悬空了差不多一个世纪，就是这样破解的。 它使枚举几何学（enumerative geometry）这一数学分支，重新焕发了青春。 这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。 镜对称是对偶性的一个重要例子。它就像一面窗，让我们窥见卡拉比-丘空间的隐秘。利用它，我们确定了在五次三维形（一种卡拉比-丘空间）上给定阶数的有理曲线的总数，这是一个非常困难的问题。 物理学家发现两个卡拉比-丘空间，虽然拓朴很不同，却可能对应到同一物理理论。这个性质称为镜对称，彼此对称的双方称为镜伴。 这一幕还说明了镜对称自有其深厚的数学基础。人们花了好几年，到了 1990年代中后期，镜对称的严格数学证明，包括坎德拉斯等人的公式，才由吉文塔（alexander givental）以及连文豪-刘克锋-丘成桐各自独立完成。 第六百五十三章 舒伯特问题 这类问题称为舒伯特问题。 它源于 19世纪，德国数学家舒伯特（hermann schubert）首先证明，在五次三维形上共有 2，875条一阶有理曲线。 到了 1986年，卡兹（sheldon katz）证明了有 609，250条二阶曲线。 1989年前后，两位挪威数学家艾林斯路得（geir ellingsrud）和司聪默（stein str?mme）利用代数几何的技巧，一下子找到了 2，682，549，425条三阶曲线。 可是另一方面，以坎德拉斯为首的一组物理学家，却利用弦论找到 317，206，375条三阶曲线。 他们在寻找的过程中，用了一条并非由数学推导出来却适用于任意阶数曲线的公式。 这公式的真确与否，还有待数学家验证。 第六百五十四章 severi猜想 弦论必须是十维的理由十分复杂， 主要的想法大致如下： 维度愈大，弦可以振动的方式愈多。 但为了制造出宇宙中的所有可能性， 弦论不只需要大数目的可能振动模式， 而且这个数目还必须是特定的数， 结果这个数只有十维时空才办得到。 寻找钻石的时候，幸运的话，你可能附带找到其他的宝石。我在1977年发表的一篇两页论文里，宣告完成了卡拉比猜想的证明。详细的证明则发表在1978年的73页论文中，在这篇文章里，我附带证明了另外五个相关的定理。 总而言之，这些意外的收获，其实源自我思索卡拉比猜想时的非常境遇：我先是想证明他的猜想是错的，后来又掉头，试图证明它是对的。非常幸运，我所有努力都没有白费，每一着错步，每条看似不通的死路，后来都被我用上了。我号称的“反例”（从卡拉比猜想导出的结论，我想证明它们是错的），因为卡拉比猜想的成立，结果连带也是正确的。因此这些失败的反例，事实上是正确的典例，很快都成了数学定理，其中有些还颇为着名呢。 这些定理中最重要的一项，又带领我们推导出“赛佛利猜想”（severi conjecture），这是庞加莱猜想的复数版本，数学家有二十多年无法证明其对或错。 其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。 另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。 不过在进行这项证明之前，我得先证明一个关于复曲面拓扑分类的重要不等式。我之所以对这个不等式感兴趣，部分原因是听到哈佛大学数学家曼弗德（david mumford）的演讲，他当时正路过加州。这个问题是荷兰雷登大学的安东尼斯·凡德文（antonius van de ven）首先提出的，讨论关于凯勒流形陈式类的不等式，凡德文证明：凯勒流形第二陈氏类的8倍，不小于其第一陈氏类的平方。当时许多人相信将不等式中的8换成3，将会得到更强的不等式，事实上，大家认为3是可能的最佳值。曼弗德问的，就是能不能证明这个更严格的不等式。 这个问题是1976年9月曼弗德在加州大学尔湾分校演讲时提出的，当时刚证明卡拉比猜想的我，正好听了这场演讲。他演讲到中途，我就相当确定曾经遇过相同的问题。在演讲之后的讨论中，我告诉曼弗德自己应该可以证明这个更困难的不等式。当天回家后，我检查做过的计算，果然不出所料，自己曾经在1973年试图用这个不等式来否证卡拉比猜想。而现在，我可以倒过来，用卡拉比—丘定理来证明这个不等式。事实上我的收获更丰盛，因为运用其中的特殊情况，也就是一个“等式”——即第二陈氏类的3倍“等于”第一陈氏类的平方——来证明了赛佛利猜想。 赛佛利猜想与这个应用范围更广的不等式[有些时候被称为“波格莫洛夫—宫冈—丘不等式”（bogomolov-miyaoka-yau inequality），以表彰另两位数学家的贡献]是卡拉比证明最初的主要副产品，此后还有其他应用接踵而至。 事实上，卡拉比猜想涵盖的范围比我之前提到的更宽广，其中不只包含黎奇曲率为零的情况，也包括黎奇曲率为正常数与负常数的情形。 到目前为止，还没有人能证明出正常数条件中最普遍的情况。事实上，正常数的情形，卡拉比原先的猜想并不成立，后来我提出一个新猜想，加上某个容许正常数黎奇曲率度规存在的特殊条件。 过去二十年，许多数学家（包括多纳森）对这个猜想都有相当重要的贡献，但仍未能完全将它证明。虽然如此，我倒是证明了负曲率的情况，这是我整体论证的一环，法国数学家奥邦也独立证明了这个部分。 负曲率的解决，则证实了存在着一类涵盖更广的流形，称为凯勒—爱因斯坦流形（k hler-einstein manifolds）。这门新建立的几何学，后来有出人意料的丰硕研究成果。 在思索卡拉比猜想的直接应用上，我可说是诸事顺遂，在短期间内解决了六七个问题。 事实上一旦你知道存在某个度规，就会顺势得到许多结果。 例如你可以反过来导出流形的拓扑性质，并不需要知道度规的确切表式。然后，又可以运用这些性质去指认出流形的唯一特色。 这就好像你不需要知道星系中众星体的细节，就能辨识星系；或者，不需要知道整副牌的细节，就能推理出许多手中牌张的性质（牌数、大小、花色等）。 对我来说，这就是数学的神奇之处，比起巨细靡遗的细节齐备之后才能做推论，这样反而更能彰显数学的威力。 见到我艰苦的努力终于获得回报，或者看着他人继续向我没想到的路径迈进，都让我觉得心满意足。但尽管拥有这些好运道，还是有个想法不时在心头扯咬着我。在我内心深处，我很确定这项研究除了数学之外，在物理学中也一定有其意义，虽然我并不知道究竟为何。就某个观点而言，这个信念其实十分显然，因为在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率为零的情况），基本上就是真空的爱因斯坦方程，对应到的是没有背景能量或宇宙常数为零的宇宙（目前，一般认为宇宙常数是正值，和推动宇宙扩张的暗能量同义）。而卡拉比—丘流形就是爱因斯坦方程的解，就像单位圆是x2+y2=1的解一样。 当然，描述卡拉比—丘空间比圆需要更多的方程式，而且方程式本身也复杂得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但满足爱因斯坦方程，而且形式格外优雅，至少我觉得有令人忘形之美。所以我认为它在物理学中必定占据着某个重要位置，只是不知道究竟在哪儿。 第六百五十五章 可控核聚变(新能源) 1939年，美国物理学家贝特通过实验证实，把一个氘原子核用加速器加速后和一个氚原子核以极高的速度碰撞，两个原子核发生了融合，形成一个新的原子核——氦外加一个自由中子，在这个过程中释放出了17.6兆电子伏的能量。这就是太阳持续45亿年发光发热的原理。 阿齐莫维齐开始考虑一个问题，太阳的能源都来源核聚变，那么任何一个物质只要合理利用，都可以发生聚变而产生能量，而这种聚变除了氢弹以外，更应该想出具有稳定性的可控核聚变装置才对，这样的话，任何一个物质都可以燃烧e=mc^2这样的公式而提供能量了。 阿齐莫维齐制造了一种装置，是一种使用磁力把高温等离子体约束进来进行核聚变的容器。 毕竟世间没有一个种化学物质可以承受1亿多摄氏度的高温。 点火使用的是1964年王淦昌提出的激光点火的方式。 想要让物质产生核聚变就需要1亿度的高温，原子核之间才会相互接近和碰撞发生核聚变，但一般原子核都有排斥力，激光可以让原子核之间接近和碰撞出核聚变。 如果把等离子体加热后，就可以发射入托卡马克装置了，然后用托卡马克环进行控制了。 阿齐莫维齐宣布在苏联的t-3托卡马克上实现了电子温度1kev，质子温度0.5kev，nt=10的18次方m-3.s，这是受控核聚变研究的重大突破，在国际上掀起了一股托卡马克的热潮，各国相继建造或改建了一批大型托卡马克装置。 阿齐莫维奇对库尔恰托夫说：“你造出一亿度高温，这激动人心，但是没有容易可以转载，就算用磁场，也会因为小太阳的不稳定性而导致它突然爆炸，融化掉周围的一切，所以如此高的高温，你怎么用它？” 库尔恰托夫说：“你想说这时伽马射线，不能照射到太阳能板子上。” 阿齐莫维奇说：“是的，伽马摄像有什么用途？它很快就释放完了。” 库尔恰托夫说：“是的，释放到自己的能量也会衰减到没有，转化到周围的各种物质上，那也算是传递热了。” 阿齐莫维奇说：“我知道，但是我们需要具体操作这个过程，毕竟伽马射线我们不能用普通的东西捕获传递和使用。” 库尔恰托夫说：“一些闪烁体就能吸收一些能量的伽马摄像，然后放出次级光子，很多次级光子符合我们所要的要求。” 阿齐莫维奇说：“说得轻巧，听着正确，而且我能告诉你，特定能量的伽马光子照射到的是闪烁体或者是周围物体的原子核，让原子核发生一些能量的跃迁，甚至也一些聚变或者是裂变，而且可能有很多中能量段的会被周围的各个东西无差别的吸收和反射，反射后也可以被继续吸收。只是，我需要知道你如何做到让托卡马克装置可以做到这一点。” 库尔恰托夫说：“让一个普通的物体，直接传到1亿摄氏度的问题，确实很困难。” 库尔恰托夫的思绪开始飘浮在自己的头顶，上面显示出巨大的托卡马克装置的模型图，托卡马克装置开始加点生磁运行起来。 库尔恰托夫指着自己头顶的3d投影般的托卡马克装置，对库尔恰托夫说：“看我思路的构图。” 阿齐莫维奇看到库尔恰托夫指着空气，疑惑的说：“我什么也没看见？” 库尔恰托夫还是自顾自的用自己的手拨弄脑海中的思维殿堂，在托卡马克装置中物质达到亿摄氏度的时候，库尔恰托夫从旁边拿出了高密度的压缩垃圾，放在达到亿摄氏度的地方，将高能量的火球包围，让火球燃烧这个垃圾。 库尔恰托夫说：“我往中间放了一些人类讨厌，又难以处理的垃圾，这些垃圾会被融化成一些小火球，能成为下一个反应源。” 阿齐莫维奇说：“那你要把垃圾用火球加热到，最终把温度降低到我们人类可以使用的程度吗？” 库尔恰托夫说：“是的，降低到，放在水中，把水加热到沸腾，推动涡轮转动。” 说着，库尔恰托夫把思维图中的垃圾放在水中，当然这个水也可以是废处理水。 阿齐莫维奇也对这库尔恰托夫的思维图说：“那排出的废物和废水就带有放射性了。” 库尔恰托夫也顾不上问为什么阿齐莫维奇能够看到他的思维殿堂，就把放射性的物质放在核反应堆的重水里，然后放入石墨棒，再继续看着这些水被加热成蒸汽。 第六百五十六章 波斯纳定理(经济学) 有了钱到底该不该买房？ 你自以为背上几十年贷款买了一个高端“棺材”但无数你看不上的低端人口却在建筑工地得到了收入，让家里有了盼头，你失去的货币又算得了什么呢？买房，岂不是就是提高了经济体的效率呢？ 假设一位农民在自己的田地里挖到了凯撒大帝平定高卢时期的鹰旗，当然他可以援引先占取得的法律来原始地取得对该鹰旗的所有权。但现在意大利政府主张自己和罗马共和国之间具有国家继承的关系，该鹰旗作为罗马帝国的财产现如今也属于意大利政府的财产，而且意大利政府有专门的团队可以保存该文物并且发挥其在历史学、文物学等研究领域的无穷价值。所以，如果存在规制罗马帝国文物的“波斯纳”法律的话，该鹰旗的产权显然应该归属于意大利政府，因为它能够就该旗帜产生更多的财富，更有效率的利用它而不是当作摆设。 理查德·a·波斯纳提出的法律的经济分析进路（即用经济学的理论和分析方法研究法律问题），是建立在以下三个假设条件的基础之上的： （1）行为人的行为是他们在特定法律条件下进行成本——收益分析的结果，当事人对一定权利的不同估价是其交易得以进行的原动力； （2）法律制度在运行中会给当事人带来收益和成本，故可用最大化、均衡和效率来评价法律行为； （3）财产权利界定清晰可以降低交易成本。通过制定使权利让渡成本比较低的法律，可促使资源流向使用效率高者手中，从而提高经济运行效率。 