柯爾莫哥洛夫對阿諾德說：“我開始想關於n體力學的問題，我們未來在研究動力學係統的時候，必須要麵對這個嚴肅的問題。”
阿諾德說：“n體問題屬於不可積分的難題，隻能尋求級數解。換言之，這類係統無法根據初始條件求出描述係統未來確定性行為的精確解。力學係統一般說來不可積分，可積分係統隻是極少的特例，並指出共振項可能影響級數的收斂性。”
柯爾莫科洛夫說：“我們要研究弱不可積係統問題。”
阿諾德說：“哈哈，柿子撿軟的捏。”
柯爾莫哥洛夫說：“在擾動較小也可以說非線性程度比較小、v足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對於絕大多數初始條件，弱不可積係統的運動圖像與可積係統基本相同。”
阿諾德說：“在滿足一定條件下近可積係統絕大多數解是規則的，其相軌跡被限製在一個由n個運動不變量決定的n維環麵上，該環麵與可積係統的環麵相比有微小的變形，但拓撲結構不變，稱為不變環麵；確切些說，相空間分成大小兩組體積非零的區域。”
柯爾莫哥洛夫說：“在大區域中仍然保持著與可積係統類似的環麵結構；也有一些“隨機”解，但被限製在環麵之間，成為“隨機”層。”隨機二字打上引號表示並非真正的隨機，而是因為係統的性態隨初值的敏感而呈現混亂，這仍然是混沌現象的決定性的表現
阿諾德說：“因此，近可積係統與可積係統的解相差不多，這時確定性與“隨機性”共存。”
柯爾莫哥洛夫說：“當然，隨著攝動的加大，上述條件受到破壞，我說的這個不再適用。分隔相鄰“隨機”層的環麵將逐個破裂，“隨機”層也相應變大，這時係統的所有可能解中大部分都是混沌解。”
阿諾德說：“軌道的不穩定性是力學係統運動中出現隨機性、不可預言性和混沌的原因。”
kolmogorov 在1954年世界數學家大會上指出：非退化的可積係統在保守的微小擾動後，雖然某些不變環麵一般說來會被擾動破壞掉（稱為共振環麵），但仍會有相當多的環麵被保存下來，也就是說整個相空間中仍然有許多的相流的運動是非常簡單的（直觀地，可以想象二維平麵雖然沒有被同心圓分層，但仍有許許多多的同心圓保存了下來，每個圓上的相流都共扼於一個旋轉，隻是相鄰的兩個同心圓之間相流的運動會比較複雜一些）。
阿諾德後來與德國數學家moser也開始通信討論這個問題。
moser說：“不可積的哈密頓係統又是什麽樣子？”
阿諾德說：“直到現在也不完全清楚，也許永遠也搞不清。但是由已知的東西出發探索未知的方法提醒我們應該先去了解充分接近可積的係統是什麽樣子。”
moser說：“我們現在準備試圖證明這個定理。”
阿諾德說：“有什麽好的辦法碼？”
moser說：“用牛頓迭代的辦法了。就是找一係列的典則變換，不破壞哈密頓方程的式，一步步地變換近可積的係統使之越來越靠近一個可積係統，隻要對參數的大部分點能做到就行。由於在迭代過程中會出現所謂的“小分母”，用通常的牛頓迭代法無法保證最終無窮多步變換的複合收斂，但利用改進的牛頓迭代方法克服了小分母帶來的麻煩，從而完成了定理的證明。”
阿諾德說：“這個辦法不錯。”
moser說：“sigel也對這個工作感興趣，他在考慮圓周映射的線性化時，也曾提出過類似的證明思想，我在降低該理論對可微性的要求上又作出了一些重要的工作。”後來，john nash 在他證明有關黎曼嵌入的論文中，也用到了類似的迭代方法（當然是獨立完成，甚至可能早於moser），於是，後人又把他們的證明方法叫做 nash-moser 迭代。
