1966年，英國拓撲學家馬克·阿姆斯特朗對自己的老師知名拓撲學家 erik zeeman說：“拓撲學是如何開始的？”
erik zeeman說：“從歐拉的七橋定理開始的，從這個中間把七橋的模型畫成圖論，從圖論中分析出拓撲等價。”
馬克說：“聽起來很簡單，那如何去研究拓撲學呢？”
erik zeeman說：“主要就是分類，對不同的拓撲結構進行分類。分類出很多曲麵，對曲麵解構成抽象空間，然後找到拓撲不變量去分類。”
馬克說：“那要分類很多曲麵，是什麽曲麵？有標準嗎？”
erik zeeman說：“是的，要嚴格的連續曲麵，不能是離散的。”
馬克說：“如何說明是連續的？”
erik zeeman說：“就跟我說的一樣，這是一個抽象空間，這個空間需要由開集和閉集這樣的東西給組成。然後開集和閉集需要引入連續映射係統來完整這個函數的描述。”
馬克說：“為什麽要用開集和閉集這樣的東西？”
erik zeeman說：“因為嚴格。如果使用幾何、數字、符號或者是其他的描述拓撲的係統，都缺乏嚴格性。如果時間久了會出現很多我們不想要的漏洞。”
馬克說：“我明白了。”
erik zeeman說：“在這樣的前提下，就可以大膽的研究映射，讓曲線充分的施展開來。可以讓普通的曲線因為映射充滿整個空間。同時開始使用tietze擴張定理。”
馬克說：“擴張？如何擴張？”
erik zeeman說：“是r的n維空間的有理點集，擴張到整個空間。”
馬克說：“擴張到所有的無理點集？”
erik zeeman說：“恩，是這個意思。”
馬克說：“不錯，可是剛剛說的這個開集和閉集，這個如何算嚴格，怎麽去連續，變得光滑？”
erik zeeman說：“需要有緊致性和連通性，加有界閉集這種概念。閉集是bai兩邊類似[1，10]；有界集兩邊是(1，10]，[1，10）兩種。”
馬克說：“有界之後，如何緊致化？”
erik zeeman說：“這是海涅－博雷爾定理或有限覆蓋定理、定理的主要內容是度量空間的子集是緊致的，當且僅當它是完備的並且完全有界的。”
馬克說：“是子集緊致就行嗎？那能不能在詳細一些，緊致空間的性質是什麽？”
erik zeeman說：“緊致性本質上是有限性條件，有限性條件破解類似一日之椎，日取其半，萬世不可遏這樣的意思。假如孫悟空在如來的手掌心翻跟鬥，跟鬥雲是一個任意序列，停在如來的手指旁是存在一個子列收斂，留下到此一遊的字和撒尿是在一個有界的閉集裏。或者一個瓶子裏裝高爾夫球後，可以裝石子，然後還可以裝沙子，最後還可以裝水，這都說明原來的東西不夠緊。這些都可以作為例子來想。”
馬克說：“不錯，這個解釋變得清晰了一些。”
erik zeeman說：“然後，就需要了解乘積空間。”
馬克說：“乘積空間是幹什麽的，是要把拓撲空間乘起來嗎？”
erik zeeman說：“沒錯，打個比方，就是r的n維空間是n個r直線乘起來的。”
馬克說：“這個是在高維度實數坐標中的一種比喻。”
erik zeeman說：“現在開始研究連通性。如果非空的a和b都是分離並，他們都在x中，一般是不連通的。”
馬克說：“什麽？”
erik zeeman繼續說：“如果x讓分離並連通了，就稱之為連通的。”
馬克說：“r的n維空間是連通的嗎？”
erik zeeman說：“是連通的。”
erik zeeman：“拓撲世界有兩種，一個是連通，一個是不通。”
馬克說：“如何去判定這些？”
erik zeeman：“比如一個實心圓球內部是處處通，若有一個洞，這個洞不通。”
馬克覺得研究拓撲，終歸就是說很多東西是不是等價的，或者是符合什麽什麽特性的，他說：“為了這是幹嘛？是為了給各種不同的拓撲進行分類？這是最合理的分類方法？”
erik zeeman：“沒錯，之後談拓撲分類時，都是用道路連通性這類符號去運算各種東西的。畢竟拓撲不看尺寸的長短和麵積的大小之類的東西。計算的是一種性質，類似洞數等等之類的，同時也要研究這些不同拓撲直接是否是同一種類型。”