对该定理最简单的解释是指“在存在高昂交易成本的前提下，应把权利赋予那些最珍惜它们并能创造出最大收益的人；而把责任归咎于那些只需付出最小成本就能避免的人。”波斯纳定理实际上告诉人们一个道理：真正的“公平”，应以“效率”为出发和归宿点。 试以天气预报来说明波斯纳的观点。波斯纳认为，虽然天气预报具有公共性，无法通过出卖这一“商品”从消费者那里得到直接的报酬，但是却可以通过买卖期货合同，借助于“期货”市场来间接地得到补偿并赚得利润。假定天气预报的发布人能够完全预见到未来天气的恶化情况。所以，可以去期货市场，以现时的价格大量购买未来的农产品；当产品收获时，发布人以当时（即未来交货时）的高价格出售农产品，从中取得高额利润。这样，信息商品的私有产权的拥有者通过“曲折”收费完全可以克服公共物品的经济外在性，使私人市场制度的运行避开“市场失灵”的陷阱。 第六百五十八章 林格尔猜想(图论) 树图是只有分支没有闭合的图，完全图是每个节点都两两相连的满图。 格哈德·林格尔（gerhard ringel）想用多个相同树图去填充完全图。如何让多个简单的小图副本完美地重构（覆盖）一张大图？ 1963年，一位名叫格哈德·林格尔的德国数学家提出了一个大胆的猜想：一些特定的图形总是可以被n个小图副本完美覆盖。对此，他指出：任给一棵具有 n条边的树 t，都能在2n+1阶完全图k2n+1中找到不重合且同构于t的2n+1个子图（即2n+1个t副本可以被完美地填充到k2n+1中） 解释一下，就是首先，想象一个包含2n+1个点的完整图形。然后思考使用n+1个点可以制作多少棵树，事实上可以做出很多种完全不同的树。现在，选择其中一棵树并将其放置，以使树的每个边与完整图形中的边重合。然后，将同一棵树的另一个副本放在整个图形的不同部分上。林格尔预测，假设你从正确的地方开始放置并持续这个动作，那么你将能够完美地复制出上面的完整图形。这意味着完整图形中的每个边都被树的每条边覆盖，且树的任何副本都不会相互重叠。 为了证明林格尔的猜想，人们发展与利用了多种数学工具，比如：概率方法、正则引理等，但似乎总有漏洞。 科齐格则推测，平铺总是可以旋转的方式完成。 如果想探究他们的猜想，简单的星形树图是或许是一个不错的起点。 最简单的树图之一是星形：有一个中心点，其他边从中心辐射出来。但它不同于典型的星形图，因为边不必在点周围均匀排列，只需从同一位置向外延伸，除了在中央点之外，不能在其他任何地方相交。 确实，数学家很快观察到，具有n+1个点的星形树始终可以完美地复制到具有2n+1个点的完整图形。单单这个事实就很有趣，但是如何证明却让数学家们犯了难。 但是这个实验依然有漏洞：星形图是规则的，因此无论如何放置都无关紧要。但是大多数树并不是，假如树上有许多不同长度的不同分支，那么只有正确放置它们才能使旋转方法起作用，且此时如何放置第一步将至关重要。 幸运的是，数学家们最终找到了一个直观的色彩方法。 近日，苏黎世瑞士联邦技术学院的本尼·苏达科夫（benny sudakov）、伯明翰大学的理查德·蒙哥马利（richard montgomery）和伦敦伯克贝克大学的亚历克斯·波克洛夫斯基（alexey pokrovskiy）三名数学家发表的相关论文或许给证明这个困惑了人们将近60年的数学猜想带来了希望。他们通过颜色编码找到树的彩虹副本 颜色编码在生活中有很多应用，比如它可以帮助区分日常工作的紧急程度、完成情况等。事实证明，这也是找出如何放置第一颗树的有效方法。 如何进行颜色编码呢？首先，想象围绕一个圆排列的11个点的完整图，编码规则是根据距离（通过一条边连接的两个点之间的距离）进行上色。 假设如果两个点彼此相邻，则它们之间的距离为1，如果两个点中间相隔一个点，则它们之间的距离为2。 现在根据距离为完整图的边上色。距离为1的所有点的边都涂成相同的颜色，例如蓝色。距离为2的点的所有边也都标记相同的颜色，例如黄色。继续这样操作，以使连接点的边距相等的距离都标记相同的颜色。 结果证明，在具有2n+1个点的完整图形上，你需要n种不同的颜色来执行该方案。 给完整图形按颜色编码后，如何找到放置第一颗树的方法呢？ 这个想法是将树定位，使其覆盖每种颜色的一个边，且不覆盖任何颜色两次，数学家们将此位置称为树的彩虹副本。对于一个具有2n+1个点的完整图来说，由于着色需要n种颜色，并且其彩虹副本总是具有n+1个点的树图，因此我们知道彩虹副本是存在的。 至此，数学家们就可以通过证明每个具有2n+1个点的完整图包含具有n条边的树的彩虹副本，来证明林格尔的猜想。如果彩虹副本始终存在，则完全覆盖完整图始终有效。 如果有一个包含11（2n+1=11，则n=5）个点，且已用5种不同颜色上色的完整图形，以及一个包含6个点、5条边的树图，你的任务是在完整图中找到树的彩虹副本。 随着工作不断进行，放置下一个树的工作越来越难，因此你可能需要提前做好计划。三个数学家从一开始就知道，找到彩虹副本或许不难，难得是如何放置。就好像打包过行李箱，众所周知，我们应该从最困难、最复杂的物体开始，比如手提箱、自行车等，因为无论如何，你最后总能找到缝隙塞进一些小东西，数学家们也采纳了这一哲学。 想象一棵有11条边的树，其中6条边的点集中在一起。剩下的大部分是单一的形状，像卷须一样。 最难放置的部分是具有6条边的点。因此，数学家将它与树的其余部分分开，然后将其首先放置。这就像你要把一张床移到楼上必须得先拆卸再进行组装一样。 通过这样做，他们确保了整个图形中的剩余空间是随机的。 这三位数学家的研究表明，一旦嵌入了树图最难的部分，且完整图的剩余空间是随机的，那么总有一种方法可以嵌入树的其余部分以获得彩虹副本。 除此之外，三位数学家的研究结果给类似未解决的问题提供了新思路。或许适当调整一下还可以解决更多未知猜想。 第六百五十九章 葛立恒数和tree(3)数 葛立恒数曾经被视为在正式数学证明中出现过最大的数，后来则被tree(3)取代。 葛立恒数，被视为现在正式数学证明中出现过最大的数。它大得连科学记数法也不够用。 葛立恒数是在吉尼斯世界纪录中世界最大的「有意义」的自然数。 葛立恒（ronald graham，1935年10月31日－2020年7月6日，生于加州托夫特），数学家，在排程理论、拉姆齐理论、计算几何学和低差异数列均有建树。其妻亦是数学家。 葛立恒数是拉姆齐理论（ramsey theory）中一个极其异乎寻常问题的上限解，是一个难以想象的巨型数。这个问题表述为： 连接n维超立方体的每对几何顶点，获得一个有着2^n个顶点的完全图（每对顶点之间都恰连有一条边的简单图）。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么，使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少？ 葛立恒数无比巨大，无法用科学记数法表示，就连a^(b^(c^(…)))这样的指数塔形式也无济于事，甚至连数学家都难以理解它。 举个例子，如果把宇宙中所有已知的物质转换成墨水，并把它放在一支钢笔中，那也没有足够的墨水在纸上写下所有这个数的位数。 事实上，这只钢笔甚至无法写出这个数的位数的位数。就是在添加多少个“的位数”也无济于事。 事实上，我们甚至无法写出在后面要添加多少个“的位数”才能被这只钢笔写出来。 不过，它可以通过利用高德纳箭号表示法的递归公式来描述。 虽然这个准确答案未知，但葛立恒数是现时所知最小的上界。 虽然这个数太大了而无法完全计算出，但葛立恒数的最后几位数可以通过简单的算法导出。其最后12位数是。 那么，葛立恒问题的答案是多少？根据一些数学家的看法，他们怀疑答案是“6”。 葛立恒数的最后500位是： 02425 04198 06525 07117 08292 09182 01329 00901 09692 01819 03222 04575 tree(3)数是一个巨大无比的数。 tree(tree(tree(...)))，多重嵌套了解一下 葛立恒数跟tree3比可以忽略不计了，你就算把葛立恒数迭代葛立恒数次，在tree3面前依旧是无穷小量 tree3可以计算，它是函数增长值，但要用康威廉箭号表示，葛立恒数在它面前不值一提。tree3那个是计算机数据结构树的一个问题，是无解的。因为它可以无穷无尽增长。 看了tree（3）的定义，感觉太美了。 无论你是一个多大的数，tree（3）的感觉就是我都能比你大若干倍。。。 然而我tree（3）还确实不是无穷大。。 简直跟开挂一样。。。 有人问葛立恒说：“你研究这无聊东西有什么鸟用？” 葛立恒说：“可以加密呀，如此巨大的数字，不是正常人用正常计算机可以算出来的，就是有破解的智慧也得有巨大的计算机的超算能力才能破解，一般国家不具备这样的能力。而我们的超算计算机就算葛立恒数和tree3数。” 那个人说：“这样的话确实可以让你的密码很强悍，就是知道你用了葛立恒数，也绝望的无法破解，但是你要加密和解密信息，不累吗？” 葛立恒所：“你笨吧，用mod取余数不就得到简单结果了，也许就是二、三、五之类的个位数，拿这些加密，还会难吗？” 那个人疑惑道：“不会吧，个位数仅仅是二、三、五之类的数，难道不会被数学家轻松反推？” 葛立恒说：“你秀逗了吧，这样的数字要能反推，我们还造葛立恒数干嘛？葛立恒数就是大计算数都难以取mod之后可以轻松反推的数啊。” 那个人终于明白，超级大国的军事通信密码是极难破解的，起码破解条件也在超算计算机加持下才有希望，然而全世界没有几个国家的超算能跟美国比，计算有，但是还得在超算葛立恒数情况下倒推，就要更加强大的超算能力，或许是难以想象的天文数字。 葛立恒说：“而且，计算产生葛立恒数的方式还很简单，还快，只不过倒推极为困难而已，秘诀在这里。” 第六百六十章 马约拉纳费米子(量子力学) 马约拉纳望着狄拉克方程，心里觉得别扭。 对薛定谔方程两边取平方能得到负能量和泡利不相容的自旋，这让人理解起来别扭。 很多人说的是这很完美，这个完美是把两个完全不一样的东西放在一起，大家认为的那种自然而然的感觉。 但马约拉纳觉得大家认为的太理所应当了，即使是这个样子，但是也要对这个方程的含义本身进行理解才行。 马约拉纳认为这个方程的意思就是自旋跟反粒子本身就有关系。 如果要是这样认为的话，说明一个粒子有一个自旋，然后变换自旋的话，同时也会变成反粒子，就是一个粒子可以是它自己，也可以变成一个反粒子，这样就可以解释狄拉克方程了，也可以解释万事万物和他们反粒子的关系了。 马约拉纳对狄拉克说了自己的想法，他认为反粒子就是它本身。 狄拉克说：“不，我觉得你错了，我认为反粒子与自身不同。” 马约拉纳说：“对中性自旋1\/2粒子，你的方程就满足我的看法。” 狄拉克说：“但实际生活中找不到这样的粒子啊。” 马约拉纳说：“我觉得中微子保不齐就是这样子的。” 狄拉克说：“就算中微子是，电子和质子会是你说的这个样子吗？” 马约拉纳说：“保不齐正电子和反质子也是跟电子和质子是一样的，只不过其中的构造难以清楚的描述而已。” 狄拉克说：“就这么点可怜的例子？我想支持你的看法都难。” 马约拉纳说：“还有就是在凝聚态物理学里，这样的费米子以准粒子激发的形式存在于超导体里，它可以用来形成具有非阿贝尔统计的马约拉纳束缚态。” 狄拉克笑：“你的伟大构想只在超导体里存在了，然后就是中微子也有微妙的希望。除此以外，我很难在支持你了。” 马约拉纳说：“也许整个宇宙也是一种特殊的凝聚态。” 第六百六十一章 弗兰克·德雷克博士创立了地外文明搜寻计划(seti) 1961年，德雷克提出了一个公式，用于估算银河系中可能存在多少个可探测到的外星文明。这个公式不像可以计算出直角三角形边长的毕达哥拉斯定理那样严谨，但它为我们开启了广阔的可能性。 德雷克公式也可以被看作一个非常粗略的计算过程，这类估算在技术上有一个名称——费米估算。这是以 1938年诺贝尔物理学奖得主恩里科·费米的名字命名的一种估算技术，可以让我们在缺少甚至没有真实数据的情况下做出适当的近似计算。最着名的一个例子，就是费米根据他抛洒的碎纸片飘过的距离估算出原子弹爆炸的强度。 费米估算的一个经典应用是估计芝加哥市的钢琴调音师人数。下面，我们来分析一下他的逻辑推导过程。 (1)芝加哥大约有 300万人口。 (2)假设一个普通家庭有 4个人，那么全市有 75万个家庭。 (3)假设 1\/5的家庭拥有钢琴，那么芝加哥有 15万架钢琴。 (4)假设钢琴调音师平均每天调试 4架钢琴(每周 5天工作制)，每年有 2周的假期(美国人比我们英国人工作更努力!)。 如此计算，一年(52周)下来，一位钢琴调音师可以调试 1000架钢琴。因此，假设每台钢琴每年需要调音一次，费米估计，芝加哥一共有 150名钢琴调音师，因为 \/(4x5x50)= 150。 我曾让班上的学生用这种方法估算英国人每年吃多少碗麦片，或者欧洲人每天步行多少千米。如果你做出合理的假设，然后把它们串在一起，就可以做出一些令人吃惊的预测! 现在，我们利用德雷克公式，估算银河系中可探测文明的数量: n = r*xfpxnexf1xfixfcxl n =银河系中可探测到的文明的数量 r*=适合智能生命发展的恒星形成速率，为1(银河系形成以来，平均每年形成 1颗恒星)。 fp =这些恒星拥有行星系统的比例，为0.2~0.5(1\/5到 1\/2的恒星有行星)。 ne =太阳系中适合生命栖居的行星数量，为1到5。 f1 =适合生命栖居的行星上真的有生命存在的比例为1(这些行星百分之百会产生生命)。 fi =有生命存在的行星上出现智能生命的比例为1(这些行星百分之百会产生智能生命)。 fc =文明发展出通信技术(即向太空释放出可探测到的表明该文明存在的信号)的比例为0.1~0.2(这些文明发展出通信技术的比例为 10%~20%)。 l =这些文明向太空释放可探测信号的时间长度为 1000~年 读到这里，你可能会想，我们很难知道这些变量的值到底是多少!事实上，德雷克写这个公式是为了鼓励科学界展开讨论，而不是给我们一个确切的答案。不过，德雷克也给出了下面这些估计值: 如果所有变量都取最小值， n = 20;都取最大值，n= 5000万。总的来说，德雷克和他的同事估计银河系中有 1000~1亿个文明。当然，任何一步估算都很容易引起争议，但是德雷克公式肯定是人们在家里聊天时会谈到的一个话题。 第六百六十二章 伊夫·梅尔的小波理论 1960年，yves meyer伊夫·梅尔的小波 小波理论允许我们将各种不同类型的信息分解为更简单的组件，从而使信息分析、处理和储存变得更加简单。因此，小波理论被应用在非常广泛的领域中，包括调和分析应用和计算、数据压缩、降噪、医学成像、归档、数字电影以及引力波探测等等。 2016年，ligo探测到两个黑洞合并辐射出的引力波事件，其信号分析正是应用了小波理论。 有趣的是，meyer的工作灵感并不是来自于数学的，而是来自于石油工业。 在1980年代，法国工程师jean morlet想要知道如何更好的利用地震数据来寻找石油。 morlet分析了从石油勘探中收集到的反射数据。 将振动向地面传送，并收集回声。 这跟蝙蝠利用声呐的原理一样。 问题是如何分析反射回来的数据，并提取关于石油层的有价值的信息。 morlet和物理学家alex grossmann想到了一个分析信号的方法，并且引入了一种新的函数类别，称为“小波”（wavelets），该函数通过对固定函数进行伸缩和平移而得出。 然而，石油工业对此并不感兴趣。 morlet的方法并没有被采用，但他们的论文依然在1984年的春天发表在科学期刊上。 一年之后，meyer正在巴黎综合理工学院复印东西的时候，他的同事给他复印了关于morlet的那篇论文。在前往马赛的火车上，他发现了小波的巨大潜力。 数学家和工程师早就知道一个分析和处理特定类型信息的强大工具：傅里叶分析。 声音是用来解释傅里叶分析的最佳例子。 例如，音叉发出来的中央a的声音由一个完美的正弦波代表。这是一个正弦波。它往左和右无限地延伸。由于正弦波和余弦波相关，因此这也可以看做是余弦波的表示。 其它的声音，比如小提琴奏出的相同音符，就更加复杂。 但是，后来我们发现任何周期性的声音，事实上是任何类型的周期信号，都可以被分解成不同频率的正弦波和余弦波的总和。 函数 f会随着时间改变，代表了一个声波。 傅里叶变换过程会将函数f分解成特定频率和振幅的正弦波。 傅里叶变换被表示为频域上的峰值，峰值的高度显示了那个频率下的波的振幅。 傅里叶分析是个非常有用的工具。 它也可以被用来分析和处理图像以及其它类型的信息。 但是，它也有缺陷：因为基本的组件——正弦波和余弦波——是周期性的，傅里叶分析只有在重复信号中才能发挥最强大的作用。 但对于那些具有不规则特征（比如峰值等）的非周期信号就不是那么管用了。 不幸的是，在大部分现实生活的现象中，从说话的声音到地震数据，都属于非周期类别。 这个波形来自人类的声音。它有规律，但不是周期的。 这也是小波理论登场的时候。 顾名思义，小波就是一个“很小的波”。 理论的基础是一个“母小波”（mother wavelet），是振荡函数的一小部分。 振荡的频率各有不同，同样地，小波的宽度也各有不同。 但它们之间有着紧密的联系：频率越高，宽度越窄。 通过改变母小波的尺度，可以产生女儿小波（daughter wavelets），比如缩小（频率增高）、放大（频率降低）或移动。 一个信号，比如我们讲话的声音，就可以用这一簇小波的组合来表示。 这种分解可以使我们能够捕捉在信号中的重复信息，利用一系列逐渐缩小版本的母小波也使我们可以放大局域的不规则性（比如峰值）。 为了储存这样的一个信号分解，你只需要描述原来母小波的信息，以及不同女儿小波的贡献。 它们就已经足够可以把原信号重新构建起来。 前者的变量只有频率w，后者则有两个变量：尺度a（控制小波函数的伸缩）和平移量t（控制小波函数的平移）。 小波理论的最初想法可以追溯到很早以前。 数学家 alfréd haar在一百年前就已经构建了小波的一个版本。 haar的小波有一些漂亮的性质，但也有些不足。 而 meyer在小波理论的发展中起到了关键作用，是他构建了小波理论的强有力的坚实数学基础。 meyer所作出的首个重大贡献是构造了具有光滑性的正交小波基。 在 morlet构造的小波分析中，meyer小波基中的所有函数都是通过平移和伸缩可以明确指定的单个光滑性“母小波”来生成。 morlet所构造的小波尽管从本质上看非常基础，但却相当不可思议。 随后，stéphane mat和 yves meyer系统地发展了多分辨率分析理论，这是构造小波基的通用框架。 在1980年代后期和1990年代初，信号处理迎来了“小波革命”，小波变换也被应用在了许多基本信号处理的任务上。 例如，压缩（比如jpeg2000图像压缩格式）和去噪，以及更现代的应用（比如压缩传感）。 fbi也是利用小波来储存指纹信息，否则就会占据大量的储存空间。 此外，meyer的工作还推动了调和分析和偏微分方程式领域的重要理论发展，从证明lipschitz曲线上柯西积分的有界性（由coifman、mcintosh和meyer解决），到发展理解在偏微分方程的非线性效应不可缺少的新工具（比如补偿紧致等）。 不仅如此，meyer还在准晶体、奇异积分算子和纳维-斯托克斯方程式等课题作出了重要贡献。 可以说，meyer的工作和洞见不仅推动了纯数学和数学分析的应用方面的发展，还为二者之间架起了卓有成效的沟通桥梁。 stéphane mat称他为“有远见的人”，他的工作不属于任何一个领域（比如纯数学、应用数学或计算机科学），它只能用“神奇”来标签。 第六百六十三章 凯利公式(统计与概率) 事实上，凯利公式只是让你在最小风险下，来合理分配投资比例。但如果只依靠凯利公式是完全不可行的。 应用凯利公式需要有两个前提： 第一：在游戏中，你的数学期望必须为正值。也就是说，这个游戏需要从数学的角度来判断是否值得参与。 第二：单次下注的胜率和赔率必须是固定的，但是胜率从独立事件上看是不可靠的，我们需要进行足够的游戏次数才能判断胜率是否在统计学上是固定的。 如果只是单次或几次，玩游戏的话，除了相信运气，其他什么都别信了。 比尔·巴特之所以可以赢钱，是因为他花费很大精力财力搭建的预测系统，这个系统之前也提到过，凯利公式在系统中提供减少投资风险的作用，而自定义的 mlr模型其实就是保证自己赛马的胜率是较高的，才使得赛马在数学期望上值得玩。 第六百五十一章 莫泽的移动沙发转弯问题(结构) 早在1966年，数学家莫泽（leo.moser）就提出了这个移动沙发问题。 在单位宽度的走廊中，可围绕直角移动的最大面积的平面形状是什么？ 适应转角的最大沙发也被称为“沙发常数”，其数值等于沙发最大的横截面积 通俗点说，谁能用最大的沙发完美通过90°的急弯，谁就是数学界的“秋名山车神”。 在这场漂移过弯的比赛中，每个数学家都纷纷施展浑身解数，暗下决心要将沙发秀起来。 就在问题被提出的同年，有人马上想到了正方形过弯法。 正方形沙发过弯 【沙发系数=1x1=1】 这个不用转动车头的硬核过弯操作，甚至让我们一下子就联想到推箱子游戏，简单粗暴的同时带有一点愣头青的味道。 虽然这个辣眼睛的操作，并不能得到数学家们的一致认可，但却打响了沙发问题的第一炮。 没过多久，数学家们对正方形沙发重新进行构想，采用了半圆的设计理念。 这个设计的神奇之处在于，过弯时，圆心会固定在转角的顶点处，圆弧会紧贴走廊边。 这次，数学家们终于成功让沙发头转起来了！ 而更让他们感到兴奋的是，半圆形的改装使得沙发常数大大提高，一下子跃升到 1.57。【沙发系数=（πx12）\/2≈1.57】 虽然半圆沙发取得了阶段性的突破，但是问题也非常突出：看起来不太像沙发，反而有点像量角器。 他把上面的半圆形沙发整体拉长，然后再在中间根据顶点处所需要的空间抠掉一部分，设计出一个很像沙发的沙发。 hammersley沙发，定义了更高标准的过弯。 毫不夸张的说，这是沙发问题的里程碑。 中间的挖掉的半圆半径其实可以在 0到 1中间任意取值，这些沙发都可以穿过 l形的走廊。通过对一个二次函数取极值，我们就能求出最终沙发中间部分的半径应当取为 2\/π，那么这时沙发的沙发常数就变成了 在很长的的一段时间里，数学界的大部分人，包括hammersley在内，都认为hammersley沙发是完美的，是沙发问题的最终解。 但同样作为沙发问题的高玩的gerver并不这么认为，他向hammersley提出了质疑。 hammersley不以为然，始终认为hammersley沙发是最完美的。 直到1992年，gerver在hammersley沙发的基础上，通过旋转路径构建新的形状，提出了gerver沙发。 尽管看起来和hammersley沙发没什么区别，但从数学角度看，你会发现gerver沙发更加复杂。 看看下面的图，刻度线描绘了边界上不同部分之间的过渡点——3条直线、15条曲线段。 其中 v， xiii和 xviii三段是线段， i， vi， xii，和 xvii是圆弧， ii， iii， vii， xi， xv和 xvi是圆的渐开线， iv和 xiv是圆的渐开线的渐开线。 每条曲线段由一个单独的解析表达式描述。 这个神似老式电话听筒的gerver沙发，硬生生把沙发常数整整往上提升了足足 0.5%【沙发系数≈2.2195】，是目前单个走廊转角沙发移动问题中寻找到的最优解。 gerver沙发是否就是最优的沙发曲线，他不得而知，但他表示最完美的沙发系数应该是在2.2195~2.37之间。 对于gerver沙发的现世，数学家们纷纷拍手称好，除了加州大学戴维斯分校数学系教授dan romik。 据说dan romik刚拿驾照没多久，但却对沙发过弯问题有着极高的要求。 他并不满足于使用gerver沙发漂移单个急弯，他认为能完美漂移过二连发急弯的男人才是真正的数学车神。 为了可以 0距离感受沙发，他甚至模仿葛优躺在沙发上思考如何优化。 躺在沙发上的romik，一下子就想起了类似比基尼的形状。 第六百五十七章 液体上流现象(流体力学) 俗话说，水往低处流。可是12年前，有人发现了水可以逆流而上。 这个现象是在2008年金融危机爆发那年被一个叫做s. bianchini的物理系少年发现的，距今已有12年。 当时，来自阿根廷的bianchini正在泡阿根廷的传统马黛茶，马黛茶是用巴拉圭冬青叶子制作的，茶叶是粉末状的。当他倒水的时候，猛地发现茶叶竟然倒行逆施，自动飘到了茶壶里。 倒水时，如果壶嘴和下方液面距离很近，茶叶就会逆流而上，来到水壶里。 bianchini的导师也没见过这种操作，于是后来bianchini同学用这个做了毕业论文，然后顺利毕业了。 在论文中，他用马黛茶叶还有粉笔末在实验条件下重复了上述现象。