紮裏斯基早年在基輔大學學習時，對代數和數論很感興趣，在意大利深造期間，他深受三位意大利卡斯泰爾諾沃、恩裏克斯、塞維裏在古典代數幾何領域的深刻影響。
意大利幾何學者們的研究方法本質上很富有“綜合性”，他們幾乎隻是根據幾何直觀和論據，因而他們的證明中往往缺少數學上的嚴密性。
紮裏斯基的研究明顯帶有代數的傾向，他的博士論文就與純代數數學有著密切聯係，精確地說是與伽羅瓦理論密切聯係。
當然也就激發了他在研究方程的時候，也會用到環論這樣的思想。
取得博士學位後，他在羅馬的研究工作仍然主要是與伽羅瓦理論有密切聯係的代數幾何問題。
一九三七年紮裏斯基的研究發生了重要的變化，其特點是變得更代數化了。
他所使用的研究方法和他所研究的問題都更具有代數的味道〔這些問題當然仍帶有代數幾何的根源和背景〕。
紮裏斯基對意大利幾何學者的證明感到不滿意，他確信幾何學的全部結構可以用純代數的方法加以重新建立。
在一九三五年左右，現代化數學已經興盛起來，最典型的例子是諾德與範德瓦爾登有關論著的發表。
範德瓦爾登從這個觀點出發把代數幾何抽象化，但是隻取得了一部分成就，而紮裏斯基卻獲得了巨大成功。
紮裏斯基開始研究如果方程在坐標係裏有一種圖形，能不能從方程中翻譯出拓撲學的一些性質呢？
對於這個方程來說，也有一種拓撲學的那種洞。
而這個洞，必須是一種無窮大那樣的奇點。
最簡單的奇點是通常二重點，還有尖點，迷向點，ade奇點（確切地說這是曲麵奇點，但是它可以對應成曲線奇點）
他的博士論文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分類，這裏麵f和g是多項式，x可以解為線性參數t的根式表達式。紮裏斯基說明這種方程可分為五類，它們是三角或橢圓方程。
ade奇點就是代數曲麵上的有理二重點，它可以通過奇點解消的方式爆發成為ade曲線。
ade奇點有五種類型：
a_n型：對應方程z^2=x^2+y^n
d_n型：對應方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4）
e_6型：對應方程z^2=x^3+y^4
e_7型：對應方程z^2=x(x^2+y^3)
e_8型：對應方程z^2=x^3+y^5
任何ade奇點都是超曲麵奇點，也是循環商奇點。它們的有理典範除子是零，重數是2。
除此以外有無窮大點，不連續的拐折點。
為了嚴格下定義，紮裏斯基認為方程等於0，x一階導等於0，y一階導為0，就可以稱之為奇點了。
如果f(x，y)的泰勒展開中不包含一次項的話，否則就稱該點是光滑點。
換句話說，我們冪級數展開f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次項，如果a和b不全為零，那麽該原點就稱為c的光滑點，否則就稱為奇點。
一個帶有奇點的平麵曲線 c 必定是某個射影空間中的光滑曲線 c''到射影平麵的投影。 找出這樣的光滑曲線 c''的過程，稱為 c 的奇點解消或者正規化。
曲線奇點有很一些有趣的不變量來刻畫，比如它的重數（就是泰勒展開式中最低項的次數），局部分支數，幾何虧格，milnor數等等。
這些不變量之間有著一定的聯係，對它們的研究屬於奇點拓撲這一分支。
紮裏斯基對萊夫謝茨說：“我聽了你的代數幾何的拓撲問題後，想到讓方程的拓撲學體現出來，就可以從代數簇中直接進行。代數簇的思想，不就是所有的方程本來都是多項式，而多項式僅僅有加法和乘法。就相當於是代數簇在做很多加和乘的運算來組成各種曲線，那麽就是環的作用而形成曲線。代數幾何的問題也就是交換環的理想的問題。”
萊夫謝茨說：“那你要是研究方程的拓撲性質，就從環這個結構開始就行了。”
紮裏斯基知道這些方程不需要在坐標係裏定位，所以用了仿射空間，或者叫線性空間，隻需要表示他們的形狀就行。
仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構。這種結構是一種特殊的線性空間，是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
然後紮裏斯基的工作就是把這些方程變成拓撲結構了。
