他先與鄭紹遠合作，用實的monge-ampere方程解決了著名的閔可夫斯基（minkowski）猜想和閔可夫斯基時空中的伯恩斯坦（bernstein）問題，此後再將他自己發展的梯度估計技術發揮到極致，終於在1975年完全解決了卡拉比猜想。
首先，對於第一陳類小於和等於零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，kahler-einstein度量總是存在。
但是即使已經具備了這些工具，仍然有許多準備工作要做。
第一道難關，是在此之前，除了複一維的情形外，還沒有任何人解過複係數蒙日—安培方程。
就像登山者不斷挑戰更高的山嶽，我則是向更高維挑戰。為了培養攻克高維蒙日—安培方程的實力（它們有多麽非線性是不消說的），我和我的朋友鄭紹遠開始研究某些高維的題目，先從實數的情況著手，然後再對付更難的複方程。
我們首先找上的是閔可夫斯基在19世紀與20世紀之交所提出的著名難題。
閔可夫斯基問題涉及先取一些預設信息為條件，然後判定符合這些條件的結構是否存在。
以一個簡單多麵體為例，當你檢視這樣的結構時，可以借由其麵數、邊數和尺寸來刻畫它。
而閔可夫斯基問題則是反過來問：如果被告知麵的形狀、麵積、數目和方向，你能否判定有沒有符合這些條件的多麵體？若有的話，是否唯一？
實際的閔可夫斯基問題的範圍更廣，因為它適用於任意的凸麵（convex surface），而不隻是多麵體。
其中各麵的方向條件，則改用曲麵各點的指定曲率來取代，而這些曲率則是各點的法向量（normal vector）所對應的函數值，這相當於描述曲麵各點所指的方向。
然後你可以問，具有上述指定曲率的物體是否存在。
將問題這樣表述的一大好處，是問題不再以純幾何的形式來呈現，它也可以寫成偏微分方程。
紐約大學理工學院的魯特維克（erwin lutwak）解釋說：“如果能解出這個幾何問題，附帶還可以得到一項大禮：你同時也解決了一個可怕的偏微分方程。
幾何和偏微分方程之間的交互關係，是這個問題如此重要的原因之一。”
鄭紹遠和我找到一個方法來解這題，我們的論文在1976年發表。
不過後來發現，另一個獨立的解答，已在數年前由俄羅斯數學家波戈列洛夫（aleksei pogorelov）發表在1971年的一篇論文裏。
論文是以俄文撰寫的，所以鄭紹遠和我原先並不知道該篇論文存在。總結起來，關鍵在於解一個先前無人解過的複非線性偏微分方程。
即使先前不曾有人解過這個問題（波戈列洛夫除外，但是當時我們並不知道他的研究），但是關於如何處理非線性偏微分方程，卻已有一套明確的既定程序，稱為“連續法”（continuity method），這是一種采取一連串估計的方法。
方法本身並不新奇，訣竅在於能製定出一套對於手上問題特別有效的策略。
連續法的基本想法是通過一次次愈來愈準確的估計來逐漸逼近解答。
證明的本質在於論證經過足夠多次的迭代之後，這個過程可以收斂到一個良好的解。
如果一切順利，最後你得到的，仍然不會是可以作為解而寫下來的明確算式，而隻是證明出該方程的解的確存在。
就卡拉比猜想以及與它同性質的問題而言，證明某一偏微分方程有解，就等於幾何裏的存在性證明，說明給定某一“拓撲”條件，則合乎該條件的特定幾何形體確實存在。
不過這也並不表示你隻證明了有解，卻對解一無所知。
因為你證明解存在的方案，可以轉化成運用電腦計算來逼近答案的數值技巧。
首先，對於第一陳類小於和等於零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，kahler-einstein度量總是存在。
但是即使已經具備了這些工具，仍然有許多準備工作要做。
第一道難關，是在此之前，除了複一維的情形外，還沒有任何人解過複係數蒙日—安培方程。
就像登山者不斷挑戰更高的山嶽，我則是向更高維挑戰。為了培養攻克高維蒙日—安培方程的實力（它們有多麽非線性是不消說的），我和我的朋友鄭紹遠開始研究某些高維的題目，先從實數的情況著手，然後再對付更難的複方程。
我們首先找上的是閔可夫斯基在19世紀與20世紀之交所提出的著名難題。
閔可夫斯基問題涉及先取一些預設信息為條件，然後判定符合這些條件的結構是否存在。
以一個簡單多麵體為例，當你檢視這樣的結構時，可以借由其麵數、邊數和尺寸來刻畫它。
而閔可夫斯基問題則是反過來問：如果被告知麵的形狀、麵積、數目和方向，你能否判定有沒有符合這些條件的多麵體？若有的話，是否唯一？
實際的閔可夫斯基問題的範圍更廣，因為它適用於任意的凸麵（convex surface），而不隻是多麵體。
其中各麵的方向條件，則改用曲麵各點的指定曲率來取代，而這些曲率則是各點的法向量（normal vector）所對應的函數值，這相當於描述曲麵各點所指的方向。
然後你可以問，具有上述指定曲率的物體是否存在。
將問題這樣表述的一大好處，是問題不再以純幾何的形式來呈現，它也可以寫成偏微分方程。
紐約大學理工學院的魯特維克（erwin lutwak）解釋說：“如果能解出這個幾何問題，附帶還可以得到一項大禮：你同時也解決了一個可怕的偏微分方程。
幾何和偏微分方程之間的交互關係，是這個問題如此重要的原因之一。”
鄭紹遠和我找到一個方法來解這題，我們的論文在1976年發表。
不過後來發現，另一個獨立的解答，已在數年前由俄羅斯數學家波戈列洛夫（aleksei pogorelov）發表在1971年的一篇論文裏。
論文是以俄文撰寫的，所以鄭紹遠和我原先並不知道該篇論文存在。總結起來，關鍵在於解一個先前無人解過的複非線性偏微分方程。
即使先前不曾有人解過這個問題（波戈列洛夫除外，但是當時我們並不知道他的研究），但是關於如何處理非線性偏微分方程，卻已有一套明確的既定程序，稱為“連續法”（continuity method），這是一種采取一連串估計的方法。
方法本身並不新奇，訣竅在於能製定出一套對於手上問題特別有效的策略。
連續法的基本想法是通過一次次愈來愈準確的估計來逐漸逼近解答。
證明的本質在於論證經過足夠多次的迭代之後，這個過程可以收斂到一個良好的解。
如果一切順利，最後你得到的，仍然不會是可以作為解而寫下來的明確算式，而隻是證明出該方程的解的確存在。
就卡拉比猜想以及與它同性質的問題而言，證明某一偏微分方程有解，就等於幾何裏的存在性證明，說明給定某一“拓撲”條件，則合乎該條件的特定幾何形體確實存在。
不過這也並不表示你隻證明了有解，卻對解一無所知。
因為你證明解存在的方案，可以轉化成運用電腦計算來逼近答案的數值技巧。