龐加萊想平麵之間的等價性還是很容易的。
一個皮球，是一個麵組成了，可以平展成一個麵的形狀。
這是讓一個二維的麵從三維空間中轉化成立二維空間。
如果是四維空間的皮球，是否能夠平展成二維空間的平麵？
一般人粗略的一想，還以為可以。
但是龐加萊敏銳的洞察到，四維空間中的皮球，不是一個二維的麵。
或許是個三維的體，搞不好就是三維空間的實心球體。
這個想法突破了一般人的認知，但在數學是是輕鬆可以推論的。
隻是這需要去證明才行。
123
拓撲”跟“群”一樣也是一種對結構的描述，但是它不再專注於結構的外觀、尺度，而隻關心結構的性質，即不再進行定量研究轉而進行定性研究，這是數學發展史上又一次偉大的突破。
比如我們可以把一個癟了的球、一個正方體、一個十二麵體都認為具有同樣的拓撲，因為這些結構在三維空間中都是封閉的，它們都可以通過連續變換變成一個球。你可以想象這些物體都是橡皮做的，隻要充滿氣，就能把它們漲成完美的球形，在拓撲學中我們說這些結構與球是同胚的。具有同胚拓撲結構的空間幾何體在遵循“不撕裂不扯破”的原則下能夠任意相互變換。所謂“不撕裂不扯破”就是不破壞構成結構體的各點之間的關係，比如a點和b點是相鄰的，在變換之後a點與b點仍然是相鄰的。有一種結構，無論你用同樣的方式怎麽努力，也不能變成球形，那就是輪胎。這是因為輪胎與球具有不同的拓撲結構，球是單聯通的，而輪胎是雙聯通的。
歐拉公式揭示了拓撲性質與對稱性之間的聯係，在單聯通多麵體結構，隻能產生5種完美對稱，我們真實的宇宙一樣具有某些拓撲性質，這些拓撲性質也同樣對對稱性有約束，因此才形成了我們所見的宇宙。
克萊因瓶
它和莫比烏斯帶非常相像，實際上是莫比烏斯帶的三維擴展，但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲麵，也就是說它沒有邊界。我們可以想象將兩個相反的莫比烏斯帶的邊縫合在一起，就構成了一個克萊因瓶。莫比烏斯帶必須跨越到3維或更高維的空間才得以形成，克萊因瓶則跨越到於四維或更高維空間中才能製造出來，它在我們的三維空間中是不可能存在的，它實際上是在四維空間中將三維空間的正反兩麵扭曲連接到一起。
拓撲學上最傳奇的故事莫過於龐加萊猜想了。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麽這個空間一定是一個三維的圓球，即任何單聯通的三維封閉流形都同胚於三維球麵。後來這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”，即“任何與n維球麵同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球麵”。前麵我們已經講過同胚是指通過不撕裂不扯破的連續變換可以變為同樣形狀的性質，同倫則是比同胚更寬鬆的變換，比如我們可以把一個三維的球壓扁在一張紙上變成一個二維的圓盤，然後在二維的圓盤上長出幾根刺，這個圖形與原來三維的球都是同倫的。龐加萊猜想其實意味著在我們的三維空間中的任何封閉物體，不管是一塊磚頭，一個人，還是一台拖拉機，隻要它是封閉的，在四維空間中它就必然能連續變換成四維空間中的三維球麵。換句話說，正如三維球體的邊界是一個二維封閉球麵一樣，四維球體的邊界其實就是三維的封閉球麵，這個球麵去掉一個點展開來就是整個三維空間，任何在這個三維空間中封閉的物體都可以通過拉伸、彎曲、延展變成一個三維的封閉球麵。類似三葉結這樣的結構在三維空間中當然不能變成一個球，但是在四維空間中，這樣的變換就變得輕而易舉。
一個多世紀以來，無數的科學家為了證明“龐加萊猜想”傾盡了畢生的心血也沒有能夠完成。希臘著名的拓撲學家帕帕在臨終前，把一疊厚厚的證明手稿托付給一位數學家朋友，然而那位數學家發現了其中的錯誤，他為了讓帕帕不留遺憾地離去，最後選擇了沉默，這隻是龐加萊猜想證明史上無數悲歌中一首。2000年5月24日，美國克雷數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。這七道問題被研究所認為是對人類科學發展最為重要的定理，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵，因為任何一個問題的解決，都將人類對於宇宙的認識提升到新的層次，而龐加萊猜想被公認為七個難題中最不可能被證明的一個。盡管舉步維艱，但前方似乎總在閃動著曙光，一群拓撲學的先驅前仆後繼，鋪就一條通往遙遠彼岸的浮橋，