在一九二七至一九三七年間，紮裏斯基給出了關於曲線c 的經典的黎曼-羅赫定理的拓撲證明，在這個證明中他引進了曲線 c 的 n重對稱積 c(n)來研究 c 上度數為 n 的除子的線性係統。
在三十年代，紮裏斯基把克魯爾的廣義賦值論應用到代數幾何，特別是雙有理變換上，他是從這方麵來奠定代數幾何的基礎，並且作出了實質性的貢獻。
紮裏斯基和其他的數學家在這方麵的工作，大大擴展了代數幾何的領域：首先，由複數域到一般域；其次，由代數曲線、曲麵推廣到一般代數簇，定義是完全內蘊的，也就是拋掉裝著代數簇的外圍空間。
他還證明了下述紮裏斯基主要定理：“如果雙有理對應在正規定 p 外不是正則的，那麽 p 的像的各個分支的維數大於等於一。”由此闡明了雙有理對應的性質。
對於奇點解消問題，即射影空間中任意不可約代數簇都能夠雙有理地變換為射影空間內的不帶奇點的代數簇，在特征為零及維數小於等於三時，他給出了證明。
一九四四年，他又證明了特征為〇的域上三維代數簇的奇點可以解消。
域 k 上的不可約代數簇 v，如果它的函數域上 k 上是純紹越的，就稱為一個有理簇。
紮裏斯基給出了判別代數閉域上的完備光滑曲麵 s 是有理的一個充分必要準則。
這個重要準則，現在稱為卡斯泰爾諾沃-紮裏斯基判別準則。
關於代數曲麵，紮裏斯基還嚴格地證明了卡斯泰爾諾沃的定理：設 l 為代數閉域 k 上兩變量有理函數域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 l 上為可分代數的，那麽 l 是 k 上的二元有理函數域。
在代數曲麵的理論中，尋求與給定的代數曲麵雙有理等價的非奇異代數曲麵的問題，是這個領域中最基本的問題之一，紮裏斯基在特征為〇的域上給出了基於賦值論的純代數的證明。
關於代數曲麵的分類，紮裏斯基和其他數學家給出了完整的結果。
他還引進正規簇和正規化的概念，並應用於線性係、雙有理變換及代數對應等理論中。
關於諾德環，他得出：若半局部整環 r 是一個域上的有限生成環的商環，則 r 是解析非分歧的，若 r 還是正規局部環，則 r 是解析正規的。
他還指出，即使以更一般的理想的冪引入拓撲，一切理想仍是閉集。
在關於局部一致性的研究中，紮裏斯基導入了代數簇 v 上的拓撲，現在稱為紮裏斯基拓撲。在這個拓撲中 v 的閉子集就是 v 的代數子簇。
在一九四九至一九五一年間，他發展了在簇 v 上的全形態方程以及在簇 v 的代數子簇上這種方程的解析連續性的半球理論，這個理論使他能夠給出一個新的、嚴密的對退化原理和恩裏克斯連續定理的證明。一九五〇年他還發展了局部環論。
一九六四至一九七八年間，紮裏斯基主要關心兩個新理論的發展：在簇 v上的等奇異性理論和飽和性理論。
等奇異點簇。
從古典幾何到現在，奇異的等效性隻在代數曲線上有定義。因此，隻能對 w 具有維數 r-1 而 v 具有維數 r 的情形下發展一個完全的關於等奇異性的理論。
紮裏斯基和其他美國和外國數學家〔特別是法國數學家〕後來致力於發展一個具有任何維數的簇 v 和其子簇 w 的等奇異性的可能性的一般理論。
飽和性理論在某種意義上是等奇異性理論的特殊情況。
這個理論是已經在 w 上等奇異性的 v 建立一個在最小意義下的等奇異性的標準，即它是在 w 上的解析乘積。
紮裏斯基關於飽和性的一般定理的證明為這個標準提供了依據。
紮裏斯基對極小模型理論也作出了貢獻。
他在古典代數幾何的曲麵理論方麵的重要之一，是曲麵的極小模型的存在定理〔一九五八年〕。
它給出了曲麵的情況下代數-幾何間的等價性。
這就是說，代數函數域一經給定，就存在非奇異曲麵〔極小模型〕作為其對應的“好的模型”，而且射影直線如果不帶有參數就是唯一正確的。
因此要進行曲麵的分類，可考慮極小模型，這成了曲麵分類理論的基礎。
具有仿射結構的集合就是一個仿射空間。
從a的紮裏斯基拓撲就可誘導得代數簇的紮裏斯基拓撲。
紮裏斯基對代數幾何做出做出了重大貢獻。
代數幾何是研究關於高維空間中由若幹個代數方程的公共零點所確定的點集，以及這些點集通過一定的構造方式導出的對象即代數簇。
從觀點上說，它是多變量代數函數域的幾何理論，也與從一般複流形來緊密地結合起來。