bianchini认为，这个现象并不是咱们在生活中常见的毛细现象导致的，而是由于马拉高尼效应。 马拉高尼效应指的是表面张力不同的液体之间形成水流。咱们平时看到的酒杯挂壁，还有风油精小船都是马拉高尼效应导致的。 马拉高尼效应还可以用来让液滴自动解迷宫。 bianchini通过实验发现，马黛茶还有粉笔末可以减少下方液体的表面张力，因此上游的水表面张力大，下游的水表面张力小。而表面张力大的地方可以把表面张力小的地方的液体吸过去，形成马拉高尼流，所以水才可以倒流。 这个反直觉的物理现象说明，上游的水不一定比下游的干净，因为下游可以反过来污染上游。因此后来这个现象就被取名为逆流污染（upstream contamination）。 过了几年，罗格斯大学的工程学教授 troy shinbrot对这个现象产生了兴趣，于是找了个学生和 bianchini用更复杂的实验再次验证了一番，并把结果发表在了2013年的proceedings of the royal society a上。 shinbrot他们用马黛茶叶还有粉笔末发现，逆流污染现象确实存在，液体可以向上攀升1厘米的高度。哪怕上方滴水处宽度达到几米，这个现象依旧存在，冷水和滚水同样会出现逆流污染。 shinbrot他们也再次验证了表面张力在逆流污染中的作用。经过测量，他们发现加了粉笔末以后，水的表面张力减小至原来的一半，加了茶叶以后减小至原来的1\/3。 经过计算，加入粉笔末后，减少的表面张力可以给漂浮在水上的粉末提供20倍的重力加速度，推动它逆流而上。 那么问题来了，如果这个现象真的是表面张力差导致的，那么消除上游和下游的表面张力差，水是不是就无法倒流了呢？ 他们也测试了一下。他们在上游的水中加入了表面活性剂苯扎氯铵，减少上游的表面张力。果然，这么干了之后水就不会倒流了。 实际上，2002年麻省理工学院（mit）的应用数学教授 john w m bush和同事也发现，如果在下方水池里加入表面活性剂，那么下方的水能够沿着瀑布倒流，逆行的高度最高可达到2厘米。 了解了这个现象后，相信各位弟弟都不敢在小便池里近距离滋尿了。 当然对于要做实验的研究者还有制药企业来说，这个现象还是很烦人的，这意味着用滴管的时候，下面的物质可能反过来污染滴管里的液体。 你以为马拉高尼效应可以让水流逆行已经很秀了么？在1992年，科学家们还注意到马拉高尼效应的另一个反常识的神奇技能。 咱们知道，水滴落到杯子里，会和杯子里的水融合在一起，这在物理学上叫做合并（coalesce）。 我们之前介绍过，通过振动液面，可以让液滴长时间不合并。 那年，国际航天任务 spacb mission d2的宇航员以及意大利那不勒斯大学的物理学家 rodolfo monti在 onset实验中观察到让两个液滴不融合的方法，那就是制造巨大的温差。 这个神奇的现象引起了不少物理学家的兴趣，他们认为，这就是马拉高尼效应作怪。 原来，除了上面讲到的表面张力差（表面张力梯度），温差（温度梯度）也可以促成马拉高尼效应，因为温度越高，表面张力越小。 monti后来和同事们做了这样一种装置，上面的仪器悬挂着一滴液体，下面是同样液体形成的水平液面。 他们发现，如果温差很大，那么上面这滴液体死活不会和下面的液面融合。 更有趣的是，只要维持这样的温差，哪怕强行把液滴按到下面的液面以下，它也不愿意融合，把自己活活扭成了气球。 如果上方液滴和下方液面温差很大，那么液滴就不会和下面的液体融合。 但是，如果两个液体的温度完全一致，它们在几毫秒内就会融合。 那么，马拉高尼流是如何阻止液滴合并的呢？ 这是因为上下液体之间存在温差，因此上面的液滴和下面的液面中都存在马拉高尼流。而这两股对冲的马拉高尼流搅动周围气体，使液体之间存在一层轻薄无感的气体，正是这层气体阻止了上下液体的合并。这个过程简而言之就是“冷朝热风”。 换成两滴液滴也是一样，两滴温差很大的硅油无法合并—— 温差很大的液滴无法融合。 这个现象在焊接和制造合金时有很大的应用，因为在高温下熔化的金属也会遇到类似的问题。当然，在冬天冰冷的厕所里，大家也能看到带着余温的废液在尿池中最后的倔强。 第六百六十四章 费根鲍姆常数(混沌学) 某些数学映射用一个单独的线性参数来展示表象随机的行为，即混沌（chaos），这个参数的值在一定范围之内，参数值在被增大的过程中，其映射会在参数的一些特定值处形成分岔（bifurcations），最初是一个稳定点，随后分岔表现为在两个值之间摆动，然后分岔表现为在四个值之间摆动，以此类推。 1975年，费根鲍姆用hp-65计算器计算后得出，这种周期倍增分岔（period-doubling bifurcations）发生时的参数之间的差率是一个常数，他为此提供了数学证明。 他进一步揭示了同样的现象、同样的常数适用于广泛的数学函数领域，这个普适的结论使数学家们能够在对表象不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步。 这个“极限率”（ratio of convergence）通称为费根鲍姆常数。 1978年他发表了关于映射的研究的重要论文 quantitative universality for a ss of nonlinear transformations《一个非线性变换类型的量子普适性》，其中特别谈到了对于混沌理论有直接意义的logistic映射。 若an代表周期2的n次方的分支点（引起分岔时的a临界值），则（相邻倍化分岔点间的距离比）是一个常数： 费根鲍姆常数是新近发现的、且在学术界认定的一个普适常数，这个常数与“混沌现象”有关。 其大小δ≈4. 02990 4134..... 第六百六十五章 无毛定理(黑洞) 霍金对卡尔特说：“黑洞是一个完美的形状，质量大，形成的圆更为纯粹和完美。内部当然也是一种纯数学的分布，或许……” 卡特尔说：“或许是一个纯粹的一个圆，结构及其简单，不像其他天体？” 霍金兴奋的说：“没错，我就是这个意思，没有瑕疵。但是我们还需要给它定下几个物理量，尽量少，但也必须有。” 卡特尔说：“首先黑洞肯定有质量，不同的黑洞有质量。” 霍金说：“我一直想说的是，黑洞相当于跟原子一样的东西。只是这个原子极其重而已。不同的质量，这个是黑洞与原子区别的特性。” 卡特尔说：“黑洞有旋转，这个旋转虽然跟其他天体旋转一样，但是由于黑洞奇特的纯粹性，导致这种旋转有量子力学的效应。” 霍金说：“那就用角动量来描述。” 卡尔特说：“还有一个与普通天体仅仅有引力不同的是，黑洞有电性，很多脉冲星可以发射这样的电波。黑洞也有这种强烈的性质。” 霍金说：“任何除此以外，就没有别的性质了吧。” 卡尔特说：“没有了，其他的性质都是由这三种基本的性质组成的，黑洞的内部，不会有任何有价值的结构。” 第六百六十六章 彭罗斯铺陈(结构) 见过很多地方铺的地砖，这些地砖都有一定的周期性。彭罗斯就研究过地砖的形状和铺设的效果。 周期性铺陈方式是指你可以描出一个区域的轮廓，通过平移这个区域就可以铺陈整个平面，所谓平移就是在不通过旋转或者翻转的情况下移动这个区域的位置。 荷兰艺术家埃舍尔因其绘画中的数学性而闻名，作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。 其中一对毗连的黑鸟和白鸟构成了一个平移铺陈的基本区域。 只有在铺陈方式为周期性时，你才能在不通过旋转的情况下将这张纸移动到一个新的位置，使得所有轮廓都再次恰好相符。 彭罗斯认为周期性的铺陈当然好研究，那有没有非周期性的铺陈呢？ 彭罗斯发现，用全同的等腰直角三角形或四边形，很容易将国际象棋的棋盘转换为一种非周期性铺陈方式。 还有一种不同面积大小，但长宽比例相等的长方形也可以非周期性的铺陈。 这就带有了螺旋形式了，那么非周期铺陈必须得是带螺旋形式一类的铺陈吗？如果摆脱？ michael goldberg说：“你要是这样想，那我也能把螺旋弄成都是相等的，最后还是周期的，只是单个都是螺旋的摆了，每个螺旋的中心还是一个晶格点阵。哈哈。” 彭罗斯说：“那也能弄成很多螺旋的，大小不同的，非周期的，而且也能按照更大螺旋的那样摆放。” michael goldberg说：“你没有摆脱周期和循环的这两种排列方式，看似眼花缭乱，但是本质单一。精明的人还是可以一眼看出。” 彭罗斯说：“是否存在着一些只能非周期性铺陈的镶嵌片集合？我们说“只能”的意思是，无论是单一的形状或子集，还是整个集合，都不能作周期性铺陈，但是通使用它们全部，就有可能构成一种非周期性的铺陈方式。其中允许进行旋转和翻转。” 在数十年间，专家们曾相信不存在这样的组合，但是结果证明这种猜想不成立。 1961年，王浩说：“对于任意一组给定的骨牌，是否能以某种方式铺陈而使得其相邻边都具有相同颜色，铺陈时不允许旋转和翻转。”最后王浩发现王式铺砖。 这个问题的重要性在于，它与符号逻辑中的决策问题有关。王浩推测，任意一组能够铺陈为平面的镶嵌片都能够周期性地铺陈为平面；他还证明，如果事实确实如此的话，那么就存在着一种这种铺陈的决策方法。 1964年，伯杰（ robert berger）在哈佛大学应用数学专业博士学位论文中证明，王浩的推测不成立。 不存在任何普遍适用的方法，因此只存在一组只能非周期性铺陈的王氏砖。 伯杰用两万多块骨牌构造出了这样一个组合。后来他发现了一个小得多的组合，它由104块骨牌构成。 而高德纳则将这个数字减小到92。 这样的一组王氏砖很容易转化为只能非周期性铺陈的多边形镶嵌片。你只要将其边缘做成凹凸形以构成一块块的拼图，而它们以先前用颜色规定的方式相配。 一条先前某种颜色的边只能与另一条先前为同样颜色的边相配，并且对于其他各种颜色也能得出一种相同的关系。 罗宾逊（ raphael m. robinson）通过允许这样的镶嵌片旋转和翻转，构造出六片从上文所解释的意义上来说强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。 1977年安曼发现了另一组不同的六片镶嵌片，它们也强制产生非周期性铺陈。 这种正方形镶嵌片是否能减少到六片以下尚未可知，不过我们有充分的理由相信六就是最小值了。 1973年，彭罗斯发现了一组六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。 1974年，他发现了一种将它们减少为四片的方法。此后不久，他又将它们减少到两片。 关于彭罗斯的宇宙，还存在某种更为令人惊奇的事情。从一种奇特的有限意义上来说，由于受到“局部同构定理”的制约，所有的影罗斯图案都是相似的。彭罗斯证明：任何图案中的每一个有限区域，都包含在所有其他图案中的某处。此外，它在每种图案中出现无穷多次。 为了理解这种情形有多么狂，请想象你正居住在一个无限大平面上，这个平面由不可数的无穷多种彭罗斯铺陈中的一种镶嵌而成。你可以在这不断扩张的面积上一片一片地检查你的图案。无论你探索多大的面积，你都无法确定自己是处在哪一种铺陈方式上。去往远处以及检查不相连的区域都毫无帮助，因为所有这些区域都属于一个大的、有限的区域，而这个区域在所有图案中都被精确地复制了无穷多次。当然，对于任何周期性镶嵌图而言，这都是显而易见的事实，然而彭罗斯宇宙并不是周期性的。它们有无穷多种方式使得彼此显得不同，却又只能在触不可及的极限上才能将它们彼此区分开来。 假设你已探究过一个直径为d的圆形区域。我们把它称为你所居住的“镇”。突然之间，你被传送到一个随机选择的平行的彭罗斯世界。你离一个与你家乡的镇里的街道一模一样的圆形区域有多远？康韦用一条超凡卓越的定理给出了答案。从你家乡的镇的边界到那个一模一样的镇的边界的距离，绝不会超过黄金比例的立方的一半的d倍，或者说就是2.11+[译者注：这里的加号（+）表示（1.…）3=2.…]乘以d。（这是一个上限，而不是平均值。）如果你朝着正确的方向走，那么你不需要超过这个距离，就会发现自己置身于你自己家乡的镇的精确复制品中。这条定理也适用于你身处的宇宙。每一种大的圆形图案（有无穷多种不同的图案）都可以朝某个方向走过一段距离而到达，这个距离必定小于这个图案直径的大约两倍，更有可能大约就等于该直径。 第六百六十七章 宇宙监察假设 在一些程度上，每个人虽然喜欢美丽的真理，但那些真正有才华的人能把大量真理对普通人轰炸到焦虑的程度。 霍金和彭罗斯所说，多数人不会理解，只要在科学上有极大激情和敏锐洞察力的人，才会用自己所学的宏大的知识去感悟与理解。 