馬克說：“然後運算是如何遠算的？有四則運算這種嗎？”馬克腦子裏有點暈，在想數字計算的事情，沒有用心問問題。
erik zeeman：“拓撲中遠算往往要做一些工作，一般講一些複雜形狀是如何用簡單形狀組成的。但此組成也不像簡單的壘積木和焊接那麽簡單。”
馬克笑說：“我當然知道你想說的是莫比烏斯帶或者克萊因瓶，他們需要對材料進行一些翻轉或者變形之後，才能組合在一起。”說到此處，馬克在想長條粘貼旋轉一遍時是莫比烏斯帶，旋轉兩遍的時候那是什麽？雖不是莫比烏斯帶那麽，但是也不是正常形狀。但馬克沒敢說這些，因為太魔性了。先收一收搞好學問吧。
erik zeeman：“沒錯，這確是拓撲特點。明白這些拓撲粘合的靈活性。還有一個，就是複雜形狀的拓撲是由簡單拓撲形狀粘合形成。那就需要問，什麽是簡單的拓撲形狀？也就類似堆積木的積木是什麽樣的？這樣的東西是最簡單的嗎，是不是還可以更簡單。這些簡單的元件拓撲，也是研究對象。”
馬克說：“那當然，這是必須的，拓撲元件知道怎麽弄，才能知道拿什麽東西去粘。而元件往往就難免的涉及數學中群的知識了。群就是研究數學對象的各種元件的，拓撲肯定也是需要群分類，群運算也需要了。”馬克才想起剛剛說四則運算是不合適的。
erik zeeman：“沒錯，弄清一堆元件後，我們就敢粘貼了，而粘貼的時候必須弄好順序，先粘哪個，後粘哪個，這種先後順序就是軌道空間。不同的軌道空間，肯定會粘出不一樣的東西。”
馬克說：“沒錯，然後我們就要開始這些工作了。”
erik zeeman：“走到這一步，想必要讓自己思想升華一下了，其實知道拓撲學的計算本質後，那是不是就跟數學中圖論的東西是相似的，畢竟圖的形狀，裏麵也包含洞這些信息，唯一不同的是，圖論中連接點和傳輸線的權重不一樣。而拓撲學中這些節點和連線都是平等的。”
馬克說：“所以一個個等價的拓撲形狀，就成了......”
erik zeeman：“這種等價稱之為同倫。”
馬克說：“這是？”
erik zeeman：“一個形狀，通過連續變化，變成另外一個形狀。不破壞其中洞，或者虧格。”
馬克恍然大悟道：“所以開始要構造基本的這些群，使用同論這個方法，可以讓一個很簡單的形狀變成各種各樣的樣子。這些樣子當然都是同一類的。之後我們去計算這種各種各樣的映射了。一個簡單的拓撲元件會出現各種各樣同倫型。但是如何很多同倫型的變換物放在一起，也難以判斷出這是否是一個簡單的元件同倫變換出來的。”
erik zeeman：“布勞威爾不動點定理可以解決這個麻煩的問題。”
馬克知道布勞威爾不動點，但頭一次聽說要解決這個問題。
erik zeeman：“隻要是同一形狀的各種不同映射，變化出千變萬化的各種同倫型的拓撲形狀，那他們的布勞威爾不動點一定是相同的。”
馬克興奮說：“太好了，很機智。”
“然後大戰拳腳了吧。”
erik zeeman說：“沒錯，在研究一些複雜平麵的時候，我們可以分而治之，把平麵都分成一個個簡單的形狀，這就是我們研究複雜問題的辦法。”
“然後研究清楚了，最後粘在一起？或者說那種分離開，我們也要知道他們怎麽粘的才對。”
erik zeeman說：“我們把這些每個分開的東西的邊際研究清就行，這在前麵的連通性中，已經說清了。”
馬克指著一棵樹，上麵有一個扭曲的木頭，馬克說：“我們研究這個扭曲的木頭，裏麵的旋就算一個洞。我們對這個空間進行刨分。”
erik zeeman說：“在這裏刨分完後，要對每一個被分開的東西，進行編號，存在的依據就是其中心，也就是重心出。有幾個重心，就代表分成了幾個形狀，以此方便研究。”
馬克說：“然後盡量分成最基本的單元，分到不能再分處。”
erik zeeman說：“這就是單純逼近。”
馬克說：“如何能夠實現這一過程呢？主要是看什麽呢？”
