在對有理數集q利用戴德金分割構造實數之前，先給出一個引理：任意兩個有理數之間，必然存在無數個有理數。
引理非常容易證明，設a和b是兩個有理數，那麽它們的算術平均值c=(a+b)\/2也必然是有理數並且c一定介於a和b之間。
戴德金定理是刻畫實數連續性的命題之一，也稱實數完備性定理。
它斷言，若a|a''是實數係r(即有理數集的所有戴德金分割的集合，並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可確定惟一實數β，若β落在a內，則它為a中最大元，若β落在a''內，則它是a''中最小元。
這個定理說明，r的分割與全體實數是一一對應的，反映在數軸上，它又說明，r的分割不再出現空隙，因此，這個定理可用來刻畫實數的連續性。
數學家發現了除數字以外的各種形式的數學，有各種群、環、域、模等各種重要的結構。所以數學家不可避免的要反思，數字，也就是實數是怎樣的一種係統，是否在以上的分類中有嚴格性。或者有什麽樣的特殊性，或者是否是一個好的例子。
戴德金開始跟黎曼和狄利克雷等人討論過關於實數係統的嚴謹性。
戴德金對狄利克雷說：“你讓我去看看實數是否符合對應的群、環、域、模這種結構，那就需要挨個去看看他們的嚴格性。那麽我們要對這個看似簡單，但是卻有點精彩而複雜的係統進行梳理的時候。”
狄利克雷說：“沒錯，這是遲早的，也是有意義的。我們定義了自然數、整數、有理數、無理數這些東西，但是我們並不是真正的了解它，因為他們的嚴格性有待商榷。用了這麽久，也該看看這些都是什麽樣子了。”
戴德金說：“其中最為關鍵的，是一個看似簡單，但是卻麻煩重重的有理數和無理數的區分方式。因為他們都摻雜的連續的在數軸上，我們需要有一個理論，能夠讓這些東西進行區分。”
狄利克雷說：“是的他們的混雜，是如此的連綿不絕，卻有膈應的無窮。”
戴德金說：“我已經找到了一種分割的方式，能夠證明實數是完備的。”
狄利克雷說：“可以保證數軸直線的連續性？如何分割？”
戴德金說：“如果把直線的所有點分成兩類，使得：每個點恰屬於一個類，每個類都不空。然後，第一類的每個點都在第二類的每個點的前麵，或者在第一類裏存在著這樣的點，使第一類中所有其餘的點都在它的前麵；或者在第二類裏存在著這樣的點，它在第二類的所有其餘的點的前麵。”
狄利克雷說：“這能說明實數的什麽性質？聽起來怎麽沒有感覺？”
戴德金說：“可以推出數理論中的六大基本定理：確界原理、單調有界定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理和柯西收斂準則。”
狄利克雷說：“確界原理我知道，波爾查諾發現了確界原理，就是講如果有實數集有上界，那就有上確界。有下界，就有下確界。”
戴德金說：“這個看似廢話的定理有一定的重要性，知道如果有界，必然就會有最大值和最小值。”
狄利克雷說：“單調有界也是具有單調性的，必然喲最大值和最小值。”
戴德金說：“閉區間套定理，是實數連續性的一種描述，幾何意義是，有一列閉線段，兩個端點也屬於此線段，後者被包含在前者之中，並且由這些閉線段的長構成的數列以o為極限，則這一列閉線段存在唯一一個公共點。”
狄利克雷說：“一種不動點在其中。”
戴德金說：“有限覆蓋定理，是設h是閉區間[a，b]的一個無限開覆蓋，則必可以從h中選擇有限個開區間來覆蓋[a，b]。”
狄利克雷說：“有限覆蓋定理是一個有用而且重要的定理.它是數學分析處理問題的一種重要方法，在數學各領域中都有廣泛的應用.有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區間的無限個開區間中能選出有限個開區間也覆蓋這個閉區間.由“無限轉化為有限”是質的變化，它對證明函數的某些性質提供了新的數學方法。”
戴德金說：“致密性原理就是有界數列必有收斂子列。”
狄利克雷說：“同樣可以以你的分割法來證明。”
戴德金說：“柯西收斂，這也是不可避免了，這是完備性的一個體現。”
戴德金於1872年提出來的，在構造歐氏幾何的公理係統時，可以選取它作為連續公理，在希爾伯特公理組1，2，3的基礎上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價。