斯梅爾完成了對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明；
福裏德曼給出了四維空間的證明；
瑟斯頓引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割；
丘成桐和李偉光發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論；
漢密爾頓給出了裏奇流奇點的理解；
而默默無聞的俄羅斯猶太裔數學家格裏戈裏·佩雷爾曼則完成了最後的證明。
龐加萊猜想跟圓結構密不可分。我們知道，自然界中普遍存在著圓、球及跟圓密切相關的螺旋，圓是相當神奇的拓撲結構，它有一些看似普通但卻深刻的性質。在幾何學中，圓是在n維空間中距離一點距離相同的所有點的集合，在二維平麵上圓方程為x^2+y^2=r^2，即平麵中與同一點距離相同的點組成的環，是平麵封閉流形的一種特殊形式。圓的性質之一是封閉性，它將維度空間隔離為截然不同的兩部分，一部分為內部空間，一部分為外部空間。圓內空間為有限，圓外空間為無限，圓內邊緣與圓外邊緣具有截然相反的性質，內圈為負曲率，外圈為正曲率。圓的性質之二是連續性，用數學術語來說是可積可導的，它連續彎曲變化，沒有折疊、沒有斷裂，最終首尾精巧相連，一切都圓融自然。圓的性質之三是它可以收縮為點，圓收縮為點的性質其實對應圓所包圍的麵，在這個麵中所有的點都可通過連續變換收縮於其中的一點，收縮過程可以是通過不斷縮小半徑變換為更小半徑的圓麵，原有圓麵中的每個點都對應著新圓麵中的點，且點與點之間保持原有的相鄰關係，不折斷也不破裂。圓拓撲的性質之四是有限無界性，我們的地球就是這樣一種結構，有限的體積，但表麵沒有界限，這體現了宇宙的絕妙創意，它讓宇宙本身首尾相連、循環相依、渾然天成、自成一體。這樣的結構既能使宇宙整體展現完整與自恰，也能讓其內部的生命體感到無限開放、無拘無束。我們知道，作為自然界大統一理論備選方案的m理論是由不同種類的弦論組成的，而弦論又都是建立在開弦、閉弦及膜的基礎之上的。可以說，在m理論中，開弦、閉弦及膜的拓撲變換及維度擴展最終演化形成了整個宇宙的複雜結構。而線對應“開弦”，圓環對應“閉弦”，圓麵對應“膜”，它們都是宇宙中的最基本的結構，不同之處在於開弦有兩個自由的端點，閉弦沒有自由的端點，而膜則可以變換成開弦與閉弦。從某種意義上來說，圓麵是比圓環、線段更為基本的東西，因為所有維度的空間在高於它的維度空間看，都隻是一層扁平的薄膜，比如從四維空間中來看，地球實際上是一張三維膜，而黑洞的奇點正是三維膜收縮而成的點。借用一位中國學者的觀點：“借助龐加萊猜想熵流，用空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內表麵翻轉成外表麵，可證時間之箭的起源，還能把熱力學與量子論、相對論、超弦論和圈量子引力論等相聯係”，這讓我們似乎看到了揭開時間之謎的一把拓撲學之鑰，如果時間的本質是“概率的不可逆”，那麽這種概率的不可逆就可能對應於“把空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內表麵翻轉成外表麵”的拓撲變換性質，宇宙的爆發以及膨脹也許正是在執行這種變換。
龐加萊猜想帶給我們新的宇宙觀：每個n維球麵都包裹著n+1維的一塊世界，也可以說每個n維的世界，都是由n+1維的世界支撐著。跟我們通常認為的相反，低維世界恰恰是依附於高維世界而存在的，因為低維世界隻是高維世界中物體的分界。正如人類是以地球的二維球麵為支撐，生長在宇宙的三維球麵上。當然不排除還有其他的生命形式以宇宙的三維空間為支撐，生長在更廣闊的四維球麵上(下圖為四維球在三維空間中投影結構)。