彭罗斯提出宇宙监察假设这些理论之时，肯定没指望诺贝尔能够有足够的耐心去理解。但哪里会有人想到，诺贝尔突破自己格局，敏锐的判断出了彭罗斯那种难以一时半而验证的假设，在解释宇宙奇点的这个事情上有一些正确性。 彭罗斯研究一个恒星的死亡，也就是塌缩之后，产生一种奇点，引力强到无法用物理学去解释。 奇点是黑洞的中心，可以消灭信息，不符合宇宙信息守恒，极其恐怖。 奇点与正常时间之间有一个壳，叫视界。 这个视界就是遮挡我们看到被奇点吸引而消失的薄膜，这就是宇宙监察假设。 大多数科学家认可奇点，但不认可视界，因为没有证据。 彭罗斯认为视界让科学家会止步于此，不会了解其中的内容。 奇点一定被视界包裹，觉得不会自我暴露，如果自我暴露，那叫做裸奇点。彭罗斯认为裸奇点不存在。 这其实就是告诉大家，大质量的天体如果产生奇点，那奇也就是塌缩的超高密度物质，也就是黑洞这一类的东西，我们永远都无法观察到。 有些数学家想用花巧的办法去观察，试图构成一种可以观测的中心高密度结构，到目前也没成功。只是他们没有放弃。1973年，有天文学家观测到不均衡的塌缩，下落过程中相互交错现象，会产生视界没挡住的那一部分，只是时间很短。 彭罗斯拿诺贝尔的意思，恰恰说明宇宙监察假设的一些反常实例，这样对于观测视界内的信息的作用有一种框架性的认识。不去如此认识，对于高能量近奇点物理学不能正确认识。 也有数学家表明，塌缩不平衡性模型也许可以用数学上的质点n体运动的来表示其本质。 此前，霍金认为黑洞让信息消失，这个信息的本质是结构与能量的稳定或统计稳定的组合。 第六百六十八章 佩托悖论(生物癌症) 目前我们所知道的是，癌症始于一个细胞获得了一定数量的不利基因变化，这些异常的变化将它与其它正常细胞分离开来，成为了最终可能导致肿瘤形成的存在。 如果这种说法是准确的，那么这些异常细胞出现的概率应该随着生物体的生命周期和体内细胞的数量的增加而增加。也就是说，体型较大的、长寿的生物体理应受到更大的冲击，因为它们的细胞分裂次数更多，从而体细胞突变的可能性也越高。然而奇怪的是，事实并非如此：患癌风险与体型和寿命似乎并不存在这种关联。 这一迷思被称为佩托悖论，1977年，流行病学家理查德·佩托（richard peto）首次描述这一现象，他指出，虽然人类的细胞数量约为老鼠细胞数量的1000倍，且人类寿命也比老鼠寿命长30多倍，但它们的患癌风险并没有显着差异。 2021年年末，一篇题为《哺乳动物的患癌风险》（cancer risk across mammals）的研究发表在了《自然》杂志上。这项研究通过对191个动物物种的死亡率进行分析后发现，体型更大或寿命更长的动物，并不比体型更小或寿命更短的动物更容易死于癌症。 体细胞突变是一个自然的过程，它发生在生物体的整个生命周期的所有细胞中。人体细胞每年大约会发生20到50个突变，这些突变大部分无害，但其中一些可能会导致细胞走向癌症或损害细胞的正常功能。 自20世纪50年代以来，一些科学家推测，这些突变可能在衰老过程中起到了某种作用。但是观察体细胞突变并非一件简单的事，对单细胞的突变进行准确测量需克服巨大的技术困难。 在这项新研究中，为了了解哺乳动物的体细胞突变情况，研究人员设计了一种巧妙新颖的方法来解决这一难题。他们聚焦在动物结肠中的一种被称为隐窝的结构上，这是一类由肠道上皮细胞组成的微小褶皱。这些细胞都有一个共同的祖先细胞，与物种的寿命相比，这一祖先细胞存在的时间相对较短。因此，对隐窝进行基因测序可以很好地估计出祖先细胞中存在的突变数量。 之前有研究表明，人类隐窝中的突变数量每年都以恒定的数量增长。现在，研究人员通过对来自包括老鼠、裸鼹鼠、兔子、猫、狗、人、马、长颈鹿、海豚等16种大小各异、寿命不等的哺乳动物的208个肠隐窝进行全基因组测序，在这些物种身上发现了相同的规律。 不仅如此，研究人员还发现，对不同物种来说，将突变引入基因组的过程似乎并没有什么本质上的区别。通过比较每个隐窝的基因组每年获得的突变总数，他们惊讶地发现这一数字对不同物种来说差异惊人，比如对于人类隐窝来说大约只有47个，而小鼠却有796。 接着，研究人员分析了哪些特征与物种间隐窝突变率有关。他们考虑了动物的一些生理指标，比如成年时的体重、胎仔数、基础代谢率等，发现其中与隐窝突变率表现出最显着的相关性的是寿命长短。寿命较长的动物每年获得的突变很少，而寿命较短的动物每年获得的突变很多，这意味着对于不同动物物种来说，在其生命自然结束时，突变总数是大致相同的。 那么，佩托悖论被解决了吗？部分是的。然而，科学家仍无法合理地解释体型所起到的作用。即使不同寿命的物种在生命结束时每个细胞的突变量相似，但寿命较长的物种往往更大，也有更多的细胞，因此理应比体型较小的物种有更高的患癌风险。这种差异或许可以解释为，体型较大的物种进化出了额外的减少癌症风险的机制。 新的结果引发了一些新的有待解答的问题，比如癌症导致的死亡是影响突变率的唯一选择压力吗？长寿物种的低突变率是为了减缓衰老过程而进化的结果吗？未解的谜题还有很多。研究人员表示，在未来的几年里，他们计划将这些研究扩展到更多样化的物种上，如昆虫、植物等。期待届时将能得到令人惊叹的发现。 第六百六十九章 frankl的并封闭集合猜想 对于一个包含至少2个集合的、对并运算封闭的有限集合族，至少存在一个元素，使得它在至少一半的集合里出现过。 我们来解读一下这个猜想说的啥。 首先集合，就是包含了一系列元素的合集，这里面的元素既可以是数字，也可以是变量等。 例如这是一个我们常见的数集，而且是有限的（只包括3个元素）：{1，2，3} 至于无限数集，就像是自然数集、有理数集、整数集这种由无限个元素组成的集合。 当然，集合也有集合，它们组合起来，就可以被叫做集族，例如下图中f就是一个集族： 在这些集族中，有一类特殊的集族对并运算封闭。 对集族中的集合而言，并运算就是对两个集合求并集；至于并运算封闭，即是指在对任意两个集合进行并运算后，其结果仍然在这个集族中。 以下面这个集族为例：{1}{1，2}{1，2，3}{1，2，3，4} 无论是对{1}、{1，2}求并集，还是对{2，3，4}、{1}求并集，还是对{1，2}、{2，3，4}求并集……任意两个集合求并集，其结果都会在这个集族中。 所以，上面这个集族就符合并封闭集合这一要求，而并封闭猜想也正是基于此而提出。 值得注意的是，这一猜想中的“一半”是紧致的，毕竟对于任何一个集合的子集族，所有的元素恰好在一半的集合里出现过。 它于1979年被一个叫péter frankl的数学家提出，所以也一度被叫做frankl猜想。 看起来似乎不难，然而到实际解决时，一众数学家才发现这并不简单。 达特茅斯学院数学教授peter winkler曾经在1987年就这个猜想给出尖锐的评价： 并封闭集合猜想确实很有名，除了它的起源和它的答案。 为了解决这个问题，数学家们也已经尝试过不少方法。 例如有人试着给猜想加上一些限制条件，让它在这些情况下成立。 像是将它和图论中的二分图（bipartite graph）联系起来，证明具备其中某种性质的集族，在这个猜想的条件下成立。 又或是给其中的元素加以限制，再加以证明…… but，无论是哪种方法，距离真正需要证明的猜想都还差不少距离。 来自哥伦比亚大学的助理教授will sawin对此评价称： 它看起来似乎是个不难解决的东西，毕竟长得和那种“容易解决的问题”很像。 然而，如今却没有任何一个证明能真正搞定它。 问题就这样进度缓慢，直到2022年秋天，谷歌研究员justin gilmer借着朋友结婚的契机，回到了罗格斯大学校园。 gilmer回母校的时间是2022年10月，此时距他毕业离开数学学术圈，已过去7年。这些年来，他自觉无心专注纯数学领域，转而自学编程，投身了it行业。 此次返校，他拜访了导师萨克斯，还四处转了转。 就在散步中，他突然回忆起——当年自己徘徊于校园小径，苦苦思索的一个数学问题： 没错，就是那个对“并封闭集合猜想”的证明。 读博期间，gilmer绞尽脑汁，花了一整年时间却毫无进展，只是搞明白了为什么这一看似简单的问题难以解决。 为此，他还去找过导师萨克斯。但导师也曾在该问题上停滞不前，因而他既不看好gilmer的研究，也不愿重新碰这一领域。据gilmer回忆，当时导师差点把他赶出房间。 但现在，重回校园转一圈的gilmer有了个新想法：用信息论及相关原理解决并封闭猜想问题。 gilmer的思路是找反例。 根据并封闭集合猜想，一个正常的并封闭集族中，至少应该有一个元素在多于一半的集合中出现。 既然如此，只要想办法构造一个特殊的集族，里面没有一个元素出现在超过1%的集合中，这个猜想就会被证伪，反之如果构造不出来，那么猜想就可能成立。 现在，我们用信息论视角看这一猜想： 正常来说，如果从集族中任意挑出两个集合，这两个集合取并集后，并集中的元素比原来两个集合更多，其信息熵应该比原来的单独两个集合更低。 然而如果基于“没有一个元素出现在超过1%集合”这个限制条件，任意两个集合取并集后，计算出来的信息熵竟然比原来的单独两个集合更高。 这显然是不可能的，因此不存在这么一个特殊的集族，glimer的反例也没有找到。 但这也就意味着在“并封闭”集族中，至少存在一个元素，会出现在超过1%的集合中。 2022年11月16日，gilmer将这一思路写成论文，发表在了arxiv上。 当然，他这篇论文还不是“完全体”，也就是说并没有完全证明并封闭集合猜想—— 毕竟这只是至少1%，还不意味着原来的并封闭集合猜想中的至少50%就成立。 但这个新思路已经足够让学界震动。 普林斯顿大学数学家ryan alweiss评价“引入信息量”这一操作：非常聪明。 仅仅几天后，就有3个不同的数学研究组基于他的研究，先后发表了研究论文，随后也有更多研究者跟进，他们所在院校机构有牛津、普林斯顿、哥大、布里斯托等。 在后续研究中，对“并封闭集合猜想”的概率值证明，被推进到了38%。 令这些数学家好奇的是，基于gilmer的研究，他自己上手将概率值推进到38%并不难。 对此，gilmer表示，自己已经五年多没碰数学了，确实不知道如何进行分析工作来将其进一步推进下去。 不过，他也认为，正是因为对相关数学方法的生疏，让他跳出了常理，用圈外办法取得突破。 第六百七十章 蔡廷常数(不可计算数) 计算机科学家格里高里·蔡廷（gregory chaitin）想：“既然停机问题不能被解决，那预测多会儿停机，倒是可以算一算。” 蔡廷开始在1975年，开始找到了各个程序的代码，研究任意指定一种编程语言中，随机输入一段代码，这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止（不会无限运行下去）的概率是多大。 最后有点不可思议，蔡廷常数是一个不可计算数。 虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。 蔡延常数写作Ωu，它的值大约是0.00。 工程计算中经常说忽略不计，必要的忽略是简化处理问题的手段，不言忽略，再简单的问题也会变得复杂。 第六百七十一章 数学家在混乱的人群中，发现了隐藏的秩序(群体) 你有没有想过，当行人在人群中穿行时，他们是如何在不经商量，甚至不经思考的情况下，就“知道”该走哪条通道呢？ 如果你仔细看，会发现无论高峰期的交通看起来多么混乱，匆忙行进中的人群实际上也都有着比想象中更高的秩序。其实，长期以来，人们观察到，无论是原子还是行人的交通，对于相对稀疏的主动移动系统来说，当被迫从两个不同的方向交汇时，往往都会形成通道。 两组朝着相反方向移动的人，会自发形成通道。（图\/bacik & rogers） 这些通道是如何自发形成的呢？一直以来，科学家已经提出了几种理论来解释这些包括人类群体在内的活动系统自然形成的通道，但这些理论都没有得到证实。 现在，巴斯大学的一个数学家团队在《科学》杂志上发表了一项新的研究，他们用数学模型描述了这种通道的形成和演化，并通过现场实验演示，证实了模型的预测。 这项研究始于新冠病毒大流行期间。当时，研究人员想要知道在设计诸如会议场地、休息厅等空间时，如何可以让人们既能快速通过又能保持一定的距离。 在研究这个问题时，通道的自发形成引起了研究人员的注意。早在1991年，物理学家dirk helbing就发展了一个数学模型，描述当两个群体朝相对的方向流动时会形成通道。