從方法上說，則和交換環論及同調代數有著密切的聯係。
意大利幾何學者們的研究方法本質上很富有“綜合性”，他們幾乎隻是根據幾何直觀和論據，因而他們的證明中往往缺少數學上的嚴密性。
紮裏斯基的研究明顯帶有代數的傾向，他的博士論文就與純代數數學有著密切聯係，精確地說是與伽羅瓦理論密切聯係。
當然也就激發了他在研究方程的時候，也會用到環論這樣的思想。
取得博士學位後，他在羅馬的研究工作仍然主要是與伽羅瓦理論有密切聯係的代數幾何問題。
一九三七年紮裏斯基的研究發生了重要的變化，其特點是變得更代數化了。
他所使用的研究方法和他所研究的問題都更具有代數的味道〔這些問題當然仍帶有代數幾何的根源和背景〕。
紮裏斯基對意大利幾何學者的證明感到不滿意，他確信幾何學的全部結構可以用純代數的方法加以重新建立。
在一九三五年左右，現代化數學已經興盛起來，最典型的例子是諾德與範德瓦爾登有關論著的發表。
範德瓦爾登從這個觀點出發把代數幾何抽象化，但是隻取得了一部分成就，而紮裏斯基卻獲得了巨大成功。
紮裏斯基開始研究如果方程在坐標係裏有一種圖形，能不能從方程中翻譯出拓撲學的一些性質呢？
對於這個方程來說，也有一種拓撲學的那種洞。
而這個洞，必須是一種無窮大那樣的奇點。
最簡單的奇點是通常二重點，還有尖點，迷向點，ade奇點（確切地說這是曲麵奇點，但是它可以對應成曲線奇點）
他的博士論文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分類，這裏麵f和g是多項式，x可以解為線性參數t的根式表達式。紮裏斯基說明這種方程可分為五類，它們是三角或橢圓方程。
ade奇點就是代數曲麵上的有理二重點，它可以通過奇點解消的方式爆發成為ade曲線。
ade奇點有五種類型：
a_n型：對應方程z^2=x^2+y^n
d_n型：對應方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4）
e_6型：對應方程z^2=x^3+y^4
e_7型：對應方程z^2=x(x^2+y^3)
e_8型：對應方程z^2=x^3+y^5
任何ade奇點都是超曲麵奇點，也是循環商奇點。它們的有理典範除子是零，重數是2。
除此以外有無窮大點，不連續的拐折點。
為了嚴格下定義，紮裏斯基認為方程等於0，x一階導等於0，y一階導為0，就可以稱之為奇點了。
如果f(x，y)的泰勒展開中不包含一次項的話，否則就稱該點是光滑點。
換句話說，我們冪級數展開f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次項，如果a和b不全為零，那麽該原點就稱為c的光滑點，否則就稱為奇點。
一個帶有奇點的平麵曲線 c 必定是某個射影空間中的光滑曲線 c''到射影平麵的投影。 找出這樣的光滑曲線 c''的過程，稱為 c 的奇點解消或者正規化。
曲線奇點有很一些有趣的不變量來刻畫，比如它的重數（就是泰勒展開式中最低項的次數），局部分支數，幾何虧格，milnor數等等。
這些不變量之間有著一定的聯係，對它們的研究屬於奇點拓撲這一分支。
紮裏斯基對萊夫謝茨說：“我聽了你的代數幾何的拓撲問題後，想到讓方程的拓撲學體現出來，就可以從代數簇中直接進行。代數簇的思想，不就是所有的方程本來都是多項式，而多項式僅僅有加法和乘法。就相當於是代數簇在做很多加和乘的運算來組成各種曲線，那麽就是環的作用而形成曲線。代數幾何的問題也就是交換環的理想的問題。”
萊夫謝茨說：“那你要是研究方程的拓撲性質，就從環這個結構開始就行了。”
紮裏斯基知道這些方程不需要在坐標係裏定位，所以用了仿射空間，或者叫線性空間，隻需要表示他們的形狀就行。
仿射空間，又稱線性流形，是數學中的幾何結構。這種結構是一種特殊的線性空間，是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中，點與點之間做差可以得到向量，點與向量做加法將得到另一個點，但是點與點之間不可以做加法。
然後紮裏斯基的工作就是把這些方程變成拓撲結構了。