一個皮球，是一個麵組成了，可以平展成一個麵的形狀。
這是讓一個二維的麵從三維空間中轉化成立二維空間。
如果是四維空間的皮球，是否能夠平展成二維空間的平麵？
一般人粗略的一想，還以為可以。
但是龐加萊敏銳的洞察到，四維空間中的皮球，不是一個二維的麵。
或許是個三維的體，搞不好就是三維空間的實心球體。
這個想法突破了一般人的認知，但在數學是是輕鬆可以推論的。
隻是這需要去證明才行。
123
拓撲”跟“群”一樣也是一種對結構的描述，但是它不再專注於結構的外觀、尺度，而隻關心結構的性質，即不再進行定量研究轉而進行定性研究，這是數學發展史上又一次偉大的突破。
比如我們可以把一個癟了的球、一個正方體、一個十二麵體都認為具有同樣的拓撲，因為這些結構在三維空間中都是封閉的，它們都可以通過連續變換變成一個球。你可以想象這些物體都是橡皮做的，隻要充滿氣，就能把它們漲成完美的球形，在拓撲學中我們說這些結構與球是同胚的。具有同胚拓撲結構的空間幾何體在遵循“不撕裂不扯破”的原則下能夠任意相互變換。所謂“不撕裂不扯破”就是不破壞構成結構體的各點之間的關係，比如a點和b點是相鄰的，在變換之後a點與b點仍然是相鄰的。有一種結構，無論你用同樣的方式怎麽努力，也不能變成球形，那就是輪胎。這是因為輪胎與球具有不同的拓撲結構，球是單聯通的，而輪胎是雙聯通的。
歐拉公式揭示了拓撲性質與對稱性之間的聯係，在單聯通多麵體結構，隻能產生5種完美對稱，我們真實的宇宙一樣具有某些拓撲性質，這些拓撲性質也同樣對對稱性有約束，因此才形成了我們所見的宇宙。
克萊因瓶
它和莫比烏斯帶非常相像，實際上是莫比烏斯帶的三維擴展，但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲麵，也就是說它沒有邊界。我們可以想象將兩個相反的莫比烏斯帶的邊縫合在一起，就構成了一個克萊因瓶。莫比烏斯帶必須跨越到3維或更高維的空間才得以形成，克萊因瓶則跨越到於四維或更高維空間中才能製造出來，它在我們的三維空間中是不可能存在的，它實際上是在四維空間中將三維空間的正反兩麵扭曲連接到一起。
拓撲學上最傳奇的故事莫過於龐加萊猜想了。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麽這個空間一定是一個三維的圓球，即任何單聯通的三維封閉流形都同胚於三維球麵。後來這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”，即“任何與n維球麵同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球麵”。前麵我們已經講過同胚是指通過不撕裂不扯破的連續變換可以變為同樣形狀的性質，同倫則是比同胚更寬鬆的變換，比如我們可以把一個三維的球壓扁在一張紙上變成一個二維的圓盤，然後在二維的圓盤上長出幾根刺，這個圖形與原來三維的球都是同倫的。龐加萊猜想其實意味著在我們的三維空間中的任何封閉物體，不管是一塊磚頭，一個人，還是一台拖拉機，隻要它是封閉的，在四維空間中它就必然能連續變換成四維空間中的三維球麵。換句話說，正如三維球體的邊界是一個二維封閉球麵一樣，四維球體的邊界其實就是三維的封閉球麵，這個球麵去掉一個點展開來就是整個三維空間，任何在這個三維空間中封閉的物體都可以通過拉伸、彎曲、延展變成一個三維的封閉球麵。類似三葉結這樣的結構在三維空間中當然不能變成一個球，但是在四維空間中，這樣的變換就變得輕而易舉。
一個多世紀以來，無數的科學家為了證明“龐加萊猜想”傾盡了畢生的心血也沒有能夠完成。希臘著名的拓撲學家帕帕在臨終前，把一疊厚厚的證明手稿托付給一位數學家朋友，然而那位數學家發現了其中的錯誤，他為了讓帕帕不留遺憾地離去，最後選擇了沉默，這隻是龐加萊猜想證明史上無數悲歌中一首。2000年5月24日，美國克雷數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。這七道問題被研究所認為是對人類科學發展最為重要的定理，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵，因為任何一個問題的解決，都將人類對於宇宙的認識提升到新的層次，而龐加萊猜想被公認為七個難題中最不可能被證明的一個。盡管舉步維艱，但前方似乎總在閃動著曙光，一群拓撲學的先驅前仆後繼，鋪就一條通往遙遠彼岸的浮橋，
