就憑開創類域論這一項成就，高木貞治就足以站在這個位置。
類域論是現代數論的中心，研究數域上阿貝爾擴張的理論，如今已經滲透到數學各個分支，構造類域的世紀難題，依然是當今數學的最重要的中心之一。
高木貞治是日本現代數學最重要的開創者和祖師爺，早年遊學德國，迴日本後培育了整整一代的日本數學家！可以說，高木貞治大師是現代日本數學的真正意義上的開創者。
高木貞治的偉大成就，經他教育傳承下，奠定了日本代數，數論學派的深厚傳統，時至今日，日本仍然是世界抽象代數、代數數論研究的重鎮。
高木貞治知道阿貝爾的擴張論，對伽羅瓦解釋數域的擴張，和高次方程無解的理論都有很大的幫助。
阿貝爾擴張是一類重要的域擴張，設k是域f的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群g(k\/f)為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，k稱為f上阿貝爾擴域。
但高木貞治認為，屬於的擴張可以已經基本的算數運算，在算數運算的擴張可以看看數字可以飽滿到什麽程度。
高木貞治對小平邦彥說：“人類是怎麽定義數字的？會不會不講究啊！”
小平邦彥說：“你指的是自然數？那皮亞諾公理不是從新定義了嗎？規範了呀。”
高木貞治說：“隻能說自然數或者是整數還勉強的符合群論或者環論的一些東西，其他的小數、無理數、超越數恐怕就難以用群、環、或者交換環或者是伽羅瓦的擴張來得到了，來自人的靈性而已嗎？”
小平邦彥說：“發現如此之多的數學工具，不就是為了重新規範這些已經存在的有用的各種數字嘛，這點類也受不起？”
高木貞治說：“如果是1用皮亞若公裏擴展到自然數，在加個加法交換性得到負數，乘法交換性和商群得到小數，然後加個i擴展到複數。但來個非交換的矩陣，說實話，不太能吃得消。你說一下，你頂得住非交換的東西嘛？”
小平邦彥說：“但數學中普遍存在呀！”
高木貞治說：“任何一個人都不喜歡不對稱的，也不喜歡非交換的，所謂此刻的非交換，也隻是為了下一次的巨大的交換做準備的，所以任何一種域，都可以用阿貝爾擴張出來。”
小平邦彥說：“胡說，你喝多了吧！”
高木貞治說：“非但沒有，我還要跟你死磕到底，咱們要來個這個世界上有沒有非交換的東西來掰扯一下。”
小平邦彥說：“有非交換的，很多矩陣就是。”
高木貞治說：“幼稚，那些矩陣我可以還原出一些原型，改造成可以交換的易如反掌。”高木貞治開始寫出了一個矩陣，然後再周圍加了一圈零。對小平邦彥說：“你看看，這不就改造成交換的了嗎？”
小平邦彥說：“你加了0，那就不是原來的矩陣了。”
高木貞治解釋道：“誰說的？你眼裏就是什麽2乘2階，3乘3階矩陣。那是你每看透，都是無窮階的，其中隻有2乘2階，3乘3階有非零的數字，其他都是0而已，每個矩陣階數相等，都是無窮乘無窮階的。”
小平邦彥說：“你太突破傳統了，我不太能接受你那個所謂的簡寫0的矩陣這個說法，即使你耍賴，我還能找到很多的非交換的東西。”
高木貞治笑說：“一樣的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成個其他東西，即使旋轉三角形那些，也是一樣，我都可以給你變變。最終你發現，你找不到非交換的東西。”
小平邦彥說：“照你這麽說，數學都是交換的，豈不是更容易統一了？大喜事呀！”
高木貞治說：“不完全對，即使世界上任何一個東西都是由一個簡單的元交換出來的，但是這個交換過程極其繁瑣，是一大堆的邏輯符號，就算用範疇論的語言都需要寫好幾頁呢。”
小平邦彥無語：“那還不如非交換呢，把非交換弄簡單點，不也可以操作嘛！”
阿貝爾感覺到，關於數論中同餘的問題，往往就會關聯有限群。
這是不可避免的。
隻要以規範，就會讓其得到大麵積驚人的使用。
比如二律互反等一類的數論問題，在有限域這種地方也能用得著。
那麽近下來，讓大家接受有限數域，就是最終於的問題了。
對於此，阿貝爾擴張就是關於這個問題的研究的，同時後人有循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張。
對於分圓擴張，克羅內克發展了克羅內克的青春夢。
而高木貞治，解決了克羅內克青春夢猜想。
類域論就是研究怎樣用k的元素來描述k的所有阿貝爾擴張的問題。
1920年日本數學家高木貞治完成了類域論的最早突破：對於每個擴張k，都對應k中的一個對象t（k），即k的理想類群在某一等價關係之下的一個等價類。
高木描述了這些t(k)的集合，而且每一個t（k）都刻劃k的唯一的阿貝爾擴張k，並且k的代數及算術性質可由t(k)直接推出。
對這個漂亮的定理，高木給出的證明非常繁複，中間還要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定義狄利克雷l級數。
之前幾百年，高斯發現了二次互反律的多種證明。
1920年，高木貞治發展了關於數域的阿貝爾擴張理論，和類域論。
後來阿廷發現了阿廷互反律。
從中發現了在數論、群論和代數幾何之間的相互聯係。
同餘代數，對於橢圓曲線與模形式。
而模形式對應艾森斯坦級數。
所以二律互反對於級數，一般級數使用狄利克雷的l級數來表示的。
阿廷就發現了這個東西，後來推廣到阿廷互反律。