在一九二七至一九三七年間，紮裏斯基給出了關於曲線c 的經典的黎曼-羅赫定理的拓撲證明，在這個證明中他引進了曲線 c 的 n重對稱積 c(n)來研究 c 上度數為 n 的除子的線性係統。
在三十年代，紮裏斯基把克魯爾的廣義賦值論應用到代數幾何，特別是雙有理變換上，他是從這方麵來奠定代數幾何的基礎，並且作出了實質性的貢獻。
紮裏斯基和其他的數學家在這方麵的工作，大大擴展了代數幾何的領域：首先，由複數域到一般域；其次，由代數曲線、曲麵推廣到一般代數簇，定義是完全內蘊的，也就是拋掉裝著代數簇的外圍空間。
他還證明了下述紮裏斯基主要定理：“如果雙有理對應在正規定 p 外不是正則的，那麽 p 的像的各個分支的維數大於等於一。”由此闡明了雙有理對應的性質。
對於奇點解消問題，即射影空間中任意不可約代數簇都能夠雙有理地變換為射影空間內的不帶奇點的代數簇，在特征為零及維數小於等於三時，他給出了證明。
一九四四年，他又證明了特征為〇的域上三維代數簇的奇點可以解消。
域 k 上的不可約代數簇 v，如果它的函數域上 k 上是純紹越的，就稱為一個有理簇。
紮裏斯基給出了判別代數閉域上的完備光滑曲麵 s 是有理的一個充分必要準則。
這個重要準則，現在稱為卡斯泰爾諾沃-紮裏斯基判別準則。
關於代數曲麵，紮裏斯基還嚴格地證明了卡斯泰爾諾沃的定理：設 l 為代數閉域 k 上兩變量有理函數域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 l 上為可分代數的，那麽 l 是 k 上的二元有理函數域。
在代數曲麵的理論中，尋求與給定的代數曲麵雙有理等價的非奇異代數曲麵的問題，是這個領域中最基本的問題之一，紮裏斯基在特征為〇的域上給出了基於賦值論的純代數的證明。
關於代數曲麵的分類，紮裏斯基和其他數學家給出了完整的結果。
他還引進正規簇和正規化的概念，並應用於線性係、雙有理變換及代數對應等理論中。
關於諾德環，他得出：若半局部整環 r 是一個域上的有限生成環的商環，則 r 是解析非分歧的，若 r 還是正規局部環，則 r 是解析正規的。
他還指出，即使以更一般的理想的冪引入拓撲，一切理想仍是閉集。
在關於局部一致性的研究中，紮裏斯基導入了代數簇 v 上的拓撲，現在稱為紮裏斯基拓撲。在這個拓撲中 v 的閉子集就是 v 的代數子簇。
在一九四九至一九五一年間，他發展了在簇 v 上的全形態方程以及在簇 v 的代數子簇上這種方程的解析連續性的半球理論，這個理論使他能夠給出一個新的、嚴密的對退化原理和恩裏克斯連續定理的證明。一九五〇年他還發展了局部環論。
一九六四至一九七八年間，紮裏斯基主要關心兩個新理論的發展：在簇 v上的等奇異性理論和飽和性理論。
等奇異點簇。
從古典幾何到現在，奇異的等效性隻在代數曲線上有定義。因此，隻能對 w 具有維數 r-1 而 v 具有維數 r 的情形下發展一個完全的關於等奇異性的理論。
紮裏斯基和其他美國和外國數學家〔特別是法國數學家〕後來致力於發展一個具有任何維數的簇 v 和其子簇 w 的等奇異性的可能性的一般理論。
飽和性理論在某種意義上是等奇異性理論的特殊情況。
這個理論是已經在 w 上等奇異性的 v 建立一個在最小意義下的等奇異性的標準，即它是在 w 上的解析乘積。
紮裏斯基關於飽和性的一般定理的證明為這個標準提供了依據。
紮裏斯基對極小模型理論也作出了貢獻。
他在古典代數幾何的曲麵理論方麵的重要之一，是曲麵的極小模型的存在定理〔一九五八年〕。
它給出了曲麵的情況下代數-幾何間的等價性。
這就是說，代數函數域一經給定，就存在非奇異曲麵〔極小模型〕作為其對應的“好的模型”，而且射影直線如果不帶有參數就是唯一正確的。
因此要進行曲麵的分類，可考慮極小模型，這成了曲麵分類理論的基礎。
具有仿射結構的集合就是一個仿射空間。
從a的紮裏斯基拓撲就可誘導得代數簇的紮裏斯基拓撲。
紮裏斯基對代數幾何做出做出了重大貢獻。
代數幾何是研究關於高維空間中由若幹個代數方程的公共零點所確定的點集，以及這些點集通過一定的構造方式導出的對象即代數簇。
從觀點上說，它是多變量代數函數域的幾何理論，也與從一般複流形來緊密地結合起來。
從方法上說，則和交換環論及同調代數有著密切的聯係。