这一模型至今仍被用于模拟行人的交通，但问题是，这类模型都面临如何在个人决策和群体模式之间架起一座桥梁的挑战。 在新的研究中，数学家tim rogers和karol bacik将过去人们对这类问题所做的假设都统一了起来，并将通道的形成归因于两个过程：漂移和扩散。 具体来说，例如当行人在通过一个繁忙的车站时，他们可能会因为与其他人的碰撞，而选择偏离人流量大的地区，又或者他们因为被更开放、宽敞的区域吸引，从而偏离计划的路线。这种漂移非常有利于通道的形成，比如一旦北上的行人开始形成一条通路，其他北上的行人就会被吸引过来，南下的行人就会被推开。 而扩散则趋向于消除行人的密度波动。当一个方向上的人流量过大时，它就必须维持更大的宽度。研究人员使用了一种被称为扰动分析的数学技术，发现约为两个人体宽的尺度上的波动，主导了通道的形成。 为了验证他们的理论，研究人员设计了一系列现场实验来测试模型的预测。 他们让志愿者走过一个模拟了有着各种不同布局的实验场地，要求志愿者在一些简单的规则下走向彼此，比如两股人群迎面走、多股人群交叉走、人群偏向右移动走等。每当进行这些实验时，乍看之下似乎只能看见一群杂乱无章的行人在行走，但如果仔细观察，便会发现其中的隐藏结构。 研究人员发现，根据空间布局的不同，会出现经典的直线通道，以及更复杂的曲线（比如椭圆、抛物线、双曲线）通道。而这些弯曲的通道，是相关领域的研究人员在过去30多年里都没有注意到的现象。 当两组人流穿过一个空间，一组人流试图通过一个狭窄的出口（右边的蓝色）时，就会自发形成抛物线形状的通道。 这种弯曲的通道发生在研究人员让两组人流在一个方形区域交叉行走，且其中一组或两组流动都必须通过狭窄的出口时。他们发现，当只有一个出口是狭窄的，就会形成抛物线的通道；如果两个出口都是狭窄的，就会形成椭圆通道。 这些实验证实了他们的模型预测，证明了当两股人群交叉行走时，能够以一种高效方式穿过彼此；而当交叉行走的人群更多时，通常就不会产生稳定的运动模式了，而是可能导致紊乱，因为人们无法控制他们要去的地方。 研究人员表示，当有三方或更多的流动相互碰撞时，人们实则没有好的逃离办法，他们很容易被困住。这种情况尤其容易发生在y形交叉路口或四向交叉路口。因此，这篇研究给行人的建议是：当面临行人双向行走的情况时，我们可以相信人群的智慧；当面临三向或四向的路口时，要小心。 虽然在这项研究中，数学家们更关注的是模式的形成，但研究所带来的结果对于公共空间的设计具有非常重要的现实意义。过高的人流量会产生真实的、甚至是悲剧的后果。踩踏或人群拥挤造成的意外死亡屡见不鲜，例如，2022年万圣节发生在首尔的踩踏事件就造成了150多人死亡。公共空间的设计可以帮助防止此类悲剧的发生。 此外，这项研究也可能对一系列科学研究产生影响，特别是在物理学和生物学领域。无生命的分子也可以形成类似的结构，例如细胞中的带电粒子或细胞器。这对于研究细胞、细菌、动物等会发生相互作用的种群的群体行为来说，是一项重大的突破。 第六百七十二章 德军的恩格玛密码机(密码学) 随着无线电波的发展，无线电波直接用在战争中，用来上下级传递命令和同级直接传递信息。尤其是在 但是无线电我们可以收发，那敌军也可以收发，所以自己收发的内容会被敌军截获，敌军反而能根据次来预测我军下一部行动，反而会中敌军提前设好的埋伏。 所以需要对电波内容加密，密码本只要各个军队的指挥官有，这样发出的加密的消息就是敌军截获了也不能破译。 那使用什么样的秘密呢？二战的德军何尝不知道凯撒密码是不靠谱的，就是交差替换，也能根据频谱对比找出来。所以必须要要用靠谱的算法来对密码进行加密。 为了避免让敌军使用频谱法破译自己的加密内容，德军开始正式使用恩格玛密码机。这个密码机中有三个凯撒盘一样的字母转子，明文在键盘上按下之后，第一个转子转动，带动第二个，第二个再带动第三个。这些转子在收发消息之前，必须是德军直接秘密调整到一样的状态，这样收发状态就会直接得到明文。 恩格玛转子后还有一个板子，只有6根线，选择其中的字母两两相连。这种连接方式也是德军对好成一样的才可以。 这样德军在发送消息的时候，也就让敌人截获之后也难以破译了。 可是波兰人知道德国对自己不友好，所以波兰政府想弄清德国人心里在想什么，就让波兰数学家们研究一种可以破译恩格玛密码的办法。虽然波兰人用间谍得到了德国人的恩格玛机器结构，甚至暂时破译的恩格玛密码，但是德国人如果一调整新的状态，那波兰破译的密码库就报废了。 第六百七十三章 图灵炸弹破译机(密码学、计算) 波兰人对德军密码的破译，感动了二战期间的英国政府，英国政府拿着波兰人破解德军密码的资料，自己也开始着手破译德军的密码。 阿兰·图灵知道，直接去破德军的恩格玛密码是很麻烦的，需要很多人上千万年才能把所有的结果给试出来。 越难试出来的密码，当然越安全，图灵何尝不知道呢？ 所以让人力破译，这基本上就是一个在人来有生之年都不见得完成的工作。 思路必须要改变，可以用另外一台机器去破译恩格玛机器，就是机器对机器。 同时需要用电的机器，只要使用电，再找到一个可以巧妙破译的计算方法，就可以迅速的破译了。 这种爆炸密码机可以取代很多人大量时间的工作，相当于是一种分布式的运算，以空间计算量换区时间。 剩下的就是考验破译人员的破译技巧了。比如，德军会对元首有问候语，还经常说关于天气的情况，这是因为天气对军事任务很重要。密码的大敌就是重复，只要在问候语和天气信息的重复性进行判断，就可以借助爆炸机的技巧快速推敲出德军恩格玛机器调整的初始状态。 之后就可以轻松的破译德军密码了，一般情况下还要装作不知道，以防德军修改加密方式。在重大型战役中，只要以稀里糊涂的方式进行精确防守即可。 第六百七十四章 丘奇的λ演算(计算) 一阶逻辑是一种不能量化的简单的属性逻辑。与高阶逻辑和数理逻辑不一样。它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。 里面有很多“任意有”和“必须存在”这样的符号。 我们可以大胆地设想，把整个数学理论内容用一阶逻辑表达式全部写出来，成果就像是一本”天书“，一般人很难看得懂。但是，布尔巴基学派偏要这样做，否则，似乎不够”意思“，不过”瘾“。因此，我们能够想像，在布尔巴基的《数学基础丛书》里面各种稀奇古怪的数学谓词多得去了。对此，有人说，这纯粹是形式主义，但是，也有人说，这就是现代数学的本来面目。 1935年，邱奇发明了“λ演算”，来源证明一阶逻辑没有通用判定而发明的，但对于今天的计算机科学家是一件无价的工具。 在函数式语言中，函数的排列更像是个链条，而不是我们说些的那些方程式。意思是后一个函数可以从前一个函数得出。 写出一个函数后，也要写出要带入的变量的值，这样在计算过程中就可以让变量值和带入值进行交换就可以了。丘奇发明这种演算后，他的学生们完善了这种工具。 同年邱奇出版了《初等数论中的一个未解决问题》。其中包含了邱奇定理，它表明算术没有判定程序。在理论计算机科学中，有了可计算性概念复严格的数学刻划，才使证明一系列重要的数学问题的算法不可解性成为可能。 递归函数是一个自己调用自己的函数。 “算法可计算函数都是递归函数”这一丘奇论题提出，算法可计算性这个直观概念才有了精确的数学刻划。 丘奇虽然不是搞计算机的，但是他的这些工具都服务于计算机了，图灵证明自己的图灵机器里很多东西跟丘奇的演算理论等价。 第六百七十五章 可计算的理论(数理逻辑) 图灵发明了爆炸机之后，开始陷入了深深的思考当中。 图灵在想，这就相当于是机器对付机器，虽然有一点点人力的帮助，但是总体而言。都是由机器之间的电波相互识别的，这样的电波有的快速的反应能力。 一天在梦中，有一个机器盒子，有两条纸带。一条纸带咔擦咔擦的从左往右走，另一条纸带从右往左走。机器不停，一直发出几个声响。打带机有很多台，不仅仅是单独的，有的是两个打带机的纸带连接着两个甚至多个机器，有的打带机甚至是一个带子连接着一个机器的。有很多地方的机器都通过带子连接在一起，同时运动。最后前后四方无边无际的都是这种机器，有的运行很慢，半天一动，有的很快一直不停。有的忽快忽慢，有的有时往左移有时往右移。这是一台可以自己运算的机器，机器在自己运算的时候就是这样的。 尽管只是个普通的二进制，但是他也变成了几个具有对话意义的过程，这是个伟大的突破。 图灵在想，机器的本质是什么？对话的本质又是什么？他开始深入的思考这个问题。图灵开始自己制作一个机器的模型，他需要定义一个事情。 先假设有一台机器，这个机器具备计算任何一个模型的能力。在输入口输入问题，经过计算后再从输出的地方输出想要的东西。 是不是任何一个东西都可以计算？计算的时候要什么元件才可以？ 肯定使用电器，这个电器的基本运算是什么样子的？可以有很多种，在堆砌成大运算的时候也有达到运算能力越来越强才对。 这个点子元件就是布尔代数的原理，也是数学中的环代数，所以以后的计算机全部都是环代数。也就是数学家要研究环代数的原因。 结合了丘奇的理论，就可以丰富图灵机。 除此以外，图灵第一个要面对的问题就是，什么是可以计算的，什么是不可以计算的？是有能计算的才能用布尔代数去计算，不能计算的就不可以放在计算机中，必须在第一时间内排除掉才可以。 在排除掉不能计算的问题的情况下，才能酣畅淋漓的去计算任何一个可以计算的问题。 1936年，图灵发表了《论可计算数及其在判定问题上的应用》，其中描述了一种理论上的机器，现在称为“图灵机”。它成为可计算性理论的重要组成部分。 第六百七十六章 讨论计算复杂性(计算机) 怀特说：“将计算能力提升是很了不起的事情，需要了解计算复杂性问题，你有把握做好这些？” 丘奇说：“世界上最难的问题就是世界上最简单的问题，多，到难以想象。能有简单的方法吗？如果有就会重新变得没有简单的方法。如果有了方法，那么在更远处就会也变得难数，就是借助复杂的机器，也会到崩溃的一天，就是让很多机器分开去读。” 怀特说：“假如有简单方法可以解决，计算时间变短，效率变高。一段范围在短时间之内解决吗，几分钟甚至几秒。那么在这之后位长的，计算也变得容易。那么更长的呢？那种很长很长，是任意长，能够吗?但是，不同的长应该是不同算法吧。如果是不同的长是相同算法的话，肯定是越长，算得越慢，是一个简单的比例，所以长到一定程度，一定会变慢。所以这也算是没有简单方法，必须是一直有不同方法，或者是同种算法的不同情况，那也是一种难。” 丘奇说：“随着提升计算器能力，以及计算简化的改进，会慢慢解决。” 怀特说：“如果就是有，那就是有超长数解决，超长数后的也解决了，之后的无穷远的也解决了。那么解决的方式不是完全相等的，不同的数段所用的方法分别不同，而且能够达到人类难以承受的程度，所以后面的方法虽不能在前面用，但在应该在后面的的方法应该如在前面时那样简单，所以后面的，以及在往后一些的等等之时，应该是相对越来越简单才可以。” 图灵说：“如果要说是有简便方法的话，那么还需要在我们的意料之中才行，在意料之中这种称之为是从前面到后面有一个我们所知的规律，那才能叫简便方法的存在，那么这个规律就是简便方法规律，但是当达到一定多的程度时也会算不过来，所以这个方法规律也要分段，那也要有规律才行。所以以此类推，一直有这种规律，一直往上层推，才能为简便方法的解决。一开始的多是第零层，那么第一层，第二层，一直到更高层推导。所以层的问题就很重要了，一看到问题需要先确定层才行。” 怀特说：“分层也会遇到难题。而且数太多，计算太多，一开始需要做工作，很繁琐。” 图灵说：“看到问题了，确定层，就会先数层的数目，确定位数就能确定用哪一层。如果输位数很慢，就分段数，使用分布式，就会快速解决问题。所以解决层的问题，就是使用多台机器计算。多台机器运行能够解决一台机器的时间问题，当很多时，能计算出来多少台机器去计算最为合理吗？这里的合理指时间最短，机器尽可能不要太多，计算性也相对最简单的情况。” 说着图灵在黑板上开始画着自己说的模型和公式。 怀特说：“一时望不到边呢，那是近似无穷大问题，你的方案会解决这个吗？能从开头开始？如果是不同的方法解决，那就只是一个半解决状态，这种东西会存在吗？换个思路，可以被解决，但不是一次性解决，因为以上的可能没有规律，需要人不断的去发现。也就是复杂计算一出现因为太大太强以至于在简单时用不到，称之为“以后用方法”。那么人类能够预测“以后用方法”吗？那么人类是不是已经有了一些人类意识不到的以后用方程了呢？” 