erik zeeman說：“不看這個扭曲的樹，打個比方，我們挖出來一個鑽石原石，要把他們分成簡單的四麵體一類的形狀，當然不是鑽石那種的。我們盡可能剩下材料，不浪費任何一個區域，盡可能多的去切割。”
馬克說：“聽起來很困難啊。”
erik zeeman說：“需要對原來石頭的棱進行測量和分析，這就是複形的棱道群，再根據此，進行軌道空間的單純刨分。盡量分的要合理，一步步來。當然結果就是得知軌道和對應的元件單形。”
馬克說：“確實難，但極具備實用性。”
erik zeeman說：“切割鑽石是三維空間，而我們要麵對的很多更加複雜的高維複形。”
馬克說：“那怎麽辦，聽起來不見得，讓人望而卻步啊！”
erik zeeman說：“先對其進行分類，其中要得到軌道和單形，所以要把軌道定向工作做好。而分類的過程，要看總體的歐拉示性數，然後把割開和修補進行運算，著都用對應的運算方式。曲麵需要很多符號來表示，方便區分和運算。”
馬克開竅也快的說：“之後要用同調理論，使用一個有方向的軌道，結合每個拓撲的邊緣加上方向，然後對不同複雜形狀，分析其形狀是否可以連續變換得到。本質上是拓撲變成類似圖的一種計算和對比的過程。其中軌道聯係單形會以一串數字來表示這種組成。這裏很多就會涉及到鏈，和很多單形的邊緣。直接把單形邊緣放入軌道中，形成一個鏈子，這個鏈子就是帶著方向和組合方式的長鏈。”
erik zeeman說：“想想，世間萬事很多都可以用同調論，同調論不僅在微分幾何、複變函數、代數幾何、抽象代數、代數數論、微分方程、對策論等其他許多數學分支中有著廣泛的應用。而且在自然科學和其它工程技術領域的許多學科諸如:電路網絡、理論物理、計算機、電子通訊、現代控製理論乃至原子核構造理論等學科都具有廣泛的應用。已成為現代數學及現代技術領域中不可替代的基礎工具之一，也是非數學類眾多領域的本科生及研究生必修的數學基礎課程。”
馬克說：“是的，它可以讓很多問題變得簡單化。”
erik zeeman：“同調群也需要分類研究，以示方便研究複雜形狀。在此過程中免不了會有單純映射這種簡單的，也有輻式重分的相對複雜的。區分其中複雜形分類的時候......”
馬克說：“也需要有布勞威爾不動點之類的不變量。”
erik zeeman說：“從歐拉的七橋定理開始的，從這個中間把七橋的模型畫成圖論，從圖論中分析出拓撲等價。”
馬克說：“聽起來很簡單，那如何去研究拓撲學呢？”
erik zeeman說：“主要就是分類，對不同的拓撲結構進行分類。分類出很多曲麵，對曲麵解構成抽象空間，然後找到拓撲不變量去分類。”
馬克說：“那要分類很多曲麵，是什麽曲麵？有標準嗎？”
erik zeeman說：“是的，要嚴格的連續曲麵，不能是離散的。”
馬克說：“如何說明是連續的？”
erik zeeman說：“就跟我說的一樣，這是一個抽象空間，這個空間需要由開集和閉集這樣的東西給組成。然後開集和閉集需要引入連續映射係統來完整這個函數的描述。”
馬克說：“為什麽要用開集和閉集這樣的東西？”
erik zeeman說：“因為嚴格。如果使用幾何、數字、符號或者是其他的描述拓撲的係統，都缺乏嚴格性。如果時間久了會出現很多我們不想要的漏洞。”
馬克說：“我明白了。”
erik zeeman說：“在這樣的前提下，就可以大膽的研究映射，讓曲線充分的施展開來。可以讓普通的曲線因為映射充滿整個空間。同時開始使用tietze擴張定理。”
馬克說：“擴張？如何擴張？”
erik zeeman說：“是r的n維空間的有理點集，擴張到整個空間。”
馬克說：“擴張到所有的無理點集？”
erik zeeman說：“恩，是這個意思。”
馬克說：“不錯，可是剛剛說的這個開集和閉集，這個如何算嚴格，怎麽去連續，變得光滑？”
erik zeeman說：“需要有緊致性和連通性，加有界閉集這種概念。閉集是bai兩邊類似[1，10]；有界集兩邊是(1，10]，[1，10）兩種。”
馬克說：“有界之後，如何緊致化？”