阿諾德說：“曾經的遍曆性假設是猜測：通有的哈密頓係統，相流是遍曆的。如果按照我的理論，遍曆性假設不攻自破？由於可積係統不是通有的係統，一般的係統都是不可積的，因此由相流不遍曆的可積係統並不能否定遍曆性假設，但是我們知道近可積係統卻是通有的。如果我們考慮 4 維的相空間，其等能麵是三維的，如果該近可積的係統有不變二維環麵存在，則此環麵必將能量麵的其餘部分分割為不連通的兩塊，相流不可能從環麵一邊跑道另一邊，所以也就不會有何遍曆性可言。”
moser笑說：“不知道當年 fermi 是怎麽證明了遍曆性假設的。不過據說他開密碼鎖也是一把好手。”fermi當年的工作恰恰發現了不遍曆性。說的是他搞了一批耦合諧振子，原來覺得能量可以自由的在自由度之間流動，最終達到玻爾茲曼分布。結果後來發現根據初始條件不同，能量卡在若幹個自由度之間來迴變，永遠不會達到玻爾茲曼分布。驗證了動力係統中，遍曆性假設不是先天靠譜的。
阿諾德說：“我在想，共振環麵破裂後到底會怎樣？”
moser說：“這個問題仍沒有完全解決。目前大家都比較清楚的是：一般會有較低維數的環麵存在，分橢圓環麵，雙曲環麵等，，也就是說仍然還有比較規則的相曲線；同時還會有一些很不規則的軌線，有人稱之為 mather 集；甚至還有所謂的“馬蹄”。”
kam 理論，不僅是 kolmogorov 定理本身，還包括為證明該定理所發展的一係列方法，該理論誕生至今雖已近半個世紀，但仍在不斷的發展和完善中。它所應用的範圍也不僅限於哈密頓係統，對於可逆係統，保體積映射，以及無窮維哈密頓係統（包括一些特殊的偏微分方程）都發展出了相應的 kam 理論。甚至可以說，凡是有小分母出現的地方，就是 kam 大顯身手之處。
阿諾德說：“n體問題屬於不可積分的難題，隻能尋求級數解。換言之，這類係統無法根據初始條件求出描述係統未來確定性行為的精確解。力學係統一般說來不可積分，可積分係統隻是極少的特例，並指出共振項可能影響級數的收斂性。”
柯爾莫科洛夫說：“我們要研究弱不可積係統問題。”
阿諾德說：“哈哈，柿子撿軟的捏。”
柯爾莫哥洛夫說：“在擾動較小也可以說非線性程度比較小、v足夠光滑、離開共振條件一定距離等三個條件下，對於絕大多數初始條件，弱不可積係統的運動圖像與可積係統基本相同。”
阿諾德說：“在滿足一定條件下近可積係統絕大多數解是規則的，其相軌跡被限製在一個由n個運動不變量決定的n維環麵上，該環麵與可積係統的環麵相比有微小的變形，但拓撲結構不變，稱為不變環麵；確切些說，相空間分成大小兩組體積非零的區域。”
柯爾莫哥洛夫說：“在大區域中仍然保持著與可積係統類似的環麵結構；也有一些“隨機”解，但被限製在環麵之間，成為“隨機”層。”隨機二字打上引號表示並非真正的隨機，而是因為係統的性態隨初值的敏感而呈現混亂，這仍然是混沌現象的決定性的表現
阿諾德說：“因此，近可積係統與可積係統的解相差不多，這時確定性與“隨機性”共存。”
柯爾莫哥洛夫說：“當然，隨著攝動的加大，上述條件受到破壞，我說的這個不再適用。分隔相鄰“隨機”層的環麵將逐個破裂，“隨機”層也相應變大，這時係統的所有可能解中大部分都是混沌解。”
阿諾德說：“軌道的不穩定性是力學係統運動中出現隨機性、不可預言性和混沌的原因。”