图灵说：“一道一个数字，长的望不到边，怎样才会这样的，一张纸写不满，一本书写不满，那也能从纸和书上能够确定。如果从一个地方不停的往这里发送，才会有一种不确定何时结局的感觉，那么在此刻，能够被解决吗？如果不能是因为下一位数的不确定性所导致。那么在可以分段解决吗？多可以被分段解决了吗？假如不知道整体的，每个部分都相应解决一些东西，就可以解决吗？” 哥德尔说：“轻易用不到层层的问题，太偏。” 图灵说：“层的问题的意料之中的方式，以及层层之间的意料之中最终有一最高层，那一个层就是一个方法了，这个意料之中的整体称之为“意料中方法大三角”。如果够大，意料大三角也会比较复杂，因为层数太多，所以推敲不同层的上下关系的式子也需要有规律，称之为“大三角层高规律”。而这个大三角层高规律也必须用起来简单，但是当太大时会出现极度复杂情况，所以“大三角层高规律也会出现对于的大三角层高规律”，称之为“三角层层规律。”以此类推需要有三角层层规律的人类难以承受的运算的三角层层层规律。达到多少个三角层层层称之为，方法层层三角规律，那要画成一个形状就是，一个高维三角形的形状的单形。” 第六百七十七章 停机问题(逻辑学) 图灵一开始假设，有可能制造出一台图灵机，它可以计算出一个程序在给定某种输入后是否会停止或永远运行。然后他证明，这台机器会导致一个矛盾，所以不可能存在。 图灵提到的这个想法，后来被称为停机问题。今天的软件开发人员将其称为无限循环，这是他们在编写循环或递归函数时遇到的一个问题。 戴维斯在想什么是可以计算的，只要把不可以计算的全部排除，剩下的就是全部可以计算的了。 停机问题就是判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行的问题。 该问题等价于如下的判定问题：是否存在一个程序p，对于任意输入的程序w，能够判断w会在有限时间内结束或者死循环。 最后戴维斯说：“存在一种图灵机，其停机问题是递归无解的。” 停机问题就是判断任意一个程序是否会在有限的时间之内结束运行的问题。如果这个问题可以在有限的时间之内解决，则有一个程序判断其本身是否会停机并做出相反的行为，这时候显然不管停机问题的结果是什么都不会符合要求。所以这是一个不可解的问题。 停机问题本质是一高阶逻辑的不自恰性和不完备性。类似的命题有理发师悖论、全能悖论等。 第六百七十八章 冯若依曼的edvac机(计算机) 原有的eniac计算器在运行，但是不能够满足更高的计算能力了。 冯若依曼被任命设计一款计算能力更强的计算机。 冯若依曼开始着手这个工作。 想要制造一个计算机，就需要让这个带电的东西计算水平增强，存储能力增加。同时他们之间的协同作用也要随之加强才行。 而设计这一切的话，这样的计算机既有运算能力，也要把任何一个复杂问题都化解成数学能力才行。协同之间的通讯传输必须是高效的。 冯若依曼知道需要一个输入、输出、运算、存储和控制这五种东西的协同，这是必须的。 无论计算机的制造需要多复杂，都需要这五种东西相互协同，才能够高效工作。 在物理上，冯若依曼设计了一个磁带记录仪、一个连接示波器的控制单元、一个分发单元，用于从控制器和内存接受指令，并分发到其他单元、一个运算单元、一个定时器和用汞延迟线的存储器单元。 即使是复杂的计算器，也是这五种机构，或者是两个这样的东西协同起来而已。 为了传输的简洁和高效，只需要传输二进制数字即可。 最终冯若依曼设计出了离散变量自动电子计算机，简称devac机。 原子弹不能通过试错的办法来制造，每个设计方案都必须有理论上的测试。冯?诺依曼意识到解决链式反应问题的唯一途径就是离散方程并求出数值解；而拉克斯奠定了激波计算理论，大大推进了核武器设计、数字风洞等尖端研究。这些都是对实际问题做出了实质性的贡献。 第六百七十九章 补码的原理(计算机) 在二进制的计算中，八位的二进制1等于00000001，那么八位的二进制-1应该等于多少？ 根据00000001+x=0这样的公式可以知道，就是与00000001相加为0的数字x。 是这样的数字，因为00000001+=，因为只能取八位，所以后面的八位就等于00000000. 很多人都质疑冯诺依曼，但是冯诺依曼表示，这才是最简单。 很多人质疑：“为什么不用减法器，然后引入负数？” 冯若依曼说：“计算机中再去制造减法器和引入负数当然可以，但是如果只有加法器，整个机器的制造会异常简单，只不过你们在理解的过程中，有些困难。” 很多人说：“是啊，不可理喻，减法就是加更多，这有什么数学根据？” 冯诺依曼开始解释补码：“就是跟了一个位数，整个位数是一种限制，这种限制的产生反而成绩了减法和加法可以等价起来。在普通的没有最大位数的数学中不存在，或者我们没有使用过这种方式。但是在有限的位数当做，这种加和减的统一性就直截了当的出现了。” 很多人说：“以你所见，数学也要改革？” 冯诺依曼说：“其实，像是改革，但没有改革过，仅仅是我们发现了，使用了其中的规律了。” 很多人说：“你说的太玄乎了，我们还是没办法接收溢出去的那个1。” 冯诺依曼不耐烦的说：“你实在不愿意理解的话，就把这个看做权宜之计的机械结构吧。” 很多人说：“这就对了！” 第六百八十章 汇编语言之母kathleen booth kathleen hylda valerie booth教授是英国早期的计算机先驱之一。 想象一下，必须通过重新布线来对计算机进行编程。是不是很不可思议？ 在1940年代中期，第一台通用电子计算机就是以这种方式工作的。 像eniac这样的计算机，最初并没有用于代码的内部存储。如果我们想要用它编程，就要操纵数千个开关和电缆，而这些开关和电缆所在的位置，就是程序。 所有带旋转开关的单元都是需要大量编程的地方。 此时的编程，必须手动更改数千根电缆和开关，或者在卡片上打孔，然后将卡片送入计算机，这可能需要数天时间，而且极易出错。 在kathleen booth开始研究计算机的那个年代，有那么一小群人，开始产生了将程序存储在计算机内部的想法。而她也是最早研究「软件」这一新概念的人之一，她从中看到了需求，发明了汇编语言，使计算机编程更加人性化。 andrew booth在与x射线晶体学家jd bernal教授（伯纳尔球的发明者）合作期间，使用x射线衍射数据来研究晶体结构。他发现手动计算非常繁琐，于是造了一台模拟计算机，来自动化部分步骤。 1946年，他在伯贝克担任纳菲尔德研究员。但由于学院没有空间，而且由于brpra为其提供资金，所以他的工作是在brpra的设施上完成的。 就在那时，他遇到了kathleen。同年，kathleen和andrew在伯贝克学院合作发明了一台早期的数字计算机——自动中继计算机（arc）。arc使用纸带进行输入，实际上是一台用作傅立叶合成器的专用计算机。 在此期间，他们一同创建了如今的伯贝克计算机科学与信息系统系。 1945年，约翰·冯·诺依曼（john von neumann）撰写了一份名为「edvac报告初稿」的文件，在这份文件中，他描述了后来被称为计算机的冯·诺依曼架构。 在这个架构中，他定义了计算机的各个部分，特别是存储在计算机内存中的程序。出于这个原因，它也被称为存储程序计算机。 在经典的冯·诺依曼计算机架构中，地址空间大部分用于指向内存，其余部分用于指向外部设备：内存并不关心里面存储的是什么。 1947年，andrew和kathleen在普林斯顿大学与冯诺依曼和ias机器合作时，编写了一个程序，用于在电子计算机上实现翻译词典，前提是提供必要的存储容量。这是史上最早的机器翻译奠基工作。 在这一年，bernal帮助kathleen和andrew从洛克菲勒基金会申请到了访问普林斯顿高等研究院的资金。在此期间，andrew和kathleen与冯诺依曼一起共事了6个月。 根据andrew的说法，在访问期间，只有bernal的朋友约翰·冯·诺伊曼在任何时间都会接待他们。 一个简化的内存管理系统——cpu中的程序计数器不再直接指向内存，而是产生一个进入mmu的虚拟地址，重定位常量添加到虚拟地址，以在内存中创建物理地址。 就是这次访问，让他们第一次听说了冯诺依曼架构。受到启发，他们重新设计了arc，仅用了2个月就设计了机器的继电器部分，并且提出了关于arc2的构想。 还是在1947年，kathleen和他还写了两份关于它的报告《通用电子数字计算机设计中的一般考虑因素》和《arc编码》。其中第一份报告广为流传。在其中，他们详细介绍了冯诺依曼架构机器，并介绍了内存的不同选项。 此外，这份报告还描述了她发明「汇编语言」的前身，她在报告中将其命名为contracted notation。这是对计算机编程进行抽象思考的第一步，无需编写显式的1和0或机器代码指令。 在这份报告中，kathleen的编程能力大放异彩。并且，她设想了同步与异步操作的可能性，这可是在1947年！在此之后，我们唯一能够找到的异步描述来自1980年代中期。 同步与异步操作将允许程序中的多条指令并行执行。因此，在执行下一条指令之前，程序不会被阻止等待当前指令的结果。这将有效地改善程序执行时间，即处理所有指令所需的时间。 摘自《通用电子数字计算机设计中的一般考虑因素》 第二份报告「coding for arc」，于1947年9月出版。在这份报告里，kathleen首次详细介绍了arc2「汇编语言」。 在该报告中，kathleen还解释了orders（现在称为指令instructions）是如何由加载到某种存储中的0和1表示的。 通过汇编语言，我们不必再记住机器代码作为指令，只需记住并输入汇编语言助记符mov作为指令。 不过，目前已无法找到这份报告的数字副本。 在1948年，andrew和kathleen将研究方向转向简单电子计算机（sec），然后是通用电子x射线计算机或ape(x)c。现在，我们可以在mess模拟器中试用ape(x)c。 hollerith电子计算机（hec）是世界上现存最早的电子计算机之一。 他们最着名的机器apec（通用电子计算机）是在1949年设计出来的。 1951年，btm使用其硬件电路作为hec1计算机设计的基础，这种计算机在1950年代末直接成为最畅销的英国计算机，安装了近100台。 andrew发明了一种并行乘法器算法，该算法仍然构成现代计算机芯片（布斯乘法器）中乘法电路的基础。 他们还一起发明了旋转存储设备。在1940年代后期，他们试图制造可工作的光盘，但失败了，不过，他们成功地建造了世界上第一个磁鼓存储器，该存储在1950年代被广泛用于主存储器和后备存储。 在磁鼓存储器中，信息存储在滚筒上的可磁化条上，数字信息存储为二进制磁性图案 1950年，kathleen和andrew结婚，就在同年，kathleen从伦敦大学获得了应用数学博士学位。 为了争取更多资金，两夫妇再次前往洛克菲勒基金会。基金会提出的条件：必须让ape(c)x既可以用人类语言，也可以用数学语言。这也就是我们所熟知的自然语言处理。 他们做到了，在1955年11月，他们展示了机器翻译的过程。 他们的目标是实现准确的技术翻译，而不是追求文学质量。 他们在伯贝克学院时，与学生一起做了很多nlp的工作，同时在1965年至1972年间，他们为加拿大国家研究委员会从事英法翻译工作。 kathleen在1958年出版的《自动数字计算器编程》，可能是第一本由女性撰写的关于编程的书。 在这本书中，她介绍了和同事在1965年之前一直在研究的一些算法，比如单词替换、词干和词尾处理。 她的另一个开创性工作是通过编程模拟神经网络，来识别动物。这距离史上第一次在计算机上运行神经网络，仅仅过了四年。 booth一家于1962年离开伯贝克学院，移居加拿大，先后在萨斯喀彻温大学、湖首大学工作。 她于 1978年从湖首大学退休，但可以看到，在1993年、她已经71岁高龄时，还发表了和儿子ian jm booth博士共同撰写的论文《使用神经网络识别海洋哺乳动物》。 kathleen booth于2022年9月29日去世。伯贝克学院发文悼念。 不过，相比于这位来自英国的女性，更加广为人知的是另一位男性——david wheeler。 为此，美国ieee计算机协会还在1985年为他颁发了计算机先锋奖。 当时，作为与maurice wilkes一起研究剑桥大学edsac（电子延迟存储自动计算机）的团队成员，david wheeler负责为计算机提供指令的系统。 