erik zeeman說：“這是海涅－博雷爾定理或有限覆蓋定理、定理的主要內容是度量空間的子集是緊致的，當且僅當它是完備的並且完全有界的。”
馬克說：“是子集緊致就行嗎？那能不能在詳細一些，緊致空間的性質是什麽？”
erik zeeman說：“緊致性本質上是有限性條件，有限性條件破解類似一日之椎，日取其半，萬世不可遏這樣的意思。假如孫悟空在如來的手掌心翻跟鬥，跟鬥雲是一個任意序列，停在如來的手指旁是存在一個子列收斂，留下到此一遊的字和撒尿是在一個有界的閉集裏。或者一個瓶子裏裝高爾夫球後，可以裝石子，然後還可以裝沙子，最後還可以裝水，這都說明原來的東西不夠緊。這些都可以作為例子來想。”
馬克說：“不錯，這個解釋變得清晰了一些。”
erik zeeman說：“然後，就需要了解乘積空間。”
馬克說：“乘積空間是幹什麽的，是要把拓撲空間乘起來嗎？”
erik zeeman說：“沒錯，打個比方，就是r的n維空間是n個r直線乘起來的。”
馬克說：“這個是在高維度實數坐標中的一種比喻。”
erik zeeman說：“現在開始研究連通性。如果非空的a和b都是分離並，他們都在x中，一般是不連通的。”
馬克說：“什麽？”
erik zeeman繼續說：“如果x讓分離並連通了，就稱之為連通的。”
馬克說：“r的n維空間是連通的嗎？”
erik zeeman說：“是連通的。”
erik zeeman：“拓撲世界有兩種，一個是連通，一個是不通。”
馬克說：“如何去判定這些？”
erik zeeman：“比如一個實心圓球內部是處處通，若有一個洞，這個洞不通。”
馬克覺得研究拓撲，終歸就是說很多東西是不是等價的，或者是符合什麽什麽特性的，他說：“為了這是幹嘛？是為了給各種不同的拓撲進行分類？這是最合理的分類方法？”
erik zeeman：“沒錯，之後談拓撲分類時，都是用道路連通性這類符號去運算各種東西的。畢竟拓撲不看尺寸的長短和麵積的大小之類的東西。計算的是一種性質，類似洞數等等之類的，同時也要研究這些不同拓撲直接是否是同一種類型。”
馬克說：“然後運算是如何遠算的？有四則運算這種嗎？”馬克腦子裏有點暈，在想數字計算的事情，沒有用心問問題。
erik zeeman：“拓撲中遠算往往要做一些工作，一般講一些複雜形狀是如何用簡單形狀組成的。但此組成也不像簡單的壘積木和焊接那麽簡單。”
馬克笑說：“我當然知道你想說的是莫比烏斯帶或者克萊因瓶，他們需要對材料進行一些翻轉或者變形之後，才能組合在一起。”說到此處，馬克在想長條粘貼旋轉一遍時是莫比烏斯帶，旋轉兩遍的時候那是什麽？雖不是莫比烏斯帶那麽，但是也不是正常形狀。但馬克沒敢說這些，因為太魔性了。先收一收搞好學問吧。
erik zeeman：“沒錯，這確是拓撲特點。明白這些拓撲粘合的靈活性。還有一個，就是複雜形狀的拓撲是由簡單拓撲形狀粘合形成。那就需要問，什麽是簡單的拓撲形狀？也就類似堆積木的積木是什麽樣的？這樣的東西是最簡單的嗎，是不是還可以更簡單。這些簡單的元件拓撲，也是研究對象。”
馬克說：“那當然，這是必須的，拓撲元件知道怎麽弄，才能知道拿什麽東西去粘。而元件往往就難免的涉及數學中群的知識了。群就是研究數學對象的各種元件的，拓撲肯定也是需要群分類，群運算也需要了。”馬克才想起剛剛說四則運算是不合適的。
erik zeeman：“沒錯，弄清一堆元件後，我們就敢粘貼了，而粘貼的時候必須弄好順序，先粘哪個，後粘哪個，這種先後順序就是軌道空間。不同的軌道空間，肯定會粘出不一樣的東西。”
馬克說：“沒錯，然後我們就要開始這些工作了。”
erik zeeman：“走到這一步，想必要讓自己思想升華一下了，其實知道拓撲學的計算本質後，那是不是就跟數學中圖論的東西是相似的，畢竟圖的形狀，裏麵也包含洞這些信息，唯一不同的是，圖論中連接點和傳輸線的權重不一樣。而拓撲學中這些節點和連線都是平等的。”
馬克說：“所以一個個等價的拓撲形狀，就成了......”