斯梅爾完成了對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明；
福裏德曼給出了四維空間的證明；
瑟斯頓引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割；
丘成桐和李偉光發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論；
漢密爾頓給出了裏奇流奇點的理解；
而默默無聞的俄羅斯猶太裔數學家格裏戈裏·佩雷爾曼則完成了最後的證明。
龐加萊猜想跟圓結構密不可分。我們知道，自然界中普遍存在著圓、球及跟圓密切相關的螺旋，圓是相當神奇的拓撲結構，它有一些看似普通但卻深刻的性質。在幾何學中，圓是在n維空間中距離一點距離相同的所有點的集合，在二維平麵上圓方程為x^2+y^2=r^2，即平麵中與同一點距離相同的點組成的環，是平麵封閉流形的一種特殊形式。圓的性質之一是封閉性，它將維度空間隔離為截然不同的兩部分，一部分為內部空間，一部分為外部空間。圓內空間為有限，圓外空間為無限，圓內邊緣與圓外邊緣具有截然相反的性質，內圈為負曲率，外圈為正曲率。圓的性質之二是連續性，用數學術語來說是可積可導的，它連續彎曲變化，沒有折疊、沒有斷裂，最終首尾精巧相連，一切都圓融自然。圓的性質之三是它可以收縮為點，圓收縮為點的性質其實對應圓所包圍的麵，在這個麵中所有的點都可通過連續變換收縮於其中的一點，收縮過程可以是通過不斷縮小半徑變換為更小半徑的圓麵，原有圓麵中的每個點都對應著新圓麵中的點，且點與點之間保持原有的相鄰關係，不折斷也不破裂。圓拓撲的性質之四是有限無界性，我們的地球就是這樣一種結構，有限的體積，但表麵沒有界限，這體現了宇宙的絕妙創意，它讓宇宙本身首尾相連、循環相依、渾然天成、自成一體。這樣的結構既能使宇宙整體展現完整與自恰，也能讓其內部的生命體感到無限開放、無拘無束。我們知道，作為自然界大統一理論備選方案的m理論是由不同種類的弦論組成的，而弦論又都是建立在開弦、閉弦及膜的基礎之上的。可以說，在m理論中，開弦、閉弦及膜的拓撲變換及維度擴展最終演化形成了整個宇宙的複雜結構。而線對應“開弦”，圓環對應“閉弦”，圓麵對應“膜”，它們都是宇宙中的最基本的結構，不同之處在於開弦有兩個自由的端點，閉弦沒有自由的端點，而膜則可以變換成開弦與閉弦。從某種意義上來說，圓麵是比圓環、線段更為基本的東西，因為所有維度的空間在高於它的維度空間看，都隻是一層扁平的薄膜，比如從四維空間中來看，地球實際上是一張三維膜，而黑洞的奇點正是三維膜收縮而成的點。借用一位中國學者的觀點：“借助龐加萊猜想熵流，用空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內表麵翻轉成外表麵，可證時間之箭的起源，還能把熱力學與量子論、相對論、超弦論和圈量子引力論等相聯係”，這讓我們似乎看到了揭開時間之謎的一把拓撲學之鑰，如果時間的本質是“概率的不可逆”，那麽這種概率的不可逆就可能對應於“把空心圓球不撕破和不跳躍粘貼，能把內表麵翻轉成外表麵”的拓撲變換性質，宇宙的爆發以及膨脹也許正是在執行這種變換。
龐加萊猜想帶給我們新的宇宙觀：每個n維球麵都包裹著n+1維的一塊世界，也可以說每個n維的世界，都是由n+1維的世界支撐著。跟我們通常認為的相反，低維世界恰恰是依附於高維世界而存在的，因為低維世界隻是高維世界中物體的分界。正如人類是以地球的二維球麵為支撐，生長在宇宙的三維球麵上。當然不排除還有其他的生命形式以宇宙的三維空間為支撐，生長在更廣闊的四維球麵上(下圖為四維球在三維空間中投影結構)。