wheeler开发的「初始指令」（initial orders）让edsac的指令可以用一种简单的语言编写，而不再是「人肉输入」二进制数字。 此外，他还开发了「wheeler jump」，允许程序将控制权传递给子程序，也就是用basic写过程序的人都知道的「goto」语句的前身。 david john wheeler于1927年出生在伯明翰。1945年，他获得了剑桥大学三一学院的奖学金，在那里他学习数学，并于1948年毕业。 在此期间，maurice wilkes在重新开放的数学实验室工作，从事一个名为edsac的存储程序电子计算机的建造项目。 edsac的第一个程序于1949年3月在edsac上运行，其中就包括了wheeler开发的「初始命令」，一个可以将简单的命令翻译成计算机所需的二进制指令的程序。这使得edsac可以由非专业人员进行编程，并标志着编程语言的发展迈出了第一步。 为edsac编写程序的经验使wheeler和他的同事maurice wilkes和stanley gill在1951年出版了第一本针对程序员的书「the preparation of programs for an electronic digital puter」，同年，wheeler获得了实验室授予的第一个博士学位。 1955年，应用数学的研究学生joyce ckler开始在工作中使用edsac，并认识了david wheeler。他们于1957年8月结婚。 1965年他成为达尔文学院的研究员，1966年在加利福尼亚大学伯克利分校工作，研究如何将在线终端与大型计算机连接起来。1968年，他在贝尔实验室工作了一段时间。1977年，他成为计算机科学教授。 他在1970年被选为英国计算机学会的会员，1981年成为最早被选为皇家学会会员的计算机科学家之一。 1984：美国女性离开代码的那一年 但凡是对编程历史有所了解的人，必然听说过ada lovce和grace hopper。她们和其他从业的女性一起，对现代编程产生了巨大影响。 但现在，你能叫出名字的「大人物」，无疑是像史蒂夫·乔布斯、比尔·盖茨和马克·扎克伯格这样的男性。 那么，曾经的女性都去了哪里？ 时间回到第二次世界大战期间，当时第一批「程序员」有很多都是女性，如计算公司（pinc.）的创始人elsie shutt和创造了第一个编译器的grace hopper。 战争胜利之后，虽然有越来越多的男性加入，但女性不仅仍然从事着科学和技术领域工作，而且攻读计算机科学学位的人数也在不断增长。 直到，1984年…… 在20世纪80年代中期，计算机开始成为美国人的家庭用品。 当时，计算机在市场上的定位主要是面向商业和游戏的，而这两类产品的受众基本上都是男性。 此外，电影院里的电影和电视上的广告为程序员确立了一个独特的身份：书呆子，年轻男性。 看看这个玩具反斗城的modore 64的广告就知道了。 不难想象，初高中的男孩们显然会比同龄的女孩，更容易接触到电脑。 而这一差距，在他们升入大学时便会显现出来。 上世纪70年代，计算机科学的教授普遍认为新生是不具备任何计算机相关的经验。但随着个人电脑在80年代变得越来越普及，教授们也越来越觉得他们的学生是玩着电脑长大的。 对于家里没有电脑的patricia ordo?ez来说，这无疑是一道难以逾越的鸿沟。 还在上中学的时候，ordo?ez数学成绩极佳。因此，当他进入约翰霍普金斯大学时，最初的志愿是攻读计算机科学或电气工程专业。 然而，当ordo?ez来到第一堂入门课时才发现，周围男同学对计算机的了解都比她要早得多，而自己却不得不问一些「常识性问题」。 「有一次，教授在回答完之后，停下来看着我说：『现在你应该知道了吧。』」 虽然ordo?ez在后来也通过了课程，但也获得了人生中第一个c。最终，她选择放弃，主修了外语。 不过，十多年后，她又回到了计算机领域，并最终获得了计算机科学的博士学位。现在她是波多黎各大学的计算机科学助理教授。 第六百八十一章 摩尔定理(计算机) 仙童半导体公司戈登?e?摩尔认为，随着社会的发展，芯片的容量在集成电路上可以容纳的晶体管数目在大约每经过18个月便会增加一倍。换言之，处理器的性能每隔两年翻一倍。 因为摩尔知道，社会在发展，人类对集成电路的需求在增加，同时集成电路的设计也越来越精细，所以增加是必然的。 但是，紧接着会有人问，这种增加会有个头吧。 摩尔认为，当然不会。 但有人还会紧追不舍的问，如果是集成电路小到一定程度，那容量就不会再增加了吧？ 摩尔认为，社会只要还在发展，这种事情就不会有头，即使芯片最基本的单元太小，也会以一种其他形式继续储存，原子级别的单位不行的话，会用原子核的技术来储存。 摩尔定律的出现，是一个激励，明白电子行业必须要更新换代，不会轻易停止。如果不更新换代，就容易被淘汰，这是社会经济学的趋势。 但有人认为， 制造出的单个晶体管中，只有一小部分，只有百分之十至二十—能够真正发挥作用。将这样的六七个器件一起放在集成电路中，你一定会认为这些小问题会叠加，导致只有极少数的芯片能够正常使用。 摩尔认为，这一逻辑却是错误的。事实上，在制造含有8个晶体管的芯片时，能够正常使用的芯片比例与制作8个单个晶体管时的可使用比例是相近的。原因在于这种概率并不是针对单个晶体管而言的。缺陷会占用空间，而多种类型的缺陷会像飞溅的油漆一样随机分布。如果将两个晶体管紧密地放置在一起，单个晶体管自身的缺陷便可以同时影响两个晶体管。因此，将两个晶体管并排放在一起时由缺陷导致的失效风险与单独一个晶体管是相同的。 摩尔确信，最终一定能够证明集成工艺是经济合算的。 在1965年发表的论文中，为了证明集成电路拥有无限光明的未来，摩尔在一幅曲线图中按照先后顺序绘制了5个时间点。第一个时间点是仙童半导体公司首款平面晶体管问世，随后是公司的一系列集成电路产品推出的时间。摩尔采用的是半对数曲线图，其中一个轴是分度不均匀的对数坐标轴，另一个轴是分度均匀的普通坐标轴。指数函数在这种坐标图中会被显示为直线。而摩尔所画的，连接这5个时间点的线大约是一条倾斜的直线，其倾斜度恰好对应集成电路上每年翻倍的元件数量。 从这条小小的趋势线出发，摩尔作出了大胆的推断：这种翻倍现象将继续维持10年。他预测，到1975年时，集成电路上的元件数量可以从64个增加至6.5万个。实际上，摩尔的推测几乎完全正确。 摩尔于1968年离开仙童半导体公司，并与别人共同创立了英特尔公司。 而英特尔公司在1975年所筹备推出的一款电荷耦合器件d）存储芯片中，大约有3.2个万元件——仅比摩尔的千倍增长预测结果少了一半。 不仅仅是半导体芯片，也包含了其他类型的存储方式。 除此以外，摩尔还能预测集成电路会相对便宜。 元件数量翻倍如何实现的问题。他提出，这一变化趋势是由3个因素决定的：越来越小的元件尺寸、不断增加的芯片面积和能够缩小多少晶体管之间的未使用面积。 但是对于英特尔公司当时正准备发布d存储器，他认为精明性将很快不再发挥决定性作用。d阵列中，所有器件均密密麻麻地排列成紧密的网格状，已经没有多余空间可进一步节省。 于是，摩尔预言，未来的翻倍趋势很快将只受两个因素驱动：更加微小的晶体管和更大面积的芯片。而后果便是翻倍速度将减半，元件数量从每年翻一倍减缓为每两年翻一倍。 在过去10年左右的这段时间里，摩尔定律在更大程度上是关乎成本的阐述，而非性能；我们制造尺寸更小的晶体管只是为了降低成本。但是，这并不代表目前的微处理器不及5或10年前的同类产品。这些年里，产品设计一直在不断进步。但是，绝大部分性能方面的进步还是源于更加低廉的晶体管所实现的多核集成。 摩尔定律始终在强调经济学方面的意义，原因就是该定律中一条非常重要但从未被广泛认可的内容：随着晶体管的尺寸越来越小，我们能够一直将每平方厘米成品硅片的制造成本年复一年地（至少到目前为止）维持在同一水平。摩尔所定义的这一成本约为每英亩十亿美元——虽然芯片制造商们几乎从未将英亩作为芯片面积的衡量单位。 第六百八十二章 离散对数(密码学) 在整数中，离散对数（英语：discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。 普遍大家都认为公钥密码体制是迪菲(w.diffie)和赫尔曼(e.hellman)发明的，可鲜为人知的是，默克勒(r.c.merkle)甚至在他俩之前的1975年就提出了类似的思想，尽管其文章是于1978年发表的，但投稿比较早。因此，公钥密码体制的创始人应该是他们三人。当然，他们三人只是提出了一种关于公钥密码体制与数字签名的思想，而没有真正实现。不过，他们确实是实现了一种体现公钥密码体制思想、基于离散对数问题的、在不安全的通道上进行密钥形成与交换的新技术。 迪菲(w.diffie)和赫尔曼(e.hellman)先约定公共的q=2739·(7149-1)\/6+1和g=7。 迪菲选随机数a，并计算7a(modq)，且将其送给赫尔曼（注：a不能向外泄漏）； 赫尔曼将收到 7a=&。 赫尔曼选随机数b，并计算7b(modq)，且将其送给迪菲（注：b不能向外泄漏）； 迪菲将收到 7b=&&&。 此时迪菲和赫尔曼都能计算出密钥7ab(modq)，但别人不太容易算出，因为别人不知道a和b。有兴趣的读者不妨将此作为一个练习，试着计算出7ab(modq)的值。 第六百八十三章 贝尔实验室的unix(一切都是文件) ken thompson在老婆不在家的三周里面写出了unix操作系统。 1966年硕士毕业之后，被贝尔实验室多次邀请加入。 他和ge、mit一起开发multics操作系统，1969年因为过度设计而无法实现其宏大目标。 贝尔实验室花不少钱推出，但是ken继续找到一台pdp7机器，废物回收，设计了太空旅行游戏。pdp7运行速度慢，他和dennis ritchie等人，重新设计文件系统，加快速度。 结果他第一周开始实现shell，第二周开始实现编辑器，第三周开始实现汇编器。 这三周刚好老婆带孩子回娘家，他完成了所有工作，在1969年写出了操作系统unix。 而dennis ritchie发明c语言。然后用c语言重写了unix。让unix可以轻松的在各个游戏之间移植。 公元1969年，贝尔实验室的ken thompson和dennis ritchie正在设计一个史无前例的操作系统: unix dennis兄，昨夜我一夜未眠，我感觉我们上了贼船了设计一个操作系统可真不容易啊你看看操作系统得管理多少设备键盘，鼠标，屏幕，打印机，光盘u盘，游戏杆...... 嘘!天机不可泄漏，光盘，游戏杆，u盘，几十年后才能发明啊! 所以说上帝交给我们的任务不容易啊，得应对未来几十年的变化。你想想，我们可以开发一个针对键盘读写的程序，还可以开发一个针对打印机读写的程序，可是光盘u盘现在都不存在，怎么开发? 在昨晚梦里，上帝好像说了一句话，我想不起来了只记得抽象这俩字 抽象?这些多乱七八糟的设备，有什么共同点? 你看啊，这些设备虽多，但共同点是都可以向它们写点东西，或者可以从它们读点东西。 一个东西，可读可写，那不就是我们上周开发完的文件吗? 对对，老弟说得非常对我想起来了!上帝在梦里给我说的就是:everything is a file! 我们再细化一下，文件就是个抽象的概念像个接口，其他的设备都是文件的实现。 没错，但是还有一个小问题，既然把这些设备当成了文件那总得像文件那样给它们一个路径名(path name)吧! 嗯，有道理，当这些设备注册到操作系统的时候，操作系统就给它们分配一个像文件那样的路径，让它们成为文件系统的一部分! 如此甚好，以后程序员可以像操作一个文件一样来操作设备了: 它们都有一致的命名空间 它们都有一致的操作方法 (open，read，write，close)。 钦，等等!我们俩不是在用汇编开发操作系统吗，你这是什么编程语言? 哦，我忘了告诉你了，这是我私下里开发的语言叫做c语言，可移植性比较好，用它来开发unix将来就可以移植到各种机器上去了。 老兄厉害啊，这c语言比汇编看起来舒服多了，敲完这行喝酒去! 1971年，ken休假期间回到母校加州大学，开设课程，讲解操作系统原理。一行行的给学生分析代码。激发了很多学生对编程的热情。unix在很多大学开始流行起来。 其中影响了bill joy。 1983年ken和dennis获得图灵机。 2000年ken从贝尔实验室退休。 6年后63岁的他加入google，发明了go语言。