引理非常容易證明，設a和b是兩個有理數，那麽它們的算術平均值c=(a+b)\/2也必然是有理數並且c一定介於a和b之間。
戴德金定理是刻畫實數連續性的命題之一，也稱實數完備性定理。
它斷言，若a|a''是實數係r(即有理數集的所有戴德金分割的集合，並以明顯的方式定義了大小順序及四則運算)的戴德金分割，則由它可確定惟一實數β，若β落在a內，則它為a中最大元，若β落在a''內，則它是a''中最小元。
這個定理說明，r的分割與全體實數是一一對應的，反映在數軸上，它又說明，r的分割不再出現空隙，因此，這個定理可用來刻畫實數的連續性。
數學家發現了除數字以外的各種形式的數學，有各種群、環、域、模等各種重要的結構。所以數學家不可避免的要反思，數字，也就是實數是怎樣的一種係統，是否在以上的分類中有嚴格性。或者有什麽樣的特殊性，或者是否是一個好的例子。
戴德金開始跟黎曼和狄利克雷等人討論過關於實數係統的嚴謹性。
戴德金對狄利克雷說：“你讓我去看看實數是否符合對應的群、環、域、模這種結構，那就需要挨個去看看他們的嚴格性。那麽我們要對這個看似簡單，但是卻有點精彩而複雜的係統進行梳理的時候。”
狄利克雷說：“沒錯，這是遲早的，也是有意義的。我們定義了自然數、整數、有理數、無理數這些東西，但是我們並不是真正的了解它，因為他們的嚴格性有待商榷。用了這麽久，也該看看這些都是什麽樣子了。”
戴德金說：“其中最為關鍵的，是一個看似簡單，但是卻麻煩重重的有理數和無理數的區分方式。因為他們都摻雜的連續的在數軸上，我們需要有一個理論，能夠讓這些東西進行區分。”
狄利克雷說：“是的他們的混雜，是如此的連綿不絕，卻有膈應的無窮。”
戴德金說：“我已經找到了一種分割的方式，能夠證明實數是完備的。”
狄利克雷說：“可以保證數軸直線的連續性？如何分割？”
戴德金說：“如果把直線的所有點分成兩類，使得：每個點恰屬於一個類，每個類都不空。然後，第一類的每個點都在第二類的每個點的前麵，或者在第一類裏存在著這樣的點，使第一類中所有其餘的點都在它的前麵；或者在第二類裏存在著這樣的點，它在第二類的所有其餘的點的前麵。”
狄利克雷說：“這能說明實數的什麽性質？聽起來怎麽沒有感覺？”
戴德金說：“可以推出數理論中的六大基本定理：確界原理、單調有界定理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理和柯西收斂準則。”
狄利克雷說：“確界原理我知道，波爾查諾發現了確界原理，就是講如果有實數集有上界，那就有上確界。有下界，就有下確界。”
戴德金說：“這個看似廢話的定理有一定的重要性，知道如果有界，必然就會有最大值和最小值。”
狄利克雷說：“單調有界也是具有單調性的，必然喲最大值和最小值。”
戴德金說：“閉區間套定理，是實數連續性的一種描述，幾何意義是，有一列閉線段，兩個端點也屬於此線段，後者被包含在前者之中，並且由這些閉線段的長構成的數列以o為極限，則這一列閉線段存在唯一一個公共點。”
狄利克雷說：“一種不動點在其中。”
戴德金說：“有限覆蓋定理，是設h是閉區間[a，b]的一個無限開覆蓋，則必可以從h中選擇有限個開區間來覆蓋[a，b]。”
狄利克雷說：“有限覆蓋定理是一個有用而且重要的定理.它是數學分析處理問題的一種重要方法，在數學各領域中都有廣泛的應用.有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區間的無限個開區間中能選出有限個開區間也覆蓋這個閉區間.由“無限轉化為有限”是質的變化，它對證明函數的某些性質提供了新的數學方法。”
戴德金說：“致密性原理就是有界數列必有收斂子列。”
狄利克雷說：“同樣可以以你的分割法來證明。”
戴德金說：“柯西收斂，這也是不可避免了，這是完備性的一個體現。”
戴德金於1872年提出來的，在構造歐氏幾何的公理係統時，可以選取它作為連續公理，在希爾伯特公理組1，2，3的基礎上，阿基米德公理和康托爾公理合在一起與戴德金原理等價。