erik zeeman：“這種等價稱之為同倫。”
馬克說：“這是？”
erik zeeman：“一個形狀，通過連續變化，變成另外一個形狀。不破壞其中洞，或者虧格。”
馬克恍然大悟道：“所以開始要構造基本的這些群，使用同論這個方法，可以讓一個很簡單的形狀變成各種各樣的樣子。這些樣子當然都是同一類的。之後我們去計算這種各種各樣的映射了。一個簡單的拓撲元件會出現各種各樣同倫型。但是如何很多同倫型的變換物放在一起，也難以判斷出這是否是一個簡單的元件同倫變換出來的。”
erik zeeman：“布勞威爾不動點定理可以解決這個麻煩的問題。”
馬克知道布勞威爾不動點，但頭一次聽說要解決這個問題。
erik zeeman：“隻要是同一形狀的各種不同映射，變化出千變萬化的各種同倫型的拓撲形狀，那他們的布勞威爾不動點一定是相同的。”
馬克興奮說：“太好了，很機智。”
“然後大戰拳腳了吧。”
erik zeeman說：“沒錯，在研究一些複雜平麵的時候，我們可以分而治之，把平麵都分成一個個簡單的形狀，這就是我們研究複雜問題的辦法。”
“然後研究清楚了，最後粘在一起？或者說那種分離開，我們也要知道他們怎麽粘的才對。”
erik zeeman說：“我們把這些每個分開的東西的邊際研究清就行，這在前麵的連通性中，已經說清了。”
馬克指著一棵樹，上麵有一個扭曲的木頭，馬克說：“我們研究這個扭曲的木頭，裏麵的旋就算一個洞。我們對這個空間進行刨分。”
erik zeeman說：“在這裏刨分完後，要對每一個被分開的東西，進行編號，存在的依據就是其中心，也就是重心出。有幾個重心，就代表分成了幾個形狀，以此方便研究。”
馬克說：“然後盡量分成最基本的單元，分到不能再分處。”
erik zeeman說：“這就是單純逼近。”
馬克說：“如何能夠實現這一過程呢？主要是看什麽呢？”
erik zeeman說：“不看這個扭曲的樹，打個比方，我們挖出來一個鑽石原石，要把他們分成簡單的四麵體一類的形狀，當然不是鑽石那種的。我們盡可能剩下材料，不浪費任何一個區域，盡可能多的去切割。”
馬克說：“聽起來很困難啊。”
erik zeeman說：“需要對原來石頭的棱進行測量和分析，這就是複形的棱道群，再根據此，進行軌道空間的單純刨分。盡量分的要合理，一步步來。當然結果就是得知軌道和對應的元件單形。”
馬克說：“確實難，但極具備實用性。”
erik zeeman說：“切割鑽石是三維空間，而我們要麵對的很多更加複雜的高維複形。”
馬克說：“那怎麽辦，聽起來不見得，讓人望而卻步啊！”
erik zeeman說：“先對其進行分類，其中要得到軌道和單形，所以要把軌道定向工作做好。而分類的過程，要看總體的歐拉示性數，然後把割開和修補進行運算，著都用對應的運算方式。曲麵需要很多符號來表示，方便區分和運算。”
馬克開竅也快的說：“之後要用同調理論，使用一個有方向的軌道，結合每個拓撲的邊緣加上方向，然後對不同複雜形狀，分析其形狀是否可以連續變換得到。本質上是拓撲變成類似圖的一種計算和對比的過程。其中軌道聯係單形會以一串數字來表示這種組成。這裏很多就會涉及到鏈，和很多單形的邊緣。直接把單形邊緣放入軌道中，形成一個鏈子，這個鏈子就是帶著方向和組合方式的長鏈。”
erik zeeman說：“想想，世間萬事很多都可以用同調論，同調論不僅在微分幾何、複變函數、代數幾何、抽象代數、代數數論、微分方程、對策論等其他許多數學分支中有著廣泛的應用。而且在自然科學和其它工程技術領域的許多學科諸如:電路網絡、理論物理、計算機、電子通訊、現代控製理論乃至原子核構造理論等學科都具有廣泛的應用。已成為現代數學及現代技術領域中不可替代的基礎工具之一，也是非數學類眾多領域的本科生及研究生必修的數學基礎課程。”
馬克說：“是的，它可以讓很多問題變得簡單化。”
erik zeeman：“同調群也需要分類研究，以示方便研究複雜形狀。在此過程中免不了會有單純映射這種簡單的，也有輻式重分的相對複雜的。區分其中複雜形分類的時候......”
馬克說：“也需要有布勞威爾不動點之類的不變量。”