類域論是現代數論的中心，研究數域上阿貝爾擴張的理論，如今已經滲透到數學各個分支，構造類域的世紀難題，依然是當今數學的最重要的中心之一。
高木貞治是日本現代數學最重要的開創者和祖師爺，早年遊學德國，迴日本後培育了整整一代的日本數學家！可以說，高木貞治大師是現代日本數學的真正意義上的開創者。
高木貞治的偉大成就，經他教育傳承下，奠定了日本代數，數論學派的深厚傳統，時至今日，日本仍然是世界抽象代數、代數數論研究的重鎮。
高木貞治知道阿貝爾的擴張論，對伽羅瓦解釋數域的擴張，和高次方程無解的理論都有很大的幫助。
阿貝爾擴張是一類重要的域擴張，設k是域f的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦群g(k\/f)為一阿貝爾群，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，k稱為f上阿貝爾擴域。
但高木貞治認為，屬於的擴張可以已經基本的算數運算，在算數運算的擴張可以看看數字可以飽滿到什麽程度。
高木貞治對小平邦彥說：“人類是怎麽定義數字的？會不會不講究啊！”
小平邦彥說：“你指的是自然數？那皮亞諾公理不是從新定義了嗎？規範了呀。”
高木貞治說：“隻能說自然數或者是整數還勉強的符合群論或者環論的一些東西，其他的小數、無理數、超越數恐怕就難以用群、環、或者交換環或者是伽羅瓦的擴張來得到了，來自人的靈性而已嗎？”
小平邦彥說：“發現如此之多的數學工具，不就是為了重新規範這些已經存在的有用的各種數字嘛，這點類也受不起？”
高木貞治說：“如果是1用皮亞若公裏擴展到自然數，在加個加法交換性得到負數，乘法交換性和商群得到小數，然後加個i擴展到複數。但來個非交換的矩陣，說實話，不太能吃得消。你說一下，你頂得住非交換的東西嘛？”
小平邦彥說：“但數學中普遍存在呀！”
高木貞治說：“任何一個人都不喜歡不對稱的，也不喜歡非交換的，所謂此刻的非交換，也隻是為了下一次的巨大的交換做準備的，所以任何一種域，都可以用阿貝爾擴張出來。”
小平邦彥說：“胡說，你喝多了吧！”
高木貞治說：“非但沒有，我還要跟你死磕到底，咱們要來個這個世界上有沒有非交換的東西來掰扯一下。”
小平邦彥說：“有非交換的，很多矩陣就是。”
高木貞治說：“幼稚，那些矩陣我可以還原出一些原型，改造成可以交換的易如反掌。”高木貞治開始寫出了一個矩陣，然後再周圍加了一圈零。對小平邦彥說：“你看看，這不就改造成交換的了嗎？”
小平邦彥說：“你加了0，那就不是原來的矩陣了。”
高木貞治解釋道：“誰說的？你眼裏就是什麽2乘2階，3乘3階矩陣。那是你每看透，都是無窮階的，其中隻有2乘2階，3乘3階有非零的數字，其他都是0而已，每個矩陣階數相等，都是無窮乘無窮階的。”
小平邦彥說：“你太突破傳統了，我不太能接受你那個所謂的簡寫0的矩陣這個說法，即使你耍賴，我還能找到很多的非交換的東西。”
高木貞治笑說：“一樣的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成個其他東西，即使旋轉三角形那些，也是一樣，我都可以給你變變。最終你發現，你找不到非交換的東西。”
小平邦彥說：“照你這麽說，數學都是交換的，豈不是更容易統一了？大喜事呀！”
高木貞治說：“不完全對，即使世界上任何一個東西都是由一個簡單的元交換出來的，但是這個交換過程極其繁瑣，是一大堆的邏輯符號，就算用範疇論的語言都需要寫好幾頁呢。”
小平邦彥無語：“那還不如非交換呢，把非交換弄簡單點，不也可以操作嘛！”
阿貝爾感覺到，關於數論中同餘的問題，往往就會關聯有限群。
這是不可避免的。
隻要以規範，就會讓其得到大麵積驚人的使用。
比如二律互反等一類的數論問題，在有限域這種地方也能用得著。
那麽近下來，讓大家接受有限數域，就是最終於的問題了。
對於此，阿貝爾擴張就是關於這個問題的研究的，同時後人有循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張。
對於分圓擴張，克羅內克發展了克羅內克的青春夢。
而高木貞治，解決了克羅內克青春夢猜想。
類域論就是研究怎樣用k的元素來描述k的所有阿貝爾擴張的問題。
1920年日本數學家高木貞治完成了類域論的最早突破：對於每個擴張k，都對應k中的一個對象t（k），即k的理想類群在某一等價關係之下的一個等價類。
高木描述了這些t(k)的集合，而且每一個t（k）都刻劃k的唯一的阿貝爾擴張k，並且k的代數及算術性質可由t(k)直接推出。
對這個漂亮的定理，高木給出的證明非常繁複，中間還要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定義狄利克雷l級數。
之前幾百年，高斯發現了二次互反律的多種證明。
1920年，高木貞治發展了關於數域的阿貝爾擴張理論，和類域論。
後來阿廷發現了阿廷互反律。
從中發現了在數論、群論和代數幾何之間的相互聯係。
同餘代數，對於橢圓曲線與模形式。
而模形式對應艾森斯坦級數。
所以二律互反對於級數，一般級數使用狄利克雷的l級數來表示的。
阿廷就發現了這個東西，後來推廣到阿廷互反律。