kolmogorov 在1954年世界數學家大會上指出：非退化的可積係統在保守的微小擾動後，雖然某些不變環麵一般說來會被擾動破壞掉（稱為共振環麵），但仍會有相當多的環麵被保存下來，也就是說整個相空間中仍然有許多的相流的運動是非常簡單的（直觀地，可以想象二維平麵雖然沒有被同心圓分層，但仍有許許多多的同心圓保存了下來，每個圓上的相流都共扼於一個旋轉，隻是相鄰的兩個同心圓之間相流的運動會比較複雜一些）。
阿諾德後來與德國數學家moser也開始通信討論這個問題。
moser說：“不可積的哈密頓係統又是什麽樣子？”
阿諾德說：“直到現在也不完全清楚，也許永遠也搞不清。但是由已知的東西出發探索未知的方法提醒我們應該先去了解充分接近可積的係統是什麽樣子。”
moser說：“我們現在準備試圖證明這個定理。”
阿諾德說：“有什麽好的辦法碼？”
moser說：“用牛頓迭代的辦法了。就是找一係列的典則變換，不破壞哈密頓方程的式，一步步地變換近可積的係統使之越來越靠近一個可積係統，隻要對參數的大部分點能做到就行。由於在迭代過程中會出現所謂的“小分母”，用通常的牛頓迭代法無法保證最終無窮多步變換的複合收斂，但利用改進的牛頓迭代方法克服了小分母帶來的麻煩，從而完成了定理的證明。”
阿諾德說：“這個辦法不錯。”
moser說：“sigel也對這個工作感興趣，他在考慮圓周映射的線性化時，也曾提出過類似的證明思想，我在降低該理論對可微性的要求上又作出了一些重要的工作。”後來，john nash 在他證明有關黎曼嵌入的論文中，也用到了類似的迭代方法（當然是獨立完成，甚至可能早於moser），於是，後人又把他們的證明方法叫做 nash-moser 迭代。
阿諾德說：“曾經的遍曆性假設是猜測：通有的哈密頓係統，相流是遍曆的。如果按照我的理論，遍曆性假設不攻自破？由於可積係統不是通有的係統，一般的係統都是不可積的，因此由相流不遍曆的可積係統並不能否定遍曆性假設，但是我們知道近可積係統卻是通有的。如果我們考慮 4 維的相空間，其等能麵是三維的，如果該近可積的係統有不變二維環麵存在，則此環麵必將能量麵的其餘部分分割為不連通的兩塊，相流不可能從環麵一邊跑道另一邊，所以也就不會有何遍曆性可言。”
moser笑說：“不知道當年 fermi 是怎麽證明了遍曆性假設的。不過據說他開密碼鎖也是一把好手。”fermi當年的工作恰恰發現了不遍曆性。說的是他搞了一批耦合諧振子，原來覺得能量可以自由的在自由度之間流動，最終達到玻爾茲曼分布。結果後來發現根據初始條件不同，能量卡在若幹個自由度之間來迴變，永遠不會達到玻爾茲曼分布。驗證了動力係統中，遍曆性假設不是先天靠譜的。
阿諾德說：“我在想，共振環麵破裂後到底會怎樣？”
moser說：“這個問題仍沒有完全解決。目前大家都比較清楚的是：一般會有較低維數的環麵存在，分橢圓環麵，雙曲環麵等，，也就是說仍然還有比較規則的相曲線；同時還會有一些很不規則的軌線，有人稱之為 mather 集；甚至還有所謂的“馬蹄”。”
kam 理論，不僅是 kolmogorov 定理本身，還包括為證明該定理所發展的一係列方法，該理論誕生至今雖已近半個世紀，但仍在不斷的發展和完善中。它所應用的範圍也不僅限於哈密頓係統，對於可逆係統，保體積映射，以及無窮維哈密頓係統（包括一些特殊的偏微分方程）都發展出了相應的 kam 理論。甚至可以說，凡是有小分母出現的地方，就是 kam 大顯身手之處。