第86章 高斯定理的估算
我隻想當一個安靜的學霸 作者：術小城 投票推薦 加入書簽 留言反饋
第86章 高斯定理的估算
“這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。”監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。
“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改《奧數冠軍沈奇的數學技巧》的稿子，改的他心力憔悴，沒怎麽休息好。
“趕緊搞定最後一道計算題，搞完了迴家補覺。”沈奇打起精神，仔細審題。
審完最後一道25分的計算題，沈奇終於有了幾分興趣：“就這最後一題，像是正規物理老師出的題。”
物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。
初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。
示意圖是一個圓，從圓心o到圓周七點鍾方位畫有一條虛線r，這條虛線r是圓的半徑。在圓心o旁邊不遠處有個小黑點mq。
本題的文字描述是：
“如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為r的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌麵上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌麵上與圓環中心o點非常接近的位置處。”
“設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之後的運動是否為振動？”
“若為振動，設小球初始位置與o點的距離r0＜＜r，試用適當的近似方法估算小球的振動周期t。”
估算與嚴格計算的區別在於，估算可以繞過複雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。
就初賽最後一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。
對於同一道物理題，如果采用估算方法，可選擇的途徑往往不止一條。
很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。
沈奇作出一個輔助圖，取通過o點並與圓環平麵垂直的軸為x軸。
在圓平麵上以o點為圓心，作半徑為r的圓。
將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱麵就此形成。
沈奇取此圓柱麵為高斯麵，因其中無電荷，根據高斯定理可得：
e*ds=0
高斯定理一祭出，真相越來越清晰。
帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心o點，為恢複性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是o點。
沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。
第二問要求沈奇估算小球的振動周期t，稍微麻煩一點點。
圓柱兩端麵的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算：
e1=λ（2πr）l/4πe（r^2+l^2）^3/2=λrl/2e（r^2+l^2）^3/2
那麽通過兩端麵的電通量近似值就出來了：
兩端麵e*ds≈e1*2πr^2
通過圓柱側麵的電通量可以近似的用圓平麵上與o點相距為r處的電場強度er來計算，根據高斯定理可得：
圓柱麵e*ds=兩端麵e*ds+側麵e*ds=0
那麽帶電小球在r處所受靜電力為：
fr=qer=-λq/4er^2*r
考慮到線性恢複力，小球在它的作用下將繞o點做簡諧振動。
所以周期t=4πr根號em/λq
“搞定。”曆經cmo乃至imo的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。
數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。
既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮誇，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。
沈奇檢查了一遍考卷，然後交卷，此時距開考過去了30多分鍾。
“這尼瑪？”
“臥槽？”
“這麽早交卷？”
“不停的寫，寫滿試卷也得30分鍾吧？”
“這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？”
同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高唿mmp。
雖然cpho全國初賽的考卷不難，但這麽早交卷也屬罕見。
物競圈子裏也有眼尖的選手：“提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？”
沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。
“誰在罵我？”沈奇猛然迴頭，眼神犀利掃視眾選手。
“草！”
眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。
“喂，交了卷請迅速離開考場。”監考老師催促沈奇，並快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎蒙，這種情況允許提前兩個多小時交卷。
沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。
“這……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。
沈奇略顯從容：“一般一般，亞洲第三。”
“那亞洲前二是誰？”穆蓉忍住不讓自己發笑。
沈奇一本正經的說到：“是校長和穆老師。”
“哈哈。”穆蓉終於忍不住笑了起來，又覺得疑惑：“你這政治覺悟，政治考試不可能拿b吧？”她也聽說了，沈奇政治考試拿了個b，其餘幾門都是a。
“哎，誰不曾年輕過，懵懂過。”沈奇一想起政治考試就不爽，黑曆史啊，無法抹去的汙點。當然了，高二下學期之前沈奇黑曆史挺多的，既然無法抹去，那便坦然麵對。
沈奇伸了個懶腰：“哈欠……好困，我要睡覺了。”
“去吧，迴家好好休息，辛苦了。”穆蓉沒有跟沈奇討論任何一題，沈奇的行動說明了一切。
初賽的閱卷工作將在一到兩周內完成，cpho的複賽安排在四月中旬舉行。
第二天，沈奇在南港二中遇見了幾個校物競隊的隊友。
“我估完分，覺得能考個140？”物競隊的隊友林星宇說到。
“我錯了一道選擇題、兩道填空題，兩道計算題，初賽得分大概在120到130之間。”另一位隊友白玲燁說到。
“你呢沈奇大佬？”林星宇問到。
“我估計在200分左右？或許最後一道計算題某些步驟要扣掉一兩分，也說不準，不知道。”沈奇說到。
“牛！”林星宇對沈奇有種盲目的崇拜，200分就是滿分。
“完了完了，初賽晉級分數線被沈奇拉高了。”白玲燁苦哈哈的說到。
“白玲燁你數學怕是不及格哦。”林星宇說到，“全國那麽多選手參賽，一個滿分就拉高分數線了？吐槽都不會，差評！”
……
……
（昨天初二在親戚家喝大了，剛起床，腦殼疼，起來發一章存稿然後接著睡，今天估計碼不了幾個字，晚上還要去其他親戚家吃飯，在我老家過年，20歲以上的男人不喝酒是不被允許的。
接到起點的通知，3月1日上架，我得存點稿，今天估計存一章稿都難，所以隻能更新一章。）
(本章完)
“這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。”監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。
“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改《奧數冠軍沈奇的數學技巧》的稿子，改的他心力憔悴，沒怎麽休息好。
“趕緊搞定最後一道計算題，搞完了迴家補覺。”沈奇打起精神，仔細審題。
審完最後一道25分的計算題，沈奇終於有了幾分興趣：“就這最後一題，像是正規物理老師出的題。”
物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。
初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。
示意圖是一個圓，從圓心o到圓周七點鍾方位畫有一條虛線r，這條虛線r是圓的半徑。在圓心o旁邊不遠處有個小黑點mq。
本題的文字描述是：
“如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為r的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌麵上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌麵上與圓環中心o點非常接近的位置處。”
“設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之後的運動是否為振動？”
“若為振動，設小球初始位置與o點的距離r0＜＜r，試用適當的近似方法估算小球的振動周期t。”
估算與嚴格計算的區別在於，估算可以繞過複雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。
就初賽最後一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。
對於同一道物理題，如果采用估算方法，可選擇的途徑往往不止一條。
很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。
沈奇作出一個輔助圖，取通過o點並與圓環平麵垂直的軸為x軸。
在圓平麵上以o點為圓心，作半徑為r的圓。
將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱麵就此形成。
沈奇取此圓柱麵為高斯麵，因其中無電荷，根據高斯定理可得：
e*ds=0
高斯定理一祭出，真相越來越清晰。
帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心o點，為恢複性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是o點。
沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。
第二問要求沈奇估算小球的振動周期t，稍微麻煩一點點。
圓柱兩端麵的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算：
e1=λ（2πr）l/4πe（r^2+l^2）^3/2=λrl/2e（r^2+l^2）^3/2
那麽通過兩端麵的電通量近似值就出來了：
兩端麵e*ds≈e1*2πr^2
通過圓柱側麵的電通量可以近似的用圓平麵上與o點相距為r處的電場強度er來計算，根據高斯定理可得：
圓柱麵e*ds=兩端麵e*ds+側麵e*ds=0
那麽帶電小球在r處所受靜電力為：
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考慮到線性恢複力，小球在它的作用下將繞o點做簡諧振動。
所以周期t=4πr根號em/λq
“搞定。”曆經cmo乃至imo的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。
數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。
既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮誇，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。
沈奇檢查了一遍考卷，然後交卷，此時距開考過去了30多分鍾。
“這尼瑪？”
“臥槽？”
“這麽早交卷？”
“不停的寫，寫滿試卷也得30分鍾吧？”
“這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？”
同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高唿mmp。
雖然cpho全國初賽的考卷不難，但這麽早交卷也屬罕見。
物競圈子裏也有眼尖的選手：“提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？”
沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。
“誰在罵我？”沈奇猛然迴頭，眼神犀利掃視眾選手。
“草！”
眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。
“喂，交了卷請迅速離開考場。”監考老師催促沈奇，並快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎蒙，這種情況允許提前兩個多小時交卷。
沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。
“這……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。
沈奇略顯從容：“一般一般，亞洲第三。”
“那亞洲前二是誰？”穆蓉忍住不讓自己發笑。
沈奇一本正經的說到：“是校長和穆老師。”
“哈哈。”穆蓉終於忍不住笑了起來，又覺得疑惑：“你這政治覺悟，政治考試不可能拿b吧？”她也聽說了，沈奇政治考試拿了個b，其餘幾門都是a。
“哎，誰不曾年輕過，懵懂過。”沈奇一想起政治考試就不爽，黑曆史啊，無法抹去的汙點。當然了，高二下學期之前沈奇黑曆史挺多的，既然無法抹去，那便坦然麵對。
沈奇伸了個懶腰：“哈欠……好困，我要睡覺了。”
“去吧，迴家好好休息，辛苦了。”穆蓉沒有跟沈奇討論任何一題，沈奇的行動說明了一切。
初賽的閱卷工作將在一到兩周內完成，cpho的複賽安排在四月中旬舉行。
第二天，沈奇在南港二中遇見了幾個校物競隊的隊友。
“我估完分，覺得能考個140？”物競隊的隊友林星宇說到。
“我錯了一道選擇題、兩道填空題，兩道計算題，初賽得分大概在120到130之間。”另一位隊友白玲燁說到。
“你呢沈奇大佬？”林星宇問到。
“我估計在200分左右？或許最後一道計算題某些步驟要扣掉一兩分，也說不準，不知道。”沈奇說到。
“牛！”林星宇對沈奇有種盲目的崇拜，200分就是滿分。
“完了完了，初賽晉級分數線被沈奇拉高了。”白玲燁苦哈哈的說到。
“白玲燁你數學怕是不及格哦。”林星宇說到，“全國那麽多選手參賽，一個滿分就拉高分數線了？吐槽都不會，差評！”
……
……
（昨天初二在親戚家喝大了，剛起床，腦殼疼，起來發一章存稿然後接著睡，今天估計碼不了幾個字，晚上還要去其他親戚家吃飯，在我老家過年，20歲以上的男人不喝酒是不被允許的。
接到起點的通知，3月1日上架，我得存點稿，今天估計存一章稿都難，所以隻能更新一章。）
(本章完)